Καταστατική Προσοµοίωση των Επιδράσεων της Εγγενούς και Εξελισσόµενης Ανισοτροπίας στην Απόκριση Άµµου

Καταστατική Προσοµοίωση των Επιδράσεων της Εγγενούς και Εξελισσόµενης Ανισοτροπίας στην Απόκριση Άµµου Constitutive Simulation of the Effects of Inherent and Evolving Anisotroy on Sand Resonse ΠΑΠΑ ΗΜΗΤΡΙΟΥ, Α. Γ. ΑΦΑΛΙΑΣ, Ι. Φ. ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Ε.Μ.Π. Καθηγητής, Τοµέας Μηχανικής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Παρουσιάζεται µια διαδικασία απλής καταστατικής προσοµοίωσης της επίδρασης της εγγενούς και εξελισσόµενης ανισοτροπίας στη συµπεριφορά άµµου. Οι δύο µορφές ανισοτροπίας προσοµοιώνονται µε τον ορισµό αντίστοιχων τανυστών δοµής, και η επίδρασή τους εκτιµάται µε χρήση βαθµωτών παραµέτρων που ορίζονται επί τη βάση κοινών αναλλοίωτων των επιµέρους τανυστών δοµής και της διεύθυνσης επιβαλλόµενης φόρτισης. Οι εν λόγω βαθµωτές παράµετροι συνδέονται κατάλληλα µε το πλαστικό µέτρο κράτυνσης και τη διαστολικότητα, δύο επίσης βαθµωτούς καταστατικούς όρους που υπάρχουν σε κάθε ελαστοπλαστικό προσοµοίωµα. Η αναγκαιότητα της προτεινόµενης µεθοδολογίας επιδεικνύεται µέσω συγκρίσεων µε πειραµατικές µετρήσεις. ABSTRACT : A simle constitutive methodology is resented for the simulation of inherent and evolving anisotroy on sand resonse. The two forms of anisotroy are simulated via the definition of resective fabric tensors. Their effects are estimated with the use of scalar arameters that are defined on the basis of joint invariants of the resective fabric tensors and the direction of the alied loading. The scalar arameters are aroriately related to the lastic modulus and the dilatancy, two also scalar constitutive ingredients that exist in any elastolastic model. The necessity of the roosed methodology is manifested via comarisons with laboratory data. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ελλείψει ηλεκτρο-χηµικών δυνάµεων µεταξύ των κόκκων µιας άµµου, η ανισοτροπία της συνδέεται πρακτικά µε το σχήµα, το µέγεθος και τη δοµή των κόκκων της. Ως δοµή µιας άµµου ορίζεται ο προσανατολισµός των κόκκων, των επιπέδων επαφής των κόκκων και των κενών µεταξύ τους. Σύµφωνα µε µικρο- µηχανικές παρατηρήσεις των Oda et al (1985), Oda and Nakayama (1988) και Tobita (1989), ο προσανατολισµός των κόκκων µιας άµµου αλλάζει πολύ λίγο (αν καθόλου) κατά τη διάρκεια της φόρτισης, ακόµη και για µεγάλες παραµορφώσεις που προσεγγίζουν την Κρίσιµη Κατάσταση, αντίθετα µε τον προσανατολισµό των επιπέδων επαφής των κόκκων, τα οποία στρέφονται για να γίνουν κάθετα προς τη µέγιστη κύρια ενεργό τάση σ 1. Μάλιστα, εξίσου έντονα αλλάζει και ο προσανατολισµός των κενών µεταξύ των κόκκων στη διάρκεια της φόρτισης. Συνεπώς, σε µια άµµο υπάρχει εγγενής ανισοτροπία που δεν εξελίσσεται κατά τη διάρκεια της φόρτισης, καθώς σχετίζεται µε τον προσανατολισµό των κόκκων της άµµου, και η οποία δηµιουργείται από τον τρόπο παρασκευής του δοκιµίου στο εργαστήριο ή της διαδικασίας απόθεσης στη φύση. Αντίστοιχα, στην άµµο υπάρχει και µια έκφανση της ανισοτροπίας που εξελίσσεται κατά τη διάρκεια της φόρτισης, καθώς σχετίζεται µε τον προσανατολισµό των επιπέ-δων επαφής µεταξύ των κόκκων, και η οποία δηµιουργείται από την ιστορία φόρτισης του δοκιµίου. Για την επίδειξη της προτεινόµενης απλής µεθοδολογίας θα πρέπει να ορισθούν κάποιες γενικές αρχές εξισώσεις ενός ελαστο- 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/26 1

