9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον.

Transcript

1 9. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΜΕ ΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ 9.0 Εισαγωγικά Εξετάζουµε διάφορα µοντέλα ελέγχου αλληλεπίδρασης του βραχίονα µε το περιβάλλον. 9.1 Έλεγχος «Συµµόρφωσης» ή «Υποχωρητικότητας» (Comliance Control) Θα εξετασθεί η συµπεριφορά ενός βραχίονα και των δυνάµεων που αναπτύσσονται σε αυτόν από το περιβάλλον όταν ο βραχίονας ελέγχεται από ένα απλό νόµο ελέγχου θέσης. Προφανώς, δεδοµένου ότι οι δυνάµεις εκφράζονται στον (καρτεσιανό) λειτουργικό χώρο, το όλο σχήµα θα αναφέρεται σε αυτόν. Θεωρούµε το δυναµικό µοντέλο B( q) q C( q, q ) q F q G( q) = τ J ( q) h (9.1) 6 n Όπου υπενθυµίζουµε ότι Jq R είναι η γεωµετρική Ιακωβιανή του βραχίονα που έχει 6 προκύψει από τη διαφορική κινηµατική και h= f µ R είναι το διάνυσµα των 3 3 δυνάµεων ( f R ) και ροπών ( µ R ) που ασκούνται από τον βραχίονα στο περιβάλλον. Θεωρούµε τον νόµο ελέγχου θέσης τύπου PD εφαρµοσµένου στο λειτουργικό χώρο (oerational sace) τ = Gq J( q) x% x % x% x x και x, x είναι το τρέχον και το επιθυµητό σύνθετο διάνυσµα θέσης προσανατολισµού του βραχίονα 1 6 n, αντίστοιχα και J( q) R είναι η αναλυτική Ιακωβιανή του βραχίονα. Για σταθερό επιθυµητό σύνθετο διάνυσµα θέσης προσανατολισµού u x % = x = J q q και κατά συνέπεια ο νόµος ελέγχου θέσης γίνεται τ = Gq J q x % J q q (9.2) Μπορεί να αποδειχθεί, µε χρήση της θεωρίας ευστάθειας κατά Lyaunov, ότι στην ισορροπία x = ισχύει x µε x% = x x. Αν η Ιακωβιανή είναι αναστρέψιµη J q x% = J q h (9.3) x % = J q J ( q) h = h ( x) (9.4) 1 Προφανώς οι κινηµατικές εξισώσεις συνδέουν τα x, q.

2 µε h x h (9.5) Υπενθύµιση Σχέσεων από την ιαφορική Κινηµατική εδοµένου ότι ενώ υ = J( q) q ω x = J ( q) q φ Επίσης, ένας πίνακας περιστροφής ( φ ) συσχετίζει 2 την γωνιακή ταχύτητα ω του ακροδέκτη, δηλ. του συστήµατος συντεταγµένων του ακροδέκτη (εκφρασµένη στο σύστηµα συντεταγµένων της βάσης), µε την ταχύτητα περιστροφής φ που είναι παράγωγος του διανύσµατος προσανατολισµού Euler φ (εκφρασµένη στο σύστηµα συντεταγµένων του ακροδέκτη), δηλαδή ω = ( φ) φ Από τις παραπάνω σχέσεις εξάγεται ο πίνακας που συσχετίζει τις αναλυτική και γεωµετρική Ιακωβιανή, I ( x) = J ( q) J ( q) = 033 ( φ (9.6) ) Εύκολα βλέπουµε από την (9.6) ότι ( φ) υ = x (9.7) Η (9.4) δείχνει ότι η θέση ισορροπίας του βραχίονα υπό το νόµο ελέγχου (9.2) βρίσκεται σε σχέση ελαστικότητας µε «συντελεστή συµµόρφωσης» (comliance) ως προς την «δύναµη» h, που δίνεται από την (9.5). Κατ επέκταση, οι (9.5, 6) δείχνουν ότι οι συνιστώσες δύναµης ( f ) επιδρούν γραµµικά στη θέση ισορροπίας, ενώ αυτές της ροπής ( µ ) επιδρούν στη θέση ισορροπίας µε εξάρτηση από τον προσανατολισµό φ του ακροδέκτη. Η (9.3) δείχνει επίσης ότι αν h N ( J ), δηλαδή στον ορθογώνιο χώρο του χώρου των στηλών του J (null sace), τότε x% = 0 ακόµα και για h 0. ηλαδή σε αυτή τη περίπτωση οι «δυνάµεις» παραλαµβάνονται από την κατασκευή του βραχίονα και όχι από τους επενεργητές των αρθρώσεων. 1 2 Αν και η ω έχει «φυσική» σηµασία, το ολοκλήρωµά της ως προς τον χρόνο δεν έχει. Αντίθετα το χρονικό ολοκλήρωµα της φ δίνει τον προσανατολισµό φ.

