ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ - ΦΥΤΤΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ - ΦΥΤΤΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΠΑΤΡΑ 14/10/2013

Περιεχόµενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 Table of Contents ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ... 3 2.1 ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ- ΙΑΣΤΗΜΑ-ΤΑΧΥΤΗΤΑ... 4 2.2 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ... 8 2.3 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ... 16 2.3.1 Θέµατα Πανελλήνιων διαγωνισµών Φυσικής... 22 2.3.2 Θέµατα Παγκύπριων Ολυµπιάδων Φυσικής... 30

iii

ivπεριεχομενα

Κεϕάλαιο 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχήµα 1.1: Προθέµατα µονάδων Σχήµα 1.2: Χρήσιµες ιδιότητες δυνάµεων 1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχήµα 1.3: Τριγωνοµετρία Σχήµα 1.4: Θεµελιώδη µεγέθη-αντίστοιχες µονάδες στο S.I. ΑΣΚΗΣΗ -1.1- Σχήµα 1.5: Τί τιµές δείχνουν τα διαστηµόµετρα στην παραπάνω εικόνα ;

Κεϕάλαιο 2 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Σχήµα 2.1: Τυπολόγιο ευθύγραµµων κινήσεων 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ 2.1 ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ- ΙΑΣΤΗΜΑ-ΤΑΧΥΤΗΤΑ Ορισµοί: Μέση διανυσµατική ταχύτητα ορίζεται το πηλίκο της µετατόπισης x στο χρονικό διάστηµα t, προς το χρονικό αυτό διάστηµα t. Μέση αριθµητική ταχύτητα ή µέση ταχύτητα ορίζεται το πηλίκο του διαστήµατος soλ (µήκος τροχιάς) που διαγράϕει το κινητό σε χρονικό διάστηµα toλ, προς το χρονικό αυτό διάστηµα toλ. (2.3) Η µέση αριθµητική ταχύτητα είναι µονόµετρο µέγεθος το οποίο παίρνει πάντα ϑετικές τιµές και εξαρτάται από τη διαδροµή που ακολουθεί το κινητό. Παρατήρηση: 1. Η µέση αριθµητική ταχύτητα, συµπίπτει µε την αλγεβρική τιµή της µέσης διανυσµατικής ταχύτητας, µόνο αν η αλγεβρική τιµή της µετατόπισης x συµπίπτει µε το διανυόµενο διάστηµα soλ. Αυτό συµβαίνει µόνο στην ευθύγραµµη κίνηση σταθερής φοράς. 2. Η στιγµιαία ταχύτητα είναι διανυσµατικό µέγεθος, το οποίο αναϕέρεται σε ορισµένο σηµείο της τροχιάς και σε ορισµένη χρονική στιγµή. Ορίζεται ως ο ϱυθµός µεταβολής της ϑέσης του κινητού τη συγκεκριµένη χρονική (2.4)

2.1. ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ- ΙΑΣΤΗΜΑ-ΤΑΧΥΤΗΤΑ 5 ΑΣΚΗΣΗ -2.1.1- Τέσσερα σώµατα (α), (ϐ), (γ) και (δ), ξεκινούν από τη ϑέση Α (αρχική) περνούν από τη ϑέση Β (ενδιάµεση) και φτάνουν στη ϑέση Τ (τελική) στις τέσσερις κινήσεις που εµϕανίζονται στα παρακάτω σχήµατα. Σχήµα 2.2: Α) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, µε τις ϑέσεις και την τιµή της µετατόπισης και να σχεδιάσετε πάνω στα σχήµατα τη µετατόπιση κάθε σώµατος. Πίνακας 2.1: Β) Με ϐάση τα παραπάνω παραδείγµατα, χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασµένες. i) Οταν ένα σώµα ξεκινά από µια αρχική ϑετική ϑέση, αποκτά και ϑετική µετατόπιση.

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ ii) Αν η τελική ϑέση ενός σώµατος έχει αρνητική τιµή, το σώµα κινείται προςτα αριστερά. iii) Θετική τιµή µετατόπισης σηµαίνει ότι το σώµα κινήθηκε προς τα δεξιά. iv) Αρνητική µετατόπιση σηµαίνει ότι το σώµα κινήθηκε προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα. Γ) Να υπολογίσετε το διάστηµα που διανύει κάθε σώµα. ) Αν το χρονικό διάστηµα για κάθε σώµα είναι 2s για να διανύσει τη διαδροµή A B T, να υπολογίσετε τη µέση ταχύτητα κάθε σώµατος. ΑΣΚΗΣΗ -2.1.2- Σχήµα 2.3: Ενα σώµα ξεκινά από την κορυϕή Β ενός ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευϱάς 1m (Σχ. 2.3, (Ι) ) και αϕού φτάσει στην κορυϕή Α, φτάνει τελικά στην κορυϕή Γ. Για τη συνολική κίνηση του σώµατος : α) Να σχεδιάσετε το διάνυσµα της µετατόπισης πάνω στο σχήµα. ϐ) Η µετατόπιση έχει µέτρο x =..., ενώ το διανυόµενο διάστηµα είναι ίσο µε s =... γ) Αν το σώµα πήγαινε από το Β στο Γ ακολουθώντας την καµπύλη τροχιά του Σχ. 2.3, (ΙΙ), διανύοντας τόξο µήκους 1,3m, τότε η µετατόπιση του σώµατος έχει µέτρο x =..., ενώ το διανυόµενο διάστηµα είναι ίσο µε s =... ΑΣΚΗΣΗ -2.1.3- Ενα µυρµήγκι κινείται ευθύγραµµα πάνω στην ευθεία x x. Τη στιγµή t0 = 0 περνάει από τη ϑέση x0 = 2cm. Τη χρονική στιγµή t1 = 2s ϐρίσκε-

2.1. ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ- ΙΑΣΤΗΜΑ-ΤΑΧΥΤΗΤΑ 7 ται στη ϑέση x1 = +2cm, τη στιγµή t2 = 4s, στη ϑέση x2 = +8cm, σταµατά στιγµιαία και αλλάζει φορά κίνησης, οπότε τη χρονική στιγµή t3 = 8s ϐρίσκεται στη ϑέση x3 = 4cm. α) Πόσο χρονικό διάστηµα ( t1) χρειάστηκε το µυρµήγκι για µετακινηθεί από τη ϑέση x2 στη ϑέση x3; ϐ) Πόση είναι η µετατόπιση του µυρµηγκιού για το χρονικό διάστηµα t1 και πόση για το χρονικό διάστηµα toλ για τη µετακίνηση από τη ϑέση x0 = 2cm στη ϑέση x3; γ) Πόση είναι η µέση ταχύτητα (vµ) του µυρµηγκιού, για το χρονικό διά- στηµα t1 και πόση για το χρονικό διάστηµα toλ; ΑΣΚΗΣΗ -2.1.4- Ενα κινητό τη χρονική στιγµή t0 = 10s ϐρίσκεται στο σηµείο Α µε x0 = 5m και κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα υ1, φθάνει στο Β µε x1 = 20m τη χρονική στιγµή t1 = 20s. Στο σηµείο Β παραµένει ακίνητο για 10s και στη συνέχεια κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα υ2 για 10s, επιστρέϕει στο Α, τη χρονική στιγµή t2. Να ϐρείτε : α) Τη µέση διανυσµατική ταχύτητα στο χρονικό διάστηµα από t0 µέχρι t2. ϐ) Τη µέση αριθµητική ταχύτητα στο ίδιο χρονικό διάστηµα. γ) Τη στιγµιαία ταχύτητα τις χρονικές στιγµές t3 = 15s και t4 = 35s.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ 2.2 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΑΣΚΗΣΗ -2.2.1- Ενας δροµέας τρέχει µε σταθερή ταχύτητα πάνω σε ευθύγραµµο δρόµο. Τη στιγµή που περνάει µπροστά από έναν ακίνητο (ως προς το δρόµο) παρατηρητή, εκείνος ϑέτει σε λειτουργία ένα χρονόµετρο. α) Αν τη στιγµή t1 = 10s ο δροµέας έχει αποµακρυνθεί από τον παρατη- ϱητή 20m, να υπολογιστεί η ταχύτητα του δροµέα. ϐ) Ποια είναι η ϑέση του δροµέα τη χρονική στιγµή t2 = 35s; γ) Σε σύστηµα αξόνων ϑέσης (x) - χρόνου (t), να σχεδιάσετε τη γραϕική παράσταση του δροµέα (ως προς τον ακίνητο παρατηρητή), για χρονικό διάστηµα από 0 100s. δ) Σε πόσο χρόνο ο δροµέας ϑα έχει µετατοπιστεί 150m από τον παρατη- ϱητή ; ε) Ποιά ϑα είναι η ϑέση του δροµέα όταν το χρονόµετρο του παρατηρητή δείχνει 1min και 40s; ΑΣΚΗΣΗ -2.2.2- ύο κινητά Α και Β ϐρίσκονται στις ϑέσεις που φαίνονται στο παρακάτω σχήµα και ξεκινούν ταυτόχρονα για t = 0 κινούµενα το ένα προς το άλλο µε σταθερές ταχύτητες, µε µέτρα υ1 = 4m/s και υ2 = 5m/s. Σχήµα 2.4: Α) Για τη χρονική στιγµή t1 = 10s, να ϐρεθούν : α) Η µετατόπιση κάθε κινητού. ϐ) Η ϑέση κάθε κινητού. γ) Η απόσταση µεταξύ τους. Β) Βρείτε την εξίσωση κίνησης κάθε κινητού. Γ) Ποιά χρονική στιγµή ϑα συναντηθούν τα δύο κινητά και σε ποιά ϑέση ϑα συµβεί αυτό ; ΑΣΚΗΣΗ -2.2.3- ύο κινητά ξεκινούν ταυτόχρονα από τις ϑέσεις Α και Β που ϐρίσκονται στην ίδια ευθεία και απέχουν απόσταση d = 2000m προκειµένου να συναντηθούν, σε µια ενδιάµεση ϑέση κινούµενοι µε ταχύτητες υ1 = 6m/s και υ2 = 4m/s αντίστοιχα.