πλαστικού προσοµοιώµατος της µηχανικής συµπεριφοράς άµµου. Ένα τέτοιο προσο- µοίωµα δίνει ιδιαίτερη έµφαση στο λόγο αποκλίνουσας τάσης η, δηλαδή στο λόγο της αποκλίνουσας τάσης q = σ 1 σ 3 προς τη µέση ενεργό τάση = (σ 1 + σ 2 + σ 3 )/3. Αυτό επειδή οι άµµοι εµφανίζουν µεγάλες πλαστικές παρα- µορφώσεις µόνο όταν υπάρχει µεταβολή στην τιµή του η, ενώ για φόρτιση υπό η = σταθερό, οι πλαστικές παραµορφώσεις είναι οιωνεί µηδενικές. Έτσι, οι ρυθµοί επαύξησης των πλαστικών παραµορφώσεων ενός προσο- µοιώµατος άµµου ορίζονται ως: η& ε & q = ; ε& v = D ε& q (1) Κ όπου ε q = 2/3(ε 1 ε 3 ) και ε v = ε 1 + ε 2 + ε 3 είναι οι συνιστώσες της παραµόρφωσης που είναι συζυγείς ως προς τις τάσεις q και. Οι ποσότητες Κ και D είναι το πλαστικό µέτρο κράτυνσης και η διαστολικότητα του προσο- µοιώµατος, αντίστοιχα, οι οποίες, µε αντίστοιχη απλότητα, ορίζονται ως: b d ( η) ; D = A ( M η) K = h M (2) όπου Μ b είναι η µέγιστη τιµή του λόγου τάσεων η και Μ d είναι η τιµή του η στη γραµµή αλλαγής φάσης. Τα h και Α d είναι βαθµωτές παράµετροι που έχουν χρεία βαθµονόµησης. Οι Εξ. (1) και (2) ορίζουν τις γενικές αρχές ενός ελαστοπλαστικού προσοµοιώµατος για άµµους, µε τις τιµές των Μ b και Μ d να είναι συναρτήσεις του δείκτη πόρων e και της µέσης ενεργού τάσης. Ένα τέτοιο προσοµοίωµα γίνεται ιδιαίτερα εύχρηστο, αν κανείς θεωρήσει τις τιµές των Μ b και Μ d ως φθίνουσα και αύξουσα συνάρτηση της παραµέτρου κατάστασης ψ = e e c (Been and Jefferies 1985), όπου e c ο δείκτης πόρων επί της Γραµµής Κρίσιµης Κατάστασης (ΓΚΚ) για την τρέχουσα τιµή της τάσης. Αυτό προτάθηκε πρώτα από τους Manzari & Dafalias (1997), οι οποίοι γενίκευσαν και συµπλήρωσαν την αρχική ιδέα των Wood et al (1994), θεωρώντας: b b d M = M k ψ ; M = M + k ψ (3) όπου Μ η σταθερή τιµή του η στην Κρίσιµη Κατάσταση, ενώ k b και k d σταθερές προς βαθµονόµηση. Χάριν πληρότητας αναφέρεται ότι οι Li & Dafalias (2) µετέτρεψαν τις γραµµικές σχέσεις (3) σε εκθετικές. d d Στις παραγράφους που ακολουθούν παρουσιάζονται οι προτεινόµενες καταστατικές µεθοδολογίες για την προσοµοίωση της επίδρασης της ανισοτροπίας, µε αναφορά στο µόλις παρουσιασθέν γενικό καταστατικό πλαίσιο. Επισηµαίνεται ότι η χρήση έντονων χαρακτήρων υποδηλώνει τανυστή 2ας τάξης. 2. ΕΓΓΕΝΗΣ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Η σηµαντικότητα της εγγενούς ανισοτροπίας στον καθορισµό της απόκρισης άµµου υπογραµµίζεται από τις σχετικά πρόσφατες δοκιµές των Yoshimine et al (1998) και Nakata et al (1998), στις οποίες µετρώνται δραστικές διαφορές στην απόκριση, που φθάνει και το 3%, όταν ένα δοκίµιο υποβάλλεται στην ίδια φόρτιση (ίδιες τιµές των σ 1, σ 2 και σ 3 ), αλλά µε την σ 1 να έχει διαφορετικό προσανατολισµό ως προς την κατακόρυφο. Οι ίδιες µετρήσεις υπέδειξαν ότι οι διατµητικές παραµορφώσεις είναι σχεδόν συ-γραµµικές µε την τάση (ειδικά σε µεγάλες τιµές του λόγου η), και συνεπώς οι µετρούµενες διαφοροποιήσεις στη σχέση τάσεων παραµορφώσεων µπορεί να αποδοθούν σε επίδραση της εγγενούς ανισοτροπίας στο πλαστικό µέτρο κράτυνσης Κ ή/και στη διαστολικότητα D. Τα ανωτέρω οδήγησαν τους Li & Dafalias (22) και Dafalias et al (24) να προσοµοιώσουν την επίδραση της εγγενούς ανισοτροπίας µε µια απλούστατη µεθοδολογία. Κατ αρχήν ορίζοντας µια βαθµωτή παράµετρο ανισοτροπικής κατάστασης A