Φ.7 είξετε ότι, για ένα σωµατίδιο µε µάζα ηρεµίας m 0, το οποίο κινείται µε ταχύτητα υκαι έχει ορµή pκαι κινητική ενέργεια Κ, ισχύει η σχέση pυ = + / K + K m c Η κινητική ενέργεια του σωµατιδίου είναι K = m0 c ( γ ) () και η ορµή του p= mγυ. () Η Εξ. () δίνει K γ = + m c 0 0 = β = γ Από τις Εξ. () και () προκύπτει ότι 0 β = ( K + / m0c ) ( + K / m0c ) pυ m0γυ β = = K m0 c ( γ ) / γ Αντικαθιστώντας για τα β και γ, και, τελικά, pυ = = K ( + K / m0c ) / + K m0c ( ) ( + K / m0c ) K / m 0c + K / m0c + K / m0c = K / m0c K / m0c + / 0 + / 0 pυ + = = + K K m c K m c
Φ.8 Ένα φωτόνιο µε ενέργεια Ε, συγκρούεται µε ένα ηλεκτρόνιο που κινείται σε κατεύθυνση αντίθετη από τη δική του. Μετά την κρούση το φωτόνιο εξακολουθεί να έχει ενέργεια Εκαι κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση. είξετε ότι, για να συµβεί αυτό, το ηλεκτρόνιο πρέπει να έχει αρχικά ορµή µε µέτρο ίσο µε E / c. Να δειχθεί επίσης ότι η τελική ταχύτητα του ηλεκτρονίου είναι υ = c + m0c / E, όπου m0c είναι η ενέργεια ηρεµίας του ηλεκτρονίου. ( ) Η σύγκρουση φαίνεται στο σχήµα. Εείναι η ενέργεια του φωτονίου και p και p είναι η ορµή και E και E η ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου προ και µετά τη σύγκρουση, όπως φαίνεται στο σχήµα. Οι αρχές της διατήρησης δίνουν: Ενέργεια: E+ E = E+ E () E E Ορµή: p= + p () c c όπου τα pκαι p έχουν τις κατευθύνσεις που φαίνονται στο σχήµα. Από την Εξ. () προκύπτει ότι E = E και, κατά συνέπεια, και p = p. Η ολική ορµή του συστήµατος είναι, εποµένως, ίση µε µηδέν. Με αυτά τα δεδοµένα, η Εξ. () δίνει E p ή και c = m0c m0c βγ = E = = ( β ) E β γ β
Εποµένως, m0c + = E β ή β = ( ) + m c / E 0 και, τελικά, υ = c ( m ) 0c E + / Φ.0 Ποια είναι η ενέργεια κατωφλίου για την παραγωγή ποζιτρονίου ( + ) κατά τη σύγκρουση ενός φωτονίου, γ,µε ακίνητο ηλεκτρόνιο, στην + αντίδραση γ + + + ; ( ίνεται, για τα και +, m c = 0,5 MV ). Για διαθέσιµη ενέργεια ίση µε την ενέργεια κατωφλίου, τα σωµατίδια που παράγονται θα είναι ακίνητα στο σύστηµα µηδενικής ορµής. Στο σύστηµα αναφοράς του εργαστηρίου, εποµένως, όλα τα παραγόµενα σωµατίδια θα κινούνται µε την ίδια ταχύτητα, έστω β c, όπως φαίνεται στο σχήµα.