2.2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ 9 Α. Να προσδιορίσετε τη ϑέση συνάντησης σε σχέση µε τη ϑέση Α. Να γίνει το διάγραµµα υ t, και για τα δύο κινητά σε κοινό σύστηµα αξόνων. Β. Αν το ένα κινητό ξεκινήσει από τη ϑέση Β µε ορισµένη χρονική καθυστέρηση 2s σε σχέση µε το άλλο κινητό, ποιά ϑα είναι η νέα ϑέση συνάντησης αυτών ; Να γίνει το διάγραµµα x t, και για τα δύο κινητά σε κοινό σύστηµα αξόνων. ΑΣΚΗΣΗ -2.2.4- Περιπολικό της αστυνοµίας αρχίζει να καταδιώκει ΙΧ αυτοκίνητο που ϐρίσκεται σε απόσταση x1 = 600m µπροστά από το περιπολικό. Το περιπολικό κινείται µε σταθερή ταχύτητα 144Km/h, ενώ το ΙΧ κινείται µε σταθερή ταχύτητα 90Km/h. Να ϐρεθούν : Α. Ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει το περιπολικό το ΙΧ. Β. Την απόσταση που διανύει το περιπολικό στο χρόνο αυτό. Γ. Να γίνει το διάγραµµα x t και για τα δύο κινητά σε κοινό σύστηµα αξόνων. ΑΣΚΗΣΗ -2.2.5- Σχήµα 2.5: Ενα κινητό κινείται κατά µήκος του άξονα x Ox και στο διάγραµµα (Σχ. 2.5), δίνεται η ϑέση του σε συνάρτηση µε το χρόνο. α. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του κινητού : i από 0 10s, ii από 10 20s. ϐ. Να γίνει το διάγραµµα υ t, για το χρονικό διάστηµα των 20s και να υπολογίσετε την ολική µετατόπιση του κινητού. γ. Να υπολογιστεί η µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα από 0 20s.

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ -2.2.6- Ο οδηγός ενός αυτοκινήτου προτίθεται να διατρέξει µια απόσταση 2Km. Αρχικά κινείται µε σταθερή ταχύτητα v1 = 90Km/h για χρόνο 20s. Για πόσο χρόνο µετά πρέπει να κινείται µε σταθερή ταχύτητα v2 = 108Km/h για να διατρέξει τα 2Km; ΑΣΚΗΣΗ -2.2.7- ύο µαθητές ξεκινούν ταυτόχρονα από τα σπίτια τους που ϐρίσκονται στα σηµεία Α και Β και απέχουν απόσταση 500m, προκειµένου να συναντηθούν σε µια ενδιάµεση ϑέση πάνω στην ΑΒ, κινούµενοι µε ταχύτητες υ1 = 6m/s και υ1 = 4m/s αντίστοιχα. Α. Να ϐρεθεί η απόσταση του σηµείου που ϑα συναντηθούν από το σηµείο Α. Β. Αν οι µαθητές δεν ξεκινήσουν ταυτόχρονα µε τον µαθητή από το Β να ξεκινά µε χρονική καθυστέρηση 5s ε σχέση µε τον άλλο, ποια ϑα είναι τώρα η απόσταση του σηµείου που ϑα συναντηθούν από το σηµείο Α ; ΑΣΚΗΣΗ -2.2.8- Σχήµα 2.6: Στο παραπάνω διάγραµµα (Σχ. 2.6), δίνεται η ϑέση ενός κινητού σε συνάρτηση µε το χρόνο. Να γίνει το διάγραµµα υ t και να υπολογίσετε την ολική µετατόπιση και τη µέση ταχύτητα του κινητού. ΑΣΚΗΣΗ -2.2.9- Στο παρακάτω διάγραµµα (Σχ. 2.7), δίνεται η ταχύτητα ενός κινητού σε συνάρτηση µε το χρόνο. Να γίνει το διάγραµµα x t και να υπολογίσετε την ολική µετατόπιση και τη µέση ταχύτητα του κινητού. ίνεται ότι για t = 0 η

2.2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ 11 ϑέση του κινητού είναι x0 = 5m. Σχήµα 2.7: ΑΣΚΗΣΗ -2.2.10- Η κίνηση ενός κινητού περιγράϕεται από τη σχέση x = 5+4t (S.I.). Να ϐρεθούν : α) Η αρχική ϑέση x0 και η ταχύτητα του κινητού. ϐ) Η µετατόπιση του κινητού στο χρονικό διάστηµα 1 5s. γ) Η µέση ταχύτητα του κινητού στο χρονικό διάστηµα 0 5s. ΑΣΚΗΣΗ -2.2.11- Ενα τραίνο έχει µήκος d = 50m και κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου 72Km/h. Το τραίνο εισέρχεται σε σήραγγα µήκους L = 950m. α) Για πόσο χρονικό διάστηµα ϑα υπάρχουν τµηµατα του τραίνου µέσα στη σήραγγα ; ϐ) Για πόσο χρόνο το τραίνο ϑα ϐρίσκεται ολόκληρο µέσα στη σήραγγα ; ΑΣΚΗΣΗ -2.2.12- Ενα κινητό Α κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος της ευθείας (ε). Να αποδείξετε ότι η προβολή Κ του κινητού Α πάνω σε τυχαία ευθεία (e ), οµοεπίπεδη της τροχιάς του, κινείται και αυτή µε σταθερή ταχύτητα (Σχ. 2.8).

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ -2.2.13- Σχήµα 2.8: Σχήµα 2.9: Στο διάγραµµα x t (Σχ. 2.9), ϐλέπουµε τις γραϕικές παραστάσεις της κίνησης δύο κινητών Α και Β. α) Να ϐρεθεί η ϑέση και ο χρόνος συνάντησης των δύο κινητών Α και Β. ϐ) Να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης των δύο κινητών. ΑΣΚΗΣΗ -2.2.14- ύο κινητά Α και Β κινούνται πάνω στον άξονα των συντεταγµένων µε ταχύτητες µέτρων va = 20m/s και vb = 40m/s και τη χρονική στιγµή t = 0 οι ϑέσεις των κινητών πάνω στον άξονα των συντεταγµένων είναι xa = 100m και xb = 100m. Να ϐρείτε : α) πότε και που ϑα συναντηθούν τα κινητά, ϐ) να κάνετε τα διαγράµµατα v t και x t στις περιπτώσεις που

2.2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ 13 i) οι ταχύτητες είναι ϑετικές, ii) η va είναι ϑετική και η vb είναι αρνητική. ΑΣΚΗΣΗ -2.2.15- Σχήµα 2.10: ίνεται η γραϕική παράσταση x(t) (Σχ. 2.10). Να ϐρείτε την συνολική µετατόπιση, τη µέση ταχύτητα και να κάνετε το διάγραµµα υ(t). ΑΣΚΗΣΗ -2.2.16- Η πιο κάτω γραϕική παράσταση δίνει τη ϑέση x ενός κινητού σε σχέση µε το χρόνο x = f(t) όπως την έχει καταγράψει ένας παρατηρητής. Σχήµα 2.11:

