ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Βασικές Έννοιες Σημάτων και Συστημάτων Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
Kefˆlaio 2 Basikèc ènnoiec shmˆtwn kai susthmˆtwn 2. S mata Ta s mata antistoiqoôn se fusikèc ontìthtec pou fèroun plhroforða. MporoÔn na parastajoôn wc sunart seic miac perissotèrwn anexˆrthtwn metablht n. Se hlektrikˆ kukl mata to s ma mporeð na eðnai h èntash h tˆsh wc sunˆrthsh tou qrìnou. Sta akoustikˆ s mata to s ma mporeð na eðnai o qoc (p.q. fwn mousik ) epðshc wc sunˆrthsh tou qrìnou. Se mia eikìna to s ma mporeð na eðnai h fwtein èntash wc sunˆrthsh thc jèshc se èna epðpedo. S' èna s ma bðnteo anexˆrthtec metablhtèc eðnai tìso o qrìnoc, ìso kai h jèsh..4.3.2...2.3.4 5 5 2 25 Sq ma 2.: 'Ena s ma mousik c diˆrkeiac lðgo megalôterhc apì, sec. Ta s mata diakrðnontai se suneq diakritˆ, an h anexˆrthth metablht eðnai suneq c diakrit antðstoiqa. H anexˆrthth metablht eðnai suqnˆ o qrìnoc, gi' autì grˆfoume x(t) gia tic timèc enìc suneqoôc s matoc. Gia èna diakritì s ma grˆfoume x(n). Ta s mata mporeð na eðnai pragmatikˆ migadikˆ. 4
H enèrgeia enìc suneqoôc s matoc sto diˆsthma [a, b] orðzetai wc b a x(t) 2 dt. Eˆn h enèrgeia paramènei peperasmènh ìtan ta ìria tou diast matoc ekteðnontai sto ˆpeiro, tìte milˆme gia s mata peperasmènhc enèrgeiac, T E = lim x(t) 2 dt = x(t) 2 dt. T T OrÐzetai epðshc h mèsh isqôc P = lim T 2T T T x(t) 2 dt. 'Ena s ma mporeð na eðnai ˆpeirhc enèrgeiac kai peperasmènhc isqôoc, ìpwc gia parˆdeigma èna s ma me stajer tim. Me antðstoiqo trìpo orðzetai h enèrgeia gia diakritˆ s mata kai diakrðnontai oi peript seic peperasmènhc enèrgeiac isqôoc. Parˆdeigma 2... To s ma x(t) = cos t eðnai ˆpeirhc enèrgeiac, allˆ peperasmènhc isqôoc. Prˆgmati P = lim T 2T T T cos 2 tdt = lim T 4T T T ( + cos 2t)dt = 2 + lim sin 2T T 4T = 2. Sthn epexergasða twn shmˆtwn qrhsimopoioôntai metasqhmatismoð thc anexˆrththc metablht c. Mia apl allag eðnai h metatìpish x(t t ), pou sto qrìno eðnai mia kajustèrhsh (t > ) mia propìreush (t < ). MÐa ˆllh allag eðnai h anastrof tou qrìnou, x( t). Tèloc, mporeð na allˆxei h klðmaka tou qrìnou, x(αt), pou shmaðnei eðte epitˆqunsh (α > ), eðte epibrˆdunsh (α < ). Sto Sq ma 2.2 dðdetai èna parˆdeigma tètoiwn allag n. 'Ena suneqèc s ma ja onomˆzetai periodikì, an upˆrqei jetikì T, ste gia kˆje t na isqôei x(t) = x(t + T ). H mikrìterh tim tou T gia thn opoða isqôei h parapˆnw sqèsh onomˆzetai jemeli dhc perðodoc. Gia diakritˆ s mata ja èqoume gia kˆje n x(n) = x(n + N) kai orðzetai antðstoiqa h akèraia jemeli dhc perðodoc. Sto Sq ma 2.3 dðdetai èna tm ma enìc diakritoô disdiˆstatou periodikoô s matoc. Parˆdeigma 2..2. To s ma x(t) = 2 cos(t + ) sin(4t ) eðnai periodikì. Prˆgmati upˆrqei T, ste 2 cos(t + ) sin(4t ) = 2 cos((t + T ) + ) sin(4(t + T ) ). ArkeÐ proc toôto na upˆrqoun akèraioi k kai l, ste T = 2kπ, 4T = 2lπ. 5