Από τις αρχές διατήρησης, έχουµε: Ενέργεια: E + m c = 3m c γ () γ Eγ Ορµή: = 3m cγβ () c Αντικαθιστώντας για την από την Εξ. () στην (), έχουµε 3m c βγ + m c = 3m c γ από την οποία προκύπτει ότι β 3βγ + = 3γ 3( β ) γ = = 9( β ) = + β + β 3 4 5 Εποµένως, β = και γ = =. 5 β 3 4 5 Η Εξ. () δίνει Eγ = 3mc γβ = 3mc ή E 4. 5 3 = γ m c Αντικαθιστώντας m c = 0,5 MV στην E m c, = γ 4 βρίσκουµε για την ενέργεια κατωφλίου του φωτονίου την τιµή E γ =,044 MV
Φ.4 Ένα σωµατίδιο διασπάται παράγοντας ένα και ένα. Και τα δύο πιόνια έχουν ορµή ίση µε 530 MV/c και κινούνται σε κατευθύνσεις που είναι κάθετες µεταξύ τους. Να βρεθεί η µάζα ηρεµίας του αρχικού σωµατιδίου. ίνεται η µάζα ηρεµίας των π ± ίση µε 39 MV/c. Έστω ότι το προσπίπτον σωµατίδιο έχει µάζα ηρεµίας Μ, ενέργεια Εκαι ορµή p. Τα δύο πιόνια, π + και π, που παράγονται, έχουν ορµές που είναι κάθετες µεταξύ τους και έχουν το ίδιο µέτρο, p ±. Αφού έχουν την ίδια µάζα ηρεµίας, θα έχουν και την ίδια ολική ενέργεια, E ± ιατήρηση της ενέργειας: E= E + E = E () ιατήρηση της ορµής y: p sinθ = p sin( π / θ ) = p cosθ () ιατήρηση της ορµής x: p= p (cosθ + sin θ ) (3) π + ± ± ± ± ± ± ± π ίνονται: p 530 MV/ c και m 39 MV/ c. = = ± ± Εποµένως, E m c p c ± = ( ± ) + ( ± ) = 39 + 530 = 548 MV και E= E ± = 096 MV. Η Εξ. () δίνει sinθ = cosθ, o οπότε θ = 45 και sinθ = cosθ = /. Αντικαθιστώντας στην Εξ. (3), p= p ± = 750 MV/c. Τελικά, Mc = E ( pc) = 096 750 = 799 MV και M = 799 MV/ c.
Φ.5 Ένα ουδέτερο πιόνιο διασπάται σε δύο φωτόνια που κινούνται πάνω σε κοινή ευθεία. Το ένα φωτόνιο έχει διπλάσια ενέργεια από το άλλο. είξετε ότι η αρχική ταχύτητα του πιονίου ήταν c / 3. Θα θεωρήσουµε ότι η ταχύτητα του πιονίου είναι υκαι η ολική του ενέργεια [Σχ. (α)]. εδοµένου ότι τα δύο φωτόνια κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία και έχουν διαφορετικές ενέργειες ( και ) και ορµές ( και ), για να διατηρείται η ορµή στην κατεύθυνση που είναι κάθετη στην κατεύθυνση κίνησης του πιονίου, θα πρέπει οι εγκάρσιες ορµές των φωτονίων να είναι ίσες µε µηδέν. Έτσι, τα δύο φωτόνια θα πρέπει να κινούνται πάνω στην ευθεία κίνησης του πιονίου. Θα εξετάσουµε δύο περιπτώσεις,. την περίπτωση κατά την οποία τα δύο φωτόνια κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση [Σχ. (β)] και. την περίπτωση κατά την οποία τα δύο φωτόνια κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις [Σχ. (γ)]. (α) Με αναφορά στα σχήµατα (α) και (β), οι αρχές της διατήρησης δίνουν: ιατήρηση της ενέργειας: E0 = E+ E= 3E () ιατήρηση της ορµής: E E 3E m0γυ= + = c c c () Εποµένως, από την Εξ. () m c γβ = E (3) Όµως, 3E= E = m c γ (4) 0 3 0 0