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ α) i. Πού ϐρίσκεται το κινητό την χρονική στιγµή 0 s. ii. Στο πιο κάτω σχεδιάγραµµα να σχεδιάσετε την τροχιά της κίνησης του κινητού µέχρι τα 25 s. Σχήµα 2.12: ϐ) Να ϐρείτε σε ποια χρονικά διαστήµατα ή σε ποιες χρονικές στιγµές συµβαίνουν τα πιο κάτω που αϕορούν την κίνηση του κινητού : Σηµείωση : Σε περίπτωση που δεν υπάρχει τέτοιο χρονικό διάστηµα ή χρονική στιγµή να γράψετε εν υπάρχει. i. Κινείται. ii. Εχει ταχύτητα µε φορά προς τα ϑετικά. iii. Εχει ταχύτητα µε φορά προς τα αρνητικά. iv. Κάνει επιταχυνόµενη κίνηση. v. Εχει ταχύτητα που το µέτρο της είναι 0 m/s. γ) Να ϐρείτε τη χρονική στιγµή που το κινητό περνά από την αϕετηρία (x = 0 m) και κινείται προς τα αρνητικά. δ) Να σχεδιάσετε σε ϐαθµολογηµένους άξονες τη γραϕική παράσταση της ταχύτητας µε το χρόνο υ = f(t) για την κίνηση του κινητού. Σχήµα 2.13:

2.2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ 15 ΤΕΣΤ -1- Σχήµα 2.14: Κατά µήκος ενός ευθύγραµµου δρόµου περπατά ένας άνθρωπος (στο Σχ. 2.14 φαίνονται οι ϑέσεις του). Ο άνθρωπος ξεκινά για t = 0 από τη ϑέση x = 10m (σηµείο Α). Μετά από 60s, φτάνει στο σηµείο Β. Στη συνέχεια χρειάζεται άλλα 60s για να πάει στο, όπου και σταµατά για 30s και επιστρέϕει στο σηµείο Γ περπατώντας για 50s ακόµη. Να ϑεωρήσετε ότι κάθε επιµέρους κίνηση πραγµατοποιείται µε σταθερή ταχύτητα. i) Να συµπληρωθούν τα παρακάτω κενά : Τη χρονική στιγµή t = 60s το παιδί ϐρίσκεται στη ϑέση... ενώ για t = 130s στη ϑέση... Η µετατόπιση του παιδιού από 10s 100s είναι..., ενώ από 50s 200s είναι... ii) Να ϐρεθεί η µέση ταχύτητα του παιδιού για τη διαδροµή : α) A B. ϐ) A B Γ. iii) Να γίνει το διάγραµµα της ϑέσης του ανθρώπου σε συνάρτηση µε το ) και το διάγραµµα της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ 2.3 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΑΣΚΗΣΗ -2.3.1- Κατά τη διάρκεια ενός πειράµατος µελετήσαµε την ευθύγραµµη κίνηση δύο σωµάτων Α και Β και πήραµε τις πιο κάτω χαρτοταινίες µε τη ϐοήθεια ηλεκτρικού χρονοµετρητή (τιςκερ-τιµερ) (Σχ. 2.15). Ο χρόνος που αντιστοιχεί στο διάστηµα µεταξύ δύο διαδοχικών κουκκίδων είναι 0,02s. Σχήµα 2.15: α. Να ονοµάσετε το είδος της κίνησης του κάθε κινητού. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ϐ. Να υπολογίσετε τη µέση ταχύτητα του κινητού Α. ΑΣΚΗΣΗ -2.3.2- Στο διπλανό διάγραµµα (Σχ. 2.16), φαίνεται η γραϕική παράσταση της ϑέσης x σε σχέση µε το χρόνο t για δύο κινητά Α και Β που κινούνται ευθύγραµµα. Σχήµα 2.16: α. Να καθορίσετε και να δικαιολογήσετε το είδος της κίνησης κάθε κινητού.

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 17 ϐ. Σε ποια χρονική στιγµή τα δύο κινητά συναντώνται ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ΑΣΚΗΣΗ -2.3.3- Για την πειραµατική µελέτη των ευθύγραµµων κινήσεων, µια οµάδα µαϑητών χρησιµοποίησε την πειραµατική διάταξη που φαίνεται στο πιο κάτω (Σχ. 2.17) και πήρε µετρήσεις για τη ϑέση x του αµαξιού σε σχέση µε το χρόνο t, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα µετρήσεων. Σχήµα 2.17: α. Να σχεδιάσετε σε ϐαθµολογηµένους άξονες τη γραϕική παράσταση της ϑέσης x του αµαξιού σε σχέση µε το χρόνο t (x t). ϐ. Από τη γραϕική παράσταση που σχεδιάσατε να καθορίσετε το είδος της κίνησης του αµαξιού. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ΑΣΚΗΣΗ -2.3.4- Τα επόµενα σχήµατα δείχνουν τις γραϕικές παραστάσεις ϑέσης-χρόνου για δυο διαϕορετικά κινητά Α και Β αντίστοιχα. Θεωρήστε ότι η κίνηση και για τα δυο κινητά ξεκινά την χρονική στιγµή t = 0 s. Να απαντήσετε στα επόµενα ερωτήµατα, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας :

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ Σχήµα 2.18: α) Ποιο κινητό είναι πιο µακριά από την αρχή του άξονα ϑέσης (x = 0 m), τη χρονική στιγµή t = 2 s; ϐ) Ποιο κινητό καλύπτει το µεγαλύτερο διάστηµα, µεταξύ των χρονικών στιγµών 0 και 5 s και πόσο είναι το διάστηµα αυτό ; γ) Ποιο κινητό αποκτά τη µεγαλύτερη µετατόπιση, µεταξύ των χρονικών στιγµών 0 και 5 s και πόση είναι η µετατόπιση αυτή ; δ) Υπάρχει κάποιο κινητό που να περνάει ξανά από την αρχική του ϑέση και αν ναι, πότε ακριβώς συµβαίνει αυτό ; ε) Ποιο κινητό αποκτά τη µεγαλύτερη, σε µέτρο ταχύτητα, µεταξύ των χρο- νικών στιγµών 0 και 5 s; ΑΣΚΗΣΗ -2.3.5- Οδηγός αυτοκινήτου που κινείται µε σταθερή ταχύτητα 108km/h ϐλέπει στα 70m µπροστά του έναν άνθρωπο. Αν ο χρόνος αντίδρασής του είναι 0,25s και η επιβράδυνση των φρένων 7,5m/s 2, ϑα αποϕευχθεί το δυστύχηµα ; ΑΣΚΗΣΗ -2.3.6- Κινητό κινείται µε σταθερή επιτάχυνση µέτρου 5m/s 2. Αν τη χρονική στιγµή t = 0, x0 = 0 και υ0 = 10m/s, να ϐρείτε τη µετατόπιση κατά την διάρκεια του 5ου δευτερολέπτου της κίνησης του κινητού µε δύο τρόπους : α) µε την ϐοήθεια τύπων, ϐ) µε την ϐοήθεια του διαγράµµατος υ(t). ΑΣΚΗΣΗ -2.3.7- Ενα σώµα ξεκινά από την ηρεµία και κινείται µε επιτάχυνση 4m/s 2 για t = 5s. Στη συνέχεια κινείται ευθύγραµµα και οµαλά µε την ταχύτητα που απέκτησε για χρόνο 5s. Να κάνετε τα διαγράµµατα x(t),υ(t) και α(t). ίνεται ότι όταν t = 0, x0 = 10m.

