Συγκριτική Μελέτη Κριτηρίων Αστοχίας Hoek-Brown και Mohr-Coulomb στην Ανάλυση της ιάνοιξης Σηράγγων

Συγκριτική Μελέτη Κριτηρίων Αστοχίας Hoek-Brown και Mohr-Coulomb στην Ανάλυση της ιάνοιξης Σηράγγων Comparative study of Hoek-Brown and Mohr-Coulomb Failure Criteria in Tunnel Excavation Analysis ΦΟΡΤΣΑΚΗΣ, Π. ΜΠΑΛΑΣΗ, Α.Μ. ΜΑΡΙΝΟΣ, Π. Πολιτικός Μηχανικός, MSc, Υπ. ιδάκτωρ, ΕΜΠ Πολιτικός Μηχανικός, MSc Καθηγητής ΕΜΠ ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στη συγκεκριµένη εργασία διερευνάται η διαφορά στα αποτελέσµατα όσον αφορά στη συµπεριφορά του γεωυλικού κατά τη διάνοιξη σηράγγων µε τη χρήση των κριτηρίων αστοχίας Hoek-Brown και Mohr-Coulomb. Αρχικά, διερευνώνται οι υφιστάµενες στη βιβλιογραφία µέθοδοι για την εκτίµηση των ισοδύναµων παραµέτρων Mohr-Coulomb της βραχόµαζας από τις αντίστοιχες του κριτηρίου Hoek-Brown. Στη συνέχεια, µέσω παραµετρικών αναλύσεων µε πεπερασµένα στοιχεία, συγκρίνονται τα αποτελέσµατα συγκλίσεων που προκύπτουν ανάλογα µε το κριτήριο αστοχίας που χρησιµοποιείται και εντοπίζονται οι περιοχές όπου οι υφιστάµενες µεθοδολογίες κρίνεται ότι δεν προσφέρουν ικανοποιητική προσέγγιση του φαινοµένου. ABSTRACT : This paper investigates the difference of the results in tunnel excavation analysis derived from the use of Hoek-Brown and Mohr-Coulomb failure criteria. In the first section the methods proposed in bibliography for the estimation of the equivalent Mohr Coulomb from Hoek Brown rockmass parameters are studied. Subsequently, through parametric analyses with finite elements method, the tunnel convergence calculated with the two different failure criteria are compared and the geotechnical conditions that the existing methodologies do not lead to satisfactory convergence are described. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το κριτήριο αστοχίας Hoek Brown (Hoek et al., 2002), καθιερωµένο πλέον, µπορεί να περιγράψει ικανοποιητικά την αντοχή των βραχοµαζών, καθώς λαµβάνει υπόψη τα χαρακτηριστικά του άρρηκτου βράχου και της ρωγµάτωσής του στη βραχόµαζα. Ωστόσο, το πλέον διαδεδοµένο κριτήριο αστοχίας στη γεωτεχνική µηχανική, το οποίο είναι ενσωµατωµένο σε όλα τα αντίστοιχα λογισµικά είναι το κριτήριο αστοχίας Mohr Coulomb και προσφάτως µόνο ενσωµατώνεται σε πολλά και το κριτήριο Hoek - Brown. Για το λόγο αυτό κρίσιµο παραµένει το πρόβληµα της µετατροπής των παραµέτρων της βραχόµαζας µε βάση το κριτήριο Hoek-Brown (GSI, σ ci, m i ) στις αντίστοιχες του κριτηρίου Mohr-Coulomb (c, φ βραχόµαζας), καθώς και το ποια είναι η διαφορά στα αποτελέσµατα της ανάλυσης από τις δύο αυτές προσεγγίσεις, αφού η µετατροπή ενός µη γραµµικού κριτηρίου σε γραµµικό δεν µπορεί να είναι ποτέ ακριβής. Εφόσον το κριτήριο αστοχίας Hoek Brown ακολουθεί µη γραµµική εξίσωση, η εκτίµηση των ισοδύναµων παραµέτρων Mohr Coulomb συνίσταται ουσιαστικά στη µετατροπή µιας καµπύλης σε ισοδύναµη ευθεία για το πεδίο των παραµέτρων ενδιαφέροντος του υπό µελέτη κάθε φορά προβλήµατος. Οι τρόποι προσέγγισης αυτής της µετατροπής είναι είτε µέσω εφαπτοµένης γραµµής σε συγκεκριµένο σηµείο της καµπύλης (η µέθοδος αυτή οδηγεί σε πολύ καλή προσέγγιση σηµειακά αλλά και σε µεγάλα σφάλµατα στο υπόλοιπο τµήµα της καµπύλης), είτε µέσω προσαρµογής ευθείας σε συγκεκριµένο τµήµα της καµπύλης (η 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 1