Οι Εξ. (3) και (4) δίνουν β = που είναι αδύνατο για πιόνιο. Συµπεραίνουµε λοιπόν ότι τα φωτόνια δεν µπορούν να κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση. (β) Για να είναι η τελική ορµή στην ίδια κατεύθυνση µε την αρχική, του πιονίου, το φωτόνιο µε τη µεγαλύτερη ενέργεια, Ε, που έχει και τη µεγαλύτερη ορµή, πρέπει να κινείται προς την κατεύθυνση κίνησης του πιονίου. Τα φωτόνια πρέπει, εποµένως, να έχουν τις κατευθύνσεις που φαίνονται στο σχήµα (γ). Με αναφορά στα σχήµατα (α) και (γ), οι αρχές της διατήρησης δίνουν: ιατήρηση της ενέργειας: E0 = E+ E= 3E (5) ιατήρηση της ορµής: E E E m0γυ= = c c c (6) Εποµένως, από την Εξ. (6) m c γβ = E (7) Όµως, E= E = m c γ (8) Οι Εξ. (7) και (8) δίνουν 0 3 0 3 0 β = και υ= c / 3 3
Φ.3 Ποια είναι η ενέργεια κατωφλίου για την παραγωγή αντιπρωτονίου ( p ) κατά τη σύγκρουση ηλεκτρονίου µε ακίνητο πρωτόνιο σύµφωνα µε την αντίδραση + p + p+ p+ p ; ίνονται οι ενέργειες ηρεµίας m c = 0,5 MV και m c = 938 MV. p Για διαθέσιµη ενέργεια ίση µε την ενέργεια κατωφλίου, τα σωµατίδια που παράγονται θα είναι ακίνητα στο σύστηµα µηδενικής ορµής. Στο σύστηµα αναφοράς του εργαστηρίου, εποµένως, όλα τα παραγόµενα σωµατίδια θα κινούνται µε την ίδια ταχύτητα, έστω β c, όπως φαίνεται στο σχήµα. Εποµένως, έχουµε: ( ) ιατήρηση της ενέργειας: E + m c = 3m + m c γ () p p ( ) ( ) ιατήρηση της ορµής: p c= E m c = 3m + m c βγ () p όπου E και pείναι η ενέργεια και ορµή, αντίστοιχα, του προσπίπτοντος ηλεκτρονίου. Οι Εξ. () και () δίνουν ( 3 ) γ ( 3 ) γ ( ) 4 ( 3mp m) c β γ ( mc ) E = m + m c m c m + m c + m c = 4 p p p p = + +
και Όµως, γ Εποµένως, ( ) ( ) ( ) ( β ) = και έτσι 3m + m γ β m 3m + m γ + m m = 0 p p p p 9m 6m m m + + m ( 3m m ) γ m m p p Η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι: Αντικαθιστώντας, βρίσκουµε την ενέργεια κατωφλίου + + = 0 ( + ) p p p 0m + 6m m 5m + 3m γ = = m 3m m 3m + m ( 3 ) E = m + m p p p p p p p p 5mp+ 3m c m c = ( 4m + 3m ) c 3m + m p p ( ) K = E m c = m + m c p K = ( 938+ 0, 5) = 3753 MV 55 Φ.5 Η βδιάσπαση του Cr 55 55 4 γίνεται ως εξής: 4Cr 5Mn+. Ποια είναι η κινητική ενέργεια που θα δοθεί στο ηλεκτρόνιο, αν οι δύο πυρήνες θεωρούνται ακίνητοι; ίνονται οι µάζες των πυρήνων M Cr-55 = 54,979 u και M Mn-55 = 54,944 u και του ηλεκτρονίου, m = 0,00055 u. Το έλλειµµα µάζας στην αντίδραση είναι: M = M Cr-55 M Mn-55 m = 54,979 54,944 0, 0006= 0, 009 u Η µάζα του ηλεκτρονίου πρέπει να συµπεριληφθεί γιατί το ηλεκτρόνιο 55 προέρχεται από τον πυρήνα του Cr 4 και οι µάζες που δίνονται είναι αυτές των πυρήνων. Η ενέργεια που ελευθερώνεται είναι: E= Mc = = (0,009 u) (93,494 MV/u),7 MV και αυτή θα δοθεί στο ηλεκτρόνιο ως κινητική ενέργεια, αφού οι δύο πυρήνες θεωρούνται ακίνητοι.