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 19 ΑΣΚΗΣΗ -2.3.8- Ενα κινητό κινείται οµαλά επιταχυνόµενο πάνω στον άξονα των συντεταγµένων x x και τη χρονική στιγµή t0 = 0 έχει ταχύτητα µέτρου υ0 = 10m/s και ϐρίσκεται στη ϑέση x0 = 10m. Να ϐρείτε την επιτάχυνση του κινητού όταν είναι γνωστό ότι τη χρονική στιγµή που ϐρίσκεται στη ϑέση x = 30m έχει ταχύτητα υ = 20m/s. ΑΣΚΗΣΗ -2.3.9- Αυτοκίνητο περνά από τα φανάρια έχοντας σταθερή ταχύτητα 72Km/h. Την ίδια στιγµή µια µηχανή που ϐρίσκεται 200m πίσω από το αυτοκίνητο και έχει ταχύτητα 90Km/h επιταχύνεται µε επιτάχυνση 2m/s 2 για να προλάβει το πράσινο. Μόλις περάσει τα φανάρια συνεχίζει εκτελώντας ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Να ϐρείτε σε πόση απόσταση από τα φανάρια ϑα συναντηθούν το αυτοκίνητο και η µηχανή. Να γίνουν τα διαγράµµατα υ(t) στο ίδιο σύστηµα αξόνων. ΑΣΚΗΣΗ -2.3.10- Ενα κινητό µε u0 = 25m/s επιταχύνεται µε α = 5m/s 2 για 4s. Στη συνέχεια κινείται ευθύγραµµα και οµαλά µέχρις ότου η ολική µετατόπισή του να είναι 400m. Αϕού ϐρείτε τον ολικό χρόνο κίνησής του, να σχεδιάσετε τα διαγράµµατα x(t), υ(t) και α(t). Πόση είναι η µέση ταχύτητα του κινητού ; ίνεται ότι τη στιγµή t = 0,x0 = 0. ΑΣΚΗΣΗ -2.3.11- Σχήµα 2.19:

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ Ενα κινητό τη χρονική στιγµή t = 0 ϐρίσκεται στη ϑέση x0 = 10m και κινείται ευθύγραµµα σύµϕωνα µε το παραπάνω διάγραµµα v t (Σχ. 2.19). Α) Να περιγράψετε την κίνηση του κινητού κάθε χρονική στιγµή. Β) Να ϐρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του κινητού τις χρονικές στιγµές t1 = 4s,t2 = 6s,t3 = 8s και t4 = 10s. Γ) Να ϐρεθεί η τελική ϑέση του κινητού τη χρονική στιγµή t = 12s. ) Να ϐρεθεί η µέση ταχύτητα του κινητού για το χρονικό διάστηµα από 0 12s. Ε) Να γίνουν τα διαγράµµατα x t, α t. ΑΣΚΗΣΗ -2.3.12- Οι εξισώσεις κίνησης δύο κινητών, που κινούνται κατά µήκος του προσανατολισµένου άξονα Οξ είναι : x1 = 20t(S.I.) και x2 = 8t + 4t 2 (S.I.). α) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγµή που τα δύο κινητά έχουν κοινή ταχύτητα. ϐ) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγµή που τα δύο κινητά συναντώνται. γ) Να κατασκευάσετε σε κοινούς άξονες και για τα δύο κινητά τα διαγράµµατα υ t, x t, υ t. ΑΣΚΗΣΗ -2.3.13- υο αυτοκίνητα Α και Β ξεκινούν απ το ίδιο σηµείο χωρίς αρχική ταχύτητα µε σταθερές επιταχύνσεις αa = 2m/s 2 και αb = 4,5m/s 2 αντίστοιχα. Το αυτοκίνητο Β ξεκινά 1s αργότερα απ το Α. Να ϐρεθούν : Α) Σε πόσο χρόνο απ τη στιγµή που ξεκίνησε το Α, το αυτοκίνητο Β ϑα φτάσει το Α ; Β) Σε ποια ϑέση ϑα γίνει η συνάντηση και ποιές ϑα είναι οι ταχύτητές τους ; ΑΣΚΗΣΗ -2.3.14- Κατά την πειραµατική µελέτη της ευθύγραµµης κίνησης ενός σώµατος, πήραµε τον πιο κάτω πίνακα µετρήσεων της ϑέσης του, ως προς ένα σηµείο αναϕοράς, σε σχέση µε το χρόνο. Πίνακας 2.2: α. Να σχεδιάσετε σε ϐαθµολογηµένους άξονες τη γραϕική παράσταση της ϑέσης x σε σχέση µε το χρόνο t, (x = f(t)).

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 21 ϐ. Από τη γραϕική παράσταση να καθορίσετε το είδος της κίνησης του σώµατος. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. γ. Πώς µπορούµε, από την γραϕική παράσταση, να υπολογίσουµε την ταχύτητα του σώµατος σε κάθε χρονική στιγµή ;

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ 2.3.1 Θέµατα Πανελλήνιων διαγωνισµών Φυσικής ΑΣΚΗΣΗ -Π..Φ.1- Σχήµα 2.20: Ενα αυτοκίνητο αρχίζει να κινείται σε ευθύγραµµη τροχιά. Στο Σχ. 2.20, απεικονίζεται η επιτάχυνση του αυτοκινήτου σε σχέση µε το χρόνο. Ποιά χρονική στιγµή το αυτοκίνητο αποκτά τη µέγιστη ταχύτητά του ; (2006) ΑΣΚΗΣΗ -Π..Φ.2- Σχήµα 2.21: Ξεκινώντας από την ηρεµία τη χρονική στιγµή t = 0, ένα αυτοκίνητο κινείται ευθύγραµµα µε επιτάχυνση που δίνεται από το διπλανό διάγραµµα. Ποιά είναι η ταχύτητα του αυτοκινήτου τη χρονική στιγµή t = 3s; α. 12,5m/s ϐ. 10,5m/s γ. 1m/s δ. 0m/s ε. 2m/s (2007)

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 23 ΑΣΚΗΣΗ -Π..Φ.3- Ενα αυτοκίνητο επιταχύνεται από την ηρεµία µε σταθερή επιτάχυνση 2m/s 2 για χρονικό διάστηµα 5s. Στο χρονικό διάστηµα των 5s α. διανύει διάστηµα 5m ϐ. διανύει διάστηµα 10m γ. έχει µέση ταχύτητα 5m/s δ. έχει µέση ταχύτητα 10m/s (2008) ΑΣΚΗΣΗ -Π..Φ.4- Σχήµα 2.22: Στις ερωτήσεις Α,Β,Γ µια µόνο απάντηση είναι σωστή. Α) Ενώ εσύ και ο φίλος σου τρέχατε ο φυσικός σας έπαιρνε µετρήσεις. Αργότερα έκανε το παραπάνω διάγραµµα (Σχ. 2.22). Τα εικονίδια δείχνουν τις ϑέσεις που είχατε εσύ και ο φίλος σου σε κάθε δευτερόλεπτο. Και οι δύο τρέχατε προς τα δεξιά. Είχατε κάποια στιγµή την ίδια ταχύτητα ; α. Οχι ϐ. Ναι, στο δεύτερο δευτερόλεπτο γ. Ναι, στο πέµπτο δευτερόλεπτο δ. Ναι, στο 2ο και 5ο δευτερόλεπτο ε. Ναι, κάποια στιγµή µεταξύ 3ου και 5ου δευτερολέπτου. Β) Οι ϑέσεις δύο δροµέων φαίνονται στο παρακάτω διάγραµµα (Σχ. 2.23). Και οι δύο τρέχουν προς τα δεξιά. Σχήµα 2.23: Ποιός έχει µεγαλύτερη επιτάχυνση ;

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ α. Ο πάνω ϐ. Κανείς αϕού και οι δύο έχουν την ίδια επιτάχυνση γ. Ο κάτω δ. Κανείς αϕού και οι ταχύτητές τους δεν µεταβάλλονται ε. εν έχω αρκετές πληροϕορίες για να απαντήσω. Γ) Στο παρακάτω γράϕηµα (Σχ. 2.24), φαίνεται η ταχύτητα ενός αντικειµένου σε σχέση µε το χρόνο. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις ταιριάζει στο γράϕηµα αυτό ; Σχήµα 2.24: α. v = t + 1 ϐ. v = t 1 γ. v = 2t δ. v = 8 (2009) ΑΣΚΗΣΗ -Π..Φ.5- Στο παρακάτω γράϕηµα (Σχ. 2.25), φαίνεται η ϑέση ενός εντόµου σε σχέση µε το χρόνο.