ως συνάρτηση κοινών ισοτροπικών αναλλοίωτων δύο τανυστών 2ας τάξης, του F που περιγράφει την αρχική δοµή (και σχετίζεται µε τον προσανατολισµό των κόκκων) και του n που περιγράφει την κανονικοποιηµένη «ενεργή» διεύθυνση της φόρτισης. Πιο συγκεκριµένα, για την (αναµενόµενη) αξονική συµµετρία της αρχικής δοµής µιας άµµου λόγω απόθεσης, ο τανυστής δοµής F είναι και αυτός αξονοσυµµετρικά ισότροπος στο (οριζόντιο) επίπεδο απόθεσης των κόκκων, και ορίζεται ως συνάρτηση µίας µόνο σταθεράς, a, ως: a F 2 ( ) (4) 1 2 1 a [ ] = 1 ( 1 a) µε a=1/3 να αντιστοιχεί σε ισοτροπική δοµή, και < a < 1/3 σε µια συνήθη δοµή όπου η πλειοψηφία των κόκκων έχουν οριζόντιο προσανατολισµό. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/26 2

Η «ενεργή» διεύθυνση φόρτισης n είναι θέµα ορισµού. Για παράδειγµα, ένας τρόπος ορισµού της είναι να έχει ιδιο-διανύσµατα ίδια µε αυτά της τρέχουσας ενεργού τάσης (π.χ Li & Dafalias 22). Ένας τέτοιος ορισµός όµως, δεν αποδίδει ρεαλιστικά την κατάσταση αντιστροφής φόρτισης, καθώς τότε η «ενεργός» διεύθυνση της φόρτισης δεν έχει σχέση µε την τρέχουσα ενεργό τάση. Έτσι, σε προσοµοιώµατα µε επιφάνεια διαρροής, η «ενεργή» διεύθυνση φόρτισης n µπορεί να ορισθεί ως η κάθετος στην επιφάνεια διαρροής (π.χ. Dafalias et al 24). Αντίστοιχα, σε προσοµοιώµατα χωρίς επιφάνεια διαρροής, η διεύθυνση n µπορεί να ορισθεί µε βάση το νόµο προβολής. Για παράδειγµα, οι Li & Dafalias (24) θεωρούν τη διεύθυνση n ως την κάθετο στην επιφάνεια φόρτισης που αντικαθιστά την επιφάνεια διαρροής σε προσοµοιώµατα µε µνήµη τάσης αντιστροφής. Γενικότερα, ο ορισµός του A αποδίδει το σχετικό προσανατολισµό της «ενεργής» διεύθυνσης φόρτισης προς την αρχική δοµή της άµµου. Οι ορισµοί του Α στις προαναφερθείσες εργασίες είναι παρόµοιοι, αλλά διαφορετικοί. Για παράδειγµα, οι Dafalias et al (24) πρότειναν τη χρήση της πρώτης κοινής ισοτροπικής αναλλοίωτης των F και n για τον ορισµό του A, σύµφωνα µε: ( θ,c ) F : n A = g (5) όπου θ είναι η γωνία Lode που σχετίζεται µε τη διεύθυνση n, c είναι η απόλυτη τιµή του λόγου των ακραίων τιµών του A σε τριαξονική θλίψη (A c ) και εφελκυσµό (A e ) και g είναι µια συνάρτηση παρεµβολής για την τιµή του Α σε διάφορες κατευθύνσεις φόρτισης (µεταξύ των τιµών A c και A e ). Ο ορισµός του Α των Li & Dafalias (22), και η επέκτασή του για µη αναλογική (non-roortional) φόρτιση (π.χ. περιστροφική διάτµηση υπό σταθερή τιµή του q) από τους Li & Dafalias (24), πρακτικώς χρησιµοποιούν τη δεύτερη και την τρίτη κοινή αναλλοίωτη των F και n, και δεν παρουσιάζονται για λόγους συντοµίας, αλλά και λόγω της σχετικής πολυπλοκότητας τους. Σε όλες τις µορφές του, το Α συνδέθηκε µε το πλαστικό µέτρο κράτυνσης K, θέτοντας τον πολλαπλασιαστικό παράγοντα h να είναι συνάρτηση του Α. Συγκεκριµένα, οι Dafalias et al. (24) προτείνουν: A (A A [ e A) (A e c ) 1+ k h k h ] h = h (6) όπου k h είναι µια σταθερά που εκφράζει το λόγο τιµών του Κ σε τριαξονικό εφελκυσµό και θλίψη. Η αντίστοιχη εξίσωση των Li and Dafalias (22 & 24) είναι γραµµική ως προς Α και είναι συνάρτηση της ίδια σταθεράς k h. Τέλος, η διαστολικότητα D θεωρήθηκε συνάρτηση του A µ έναν έµµεσο τρόπο, δηλαδή µέσω της µετάθεσης της Γραµµής Κρίσιµης Κατάστασης (ΓΚΚ) στο χώρο e ως συνάρτηση του A. Αυτή η µετάθεση καθιστά την παράµετρο κατάστασης ψ, και συνεπώς και το λόγο M d που είναι συνάρτησή του ψ (βλ. Εξ. 3), έµµεσες