0 + ΧΧ.5.3 Σε µια διάσπαση K π + π, οι ορµές των παραγόµενων σωµατιδίων έχουν και οι δύο µέτρο ίσο µε pπ = 300 MV / c και o 0 σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία ίση µε 70. Ποια είναι η µάζα mτου K σε MV / c ; Για τα πιόνια είναι m c = 40 MV. Η γεωµετρία της διάσπασης φαίνεται στο σχήµα. Επειδή οι ορµές των δύο παραγόµενων σωµατιδίων έχουν ίσα µέτρα, τα δύο πιόνια θα έχουν και ίσες ολικές ενέργειες, έστω E π. Επίσης, για να διατηρείται (ίση µε µηδέν) η εγκάρσια ορµή, θα πρέπει να είναι π θ= θ = 70 / = 35 o o () Οι αρχές της διατήρησης δίνουν: K K π Ενέργεια m c γ = E () ιαµήκης ορµή m cβ γ = p cosθ (3) K K K π Υψώνοντας τις δύο αυτές εξισώσεις στο τετράγωνο, αφού πολλαπλασιάσουµε την Εξ. (3) επί c, και αφαιρώντας, βρίσκουµε ( β ) γ = 4 4 cos θ = 4( + cos θ ) 4 4 K K K π π π π π m c E p c m c p c p c ( β ) γ = 4( + sin θ ) 4 4 K K K π π m c m c p c (4)
Επειδή είναι ( K) β γ =, η τελευταία εξίσωση γράφεται και ως 4 ή m c = m c + p c sin θ (5) Αντικαθιστώντας, έχουµε K ( ) 4 4 K = 4 π + π sin m c m c p c θ K π π o mkc = 39 + 300 sin 35 = 444 MV και m K = 444 MV/ c ΧΧ.3.5 ύο γεγονότα συµβαίνουν στο ίδιο σηµείο στο αδρανειακό σύστηµα S. είξετε ότι η χρονική σειρά µε την οποία συµβαίνουν είναι η ίδια σε όλα τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς. είξετε επίσης ότι η χρονική απόσταση µεταξύ τους είναι η ελάχιστη στο σύστηµα S. Έστω ότι οι συντεταγµένες των δύο γεγονότων στο σύστηµα S είναι: Γεγονός : x = x, y = y, z = z, t Γεγονός : x = x, y = y, z = z, t Χωρίς απώλεια στη γενικότητα, θα θεωρήσουµε ότι είναι t > t, δηλαδή ότι το συµβάν προηγείται του στο σύστηµα S. Οι αντίστοιχες συντεταγµένες σε ένα άλλο αδρανειακό σύστηµα S είναι: V V Γεγονός : x =. γ( x V t) = γ( x Vt) t = γ t x = γ t x c c Γεγονός : ( ) γ( ) x = γ x V t = x Vt V V t = γ t x = γ t x c c
Η διαφορά ανάµεσα στους χρόνους των δύο γεγονότων είναι ( ) t t = γ t t Επειδή το γ είναι πάντοτε θετικό, αν είναι t t > 0, τότε και t t > 0 και η χρονική σειρά µε την οποία συµβαίνουν τα δύο γεγονότα είναι η ίδια σε όλα τα αδρανειακά συστήµατα αναφοράς. Επίσης, είναι και εποµένως t t > t t. γ> Αυτό σηµαίνει ότι η χρονική απόσταση µεταξύ των δύο γεγονότων είναι η ελάχιστη για γ=, δηλαδή στο σύστηµα S. 6 Φ.6 Η µέση διάρκεια ζωής των ακίνητων µιονίων είναι τ =, 0 s. Τα µιόνια σε µια δέσµη παρατηρούνται στο εργαστήριο να έχουν µέση 5 διάρκεια ζωής τ E =,5 0 s. Ποια είναι η ταχύτητα των µιονίων της δέσµης; Οι µέσες διάρκειες ζωής των µιονίων στο δικό τους σύστηµα αναφοράς και στο σύστηµα του εργαστηρίου συνδέονται µέσω της σχέσης τ E = γτ, όπου γείναι ο παράγοντας Λόρεντς που αντιστοιχεί στην ταχύτητα των µιονίων. Εποµένως, 6 τ τ β β β 5 E E,5 0, 0 = =, =, = = 0, 989 γ τ τ και η ταχύτητα των µιονίων είναι V = 0,989c
