Ερωτήσεις βιβλίου. Συµπλήρωσε τις λέξεις που λείπουν από το παρακάτω κείµενο έτσι ώστε οι προτάσεις που προκύπτουν να είναι επιστηµονικά ορθές: i. Η θέση ενός σώµατος καθορίζεται σε σχέση µε ένα σηµείο αναφοράς. Φυσικά µεγέθη τα οποία προσδιορίζονται µόνο από έναν αριθµό ονοµάζονται µονόµετρα. Αντίθετα, τα µεγέθη (όπως η θέση) που ο προσδιορισµός τους εκτός από το µέτρο, απαιτεί και την κατεύθυνση ονοµάζονται διανυσµατικά, συµβολίζονται µε ένα βέλος και συµφωνούµε το µήκος του να είναι ανάλογο µε το µέτρο του µεγέθους. ii. Στη γλώσσα που χρησιµοποιούµε στην καθηµερινή µας ζωή ορίζουµε ως µέση ταχύτητα το πηλίκο του µήκους της διαδροµής που διήνυσε το ένα κινητό σε ορισµένο χρόνο προς το χρόνο αυτό. Η ταχύτητα είναι διανυσµατικό µέγεθος και η µονάδα της στο διεθνές σύστηµα µονάδων (SI) είναι το /, δηλαδή µέτρο ανά δευτερόλεπτο. Ορίζουµε τη µέση διανυσµατική ταχύτητα µε βάση τη µετατόπιση ενός κινητού. µετατόπιση ιανυσµατική µέση ταχύτητα =. χρονικόδιάστηµα Εφόσον η µετατόπιση είναι διανυσµατικό µέγεθος, και η µέση διανυσµατική ταχύτητα είναι επίσης διανυσµατικό µέγεθος. Η κατεύθυνσή της συµπίπτει µε την κατεύθυνση της µετατόπισης. iii. Σε κάθε ευθύγραµµη οµαλή κίνηση το διάγραµµα της θέσης σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι ευθεία γραµµή και το διάγραµµα της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι µια ευθεία γραµµή παράλληλη προς τον άξονα του χρόνου.
. Να χαρακτηρίσεις τα παρακάτω µεγέθη ως µονόµετρα ή διανυσµατικά: α) θέση, β) απόσταση, γ) µετατόπιση, δ) χρονικό διάστηµα, ε) ταχύτητα. Μονόµετρα µεγέθη είναι τα: απόσταση, χρονικό διάστηµα. για να τα ορίσουµε χρειαζόµαστε µόνο το µέτρο τους ιανυσµατικά µεγέθη είναι τα: θέση, µετατόπιση, ταχύτητα. για να τα ορίσουµε χρειαζόµαστε εκτός από το µέτρο τους και την κατεύθυνσή τους 3. Στις παρακάτω ερωτήσεις να κυκλώσεις το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. i. Η µονάδα της ταχύτητας είναι: α), β), γ), δ). Οι µονάδες µέτρησης της ταχύτητας προκύπτουν από τον τύπο: υ =, όταν αντικαταστήσουµε το και το µε τις αντίστοιχες µονάδες τους: υ = υ = =, δηλαδή ένα µέτρο ανά δευτερόλεπτο. Άρα η σωστή απάντηση είναι η α). ii. Ένας αριθµός αντιστοιχεί στο µέτρο της ταχύτητας και δίδεται σε k/h. Κατά τη µετατροπή του σε k/ προκύπτει αριθµός ο οποίος είναι: α) πάντα µικρότερος, β) ο ίδιος, γ) µερικές φορές µικρότερος, δ) ποτέ µικρότερος, ε) τίποτε από όλα αυτά. k k Κατά τη µετατροπή του µέτρου της ταχύτητας από σε προκύπτει αριθµός πάντα h µικρότερος, διότι h ισοδυναµεί µε 3.6 και θα πρέπει να διαιρέσουµε τον αριθµό που αντιστοιχεί στο µέτρο της ταχύτητας µε το 3.6. Άρα σωστή απάντηση είναι η α). iii. Η ταχύτητα 3 / είναι ίση µε α),3 k/h, β) 8 k/h, γ) 8 /in, ε) καµία από τις παραπάνω.
