Ανάλυση Ευστάθειας Πρανών µε Χρήση Στοχαστικών Μεθόδων

Transcript

1 Ανάλυση Ευστάθειας Πρανών µε Χρήση Στοχαστικών Μεθόδων Slope Stability Analyses using Stochastic Methods ΦΟΡΤΣΑΚΗΣ, Π. ΣΤΥΛΙΑΝΙ Η, Ε. ΚΑΒΒΑ ΑΣ, Μ. Πολιτικός Μηχανικός, MSc, Υπ. ιδάκτωρ, ΕΜΠ Πολιτικός Μηχανικός, ΕΜΠ Πολιτικός Μηχανικός, Αν. Καθηγητής, ΕΜΠ ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Ο γεωτεχνικός σχεδιασµός αποτελεί ένα από τα αντικείµενα του πολιτικού µηχανικού που περιλαµβάνει µεγάλη αβεβαιότητα, κυρίως, εξαιτίας της ετερογένειας των γεωυλικών. Στο πλαίσιο της παρούσας εργασίας µελετώνται τα πιθανοτικά χαρακτηριστικά του προβλήµατος της ευστάθειας εδαφικών πρανών υπό στραγγιζόµενες και αστράγγιστες συνθήκες µέσω αναλυτικών και αριθµητικών επιλύσεων, προτείνονται διαγράµµατα για τον υπολογισµό της πιθανότητας αστοχίας σε συνάρτηση µε το ντετερµινιστικό συντελεστή ασφαλείας και σχολιάζεται ο ρόλος των στατιστικά σηµαντικών παραµέτρων. ABSTRACT : Geotechnical design is one of the civil engineering projects governed by large uncertainty, mainly, due to the heterogeneity of the geomaterials. This paper investigates the stochastic characteristics of soil slope stability under drained and undrained conditions using analytical and numerical methods. Dimensionless diagrams are proposed for the estimation of failure probability via the deterministic factor of safety and the influence of the statistically significant parameters is disssed. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο γεωτεχνικός σχεδιασµός αποτελεί ένα από τα αντικείµενα του πολιτικού µηχανικού που περιλαµβάνει µεγάλη αβεβαιότητα εξαιτίας της φυσικής ετερογένειας των γεωυλικών και της περιορισµένης έκτασης των γεωερευνητικών εργασιών. Παρά ταύτα, η εφαρµογή στοχαστικών µεθόδων που οδηγούν σε ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας µε τρόπο ορθολογικό, δεν έχει υιοθετηθεί ευρέως στη διαδικασία του σχεδιασµού. Αντιθέτως, η αβεβαιότητα αυτή λαµβάνεται υπόψη σε σύγχρονους κώδικες σχεδιασµού, όπως είναι ο Ευρωκώδικας 7 (EC7), µέσω της υιοθέτησης «συντηρητικών» τιµών των γεωτεχνικών παραµέτρων (µε βάση τον δείκτη αξιοπιστίας της µεθόδου προσδιορισµού τους) και της εφαρµογής κατάλληλων συντελεστών ασφαλείας. Στην παρούσα εργασία διερευνώνται τα στοχαστικά χαρακτηριστικά της ευστάθειας εδαφικών πρανών υπό στραγγισµένες και αστράγγιστες συνθήκες, για ένα ευρύ φάσµα γεωµετρικών, γεωτεχνικών και στατιστικών παραµέτρων, δυνάµεων αντιστήριξης και ντετερµινιστικών συντελεστών ασφαλείας. Με βάση τα ανωτέρω, προτείνονται σχέσεις και διαγράµµατα για την εκτίµηση της πιθανότητας αστοχίας εδαφικών πρανών ως προς τις στατιστικά σηµαντικές παραµέτρους του προβλήµατος. 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ ΠΡΑΝΩΝ ΚΑΤΑ ΤΟΝ ΕΥΡΩΚΩ ΙΚΑ 7 (EC7) 2.1 Επιλογή χαρακτηριστικών τιµών Κατά τον EC7, στην επιλογή της χαρακτηριστικής τιµής των εδαφικών παραµέτρων διακρίνονται δύο περιπτώσεις: Α) Συµµετοχή «µικρού εδαφικού όγκου» στην αστοχία. Στην περίπτωση που η απόσταση χωρικής εξάρτησης της κατανοµής 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 1