µέθοδος προσφέρει ικανοποιητική προσέγγιση µεταξύ των τάσεων που αποτελούν τα όρια του τµήµατος της καµπύλης). Εφόσον στη µελέτη διάνοιξης των σηράγγων παρουσιάζεται σηµαντική µεταβολή του τασικού πεδίου περί την οπή, κρίνεται ότι πιο κατάλληλη είναι η δεύτερη µέθοδος. Εποµένως το ερώτηµα στο οποίο καταλήγουµε είναι πoιo τµήµα της καµπύλης πρέπει να αποµονωθεί, ώστε η ανάλυση µε τα δύο διαφορετικά κριτήρια να καταλήγει σε αποτελέσµατα µε τη µέγιστη δυνατή σύγκλιση. 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Η πλέον διαδεδοµένη σήµερα µέθοδος µετατροπής προτάθηκε από τους Hoek et al. (2002). Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή η προσαρµογή της ευθύγραµµης εξίσωσης στην καµπύλη Hoek Brown πραγµατοποιείται στην περιοχή ελάχιστων κύριων τάσεων σ t <σ 3 <σ 3,max, όπου σ t είναι η εφελκυστική αντοχή της βραχόµαζας και η τιµή της σ 3,max προέκυψε έπειτα από επιλύσεις κλειστής µορφής για τα δύο κριτήρια αστοχίας Hoek Brown (Carranza Torres & Fairhurst, 1999), και Mohr Coulomb (Duncan Fama, 1993) µε την απαίτηση η τιµή αυτή να οδηγεί σε ισοδύναµες χαρακτηριστικές καµπύλες. Ωστόσο η µέθοδος αυτή δε λαµβάνει υπόψη την ισοδύναµη εσωτερική πίεση της προσωρινής υποστήριξης, η οποία µειώνει το εύρος της πλαστικής περιοχής και διαφοροποιεί την κατανοµή τάσεων και µετατοπίσεων. Οι Sofianos & Nomikos (2006) προτείνουν διαφορετικές µεθοδολογίες για ελαστικέςπλήρως πλαστικές και για ψαθυρές βραχόµαζες (µέγιστες και παραµένουσες παράµετροι αντοχής). Για τις ελαστικές πλήρως πλαστικές βραχόµαζες οι ισοδύναµες παράµετροι Mohr Coulomb, παράγονται χρησιµοποιώντας δύο διαφορετικές υπολογιστικές διαδικασίες, τη µέθοδο βέλτιστης προσαρµογής στο υπάρχον πεδίο τάσεων (BFe) και τη µέθοδο εξίσωσης αποκρίσεων µοντέλων (EMR), οι οποίες λαµβάνουν υπόψη την εσωτερική πίεση p i. Η µέθοδος BFe ακολουθεί διαδικασία βέλτιστης προσαρµογής των καµπύλων των δύο κριτηρίων αστοχίας, Hoek Brown και Mohr Coulomb, σε εύρος p in <σ 3 <p en, όπου p in η κανονικοποιηµένη (ως προς σ ci ) εσωτερική πίεση και p en η κανονικοποιηµένη (ως προς σ ci ) κρίσιµη τάση σ 3 στο εξωτερικό όριο της πλαστικής περιοχής. Η µέθοδος EMR βασίζεται σε επίλυση κλειστής µορφής και προτείνει ότι τα δύο κριτήρια αστοχίας οφείλουν να εκτιµούν ίδιο εύρος πλαστικής ζώνης και να ταυτίζονται για τιµή της ελάχιστης κύριας τάσης ίση µε την κρίσιµη πίεση. Όσον αφορά στις ψαθυρές βραχόµαζες για τον υπολογισµό των µέγιστων παραµέτρων αντοχής πριν την αστοχία και για τις δύο µεθόδους BFe και EMR, υπολογίζεται καµπύλη Mohr Coulomb εφαπτόµενη της ευθείας Hoek Brown για τη µέγιστη τιµή της ελάχιστης κύριας τάσης στο όριο της πλαστικής ζώνης, p en. Στη συνέχεια οι παράµετροι της παραµένουσας αντοχής προσδιορίζονται στο διάστηµα p in <σ 3 <p en. Επίσης, πρόσφατα προτάθηκε από τους Jimenez et al. (2008) µία µεθοδολογία, η οποία χρησιµοποιεί την αδιαστατοποιηµένη µορφή του κριτηρίου αστοχίας Hoek Brown και προτείνει γραµµικοποίησή του στο πεδίο τάσεων σ 3 που αναπτύσσεται εντός της πλαστικής ζώνης, λαµβάνοντας υπόψη και την εσωτερική πίεση p i. Αρχικά εκτιµάται η ισοδύναµη γωνία τριβής φ, µε βάση τα σηµεία που αντιστοιχούν στα όρια της πλαστικής περιοχής. Στη συνέχεια, διατηρώντας σταθερή την κλίση της ευθείας προσδιορίζεται µέσω ανάλυσης ευαισθησίας η τιµή της ισοδύναµης συνοχής c. Μία ακόµη προσπάθεια προσέγγισης του κριτηρίου Hoek Brown µε το γραµµικό κριτήριο Mohr Coulomb έχει γίνει από τους Yang & Yin (2006) και αφορά στην οριακή κατάσταση αστοχίας πεδιλοδοκού. Για λόγους ευκρίνειας και οικονοµίας χώρου, στη συνέχεια του κειµένου, θα αναφερόµαστε στις παραπάνω µεθόδους ως M1 για τη µέθοδο Hoek et al. (2002), M2 για τη µέθοδο Sofianos & Nomikos (2006) BFe για ελαστικές-πλήρως πλαστικές βραχόµαζες, M3 για τη µέθοδο Sofianos & Nomikos EMR για ελαστικές-πλήρως πλαστικές βραχόµαζες, M4 για τη µέθοδο Sofianos & Nomikos για ψαθυρές βραχόµαζες (κορυφαίες τιµές παραµέτρων αντοχής) και M5 για τη µέθοδο Jimenez et al. (2007). 3. ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΜΕΘΟ ΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ MOHR COULOMB Το πρώτο βήµα της συγκεκριµένης εργασίας είναι η σύγκριση των ισοδύναµων παραµέτρων αντοχής Mohr-Coulomb που εκτιµώνται από τις προαναφερθείσες µεθόδους. Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται σε όρους c i /c 1 και φ i /φ 1. Σηµειώνεται πως η µέθοδος Μ1 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 2

επελέγη ως µέθοδος αναφοράς, καθώς είναι η πλέον χρησιµοποιούµενη στην πράξη. Στη δηµοσίευση των Jimenez et al. (2007) παρουσιάζονται αποτελέσµατα όλων των µεθόδων για ένα µικρό εύρος γεωτεχνικών παραµέτρων. Σύµφωνα µε αυτά τα αποτελέσµατα, δηµιουργήθηκαν τα ακόλουθα ιστογράµµατα (Σχήµα 1) µε σκοπό τη σύγκριση των τιµών ισοδύναµης συνοχής και γωνίας τριβής που προκύπτουν. Σχετική συχνότητα (%) Σχετική συχνότητα (%) 70 60 50 40 30 20 10 0 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0.0-0.4 0.4-0.8 0.8-1.2 1.2-1.6 1.6-2.0 2.0-2.4 2.4-2.8 2.8-3.2 ci/c1 c i / c 1 c2/c1c 2 / c 1 c c3/c1 3 / c 1 c c4/c1 4 / c 1 c c5/c1 5 / c 1 0.45-0.55 0.55-0.65 0.65-0.75 0.75-0.85 0.85-0.95 0.95-1.05 1.05-1.15 1.15-1.25 φ i / φi/φ1 φ 1 φ φ2/φ1 2 / φ 1 φ3/φ1 φ 3 / φ 1 φ φ4/φ1 4 / φ 1 φ φ5/φ1 5 / φ 1 Σχήµα 1. ιασπορά των προτεινόµενων τιµών για τις ισοδύναµες παραµέτρους Mohr- Coulomb της βραχόµαζας ( εδοµένα από: Jimenez et al., 2007) Figure 1. Variation of the proposed values for the rockmass equivalent Mohr-Coulomb parameters (Data from: Jimenez et al., 2007) Είναι εµφανές ότι η διαφοροποίηση των προτεινόµενων τιµών είναι πιο έντονη για την ισοδύναµη συνοχή σε σχέση µε την ισοδύναµη γωνία τριβής. Οι λόγοι της συνοχής κινούνται µεταξύ 0.40 και 2.80, µε το µεγαλύτερο ποσοστό των λόγων να συγκεντρώνεται µεταξύ 0.40 και 1.20 και οι λόγοι των τιµών για τη γωνία εσωτερικής τριβής κινούνται µεταξύ 0.55 και 1.25 µε το µεγαλύτερο ποσοστό να συγκεντρώνεται µεταξύ 0.75 και 1.15. Προκειµένου να καθοριστούν οι γεωτεχνικές συνθήκες στις οποίες οι µέθοδοι συγκλίνουν ή αποκλίνουν, πραγµατοποιήθηκε παραµετρική ανάλυση σε ευρύτερο φάσµα. Στην ανάλυση αυτή, οι ισοδύναµες παράµετροι αντοχής Mohr-Coulomb υπολογίστηκαν µέσω των µεθόδων M1, M2, M3 και M4 (κορυφαία αντοχή), αφού η µέθοδος Μ5 δεν προτείνει επίλυση κλειστής µορφής. Σηµειώνεται, ότι οι µέθοδοι Μ2, Μ3 και Μ4 παράγουν έγκυρα αποτελέσµατα µόνο στην περίπτωση που δηµιουργείται πλαστική ζώνη γύρω από τη σήραγγα. Εποµένως µόνο αυτές οι περιπτώσεις εξετάζονται στις επόµενες συγκρίσεις. Το εύρος των παραµέτρων της ανάλυσης αντιπροσωπεύει ένα µεγάλο φάσµα επί τόπου τάσεων, ποιότητας βραχόµαζας και υποστήριξης (Πίνακας 1). Πίνακας 1. Παράµετροι ανάλυσης Table 1. Analysis parameters Παράµετροι Εύρος Πλήθος τιµών τιµών Ακτίνα σήραγγας, R (m) 5 1 Ύψος υπερκειµένων, H (m) 100-500 14 GSI 10-100 10 Αντοχή άρρηκτου βράχου σε 5-150 10 µονοαξονική θλίψη, σ ci (MPa) Σταθερά γεωυλικού m i 5-30 6 Συντελεστή διαταραχής, D 0-0.5 3 Εσωτερική πίεση pi κανονικοποιηµένη ως προς p o, (p i /p o ) 0-0.20 4 Συνολικά 100,800 Όπως είναι φανερό από τα ιστογράµµατα (Σχήµα 2) οι τιµές των λόγων φ i /φ 1 (0.45-1.25) παρουσιάζουν