Η ταχύτητα 3 είναι ίση µε:,k k 3 = 8. Άρα η σωστή απάντηση είναι η β). h h 36 Μετατροπές µονάδων: k =, άρα για να µετατρέψουµε τα σε k διαιρούµε µε το. h = 36, άρα για να µετατρέψουµε τα σε h διαιρούµε µε το 36. iv. Σε µια ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η σχέση µεταξύ των µεγεθών ταχύτητα (υ), µετατόπιση () και χρονικό διάστηµα () είναι: α) υ =, β) υ =, γ) υ =, δ) = υ. Σε µια ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η σχέση µεταξύ των µεγεθών ταχύτητα (υ), µετατόπιση () και χρονικό διάστηµα () είναι: υ =. Άρα σωστή απάντηση είναι η β). v. Σε µια ευθύγραµµη οµαλή κίνηση το διάγραµµα θέσης (x) χρόνου (t) είναι: α) ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των χρόνων, β) ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων, γ) τµήµα παραβολής. Σε µια ευθύγραµµη οµαλή κίνηση το διάγραµµα θέσης (x) χρόνου (t) είναι: ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων, διότι σε ίσους χρόνους το κινητό διανύει ίσες αποστάσεις. Τα µεγέθη x και t είναι ανάλογα, µε σταθερά αναλογίας την ταχύτητα υ, δηλαδή ισχύει: x = υ t. x t 3
Εφάρµοσε τις γνώσεις σου και γράψε τεκµηριωµένες απαντήσεις στις ερωτήσεις που ακολουθούν. Τι εννοούµε όταν λέµε ότι η κίνηση είναι σχετική; Λέγοντας ότι η έννοια της κίνησης είναι σχετική, εννοούµε ότι διαφορετικοί παρατηρητές αντιλαµβάνονται διαφορετικά την κίνηση. Για παράδειγµα, ο επιβάτης Α ενός τρένου βλέπει συνέχεια το διπλανό του Β ακίνητο, ενώ ο σταθµάρχης Γ ενός σταθµού διαπιστώνει ότι αυτός κινείται, εφόσον αποµακρύνεται από το σταθµό µαζί µε το τρένο. Η µελέτη της κίνησης γίνεται πάντα σε σχέση µε ένα σηµείο που θεωρούµε ακίνητο και ονοµάζεται σηµείο αναφοράς. Για τη µελέτη των διαφόρων κινήσεων θεωρούµε ότι η Γη είναι ακίνητη.. Η µέση ταχύτητα ενός σώµατος που κινείται ευθύγραµµα είναι µηδέν σε κάποιο χρονικό διάστηµα. Τι µπορείς να πεις για τη µετατόπισή του και το συνολικό µήκος της διαδροµής που έχει διανύσει σ αυτό το χρονικό διάστηµα; r r Από τον ορισµό της µέσης ταχύτητας v =, διαπιστώνουµε ότι για να είναι η ταχύτητα µηδέν r r r θα πρέπει η µετατόπιση να είναι µηδέν. Από τον ορισµό της µετατόπισης x = x τ x, διαπιστώνουµε ότι για να είναι η µετατόπιση µηδέν θα πρέπει η τελική και η αρχική θέση του σώµατος να συµπίπτουν. ηλαδή το σώµα διάνυσε x και επέστρεψε στο σηµείο από όπου ξεκίνησε διανύοντας άλλα x επιπλέον, οπότε το συνολικό µήκος της διαδροµής είναι x + x = x. α x Μετατόπιση: Συνολικό µήκος διαδροµής: x