3 Θεωρώντας τώρα, από πλευράς περιβάλλοντος, τη σχέση µεταξύ «δυνάµεων» h (µεταξύ βραχίονα και περιβάλλοντος) και αντίστοιχων παραµορφώσεων (του περιβάλλοντος, θεωρώντας τον βραχίονα απόλυτα στερεό) στο σηµείο επαφής λαµβάνουµε προσεγγιστικά µέσω ενός µοντέλου ελαστικότητας f f 03 3 h= µ = = ω t 033 µ ω t (9.8) ο «πίνακας δυσκαµψίας» (Stiffness Matrix) ο οποίος είναι θετικά ηµιορισµένος δεδοµένου ότι το περιβάλλον δεν αντιδρά σε εκείνες τις κατευθύνσεις που η κίνηση δεν υπόκειται σε περιορισµούς, και το διάνυσµα ω t δείχνει τη γενικευµένη µετατόπιση ως προς το σύστηµα συντεταγµένων βάσης. Προφανώς (.7 ) = υ t = ( φ) x t = ( φ) x ω t Και κατά συνέπεια h= h x = x x (9.9) x = x x e (9.10) είναι η µετατόπιση 3 από το αρχικό απαραµόρφωτο σηµείο. Από τις (9.5, 9) Ο πίνακας (.10) = = e ( x) h x x x x x x (9.12) x οφείλεται στο περιβάλλον, λέγεται παθητικός πίνακας συµµόρφωσης (assive comliance matrix) και είναι θετικά ηµιορισµένος δεδοµένου ότι έχει νόηµα σε εκείνες τις κατευθύνσεις που η κίνηση δεν υπόκειται σε περιορισµούς. Αντίθετα, στην (9.4) ο πίνακας αντιπροσωπεύει την ενεργητική συµµόρφωση. Από τις (9.4, 12), 1 x% = x x = x x x 1 e Για να ευρεθεί η θέση του ακροδέκτη στην ισορροπία πρέπει να ευρεθεί η λύση της µη γραµµικής σχέσης και κατά συνέπεια 1 ( ) x = I x x x x (9.13) e ( ( ) ) h = I x x x x (9.14) e 3 Υπενθυµίζουµε ότι x είναι η τρέχουσα «θέση», x είναι η τελική ή θέση ισορροπίας, x e είναι η αρχική, απαραµόρφωτη, θέση και x είναι η επιθυµητή θέση.

4 9.2 Έλεγχος Εµπέδησης (Imeance Control) Αν εφαρµόσουµε στο βραχίονα που περιγράφεται από το δυναµικό µοντέλο (9.1) ένα νόµο ελέγχου αντίστροφης δυναµικής (µεθοδολογία υπολογιζόµενης ροπής comute torque technique) εφαρµοσµένου στο λειτουργικό χώρο (oerational sace) τότε Αν επιλεγεί (, ) τ = B q y C q q q F q G q (9.15) (9.16) q = y B q J q h (, ) y = J q M M x x% x% M J q q q, (9.17) 1 D P x% = x x, και ληφθεί υπόψη ότι τότε η (9.16) δίνει έχει ορισθεί στην (9.12) και x = J q q x= J q q J q q (9.18) M x% x % x% = M B q h (9.19) D P B q = J q B q J q (9.20) είναι το ισοδύναµο του πίνακα αδράνειας στο λειτουργικό χώρο είναι θετικά ορισµένος, αν ο πίνακας J δεν είναι ιδιόµορφος. Από την (9.19) παρατηρούµε ότι µέσω αυτής της µεθοδολογίας υλοποιείται µία «µηχανική M B q h και της µετατόπισης εµπέδηση» µεταξύ των επενεργουσών «δυνάµεων» x% = x x στο λειτουργικό (καρτεσιανό) χώρο. Αυτή η εµπέδηση εξαρτάται από τους πίνακες µάζας, απόσβεσης και ελαστικότητας ( M, D, P) αντίστοιχα. Στο σχήµα ελέγχου (9.15,17), στον όρο M B ( q) h, η ύπαρξη του όρου B ( q) εισάγει προφανώς εξάρτηση από την θέση του βραχίονα. Αν όµως επιλέξουµε το σχήµα ελέγχου (, ) τ = B q y C q q q F q G q J q h (9.21) (, ) y = J q M M x x% x% M J q q q h (9.22) 1 D P x% = x x, τότε µε χρήση της (9.1) η δυναµική κλειστού βρόχου γίνεται M x% x % x% = h (9.23) D P

5 x x D x P x x M 1 x e h D Σχήµα 9.1 Έλεγχος Εµπέδησης µε ανατροφοδότηση υνάµεων / Ροπών και οδηγεί σε γραµµική εµπέδηση σε σχέση µε τις ισοδύναµες δυνάµεις h (σχήµα 9.1). Βέβαια το παρόν σχήµα ελέγχου απαιτεί απευθείας µέτρηση των δυνάµεων ροπών, όπως δείχνει η (9.21), πράγµα που απαιτεί την χρήση κατάλληλου αισθητήρα δυνάµεων/ροπών στον ακροδέκτη. Η (9.23) καθορίζει το σηµείο ισορροπίας κατά τρόπο ανάλογο µε την (9.4) και κατά συνέπεια µπορεί να ακολουθήσουµε παρόµοια ανάλυση µε αυτή της προηγούµενης παραγράφου. Είναι προφανές ότι κατάλληλη επιλογή των M, D, P οδηγεί σε επιθυµητή απόκριση.