...8.8.6.6.4.4.2.2.2.2.4.4.6.6.8.8. 5 5 5 5 (a). 5 5 5 5 (b)...8.8.6.6.4.4.2.2.2.2.4.4.6.6.8.8. 5 5 5 5 (c). 5 5 5 5 (d) Sq ma 2.2: 'Anw aristerˆ : arqikì s ma. 'Anw dexiˆ : kajustèrhsh tou s matoc. Kˆtw aristerˆ : antistrof tou qrìnou. Kˆtw dexiˆ : allag klðmakac tou qrìnou. Sq ma 2.3: 'Ena periodikì s ma eikìnac tìso orizìntia, ìso kai katakìrufa. 6
Gia thn eôresh thc jemeli douc periìdou, arkeð na prosdiorisjoôn oi mikrìteroi jetikoð akèraioi gia touc opoðouc isqôei h parapˆnw sqèsh, dhlad k = 5, l = 2. 'Ara T = π. 'Ena suneqèc pragmatikì ekjetikì s ma orðzetai wc x(t) = Ae αt. 'Ena suneqèc kajarˆ fantastikì ekjetikì s ma orðzetai wc x(t) = ce iω t. To s ma autì eðnai periodikì me jemeli dh perðodo T = 2π ω. O suntelest c c mporeð na eðnai migadikìc arijmìc Tìte mporoôme na grˆyoume c = Ae iφ. x(t) = A(cos(ω t + φ) + i sin(ω t + φ)). Tìso to pragmatikì, ìso kai to fantastikì, mèroc tou migadikoô s matoc eðnai hmitonoeidèc s ma. To ω onomˆzetai gwniak suqnìthta, apì thn opoða prokôptei h suqnìthta f = ω 2π, me monˆda mètrhshc to Hz, an o qrìnoc metrˆtai se sec. Epomènwc h suqnìthta eðnai to antðstrofo thc periìdou. To A orðzei to plˆtoc tou hmitonoeidoôc s matoc, en to φ onomˆzetai fˆsh tou s matoc. To pragmatikì kai to fantastikì mèroc tou migadikoô s matoc diafèroun mìno wc proc th fˆsh katˆ π/2. Parˆdeigma 2..3. Stic yhfiakèc thlepikoinwnðec hmitonoeid s mata pou diafèroun katˆ th fˆsh mporoôn na qrhsimopoihjoôn gia th metˆdosh yhfiak n mhnumˆtwn. Gia 4 diaforetikˆ mhnômata (2 bits) mporoôn na qrhsimopoihjoôn ta s mata s k (t) = A cos(ω t + φ k ), φ k = kπ 2, k =,, 2, 3, pou paristˆnontai grafikˆ sto Sq ma 2.4. Parˆdeigma 2..4. Stic yhfiakèc thlepikoinwnðec hmitonoeid s mata pou diafèroun katˆ th suqnìthta qrhsimopoioôntai epðshc gia th metˆdosh yhfiak n mhnumˆtwn. Gia 2 diaforetikˆ mhnômata ( bit) mporoôn na qrhsimopoihjoôn ta s mata s k (t) = A cos(kω t), k =, 2 7
.2.4.6.8.2.4.6.8 2.8.8.8.8.6.6.6.6.4.4.4.4.2.2.2.2.2.2.2.2.4.4.4.4.6.6.6.6.8.8.8.8.2.4.6.8.2.4.6.8 2.2.4.6.8.2.4.6.8 2.2.4.6.8.2.4.6.8 2 (a) (b) (c) (d) Sq ma 2.4: S mata mhnumˆtwn pou diakrðnontai wc proc th fˆsh..8.8.6.6.4.4.2.2.2.2.4.4.6.6.8.8.2.4.6.8.2.4.6.8 2 (a).2.4.6.8.2.4.6.8 2 (b) Sq ma 2.5: S mata mhnumˆtwn pou diakrðnontai wc proc th suqnìthta..8.6.4.2.9.8.7.2.6.5.4.4.6.8.2.4.6.8.2.4.6.8 2 (a).3.2..2.4.6.8.2.4.6.8 2 (b) Sq ma 2.6: 'Ena hmitonoeidèc s ma meioômenou plˆtouc kai èna diakritì pragmatikì ekjetikì s ma. 8
