περί της αίσθησης του αριθμού

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών περί της αίσθησης του αριθμού coun%ng 1

κάποια θεμελιώδη ερωτήματα αν η έννοια του αριθμού είναι θεμελιώδης για την ανάπτυξη των μαθηματικών εννοιών... πότε ξεκινά η κατανόησή τους; πότε μπορούμε να διδάξουμε τους αριθμούς στα παιδιά; με ποιον τρόπο; ποια είναι η νοητική αναπαράσταση του αριθμού; πότε ξεκινά η ανάπτυξη της μαθηματικής ικανότητας; τι σχέση έχει με την ανάπτυξη της γλώσσας; 2

σύμφωνα με τον Piaget H κατανόηση του φυσικού αριθμού προϋποθέτει την ανάπτυξη της λογικής σκέψης δηλ. τα παιδιά θα πρέπει να μπορούν να επιτυγχάνουν σε δραστηριότητες που αφορούν συμπερίληψη σε ομάδα κατανόηση μέρους/όλου υπάρχουν περισσότερα κόκκινα τριαντάφυλλα ή τριαντάφυλλα; διατήρηση του αριθμού αν αλλάξουμε την έκταση του αριθμού αλλάζει και το πλήθος του; Αυτό δεν επιτυγχάνεται πριν το στάδιο των συγκεκριμένων λογικών ενεργειών, 5/6-12 ετών 3

λογικές αρχές σύμφωνα με τον Piaget αν τα παιδιά δεν διατηρούν τον αριθμό δεν μπορούν να κατανοήσουν την έννοια του απόλυτου αριθμού δηλ. ότι 6 σημαίνει 6 πορτοκάλια ή 6 αυτοκίνητα μόνο αν τα παιδιά κατανοήσουν ότι ο αριθμός διατηρείται, εκτός αν κάτι αφαιρεθεί η προστεθεί στο σύνολο, θα μπορούν να κατανοήσουν τον απόλυτο αριθμό 4

λογικές αρχές σύμφωνα με τον Piaget για να κατανοήσουν την πρόσθεση και αφαίρεση τα παιδιά θα πρέπει να έχουν κατακτήσει επιμέρους λογικούς κανόνες όπως: 5+2-2=5 4+3=3+4 Οι ανάλογες σχέσεις είναι πιο δύσκολες δύο εργάτες που δούλεψαν ο ένας 3 ώρες κι ο άλλος 5 πρέπει να μοιραστούν 24 ευρώ. οι σχέσεις αυτές απαιτούν λειτουργίες δευτέρου επιπέδου που τα παιδιά μπορούν να κάνουν μετά τα 11 χρόνια 5

λογικές αρχές σύμφωνα με τον Piaget αρχή της μεταβατικότητας αν α>β και β>γ τότε α>γ αν α=β και β=γ τότε α=γ αλλιώς οι αριθμοί 1, 2, 3,... μπορούν να παπαγαλίζονται χωρίς να υπάρχει νόημα στο ότι το 3 είναι μετά το 2 η μέτρηση γίνεται στη βάση της αρχής της μεταβατικότητας αν β είναι το 1m, τότε μπορούμε να πούμε ότο α=γ=1m μόνο αν έχουμε κατακτήσει αυτή τη λογική αρχή 6

κριτική στη θεωρία του Piaget νεότερες προσεγγίσεις υποστήριξαν ότι η θεωρία του Piaget: υποτιμά τις ικανότητες των μικρών παιδιών η αποτυχία στις δραστηριότητες της διατήρησης και της συμπερίληψης οφείλεται σε άλλους, μεθοδολογικούς λόγους κυρίως, π.χ., παρερμηνεία των οδηγιών (βλ. Donaldson, 1978, Gelman, Gallistel, 1978) οι μαθητές ήδη από την προσχολική ηλικία μπορούν να καταμετρήσουν, χωρίς να επιτυγχάνουν στις δοκιμασίες του Piaget η ικανότητα των μαθητών να καταμετρούν είναι ένα εργαλείο που μπορεί ακόμα και να βοηθήσει τα παιδιά να περάσουν τις δοκιμασίες του Piaget 7

οι τρέχουσες αντιλήψεις η απαρίθμηση: παίζει καθοριστικό ρόλο στην οικοδόμηση των πρώτων αριθμητικών εννοιών του παιδιού αποτελεί τη βάση στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού από την απαρίθμηση θα κατανοήσει το παιδί ότι π.χ., το 7: είναι μια αριθμητική αυτόνομη οντότητα που δηλώνει το πλήθος ενός συνόλου (πληθικότητα) ταυτόχρονα αποτελείται από (7) επιμέρους μονάδες (μετρικότητα του αριθμού) είναι μετά το 6, και πριν το 8 (διατακτικότητα του αριθμού) και κάπως έτσι θα οικοδομηθούν και οι πράξεις 8

τι υπάρχει πριν την απαρίθμηση; τι κάνουν τα παιδιά πριν μάθουν να καταμετρούν; κατανοούν την πληθικότητα ενός συνόλου; πληθικότητα: το απόλυτο αριθμητικό μέγεθος η κοινή ιδιότητα του αριθμού που έχουν διάφορα σύνολα (π.χ., τα 2 πόδια με τα 2 χέρια) καταλαβαίνουν τα παιδιά τις διαφορές δύο συνόλων ως προς το πλήθος; κάνουν προσθέσεις; Ναι...αλλά μόνο για 1 έως 3 (4;) αντικείμενα 9

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών άμεση εκτίμηση 10

SubiHzing: η άμεση εκτίμηση Έρευνες έδειξαν ότι οι άνθρωποι από πολύ μικροί είναι ικανοί να εκτιμήσουν αστραπιαία την ποσότητα αντικειμένων που είναι λιγότερα από τέσσερα ενώ χρειάζεται περισσότερο χρόνο για τέσσερα και πάνω αντικείμενα. Η ικανότητα αυτή του ανθρώπου ονομάστηκε subijzing, από το λατινικό 'subitus', που σημαίνει 'άμεσα'. αποτελεί βάση για την ανάπτυξη της ικανότητας για απαρίθμηση καθώς εκεί ενυπάρχει η ικανότητα αναγνώρισης αριθμήσιμων μονάδων κάποιοι λένε ότι είναι γρήγορη απαρίθμηση, π.χ., Clements, 1999 βλ. Kaufman, Lord, Reese, & Volkman, 1949; Klein & Starkey, 1988 11

SubiHzing: η άμεση εκτίμηση Πείραμα απαρίθμησης πλήθους μαύρων τελειών τυπωμένων σε κάρτες. James McKeen Casel 1886 12

SubiHzing: η άμεση εκτίμηση Η άμεση εκτίμηση λειτουργεί και με κινήσεις ή και ήχους πειράματα με εξοικείωση/ανάκτηση ενδιαφέροντος βλ. Wynn, (1995) Με άμεση εκτίμηση οι μαθητές μπορούν να προβλέψουν τα αποτελέσματα των πράξεων Πειράματα με τη μέθοδο του 'μετασχηματισμού' ή 'αριθμητικής πρόβλεψης βλ. Simon, T.J., Hespos, S.J., & Rochat, P., (1995). + = 13

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών τι γίνεται για αντικείμενα περισσότερα από 3; απαρίθμηση 14

απαρίθμηση: σαν ορισμός: απαρίθμηση είναι η δραστηριότητα η οποία περιλαμβάνει την απαγγελία μιας σειράς αριθμολέξεων, έτσι ώστε κάθε αριθμολέξη να συνδέεται με μια αριθμητική μονάδα (Steffe & Cobb, 1988) περιλαμβάνει: την ικανότητα απαγγελίας της ακολουθίας των αριθμολέξεων στη σωστή, συμβατική σειρά (ένα, δύο, τρία,...) την ικανότητα αναγνώρισης ενός πλήθους διακριτών μονάδων που θεωρούνται αριθμήσιμες και την ικανότητα διάκρισης των αντικειμένων την ικανότητα συντονισμού των δύο παραπάνω δραστηριοτήτων έτσι ώστε κάθε αριθμολέξη να αντιστοιχίζεται σε μια αριθμητική μονάδα 15

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Αρχές της απαρίθμησης 16

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών απαρίθμηση και πληθικότητα συνόλου εισαγωγή στην πρώιμη αίσθηση του αριθμού 17

Αρχές της απαρίθµησης n Τα παιδιά μαθαίνουν γρήγορα να καταμετρούν (σε ηλικία 3 ή 4 χρόνων) γιατί έχουν μια μη- συνειδητή γνώση των αρχών της απαρίθμησης πάνω στις οποίες οργανώνεται η κατανόηση της μέτρησης ως τρόπο αναγνώρισης της πληθικότητας ενός συνόλου: Αρχές της απαρίθμησης: q Την αρχή της ένα προς ένα αντιστοιχίας: να αποδίδουν μία και μόνο μία τιμή σε κάθε αντικείμενο q Την αρχή της σταθερής σειράς: Να αποδίδουν τους αριθμούς πάντα με την ίδια σειρά q Την αρχή της πληθικότητας: Ο τελευταίος αριθμός που ακούγεται ορίζει το πλήθος του συνόλου q Την αρχή της αφαίρεσης: οι παραπάνω αρχές μπορούν να εφαρμοστούν σε οποιοδήποτε σύνολο αντικειμένων (ή και πέρα από αντικείμενα) q Την αρχή της ανεξαρτησίας της σειράς: η σειρά απαρίθμησης δεν έχει σημασία Gelman & Gallistel, 1978

που στηρίζεται η υπόθεση της ύπαρξης αρχών απαρίθµησης; n n n n n Τα παιδιά κάνουν λάθος στο μέτρημα αλλά αποδίδουν έναν αριθμό σε κάθε αντικείμενο q μπορούν να παραβλέψουν ένα ή να μετρήσουν το ίδιο δύο φορές αρχή του ένα προς ένα Λένε πάντα αριθμούς με μία σταθερή σειρά ακόμα και αν χρησιμοποιούν μια ιδιοσυγκρασιακή σειρά και όχι τη συμβατική (1, 2, 3,...) q π.χ., 1, 3, 6...1, 3, 6 αρχή της σταθερής σειράς Λένε τον τελευταίο αριθμό με εξαιρετική έμφαση αρχή της πληθικότητας Μπορεί και να αρχίσουν από τη μέση αλλά ολοκληρώνουν τη μέτρηση της ανεξαρτησίας της σειράς Μετρούν χρώματα, ήχους, κτλ. με τον ίδιο τρόπο αρχή της αφαίρεσης Οι αρχές τηρούνται αλλά κάποια λάθη εμφανίζονται λόγω δυσκολιών να συνδυαστούν σωστά οι αρχές ειδικά για μεγαλύτερα σύνολα και σε πιο πολύπλοκες καταστάσεις Gelman & Gallistel, 1978