µικρότερη διασπορά σε σχέση µε τις αντίστοιχες τιµές των λόγων c i /c 1 (0.27-3.20). Όσον αφορά στην ισοδύναµη γωνία τριβής για τις µεθόδους Μ2 και Μ3 το 70% των λόγων φ i /φ 1 κυµαίνεται στο διάστηµα 0.85-1.15, ενώ για τη µέθοδο Μ4 οι τιµές των λόγων έχουν µεγαλύτερη διασπορά, οδηγώντας γενικά σε µικρότερες τιµές γωνίας τριβής σε σχέση µε τη µέθοδο Μ1. Αντίθετα στην περίπτωση της ισοδύναµης συνοχής για τις µεθόδους Μ2 και Μ3 µόλις το 30% των λόγων κυµαίνεται στο διάστηµα 0.80-1.20, ενώ οι λόγοι για τη µέθοδο Μ4 φαίνεται να έχουν οµοιόµορφη κατανοµή µε τιµές συνοχής γενικά µεγαλύτερες από τη µέθοδο Μ1. Συγκεντρωτικά οι µέθοδοι Μ2 και Μ3 οδηγούν σε παραπλήσια κατανοµή των λόγων γωνίας τριβής και συνοχής, ενώ σε σηµαντικό ποσοστό των περιπτώσεων συγκλίνουν και µε τη µέθοδο Μ1. Η µέθοδος Μ4 διαφοροποιείται σηµαντικά σε σχέση µε τις υπόλοιπες, καθώς οι κορυφαίες τιµές των ισοδύναµων παραµέτρων προκύπτουν µε βάση την 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 3

εφαπτοµένη της καµπύλης Hoek Brown, στην ελάχιστη κύρια τάση που αντιστοιχεί στο όριο της πλαστικής περιοχής, οδηγώντας σε µεγαλύτερες τιµές συνοχής και µικρότερες τιµές γωνίας τριβής. Σχετική συχνότητα (%) Σχετική συχνότητα (%) 35 30 25 20 15 10 5 0 30 25 20 15 10 5 0 0.0-0.4 0.4-0.8 0.8-1.2 1.2-1.6 1.6-2.0 2.0-2.4 2.4-2.8 2.8-3.2 c i c /c i / 1 c 1 c c2/c1 2 / c 1 c c3/c1 3 / c 1 c c4/c1 4 / c 1 0.45-0.55 0.55-0.65 0.65-0.75 0.75-0.85 0.85-0.95 0.95-1.05 1.05-1.15 1.15-1.25 φi/φ1 φ i / φ 1 φ φ2/φ1 2 / φ 1 φ3/φ1φ 3 / φ 1 φ φ4/φ1 4 / φ 1 Σχήµα 2. ιασπορά των προτεινόµενων τιµών για τις παραµέτρους Mohr-Coulomb Figure 2. Variation of the proposed values for the Mohr-Coulomb parameters Στη συνέχεια, στο Σχήµα 3 παρουσιάζεται η κατανοµή των λόγων της συνοχής και της γωνίας τριβής ως προς το µέγεθος σ cm /p 0 (σ cm αντοχή της βραχόµαζας και p o µέση γεωστατική τάση στο επίπεδο της σήραγγας), ενδεικτικά για p i /p 0 =0 και p i /p 0 =0.20. Τα διαγράµµατα για την περίπτωση p i /p 0 =0.20 έχουν µικρότερο πλήθος σηµείων, καθώς η επιβολή της εσωτερικής πίεσης έχει ως αποτέλεσµα να µη δηµιουργείται πλαστική ζώνη για αρκετούς συνδυασµούς γεωτεχνικών παραµέτρων στις οποίες οι µέθοδοι Μ2, Μ3 και Μ4 δεν παράγουν αποτελέσµατα. Γενικά από τα παρακάτω διαγράµµατα είναι εµφανές ότι αύξηση του λόγου σ cm /p 0, δηλαδή βελτίωση των γεωτεχνικών συνθηκών και µείωση του εύρους της πλαστικής ζώνης, οδηγεί σε αύξηση των λόγων φ i /φ 1 και µείωση των λόγων c i /c 1. Για τιµή εσωτερικής πίεσης p i /p o =0.20 οι λόγοι τείνουν ασυµπτωτικά στη µονάδα όσο βελτιώνονται οι γεωτεχνικές συνθήκες, ενώ στην περίπτωση της ανυποστήρικτης διατοµής (p i /p o =0) παρατηρούνται τιµές των λόγων εκατέρωθεν της µονάδας. Επίσης, οι περιοχές όπου οι µέθοδοι αποκλίνουν σηµαντικά µεταξύ τους είναι οι τιµές των δυσµενών γεωτεχνικών συνθηκών και η απόκλιση είναι εντονότερη για τις µικρές τιµές της εσωτερικής πίεσης p i. Σχήµα 3. Μεταβολή των λόγων φ i /φ 1 και c i /c 1 ως προς το λόγο σ cm /p o (p i /p o =0, 0.20) Figure 3. Distribution of the ratios φ i /φ 1 and c i /c 1 as a function of the ratio σ cm /p o (p i /p o =0, 0.20) 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 4