pou paristˆnontai grafikˆ sto Sq ma 2.5. Tèloc orðzetai to genikì migadikì ekjetikì s ma x(t) = ce (α+iω )t = Ae αt (cos(ω t + φ) + i sin(ω t + φ)). Sto Sq ma 2.6 aristerˆ dðdetai to pragmatikì mèroc enìc genikoô migadikoô ekjetikoô s matoc me α <. Katˆ antðstoiqo trìpo orðzontai ta ekjetikˆ kai hmitonoeid diakritˆ s mata: pragmatikì ekjetikì s ma ìpwc autì pou dðdetai sto Sq ma 2.6 dexiˆ. kajarˆ fantastikì ekjetikì s ma genikì migadikì ekjetikì s ma x(n) = Aα n, x(n) = Ae iφ e iω n = A(cos(ω n + φ) + i sin(ω n + φ)), x(n) = Aα n (cos(ω n + φ) + i sin(ω n + φ)), OrÐzetai epðshc to diakritì monadiaða kroustikì s ma { n =, δ(n) = n. To diakritì s ma monadiaðou b matoc orðzetai wc { n, u(n) = n <. AntÐstoiqa orðzetai sto suneqèc pedðo o kroustikìc palmìc Dirac δ(t) =, t, ɛ lim δ(τ)dτ =. ɛ ɛ To suneqèc s ma monadiaðou b matoc orðzetai wc { t, u(t) = t <. Qrhsimopoi ntac autì ton orismì mporoôme na orðsoume èna s ma stajer c monadiaðac tim c kai diˆrkeiac T p(t) = u(t) u(t T ). 9
2.2 Sust mata 'Ena sôsthma dèqetai wc eðsodo èna s ma kai dðdei wc apìkrish èna monadikì s ma. Me ton Ðdio trìpo pou ta s mata diakrðnontai se suneq kai diakritˆ kai ta sust mata diakrðnontai se suneq kai diakritˆ. Ta sust mata diakrðnontai se autˆ me mn mh kai se autˆ qwrðc mn mh. Sta teleutaða h apìkrish exartˆtai mìno apì thn trèqousa tim, ìpwc y(t) = x 2 (t). 'Enac ajroist c eðnai èna sôsthma me mn mh suneqèc diakritì y(t) = y(n) = t x(τ)dτ, n x(k). 'Ena sôsthma onomˆzetai aitiatì, an h apìkrish exartˆtai apì thn trèqousa kai tic pareljoôsec timèc. Diaforetikˆ onomˆzetai mh aitiatì. 'Ena sôsthma qwrðc mn mh eðnai aitiatì. AitiatoÐ epðshc eðnai oi dôo parapˆnw ajroistèc. Parˆdeigma 2.2.. To akìloujo sôsthma mèshc tim c den eðnai aitiatì n+n y(n) = x(k). 2N + n N 'Ena sôsthma onomˆzetai qronikˆ ametˆblhto an, se perðptwsh kajustèrhshc thc eisìdou, h apìkris tou paramènei ametˆblhth wc proc tic timèc kai èqei thn Ðdia kajustèrhsh me thn eðsodo. An dhlad h apìkrish sto s ma x(t) eðnai y(t), tìte h apìkrish sto s ma x(t τ) ja eðnai y(t τ). Parˆdeigma 2.2.2. To sôsthma me sqèsh eisìdou exìdou y(n) = nx(n) den eðnai qronikˆ ametˆblhto. 