2 των παραµέτρων (auto-correlation distance) είναι µεγαλύτερη από την περιοχή που επηρεάζει την αστοχία, η αστοχία ελέγχεται από την τοπική αντοχή του εδαφικού υλικού και η χαρακτηριστική τιµή µίας παραµέτρου Χ ορίζεται ως «συντηρητική εκτίµηση της τοπικά χαµηλής τιµής της παραµέτρου X». Β) Συµµετοχή «µεγάλου εδαφικού όγκου» στην αστοχία. Στην περίπτωση που η απόσταση χωρικής εξάρτησης της κατανοµής των παραµέτρων (auto-correlation distance) είναι µικρότερη από την περιοχή που επηρεάζει την αστοχία, η αστοχία ελέγχεται από την κατανοµή της µέσης τιµής της µεταβλητής και η χαρακτηριστική τιµή της παραµέτρου Χ ορίζεται ως µία «συντηρητική εκτίµηση της µέσης τιµής της παραµέτρου X». Στη δεύτερη περίπτωση, η χαρακτηριστική τιµή µίας εδαφικής παραµέτρου Χ, µε πιθανότητα υπέρβασης 5% και γνωστή την τιµή του συντελεστή µεταβλητότητας της (V x known), προσεγγίζεται ικανοποιητικά από τη σχέση (Schneider, 1999): Χ k Χ m [1-0.50V x ] (1) όπου X k, X m είναι η χαρακτηριστική και µέση τιµή της παραµέτρου Χ και V x ο συντελεστής µεταβλητότητας. 2.2 Ευστάθεια πρανών Κατά το Εθνικό Προσάρτηµα (2007) του EC-7, για τις αναλύσεις ευστάθειας πρανών στην Ελλάδα υιοθετούνται οι επιµέρους συντελεστές του Τρόπου Ανάλυσης 3 (DA-3), οι οποίοι παρουσιάζονται στον Πίνακα 1. Πίνακας 1. Επιµέρους συντελεστές σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 7 (DA-3) Table 1. Partial factors according to Eurocode 7 (DA-3) Οµάδα Επιµέρους Συντελεστές Μόνιµες ευµενείς δράσεις, γ G A Γωνία διατµητικής αντίστασης, γ φ M (εφαρµόζεται στο tanφ ) Ενεργός συνοχή, γ c M Αστράγγιστη διατµητική αντοχή, γ M Αντίσταση γαιών, γ R;e R Συντελεστής προσοµοιώµατος*, 1.00, 1.10 * Ανάλογα µε τις υδραυλικές συνθήκες 3. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΕΩΝ Για την απλοποίηση των υπολογισµών, στις αναλύσεις ευστάθειας θεωρείται επίπεδη επιφάνεια ολίσθησης και η αντοχή του εδάφους περιγράφεται από το κριτήριο αστοχίας Mohr-Coulomb. Εφόσον η αστοχία πρανών σε επίπεδη επιφάνεια αποτελεί ένα πρόβληµα ισορροπίας δυνάµεων, η κατανεµηµένη πίεση αντιστήριξης που ασκείται στην επιφάνεια του πρανούς (τυπικά αντιστηρικτικά µέτρα όπως καρφιά, αγκύρια, γεωυφάσµατα κλπ.) µπορεί να προσοµοιωθεί µε µία συγκεντρωµένη δύναµη. Στο κοµµάτι των ντετερµινιστικών αναλύσεων για την εκτίµηση των χαρακτηριστικών τιµών των παραµέτρων αντοχής (στραγγισµένες ή αστράγγιστες συνθήκες) θεωρείται ότι τα υπό µελέτη πρανή ανήκουν στην κατηγορία συµµετοχής «µεγάλου εδαφικού όγκου στην αστοχία» (Εξισώσεις 2, 3, 4 µε βάση την Εξίσωση 1) και για τον υπολογισµό των τιµών σχεδιασµού (Εξισώσεις 5, 6, 7) υιοθετούνται οι επιµέρους συντελεστές υλικών του DA-3 (Πίνακας 1). c k m c V c m c (2) φ k m φ V φ m φ (3) c u,k m V m (4) όπου m c η µέση τιµή της ενεργού συνοχής, m φ η µέση τιµή της ενεργού γωνίας τριβής, m η µέση τιµή της αστράγγιστης διατµητικής και V c, V φ, V είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές µεταβλητότητας. c d c k/γ c (5) φ d φ k/γ φ (6) c u,d c u,k /γ (7) Στις στοχαστικές αναλύσεις οι παράµετροι αντοχής του εδάφους (συνοχή, γωνία εσωτερικής τριβής και αστράγγιστη διατµητική αντοχή) θεωρούνται τυχαίες µεταβλητές, οι οποίες ακολουθούν κόλουρη κανονική κατανοµή (Truncated Normal Distribution), καθώς λαµβάνουν µόνο θετικές τιµές. Επίσης, εξετάζεται η επίδραση του βαθµού συσχέτισης των δύο µεταβλητών. Το ειδικό βάρος του εδάφους, οι γεωµετρικές παράµετροι και οι δυνάµεις αντιστήριξης θεωρούνται ντετερµινιστικές µεταβλητές. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 2