συµπέρασµα από τα προηγούµενα n Τα παιδιά χρησιμοποιούν με συστηματικότητα τις αρχές της απαρίθμησης n Μπορούν να κρίνουν όταν μία κούκλα απαριθμεί άλλοτε σωστά κι άλλοτε λάθος και επισημαίνουν αν παραβίασε κάποια από τις αρχές n Ειδικά σε ολιγομελή σύνολα σε μεγαλύτερο πλήθος μπερδεύονται Gelman & Gallistel, 1978

αρχή της ένα προς ένα αντιστοιχίας Τα παιδιά πρέπει να συγχρονίζουν δύο διαδικασίες: διαχωρισμός: διάκριση σε δύο κατηγορίες: αυτά που έχουν ήδη μετρηθεί και αυτά που μένουν να μετρηθούν επονομασία κάθε στοιχείο παίρνει ένα όνομα Στρατηγική: άγγιγμα, μετακίνηση, προσήλωση του βλέμματος Λάθη: λάθη στο διαχωρισμό: αντιστοίχιση του ίδιου όρου σε παραπάνω αντικείμενα, ή η υπερπήδηση ενός αντικειμένου λάθη μη- συντονισμού: συνεχίζουν την απαρίθμηση ενώ έχουν τελειώσει τα αντικείμενα ή να σταματούν την απαρίθμηση πριν τελειώσουν τα αντικείμενα 21

αρχή της πληθικότητας Το να μπορείς να πεις τον αριθμό που δηλώνει το πλήθος ενός συνόλου Οι Gelman & Galistel υποστηρίζουν ότι εφόσον οι μαθητές δίνουν έμφαση στην τελευταία λέξη, έχουν κατανοήσει την αρχή της πληθικότητα 1 2 3 4 5 6... 6!! κουκκίδες H Fuson, 1988, υποστήριξε ότι αυτό δε σημαίνει απαραίτητα ότι έχουν κατανοήσει την πληθικότητα καθώς τα παιδιά μπορεί να δώσουν έμφαση στην τελευταία λέξη αλλά να μην μπορούν να απαντήσουν στην ερώτηση «πόσα;». Μπορεί τα παιδιά να έχουν καταλάβει ότι πρέπει να καταλήγει η μέτρησή τους σε έμφαση της τελευταίας λέξης Στην ερώτηση «πόσα είναι;» τα παιδιά μπορεί να δίνουν μια μηχανική απάντηση που υποδηλώνει μια ημιτελής, διαδικαστική και μηχανική Αν αλλάξεις την ερώτηση «πόσα αντικείμενα υπάρχουν...» δεν μπορούν να το κάνουν 22

αρχή της πληθικότητας Πως μπορούμε να γνωρίζουμε πότε οι μαθητές έχουν κατακτήσει την αρχή της πληθικότητας; Κάνε την ερώτηση «πόσα;» αν επαναλάβει την τελευταία λέξη τότε μπορούμε να είμαστε σίγουροι για την αρχή της πληθικότητας π.χ., το παιδί λέει «ένα, δύο, τρία, τέσσερα, είναι τέσσερα αν δεν την επαναλάβει, ξανακάνουμε την ερώτηση «πόσα;» αν ξαναμετρήσει τότε νομίζει ότι στο «πόσα» πρέπει να επαναλάβει τη διαδικασία και όχι να δώσει το αποτέλεσμα της προηγούμενης απαρίθμησης άλλαξε την ερώτηση και δες τι κάνουν: «πόσα αντικείμενα υπάρχουν...» Συνήθως αναπτύσσεται μέχρι την ηλικία των 41/2 (Fuson & Hall, 1983) 23

αρχή της πληθικότητας Πως μπορούμε να γνωρίζουμε πότε οι μαθητές έχουν κατακτήσει την αρχή της πληθικότητας; Ξεκινήστε την απαρίθμηση από το 2 ή και μεγαλύτερο αριθμό και απαντήστε «πόσα είναι;» όσα παιδιά απαντούν με την τελευταία λέξη για να δηλώσουν την πληθικότητα δεν έχουν κατανοήσει την πληθικότητα για την πλήρη κατανόηση της πληθικότητας θα πρέπει και να κατασκευάσουν σύνολα με συγκεκριμένο πλήθος: παιδιά 31/2-41/2 μπορούν να κατασκευάσουν ισοπληθή σύνολα με ένα δοσμένο, με την ένα προς ένα αντιστοιχία (Sophian, 1992) χωρίς δοσμένο σύνολο τα παιδιά φτιάχνουν το ζητούμενο σύνολο κάνοντας χρήση διαφόρων στρατηγικών όπως της άμεσης εκτίμησης (για 1-3 αντικείμενα) ή της απαρίθμησης 24

αρχή της αφαίρεσης Αφορά το τι είναι απαριθμήσιμο Φαίνεται πως τα παιδιά αντιλαμβάνονται ακόμα και αφηρημένες ιδιότητες ως πράγματα και τα καταμετρούν Gelman & Gallistel Έτσι, μπορούν να μετρούν χρώματα, ήχους, κινήσεις, νοητικά αντικείμενα όπως το κάνουν για τα αντικείμενα. 25

αρχή της ανεξαρτησίας της σειράς H αναγνώριση ότι δεν έχει σημασία ποια λέξη αποδίδεται σε ποιο αντικείμενο Aποτελεί άμεση αναγνώριση των τριών άλλων αρχών της απαρίθμησης Mετά τα 5 έτη μπορούν τα παιδιά να «απαριθμούν με συνθήκες» (βλ. Λεμονίδης, 1999) π.χ να ξεκινάει από διαφορετικό αντικείμενο, ή με διαφορετική λέξη στο ίδιο αντικείμενο Ακόμα κι αν μπορούν να καταμετρήσουν με διαφορετικές διαδοχές δεν είναι πάντα ικανά να προβλέψουν το πλήθος του συνόλου άρα δεν έχουν καταλάβει ότι η διαφορετική σειρά θα επιφέρει το ίδιο συμπέρασμα π.χ., δεν μπορούν να απαντήσουν πόσα θα βρουν πριν επαναλάβουν τη μέτρηση 26

άλλοι ερευνητές βρίσκουν λάθη Συνηθισμένα λάθη στα μικρά παιδιά (μέχρι 3.5 ετών) είναι ότι: χρησιμοποιούν την ίδια αριθμολέξη για περισσότερα από ένα αντικείμενα περισσότερες αριθμολέξεις για λιγότερα αντικείμενα παραλείπουν κάποιο αντικείμενο σταματούν την αρίθμηση πριν την εφαρμόσουν σε όλα τα αντικείμενα συνεχίζουν την απαγγελία αριθμολέξεων ενώ έχουν τελειώσει τα αντικείμενα Τα παραπάνω δείχνουν μια ασταθή γνώση των αρχών της απαρίθμησης (βλ. π.χ., Nunes & Bryant, 2007) 27

Αρχές ή διεξιότητες; Άλλη μια διχογνωμία: Οι μηχανισμοί της απαρίθμησης (οι δεξιότητες) είναι σύνθετοι και στηρίζονται, καθοδηγούνται και ελέγχονται από τις αρχές απαρίθμησης που υπάρχουν εκ των προτέρων Gelman & Gallistel Τα παιδιά αρχικά κάνουν απαρίθμηση μηχανικά, διαδικαστικά, με απομίμηση και διαρκείς δοκιμές χωρίς απαραίτητα να έχουν κατακτήσει τις αρχές της απαρίθμησης αυτές κατασκευάζονται εκ των υστέρων από τη διόρθωση και την εξάσκηση Siegler (1984) 28

κριτική στη Gelman παιδιά απαριθμούν ως μια ρυθμική διαδικασία που αρχίζει και τελειώνει όταν η σειρά με τα αντικείμενα τελειώνει αν τα αντικείμενα δεν είναι σε σειρά, τα παιδιά κάνουν λάθη και δεν τηρούν τις αρχές της απαρίθμησης ειδικά της ένα- προς- ένα αντιστοιχίας μετρούν ξανά το ίδιο αντικείμενο ή δεν μετρούν κάποια αντικείμενα αν τα παιδιά αυτόματα υιοθετήσουν μία στρατηγική με ορόσημα (από που ξεκίνησα να μετρώ) ή μια στρατηγική διαχωρισμού των μετρημένων από αυτά που μένουν να μετρηθούν, τότε σίγουρα έχουν κατανοήσει την ένα- προς- ένα αντιστοιχία η τυχαία διάταξη μπορεί να δώσει πιο σωστά δεδομένα για τη δυνατότητα απαρίθμησης ενός παιδιού (βλ. Fuson) 29

απαρίθμηση ως δεξιότητα τα παιδιά συχνά μπορούν να απαριθμήσουν σωστά αλλά αυτό δε σημαίνει ότι έχουν κατανοήσει ότι η απαρίθμηση είναι ένα εργαλείο που μπορεί να χρησιμεύσει στη σύγκριση συνόλων, ή στις πράξεις, ή στη δημιουργία ίσων συνόλων π.χ., παιδιά που απαριθμούν σωστά δεν μπορούν να φτιάξουν ένα σύνολο, π.χ., με 5 αντικείμενα, αν δεν υπάρχει ένα δοσμένο τέτοιο που θα μπορούσαν να αντιγράψουν παιδιά ενώ έχουν καταμετρήσει δύο σύνολα και βρήκαν το ίδιο πλήθος παρόλα αυτά δεν μπορούν να απαντήσουν αν είναι ίσα και ξανα- απαριθμούν παιδιά που ξέρουν να απαριθμούν σωστά μπερδεύονται με έργα όπως τα έργα διατήρησης και λένε ότι μια πιο αραιή σειρά έχει περισσότερα αντικείμενα (βλ. έργα διατήρησης Piaget) 30