3. Ποια είναι η διαφορά µεταξύ µέσης και στιγµιαίας ταχύτητας; Η µέση διανυσµατική ταχύτητα ορίζεται ως το πηλίκο της µετατόπισης x r προς το χρονικό r r διάστηµα που αυτή πραγµατοποιείται: v =. Όπως προκύπτει από τον ορισµό της αναφέρεται σε συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα. Η στιγµιαία διανυσµατική ταχύτητα αναφέρεται σε συγκεκριµένη χρονική στιγµή t. Η µέση ταχύτητα αναφέρεται στη συνολική διαδροµή. ε δίνει πληροφορίες για τις µεταβολές της στιγµιαίας ταχύτητας στη διάρκεια της διαδροµής. Στις περισσότερες κινήσεις η στιγµιαία ταχύτητα δε διατηρείται σταθερή και είναι διαφορετική από τη µέση ταχύτητα. 4. Ποια ταχύτητα δείχνει το ταχύµετρο του αυτοκινήτου; Το ταχύµετρο του αυτοκινήτου δείχνει την ταχύτητα κάθε χρονική στιγµή, οπότε δείχνει το µέτρο της στιγµιαίας ταχύτητας. Αν κάποια στιγµή διαβάσουµε την ένδειξη 6 k/h, αυτό σηµαίνει ότι αν το αυτοκίνητο συνέχιζε να κινείται µε αυτή την ταχύτητα επί µία ώρα, τότε θα διένυε απόσταση 6 k. 5. Ένα αυτοκίνητο κινείται σε µια στροφή ενός δρόµου. Είναι δυνατόν η ταχύτητά του να διατηρείται σταθερή; Να δικαιολογήσεις την απάντησή σου. Η ταχύτητα είναι διανυσµατικό µέγεθος οπότε για να την ορίσουµε χρειαζόµαστε εκτός από το µέτρο της και την κατεύθυνσή της. Άρα για να διατηρείται σταθερή θα πρέπει τόσο το µέτρο της όσο και η κατεύθυνσή της να παραµένουν σταθερά. Ακόµη και αν το µέτρο της ταχύτητας στη στροφή είναι σταθερό, η κατεύθυνσή της συνεχώς αλλάζει µε αποτέλεσµα η ταχύτητα να µη διατηρείται σταθερή. 6. Αν το ταχύµετρο ενός αυτοκινήτου δείχνει 6 k/h, µπορείς να συµπεράνεις αν η ταχύτητα του διατηρείται σταθερή; Ναι, όχι και γιατί; 5
Η ταχύτητα είναι διανυσµατικό µέγεθος. Το ταχύµετρο δείχνει µόνο το µέτρο της στιγµιαίας ταχύτητας. Ακόµα και αν το ταχύµετρο δείχνει συνεχώς 6 k/h, η κατεύθυνση της ταχύτητας είναι δυνατόν να µεταβάλλεται, µε αποτέλεσµα να µεταβάλλεται και η ταχύτητα του αυτοκινήτου. Άρα, δεν µπορούµε να συµπεράνουµε αν η ταχύτητα διατηρείται σταθερή παρατηρώντας µόνο το ταχύµετρο. 7. Με ποιους τρόπους µπορούµε να µεταβάλλουµε τη στιγµιαία ταχύτητα ενός αυτοκινήτου; Μπορούµε να µεταβάλλουµε την ταχύτητα ενός αυτοκινήτου µε τρεις τρόπους: ο πρώτος είναι το γκάζι, που χρησιµοποιείται για να αυξηθεί το µέτρο της ταχύτητας, ο δεύτερος είναι το φρένο, για να µειωθεί το µέτρο της ταχύτητας ο τρίτος είναι το τιµόνι, µε το οποίο µεταβάλλεται η κατεύθυνση της ταχύτητας. 8. Αντιστοίχισε τις τιµές των ταχυτήτων της αριστερής στήλης µε τις περιπτώσεις κίνησης της δεξιάς στήλης του πίνακα. Ταχύτητα σε k/h Σώµα που κινείται,4 Αυτοκίνητο 3 Αεροπλάνο Σαλιγκάρι. Άνθρωπος που βαδίζει 3. Φως.8.. ορυφόρος Τη µικρότερη ταχύτητα έχει το σαλιγκάρι (,4 k / h). Τη µεγαλύτερη ταχύτητα έχει το φως: 3. k / ή 3.k k =.8.. h h 36