Συµπερασµατικά, το µέγεθος από το οποίο φαίνεται να εξαρτάται η συσχέτιση των µεθόδων είναι το εύρος της πλαστικής ζώνης και αντίστοιχα το εύρος της ελάχιστης κύριας τάσης στο οποίο πραγµατοποιείται η γραµµικοποίηση της καµπύλης του κριτηρίου αστοχίας Hoek-Brown. Αξιοσηµείωτο είναι ότι η σύγκλιση των µεθόδων είναι πολύ καλή στις µεγάλες τιµές του λόγου σ cm /p o, ακόµη και για την περίπτωση p i /p o =0.20, παρόλο που η µέθοδος Μ1 δεν λαµβάνει υπόψη την εσωτερική πίεση. 4. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΜΕ ΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ MOHR-COULOMB ΚΑΙ HOEK-BROWN Στο επόµενο µέρος της εργασίας πραγµατοποιείται, µέσω αριθµητικών αναλύσεων µε πεπερασµένα στοιχεία, ποσοτικοποίηση των διαφορών που προκύπτουν στην ανάλυση σηράγγων µε τη χρήση του κριτηρίου αστοχίας Hoek-Brown και µε τις αντίστοιχες παραµέτρους Mohr-Coulomb που προτείνονται από τις µεθοδολογίες που έχουν αναφερθεί. Αρχικά για την εκτίµηση των ισοδύναµων παραµέτρων Mohr-Coulomb χρησιµοποιήθηκε η µέθοδος Μ1 και στη συνέχεια στις περιπτώσεις που κρίθηκε σκόπιµο πραγµατοποιήθηκαν επιπρόσθετες αναλύσεις µε χρήση των µεθόδων Μ2 και Μ3. Οι αναλύσεις πραγµατοποιήθηκαν µε τον κώδικα πεπερασµένων στοιχείων Phase2 v6 της εταιρείας RocScience για κυκλική σήραγγα ακτίνας R=5m. Ως χαρακτηριστικό µέγεθος για τη σύγκριση των αποτελεσµάτων θεωρήθηκαν οι συγκλίσεις στο πέρας της διάνοιξης. Για τις αριθµητικές αναλύσεις χρησιµοποιήθηκαν 14 από τους συνδυασµούς των παραµέτρων της προηγούµενης παραγράφου. Οι περιπτώσεις αυτές επελέγησαν ώστε να περιλαµβάνουν ένα ευρύ φάσµα γεωτεχνικών συνθηκών που δύναται να απαντηθούν και επιπλέον να δηµιουργούν γύρω από τη σήραγγα πλαστική περιοχή, παράγοντας απαραίτητος για τις µεθόδους Μ2 και Μ3. Ο παράγων διαστολικότητας ελήφθη φ/4 για το κριτήριο Mohr-Coulomb και m b /4 για το κριτήριο Hoek-Brown. Η προσοµοίωση της υποστήριξης έγινε µέσω επιβαλλόµενης εσωτερικής πίεσης. Οι παράµετροι των αναλύσεων παρουσιάζονται συγκεντρωτικά στον Πίνακα 2. Πίνακας 2. Παράµετροι αριθµητικών αναλύσεων Table 2. Numerical analyses parameters Παράµετροι Εύρος παραµέτρων Ύψος υπερκειµένων, Η (m) 100-500 Ακτίνα, R (m) 5m GSI 10-70 Αντοχή άρρηκτου βράχου σε µονοαξονική θλίψη, σ ci (MPa) 10-50 Σταθερά γεωυλικού, m i 5-20 Συντελεστής διαταραχής, D 0.30 Λόγος Poisson, ν 0.30 Ειδικό βάρος, γ (ΜΝ/m 3 ) 0.025 Εσωτερική πίεση υποστήριξης, p i /p o 0, 0.10, 0.20 Συντελεστής γεωστατικών ωθήσεων, Κ* 0.7, 1.0, 1.3 *Στην παρουσίαση και επεξεργασία αποτελεσµάτων που ακολουθεί ως p o ορίζεται η µέση γεωστατική τάση p o =0.5(1+K)γΗ Για την αξιολόγηση και σύγκριση των αποτελεσµάτων ορίζεται το µέγεθος u ratio, το οποίο υπολογίζεται ως ο λόγος της µέσης τιµής των συνολικών µετατοπίσεων στο περίγραµµα της εκσκαφής της ανάλυσης µε το κριτήριο Hoek-Brown προς την αντίστοιχη της ανάλυσης µε το κριτήριο Mohr-Coulomb. Στο Σχήµα 4 παρουσιάζεται η µεταβολή του µεγέθους u ratio ως προς το µέγεθος σ cm /p 0, χαρακτηριστικό των γεωτεχνικών συνθηκών στην περιοχή διάνοιξης της σήραγγας. Με βάση την κατανοµή των αποτελεσµάτων στο Σχήµα 4 προκύπτει ότι η σύγκριση των δύο κριτηρίων αστοχίας µπορεί να χωριστεί σε τρεις περιοχές. Επισηµαίνεται, ότι αντίστοιχη είναι και η κατανοµή των λόγων των µέγιστων µετατοπίσεων. Α) Περιοχή Ι, σ cm /p 0 >0.60 (Ευµενείς γεωτεχνικές συνθήκες). Στην περιοχή αυτή οι αριθµητικές αναλύσεις και µε τα δύο κριτήρια αστοχίας οδηγούν στη δηµιουργία µικρής πλαστικής ζώνης και οι µετατοπίσεις που προκύπτουν είναι πρακτικά ίσες µεταξύ τους. Η µέγιστη διαφοροποίηση παρατηρείται για τις αναλύσεις µε ανυποστήρικτη διατοµή, όπου µε βάση το κριτήριο αστοχίας Hoek-Brown προκύπτουν συγκλίσεις περίπου 10% µεγαλύτερες σε σχέση µε το κριτήριο Mohr- Coulomb. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 5

