Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015
Α. Εισαγωγή Ερώτηση 1. Η τιμή της μάζας ενός σώματος πιστεύετε ότι συνοδεύει το σώμα εκ κατασκευής η εξαρτάται από το που βρίσκεται το σώμα. Αν το σώμα μεταφερθεί σε σημείο αρκετά μακριά από την επιφάνεια της γης η ακόμη βρεθεί στην επιφάνεια ενός άλλου πλανήτη, η τιμή της μάζας του θα αλλάξει η θα παραμείνει σταθερή ; Η τιμή της μάζας ενός σώματος εξαρτάται από το που βρίσκεται το σώμα ; Απάντηση Η μάζα χαρακτηρίζει ένα σώμα και η τιμή της δεν εξαρτάται από το που βρίσκεται το σώμα.
Ερώτηση 2. Η τιμή του βάρους ενός σώματος πιστεύετε ότι συνοδεύει το σώμα εκ κατασκευής η εξαρτάται από το που βρίσκεται το σώμα. Αν το σώμα μεταφερθεί σε σημείο αρκετά μακριά από την επιφάνεια της γης η ακόμη βρεθεί στην επιφάνεια ενός άλλου πλανήτη, η τιμή του βάρους του θα αλλάξει η θα παραμείνει σταθερή ; Η τιμή του βάρους ενός σώματος εξαρτάται από το που βρίσκεται το σώμα ; Απάντηση Η τιμή του βάρους ενός σώματος εξαρτάται από το που βρίσκεται το σώμα.
Ερώτηση 3. Για ποιο λόγο τα σώματα αλλά και τα νερά των θαλασσών που βρίσκονται στο κάτω ως προς εμάς ημισφαίριο της γης παραμένουν στην επιφάνεια της γης και δεν πέφτουν προς τα κάτω ; Απάντηση Τα συγκρατεί η δύναμη της βαρύτητας που έχει φορά προς το κέντρο της γης.
Δραστηριότητα 1. Μία μάζα δημιουργεί στον χώρο ορισμένες ιδιότητες. Ο χώρος αυτός με τις ιδιότητές του ονομάζεται πεδίο βαρύτητας. Για την περιγραφή και ποσοτικοποίηση αυτών των ιδιοτήτων επινοούνται κάποια μεγέθη. Κάθε σημείο του πεδίου βαρύτητας εφοδιάζεται με το μέγεθος ένταση. Η τιμή του δίνεται από την σχέση g = G M/r² και εξαρτάται από την μάζα και από το τετράγωνο της απόστασης του σημείου από την μάζα.
Εστω η γη και τρία τυχαία σημεία Α, Β και Γ. Σχεδιάστε σε κάθε σημείο το μέγεθος που περιγράφει την ένταση του πεδίου βαρύτητας. A Γ Β
Δραστηριότητα 2. Στα παραπάνω σημεία τοποθετείται το ίδιο σώμα μάζας m. Να σχεδιάσετε την δύναμη που δέχεται από το πεδίο βαρύτητας της γης. Η δύναμη αυτή ονομάζεται βάρος του σώματος και δίνεται από την σχέση B = m g. A Γ B
Ερώτηση 4. Η τιμή του βάρους του σώματος είναι ίδια στα παραπάνω σημεία ; Αν όχι σε ποιο σημείο είναι μεγαλύτερη και σε ποιο μικρότερη ; Απάντηση Η τιμή (το μέτρο ) του βάρους δεν είναι ίδια στα παραπάνω σημεία Α, Β και Γ. Η μεγαλύτερη τιμή είναι στο σημείο Β ενώ η μικρότερη είναι στο σημείο Γ. Συμπέρασμα : Το βάρος ενός σώματος εξαρτάται από την θέση του σημείου στο οποίο βρίσκεται το σώμα μέσα στο πεδίο βαρύτητας.