3 Στην περίπτωση συµµετοχής «µεγάλου εδαφικού όγκου» στην αστοχία, η τιµή του συντελεστή µεταβλητότητας των παραµέτρων αντοχής µειώνεται (El-Ramly et al., 2002), καθώς η αστοχία εξαρτάται από την κατανοµή της µέσης τιµής. Ωστόσο, η πιθανοτική ανάλυση που πραγµατοποιείται βασίζεται στη συντηρητική παραδοχή ότι ο συντελεστής µεταβλητότητας της µέσης τιµής των εδαφικών παραµέτρων αντοχής είναι ίσος µε τον αντίστοιχο των αρχικών µεταβλητών. Αυτή η θεώρηση οδηγεί σε µεγαλύτερες πιθανότητες αστοχίας και υιοθετήθηκε επειδή είναι εξαιρετικά πολύπλοκο υπολογιστικά να προσοµοιωθεί η χωρική µεταβλητότητα των παραµέτρων (θεωρία random fields) για µεγάλο πλήθος αναλύσεων και επιπλέον θα ήταν αναγκαία η εισαγωγή µίας επιπλέον παραµέτρου στο πρόβληµα (auto-correlation distance). 4. Ε ΑΦΙΚΑ ΠΡΑΝΗ ΥΠΟ ΣΤΡΑΓΓΙΖΟΜΕΝΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ 4.1 Περιγραφή διαδικασίας Στη περίπτωση εδαφικών πρανών υπό στραγγιζόµενες συνθήκες ο συντελεστής ασφαλείας έναντι ολίσθησης εδαφικού πρανούς σε επίπεδη επιφάνεια υπολογίζεται από την Εξίσωση (Duncan & Wright, 2005): H 2c sinθ FS 2 sin(β - θ) tanφ + γh + 2Fsin(θ + ω)tanφ sinβ tanθ 2 sin(β - θ) γh - 2Fos(θ + ω) sinβ (8) όπου β είναι η κλίση του πρανούς, ω η γωνία την δύναµης αντιστήριξης F ως προς την οριζόντια και θ η κλίση της κρίσιµης επιφάνειας ολίσθησης. Η διαδικασία των αναλύσεων απεικονίζεται στο Σχήµα 1. Αρχικά υπολογίζονται οι χαρακτηριστικές τιµές µε βάση τη µέση τιµή και το συντελεστή µεταβλητότητας των παραµέτρων αντοχής και κατόπιν οι τιµές σχεδιασµού. Στη συνέχεια, από την Εξίσωση 8 και µε τις παραµέτρους αντοχής να λαµβάνουν τις τιµές σχεδιασµού, υπολογίζεται η κλίση του πρανούς, έτσι ώστε να ικανοποιείται οριακά η σχέση FS det γ M. Επισηµαίνεται ότι η σχέση αυτή δεν ικανοποιείται σε ορισµένα πρανή για καµία τιµή της κλίσης, καθώς προκύπτουν συνεχώς συντελεστές ασφαλείας, είτε µεγαλύτεροι είτε µικρότεροι από τον. Κατόπιν, για τα πρανή που είναι πλέον οριακά σχεδιασµένα για κάθε τιµή του συντελεστή γ M πραγµατοποιείται στοχαστική ανάλυση και υπολογίζεται η πιθανότητα αστοχίας. Ντετερµινιστική ανάλυση (Πλήθος: 190,960 πρανή) m c, V c m φ, V φ Eq. 1 Eq. 2 c k tanφ k c c k/γ d c φ H :Ύψος πρανούς γ : Ειδικό βάρος εδάφους F : ύναµη αντιστήριξης H γ F FS det γ M Πιθανοτική ανάλυση (Πλήθος: 119,496 πρανή) H γ F m c, V c m φ, V φ ρ β Monte Carlo ή PEM p f επαναλήψεις Σχήµα 1: ιάγραµµα ροής της ανάλυσης Figure 1. Analysis flow chart Για το συντελεστή θεωρήθηκαν πέντε διαφορετικές τιµές. Εφόσον, ο επιµέρους συντελεστής για τη συνοχή και τη γωνία τριβής είναι κοινός, κάθε τιµή του συντελεστή αντιστοιχεί µονοσήµαντα σε µία τιµή συνολικού ντετερµινιστικού συντελεστή FS det,total γ m. Επίσης, εξετάστηκαν οι περιπτώσεις συσχετισµένων και ασυσχέτιστων εδαφικών παραµέτρων αντοχής (c, φ). Γενικά, η συνοχή και η γωνία τριβής των εδαφών παρουσιάζουν αρνητικό συντελεστή συσχέτισης, καθώς για