συναρτήσεις του A. Πιο συγκεκριµένα, οι Dafalias et al (24) προτείνουν µια παράλληλη µετάθεση της ΓΚΚ, ως συνάρτηση του A, σύµφωνα µε: e o ( A) = e ex (7) A όπου e A είναι σταθερά. Σηµειώνεται ότι η αντίστοιχη σχέση των Li and Dafalias (22 & 24) είναι αντίστοιχη µε την (7), αλλά όντας τετραγωνική ως προς Α χρειάζεται τη βαθµονόµηση µιας επιπλέον σταθεράς k Γ. Για την διακρίβωση της αξιοπιστίας της ανωτέρω απλής µεθοδολογίας καταστατικής προσοµοίωσης της επίδρασης της εγγενούς ανισοτροπίας χρησιµοποιούνται τα δεδοµένα των Yoshimine et al (1998) και Nakata et al (1998), όπου η ίδια φόρτιση επιβλήθηκε σε διάφορες διευθύνσεις ως προς το οριζόντιο επίπεδο δοκιµίων της άµµου Toyoura που παρασκευάσθηκαν όλα µε την ίδια µεθοδολογία στο εργαστήριο. Συγκεκριµένα, στις εν λόγω αστράγγιστες δοκιµές σε άµµο Toyoura, όλα τα δοκίµια είχαν την ίδια αρχική δοµή (ίδιο F), καθώς προετοι- µάσθηκαν µε την ίδια µέθοδο στο εργαστήριο. Αυτό που αλλάζει είναι η διεύθυνση της φόρτισης n, η οποία ναι µεν χαρακτηρίζεται από την ίδια σταθερή τιµή του λόγου ενδιά- µεσης κύριας τάσης b = (σ 2 σ 3 )/(σ 1 σ 3 ), αλλά επιβάλλεται µε διαφορετικό προσανατολισµό, δηλαδή διαφορετική τιµή της γωνίας α της σ 1 ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση. Το Σχήµα 1 παρουσιάζει ένα παράδειγµα της ακρίβειας της συγκεκριµένης καταστατικής µεθοδολογίας, µέσω σύγκρισης µετρήσεων και προβλέψεων για b =.5, χρησιµοποιώντας το προσοµοίωµα των Dafalias et al (24). Υπογραµµίζεται ότι χωρίς την προτεινόµενη καταστατική µεθοδολογία, οι προβλέψεις στα Σχήµατα 1γ & 1δ θα συνέπιπταν, γεγονός που υπογραµµίζει την πρακτική σηµασία της προτεινόµενης µεθοδολογίας. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/26 3

q = σ 1 q = σ 1 2 15 1 5 2 15 1 5 µετρήσεις, b =.5 α=15 ο 3 ο 3 6 9 12 15 γ = ε 1 - ε 3 µετρήσεις, b =.5 75 ο 45 ο 45 ο 6 ο α=15 ο 75 ο 5 1 15 = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) / 3 ( α ) ( γ ) προσοµοιώσεις α=15 ο 3 ο 45 ο 3 6 9 12 15 γ = ε 1 - ε 3 ( β ) ( δ ) προσοµοιώσεις 75 ο 45 ο 6 ο α=15 ο 75 ο 5 1 15 = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) / 3 Σχήµα 1. Σύγκριση µετρήσεων και προσοµοιώσεων για αστράγγιστες δοκιµές µε σταθερά α και b. Figure 1. Comarison of data and simulations from undrained tests with constant b and angle α q = σ 1 3 2 1-1 Μετρήσεις Τριαξ. Θλίψης (e =.86) Τριαξ. Εφελκ. (e =.74) ( α ) προσοµοιώσεις ( γ ) AP DD DR WT AP DD DR WT q = σ 1 2 1-1 -9-6 -3 3 6 9 αξονική παραµόρφωση ε a Μετρήσεις Τριαξ. Θλίψης (e =.86) Τριαξ. Εφελκ. (e =.74) -9-6 -3 3 6 9 αξονική παραµόρφωση ε a ( β ) ( δ ) προσοµοιώσεις AP DD DR WT AP DD DR WT 5 1 15 2 = (σ 1 +2σ 3 ) / 3 5 1 15 2 = (σ 1 +2σ 3 ) / 3 Σχήµα 2. Σύγκριση µετρήσεων και προσοµοιώσεων για αστράγγιστες τριαξονικές δοκιµές σε δοκίµια άµµου Toyoura παρασκευασµένα µε διαφορετικές µεθόδους Figure 2. Comarison of data and simulations from undrained triaxial tests on differently reared samles of Toyoura sand Από µια άλλη σκοπιά, η επίδραση της εγγενούς ανισοτροπίας στην απόκριση άµµου µπορεί να µελετηθεί µε τη σύγκριση µετρήσεων σε δοκίµια της ίδιας άµµου τα οποία έχουν παρασκευασθεί µε διαφορετικές µεθόδους στο εργαστήριο (διαφορετικό F), αλλά υποβάλλονται στην ίδια φόρτιση σε µέγεθος και διεύθυνση, δηλαδή στις ίδιες τιµές του λόγου b και της γωνίας α (και συνεπώς του n). Οι Paadimitriou et al. (25) υποδεικνύουν ότι η καταστατική µεθοδολογία των Dafalias et al (24) µπορεί να χρησιµοποιηθεί µε επιτυχία για την προσοµοίωση της επίδρασης διαφορετικών αρχικών δοµών στην απόκριση της ίδιας άµµου. Στο Σχήµα 2 παρουσιάζεται µια σύγκριση µετρήσεων και προβλέψεων για δοκιµές τριαξονικής θλίψης και εφελκυσµού σε δοκίµια άµµου Toyoura, τα 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/26 4