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 25 Σχήµα 2.25: Αν το έντοµο συνεχίσει να κινείται µε την ίδια ταχύτητα σε ποια ϑέση ϑα ϐρίσκεται τη χρονική στιγµή 30s; (2009) ΑΣΚΗΣΗ -Π..Φ.6- Πίνακας 2.3: Στον παραπάνω πίνακα 2.1, φαίνονται οι τιµές της ϑέσης x ενός αεροπλάνου και οι αντίστοιχες χρονικές στιγµές καθώς αυτό τροχοδροµεί στο διάδροµο απογείωσης. i) Η ταχύτητα του αεροπλάνου αυξάνεται, µειώνεται ή παραµένει σταθερή ; ii) Η επιτάχυνση του αεροπλάνου αυξάνεται, µειώνεται ή παραµένει στα- ϑερή ; Εξηγείστε πλήρως τις απαντήσεις σας. (2009) ΑΣΚΗΣΗ -Π..Φ.7- ύο ποδηλάτες κινούνται στο ίδιο ευθύγραµµο τµήµα της εθνικής οδού. Οι ποδηλάτες ξεκίνησαν από το ίδιο σηµείο. Ο πρώτος ξεκίνησε τη χρονική στιγµή 0 και ο δεύτερος µετά από 3min. Στο παρακάτω κοινό γράϕηµα (Σχ. 2.26), φαίνονται οι ταχύτητες των δύο ποδηλατών σε σχέση µε το χρόνο.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ Σχήµα 2.26: Ποιά χρονική στιγµή οι δύο ποδηλάτες συναντώνται ; (2010) ΑΣΚΗΣΗ -Π..Φ.8- Κατά τη διάρκεια µιας καταιγίδας ένας µαθητής µηδενίζει το χρονόµετρό του και πατά το κουµπί λειτουργίας του τη στιγµή που ϐλέπει µια αστραπή σε µια συγκεκριµένη κατεύθυνση από την οποία πλησιάζει η καταιγίδα. Καταγράϕει τη χρονική στιγµή t κατά την οποία ϐλέπει την επόµενη αστραπή στην ίδια κατεύθυνση και το χρονικό διάστηµα, t, µεταξύ κάθε αστραπής και της ϐροντής που την ακολουθεί. Τα αποτελέσµατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 2.3. Πίνακας 2.4: (i) Για ποιό λόγο η αστραπή φτάνει πριν τη ϐροντή ; (ii) Εκτιµήστε την ταχύτητα µε την οποία πλησιάζει η καταιγίδα. Μπορείτενα κάνετε κάποια λογική υπόθεση για να απαντήσετε στο πρόβληµα. ίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υηχ = 334m/s και η ταχύτητα του φωτός στον αέρα c = 3 10 8 m/s. (2010) ΑΣΚΗΣΗ -Π..Φ.9 Στο παρακάτω γράϕηµα (Σχ. 2.27)

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 27 Σχήµα 2.27: α) Η ταχύτητα είναι ϑετική, αρνητική ή µηδέν ; ϐ) Το µέτρο της ταχύτητας αυξάνεται, µειώνεται ή παραµένει σταθερό ; γ) Η επιτάχυνση είναι ϑετική, αρνητική ή µηδέν ; δ) Η επιτάχυνση αυξάνεται, µειώνεται ή παραµένει σταθερή ; ε) Για το χρονικό διάστηµα από t1 έως t2 η µετατόπιση είναι ϑετική, αρνητική ή µηδέν ; (2011) ΑΣΚΗΣΗ -Π..Φ.10- Σχήµα 2.28: Ο άνθρωπος ξεκινά τη στιγµή t = 0 από τη ϑέση x = 50 m και όπως φαίνεται στο παραπάνω διάγραµµα (Σχ. 2.28), κινείται προς τα αριστερά. Στη συνέχεια σε κάθε σηµειωµένη ϑέση στο διάγραµµα ο άνθρωπος κάνει στροϕή και κινείται στην αντίθετη κατεύθυνση όπως επίσης, φαίνεται στο σχήµα. Μελετήστε προσεκτικά το διάγραµµα και απαντήστε στις ερωτήσεις : α. Ποιό διάστηµα διένυσε ο άνθρωπος µέσα στα 10 min; ϐ. Ποιά η µετατόπισή του στα 10 min; γ. Ποιά η µέση ταχύτητά του στο χρονικό διάστηµα των 10 min; (2011)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ -Π..Φ.11- Ενα αυτοκίνητο που κινείται σε ευθύ δρόµο µε µία λωρίδα κυκλοϕορίας ανά κατεύθυνση, ϑελει να προσπεράσει ένα φορτηγό που ϐρίσκεται 5m µπροστά του. Μπαίνει στο αντίθετο ϱεύµα κυκλοϕορίας και µόλις το προσπεράσει κατά 5m επανέρχεται στο ϱεύµα κυκλοϕορίας του. Αν το αυτοκίνητο κινείται µε 100km/h και το φορτηγό µε 90km/h, ϐρείτε το διάστηµα που ϑα διανύσει το αυτοκίνητο στο αντίθετο ϱεύµα κυκλοϕορίας. ίνεται ότι το µήκος του φορτηγού είναι 15m. (2012) ΑΣΚΗΣΗ -Π..Φ.12- Στις ερωτήσεις Α1, Α2, Α3, Α4 και Β µία µόνο απάντηση είναι σωστή. Α. Ενα σώµα Σ ϐρίσκεται σε σηµείο Κ λείου οριζόντιου δαπέδου και αρχίζει να κινείται τη στιγµή to = 0 εκτελώντας ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση µε αρχική ταχύτητα υo > 0 και επιτάχυνση α < 0. Μελετάµε την κίνησή του µέχρι τη χρονική στιγµή t όταν φτάνει σε σηµείο Λ. Η µέση διανυσµατική ταχύτητά του κατά τη χρονική διάρκεια t t0 είναι υµ = 0 m/s. Α1. Το σώµα Σ : α) κινείται διαρκώς προς τα δεξιά ; ϐ) κινείται διαρκώς προς τα αριστερά ; γ) κατά τη διάρκεια της κίνησής του αλλάζει κατεύθυνση ; Α2. Το σηµείο Λ : α) ϐρίσκεται αριστερότερα του Κ; ϐ) συµπίπτει µε το Κ; γ) ϐρίσκεται δεξιότερα του Κ; Α3. Τη στιγµή τ η ταχύτητα του Σ είναι : α) αρνητική ; ϐ) µηδενική ; γ) ϑετική ; Α4. Η γραϕική παράσταση της ταχύτητας του Σ ως προς το χρόνο για τη χρονική διάρκεια t t0 α) είναι συµµετρική ως προς τον άξονα του χρόνου ; ϐ) είναι συµµετρική ως προς άξονα παράλληλο µε τον άξονα της ταχύτητας ; γ) δεν παρουσιάζει συµµετρία ; δ) τίποτε από τα παραπάνω.

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 29 Β. Ενα σωµάτιο κινείται ευθύγραµµα µε τέτοιο τρόπο ώστε η µετατόπισή του κατά τη χρονική διάρκεια ενός δευτερολέπτου της κίνησής του να είναι κατά 3 µέτρα µεγαλύτερη από τη µετατόπισή του κατά τη χρονική διάρκεια του προηγούµενου δευτερολέπτου της κίνησής του. Τότε : α) Το σωµάτιο κινείται µε σταθερή επιτάχυνση 3 m/s 2 ϐ) Το σωµάτιο κινείται µε σταθερή ταχύτητα 3 m/s γ) Το σωµάτιο κινείται µε σταθερή ταχύτητα 6 m/s δ) Η επιτάχυνση του σωµατίου αυξάνεται µε το χρόνο. (2013)

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ 2.3.2 Θέµατα Παγκύπριων Ολυµπιάδων Φυσικής ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.1- ύο αθλητές Α και Β κινούνται στον ίδιο οριζόντιο ευθύγραµµο δρόµο µε αντίθετη φορά, πλησιάζοντας ο ένας τον άλλο. Το µέτρο της ταχύτητας του Α είναι 4 m/s και του Β είναι 5 m/s. Τη χρονική στιγµή t = 0 οι αθλητές απέχουν ο ένας από τον άλλο απόσταση 450 m. Να υπολογίσετε από τη στιγµή που οι αθλητές απέχουν 450 m µέχρι τη στιγµή που συναντώνται, (α) πόσος χρόνος (χρονικό διάστηµα) περνά, (ϐ) πόσο διάστηµα (απόσταση) διανύει ο κάθε αθλητής. Για το επόµενο ερώτηµα ϑεωρείστε ότι ο αθλητής Α κινείται από αριστερά προς τα δεξιά και ότι η φορά αυτή είναι ϑετική. (γ) Να γίνουν για τους δύο αθλητές στους ίδιους ϐαθµολογηµένους άξονες, από τη στιγµή t = 0 µέχρι τη στιγµή που ϑα συναντηθούν, τα διαγράµµατα : (i) ταχύτητας-χρόνου, υ = f(t) και (ii) µετατόπισης-χρόνου x = f(t). (2005) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.2- Στο σχήµα δίνονται οι γραϕικές παραστάσεις της ϑέσης x δύο σωµάτων, Α και Β, ως προς το χρόνο, που κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία. Σχήµα 2.29: (α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του Α. (ϐ) Να καθορίσετε το είδος της κίνησης του κάθε σώµατος. (γ) Τα σώµατα έχουν την ίδια φορά κίνησης ; Εξηγήστε.