Β. Η πρόβλεψή σου Ερώτηση 5. Για σώματα που έχουν σχετικά μεγάλη πυκνότητα, η αντίσταση του αέρα για χαμηλές ταχύτητες είναι πολύ μικρή συγκριτικά με το βάρος του σώματος. Με αυτό το δεδομένο, τι είδους κίνηση νομίζεις ότι θα εκτελέσει ένα σώμα που αφήνεται ελεύθερο από ορισμένο ύψος κοντά στην επιφάνεια της γης ;
Γ. Ο έλεγχος της πρόβλεψής σου με χρήση της θεωρίας Δραστηριότητα 3. Α. Η μόνη δύναμη είναι το βάρος αφού η αντίσταση είναι αμελητέα. h Β Β. ΣF = m α ΣF = m g α = g
Γ. Οι εξισώσεις κίνησης του σώματος είναι : h = ½ g t² (1) υ = g t (2) Δ. (1) g t² = 2h t² = 2h g t = 2h g
Δ. Τα συμπεράσματα Η κίνηση του σώματος είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη χωρίς αρχική ταχύτητα. Ο χρόνος πτώσης ενός σώματος που αφήνεται ελεύθερο να πέσει κατακόρυφα αμελώντας την αντίσταση του αέρα δεν εξαρτάται από το βάρος του σώματος. Ο χρόνος πτώσης ενός σώματος που αφήνεται ελεύθερο να πέσει κατακόρυφα αμελώντας την αντίσταση του αέρα εξαρτάται από το ύψος από το οποίο αφήνεται το σώμα.
Αριθμός διαστήματος Δραστηριότητα 4. Δx(cm) υ (cm/s) Δυ (cm/s) Δυ/Δt (m/s²) 1 7,70 231 2 8,75 263 32 9,6 3 9,80 294 31 9,3 4 10,85 326 32 9,6 5 11,99 360 34 10,2 6 13,09 393 33 9,9 7 14,18 425 32 9,6 8 15,22 457 32 9,6 9 16,31 489 32 9,6 10 17,45 524 35 10,5 11 18,52 556 32 9,6
Μέση επιτάχυνση : 9,8 m/s²
Δραστηριότητα 5. h... Δh... Δt² κλίση = κ = h 2 = t g 2 t²
Δραστηριότητα 6. t (s) υ (m/s) h (m) 0 0 0 1 10 5 2 20 20 4 40 80
Τα ερωτήματα Δύο σώματα έχουν το ίδιο σχήμα και τις ίδιες διαστάσεις με το ένα να είναι βαρύτερο του άλλου. Την ίδια στιγμή τα δύο σώματα αφήνονται ελεύθερα να πέσουν μέσα στον αέρα από δύο σημεία που βρίσκονται στο ίδιο ύψος από το έδαφος. Ποιο από τα δύο θα φτάσει πρώτο στο έδαφος ; Δύο σώματα έχουν το ίδιο σχήμα και τις ίδιες διαστάσεις με το ένα να είναι βαρύτερο του άλλου. Την ίδια στιγμή τα δύο σώματα αφήνονται ελεύθερα να πέσουν μέσα σε χώρο χωρίς αέρα, δηλαδή στο κενό από δύο σημεία που βρίσκονται στο ίδιο ύψος από το έδαφος. Ποιο από τα δύο θα φτάσει πρώτο στο έδαφος ;
Η ιστορία των απαντήσεων Η ερμηνεία των αρχαίων ελλήνων Η έρευνα στο Merton Η συμβολή του Γαλιλαίου Η συμβολή του Νεύτωνα
Η ερμηνεία των αρχαίων ελλήνων Οι αρχαίοι έλληνες πίστευαν ότι υπάρχουν τρία είδη κινήσεων. Η κίνηση των σωμάτων πάνω στην επιφάνεια της γης, η κίνηση των σωμάτων που πέφτουν στην γη και οι διαρκείς κινήσεις των ουρανίων σωμάτων. Οι αρχαίοι έλληνες γνώριζαν ότι τα σώματα πέφτουν με αυξανόμενη ταχύτητα χωρίς την εφαρμογή φανερής δύναμης. Ο Αριστοτέλης εξηγούσε ότι τα σώματα πέφτουν στην γη γιατί η γη είναι το κέντρο του σύμπαντος προς το οποίο η ύλη φυσιολογικά κινείται. Υποστήριζε ότι η ουράνια ύλη είναι διαφορετική από την γήινη και ότι υπακούει σε διαφορετικούς νόμους. Ο Αριστοτέλης πίστευε ότι η ουράνια ύλη είχε την ιδιότητα να παράγει την αναγκαία δύναμη για να διατηρεί τις κινήσεις που παρατηρούσε.