απαρίθμηση ως δεξιότητα παράδειγμα: σε ένα πείραμα οι Frydman & Bryant (1988) ζήτησαν από παιδιά 4 ετών να μοιράσουν σε δύο κούκλες ένα σύνολο από ζαχαρωτά. ξεκίνησε μία διαδικασία «ένα για μένα ένα για σένα» κι αφού ολοκληρώθηκε ο ερευνητής απαριθμήση δυνατά το σύνολο της μίας κούκλας και ρώτησε πόσα έχει η άλλη πολλά παιδιά δεν μπορούσαν να συνάγουν το αριθμό με τη λογική και έπρεπε να απαριθμήσουν το πλήθος της δεύτερης κούκλας 31

σημασία της απαρίθμησης έστω κι αν η ύπαρξη δεξιοτήτων απαρίθμησης δεν σημαίνει απαραίτητα και πλήρη κατανόησης της διαδικασίας ως ένα χρήσιμο εργαλείο για την κατανόηση και χρήση του αριθμού παρόλα αυτά τα παιδιά μπορούν να ενισχυθούν στη χρήση της ως εργαλείο σιγά σιγά θα κατανοήσουν ότι μπορούν να τη χρησιμοποιούν για να βγάζουν συμπεράσματα όσον αφορά τον πλήθος και τον ίδιο τον αριθμό πρέπει να χρησιμοποιηθεί σε ποικιλία περιστάσεων και να τονίζεται το νόημα της διαδικασίας 32

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών αίσθηση του αριθμού 33

αίσθηση του αριθμού (Number Sense) Ορισμός Υπάρχει ποικιλία ορισμών και πραγμάτων που εννοεί κανείς με τον όρο Αίσθηση του Αριθμού Όλες οι προσεγγίσεις συγκλίνουν στο να δέχονται ότι ως Αίσθηση του Αριθμού εννοούμε την κατανόηση του είναι οι αριθμοί και των σχέσεων μεταξύ τους π.χ., ότι το 6 είναι μετά το 5, πριν το 8, μισό του 12, διπλάσιο του 3, 2 πάνω από 4, 1 χέρι κι ένα δάχτυλο, μια λέξη πριν το εφτά, το 6ο κουτάκι του πίνακα των αριθμώ, ο αριθμός που είναι σαν ανάποδο 9 κι ακούει στο όνομα εξι, ανάμεσα σε άλλα πράγματα 34

Αίσθηση του Αριθμού "είναι μια αναδυόμενη δομή που αναφέρεται στην ρευστότητα και την ευελιξία του παιδιού με αριθμούς, η αίσθηση του τί σημαίνουν οι αριθμοί και η ικανότητα του παιδιού να εκτελεί νοερές μαθηματικές πράξεις όπως και να βλέπουν τον κόσμο κάνοντας συγκρίσεις." Russell Gersten, David Chard είναι να έχεις µια καλή διαίσθηση για τους αριθµούς και τις σχέσεις τους. Αναπτύσσεται σταδιακά ως αποτέλεσµα της διερεύνησης των αριθµών, αναπαριστώντας τους οπτικά σε ποικίλα πλαίσια και σχετίζοντάς τα µε τρόπους που δεν περιορίζονται στους παραδοσιακούς αλγόριθµους 35

χαρακτηριστικά του παιδιού με ευχέρεια στους αριθμούς 1 1. Αναπτύσσει νόηµα για τους αριθµούς και τις πράξεις συνδέει τους αριθµούς µε καταστάσεις από την πραγµατική ζωή γνωρίζει ότι οι αριθµοί έχουν πολλαπλές ερµηνείες κατανοεί ότι το µέγεθος των αριθµών είναι σχετικό συνδέει τις βασικές πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασµού και διαίρεσης µε δράσεις που προκύπτουν από πραγµατικές καταστάσεις µπορεί να προβλέψει τα αποτελέσµατα που προκύπτουν από πράξεις πάνω σε αριθµούς δηµιουργεί κατάλληλες αναπαραστάσεις για τις πράξεις µε αριθµούς 36

χαρακτηριστικά του παιδιού με ευχέρεια στους αριθμούς 2 2. Να αναζητά και να ανακαλύπτει σχέσεις ανάµεσα σε αριθµούς και τα αποτελέσµατα των πράξεών τους κατανόηση της ανάλυσης και σύνθεσης των αριθµών κατανόησης της σχέσης των αριθµών µε άλλους αριθµούς σχέσεις ανάµεσα στις αριθµητικές πράξεις πολ/σµός και διαίρεση ως αντίστροφες πράξεις πρόσθεση και αφαίρεση ως αντίστροφες πράξεις πολ/σµός ως επαναλαµβανόµενη πρόσθεση (και τα προβλήµατα αυτού του µοντέλου) διαίρεση ως µερισµός και ίσα µέρη 37

χαρακτηριστικά του παιδιού με ευχέρεια στους αριθμούς 3 3. κατανοούν τις στρατηγικές και χρησιµοποιούν τις κατάλληλες και µε αποτελεσµατικό τρόπο εκτελούν σωστά τα βήµατα του αλγόριθµου και µπορεί να εξηγήσει γιατί ο αλγόριθµός λειτουργεί (π.χ., προσθέτω πρώτα τις δεκάδες και µετά τις µονάδες και...) Κάνουν συνειδητή προσπάθεια να ολοκληρώσει τις πράξεις χρησιµοποιώντας τις προϋπάρχουσες γνώσεις από απλούστερες πράξεις ή αποτελέσµατα που είναι ήδη γνωστά είναι ευέλικτοι στη χρήση διαφορετικών στρατηγικών από appropriately and efficiently. µα και για τις ίδιες πράξεις χρησιµοποιούν τις κατάλληλες τεχνικές για να επιτύχουν ακριβείς ή κατά προσέγγιση υπολογισµούς να µπορούν να εκτελέσουν ακριβείς υπολογισµούς σωστά 38

χαρακτηριστικά του παιδιού με ευχέρεια στους αριθμούς 3 4. Δίνουν νόηµα στις αριθµητικές και υπολογιστικές καταστάσεις αναµένουν τα αποτελέσµατα των αριθµητικών πράξεων να έχουν νόηµα επιδιώκουν να κατανοήσου τις σχέσεις µεταξύ των ποσοτήτων σε καταστάσεις του πραγµατικού κόσµου. αξιολογεί κατά πόσον το αποτέλεσµα του υπολογισµού έχει νόηµα στο πλαίσιο των αριθµών και του πραγµατικού κόσµου σε σχέση µε τις 39

η σημασία της Αίσθησης του Αριθμού Η έρευνα δείχνει ότι η πρώιµη Aίσθηση του Aριθµού προβλέπει την σχολική επιτυχία σε µεγαλύτερες τάξεις της εκπαίδευσης περισσότερο από κάθε άλλη µεταβλητή της γνωστικής ανάπτυξης όπως η γλωσσική, η χωρική ανάπτυξη ή ανάπτυξη της µνήµης και της ικανότητας για ανάγνωση 40

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών ποσότητα και μέγεθος του αριθμού 41

Ποσότητα - Μέγεθος Ποσότητα: Η φυσική ποσότητα από κάτι. Μέγεθος: Ποσότητα σε σχέση με τις άλλες ποσότητες Τα Μαθηματικά (του σχολείου) δεν είναι έχουν να κάνουν με αριθμούς αλλά με την ποσότητα/μέγεθος των πραγμάτων Η φυσική πραγματικότητα των μαθηματικών που μοντελοποιούμε με τη χρήση συμβόλων και την αριθμογραμμή (πόσο πολύ, πόσο μακριά, πόσο μεγάλο, πόσο λαμπερό, κτλ.) Μάλιστα, κάθε μαθηματικό αντικείμενο θα μπορούσε να μοντελοποιηθεί για τους μαθητές με τη χρήση της ποσότητας ως βασική ιδέα για ευκολότερη κατανόηση 42

ποσότητα (quanhty) είναι μια ιδιότητα που υπάρχει είτε ως μέγεθος (magnitude) είτε ως πλήθος (multitude) Οι ποσότητες μπορούν να συγκριθούν ως "περισσότερα", "λιγότερα" ή "ίσα", ή, αποδίδοντας μια αριθμητική αξία στη βάση ύπαρξης μιας μονάδας μέτρησης. Η ποσότητα είναι μεταξύ των βασικών κατηγοριών των πραγμάτων μαζί με την ποιότητα, την ουσία, την μεταβολή και τη σχέση. Όντας ένας βασικός όρος, η ποσότητα χρησιμοποιείται για να περιγράψει οποιονδήποτε τύπο ποσοτικών ιδιοτήτων ή τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα των πραγμάτων. Κάποιες ποσότητες είναι τέτοιες λόγω της εσωτερική φύση τους (όπως ο αριθμός), ενώ άλλες λειτουργούν ως καταστάσεις/σχέσεις (οι ιδιότητες, οι διαστάσεις, τα χαρακτηριστικά) κάποιων πραγμάτων, π.χ., βαρύ και ελαφρύ, θετικός και αρνητικός, φαρδύς και στενός, μικρή και μεγάλη, πολύ και λίγο. 43

μέγεθος Στα μαθηματικά, μέγεθος είναι το πόσο μεγάλο (μικρό) είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο, μια ιδιότητα με την οποία το αντικείμενο μπορεί να συγκριθεί ως μεγαλύτερο ή μικρότερο από άλλα αντικείμενα του ίδιου είδους. Το μέγεθος ενός αντικειμένου είναι μια διάταξη (ή κατάταξη) της τάξης των αντικειμένων στην οποία ανήκει. αν τα αντικείμενα είναι ποσότητες, τότε είναι η διάταξη των ποσοτήτων σκεφτείτε τη φράση το μέγεθος της ποσότητας για παράδειγμα υπάρχει μεγάλη ποσότητα 44