ένα συγκεκριµένο εδαφικό υλικό αύξηση της γωνίας τριβής, στατιστικά συνεπάγεται µείωση της συνοχής του. Συγκεντρωτικά οι τιµές των παραµέτρων που υιοθετήθηκαν στις αναλύσεις παρουσιάζονται στον Πίνακα 2. Οι συντελεστές µεταβλητότητας των εδαφικών παραµέτρων που υιοθετήθηκαν στις αναλύσεις είναι V c 0.40 για τη συνοχή (Schultze, 1972) και V φ 0.12 για τη γωνία τριβής (Fredlund & Dahlman, 1972). Πίνακας 2. Εύρος παραµέτρων ανάλυσης Table 2. Range of analysis parameters Παράµετροι Εύρος τιµών Ύψος πρανούς, H 5-40m Ειδικό βάρος εδάφους, γ 21kN/m 3 Μέση τιµή συνοχής, m c 0-150kPa Μέση τιµή γωνίας τριβής, m φ ύναµη αντιστήριξης, F/(γH 2 ) Συντελεστής συσχέτισης συνοχής και γωνίας τριβής, ρ 0, -0.5 Συντελεστής προσοµοιώµατος, γ M 1, 1.1, 1.2, 1,5, 1,8 β 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 3

4 Για την εκτίµηση των πιθανοτικών χαρακτηριστικών του προβλήµατος της ευστάθειας εδαφικών πρανών υπό στραγγιζόµενες συνθήκες πραγµατοποιήθηκαν αναλύσεις µε τη µέθοδο επαναληπτικής προσοµοίωσης Monte Carlo και τη Μέθοδο Σηµειακής Εκτίµησης (PEM: Point Estimation Method, Rosenbluth, 1981). Στη µέθοδο Monte Carlo η πιθανότητα αστοχίας ορίζεται ως ο αριθµός των επαναλήψεων µε συντελεστή ασφαλείας µικρότερο από τη µονάδα προς το πλήθος των επαναλήψεων, ενώ στη Μέθοδο Σηµειακής Εκτίµησης υπολογίζονται η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση του συντελεστή ασφαλείας και στη συνέχεια υπολογίζεται η πιθανότητα αστοχίας από την αντίστροφη κανονική κατανοµή για τιµή ίση µε τη µονάδα. Ο συντελεστής συσχέτισης των στοχαστικών παραµέτρων c, φ, εφόσον ρ 0, στη µέθοδο Monte Carlo λαµβάνεται υπόψη µέσω της διαγωνοποίησης του µητρώου συσχέτισης, ενώ στη Μέθοδο Σηµειακής Εκτίµησης ως συντελεστής βαρύτητας στον υπολογισµό της πιθανότητας που αντιστοιχεί σε κάθε σηµείο. 4.2 Αποτελέσµατα των αναλύσεων Τα αποτελέσµατα που ακολουθούν αφορούν στη µέθοδο επαναληπτικής προσοµοίωσης Monte Carlo. Τα αντίστοιχα αποτελέσµατα µε τη Μέθοδο Σηµειακής Εκτίµησης παρουσίασαν ελάχιστη διαφοροποίηση µε πολύ µικρότερο υπολογιστικό κόστος. Στον Πίνακα 3 παρατίθενται συνοπτικά οι µέσες τιµές και τα εύρη διακύµανσης των πιθανοτήτων αστοχίας. Είναι εµφανής η µεγάλη διαφοροποίηση των πιθανοτήτων αστοχίας που προκύπτουν για πρανή που έχουν σχεδιαστεί µε όµοια ντετερµινιστική διαδικασία και ίδιους συντελεστές ασφαλείας. Πίνακας 3. Μέση τιµή και εύρος διακύµανσης πιθανότητας αστοχίας p f Table 3. Average value and range of failure probability p f ρ0 ρ-0.5 γ M (FS det, total ) Εύρος (%) Μέση τιµή (%) Εύρος (%) Μέση τιµή (%) 1.00 (1.25) (1.38) (1.50) (1.88) (2.25) Για την επεξεργασία των αποτελεσµάτων υιοθετούνται οι αδιάστατοι όροι tanm φ για τη γωνίας τριβής, m c /γh για τη συνοχή και F/γΗ 2 για την αντιστηρικτική δύναµη. Από τις τιµές των συντελεστών συσχέτισης που παρουσιάζονται στον Πίνακα 4 προκύπτει ότι, γενικά, αύξηση του όρου της συνοχής οδηγεί σε αύξηση της πιθανότητας αστοχίας, ενώ αύξηση του όρου της γωνίας τριβής σε µείωση της πιθανότητας αστοχίας. Η διαφοροποίηση αυτή οφείλεται στη µεγάλη διαφορά αβεβαιότητας που παρουσιάζουν οι δύο παράµετροι αντοχής. Η µεγάλη µεταβλητότητα της συνοχής έχει ως αποτέλεσµα πρανή που