Η θεωρία της κίνησης του Αριστοτέλη Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη (384 322 π.χ) ο κόσμος χωρίζεται σε δύο πολύ διαφορετικές περιοχές στην περιοχή πέρα από την σελήνη όπου ο χώρος είναι αμετάβλητος και άφθαρτος στον οποίο οι κινήσεις των σωμάτων είναι τέλειες, δηλαδή ομαλές κυκλικές Στην υποσελήνια περιοχή στην οποία κυριαρχούν η φθορά και η αλλαγή και στην οποία οι κινήσεις των σωμάτων δεν είναι ομαλές κυκλικές
Στην υποσελήνια περιοχή η θεωρία του Αριστοτέλη βασίζεται σε δύο βασικές αρχές Σε κάθε κίνηση εμφανίζεται μία δύναμη (κινούν) που βρίσκεται σε συνεχή επαφή με το σώμα. Όταν η κίνηση συνεχίζεται χωρίς επαφή με το κινούν (το βέλος κινείται μετά την επαφή του με την χορδή του τόξου), το μέσο στο οποίο κινείται το σώμα διεγείρεται και αναλαμβάνει τον ρόλο της μετάδοσης της δύναμης. Για να υπάρχει κίνηση είναι απαραίτητη η διαρκής επενέργεια του κινούντος δηλαδή της δύναμης.
Υπάρχουν δύο είδη κίνησης 1. Η φυσική κίνηση είναι η ελεύθερη κίνηση των σωμάτων και είναι ευθύγραμμη με την διεύθυνσή της πάντα κατακόρυφη. Το κινούν είναι φύση του σώματος με το κάθε σώμα να έχει την τάση να κινείται προς τον φυσικό του τόπο. Όταν φτάσει σε αυτόν παραμένει για πάντα σε ηρεμία. Όταν δύο σώματα διαφορετικού βάρους πέφτουν ελεύθερα, οι χρόνοι στους οποίους διανύουν την ίδια απόσταση είναι αντιστρόφως ανάλογοι των βαρών τους. Όταν σώματα ίδιου βάρους κινούνται σε μέσα με διαφορετικές πυκνότητες, διανύουν την ίδια απόσταση σε χρόνους που εξαρτώνται από τις πυκνότητες.
2. Η εξαναγκασμένη κίνηση είναι η κίνηση στην οποία το κινούν είναι μία εξωτερική δύναμη που αναγκάζει το σώμα να κινηθεί παρά φύσιν απομακρύνοντάς το από τον φυσικό του τόπο. Η κίνηση σταματά όταν σταματήσει να ενεργεί η εξωτερική δύναμη. Ο Αριστοτέλης δεχόταν ότι κάθε κίνηση πραγματοποιείται εντός ενός μέσου θεωρώντας ότι η ταχύτητα είναι αντιστρόφως ανάλογη της πυκνότητας. Ετσι οδηγήθηκε στην απόρριψη της ύπαρξης κενού στον φυσικό κόσμο αφού αν υπήρχε θα είχε μηδενική πυκνότητα οπότε η ταχύτητα θα έπρεπε να μεγαλώνει απεριόριστα.