η σημασία της κατανόησης της ιδέας της ποσότητας του αριθμού Η ποσότητα αναπαριστά το πόσο του αριθμού και αποτελεί θεμελιώδης έννοια στην απόκτηση της αίσθησης του αριθμού. Η κατανόηση της ιδέας της ποσότητας αποτελεί προϋπόθεση της κατανόησης της αξίας θέσης, των πράξεων και του κλάσματος στη συνέχεια Η κατανόηση της ιδέας της ποσότητας βοηθά τα παιδιά να εστιάσουν και να σκεφτούν με αριθμούς Είναι ιδιαίτερα σημαντική για την κατανόηση της σχετικής ποσότητας (πολύ λίγα) για τον αναλογικό συλλογισμό (διπλάσιο από, το μισό από) 45

κάποιες επισημάνσεις για την ποσότητα του αριθμού Τα παιδιά έχουν (εγγενώς;) τη δυνατότητα αντίληψης της ποσότητας ήδη από πολύ νωρίς μετά τη γέννησή τους. θα δούμε παρακάτω από πόσο νωρίς Κατανοούν βασικές αρχές της διατήρησης της ποσότητας και των σχέσεων που δημιουργούνται γύρω από αυτή. Έτσι έχουν ήδη αποκτήσει άτυπες γνώσεις για τις ποσοτικές σχέσεις που υπάρχουν στον πραγματικό κόσμο. Ξέρουν πότε κάτι είναι μεγαλύτερο, μικρότερο ή ίσο με κάτι άλλο. Στη βάση αυτή μπορούν να επιλέξουν κάτι αφού πρώτα κάνουν μια ποσοτική σύγκριση. Παρόλα αυτά, η σύγκριση της ποσότητας μπορεί να γίνεται διαισθητικά και η ικανότητα για απαρίθμηση να υπολείπεται. Με τον καιρό τα παιδιά δημιουργούν τη σύνδεση ανάμεσα στις αριθμολέξεις με την αριθμητική ποσότητα που αναπαριστούν, και την αύξουσα (φθίνουσα) σειρά των αριθμολέξεων με την αύξηση (μείωση) της ποσότητας. 46

Η ποσότητα ως κατανόηση του πόσα Ενώ τα παιδιά μαθαίνουν να απαριθμούν δεν έχουν από την αρχή κατανοήσει ότι η απαρίθμηση 1,2,3,4,5 αντιστοιχεί στην ποσότητα 5 πραγμάτων. Η ποσότητα αποτελεί μια ιδιαίτερη ποιότητα του αριθμού η ιδέα ότι η ποσότητα 3 μήλων είναι ίδια με την ποσότητα 3 λεωφορείων, κι ότι το 3 αναπαριστά τα 2 αγόρια και 1 κορίτσι, απαιτεί μία αφαίρεση και δεν είναι κάτι άμεσα διαισθητικό. Είναι σημαντικό οι μαθητές να αποκτήσουν καλή κατανόηση της ποσότητας (πόσα είναι) και του μεγέθους (λιγότερα/ περισσότερα) των αριθμών για να εμβαθύνουν στην αίσθηση του αριθμού 47

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών ποσότητα και πράξεις 48

η σχέση της ποσότητας με τις πράξεις Η κατανόηση της ποσότητας που αναπαρίσταται από έναν αριθμό βοηθά τους μαθητές να καταλάβουν το νόημα της κάθε πράξης. Στην πράξη της πρόσθεσης η ποσότητα αυξάνει ενώ στην αφαίρεση η ποσότητα μειώνεται φυσικά μιλάμε εδώ για τις πράξεις με φυσικούς αριθμούς, δηλαδή τους θετικούς ακέραιους αριθμούς 1, 2, 3, κοκ. Τα παραπάνω δεν ισχύουν όταν μάθουμε αρνητικούς αριθμούς, όπου η πρόσθεση μπορεί να μειώσει τον αριθμό [π.χ., 3+(- 2)=1] και η αφαίρεση να τον αυξήσει [4- (- 5)=4+5=9] Κάνοντας τη σύνδεση ανάμεσα στην ποσότητα που εκφράζει ένας αριθμός και στη θέση του στην αριθμογραμμή γίνεται η κατανόηση της πράξης ως κίνηση που αυξάνει ή μειώνει την ποσότητα. 49

η σχέση της ποσότητας με την αξία θέσης και την κατανόηση των κλασμάτων Η ιδέα της ποσότητας είναι σημαντική επίσης για την κατανόηση του τι αναπαριστούν τα νούμερα (ψηφία) ενός αριθμού και γιατί η αξία κάθε ψηφίου και της θέσης τους έχει σημασία στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. δηλ. το γεγονός ότι το ψηφίο αριστερά κάθε άλλου ψηφίου αναπαριστά αυξημένη ποσότητα της τάξης του 10 σε σχέση με το ψηφίο που βρίσκεται δεξιά Κατά την εισαγωγή των μαθητών στους δεκαδικούς και τα κλάσματα (Γ - Δ Δημοτικού) η αίσθηση της ποσότητα είναι πολύ σημαντική για την κατανόηση του κλάσματος. Μία από τις μεγαλύτερες δυσκολίες των μαθητών είναι να αποδεχθούν το 2/3 ως αριθμό, που δηλώνει μία συγκεκριμένη ποσότητα που αντιστοιχεί στο λόγο του 2 με το 3, ή σε μια ποσότητα του μέρους σε σχέση με το όλον ( τα 2 κομμάτια από τα τρία που αποτελούν το όλον) κι όχι δύο φυσικού αριθμοί με μια γραμμή ανάμεσά τους 50

η σχέση της ποσότητας με τους κατά προσέγγιση υπολογισμούς και τους συλλογισμούς με αριθμούς Η αίσθηση της ποσότητας του αριθμού είναι καθοριστική στην ανάπτυξη της ικανότητας για εκτιμήσεις κατά- προσέγγιση, την αίσθηση του λόγου και της αναλογίας, και την κατανόηση του ρητού αριθμού. Η αίσθηση της ποσότητας επεκτείνεται στην αίσθηση του μεγέθους ως αποτέλεσμα μιας μέτρησης - για παράδειγμα στην αναγνώριση ότι το μέγεθος μιας ποσότητας επηρεάζεται από την κίνηση (π.χ., όπως είπαμε στην αριθμογραμμή δεξιά- αριστερά, στο θερμόμετρο πάνω- κάτω, στο ρολόι κυκλικά) Η κατανόηση της συστηματικής σχέσης ανάμεσα στις ποσότητες που εκφράζουν οι αριθμοί (π.χ., στον διπλασιασμό μία συνταγής) θέτει τη βάση για τον αναλογικό συλλογισμό Επίσης, ο λόγος των ποσοτήτων που αναπαριστούν οι αριθμοί είναι τα κλάσματα Μοιράζοντας τις ποσότητες σε μέρη του όλου μπορεί να δημιουργήσει μια καλή διαίσθηση των ρητών αριθμών (ειδικά των <1) 51

ποσότητα και μέγεθος Η αίσθηση της ποσότητας είναι συνδεδεμένη με την αναγνώριση ότι η κίνηση π.χ., δεξιά/αριστερά στην αριθμογραμμή, πάνω/κάτω στον πίνακα ή στο θερμόμετρο, κτλ, σημαίνει την αύξηση/μείωση στο μέγεθος της ποσότητας. 52

μέρος- μέρος- όλον / ανάλυση- σύνθεση και ποσότητα Τα μικρά παιδιά ακόμα κι όταν έχουν μάθει να μετρούν μέχρι το 10 δεν έχουν απαραίτητα κατανοήσει ότι οι ποσότητες που μετρούν αποτελούνται από επιμέρους ποσότητες Έτσι, συχνά αμφισβητούν τον ισχυρισμό ότι 5 αντικείμενα και 3 αντικείμενα που αν τα βάλουμε μαζί κάνουν 8 είναι η ίδια ποσότητα όπως 2 και 6 αντικείμενα που αν επίσης τα βάλουμε μαζί φτιάχνουμε άλλο ένα σύνολο από 8 αντικείμενα ίδια με πριν. Με τον καιρό κατακτούν την έννοια του όλου (8) ως αποτελούμενο από διάφορα μικρότερα μέρη (π.χ., 4+4 ή 5+3 ή 2+6) Αναλύση/σύνθεση αριθμών Η επέκταση των παραπάνω θα βοηθήσει στην ανάπτυξη της ανάλυσης/σύνθεσης των αριθμών. Κάποια στιγμή τα παιδιά κατανοούν ότι όλους τους αριθμούς μπορούμε να τους συνθέσουμε από άλλους και να τους σπάσουμε σε νέους τελείως διαφορετικούς. π.χ., ότι το 23 αποτελείται από 20 και 3 ή 2 δεκάδες και 2 μονάδες Σε αυτές τις σχέσεις θα οικοδομηθεί και η κατανόηση της δράσης των πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση, πολ/σμός, διαίρεση) πάνω στους αριθμούς 53

δεξιότητες προσέγγισης και ποσότητα Οι δεξιότητες υπολογισμού κατά- προσέγγιση συνδέονται άμεσα με την αίσθηση της ποσότητας Οι δεξιότητες προσέγγισης είναι πολύ σημαντικές στις διαδικασίες λογικών συλλογισμών στη λύση μαθηματικών προβλημάτων, όπως στην επιλογή της σωστής πράξης και τον σχεδιασμό της λύσης όπως επίσης στην αξιολόγηση του αποτελέσματος, στη διόρθωση της λανθασμένης απάντησης. τα παιδιά που μπορούν να πουν αν 3 φορές το 8 είναι πάνω από το 20 έχουν καλύτερη αίσθηση του αριθμού και αυτό γίνεται στη βάση της αίσθησης της ποσότητας/μεγέθους του αριθμού 54

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών αριθμός και ποσότητα νοητική αναπαράσταση του αριθμού ως ποσότητα 55

Distance Effect / Number Size Effect Ζητήθηκε από τους συμμετέχοντες να συγκρίνουν δύο αριθμούς που τους δίνονταν με τη μορφή Αραβικού ψηφίου και να αποφανθούν για τον μεγαλύτερο, πατώντας ένα από δύο πλήκτρα απόκρισης. Οι χρόνοι απόκρισης μετρήθηκαν με ακρίβεια. Παρουσιάστηκαν τα επόμενα δύο φαινόμενα: distance effect (D.E.) το φαινόμενο όπου η ταχύτητα σύγκριση δύο αριθμών εξαρτάται από την απόσταση που τους χωρίζει, Στη σύγκριση 2 και 9, ο χρόνος απόκρισης ήταν μικρός, ενώ για αριθμούς όπως 5 και 6, η απόκριση καθυστερεί αισθητά και είναι πιο συχνά τα λάθη. π.χ.. 3 / 5 4 / 9 number size effect (N.S.E.) το φαινόμενο όπου η σύγκριση δύο ζευγαριών αριθμών που απέχουν ίση απόσταση μεταξύ τους εξαρτάται από το μέγεθος των αριθμών αυτών. Έτσι ήταν πιο δύσκολη η σύγκριση του 8 με το 9 απ' ότι του 2 με το 3 π.χ., 13 / 15 43 / 45

Distance Effect / Number Size Effect Συµπεράσµατα: Η παράμετρος που κυριαρχεί στη διάκριση των αριθμών δεν είναι η απόλυτη αριθμητική τους απόσταση αλλά η απόστασή τους συγκριτικά με το μέγεθος. Η ταχύτητα της σύγκρισης επηρεάζεται όχι μόνο από την απόσταση των αριθμών αλλά και από το μέγεθός τους.