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 31 (δ) Πόσο απέχουν τα σώµατα µεταξύ τους τη χρονική στιγµή t = 0; Εξηγήστε. (ε) Σε ποιά χρονική στιγµή τα δύο σώµατα συναντώνται για δεύτερη φορά ; Εξηγήστε. (στ) Ποιο σώµα διάνυσε το µεγαλύτερο διάστηµα από τη στιγµή t = 0 µέχρι τη στιγµή t = 3 s; Εξηγήστε. (Ϲ) Τη χρονική στιγµή t = 5,2 s, ποιο σώµα έχει τη µεγαλύτερη ταχύτητα ; Εξηγήστε. (2005) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.3- Για ένα σώµα, που κινείται ευθύγραµµα, η ταχύτητά του σε σχέση µε το χρόνο δίνεται στο διάγραµµα (Σχ. 2.30). στιγµή t = 7 s. α) Να περιγράψετε την κίνηση του σώµατος από τη στιγµή t = 0 µέχρι τη (ϐ) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώµατος τις χρονικές στιγµές : 1 s, 3 s, 5 s και 6,5 s. Σχήµα 2.30: (γ) Εξηγήστε αν από τη στιγµή t = 0 µέχρι τη στιγµή t = 7 s, το σώµα άλλαξε φορά κίνησης. Αν ναι σε ποιά χρονική στιγµή συνέβηκε αυτό ; (δ) Να υπολογίσετε το ολικό διάστηµα και το µέτρο της µετατόπισης του σώµατος. Συγκρίνετε τα δύο αποτελέσµατα και σχολιάστε. (2005) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.4- Ενα κινητό τη χρονική στιγµή t = 0 s έχει ταχύτητα 5 m/s και εκτελεί ευθύγραµµη µεταβαλλόµενη κίνηση. Η γραϕική παράσταση της επιτάχυνσης του συναρτήσει του χρόνου δίδεται στο διάγραµµα (Σχ. 2.31).

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ Να κάνετε τις γραϕικές παραστάσεις : i) της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου υ = f(t) και Σχήµα 2.31: ii) της ϑέσης συναρτήσει του χρόνου x = f(t). (2006) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.5- Ενα αυτοκίνητο Α, που η µέγιστη ταχύτητα µε την οποία µπορεί να κινηϑεί είναι 24 m/s, είναι ακίνητο µπροστά από φωτεινό σηµατοδότη τροχαίας. Τη στιγµή που το φως γίνεται πράσινο ξεκινά επιταχυνόµενο µε σταθερή επιτάχυνση 2 m/s 2 ενώ άλλο αυτοκίνητο Β περνά την ίδια στιγµή κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα 16 m/s. α) Ποιά χρονική στιγµή και σε ποια απόσταση από τα φώτα τροχαίας ϑα συναντηθούν ; ϐ) Να γίνουν στο ίδιο διάγραµµα γραϕική παράσταση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου και για τα δύο κινητά. (2006) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.6- Αυτοκίνητο κινείται ευθύγραµµα σε οριζόντιο δρόµο µε ταχύτητα σταθεϱού µέτρου υ1 = 36 Km/h. Ο οδηγός πατά τα φρένα και το αυτοκίνητο σταµατά σε απόσταση 10m. Το ίδιο αυτοκίνητο κινείται τώρα ευθύγραµµα στον ίδιο δρόµο µε ταχύτητα σταθερού µέτρου υ2 = 72 Km/h. Ο οδηγός αντιλαµβάνεται µπροστά του γατάκι στο µέσο του δρόµου. Πατά τα φρένα και το αυτοκίνητο αποκτά την ίδια όπως και στην πρώτη περίπτωση σταθεϱή επιβράδυνση. Τη στιγµή που το αυτοκίνητο αρχίζει να επιβραδύνεται το γατάκι ϐρίσκεται σε απόσταση 32m από αυτό. Να ϐρείτε αν το αυτοκίνητο ϑα χτυπήσει το γατάκι ή όχι. (2007)

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 33 ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.7- Σχήµα 2.32: Η µεταβολή της ταχύτητας ως συνάρτηση του χρόνου σώµατος που κινείται ευθύγραµµα φαίνεται στη γραϕική παράσταση (Σχ. 2.32). α) Να περιγραϕεί το είδος της κίνησης και να υπολογιστεί η επιτάχυνση στα χρονικά διαστήµατα : (i) Από 0s µέχρι και 5s. (ii) Από 5s µέχρι και 10s. (iii) Από 10s µέχρι και 20s. ϐ) Να υπολογιστεί το διάστηµα που κάλυψε το σώµα κατά την κίνησή του από τη χρονική στιγµή t1 = 0s µέχρι και τη χρονική στιγµή t2 = 20s. γ) Να υπολογιστεί η συνολική µετατόπιση του σώµατος στα πρώτα 20 δευτερόλεπτα της κίνησής του. (2007) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.8- Η γραϕική παράσταση της επιτάχυνσης α του σώµατος σε σχέση µε το χρόνο t φαίνεται στο παρακάτω σχήµα 2.33. Η ταχύτητα του σώµατος στο 20 o δευτερόλεπτο της κίνησής του είναι ίση µε µηδέν. (α) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώµατος τη χρονική στιγµή t = 0s.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ Σχήµα 2.33: (ϐ) Να υπολογιστεί το µέτρο της µέσης διανυσµατικής ταχύτητας στο χρονικό διάστηµα από 0s µέχρι και 20s. (γ) Να γίνουν οι γραϕικές παραστάσεις : i) της ταχύτητας υ σε σχέση µε το χρόνο t για το χρονικό διάστηµα από 0s µέχρι και 20s. ii) από 0s µέχρι και 20s. της µετατόπισης x σε σχέση µε το χρόνο t για το χρονικό διάστηµα (δ) Σε ποια χρονικά διαστήµατα η συνισταµένη δύναµη είναι : i) ίση µε µηδέν, ii) έχει την ίδια φορά µε την ταχύτητα, iii) έχει αντίθετη φορά µε την ταχύτητα. Να δικαιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας. (2008) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.9- ύο µοντέλα αυτοκινήτων ϐρίσκονται αρχικά (για t = 0s) σε απόσταση l = 100m το ένα από το άλλο. Κινούνται ευθύγραµµα όπως φαίνεται στο σχήµα 2.34. ίνονται για κάθε µοντέλο αυτοκινήτου (κινητό) η γραϕική παράσταση της ταχύτητας σε σχέση µε το χρόνο.

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 35 Σχήµα 2.34: (α) Να υπολογιστεί ο χρόνος που µεσολαβεί από τη στιγµή που τα δύο µοντέλα αυτοκινήτων ϐρίσκονται στις ϑέσεις Α και Β αντίστοιχα, µέχρι που να συναντηθούν. (ϐ) Πόσο απέχει το σηµείο της συνάντησης από το σηµείο Α ; (γ) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες u1 και u2 των δύο µοντέλων κατά τη στιγµή της συνάντησης. (2008) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.10- ύο µοντέλα αυτοκινήτων, κινούνται ταυτόχρονα στην ίδια ευθεία ΑΒ και κατευθύνεται το ένα προς το άλλο. Σχήµα 2.35: Το µοντέλο 1 περνά τη χρονική στιγµή t από το σηµείο Α µε ταχύτητα u1 και το µοντέλο 2 περνά την ίδια ακριβώς χρονική στιγµή από το σηµείο Β µε ταχύτητα u2. Η επιτάχυνση του µοντέλου 1 είναι α1 και έχει φορά αντίθετη µε τη φορά της u1 ενώ η επιτάχυνση του µοντέλου 2 είναι α2 και έχει φορά αντίθετη µε τη φορά της u2.