εξασφαλίζουν την απαιτούµενη τιµή συντελεστή ασφαλείας λόγω της συνεκτικότητας του εδάφους να χαρακτηρίζονται από µεγαλύτερη αβεβαιότητα και κατ επέκταση από µεγαλύτερη πιθανότητα αστοχίας. Όσον αφορά στην παράµετρο της αντιστηρικτικής δύναµης, η οποία αποτελεί ντετερµινιστικό µέγεθος µε ευνοϊκή δράση, αύξηση της τιµής της, προφανώς, οδηγεί σε µείωση της πιθανότητας αστοχίας. Πίνακας 4. Συντελεστές συσχέτισης µε την πιθανότητα αστοχίας p f Table 4. Correlation coefficients with failure probability p f ρ m c /γη tanm φ F/γΗ m φ ( ο ) tanm φ Σχήµα 2. Μέγιστες τιµές πιθανότητας αστοχίας p f για κάθε τιµή της παραµέτρου m φ Figure 2. Maximum values of failure probability p f for each value of m φ parameter Από το Σχήµα 2 προκύπτει ότι η ευαισθησία της πιθανότητας αστοχίας ως προς τη µέση τιµή της γωνίας τριβής είναι µικρή, καθώς για 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 4

5 τις µεγάλες τιµές του συντελεστή γ M η κατανοµή των τιµών της p f είναι σχεδόν σταθερή, ενώ για µικρότερο από 1.20 παρουσιάζει µία µικρή τάση µείωσης όσο αυξάνει η τιµή της m φ. Με βάση τις τιµές των συντελεστών συσχέτισης και τη µορφή του παραπάνω διαγράµµατος κρίνεται, ότι ο όρος της γωνίας τριβής δεν είναι στατιστικά σηµαντικός και για λόγους απλότητας των σχέσεων µπορεί να παραλειφθεί. Εποµένως, η πιθανότητα αστοχίας, τελικά, συσχετίζεται µε τα µεγέθη m c /γη και F/γΗ 2, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3. Είναι εµφανές, ότι αύξηση του συντελεστή οδηγεί σε µείωση της πιθανότητας αστοχίας αλλά µε µειούµενο ρυθµό (m c /γη)(1-f/γη 2 ) Σχήµα 3. Μεταβολή πιθανότητας αστοχίας p f ως προς τις στατιστικά σηµαντικές παραµέτρους (ρ0) Figure 3. Variation of failure probability p f as a function of the statistically significant parameters (ρ0) ρ 0 ρ (m c /γη)(1-f/γη 2 ) Σχήµα 4. Επίδραση του συντελεστή συσχέτισης στην πιθανότητα αστοχίας (γ M 1.10, FS det, total 1.375) Figure 4. Influence of the correlation coefficient on failure probability (γ M 1.10, FS det, total 1.375) Σχετική συχνότητα (%) ρ 0 ρ Σχήµα 5. Κατανοµή πιθανότητας αστοχίας (γ M 1.10, FS det, total 1.375) Figure 5. Distribution of failure probability (γ M 1.10, FS det, total 1.375) Επίσης, από την επεξεργασία των αποτελεσµάτων προκύπτει ότι συσχέτιση των παραµέτρων c και φ οδηγεί σε µικρότερες πιθανότητες αστοχίας, καθώς δεν παρουσιάζονται συγχρόνως οι ελάχιστες τιµές αυτών. Από τα δεδοµένα του Πίνακα 3 φαίνεται ότι η µείωση της µέσης τιµής της πιθανότητας αστοχίας για ρ-0.5 είναι 34.7%-43.9%. Ενδεικτικά παρουσιάζεται η κατανοµή των πιθανοτήτων αστοχίας µε θεώρηση ρ0 και ρ-0.5 για τιµή συντελεστή 1.10 (Σχήµατα 4, 5). Τελικά λαµβάνοντας υπόψη όλα τα παραπάνω για την εκτίµηση της πιθανότητας αστοχίας εδαφικών πρανών υπό στραγγιζόµενες συνθήκες προτείνονται οι καµπύλες που παρουσιάζονται στο Σχήµα 6, οι οποίες προέκυψαν µέσω γραµµικής παλινδρόµησης (R %) ρ 0 ρ (m c /γη)(1-f/γη 2 ) Σχήµα 6. Καµπύλες για την εκτίµηση της πιθανότητας αστοχίας εδαφικών πρανών υπό στραγγιζόµενες συνθήκες Figure 6. Curves for failure probability estimation of soil slopes under drained conditions 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 5