Ζητήθηκε από 35 ενήλικες εθελοντές να συγκρίνουν με το 65 όλους τους αριθμούς από το 33 μέχρι το 99. Ο χρόνος αντίδρασής τους μετρήθηκε και τα δεδομένα αναπαραστάθηκαν γραφικά στην καμπύλη της εικόνας 1. Από τη μελέτη της καμπύλης αυτής φαίνεται ξεκάθαρα ότι όσο πιο κοντά είναι οι αριθμοί στο 65 τόσο περισσότερη ώρα χρειάζεται για να γίνει η σύγκριση (Dehaene, et al. 1990). Distance Effect

Distance Effect / Number Size Effect Η νοητική αναπαράσταση του αριθμού δεν είναι συμβολικής - ψηφιακής φύσεως αλλά διατηρεί την αναλογική της σχέση με τις ποσότητες που εκφράζει δηλ. είναι σαν ποσότητα το D.E. και το N.S.E. δεν επηρεάζεται από την εμπειρογνωμοσύνη ή την εκπαίδευση. το D.E. ελέγχθηκε σε ενήλικους ανθρώπους τόσο με Αραβικά σύμβολα αριθμών όσο και με αριθμητικές λέξεις και η ύπαρξή του επιβεβαιώθηκε στο ίδιο βαθμό

κάποια ερωτήματα πόσο νωρίς εμφανίζεται η κατανόηση της ποσότητας του αριθμού; είναι μία ικανότητα που είναι άμεσα συνδεδεμένη με τη γλώσσα; πως θα μπορούσαμε να την εξετάσουμε σε παιδιά στην προγλωσσική περίοδο; 60

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών numerosity: η ικανότητα αντίληψης του πλήθους μιας συλλογής αντικειμένων μια πρώιμη μαθηματική ικανότητα 61

Μεθοδολογία της προσέγγισης της πρώιμης μαθηματικής ικανότητας Μελέτη ζώων (για τη διερεύνηση του αν η ικανότητα είναι μια ικανότητα άμεσα συνδεδεμένη με τη γλώσσα) Διερεύνηση της βιολογικής βάσης - νευροφυσιολογία Μελέτη της συμπεριφοράς των νεογέννητων (προγλωσσικά) Μέθοδος εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος (habituavon/dishabituavon) Μέθοδος του 'μετασχηματισμού' ή 'αριθμητικής πρόβλεψης' (arithmevc expectavon).

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Μέθοδος εξοικείωσης/ ανάκτησης ενδιαφέροντος

Μέθοδος εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος n n n n n (habituation/dishabituation) βασίζεται στην παρατήρηση της προσήλωσης του βλέµµατος των παιδιών σε δοσµένα ερεθίσµατα το βλέµµα προσηλώνεται όταν το ερέθισµα προκαλεί ενδιαφέρον, π.χ., όταν είναι καινούριο Κατά την εξοικείωση: δείχνουµε στο παιδί µια σειρά από ίδια ερεθίσµατα (ή σχεδόν ίδια) µέχρι που χάνει το ενδιαφέρον του επειδή έχει συνηθίσει την εναλλαγή ίδιων ερεθισµάτων, Ανάκτηση ενδιαφέροντος: όταν το βλέµµα έχει αφαιρεθεί αλλάζουµε το ερέθισµα q αν το παιδί καταλάβει την αλλαγή στο ερέθισµα τότε το βλέµµα του επαναπροσκολάται στο ερέθισµα οπότε έχει συµβεί ανάκτηση ενδιαφέροντος q αν δεν ανακτήσει το ενδιαφέρον σηµαίνει ότι δεν έχει αντιληφθεί τη διαφορά στο ερέθισµα

Μέθοδος εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος παράδειγμα: n n εξοικείωση: κάρτες με δύο αντικείμενα ανάκτηση ενδιαφέροντος: με κάρτα με τρία αντικείμενα

Πείραμα: Antel και Kea%ng (1983) κάποια πειράµατα μέθοδος: 'εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος ερέθισμα: κάρτα με 2 μαύρες τελείες από μελάνι τυπωμένες πάνω της που αλλάζει με κάρτα με 3 τελείες. εξοικείωση με 2 τελείες / ανάκτηση ενδιαφέροντος με 3. Αποτελέσματα: υπήρξε έντονη ανάκτηση ενδιαφέροντος από μεριάς των συμμετεχόντων όταν άλλαζε ο αριθμός των τελείων στις κάρτες. κριτική: είναι σίγουρα η διαφορά στον αριθμό των τελείων που δημιουργεί ανάκτηση ενδιαφέροντος στα βρέφη; Θα μπορούσε να είναι οποιοδήποτε νέο ερέθισμα. Απάντηση:

Πείραμα: Starkey, P., Spelke, E.S., & Gelman, R (1990). μέθοδος: 'εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος ερέθισμα: κάρτες με εικόνες από αντικείμενα όπως πορτοκάλι, κλειδί, χτένα, κ.α. όπου τα αντικείμενα ήταν σε κάθε κάρτα και σε όλες τις εναλλασσόμενες κάρτες διαφορετικά μεταξύ τους. εξοικείωση με 2 αντικείμενα/ ανάκτηση ενδιαφέροντος με 3 Αποτελέσματα: υπήρξε έντονη ανάκτηση ενδιαφέροντος από μεριάς των συμμετεχόντων, όταν άλλαζε ο αριθμός των αντικειμένων στις κάρτες. κριτική: μήπως αρέσκονται να βλέπουν απλώς περισσότερες εικόνες; Απάντηση: Αριθμητική Ικανότητα

Πείραμα: Starkey, P., Spelke, E.S., & Gelman, R (1990). μέθοδος: 'εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος ερέθισμα: κάρτες με εικόνες από αντικείμενα όπως πορτοκάλι, κλειδί, χτένα, κ.α. όπου τα αντικείμενα ήταν σε όλες τις εναλλασσόμενες κάρτες διαφορετικά μεταξύ τους. εξοικείωση με 3 αντικείμενα/ανάκτηση ενδιαφέροντος με 2 Αποτελέσματα: υπήρξε έντονη ανάκτηση ενδιαφέροντος από μεριάς των συμμετεχόντων, όταν άλλαζε ο αριθμός των αντικειμένων στις κάρτες. κριτική: (subi%zing) ο μικρός αριθμός αντικειμένων διατάσσεται στο χώρο παίρνοντας μορφή γεωμετρικού προτύπου. 1 σημείο, 2 ευθεία, 3 τρίγωνο. Η ανάκτηση ενδιαφέροντος οφείλεται στη διαφορετική διάταξή τους στο χώρο (Mandler & Shebo (1982) Απάντηση: Αριθμητική Ικανότητα

Αριθμητική Ικανότητα Πείραμα: Van Loosbroek & Switsman (1992) μέθοδος: 'εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος ερέθισμα: δύο, τρία ή τέσσερα τετράγωνα σε αποχρώσεις του γκρι που κινούνταν σε διαφορετικές τροχιές στην οθόνη ενός η/ υ. εξοικείωση με 3 αντικείμενα/ανάκτηση ενδιαφέροντος με 2 και εξοικείωση με 2 αντικείμενα/ανάκτηση ενδιαφέροντος με 3. Αποτελέσματα: υπήρξε έντονη ανάκτηση ενδιαφέροντος από μεριάς των συμμετεχόντων, όταν άλλαζε ο αριθμός των τετραγώνων στην οθόνη. Επίσης:

Πείραμα: Wynn, K., Bloom, P., & Chiang, W. - C., (2002). μέθοδος: 'εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος ερέθισμα: Τα αντικείμενα ήταν κόκκινα και στρογγυλά, είχαν το μέγεθος ζαριού και προβάλλονταν στην οθόνη ενός η/υ. εξοικείωση με: Α ομάδα: 2 κινούμενα σύνολα από 3 αντικείμενα, Β ομάδα: 4 κινούμενα σύνολα από 3 αντικείμενα ανάκτηση ενδιαφέροντος: Α, B ομάδα, 2 σύνολα από 4 αντικείμενα το καθένα και 4 σύνολα από 2 μέλη το καθένα. Αριθμητική Ικανότητα

Αριθμητική Ικανότητα Πείραμα: Wynn, K., Bloom, P., & Chiang, W. - C., (2002). Αποτελέσματα: τα βρέφη που είχαν εξοικειωθεί με τα δύο σύνολα αντικειμένων, κοιτούσαν περισσότερο τα τέσσερα σύνολα, ενώ τα βρέφη που είχαν εξοικειωθεί στα τέσσερα σύνολα κοιτούσαν περισσότερο τα δύο σύνολα στη τελική δοκιμασία. Κριτική: Το ζήτημα είναι τώρα αν αυτή η ικανότητα υπάρχει επίσης όταν το ερέθισμα δεν αποτελείται από πλήθος διακριτών αντικειμένων στο χώρο αλλά από πλήθος ενεργειών και δράσεων που συμβαίνουν στο περιβάλλον. Απάντηση:

κατανόηση του πλήθους ενεργειών Πείραμα: Karen Wynn, (1995). μέθοδος: 'εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος ερέθισμα: ένα πλαστικό σκυλάκι, το οποίο αναπηδούσε δύο ή τρεις φορές με κάποιο χρονικό κενό ανάμεσα σε κάθε αναπήδηση εξοικείωση με 2 αναπηδήσεις/ανάκτηση ενδιαφέροντος με 3 και εξοικείωση με 3 αναπηδήσεις/ανάκτηση ενδιαφέροντος με 2 Αποτελέσματα: υπήρξε έντονη ανάκτηση ενδιαφέροντος από μεριάς των συμμετεχόντων, όταν άλλαζε ο αριθμός των αναπηδήσεων του παιχνιδιού.

µέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης'

πότε αλλάζει η ποσότητα; κατανοούν όμως τα παιδιά την αλλαγή της ποσότητας; κατανοούν ότι η πρόσθεση και η αφαίρεση αλλάζουν το πλήθος; από πόσο νωρίς; 74

µέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης' n n n βασίζεται στην παρατήρηση ότι το βλέμμα των παιδιών προσκολλάται σε ένα γεγονός που τους προκαλεί έκπληξη q ένα απροσδόκητο γεγονός, απρόβλεπτο ή κάτι που παραβιάζει τις προσδοκίες τους Μέθοδος: ερεθίσματα που επιβεβαιώνουν τις προσδοκίες των παιδιών εναλλάσσονται με άλλα που τις παραβιάζουν προσκόλληση του βλέμματος σε απρόβλεπτα ερεθίσματα δείχνει ότι υπάρχει συγκεκριμένη (νοητική) πρόβλεψη, η οποία γίνεται στη βάση κάποιας λογικής

µέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης' παράδειγμα Wynn, 1992

Πείραμα: Karen Wynn (1992) μέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης' (επιβεβαίωση ή διάψευση πρόβλεψης/αναμονής) (arithme%c expecta%on) ερέθισμα: κούκλες που μπαινοβγαίνουν σε παραβάν 1 κούκλα + 1 κούκλα = 2 κούκλες και 1 κούκλα + 1 κούκλα = 1 κούκλα Αποτελέσματα: έκπληξη που συνοδεύεται από έντονη προσκόλληση του βλέμματος στις κούκλες, όταν το πλήθος των κούκλων έρχεται σε αντίθεση με το προβλεπόμενο αποτέλεσμα. Κριτική: Μήπως απλά το βρέφος δείχνει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στα χαρακτηριστικά μιας κούκλας και αδιαφορεί για τις δύο κούκλες; Απάντηση: Αριθµητική Ικανότητα

Αριθµητική Ικανότητα Πείραμα: Karen Wynn (1992) μέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης' ερέθισμα: κούκλες που μπαινοβγαίνουν σε παραβάν 2 κούκλες - 1 κούκλα = 1 κούκλα και 2 κούκλες - 1 κούκλα = 2 κούκλες Αποτελέσματα: Δεν υπάρχει διαφορά στο χρόνο που κοιτούν τη μία και τις δύο κούκλες μέχρι να επέλθει εξοικείωση. έκπληξη που συνοδεύεται από έντονη προσκόλληση του βλέμματος στις κούκλες, όταν το πλήθος των κούκλων έρχεται σε αντίθεση με το προβλεπόμενο αποτέλεσμα. Κριτική: είναι τα χαρακτηριστικά του ερεθίσματος που αλλάζουν σε σχέση με την πρόβλεψη και όχι το αριθμητικό τους αποτέλεσμα Απάντηση:

Αριθµητική Ικανότητα Πείραμα: Simon, T.J., Hespos, S.J., & Rochat, P., (1995). μέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης' ερέθισμα: Ο Elmo και ο Ernie, κούκλες από την εκπομπή 'Sesame Street' της εκπαιδευτικής τηλεόρασης. Διάψευση της πρόβλεψης, τόσο σε χαρακτηριστικά του αντικειμένου - ο Elmo με αόρατες διαδικασίες γινόταν Ernie - όσο και στο πλήθος των αντικειμένων. + = +

Αριθµητική Ικανότητα Πείραμα: Simon, T.J., Hespos, S.J., & Rochat, P., (1995). μέθοδος: 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης' ερέθισμα: Ο Elmo και ο Ernie, κούκλες από την εκπομπή 'Sesame Street' της εκπαιδευτικής τηλεόρασης. Ανατροπή της πρόβλεψης, τόσο σε χαρακτηριστικά του αντικειμένου (ο Elmo με αόρατες διαδικασίες γινόταν Ernie) όσο και στο πλήθος των αντικειμένων.

Αριθµητική Ικανότητα Πείραμα: Simon, T.J., Hespos, S.J., & Rochat, P., (1995). Αποτελέσματα: Τα παιδιά έδειχναν έντονη έκπληξη όταν συνέβαινε ένα αδύνατο αριθμητικό γεγονός ενώ φαινόντουσαν έως αδιάφορα στην αλλαγή του Elmo σε Ernie. Συνολική κριτική: Η ανάκτηση ενδιαφέροντος οφείλεται σε αντίληψη της πληθικότητας ενός συνόλου αντικειμένων - ενεργειών ή σε αλλαγή της έκτασης του ερεθίσματος, όπως όγκος, εμβαδόν, διάρκεια κτλ; Απάντηση:

Πείραμα: Clearfield και Mix (1999) μέθοδος: 'εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος ερέθισμα: ερεθίσματα δύο ειδών τετράγωνα με μήκος περιγράμματος 16 και 24cm Αποτελέσματα: επήλθε εξοικείωση με δύο τετράγωνα με 16cm μήκος περιγράμματος, και ενώ ανέκτησαν ενδιαφέρον όταν το ερέθισμα έγινε δύο τετράγωνα με μήκος περιγράμματος 24cm, δεν ανέκτησαν το ενδιαφέρον τους όταν το ερέθισμα έγινε τρία τετράγωνα με μήκος περιγράμματος 16cm. Είναι λοιπόν τα επιμέρους χαρακτηριστικά του ερεθίσματος που αν αλλάξουν προκαλούν έκπληξη και όχι η πληθικότητά τους. Επίσης: Αριθµητική Ικανότητα

Αριθµητική Ικανότητα Πείραμα: Feigenson, Carey και Spelke (2002) μέθοδος: 'εξοικείωσης/ανάκτησης ενδιαφέροντος ερέθισμα: δύο διαφορετικών μεγεθών (μεγάλα και μικρά) τρισδιάστατα αντικείμενα

Αριθµητική Ικανότητα Πείραμα: Feigenson, Carey και Spelke (2002) Αποτελέσματα: στη διαφορά ενός αντικειμένου από δύο, τα βρέφη δείχνουν να ανακτούν το ενδιαφέρον τους όταν είναι η συνολική έκταση του ερεθίσματος που αλλάζει και όχι όταν αλλάζει το πλήθος τους και διατηρούνται τα επιμέρους χαρακτηριστικά σταθερά.

πλήθος ή έκταση; n Ανοιχτό το ερώτημα αν τα μικρά παιδιά διακρίνουν διαφορές σε πλήθος (άρα στον καθαρό αριθμό) ή στα άλλα χαρακτηριστικά του πληθικού αριθμού όπως η έκταση - το μήκος που καταλαμβάνει μια αριθμητικά διαφορετική συλλογή n Ερώτημα: ο μηχανισμός που μας κάνει να αντιλαμβανόμαστε τον αριθμό είναι εξειδικευμένος στις διακριτές ποσότητες (πλήθος διακριτών αντικειμένων) ή στις συνεχείς (έκταση, μήκος, επιφάνεια); q q Αν είναι στις διακριτές τότε οι φυσικοί αριθμοί είναι προνομιούχοι...βιολογικά Αν είναι εξειδικευμένος στις διακριτές ποσότητες τότε προνομιούχοι βιολογικά είναι οι ρητοί αριθμοί

αντίληψη της διαφοράς συνεχών ποσοτήτων n Βρέφη 5 μηνών διακρίνουν ανάμεσα σε ένα δοχείο γεμάτο κατά ένα συγκεκριμένο μέρος (π.χ. κατά το το ¼ ή κατά τα ¾ ), και σε ένα άλλο δοχείο γεμάτo κατά ένα άλλο μέρος. n Παιδιά 4 χρονών επιτυγχάνουν στο παρακάτω έργο όταν τους δοθεί σχηματικά: q Αν ½ ενός κυκλικού δίσκου ταιριάζει με το ½ ενός ορθογωνίου, τότε το ¼ του δίσκου ταιριάζει με το του ορθογωνίου n Άρα τα παιδιά μπορούν να διακρίνουν διαφορές σε συνεχείς ποσότητες

συµπεράσµατα n n n Από πολύ νωρίς (2 ½ με 4 ½ ετών) αναπτύσσεται μια ποικιλία ικανοτήτων που συνδέονται με την έννοια του αριθμού τόσο σε διακριτές όσο και σε συνεχείς ποσότητες. Τα νήπια διακρίνουν την ισοδυναμία ως προς την πληθικότητα σε δύο σύνολα αντικειμένων q Κρίνουν ποιο σύνολο έχει περισσότερα στοιχεία Αναπτύσσουν απλές στρατηγικές υπολογισμού και εκτιμούν τα αποτελέσματα των απλών πράξεων (πρόσθεσης/αφαίρεσης) n Τρεις σημαντικές αναπτυξιακές αλλαγές q q q Οι ορθές απαντήσεις και η ακρίβεια αυξάνονται Το μέγεθος των συνόλων αντικειμένων που μπορούν να διαχειριστούν αυξάνεται Το επίπεδο αφαίρεσης αυξάνεται n Π.χ. μπορούν να κρίνουν ως ισοδύναμα δύο σύνολα διαφορετικών αντικειμένων, όπως άσπρους δίσκους και μαύρες κουκκίδες n Το κάνουν σε ήχους, ενέργειες, αντικείμενα που κρύβονται

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Νοητικές Αναπαραστάσεις του Αριθµού

Domain Generality vs Domain Specificity Εννοιολογική Αλλαγή: Γνωστική σύγκρουση Αναδιοργάνωση Συνθετικά μοντέλα Θεωρία Piaget Αφομοίωση Συμμόρφωση Εξισορρόπηση

Jerry Fodor Domain Generality: οι γνωστικές ικανότητες του ανθρώπου είναι γενικού πεδίου και αναπτύσσονται όλες μαζί σαν ένα σώμα Domain Specificity: οι γνωστικές ικανότητες του ανθρώπου δεν αναπτύσσονται όλες μαζί, 'γνωστικά αρθρώματα' (cognitive modules ): ικανότητες υψηλής εξειδίκευσης ανάλυση μόνο ενός χαρακτηριστικού του ερεθίσματος (π.χ. χρώμα, σχήμα, κτλ) εξαιρετικά γρήγορη, σχεδόν αυτόματη, διαδικασία. εγγενείς, εξελικτικά διαμορφωμένες και γονιδιακά κληρονομημένες. 'κεντρικές διεργασίες' (central processes), ικανότητες γενικού πεδίου (π.χ, ποδήλατο, μνήμη, μαθηματικά), αργές, μη εγγενείς, χρειάζονται προσπάθεια, εξαρτώνται από άλλες.