οποία προετοιµάσθηκαν µε τέσσερις (4) διαφορετικές µεθόδους: αερογενής απόθεση (air luviation, AP), ξηρή απόθεση (dry deosition, DD), ξηρή διάστρωση (dry rodding, DR) και υγρή διάστρωση (wet taming, WT). Οι δοκιµές υποδεικνύουν σηµαντική επίδραση της µεθόδου παρασκευής των δοκιµίων στην αστράγγιστη απόκριση άµµου, η οποία προσοµοιώνεται µε επιτυχία µε την ως άνω καταστατική µεθοδολογία. Οι ως άνω επιτυχείς προσοµοιώσεις επετεύχθησαν µε κατάλληλη βαθµονόµηση των σταθερών της ανισοτροπικής καταστατικής µεθοδολογίας, δηλ. των σταθερών που εµφανίζονται στις Εξ. (4) έως (7). Πιο συγκεκριµένα, οι Paadimitriou et al (25) δείχνουν ότι οι σταθερές e A και h A που καθορίζουν σε µεγάλο βαθµό την απόκριση, επηρεάζονται έντονα από τη µέθοδο παρασκευής του δοκιµίου. Αντίθετα, οι σταθερές a και k h που ποσοτικοποιούν τη σχετική επίδραση διαφορετικών διευθύνσεων φόρτισης, δεν επηρεάζονται ιδιαίτερα από τη µέθοδο παρασκευής του δοκιµίου. Με άλλα λόγια, οι σταθερές a και k h κυβερνώνται από τη «φύση» της άµµου, δηλ. τη ορυκτολογική σύσταση και τη διαβάθµιση του µεγέθους και του σχήµατος των κόκκων. Το αναµενόµενο εύρος µεταβολής των σταθερών που συνδέονται µε την προτεινόµενη καταστατική προσοµοίωση της εγγενούς ανισοτροπίας δίνονται στον Πίνακα 1. Πίνακας1. ιακύµανση σταθερών µεθοδολογίας Table 1. Variation of methodology constants Σταθερά Εύρος a.2.32 k h.15.5 e A.75 1. h A 2. 35. 3. ΜΟΝΑ ΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΓΚΚ Η παράλληλη µετάθεση της ΓΚΚ στο χώρο e- ως συνάρτηση της διεύθυνσης της φόρτισης ή/και της µεθόδου παρασκευής του δοκιµίου παραβιάζει την παραδοχή περί µοναδικότητας της ΓΚΚ, και αποτελεί ένα θέµα στο οποίο δεν έχει καταλήξει η επιστηµονική κοινότητα. Συνεπώς, η χρήση της Εξ. (7) θα µπορούσε να µην είναι επιθυµητή. Έτσι, σε µια προσπάθεια προσοµοίωσης της επίδρασης της εγγενούς ανισοτροπίας µε δεδοµένη θέση της ΓΚΚ, οι Paadimitriou et al (25) εις αντικατάσταση της Εξ. (7), εφήρµοσαν µια άµεση συσχέτιση της διαστολικότητας D µε την A: ( A) A d = A A ex (8) όπου η σταθερά A A αντικαθιστά τη σταθερά e A της Eξ. (7). Έτσι, λαµβάνεται υπόψη η επίδραση της εγγενούς ανισοτροπίας στη διαστολικότητα, αλλά χωρίς µετάθεση της ΓΚΚ. Όπως παρουσιάζεται στο Σχήµα 3, µε κατάλληλη βαθµονόµηση της σταθεράς Α Α προσοµοιώνεται και πάλι µε επιτυχία η απόκριση της άµµου αλλά µόνο µέχρι την Ψευδο-Σταθερή Κατάσταση (Quasi Steady State). Σε µια δεύτερη προσπάθεια διατήρησης της µοναδικότητας της ΓΚΚ, µπορεί εναλλακτικά να µη γίνει χρήση καµίας από τις Εξ. (6) και (7), και να διατηρηθεί µόνο η καταστατική προσο- µοίωση της επίδρασης της εγγενούς ανισοτροπίας στο πλαστικό µέτρο κράτυνσης K µέσω της Εξ. (6). Αυτή είναι η απλούστερη εκδοχή της προτεινόµενης µεθοδολογίας, η οποία µπορεί να χρησιµοποιηθεί µε ακρίβεια και πάλι µόνο µέχρι την Ψευδο-Σταθερή Κατάσταση (βλέπε Σχήµα 3). Παρόλα αυτά, η ακρίβεια των απλουστευµένων µεθοδολογιών είναι συνολικά πολύ µικρότερη από εκείνη της ολοκληρωµένης (µε χρήση και των δύο Εξ. 6 & 7). 