1.4 1.2 1.0 u uratio (uhb /u M ratio (u HB / u MC ) 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 σ cm / p ο M1 pi/p0=0 M1 pi/p0=0.10 M1 pi/p0=0.20 Σχήµα 4. Μεταβολή του µεγέθους u ratio (λόγος της µέσης τιµής των µετατοπίσεων µε το κριτήριο Hoek-Brown προς τις αντίστοιχες της ανάλυσης µε το κριτήριο Mohr-Coulomb) ως προς το µέγεθος σ cm /p 0 (Μέθοδος Μ1) Figure 4. Variation of u ratio (ratio of the displacements mean value calculated from Hoek-Brown criterion divided with the respective values calculated from Mohr-Coulomb criterion) as a function of σ cm /p 0 (Method M1) Β) Περιοχή ΙΙ, 0.20<σ cm /p 0 <0.60 (Μέτριες γεωτεχνικές συνθήκες). Στη δεύτερη περιοχή παρατηρείται αύξηση του εύρους της πλαστικής ζώνης και των µετατοπίσεων που προκύπτουν και από τα δύο κριτήρια. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα η τιµή του λόγου των µέσων συγκλίσεων να διαφοροποιείται από τη µονάδα λαµβάνοντας τιµές από 0.85 έως 1.30. Οµοίως µε τις ευµενείς γεωτεχνικές συνθήκες, η µέγιστη διαφοροποίηση των συγκλίσεων παρουσιάζεται για ανυποστήρικτη διατοµή. Γ) Περιοχή ΙΙΙ, σ cm /p 0 <0.20 ( υσµενείς γεωτεχνικές συνθήκες). Στην περιοχή των δυσµενών συνθηκών διάνοιξης οι αριθµητικές αναλύσεις οδηγούν σε µεγάλα εύρη πλαστικών περιοχών και µεγάλες συγκλίσεις. Πλέον, το µέγεθος u ratio λαµβάνει τιµές από 0.15 έως 0.75. Η µεγάλη διασπορά των σηµείων στην Περιοχή ΙΙΙ οφείλεται στο γεγονός ότι η διαφοροποίηση των δύο κριτηρίων αστοχίας δεν εξαρτάται µόνο από το λόγο σ cm /p o αλλά και από τις επιµέρους τιµές των παραµέτρων H, GSI, σ ci και m i. Για σταθερή τιµή του λόγου σ cm/ p o η σύγκλιση των δύο κριτηρίων βελτιώνεται όσο αυξάνεται η τιµή του σ ci (µειώνεται η καµπυλότητα του κριτηρίου Hoek- Brown) και όσο αυξάνεται το ύψος υπερκειµένων (το πεδίο τάσεων µεταφέρεται πιο δεξιά στην καµπύλη Hoek Brown µε επακόλουθη µείωση της καµπυλότητας του τµήµατος που γραµµικοποιείται). Αντίστοιχη διασπορά ποιοτικά παρατηρείται και στις Περιοχές Ι και ΙΙ, η οποία, όµως, είναι µικρότερη ποσοτικά λόγω του µικρού εύρους της πλαστικής περιοχής. Στην περιοχή, όπου η σύγκλιση των αποτελεσµάτων του κριτηρίου αστοχίας Hoek- Brown µε τις παραµέτρους Mohr-Coulomb της µεθόδου Μ1 είναι µικρή, πραγµατοποιήθηκαν επιπλέον αναλύσεις στις οποίες οι παράµετροι Mohr-Coulomb υπολογίστηκαν µε τις µεθόδους Μ2 και Μ3, οδηγώντας γενικά σε µεγαλύτερες τιµές του λόγου u ratio, οι οποίες κατά περιπτώσεις µόνο προσεγγίζουν τη µονάδα (Σχήµα 5). Η µέθοδος Μ4 για ψαθυρές βραχόµαζες δεν χρησιµοποιήθηκε στη σύγκριση αυτή εξαιτίας των διαφορετικών παραδοχών στις οποίες βασίζεται. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 6

1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 σ cm / p ο M1 M2 M3 Σχήµα 5. Μεταβολή του µεγέθους u ratio ως προς το λόγο σ cm /p 0 (Μέθοδοι Μ1, Μ2, Μ3) Figure 5. Variation of u ratio as a function of the ratio σ cm /p 0 (Methods M1, M3, M3) Στη συνέχεια για να διερευνηθεί η ευαισθησία του λόγου u ratio ως προς το εύρος της προσαρµογής των καµπυλών και κατ επέκταση από τις ισοδύναµες παραµέτρους Mohr-Coulomb πραγµατοποιήθηκε ανάλυση ευαισθησίας για τρεις περιπτώσεις συνθηκών διάνοιξης. Για καθεµία εξ αυτών µεταβλήθηκε η τιµή της σ 3,max στο εύρος 0.20σ 3,max(ref) - 1.40σ 3max(ref), όπου σ 3,max(ref), είναι η τιµή που προβλέπεται από τη µεθοδολογία Μ1. Για όλες τις τιµές της σ 3,max υπολογίστηκαν οι ισοδύναµες παράµετροι Mohr-Coulomb και µέσω αριθµητικής ανάλυσης υπολογίστηκε ο λόγος u ratio. H