Domain Generality vs Domain Specificity Η 'µαθηµατική ικανότητα, σύµφωνα µε το διαχωρισµό του Fodor, είναι κεντρική διεργασία ή αποτελεί από µόνη της ένα γνωστικό άρθρωµα; Ο Fodor υποστήριξε ότι η µαθηµατική ικανότητα ανήκει στις κεντρικές διεργασίες και δεν θα µπορούσε ποτέ να αποτελέσει ένα γνωστικό άρθρωµα. η ικανότητα να κάνεις υπολογισµούς είναι µια αργή διαδικασία που απαιτεί προσπάθεια. Το ίδιο συµβαίνει και µε το λογικό συλλογισµό, απαραίτητη ικανότητα για την αντίληψη των µαθηµατικών εννοιών, όπου θεωρεί ότι προκύπτει µέσω µιας ειδικής εκπαιδευτικής διαδικασίας

Αντίθετα: Οι Rochel Gelman, Karen Wynn, Brian Buserworth, Stanislas Dehaene, Elisabeth Spelke, θεωρούν, με κάποιες διαφοροποιήσεις ο ένας από τον άλλο, ότι η ικανότητα να προσλαμβάνουμε τον κόσμο και μαθηματικά, είναι μια ικανότητα συγκεκριμένου πεδίου, εγγενής στον άνθρωπο και εκδηλώνεται αυτόματα από τις πρώτες στιγμές της ζωής του.

Deheane (1997) Κατά τον Deheane (1997) δεν υπάρχει λόγος να θεωρήσουμε ότι ο αριθμός είναι πολυπλοκότερη παράμετρος του εξωτερικού κόσμου απ ότι οι επονομαζόμενες αντικειμενικές ή φυσικές παράμετροι του χρώματος, του χρόνου κ.α.

Πειράματα με ζώα τα ρακούν μπορούν να μάθουν να επιλέγουν ανάμεσα σε διαφορετικά δοχεία με σταφύλια, αυτά που περιέχουν 2 ή 4 Ποντίκια μαθαίνουν να ακολουθούν τον 4 διάδρομο σε ένα λαβύρινθο ανεξαρτήτως της απόστασης Σε άλλα πειράματα τα ποντίκια φαίνεται να θυμούνται τον αριθμό των τιμωριών και των επιβραβεύσεων που έχουν λάβει (E.G.Capaldi & David Miller).

Νοητικές Αναπαραστάσεις του Αριθµού Δύο αντιμαχόμενες θεωρητικές σχολές: Οπτικο χωρικές νοητικές αναπαραστάσεις αναλογικής φύσης Συμβολικής - γλωσσικής προτασιακής φύσεως αναπαραστάσεις

Benjamin Lee Whorf (1897-1941) Η γλώσσα ορίζει τη σκέψη Η δομή της γλώσσας επηρεάζει τη γνωστικές διεργασίες

John Lock Υπάρχουν λαοί που στο λεξιλόγιό τους δεν έχουν λέξεις για πάνω από 5 αριθμούς Η ιδέα του κάθε αριθμού προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση της μονάδας, που είναι θεμελιώδης έννοια Με τον τρόπο αυτό μπορεί να κατανοηθεί και η απειρία Η γλώσσα δεν είναι απαραίτητη προϋπόθεση

Οι αυτόχθονες Torres δηλώνουν τους αριθμούς δείχνοντας σε συγκεκριμένο σημείο του σώματός τους με συγκεκριμένη σειρά. Οι αριθμοί 1 έως 5 δηλώνονται από τον μικρό δάκτυλο μέχρι τον αντίχειρα του δεξιού χεριού, οι αριθμοί 6 έως 12 από τον καρπό του δεξιού χεριού μέχρι τον καρπό του αριστερού, κοκ. Αριθµός και Σώµα

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών αριθμός και χώρος 99

STARC effect (Spa%al- Numerical Associa%on of Response Codes). Το φαινόμενο αυτό δηλώνει την ύπαρξη ενός μοντέλου αναπαράστασης του αριθμού που έχει την δομή της 'ευθείας των αριθμών'. στα πλαίσια του πειράματος που περιγράφηκε παραπάνω για το Number Size Effect με τη σύγκριση αριθμών με το 65, τα υποκείμενα χωρίστηκαν σε δύο ομάδες. Από τη μία ομάδα ζητήθηκε να πατούν ένα πλήκτρο με το δεξί τους χέρι για να δηλώνουν ότι ο δοθέν αριθμός είναι μεγαλύτερος από το 65 και με το αριστερό χέρι για να δηλώσουν ότι ο αριθμός είναι μικρότερος, ενώ το αντίθετο ζητήθηκε από την άλλη ομάδα. περισσότερο χρόνο απόκρισης, καθώς και περισσότερα λάθη, έκαναν αυτοί που έπρεπε να αποκριθούν για τον μεγαλύτερο αριθμό χρησιμοποιώντας το αριστερό τους χέρι

STARC effect (Spa%al- Numerical Associa%on of Response Codes). Το πολιτισμικό πλαίσιο και η κατεύθυνση της γραφής είναι σημαντικοί παράγοντες για τη σχέση αριθμού και χώρου. Φοιτητές που είχαν περάσει αρκετά χρόνια στην Γαλλία έδειξαν την ύπαρξη του φαινομένου STARC, ακριβώς όπως οι Γάλλοι φοιτητές, ενώ οι Ιρανοί που είχαν μόλις μεταναστεύσει στη Γαλλία έτειναν να χρησιμοποιούν το αριστερό χωρικό πεδίο για την αναπαράσταση των μεγαλύτερων αριθμών. Όταν δε μετρούν πλήθος αντικειμένων, τα παιδιά των δυτικών κοινωνιών ξεκινούν από αριστερά προς τα δεξιά, σε αντίθεση με τα παιδιά άλλων πολιτισμών, με αποτέλεσμα αυτή η διαδικασία να εσωτερικεύεται και στη συνέχεια σαν αναπαράσταση του αριθμού

Αριθµός και Χώρος

Αριθµός και Χρώµα Υπήρξαν συμμετέχοντες για τους οποίους οι αριθμοί έχουν χρώματα, σκιές και αποχρώσεις. Αυτό θυμίζει το φαινόμενο της 'συναισθησίας', που είναι ένας συνδυασμός αισθήσεων, με αποτέλεσμα, γνωστό στους ποιητές και τους μουσικούς, να θεωρείται ότι οι ήχοι έχουν μορφή και τα χρώματα γεύση. Άλλοι συμμετέχοντες τοποθέτησαν τους αριθμούς σε κυκλικές ή καμπύλες τροχιές που άλλαζαν φορά ανά δεκάδα

Ερώτημα: Οι νοητική αναπαράσταση του αριθμού είναι γλωσσικής φύσεως ή όχι; Υπάρχει αριθμητική ικανότητα κατά τη προγλωσσική περίοδο; Νευροβιολογικά δεδομένα Ψυχολογικά δεδομένα (ζώα, βρέφη, άλλοι πολιτισμοί, κτλ.)

Γλωσσική Αναπαράσταση O ακριβής υπολογισµός είναι γλωσσική διαδικασία Αντίθετα η κατά προσέγγιση άθροιση, θεωρείται ότι έχει να κάνει µε ποσοτική αναπαράσταση του αριθµού. Οι Dehaene et.al., έκαναν το παρακάτω πείραµα. Χρησιµοποίησαν ως συµµετέχοντες δίγλωσσα άτοµα που µιλούσαν την Αγγλική και Ρώσικη γλώσσα. Οι συµµετέχοντες διδάχθηκαν και στις δύο γλώσσες µια σειρά από κατά προσέγγιση και ακριβή αθροίσµατα διψήφιων αριθµών. Όταν οι συµµετέχοντες δοκιµάστηκαν στα ακριβή αθροίσµατα που είχαν διδαχθεί, ο χρόνος απόκρισης ήταν λιγότερος στη γλώσσα στην οποία τα είχαν διδαχθεί απ' ότι στην άλλη γλώσσα

Γλωσσική Αναπαράσταση Σε δεύτερο στάδιο οι ίδιοι ερευνητές θέλησαν να εξετάσουν αν αυτές οι δύο μαθηματικές διεργασίες εδράζονται σε διαφορετικές περιοχές στον εγκέφαλο. Το πείραμα χρησιμοποίησε την τεχνική μαγνητικού συντονισμού fmri. Κατά τον ακριβή υπολογισμό αθροίσματος καταγράφηκε έντονη δραστηριότητα σε περιοχές που έχουν άμεση σχέση με την εκφορά του λόγου, στον αριστερό μετωπιαίο λοβό. Αντίθετα, οι κατά προσέγγιση υπολογισμοί προκαλούν έντονη εγκεφαλική δραστηριότητα στην έσω βρεγματική αύλακα και στα δύο ημισφαίρια καθώς και στον κάτω βρεγματικό λοβό, περιοχές που εμπλέκονται σε χωρικο- οπτικές διαδικασίες. Οι περιοχές αυτές είναι υπεύθυνες για τη κίνηση των δακτύλων των χεριών

Γλωσσική Αναπαράσταση Επίσης γλωσσική διαδικασία θεωρούν οι Cohen και Dehaene τον πολλαπλασιασμό. Σύμφωνα μ' αυτούς, το αποτέλεσμα "δέκα" έρχεται σαν συμπλήρωμα της φράσης "δύο φορές το πέντε» Μάλιστα προχωρούν ακόμα παραπέρα λέγοντας ότι όλα τα δεδομένα της αριθμητικής που έχουν μαθευτεί με τη μέθοδο της επανάληψης, όπως οι πολλαπλασιαστικοί πίνακες, αποθηκεύονται στη μνήμη όχι σημασιολογικά αλλά σαν μία σειρά λέξεων (Dehaene, et.al, 1998).