4. ΕΞΕΛΙΣΣΟΜΕΝΗ ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Η µελέτη µετρήσεων από δοκιµές ρευστοποίησης άµµων υποδεικνύει ότι οι βρόχοι µορφής «πεταλούδας» στην ενεργό τασική όδευση που σχετίζονται µε την αρχική ρευστοποίηση προκαλούνται από την έντονα συστολική συµπεριφορά κατά την αντιστροφή φόρτισης µετά από φάση διαστολής. Αντίστοιχες µικρο-µηχανικές παρατηρήσεις από τη βιβλιογραφία υποδεικνύουν ότι η συµπεριφορά αυτή είναι µια επίδραση της εξελισσόµενης ανισοτροπίας της άµµου, και για το λόγο αυτό προτείνεται ο ορισµός ενός τανυστή δοµής διαστολικότητας z, ο οποίος εξελίσσεται σύµφωνα µε τη σχέση: [ n z] z & = B ε C + (9) & v όπου ε& v είναι η διαφορική µεταβολή της πλαστικής ογκοµετρικής παραµόρφωσης, < > είναι οι αγκύλες MacCauley που εξασφαλίζουν ότι ο τανυστής δοµής z εξελίσσεται µόνο κατά τη διάρκεια διαστολικής φάσης, ενώ το αρνητικό πρόσηµο µπροστά από το Β εξελίσσει τον τανυστή z προς διεύθυνση αντίθετη προς την «ενεργή» διεύθυνση n. 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/26 5

q = σ 1 3 2 1-1 Dry Rodded (e ~.83) µετρήσεις χρήση Εξ.(6) & (7) χρήση Εξ.(6) & (8) χρήση Εξ. (6) Ψευδο-Σταθερή Κατάσταση ( α ) ( β ) Ψευδο-Σταθερή Κατάσταση Dry Rodded (e ~.83) µετρήσεις χρήση Εξ.(6) & (7) χρήση Εξ.(6) & (8) χρήση Εξ. (6) -9-6 -3 3 6 9 αξονική παραµόρφωση ε a 5 1 15 2 25 = (σ 1 + 2σ 3 )/3 Σχήµα 3. Σύγκριση µετρήσεων και προσοµοιώσεων για αστράγγιστες τριαξονικές δοκιµές σε δοκίµια άµµου Toyoura παρασκευασµένα µε διαφορετικές µεθόδους Figure 3. Comarison of data and simulations from undrained triaxial tests on differently reared samles of Toyoura sand q 4 3 2 1 µετρήσεις προσοµ. C = 4 προσοµ. C = 1 2 3 5 1 15 2 25 3 αξονική παραµόρφωη ε a Σχήµα 4. Σύγκριση µετρήσεων µε προσοµοιώσεις µε (C=4) και χωρίς (C=) την επίδραση της εξελισσοµένης ανισοτροπίας στη διαστολικότητα D για αστράγγιστη τριαξονική δοκιµή. Figure 4. Comarison of data and simulations with (C=4) and without (C=) the effect of evolving anisotroy on the dilatancy D for an undrained triaxial test Η Εξ. (9) εισάγει δύο (2) νέες σταθερές, το Β που ορίζει το ρυθµό εξέλιξης της ανισοτροπίας και το C που δρα ως το µέγιστο µέτρο του τανυστή δοµής z, όταν ο ρυθµός εξέλιξής του έχει µηδενισθεί. Στη συνέχεια, η παράµετρος A d της σχέσης ορισµού της διαστολικότητας D θεωρείται συνάρτηση του τανυστή δοµής z και της «ενεργής» διεύθυνσης φόρτισης n, ως: ( z : n ) A d = A o 1+ (1) Έτσι, µε την αντιστροφή της φόρτισης µετά από φάση διαστολής, η διεύθυνση n αλλάζει πρόσηµο και ο όρος <z:n> παύει να είναι µηδενικός µε αποτέλεσµα την αύξηση της τιµής της παραµέτρου A d, και συνεπώς και της διαστολικότητας D. Αυτή η πολύ απλή κατάστατική µεθοδολογία έχει αποδειχθεί ιδιαίτερα χρήσιµη για την προσοµοίωση της έντονης ανάπτυξης υπερπιέσεων πόρων κατά την αντιστροφή φόρτισης µετά από φάση διαστολής (Dafalias & Manzari 24). Ως ένα παράδειγµα, το Σχήµα 4 δείχνει ότι η έντονα συστολική συµπεριφορά κατά την αντιστροφή φόρτισης µετά από φάση διαστολικότητας µπορεί να προσοµοιωθεί µόνο αν ληφθεί υπόψη η επίδραση της εξελισσόµενης ανισοτροπίας (C=4). Παράλληλα, οι Paadimitriou & Bouckovalas (22) επέκτειναν τις ιδέες των Παπαδηµητρίου (1999) και Paadimitriou et al (21) και εφάρµοσαν ένα πολλαπλασιαστή του πλαστικού µέτρου κράτυνσης Κ, ο