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ Στη διάρκεια της κίνησής τους συναντούνται δύο φορές. Το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί µεταξύ των δύο συναντήσεων τους είναι t. Να υπολογιστεί η απόσταση ΑΒ. (2008) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.11- Σχήµα 2.36: Κινητό εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση και το διάγραµµα της ταχύτητας µε το χρόνο φαίνεται στο σχήµα 2.36. Τη χρονική στιγµή t = 0s το κινητό ϐρίσκεται στη ϑέση x0 = 5m. (α) Να γίνει σε ϐαθµολογηµένους άξονες το διάγραµµα της επιτάχυνσης α και του χρόνου t για το χρονικό διάστηµα από 0s έως και 6s. (ϐ) Να γίνει σε ϐαθµολογηµένους άξονες το διάγραµµα της ϑέσης x του κινητού και του χρόνου t για το χρονικό διάστηµα από 0s έως και 6s. (γ) Να υπολογιστεί το διάστηµα που διάνυσε το κινητό για το χρονικό διάστηµα από 0s έως και 6s. (δ) Να υπολογιστεί το µέτρο της µετατόπισης του κινητού και του χρόνου t για το χρονικό διάστηµα από 0s έως και 6s. (2009) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.12- ύο µοντέλα αυτοκινήτων το K1 και το K2 κινούνται ευθύγραµµα σε παϱάλληλες τροχιές (Σχ. 2.36).

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 37 Σχήµα 2.37: Το K1 κινείται µε σταθερή επιβράδυνση µέτρου α1 = 0,36m/s 2. Το K2 κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου u2 = 20m/s. Τη χρονική στιγµή t = 0s το K1 έχει ταχύτητα µέτρου u01 = 30m/s και ϐρίσκεται στη ϑέση X = 0m. Την ίδια χρονική στιγµή το K2 ϐρίσκεται στη ϑέση X0 = 50m. (α) Να υπολογίσετε τις ϑέσεις Xα,Xβ που τα δύο µοντέλα αυτοκινήτων ϑα ϐρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο. (ϐ) Να υπολογίσετε τις ταχύτητες uα και uβ που έχει το K1 όταν ϐρίσκεται δίπλα από το K2. (γ) Να υπολογίσετε την επιβράδυνση α 1 που πρέπει να έχει το K1 έτσι ώστε να ϐρεθεί δίπλα από το K2 µια µόνο φορά. Να ϑεωρήσετε ότι τα µεγέθη u2,u01 και X0 παραµένουν τα ίδια όπως πιο πάνω. (δ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα u1 που ϑα έχει το K1 όταν ϑα ϐρίσκεται δίπλα στο K2 στην περίπτωση του ερωτήµατος (γ). (2009) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.13- Ενας λαγός που ϐρίσκεται µέσα σε ένα χωράϕι τρέχει µε ταχύτητα µέτρου 2 m/s για να µπει µέσα στο λαγούµι του (µία τρύπα µέσα στο έδαϕος) για ασϕάλεια, προσπαθώντας να γλυτώσει από ένα κυνηγετικό σκύλο που τρέχει µε ταχύτητα µέτρου 4 m/s. Σχήµα 2.38: Ο σκύλος και ο λαγός άρχισαν να τρέχουν τη χρονική στιγµή t = 0s όταν η

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ µεταξύ τους απόσταση ήταν 30m. (Θεωρείστε ότι λαγός και σκύλος κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία). α)να υπολογίσετε τη µέγιστη απόσταση ασϕάλειας του λαγού από το λαγούµι, για την οποία ο λαγός ϑα γλυτώσει από τα δόντια του σκύλου. ϐ) Θεωρώντας ότι ο λαγός ϐρίσκεται στη µέγιστη απόσταση ασϕαλείας από το λαγούµι, να γίνουν τα διαγράµµατα : i. Θέσης των δύο Ϲώων σε σχέση µε το χρόνο x = f(t) σε κοινούς άξονες, από τη χρονική στιγµή t = 0s µέχρι τη στιγµή που ο λαγός φτάνει στο λαγούµι. ii. Ταχύτητας των δύο Ϲώων σε σχέση µε το χρόνο υ = f(t) σε κοινούς άξονες, από τη χρονική στιγµή t = 0s µέχρι τη στιγµή που ο λαγός φτάνει στο λαγούµι. γ) Πότε ο λαγός κινείται πιο γρήγορα Οταν έχει ταχύτητα µέτρου 2 m/s ή όταν έχει ταχύτητα µέτρου 2 km/h; Να εξηγήσετε την απάντηση σας. (2010) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.14- Σχήµα 2.39: ύο αυτοκίνητα Α και Β κινούνται πάνω στον ίδιο ευθύγραµµο δρόµο, διπλής κατεύθυνσης. Στο σχήµα 2.39, φαίνεται το διάγραµµα ϑέσης-χρόνου των δύο κινητών. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κάθε αυτοκινήτου. ϐ) Να κάνετε ένα σχεδιάγραµµα στο οποίο να φαίνεται η αρχή του συστήµατος αναϕοράς, η ϑέση και το διάνυσµα των ταχυτήτων των δύο αυτοκινήτων τη χρονική στιγµή t = 0s. γ) Να υπολογίσετε το συνολικό διάστηµα που διάνυσε το κάθε αυτοκίνητο µέχρι τη χρονική στιγµή t = 12s.

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 39 δ) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγµή που ϑα συναντηθούν τα δύο αυτοκίνητα. (2010) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.15- Σχήµα 2.40: Ο Αίσωπος ένας αρχαίος Ελληνας, έγραϕε κάποιες µικρές ιστορίες, τους «µύθους», µέσα από τους οποίους έδινε κάποια διδάγµατα. Ενας τέτοιος µύθος ήταν «Ο λαγός και η χελώνα». Σε αυτή την ιστορία ο λαγός κορόιδευε τη χελώνα ότι ήταν πολύ αργή. Η χελώνα του πρότεινε ένα αγώνα δρόµου. Ορίστηκαν η γραµµή εκκίνησης και τερµατισµού και ότι η απόσταση που ϑα κάλυπταν ϑα ήταν 540 m. Τα δύο Ϲωάκια στάθηκαν στη γραµµή εκκίνησης (x = 0 m) και µία αλεπού έδωσε το σύνθηµα έναρξης του αγώνα και ο αγώνας ξεκίνησε (t = 0 s). Η χελώνα χωρίς να χάσει χρόνο άρχισε να περπατάει µε ϱυθµό 3 m/min. Ο λαγός άρχισε να τρέχει µε σταθερή ταχύτητα 1,2 m/s και αϕού έτρεξε για 120 s, είδε ότι η χελώνα είχε µείνει αρκετά πίσω και έτσι σκέϕτηκε να ξεκουραστεί κάτω από ένα πεύκο και αποκοιµήθηκε. Η χελώνα συνέχισε να περπατάει µε τον ίδιο ϱυθµό. Οταν ξύπνησε ο λαγός µετά από 3 ώρες, ξεκίνησε να τρέχει ξανά µε ταχύτητα 2 m/s. Καθώς έτρεχε για 1,5 λεπτό αϕού ξύπνησε, δεν έβλεπε τη χελώνα και σκέϕτηκε να τρέξει µε µικρότερη ταχύτητα και έτσι άρχισε να τρέχει µε 1 m/s µέχρι τον τερµατισµό. Εκεί όµως έκθαµβος είδε τη χελώνα να τον περιµένει κουνώντας το κεϕάλι της πέρα δώθε. α) Να υπολογίσετε το χρόνο που χρειάστηκε η χελώνα να τερµατίσει. ϐ) Να υπολογίσετε πόσο χρόνο περίµενε η χελώνα το λαγό να τερµατίσει. γ) Να υπολογίσετε τη µέση ταχύτητα της χελώνας και τη µέση ταχύτητα του λαγού. (2010)

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.16- Σχήµα 2.41: Το σχήµα 2.41 δείχνει τις γραϕικές παραστάσεις, x = f(t), της ϑέσης δύο σωµάτων Α και Β, που κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία, σε σχέση µε το χρόνο. α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώµατος Α. ϐ. Να προσδιορίσετε σε ποια ϑέση και ποια χρονική στιγµή τα δύο σώµατα συναντώνται. γ. Να γράψετε πόση είναι η ταχύτητα του σώµατος Β τη στιγµή της συνάντησης. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. δ. Αν ο ϱυθµός µεταβολής της ταχύτητας είναι σταθερός να περιγράψετε πλήρως την κίνηση του σώµατος Β. ε. Να υπολογίσετε το διάστηµα που διάνυσε το κάθε σώµα από τη χρονική στιγµή t = 0 µέχρι τη χρονική στιγµή t = 9 s. στ. Να εξηγήσετε αν το διάστηµα που διάνυσε το σώµα Β στο χρονικό διάστηµα 0 9 s και η αντίστοιχη µετατόπιση του έχουν το ίδιο µέτρο. Ϲ. Αν η αρχική ταχύτητα του σώµατος Β ήταν uo = 12 m/s και ο ϱυθµός µεταβολής της είναι σταθερός, i. Να υπολογίσετε την επιτάχυνσή του. ii. Να σχεδιάσετε, στους ίδιους ϐαθµολογηµένους άξονες, τις γραϕικές παραστάσεις, u = f(t), της ταχύτητας των δύο σωµάτων Α και Β σε σχέση µε το χρόνο για 0 t 9 s. (2011)