Subitizing Οι ψυχολόγοι Lana Trik και Zenon Pylyshun, βρήκαν μία περίπτωση απαρίθμησης όπου δεν παίζει ρόλο η ικανότητα του subi%zing: όταν πρόκειται για τρεις ομόκεντρους κύκλους (εικόνα 3), η αναγνώριση του αριθμού τους, δεν γίνεται άμεσα αλλά απαιτεί ένα προς ένα μέτρηση. Φαίνεται έτσι πως για να ενεργοποιηθεί η ικανότητα του subi%zing, θα πρέπει τα αντικείμενα να έχουν διακριτές θέσεις και αποστάσεις μεταξύ τους

Subitizing Το φαινόμενο του subi%zing έχει σταθεί αφορμή να αρχίσει ένας διάλογος για τον τρόπο με τον οποίο γίνεται η επεξεργασία ενός αριθμού αντικειμένων που γίνονται αντιληπτά από τον άνθρωπο. Δύο είναι οι βασικές σχολές που αντιπαρατίθενται σ' αυτό το πεδίο: Κάποιοι όπως ο Dehaene ισχυρίζονται ότι η επεξεργασία ενός αριθμού αντικειμένων γίνεται παράλληλα εκφράζοντας τη θεωρία της "παράλληλης συσσώρευσης της θέσης των αντικειμένων". Από την άλλη μεριά, ψυχολόγοι Gallistel και Gelman, υποστηρίζουν ότι η επεξεργασία είναι σειριακή ανεξάρτητα του αριθμού των αντικειμένων. Όσον αφορά στην ικανότητα του subi%zing δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια ασυνείδητη και ταχύτατη ένα προς ένα καταμέτρηση των αντικειμένων.

Gelman Η προγλωσσική αριθμητική ικανότητα: Είναι ανάλογη της ιστογραμμικής αριθμητικής Είναι εγγενής στον άνθρωπο Είναι εξελικτικά αναπτυγμένη και κληρονομημένη Υπάρχει στα ζώα και στα βρέφη

Αναπαραστάσεις του αριθμού Ηχητικές (τρία) Συμβολικές / μελάνι σε χαρτί (3, τρία) Μηχανικές, πλήκτρο 3 σε μία μηχανή 4 Ιστογραμμικές 4 3 3 2 2 1 1 0 Z1 Z2 Z3 Z4 Ισομορφισμός ανάμεσα σε πράξεις με αναπαραστάσεις και αριθμητικές πράξεις;

Galistel και Gelman (1992) Αναλογικός συσσωρευτής που μετατρέπει τις αριθμητικές αξίες σε νοητικές ποσότητες. Ο αναλογικός συσσωρευτής αναπαριστά την αριθμητική αξία με διακριτό τρόπο χωρίς τη δυνατότητα αναπαράστασης κλασματικής αριθμητικής αξίας Dehaene, άλλο μοντέλο Carey, πιο εμπλουτισμένο μοντέλο παράλληλων συσσωρευτών

Deheane: μοντέλο συσσωρευτή Η υπόθεση Ροβινσώνας Κρούσος έχοντας χάσει την ικανότητα συμβολικής αναπαράστασης των αριθμών προσπαθεί να κατασκευάσει μια συσκευή για τη μέτρηση των αγρίων που εισέρχονται και εξέρχονται από το νησί. Η συσκευή είναι ένα αυλάκι στο οποίο εισάγει ή αφαιρεί μια ποσότητα νερού για κάθε ξένο. Νευρωνικό δίκτυο προσοµοίωσης της αριθµητικής ικανότητας των ζώων. (Deheane &Pierre Chanqeux,1993 )

Αριθμητική ικανότητα στα ζώα Αυτό που φαίνεται να κατέχουν τελικά τα ζώα είναι: μια εξαπλωμένη ικανότητα να αντιλαμβάνονται τις αριθμητικές ποσότητες, να τις θυμούνται, να προβαίνουν σε συγκρίσεις ακόμα και να τις προσθέτουν προσεγγιστικά, μια μικρότερη ικανότητα σε λίγα είδη να εμφανίζουν αφηρημένες συμπεριφορές όπως να αντιστοιχίζουν ένα ψηφίο σε αριθμητικές αναπαραστάσεις, και να πραγματοποιούν στοιχειώδεις αριθμητικές πράξεις με σύμβολα.

Γνωσιακά µοντέλα αντίληψης του αριθµού Ο ψηφιακός αλγόριθμος που θα εκτελεί αυτός αριθμός θα πρέπει να εμφανίζει το D.E. και N.S.E Αναλογική μηχανή 1 # 2 ## 9 ######### Σύγκριση χαρακτήρα- χαρακτήρα: ο χρόνος που απαιτείται για τη σύγκριση δύο αριθμών είναι ανάλογος του μεγέθους τους αλλά όχι της απόστασης που τους χωρίζει άρα δεν θα υπήρχε D.E Σύγκριση του πλήθος των αριθμών που βρίσκονται ανάμεσα στους συγκρινόμενου δεν θα έδειχνε N.S.E

Γνωσιακά µοντέλα αντίληψης του αριθµού Δυαδικός συµβολισµός (η/υ): οι αριθμοί αναπαρίστανται μόνο με τη χρήση των συμβόλων 0 και 1. το 6 είναι 110, το 7 είναι 111 το 8 είναι 1000 Εδώ η σύγκριση των αριθμών 6 και 7 παίρνει περισσότερο χρόνο αφού διαφοροποιείται το τελευταίο μόνο ψηφίο σε αντίθεση με τη σύγκριση του 7 με το 8 όπου η διαφοροποίηση υπάρχει ήδη από το πρώτο ψηφίο.

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών προϋποθέσεις για την γνωστική ανάπτυξη του αριθµού ατομικές διαφορές;

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Αυθόρµητη εστίαση στα αριθµητικά χαρακτηριστικά µιας κατάστασης Spontaneous focusing on numerosity (SFON)

προϋπόθεση για τον αριθµό n Να εστιάζει κανείς την προσοχή του στα αριθμητικά χαρακτηριστικά των ερεθισμάτων του περιβάλλοντος q Οι μέχρι τώρα έρευνες έδιναν εργαστηριακά ερεθίσματα όχι κοντά στην πραγματικότητα των παιδιών q δεν εστίαζαν σε πιθανές ατομικές διαφορές ανάμεσα στα παιδιά

Spontaneous focusing on numerosity (SFON) n n n Οι Hannula & Leh%nen 2005 εξέτασαν ατομικές διαφορές στην ικανότητα μικρών παιδιών (3-6 ετών) να εστιάζουν την προσοχή τους στα αριθμητικά χαρακτηριστικά καταστάσεων που θα είναι κοντά στην πραγματικότητα εξέτασαν επίσης τον γενικό δείκτη ευφυΐας κάθε παιδιού κι άλλες γνωστικές δεξιότητες όπως γλωσσική κατανόηση, απαρίθμηση, κι άλλες μαθηματικές δεξιότητες παρακολούθησαν τα παιδιά κάποια χρόνια στην εξέλιξή τους και μελέτησαν τις συσχετίσεις ανάμεσα στις διάφορες δεξιότητες

Spontaneous focusing on numerosity (SFON) Μέθοδος: χρησιμοποιήθηκαν διάφορες πειραματικές διαδικασίες ανάλογα με την ηλικία Στα παιδιά 4 ετών: n Υλικά: ένας ψεύτικος παπαγάλος που μπορεί να ταϊστεί (να βάλεις φαγητό στο στόμα του) q Η ερευνήτρια «ταΐζει» ένα (ψεύτικο) παπαγάλο με ένα πλήθος (<3) ψεύτικα μούρα n Διαδικασίας: Παίρνει 2 μούρα (ένα ένα) και τα τοποθετεί στο στόμα του παπαγάλου n Οδηγίας: «κάνε ότι ακριβώς έκανα» q μετά 3 μούρα, 2 μούρα κοκ. n σημειώνει τις αντιδράσεις των παιδιών n Ακόμα κι αν δεν έδωσε το σωστό πλήθος, ένα παιδί εστιάζει στον αριθμό αν η συμπεριφορά του δείχνει ότι έλαβε υπόψη το πλήθος q Π.χ. είπε κάτι σαν «Δεν τα μέτρησα σωστά!» «Του έδωσα ακριβώς όσα έπρεπε».

Spontaneous focusing on numerosity Στα παιδιά 5 ετών: n Υλικά: ένας κουμπαράς αρκουδάκι και μάρκες q Η ερευνήτρια βάζει μάρκες στον κουμπαρά n Διαδικασίας- οδηγίες: ίδια με πριν q σημειώνει τις αντιδράσεις των παιδιών (SFON)

Spontaneous focusing on numerosity (SFON) Στα παιδιά 6 ετών: n Υλικά: Η ερευνήτρια χρησιμοποιεί 3 ειδών σφραγίδες κι ένα αρχικό σκίτσο δεινόσαυρου n με τις σφραγίδες βάζει κέρατα στον δεινόσαυρό της που λειτουργεί ως μοντέλο n Αναποδογυρίζει το χαρτί n Διαδικασίας- οδηγίες: Ζητά από το παιδί να φτιάξει το ίδιο q σημειώνει τις αντιδράσεις των παιδιών

Spontaneous focusing on numerosity Στα παιδιά 6 ετών: n Υλικά: ένα κουτί που λειτουργεί ως γραμματοκιβώτιο και μπλε και κόκκινους κλειστούς φακέλους n η ερευνήτρια βάζει ένα πλήθος από φακέλους στο κουτί, έναν έναν n Διαδικασίας- οδηγίες: Ζητά από το παιδί να κάνει ακριβώς το ίδιο q σημειώνει τις αντιδράσεις των παιδιών (SFON)