6 5. ΠΡΑΝΗ ΥΠΟ ΑΣΤΡΑΓΓΙΣΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Η βραχυπρόθεσµη ευστάθεια των πρανών σε κορεσµένα αργιλικά εδάφη καθορίζεται από την αστράγγιστη διατµητική αντοχή, c u και συνήθως αναλύεται σε όρους ολικών τάσεων µε cc u και φ u 0. Η αστράγγιστη διατµητική αντοχή χαρακτηρίζεται από σχετικά υψηλό συντελεστή µεταβλητότητας, V (Harr, 1987; Kulhawy, 1992). Ο ντετερµινιστικός συντελεστής ασφαλείας, FS det, υπό αστράγγιστες συνθήκες, θεωρώντας επίπεδη επιφάνεια αστοχίας δίνεται από την Εξίσωση (Duncan & Wright, 2005): FS,k 1 2 γ γη sin(β - θ)sinθ F sinβ γη det (9) 2 sin2θ Η γωνία της κρίσιµης επιφάνειας ολίσθησης (θ cr ) υπολογίζεται θέτοντας την παράγωγο του συντελεστή ασφαλείας ως προς την γωνία θ ίση µε το µηδέν καταλήγοντας στην Εξίσωση: sin( β- 2θcr ) sinβcos 2θ cr 2F γη 2 (10) Εποµένως η κρίσιµη γωνία θ cr δεν εξαρτάται από την αστράγγιστη διατµητική αντοχή c u και αποτελεί ντετερµινιστική µεταβλητή. Θέτοντας τον παρονοµαστή της Εξίσωσης (9) ίσο µε Α, ο συνολικός ντετερµινιστικός συντελεστής ασφαλείας, FS det,total FS det γ υπολογίζεται, πλέον, από την Εξίσωση: 2,k FSdet,total (11) AγH Αντίστοιχα, ο συνολικός στοχαστικός συντελεστής ασφαλείας, FS st,total είναι συνάρτηση της αστράγγιστης διατµητικής αντοχής c u η οποία είναι στοχαστική µεταβλητή που ακολουθεί κόλουρη κανονική κατανοµή: FS st,total 2 (12) AγH Αντικαθιστώντας τον όρο Α από τις Εξισώσεις (11) και (12) προκύπτει: FSdet,total FS st,total (13) c u,k Η τυπική απόκλιση της αστράγγιστης διατµητικής αντοχής εκφράζεται ως εξής: σ V m (14) Τελικά, η έκφραση του FS st,total µέσω των Εξισώσεων (13) και (14) είναι: FS st,total FSdet,total m (1-0.5V c ) u (15) Σύµφωνα µε τις αρχές της στατιστικής, η παράµετρος FS st,total ακολουθεί κόλουρη κανονική κατανοµή, καθώς αποτελεί γραµµικό συνδυασµό της στοχαστικής µεταβλητής c u, η οποία ακολουθεί κανονική κατανοµή. Η µέση τιµή, mfs st,total, και η τυπική απόκλιση σfs st,total του FS st,total είναι: mfs σfs st,total st,total FS 1-0.5V det,total FSdet,totalV 1-0.5V (16) (17) Η πιθανότητα αστοχίας των πρανών σε συνεκτικά εδάφη υπό αστράγγιστες συνθήκες εκφράζεται από τη σχέση: pf p(fsst, total <1) (18) Τελικά µετασχηµατίζοντας σε τυποποιηµένη κανονική κατανοµή και µέσω των Εξισώσεων (16) και (17), η έκφραση της πιθανότητας αστοχίας p f γίνεται: 1-0.5V - FSdet,total pf Erf( ) (19) FS V det,total Η σχέση µεταξύ του p f και του FS det,total για διάφορες τιµές του V απεικονίζεται στο Σχήµα 7. Συµπεραίνεται ότι σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα αστοχίας p f καθορίζεται µόνο από την τιµή του FS det,total και του συντελεστή µεταβλητότητας της αστράγγιστης διατµητικής αντοχής V, ο οποίος εξαρτάται από την ετερογένεια και τη χωρική µεταβλητότητα των παραµέτρων του εδάφους. Παρατηρείται ότι αύξηση στην τιµή του FS det,total έχει ως αποτέλεσµα σηµαντική µείωση στην τιµή του p f για FS det,total <2, ενώ δεν επιφέρει σηµαντική µείωση του p f για 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 6