4.3 Ο µέσος χρόνος ζωής των µεσονίων είναι τ 0 =,8 0 s (στο 4 δικό τους σύστηµα αναφοράς). Μια δέσµη από 0 µεσόνια π + διανύει µέσα στο εργαστήριο µια διαδροµή µήκους 59,4 mµε ταχύτητα υ= 0,99c. (α) Περίπου πόσα µεσόνια θα επιβιώσουν όταν η δέσµη φτάσει στο τέλος της διαδροµής; (β) Στον ίδιο χρόνο, πόσα µεσόνια θα επιζούσαν αν αυτά παρέµεναν σε ηρεµία; π + 8 (α) Στο σύστηµα του εργαστηρίου, τα µεσόνια διανύουν µια απόσταση 59,4 mµε ταχύτητα υ= 0,99c. Ο χρόνος που απαιτείται γι αυτό στο σύστηµα του εργαστηρίου είναι: s 59,4 8 t = = = 0 0 s υ 8 0,99 3 0 Στο σύστηµα ηρεµίας των σωµατιδίων, αυτός ο χρόνος θα φανεί µικρότερος κατά ένα παράγοντα γ, όπου γ = 0,99 = 7, 09 Εποµένως, είναι Έτσι, στο τέλος της διαδροµής θα επιζούν µεσόνια. (β) Μετά από χρόνο 8 0 0 s, στο σύστηµα ηρεµίας των µεσονίων, θα επιζούσαν περίπου N 5 µεσόνια. Οι αριθµοί είναι βεβαίως προσεγγιστικοί λόγω της στατιστικής φύσης του φαινοµένου, αλλά δείχνουν τη διαφορά που υπάρχει ανάµεσα στα δύο συστήµατα αναφοράς. 8 t 0 0 8 t= = =,8 0 s γ 7,09 t/ τ0 4 8 8 4 0 0 xp(,8 0 /,8 0 ) 0 N = N = = N 3700 t/ τ 0 4 8 8 4 7 0 0 xp( 0 0 /,8 0 ) 0 N = N = =
5.4 ύο σωµατίδια, Α και Β, το καθένα από τα οποία έχει µάζα ηρεµίας m0 = GV/ c [δηλ. είναι m0c = GV ], κινούνται, στο σύστηµα αναφοράς ενός επιταχυντή, πάνω στον άξονα των xκαι σε αντίθετες κατευθύνσεις, πλησιάζοντας το ένα το άλλο. Στο σύστηµα του επιταχυντή, το σωµατίδιο Α κινείται µε ταχύτητα υa x = 0, 6 c και το σωµατίδιο Β µε ταχύτητα υ = 0,. B x 6 c (α) Ποια είναι η ταχύτητα του σωµατιδίου Β στο σύστηµα αναφοράς του σωµατιδίου Α; (β) Ποια είναι η ενέργεια και η ορµή (σε GV / c ) του σωµατιδίου Β στο σύστηµα αναφοράς του σωµατιδίου Α; (α) Το σύστηµα αναφοράς S του σωµατιδίου Α κινείται στο σύστηµα S του εργαστηρίου µε ταχύτητα V = υax = 0,6 c. Στο ίδιο σύστηµα, το σωµατίδιο Β κινείται µε ταχύτητα υ B x = 0, 6 c. Ο µετασχηµατισµών των συνιστωσών της ταχύτητας δίνει για την ταχύτητα του Β στο σύστηµα S : υbx V υb x = υbxv c 0,6 c ( 0,6 c), υb x = = c= 0,88c 0,6 c ( 0,6 c),36 c
(β) Στο σύστηµα αναφοράς S, για υ Bx= 0,88c έχουµε β B = 0,88 και γ B =,. Εποµένως, η ενέργεια του Β είναι και η ορµή του EB = m0c γ B = ( GV / c ) c,=, GV pb x = m0cγ BβB = ( GV / c ) c, 0,88=,86 GV / c ΧΧ.5. Το µήκος κύµατος των φωτονίων από κάποιο λέηζερ είναι 633 nm. Ποια είναι η ορµή ενός τέτοιου φωτονίου; Η ορµή ενός φωτονίου δίνεται από τη σχέση, όπου Εείναι η ενέργεια του φωτονίου και σταθερά του Πλανκ. Εποµένως, 5 8 ( ) ( ) και η ορµή του φωτονίου είναι p=,96 V/ c. E hf h p= = = c c λ h= 5 4,36 0 V s hc 4,36 0 3 0 4,36 3 pc= = = = 9,96 V λ 633 0 6,33 είναι η
4 ΧΧ.5. Ένα ελατήριο έχει σταθερά k= 0 N/m. Ποια είναι η αύξηση στη µάζα του αν συµπιεστεί κατά 5 cm; Η µεταβολή στη δυναµική ενέργεια του ελατηρίου θα είναι: 4 kx U = = 0 0,05 =5 J Η αντίστοιχη µεταβολή στη µάζα του ελατηρίου θα είναι: ( ) ( ) 8 6 m= U / c = 5 J 3 0 m/s =,8 0 kg Φ.8 Ένα φωτόνιο µε ενέργεια Ε, συγκρούεται µε ένα ηλεκτρόνιο που κινείται σε κατεύθυνση αντίθετη από τη δική του. Μετά την κρούση, το φωτόνιο εξακολουθεί να έχει ενέργεια Εκαι κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση. είξετε ότι, για να συµβεί αυτό, το ηλεκτρόνιο πρέπει να έχει αρχικά ορµή µε µέτρο ίσο µε E / c. είξετε επίσης ότι η τελική ταχύτητα ( ) του ηλεκτρονίου είναι, υ= c + m0c / E όπου m0c είναι η ενέργεια ηρεµίας του ηλεκτρονίου. Η σύγκρουση φαίνεται στο σχήµα. Ε είναι η ενέργεια του φωτονίου και p και p είναι η ορµή και E και E η ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου προ και µετά τη σύγκρουση, όπως φαίνεται στο σχήµα.