ανάλυση ευαισθησίας εκτελέστηκε για ένα συνδυασµό παραµέτρων από τις Περιοχές Ι και ΙΙ µε Κ=1και p i /p o =0 και για ένα συνδυασµό από την Περιοχή ΙΙΙ µε Κ=1και p i /p o =0.10. Από το πρώτο διάγραµµα του Σχήµατος 6, προκύπτει ότι η µεταβολή της σ 3,max στην Περιοχή Ι επηρεάζει ελάχιστα τις αναπτυσσόµενες συγκλίσεις, καθώς, ακόµη και για υποδιπλάσια τιµή της σ 3,max τα αποτελέσµατα µεταβάλλονται ελάχιστα. Στην Περιοχή ΙΙ η ευαισθησία των αποτελεσµάτων ως προς την τιµή της σ 3,max αυξάνεται καθώς ο λόγος u ratio κυµαίνεται από 0.95 έως 1.25. Τέλος, τα αποτελέσµατα για την Περιοχή ΙΙΙ είναι ιδιαίτερα ευαίσθητα ως προς την τιµή της σ 3,max (για σ 3,max / σ 3,max (ref) =1.40 η ανάλυση δεν συνέκλινε και εποµένως δεν παρουσιάζονται αποτελέσµατα). Είναι ενδιαφέρον πως οι τιµές της ανάλυσης µε το κριτήριο Hoek-Brown προσεγγίζονται αρκετά ικανοποιητικά από την ανάλυση µε το κριτήριο Mohr-Coulomb όταν η τάση σ 3,max µειωθεί κατά 80%,. u ratio (u HB / u MC ) uratio (uhb/umc) u ratio uratio (u (uhb/umc) / u MC ) 1.4 1.3 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 σ σ /σ σ 3,max /σ / σ 3,max 3,max(ref) 3,max(ref ) rockmass 4 rockmass 5 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 Περιοχή Ι Περιοχή ΙΙ 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 σ 3,max /σ 3,max(ref ) σ 3,max / σ 3,max(ref) rockmass Περιοχή 13 13 ΙΙΙ Σχήµα 6. Μεταβολή του µεγέθους u ratio ως προς το λόγο σ 3,max /σ 3,max(ref) Figure 6. Variation of u ratio as a function of the ratio σ 3,max /σ 3,max(ref) 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η µετατροπή των παραµέτρων του κριτηρίου αστοχίας Hoek-Brown της βραχόµαζας σε ισοδύναµες παραµέτρους του κριτηρίου αστοχίας Mohr-Coulomb αποτελεί ένα κρίσιµο πρόβληµα στην ανάλυση των σηράγγων. Στην περίπτωση των ευµενών γεωτεχνικών συνθηκών (σ cm /p o >0.60), µε βάση τη σύγκριση των υφιστάµενων µεθόδων για την εκτίµηση των ισοδύναµων παραµέτρων Mohr-Coulomb, προέκυψε ότι οι προτεινόµενες τιµές ισοδύναµης συνοχής και γωνίας τριβής δεν διαφέρουν σηµαντικά. Επιπροσθέτως, από τη µελέτη των λόγων u ratio και την ανάλυση ευαισθησίας έγινε φανερό ότι οι αναπτυσσόµενες µετατοπίσεις διαφέρουν ελάχιστα και δεν είναι ευαίσθητες ως προς το εύρος των τάσεων στο οποίο γίνεται η προσαρµογή των δύο κριτηρίων. Αντίθετα για την περίπτωση των µέτριων και δυσµενών γεωτεχνικών συνθηκών (σ cm /p o <0.60) οι µέθοδοι που µελετήθηκαν οδηγούν µέχρι και σε πολύ διαφορετικές τιµές ισοδύναµων παραµέτρων Mohr-Coulomb. Επίσης, από τα αποτελέσµατα των 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 7

αριθµητικών αναλύσεων προέκυψε ότι οι µετατοπίσεις που υπολογίζονται για κάθε ένα από τα δύο κριτήρια αστοχίας, διαφέρουν σηµαντικά µεταξύ τους. Στην περιοχή όπου 0.20<σ cm /p o <0.60 ο λόγος u ratio λαµβάνει τιµές από 0.85-1.30, µε αποτέλεσµα να µην µπορεί µονοσήµαντα να οριστεί εάν η χρήση των ισοδύναµων παραµέτρων Mohr-Coulomb είναι υπέρ ή κατά της ασφαλείας (αν και στις περισσότερες των περιπτώσεων είναι υπέρ). Όσον αφορά στην περιοχή όπου σ cm /p o <0.20, οι συγκλίσεις µε βάση τις αναλύσεις µε το κριτήριο Mohr-Coulomb για τη µέθοδο Μ1 είναι µεγαλύτερες από τις αντίστοιχες µε το κριτήριο Hoek-Brown, ενώ οι µέθοδοι Μ2 και Μ3 ανά περιπτώσεις οδηγούν σε καλύτερη προσέγγιση των αποτελεσµάτων µε τα δύο κριτήρια. Ειδικά για την περιοχή των δυσµενών γεωτεχνικών συνθηκών επισηµαίνεται, ότι ο λόγος u ratio εξαρτάται από το λόγο σ cm /p o αλλά και από τις επιµέρους τιµές των παραµέτρων