Συμπεράσματα Ο Αριστοτέλης στην περίπτωση της κίνησης ενός σώματος μέσα σε ένα μέσο όπως ο αέρας, συνέδεσε με επιτυχία το βάρος του σώματος με την ταχύτητά του. Πράγματι στον αέρα τα βαρύτερα σώματα πέφτουν με μεγαλύτερη ταχύτητα και φτάνουν γρηγορότερα στο έδαφος αν αφεθούν ελεύθερα από το ίδιο ύψος σε σχέση με ελαφρύτερα που έχουν το ίδιο σχήμα και τις ίδιες διαστάσεις. Ο Αριστοτέλης κατέληξε στο συμπέρασμα της ανυπαρξίας κενού στον φυσικό κόσμο. Ο Αριστοτέλης στην περίπτωση της κίνησης ενός σώματος μέσα σε διαφορετικά μέσα σωστά διαπίστωσε σύνδεση της ταχύτητας του με την πυκνότητα του μέσου. Πράγματι η κίνηση ενός σώματος μέσα σε πυκνό μέσο είναι περισσότερο αργή από την κίνησή του μέσα σε αραιότερο μέσο.
Η έρευνα στο Merton Κατά τον 14 αιώνα στο κολέγιο Merton του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης γινόταν μελέτη των κινήσεων και πειράματα με κεκλιμένα επίπεδα. Το φαινόμενο της κατακόρυφης πτώσης των σωμάτων προσεγγιζόταν με τον «κανόνα του Merton» σύμφωνα με τον οποίο: Μία ομαλά επιταχυνόμενη επιβραδυνόμενη κίνηση είναι ισοδύναμη σε ότι αφορά το διάστημα που διανύεται σε ορισμένο χρόνο με μία ομαλή κίνηση στην οποία η ταχύτητα είναι ίση από την αρχή ως το τέλος με την στιγμιαία ταχύτητα στο μέσο του χρόνου της ομαλά επιταχυνόμενης επιβραδυνόμενη κίνησης.
Η συμβολή του Γαλιλαίου Για δύο χιλιάδες περίπου χρόνια η ιδέα της διαφοράς μεταξύ ουράνιας κίνησης και κίνησης πάνω στην επιφάνεια της γης παρέμενε ακλόνητη. Φτάσαμε στον 17 0 αιώνα ώστε ο Γαλιλαίος να δώσει κοινή ερμηνεία των ξεχωριστών ειδών κίνησης. Ο Galileo Galilei (1564 1642) εισήγαγε τον καινούργιο τρόπο μελέτης της φύσης, τον συνδυασμό της μαθηματικής διατύπωσης και του πειραματικού ελέγχου. Σε αυτόν οφείλεται η διατύπωση του νόμου της ελεύθερης πτώσης : Ένα σώμα που αφήνεται να πέσει από ένα σημείο αναπτύσσει μία σταθερή επιτάχυνση ανά μονάδα χρόνου και η απόσταση που διανύει είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του χρόνου που μεσολαβεί μέχρι να ακινητοποιηθεί.
Ο νόμος αυτός ισχύει με απόλυτη ακρίβεια στο κενό στο οποίο η επιτάχυνση είναι σταθερή ανεξάρτητη από την σύσταση, το βάρος, τον όγκο και το σχήμα του σώματος, Η επιβεβαίωση του νόμου έγινε πειραματικά με δύο ορθογώνια παραλληλεπίπεδα ίδιων διαστάσεων από διαφορετικά υλικά εφαρμόζοντας το ένα πάνω στο άλλο και αφήνοντάς τα ελεύθερα να πέσουν κατακόρυφα. Ηθελε να ελέγξει αν λίγο πριν φτάσουν στο έδαφος υπήρχε κάποια απόσταση ανάμεσα στις δύο επιφάνειες. Εξετάζοντας και τις δύο περιπτώσεις ανάλογα με την τοποθέτηση του ενός ως προς το άλλο παρατήρησε ότι λίγο πριν φτάσουν στο έδαφος, δεν υπήρχε απόσταση ανάμεσά τους. Ο Γαλιλαίος με χρήση γεωμετρικών μεθόδων κατάληξε στο συμπέρασμα πως στην ελεύθερη πτώση η απόσταση που διανύει το σώμα είναι ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου.