'Ena sôsthma onomˆzetai grammikì, an, kai mìno an, h apìkrish se kˆje grammikì sunduasmì shmˆtwn eisìdou eðnai o Ðdioc grammikìc sunduasmìc twn antðstoiqwn apokrðsewn. Dhlad, sthn perðptwsh twn suneq n susthmˆtwn, h apìkrish sto s ma a x (t) + a 2 x 2 (t) ja eðnai a y (t) + a 2 y 2 (t) gia kˆje a, a 2. Parˆdeigma 2.2.3. To sôsthma me sqèsh eisìdou exìdou y(t) = αx(t)+β den eðnai grammikì. Prˆgmati a y (t) + a 2 y 2 (t) = a (αx (t) + β) + a 2 (αx 2 (t) + β) = α(a x (t) + a 2 x 2 (t)) + β(a + a 2 ). 'Ena sôsthma onomˆzetai eustajèc, an h apìkrish se kˆje fragmènh eðsodo eðnai fragmènh. Dhlad an x(t) <, tìte ja eðnai epðshc y(t) <. 'Ena sôsthma onomˆzetai antistrèyimo, an upˆrqei sôsthma tètoio ste na dèqetai wc eðsodo thn apìkrish tou arqikoô kai na dðdei wc èxodo thn arqik eðsodo, pou eðnai isodônamo me thn idiìthta gia diaforetikèc eisìdouc na lambˆnontai diaforetikèc èxodoi, dhlad na upˆrqei èna proc èna antistoðqish twn shmˆtwn eisìdou-exìdou. 2
2.3 Grammikˆ kai qronikˆ ametˆblhta sust mata Sthn perðptwsh pou h apìkrish enìc grammikoô sust matoc eðnai qronikˆ ametˆblhth, tìte h sqèsh eisìdou-exìdou, gia èna diakritì sôsthma, gðnetai y(n) = k= h(n k)x(k) MporeÐ kaneðc eôkola na diapist sei ìti h(n) eðnai h apìkrish tou sust matoc sthn akoloujða δ(n). Gi' autì to lìgo onomˆzetai kroustik apìkrish tou sust matoc. Parˆdeigma 2.3.. H kroustik apìkrish enìc sust matoc eðnai kai to s ma eisìdou H apìkrish tou sust matoc ja eðnai y(n) = k= y(n) = x(n) = u(n k + 2) n k= h(n) = u(n + 2) ( ) n 2 u(n 2). 2 ( ) k 2 u(k 2) = 2 ( ) ( k u(n) = 2 2 H apìkrish paristˆnetai grafikˆ sto Sq ma 2.7(a). n+2 k=2 ( ) ) n+ u(n). 2 ( ) k 2 u(n) 2 2.35.3.5.25.2.5.5..5 2 3 4 5 6 7 8 9 (a) 2 3 4 5 6 7 (b) Sq ma 2.7: H apìkrish tou sust matoc twn paradeigmˆtwn 2.3. kai 2.3.2. Sthn perðptwsh enìc suneqoôc sust matoc ja èqoume y(t) = h(t τ)x(τ)dτ 2
Kai se aut thn perðptwsh h h(t) ja eðnai h kroustik apìkrish tou sust matoc. H prˆxh pou dðdei thn apìkrish onomˆzetai sunèlixh, eðte prìkeitai gia diakritì gia suneqèc sôsthma. Parˆdeigma 2.3.2. H kroustik apìkrish enìc sust matoc eðnai kai to s ma eisìdou H apìkrish tou sust matoc ja eðnai h(t) = e 3t u(t) x(t) = u(t 3) u(t 5). y(t) = min(t,5) 3 e 3(t τ) dτ. Opìte ja prèpei na diakrðnoume treic peript seic gia to t. Gia t 3 Gia 3 < t 5 Gia 5 < t y(t) = y(t) = t 3 5 3 y(t) =. e 3(t τ) dτ = 3 ( e 3(t 3)). e 3(t τ) dτ = 3 e 3t (e 5 e 9 ). H apìkrish paristˆnetai grafikˆ sto Sq ma 2.7(b). H sunèlixh èqei thn antimetajetik idiìthta. 