Οι αρχές της διατήρησης δίνουν: Ενέργεια: E+ E = E+ E () Ορµή: E E p= + p () c c όπου τα p και p έχουν τις κατευθύνσεις που φαίνονται στο σχήµα. Από την Εξ. () προκύπτει ότι E = E και, κατά συνέπεια, και p = p. Η ολική ορµή του συστήµατος είναι, εποµένως, ίση µε µηδέν. Με αυτά τα δεδοµένα, η Εξ. () δίνει E p ή και c = m0c m0c βγ = E = = ( β ) E β γ β m0c + = δηλαδή υ= E β, β =, + m c / E ( ) c ( m ) 0c E + / 0 ΧΧ.5.37 Ένα σωµατίδιο, Α, µε µάζα ηρεµίας m A, είναι ακίνητο στο αδρανειακό σύστηµα S. Ένα δεύτερο σωµατίδιο, Β, µε µάζα ηρεµίας m B, κινείται µε ταχύτητα υ Bˆ x µέσα στο σύστηµα S. Να υπολογιστεί η ταχύτητα Vτου συστήµατος αναφοράς µηδενικής ορµής των σωµατιδίων Α και Β στο σύστηµα S. Έστω ότι το σύστηµα στο οποίο το κέντρο µάζας των δύο σωµατιδίων είναι ακίνητο είναι το S, το οποίο κινείται µε ταχύτητα ως προς το S. Το σύστηµα αναφοράς S είναι το σύστηµα αναφοράς µηδενικής ορµής των δύο σωµατιδίων.
Στο σύστηµα αυτό, οι ταχύτητες των δύο σωµατιδίων θα είναι: υb V υ A = Vxˆ, υ B = xˆ υbv c Επειδή ο ολική ορµή στο σύστηµα αυτό είναι ίση µε µηδέν, έχουµε: p A + pb = 0 και εποµένως ή m υ m υ + = 0 A A B B υa υb c m V m ( υ V ) + = 0 A B B V υbv ( υb V ) c c υbv c c c Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι m V m ( υ V ) = = A B B V υbv ( υb V ) c c c mb ( υb V ) = υbv υbv υb υbv + + 4 c c c c mb ( υb V ) = V V υ B c c c mb( υb V ) και τελικά mav = υb c η οποία µπορεί να λυθεί ως προς Vγια να δώσει υb V = m A υ + m c B B
6.8 Στο σύστηµα του εργαστηρίου, κινούµενο σωµατίδιο Χ (µε µάζα ηρεµίας m), συγκρούεται µε άλλο ακίνητο σωµατίδιο Χ και το µετατρέπει σε σωµατίδιο Υ (µε µάζα ηρεµίας M = 3m ), σύµφωνα µε την αντίδραση Χ + Χ Χ + Υ. Πόση είναι, στο σύστηµα του εργαστηρίου, η ενέργεια κατωφλίου (κινητική ενέργεια) του κινούµενου Χ για να γίνει αυτό; Θα εξετάσουµε την αντίδραση στο Σύστηµα Αναφοράς Μηδενικής Ορµής (ΣΑΜΟ). Στο σύστηµα αυτό, τα δύο αρχικά σωµατίδια Χ κινούνται µε ίσες και αντίθετες ταχύτητες, έστω ±V. Η µέγιστη ενέργεια θα είναι διαθέσιµη για τη δηµιουργία του σωµατιδίου Υ αν τα παραγόµενα Χ και Υ είναι ακίνητα στο σύστηµα αυτό. Έτσι και η ορµή παραµένει µηδενική και η διαθέσιµη ενέργεια είναι η µέγιστη δυνατή αφού τα δύο σωµατίδια δεν έχουν κινητική ενέργεια. Η αρχή της διατήρησης της ενέργειας στο σύστηµα µηδενικής ορµής δίνει mc γ = ( m+ M ) c, όπου γ = / ( V / c).