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 41 ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.17- Σχήµα 2.42: ύο σώµατα Α και Β κινούνται σε ευθεία γραµµή και οι µετατοπίσεις τους σε συνάρτηση µε το χρόνο φαίνονται στο σχήµα 2.42. α) Να περιγράψετε το είδος της κίνησης του σώµατος Β για το χρονικό διάστηµα των 22s. ϐ) Να περιγράψετε το είδος της κίνησης του σώµατος Α για το χρονικό διάστηµα των 22s. γ) Να συγκρίνετε το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος Α στα πρώτα 10s της κίνησης του, µε το µέτρο της ταχύτητας του στο χρονικό διάστηµα από 16s µέχρι τα 22s. δ) Να συγκρίνετε την τελική µετατόπιση του κινητού Α µε αυτή του Β. ε) Να συγκρίνετε το ολικό διανυθέν διάστηµα του κινητού Α µε αυτό του Β. (2012) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.18- ύο κινητά Α και Β κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία µε την ίδια κατεύθυνση. Το κινητό Α κινείται ισοταχώς µε ταχύτητα VA = 72km/h, ενώ απέχει, κατά τη χρονική στιγµή t = 0s, απόσταση 600m από το κινητό Β (ϐλέπε το πιο κάτω σχήµα 2.43), το οποίο επίσης κινείται ισοταχώς µε ταχύτητα VB = 36km/h. Ι. Να ϐρεθεί η απόσταση που ϑα χωρίζει τα δύο κινητά την χρονική στιγµή t = 30s. ΙΙ. Ακριβώς τη χρονική στιγµή t = 30s το κινητό Β αρχίζει να επιβραδύνεται µε σταθερή επιβράδυνση αb = 1m/s 2, ενώ το κινητό Α αρχίζει να επιταχύνεται σταθερά µε επιτάχυνση αa = 10m/s 2. Να ϐρεθεί η απόσταση που χωρίζει τα δύο κινητά µετά από χρόνο t = 5s.

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ Σχήµα 2.43: ΙΙΙ. Σε ποία χρονική στιγµή το κινητό Α ϑα ϐρίσκεται στο ίδιο σηµείο µε το κινητό Β; Που ϑα είναι αυτό το σηµείο σε σχέση µε την ϑέση του κινητού Α κατά την χρονική στιγµή t = 5s; (2013) ΑΣΚΗΣΗ -Θ.Π.Ο.Φ.19- ύο αυτοκίνητα κινούνται ισοταχώς στη ίδια ευθεία γραµµή µε αντίθετες κατευθύνσεις και µε κίνδυνο να συγκρουστούν. Η ταχύτητα του Α είναι VA = 50m/s και η ταχύτητα του Β είναι VB = 30m/s ενώ η απόσταση µεταξύ τους, τη χρονική στιγµή t = 0, είναι 200m. Αυτή τη χρονική στιγµή (t = 0) ο οδηγός του Α αντιλαµβάνεται το αυτοκίνητο Β και εϕαρµόζει τα φρένα του αυτοκινήτου του προσδίδοντας σε αυτό επιβράδυνση αa = 10m/s 2. Ο οδηγός του αυτοκινήτου Β το οποίο κινείται ισοταχώς αντιλαµβάνεται µετά παρέλευση 2s τον κίνδυνο σύγκρουσης και εϕαρµόζει τα φρένα του δικού του αυτοκινήτου προσδίδοντας επιβράδυνση αb = 15m/s 2. Ι. Να εξετάσετε, µε λογιστικό (αριθµητικό) τρόπο, κατά πόσο ϑα υπάρξει σύγκρουση, ποια χρονική στιγµή και σε ποιο σηµείο. ΙΙ. Να ϐρεθεί η µετατόπιση των αυτοκινήτων Α και Β. ΙΙΙ. Να κάνετε σε ϐαθµολογηµένους άξονες τις γραϕικές παραστάσεις : (Α) VA t, VB t, (Β) XA t, XB t, και (Γ) αa t, αb t. (2013)

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 43 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1ο Α. Ερωτήσεις Σωστού - Λάθους Β. Ποιο είναι το είδος της κίνησης καθεµιάς από τις ευθύγραµµες κινήσεις για τις οποίες δίνονται οι πληροϕορίες: α. υ =σταθερή. ϐ. α = 0. γ. α =σταθερή και υ,α έχουν την ίδια κατεύθυνση. δ. α =σταθερή και υ,α έχουν αντίθετες κατευθύνσεις. (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 2ο α. Σχήµα 2.44: Η γραϕική παράσταση της ταχύτητας v µε το χρόνο t ενός σώµατος σε µια ευθύγραµµη κίνηση φαίνεται στο σχήµα 2.44. Βρείτε το διάστηµα s και τη

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ µετατόπιση x στο κοµµάτι της τροχιάς στο οποίο το σώµα εκτελούσε κίνηση µε τη µέγιστη επιτάχυνση. (Μονάδες 15) ϐ. Ενα αυτοκίνητο έχει κινηθεί µε ταχύτητα v1 στο πρώτο µισό της ποϱείας του, και µε ταχύτητα v2 στο δεύτερο µισό της πορείας του, κινούµενο προς την ίδια κατεύθυνση. Ποια είναι η µέση ταχύτητα του αυτοκινήτου ; (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 3ο ύο κινητά Α, Β ξεκινούν ταυτόχρονα τη χρονική στιγµή t = 0 από το ίδιο σηµείο x = 0 κινούµενα κατά την ίδια φορά. Το κινητό Α έχει τη χρονική στιγµή t = 0 ταχύτητα υ1 = 36km/h και κινείται µε επιτάχυνση α1 = 2m/s 2, ενώ το κινητό Β έχει την ίδια στιγµή ταχύτητα υ2 = 72km/h και κινείται µε επιβράδυνση α2 = 2m/s 2. α. Ποιό από τα δύο κινητά προηγείται τη χρονική στιγµή t = 4; (Μονάδες 8) ϐ. Ποιό από τα δύο κινητά Α, Β προηγείται όταν αυτά αποκτήσουν ίσες ταχύτητες ; (Μονάδες 8) γ. Ποιά είναι η ϑέση των δύο κινητών τη στιγµή που ϑα ξανασυναντηθούν ; Να γίνουν σε κοινούς άξονες τα διαγράµµατα x t, υ t αι α t για τα δύο κινητά µέχρι τη στιγµή που ϑα ξανασυναντηθούν. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 4ο Ενας µαθητής, στέκεται στη µια πλευρά ενός ευθύγραµµου δρόµου. Σε µια στιγµή περνάει εµπρός του ένα αυτοκίνητο το οποίο κινείται µε σταθερή ταχύτητα 36km/h. Μετά από 10s, το αυτοκίνητο ξεκινά να επιταχύνεται µε σταθερή επιτάχυνση α = 2m/s 2 για 5s. Ακολούθως, πατώντας ο οδηγός το φρένο επιβραδύνει µέχρι να φτάσει σε ένα φανάρι µε µηδενική ταχύτητα. Το αυτοκίνητο φτάνει στο φανάρι σε 25s από τη στιγµή που πέρασε από το µαθητή. α. Θεωρώντας την προς τα δεξιά του µαθητή κατεύθυνση ως ϑετική, Ϲητείται να ϐρεθεί η απόσταση του φαναριού από τον µαθητή. (Μονάδες 15) ϐ. Να γίνουν οι γραϕικές παραστάσεις της ταχύτητας και της ϑέσης του αυτοκινήτου, µέχρι τη στιγµή που φτάνει στο φανάρι, ϑεωρώντας x = 0 τη

2.3. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΟΜΑΛΑΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗΚΙΝΗΣΗ 45 ϑέση του µαθητή. (Μονάδες 10)

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ2. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣΚΙΝΗΣΕΙΣ

Βιβλιογραϕία [1] ΙΕΘΝΕΙΣ ΟΛΥΜΠΙΑ ΕΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1967-1997. Εκδόσεις Κάτοπτρο. [2] ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ, Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ, Υπουργείο Παιδείας δια ϐίου µάθησης και Θρησκευµάτων, ΙΤΥΕ ΙΟΦΑΝΤΟΣ. 47