'Ara isqôei epðshc y(n) = k= h(k)x(n k). H sunèlixh èqei kai thn prosetairistik idiìthta, pou shmaðnei ìti dôo sust mata sth seirˆ isodunamoôn me èna sôsthma me kroustik apìkrish th sunèlixh twn dôo antðstoiqwn kroustik n apokrðsewn. H sunèlixh èqei epðshc thn epimeristik idiìthta, pou shmaðnei pwc an dôo sust mata qrhsimopoihjoôn parˆllhla, me thn Ðdia eðsodo, kai upertejoôn oi dôo èxodoi, eðnai tautìshmo m' èna sôsthma tou opoðou h kroustik apìkrish eðnai to ˆjroisma twn dôo kroustik n apokrðsewn. To oudètero stoiqeðo thc sunèlixhc eðnai gia ta suneq s mata o kroustikìc palmìc Dirac h(t) = h(τ)δ(t τ)dτ. AntÐstoiqa to monadiaða kroustikì s ma eðnai to oudètero stoiqeðo thc sunèlixhc gia diakritˆ s mata h(n) = h(k)δ(n k). k= 'Opwc èqei anaferjeð èna sôsthma onomˆzetai aitiatì, an h apìkrish èpetai qronikˆ thc eisìdou. H sunj kh gia na eðnai aitiatì èna sôsthma mporeð na dojeð gia thn kroustik tou apìkrish. Ja eðnai 22
gia to suneqèc h(t) =, t <, kai gia to diakritì h(n) =, n <. 'Ena sôsthma onomˆzetai eustajèc, an gia mia fragmènh eðsodo ( x(n) <, n), h èxodoc eðnai fragmènh ( y(n) <, n). Autì isodunameð me thn Ôparxh tou akìloujou ajroðsmatoc h(n) <. Prˆgmati, ja èqoume y(n) n = n= h(n )x(n n ) max x(n) n = h(n ) <. IsqÔei kai to antðstrofo, dhlad h sunj kh Ôparxhc tou parapˆnw ajroðsmatoc eðnai anagkaða gia thn eustˆjeia. ArkeÐ jewr soume wc s ma eisìdou to x(n) = sign (h(n)). Tìte ja èqoume y() = sign (h(n))h(n) = h(n) <. n= n= Me antðstoiqo trìpo orðzetai h eustˆjeia enìc suneqoôc sust matoc. Opìte ikan kai anagkaða sunj kh gia thn eustˆjeia eðnai h(t) dt <. Suqnˆ èna grammikì qronikˆ ametˆblhto kai aitiatì sôsthma perigrˆfetai apì mia exðswsh diafor n, N M a(k)y(n k) = b(k)x(n k). k= AntÐstoiqa mporeð na upˆrqei gia ta suneq sust mata mia perigraf mèsw miac grammik c diaforik c exðswshc, N a(k) dk y(t) M dt k = b(k) dk x(t) dt k. k= Parˆdeigma 2.3.. Ac jewr soume mia exðswsh diafor n pr thc tˆxhc k= k= y(n) = ay(n ) + x(n), n, y( ) = y. Prìkeitai gia mia anadromik sqèsh pou ja d sei n y(n) = a n k x(k) + a n+ y. k= Epomènwc h exðswsh diafor n ja dðnei th sqèsh eisìdou-exìdou enìc qronikˆ ametˆblhtou grammikoô sust matoc, an h arqik sunj kh eðnai mhdenik y =. Opìte ja pˆroume thn kroustik apìkrish tou sust matoc { a n n h(n) = n < To sôsthma autì eðnai epðshc aitiatì kai ja eðnai eustajèc an a <. 23
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Κρήτης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα
Σημείωμα αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί..
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Κρήτης, Γιώργος Τζιρίτας. «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς. Σημειώσεις: Βασικές Έννοιες Σημάτων και Συστημάτων». Έκδοση:.. Ηράκλειο/Ρέθυμνο 25. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://www.csd.uoc.gr/~hy25/