m+ M m+ 3m 3 Εποµένως γ = = = και V = c = c. m m γ Αφού το σωµατίδιο, που είναι ακίνητο στο Σύστηµα Αναφοράς του Εργαστηρίου (ΣΑΕ), έχει ταχύτητα V στο ΣΑΜΟ, προκύπτει ότι το ΣΑΜΟ κινείται µε ταχύτητα Vως προς το ΣΑΕ. Άρα η ταχύτητα του αρχικά κινούµενου σωµατιδίου Χ στο ΣΑΕ θα πρέπει να είναι V + V ( V / c) 3 4 3 υ= = c = c, υ= c + V / c + ( V / c) + 3 / 4 7 4 3 Αυτό αντιστοιχεί, στο Σ.τ.Ε. Σε β E = και γ E = 7. 7 Εποµένως, το σωµατίδιο Χ κινείται αρχικά µε ταχύτητα υ = 4 3 στο 7 c ΣΑΕ ενώ τα παραγόµενα σωµατίδια Χ και Υ κινούνται και τα δύο µε την 3 ίδια ταχύτητα V = c. Η ενέργεια κατωφλίου του αρχικά κινούµενου σωµατιδίου Χ είναι η κινητική ενέργειά του που αντιστοιχεί στην τιµή γ = που βρέθηκε: Η ολική ενέργεια στο ΣΑΕ είναι Παράγονται δύο σωµατίδια συνολικής µάζας ηρεµίας 4m, που κινούνται µε την ίδια ταχύτητα ( γ ) K = mc E = 6mc γ E 8 E = mc + mc = mc ολ V = 3 c E 7
ΧΧ.3.4 Το 85, ο Φιζώ µέτρησε την ταχύτητα του φωτός µέσα σε ένα µέσον (το νερό) που βρισκόταν σε κίνηση µέσα στο σύστηµα αναφοράς του εργαστηρίου. Θα θεωρήσουµε µια δέσµη φωτός που διαδίδεται µέσα σε µια στήλη νερού, το οποίο κινείται µε ταχύτητα υως προς το εργαστήριο. Ο δείκτης διάθλασης του νερού είναι ίσος µε nκαι εποµένως η ταχύτητα του φωτός ως προς το νερό είναι ίση µε c / n, όπου cείναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό. (α) είξετε ότι η ταχύτητα του φωτός ως προς το εργαστήριο είναι ίση µε c+ nυ u= c υ+ nc (β) Για µικρές ταχύτητες υ, δείξετε ότι η σχέση αυτή συµφωνεί, τουλάχιστον µέχρι και τον όρο της τάξης του υ / c, µε την πρόταση της «παράσυρσης» του αιθέρα από το κινούµενο µέσον, που ο Φρενέλ είχε προτείνει για την ερµηνεία του αρνητικού αποτελέσµατος των παρατηρήσεων του Αραγκό και η οποία ερµήνευσε επίσης τα αποτελέσµατα των πειραµάτων του Φιζώ. (α) Θεωρούµε το σύστηµα αναφοράς του εργαστηρίου ως το σύστηµα S, µέσα στο οποίο το νερό κινείται µε ταχύτητα υ. Θα συνδέσουµε µε το κινούµενο νερό ένα σύστηµα αναφοράς S, το οποίο, εποµένως, κινείται µε ταχύτητα υ= υ xˆ ως προς το σύστηµα S. Η ταχύτητα του φωτός µέσα στο νερό και εποµένως και ως προς το σύστηµα S είναι υ x = c = c / n.
Μετασχηµατίζοντας, βρίσκουµε την ταχύτητα του φωτός ως προς το σύστηµα του εργαστηρίου, u υ + υ c + υ c / n+ υ υ / nc x = υx = = = + υx υ / c + c υ / c + ή c+ nυ u= c υ+ nc (β) Η τελευταία σχέση µπορεί να γραφτεί και ως η οποία, προσεγγιστικά, είναι ίση µε c + nυ / c u= n + υ / nc c nυ υ c nυ υ c u n + c υ nc = n + = + c nc n n Αυτή είναι η σχέση που εξήγαγε ο Φρενέλ για να ερµηνεύσει τα αποτελέσµατα των πειραµάτων του Φιζώ. Μπορούµε, εποµένως, να πούµε ότι τα πειράµατα του Φιζώ επιβεβαιώνουν την πρόβλεψη της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας, τουλάχιστον µέχρι και τον όρο της τάξης του υ / c.