Η συμβολή του Νεύτωνα Ο Isaac Newton (1643 1727) οικοδόμησε την σύγχρονη δυναμική που συμπεριλαμβάνει και εξηγεί τους τρεις τύπους κίνησης των αρχαίων ελλήνων. Συνεισέφερε στα μαθηματικά, την οπτική και την δυναμική και με τα τρία γνωστά μας αξιώματα η νόμους της κίνησης απέδειξε ότι η τροχιά των πλανητών είναι έλλειψη και επίλυσε προβλήματα που αναφέρονται στις τροχιές των κομητών. Ασχολήθηκε με τις κινήσεις των ρευστών και μελέτησε την κίνηση σωμάτων με παρουσία αντίστασης μέσα σε αυτά. Απέδειξε ότι οι δυνάμεις που καθορίζουν την κίνηση των πλανητών είναι της ίδιας φύσης με την βαρύτητα στην γη. Η βαρύτητα δρα σε όλα τα σώματα του σύμπαντος.
Συνοπτικά Οι μάζες οι πλανήτες η γη προσδίδουν στον χώρο ορισμένες ιδιότητες, δημιουργείται δηλαδή πεδίο βαρύτητας. Το πεδίο βαρύτητας αποδίδεται περιγράφεται από το μέγεθος ένταση του πεδίου βαρύτητας η πεδίο βαρύτητας και συμβολίζεται με το g. Ένα αντικείμενο σώμα μάζας m σε τυχαίο σημείο ενός πεδίου βαρύτητας όπως της γης δέχεται δύναμη βαρύτητας το γνωστό μας βάρος : F = Β = m g
Η τιμή του g είναι διαφορετική σε διάφορες περιοχές της γης όπως φαίνεται στον πίνακα : Τόπος Βόρειος Πόλος Γεωγραφικό πλάτος Υψος (m) g (m/s²) 90º 0 9,832 Βρυξέλλες 51º 102 9,811 Νέα Υόρκη 41º 38 9,803 Διώρυγα Παναμά Νέα Ζηλανδία 9º 6 9,782 37º Νότια 3 9,800
Παρατηρούμε ότι οι μεταβολές της τιμής του g είναι μικρές και όχι μεγαλύτερες από 0,5%. Οι τιμές του g σχετίζονται με το γεωγραφικό πλάτος και το ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας. Για ορισμένο ύψος το πεδίο βαρύτητας g έχει μεγαλύτερη τιμή κοντά στους πόλους Για ορισμένο γεωγραφικό πλάτος το πεδίο έχει μικρότερη τιμή σε μεγαλύτερα ύψη. Η ένταση του πεδίου βαρύτητας τo πεδίο βαρύτητας g παραμένει σχεδόν σταθερή ό κατά διεύθυνση, φορά και μέτρο σε σημεία που απέχουν μερικά χιλιόμετρα. Η συμπεριφορά του πεδίου βαρύτητας συμπαρασύρει και την συμπεριφορά του βάρους ενός σώματος. Η τιμή του βάρους ενός σώματος μεταβάλλεται κατά 0,5% αν αυτό μετακινηθεί από τον πόλο στον ισημερινό
Ετσι στην επιφάνεια της γης : το πεδίο βαρύτητας μπορούμε να θεωρούμε ότι έχει τιμή : g = 9,81 m/s² οπότε το βάρος ενός σώματος μάζας 1 Kg έχει τιμή : Β = m g = 1 Kg 9,81 m/s² = 9,81 Nt
Οι τιμές του g στην επιφάνεια ορισμένων αντικειμένων μελών του ηλιακού μας συστήματος φαίνονται στον πίνακα : Αντικείμενο g (m/s²) Γη 9,81 Σελήνη 1,63 Ερμής 2,78 Αφροδίτη 8,87 Αρης 3,72 Δίας 22,88