7 FS det,total >2, λόγω της µειούµενης κλίσης των καµπυλών FS det,total 1.54 p f 11.5% V 0.3 V V p f 6.8% V 0.4 V Ντετερµινιστικός Συντελεστής Ασφαλείας (FS det,total ) Σχήµα 7. Προτεινόµενες καµπύλες για την εκτίµηση της πιθανότητας αστοχίας εδαφικών πρανών υπό αστράγγιστες συνθήκες Figure 7. Proposed rves for failure probability estimation of soil slopes under undrained conditions Σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 7, το FS det,total είναι ίσο µε γ 1.10* (για ευµενείς υδραυλικές συνθήκες). Εποµένως, τα πρανή που είναι σχεδιασµένα στην οριακή κατάσταση αστοχίας κατά τον Ευρωκώδικα 7, για τιµές V , χαρακτηρίζονται από πιθανότητα αστοχίας µε %, ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά τους. 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Το επίπεδο ασφάλειας στα γεωτεχνικά έργα, το οποίο συνήθως εκφράζεται µε τους συντελεστές ασφάλειας που προτείνονται από τους κώδικες σχεδιασµού, µπορεί να περιγραφεί καλύτερα από την πιθανότητα αστοχίας µέσω στοχαστικών αναλύσεων που ποσοτικοποιούν άµεσα τις αβεβαιότητες του υπό µελέτη προβλήµατος. Στην παρούσα εργασία πραγµατοποιήθηκαν στοχαστικές αναλύσεις, µέσω αριθµητικών και αναλυτικών µεθόδων για τη διερεύνηση του προβλήµατος της ευστάθειας εδαφικών πρανών υπό στραγγιζόµενες και αστράγγιστες συνθήκες. Στην περίπτωση των στραγγιζόµενων συνθηκών προέκυψε, ότι η πιθανότητα αστοχίας εξαρτάται κυρίως από την τιµή των ντετερµινιστικών επιµέρους συντελεστών (γ m,, FS det, total γ m ), τη συνοχή του εδάφους, το βαθµό συσχέτισης (ρ) µεταξύ των γεωτεχνικών παραµέτρων αντοχής (c, φ) και την αντιστηρικτική δύναµη, ενώ παρουσιάζει µικρή ευαισθησία ως προς την τιµή της γωνίας εσωτερικής τριβής. Με βάση τα αποτελέσµατα των αναλύσεων είναι εµφανές, ότι στην περίπτωση που παρατηρείται συσχέτιση µεταξύ των τιµών της συνοχής και της γωνίας τριβής µειώνεται σηµαντικά η πιθανότητα αστοχίας (έως 40%). Επισηµαίνεται, ότι στη διαδικασία που περιγράφεται στον Ευρωκώδικα 7 για την επιλογή των παραµέτρων σχεδιασµού δεν λαµβάνεται υπόψη η πιθανή συσχέτιση µεταξύ παραµέτρων, παρά τη διαφοροποίηση του επιπέδου αξιοπιστίας που προκαλεί για το υπό µελέτη έργο. Κατόπιν στατιστικής επεξεργασίας των αποτελεσµάτων προτείνονται καµπύλες (Σχήµα 6), οι οποίες συσχετίζουν την εκτιµώµενη πιθανότητα αστοχίας µε τον ντετερµινιστικό συντελεστή (και αντίστοιχα τον FS det,total γ m ) και την αδιάστατη παράµετρο (m c /γη)(1-f/γη 2 ). Εποµένως, είναι δυνατή η εύκολη και γρήγορη εκτίµηση της πιθανότητας αστοχίας για δεδοµένη τιµή συντελεστή γ M και αντίστροφα. Όσον αφορά στα εδαφικά πρανή υπό αστράγγιστες συνθήκες το πρόβληµα επιλύθηκε αναλυτικά και προέκυψε ότι η πιθανότητα αστοχίας εξαρτάται µόνο από την τιµή του συντελεστή µεταβλητότητας της αστράγγιστης διατµητικής αντοχής (V ) και το συνολικό ντετερµινιστικό συντελεστή ασφαλείας (FS det,total ). Η παράλληλη εφαρµογή των µεθόδων Monte Carlo όσο και Σηµειακής Εκτίµησης έδειξε ότι η δεύτερη για τις συγκεκριµένες παραδοχές που έγιναν στις αναλύσεις - οδηγεί σε πολύ ικανοποιητικής ακρίβειας αποτελέσµατα µε πολύ µικρότερο υπολογιστικό φόρτο και κατά συνέπεια αποτελεί µία εύκολη και γρήγορη προσέγγιση για την εκτέλεση απλών πιθανοτικών αναλύσεων. Συµπερασµατικά, µέσα από την παρούσα εργασία γίνεται εµφανές, ότι δεν υπάρχει µονοσήµαντη σχέση µεταξύ ντετερµινιστικών επιµέρους συντελεστών όπως ορίζονται από τους κώδικες σχεδιασµού και πιθανότητας αστοχίας, καθώς το επίπεδο αβεβαιότητας δεν είναι κοινό για όλες τις παραµέτρους που υπεισέρχονται στους υπολογισµούς. Προφανώς αύξηση των επιµέρους συντελεστών οδηγεί σε µείωση της πιθανότητας αστοχίας, αλλά από ένα σηµείο και µετά είναι πιθανό να προκαλέσει σηµαντική αύξηση του κόστους και συγκριτικά πολύ µικρή αύξηση του επιπέδου αξιοπιστίας του έργου. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 7