οποίος σχετίζεται µε την εξελισσόµενη ανισοτροπία της άµµου. Συγκεκριµένα, ο βαθµωτός πολλαπλασιαστής h του Κ παίρνει τη µορφή: 2 1+ z h = ho (11) 1+ z : n Ο τανυστής δοµής-διαστολικότητας z που εµφανίζεται στον παρονοµαστή της Εξ. (11) εξελίσσεται σύµφωνα µε την Εξ. (9) και προσφέρει εξίσου καλή προσοµοίωση της συµπεριφοράς κοντά στην ρευστοποίηση. Ο λόγος είναι ότι η αποµείωση του Κ λόγω του παρονοµαστή της Εξ. (11), δίνει αντίστοιχα αποτελέσµατα µε την αύξηση της διαστολικότητας D που επιβάλλει η Εξ. (1). 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/26 6

τ τ 3 15-15 3 15-15 µετρήσεις προσοµ. h = h o προσοµ. h = h o 24kPa 8 16 σ v.4.8 1.2 γ 24kPa 8 16 σ v.4.8 1.2 γ 8 16 σ v.4.8 1.2 γ 24kPa Σχήµα 5. Σύγκριση µετρήσεων µε προσοµοιώσεις µε (h h o ) και χωρίς (h = h o ) την επίδραση της εξελισσοµένης ανισοτροπίας στο πλαστικό µέτρο Κ για αστράγγιστη απλή διάτµηση. Figure 5. Comarison of data and simulations with (h h o ) and without (h = h o ) the effect of evolving anisotroy on the lastic modulus K for an undrained simle shear test Επιπλέον, η Εξ. (11) έχει και έναν αριθµητή, ο οποίος είναι συνάρτηση του βαθµωτού µεγέθους z που εξελίσσεται σύµφωνα µε: z& = Bε& (12) v όπου το B είναι το ίδιο µε αυτό της Εξ. (9). Αυτό που προσφέρει ο αριθµητής της Εξ. (11) είναι ρεαλιστική προσοµοίωση του ρυθµού συσσώρευσης (ογκοµετρικών και διατµητικών) παραµορφώσεων και ανάπτυξης υπερπιέσεων πόρων κατά την ανακυκλική φόρτιση, από την αρχική κατάσταση (στερεοποίηση) έως και την ρευστοποίηση. Μάλιστα, οι Paadimitriou & Bouckovalas (22) συνδέουν τις τιµές των Β και C στις Εξ. (9) και (12) µε την ιστορία φόρτισης, σύµφωνα µε τις σχέσεις: a B = B o ψ ο (13α) σ1ο 2 C = max z (13β) όπου Β ο είναι η σταθερά προς βαθµονόµηση, a είναι η ατµοσφαιρική πίεση και τα σ 1ο και ψ ο είναι οι τιµές της µέγιστης ενεργού τάσης σ 1 και της παραµέτρου κατάστασης ψ στην αρχική κατάσταση (στερεοποίηση). Ως παράδειγµα, το Σχήµα 5 παρουσιάζει πως η προτεινόµενη µεθοδολογία µε h h o στην Eξ. (11) προσοµοιώνει µε επιτυχία τον αρχικώς αποµειούµενο ρυθµό ανάπτυξης υπερπίεσης πόρων, καθώς και την αύξηση αυτού προσεγγίζοντας την ρευστοποίηση. Χάριν σύγκρισης, στο ίδιο σχήµα παρουσιάζεται και µια προσοµοίωση χωρίς την προτεινόµενη µεθοδολογία (h=h o ), η οποία αδυνατεί να προσοµοιώσει µε επιτυχία ολόκληρη την ιστορία φόρτισης, ακόµη και αν βαθµονοµηθεί κατάλληλα ώστε να δίνει την ίδια υπερπίεση πόρων στο τέλος του πρώτου σηµαντικού κύκλου (περί τα 24kPa). 5. ΣΥΝΟΨΗ Στο παρόν άρθρο προτείνονται απλές καταστατικές µεθοδολογίες για την προσοµοίωση της επίδρασης της εγγενούς και της εξελισσόµενης ανισοτροπίας άµµου. Πέραν της απλότητάς τους, οι εν λόγω µεθοδολογίες µπορούν να ενταχθούν, ως έχουν, σε ήδη υπάρχοντα καταστατικά προσοµοιώµατα για άµµους. Αυτό συµβαίνει για τρεις (3) λόγους: α) κάθε προσοµοίωµα περιέχει παραµέτρους όπως το πλαστικό µέτρο κράτυνσης K και η διαστολικότητα D, ή ισοδύναµα µεγέθη αυτών, β) ο ορισµός των τανυστών δοµής F και z είναι ανεξάρτητος του χρησιµοποιούµενου προσοµοιώµατος, και γ) µια «ενεργή» διεύθυνση φόρτισης n µπορεί να ορισθεί σε κάθε προσοµοίωµα. Η απλότητα και η γενικότητα των προτεινό- µενων µεθοδολογιών αποδεικνύεται στην 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/26 7