Η, GSI, σ ci, m i. Τέλος, είναι ιδιαίτερα σηµαντικό, ότι οι µετατοπίσεις που υπολογίζονται από την ανάλυση µε το κριτήριο Mohr-Coulomb είναι ευαίσθητες ως προς το εύρος των τάσεων που γίνεται η προσέγγιση των δύο κριτηρίων. Όσον αφορά στις µεθόδους που χρησιµοποιούν την εσωτερική πίεση για την εκτίµηση των ισοδύναµων παραµέτρων Mohr- Coulomb σηµαντικός παράγοντας αβεβαιότητας είναι ο τρόπος εκτίµησης του µεγέθους αυτού για δεδοµένη διατοµή µέτρων άµεσης υποστήριξης. Συµπερασµατικά, στην περίπτωση των ευµενών γεωτεχνικών συνθηκών, λαµβάνοντας υπόψη τις εγγενείς αβεβαιότητες που εµπεριέχει η ανάλυση σηράγγων, κρίνεται ικανοποιητικής ακρίβειας η προσέγγιση µέσω του κριτηρίου Mohr-Coulomb και οι υφιστάµενες µέθοδοι θεωρούνται ισοδύναµες, ενώ στην περίπτωση των µέτριων και δυσµενών γεωτεχνικών συνθηκών οι διαφορές στα αποτελέσµατα µε βάση τα δύο κριτήρια αστοχίας είναι σηµαντικές και κρίνεται προτιµότερη η απευθείας χρήση του κριτηρίου αστοχίας Hoek-Brown. Επιπροσθέτως στη διαδικασία του σχεδιασµού πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στη επιλογή των χαρακτηριστικών τιµών, καθώς µετατροπή χαρακτηριστικών τιµών παραµέτρων Hoek-Brown δεν οδηγεί πάντα σε καλή προσέγγιση των χαρακτηριστικών τιµών των παραµέτρων Mohr-Coulomb. Επισηµαίνεται ότι η διαδικασία σύγκρισης των δύο κριτηρίων αστοχίας είναι ιδιαίτερα ευαίσθητη ως προς τα γεωµετρικά στοιχεία της σήραγγας (µονός ή διπλός κλάδος, απόσταση κλάδων, γεωµετρία διατοµής εκσκαφής), την κατασκευαστική αλληλουχία (φάσεις εκσκαφής) και τα µέτρα άµεσης υποστήριξης. Εποµένως, τα ποσοτικά συµπεράσµατα που προέκυψαν από τις αριθµητικές αναλύσεις της συγκεκριµένης εργασίας για κυκλική σήραγγα µονού κλάδου δεν είναι δόκιµο να γενικεύονται σε οποιαδήποτε σήραγγα. 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Carranza-Torres, C. and Fairhurst, C. (1999), General formulation of the elasto-plastic response of openings in rock using the Hoek-Brown failure criterion. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, Vol. 36 (6), pp. 777-809. Duncan Fama, M. E. (1993), Numerical Modeling of Yield Zones in Weak Rock. In Comprehensive Rock Engineering, (ed. J.A. Hudson) 2. Oxford: Pergamon, pp. 49-75. Hoek, E., Carranza-Torres, C. and Corkum B. (2002), Hoek-Brown failure criterion. In: Proceedings of the 5th North American Rock Mechanics Symposium and the 17th Tunnelling Association of Canada: NARMS- TAC, Toronto, Canada, 2002, Vol. 1, pp. 267-273. Jimenez, R., Serrano A. and Ollala, C. (2008), Linearization of the Hoek and Brown rock failure criterion for tunneling in elasto-plastic rock masses. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, Vol. 45, pp. 1153 1163. Marinos, P., and Hoek, E. (2000), GSI: a geologically friendly tool for rock mass strength estimation, In: Proceedings of the GeoEng2000 at the International Conference on Geotechnical and Geological Engineering, Melbourne, Australia, pp. 1422-1446. Lancaster: Technomic publishers. Sofianos, A.I., and Nomikos, P.P. (2006), Equivalent Mohr Coulomb and generalized Hoek Brown parameters for supported axisymmetric tunnels in plastic or brittle rock. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, Vol. 43, pp. 683 704. Yang, X.L. and Yin, J.H. (2006), Linear Mohr Coulomb strength parameters from the nonlinear Hoek-Brown rock masses. International Journal of Non-Linear Mechanics, Vol 41, pp. 1000 1005. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/10 2010, Βόλος 8