8 Επίσης, οι πιθανότητες αστοχίας που εκτιµώνται, συγκεκριµένα για τους επιµέρους συντελεστές που προτείνονται από τον EC7, είναι αρκετά µεγάλες (έως 16% για στραγγιζόµενες συνθήκες και έως 17% για αστράγγιστες) συγκρινόµενες µε τις αντίστοιχες δοµοστατικών έργων υπό στατικές συνθήκες. Εποµένως, κρίνεται ότι τόσο στην ευστάθεια πρανών όσο και στα υπόλοιπα γεωτεχνικά έργα είναι χρήσιµη η υιοθέτηση στοχαστικών µεθόδων, όχι απαραίτητα ως κριτήριο σχεδιασµού, αλλά για την εκτίµηση των αβεβαιοτήτων στις οποίες υπόκεινται οι υπολογισµοί και τον εντοπισµό των κρίσιµων παραµέτρων. Μάλιστα, τα γεωτεχνικά προβλήµατα µπορούν να αναλυθούν στοχαστικά δίχως πρόσθετες δυσκολίες, δεδοµένου ότι οι αναλύσεις δεν χρειάζονται περισσότερα δεδοµένα, χρόνο και προσπάθεια (El-Ramly et al., 2002). Kulhawy F.H. (1992), "On the evaluation of soil properties. ASCE Geotechnical Specialty Publication, Vol. 31, pp National Annex, 2007: Greek National Annex to EN , Athens Greece: ELOT. Rosenbluth, E. (1981), Two-Point Estimates in probabilities. Applied Mathematics Modeling, Vol. 5. Schneider, H.R. (1999), Determination of characteristic soil properties. In: Proceedings of the 12th European Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Amsterdam, Balkema, Rotterdam, Vol. 1, pp Schultze, E. (1972), Frequency distributions and correlations of soil properties. In: Statistics and Probability in Civil Engineering. London: Hong Kong University Press, distributed by Oxford University Press. 7. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θερµές ευχαριστίες εκφράζονται στον κ. Κ. Τρέζο, Επίκουρο Καθηγητή της Σχολής Πολιτικών Μηχανικών για τη συµπαράσταση και τις συµβουλές του στην εκπόνηση της συγκεκριµένης εργασίας και στους Πολιτικούς Μηχανικούς Γρατσανίτη Ευτυχία και Ποταµιανάκη Μιχάλη για τη βοήθεια τους στα πλαίσια της προπτυχιακής διπλωµατικής τους εργασίας. 8. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Duncan, J.M, and Wright, S.G. (2005), Soil Strength and slope stability. New Jersey: John Wiley and Sons. El Ramly, H., Morgenstern, N.R. and Cruden, D.M. (2002), Probabilistic slope stability analysis for practice. Canadian Geotechnical Journal, Vol. 39, pp Eurocode 7, 2004: EN1997-1, Geotechnical Design Part 1: General Rules. Bruxelles: CEN. Fredlund, D.G. & Dahlman, A.E. (1972), Statistical geotechnical properties of glacial lake Edmonton sediments. In: Statistics and Probability in Civil Engineering. London: Hong Kong University Press, distributed by Oxford University Press. Harr, M.E. (1987), Reliability based design in civil engineering. New York: Dover Publications INC. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/09 1/ , Βόλος 8