πράξη από το γεγονός ότι ήδη έχουν αρχίσει να ενσωµατώνονται σε καταστατικά προσο- µοιώµατα άλλων ερευνητών. Για παράδειγµα, οι Yang et al (23) ενσωµατώνουν την επίδραση της εξελισσόµενης ανισοτροπίας κατά την αντιστροφή φόρτισης µετά από φάση διαστολής µε έναν βαθµωτό πολλαπλασιαστή της διαστολικότητας D του προσοµοιώµατός τους, ο οποίος έχει πολλά κοινά στη σύλληψή του µε την Εξ. (1). 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Been, K. and Jefferies, M. G. (1999), A state arameter for sands, Geotechnique, 35 (2), 99-112 Dafalias, Y. F. and Manzari, M. T. (24), A simle lasticity sand model accounting for fabric change effects, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 13 (6), 622-634 Dafalias, Y. F., Paadimitriou, A. G. and Li, X. S. (24), Sand lasticity model accounting for inherent fabric anisotroy, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 13 (11), 1319-1333 Li, X. S. and Dafalias, Y. F. (2), Dilatancy for cohesionless soils, Geotechnique, 5 (4), 449-46 Li, X. S. and Dafalias, Y. F. (22), Constitutive modeling of inherently anisotroic sand behavior, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, 128 (1), 868-88 Li, X. S. and Dafalias, Y. F. (24), A constitutive framework for anisotroic sand including non-roortional loading, Geotechnique, 54 (1), 41-55 Manzari, M. T. and Dafalias, Y. F. (1997), A critical state two-surface lasticity model for sands, Geotechnique, 47 (2), 255-272 Nakata, Y., Hyodo, M., Murata, H. and Yasufuku, N. (1998), Flow deformation of sands subjected to rincial stress rotation, Soils and Foundations, 38 (2), 115-128 Oda M. (1999), Fabric tensor and its geometrical meaning, Introduction to mechanics of granular materials, Editors: M. Oda and K. Iwashita, Balkema, 27 35 Oda M., Nemat-Nesser S., Konishi J. (1985), Stress-induced anisotroy in granular masses, Soils and Foundations, 25(3): 85-97 Oda M., Nakayama H. (1988), Introduction of inherent anisotroy of soils in the yield function, Micromechanics of Granular Materials, Editors: M. Satake and J. T. Jenkins, Elsevier, 81-9 Παπαδηµητρίου Α. Γ. (1999): Ελαστοπλαστική προσοµοίωση της µονοτονικής και δυναµικής συµπεριφοράς εδαφών, ιδακτορική ιατριβή, Τοµέας Γεωτεχνικής, Σχολή Πολ/Μηχ. Paadimitriou, A. G., Bouckovalas, G. D. and Dafalias, Y. F. (21) Plasticity model for sand under small and large cyclic strains, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 127 (11), 973-983 Paadimitriou, A. G. and Bouckovalas, G. D. (22) Plasticity model for sand under small and large cyclic strains: a multiaxial formulation, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 22 (3), 191-24. Paadimitriou, A. G., Dafalias, Y. F. and Yoshimine M. (25), Plasticity modeling of the effect of samle rearation method on sand resonse, Soils and Foundations, 4 (2), 19-124 Wood, D. M., Belkheir K. and Liu D. F. (1994), Strain softening and state arameter for sand modeling, Geotechnique, 44 (2), 335-339 Yang, Z., Elgamal, A., Parra E. (23), Comutational model for cyclic mobility and associated shear deformation, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, 129(12), 1119-1127 Yoshimine, M., Ishihara, K. and Vargas, W. (1998), Effects of rincial stress direction and intermediate rincial stress on undrained shear behavior of sand, Soils and Foundations, 38 (3), 177-186 5ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, Ξάνθη, 31/5-2/6/26 8