Ασκήσεις βιβλίου. Ο παρακάτω πίνακας αναφέρεται σε µια ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Να συµπληρώσεις τα κενά. Χρόνος (t) Μετατόπιση () Ταχύτητα (υ) 5 5 9 / Λύση: Η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλή, εποµένως η ταχύτητα διατηρείται σταθερή. Από τον ορισµό της ταχύτητας v = προκύπτει x = v και t =. v Χρόνος (t) Μετατόπιση () Ταχύτητα (υ) 5 v = = 3 σταθερή 5 / 5 5 3 3 3 3 9 3 = v = 3 = 3 9 t = = = 3 v 3 7
. Ο Κώστας Κεντέρης στους Ολυµπιακούς αγώνες του Σίδνεϋ έτρεξε την κούρσα των σε σχεδόν. α. Να υπολογίσεις τη µέση ταχύτητά του σε / και σε k/h. β. Αν κατόρθωνε να διατηρεί σταθερή την παραπάνω ταχύτητα, σε πόσο χρόνο θα διένυε τα 5 k; Λύση: α. Η µέση ταχύτητα υπολογίζεται σύµφωνα µε τον τύπο: v = = =. Για να τη µετατρέψω σε k/h σκέφτοµαι ότι k =. και h = 3.6, άρα:,k k v = = = 36. h h 36 β. Αν κατόρθωνε να διατηρεί σταθερή την παραπάνω ταχύτητα, τότε θα διένυε 5 k = 5. σε 5. t = = = 5 = 8,333 in v 3. Ένα αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου 5 /. α. Να κατασκευάσεις το διάγραµµα της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο. β. Να υπολογίσεις τη µετατόπιση του αυτοκινήτου στο χρονικό διάστηµα µεταξύ των χρονικών στιγµών t = και t = της κίνησης. γ. Να κατασκευάσεις το διάγραµµα της θέσης του αυτοκινήτου (από το σηµείο αφετηρίας) σε συνάρτηση µε το χρόνο. Λύση: α. Το αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα, δηλαδή κάνει ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Έτσι το διάγραµµα της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι µια ευθεία γραµµή παράλληλη προς τον άξονα του χρόνου.
v (/) 5 5 Ταχύτητα - Χρόνος Πίνακας t () v (/) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 t () β. Στο χρονικό διάστηµα = t t = = η µετατόπιση του αυτοκινήτου είναι: x = v = 5 = 5. γ. Το διάγραµµα της θέσης σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι µια ευθεία γραµµή που περνάει από την αρχή των αξόνων. Για να σχεδιάσουµε την ευθεία, αρκεί να βρούµε δύο σηµεία της ευθείας και να τα ενώσουµε µεταξύ τους. π.χ. τα σηµεία (, ) και (, 5). Από τη σχέση x = υ t µπορούµε να βρούµε τη θέση του αυτοκινήτου κάθε χρονική στιγµή και έτσι να βρούµε τα ζεύγη τιµών χρόνου θέσης του πίνακα, στα οποία αντιστοιχούν τα σηµεία της ευθείας. x () 3 5 5 5 Θέση - Χρόνος 5 5 t () Πίνακας t () x () 5 75 5 5 5 3 4. Στη διπλανή εικόνα δίνεται το διάγραµµα της θέσης σε συνάρτηση µε το χρόνο ενός δροµέα σκυταλοδροµίας από τη στιγµή που παρέλαβε τη σκυτάλη. α. Τι είδους κίνηση εκτελεί ο δροµέας; β. Πόση είναι η µετατόπισή του από τη χρονική στιγµή t = 3 µέχρι t = 7 ; 9
γ. Ποια χρονική στιγµή βρέθηκε στη θέση 45 από τη στιγµή που παρέλαβε τη σκυτάλη; δ. Να υπολογίσεις την ταχύτητα του δροµέα. Λύση: α. Από το διάγραµµα της θέσης του δροµέα σκυταλοδροµίας σε συνάρτηση µε το χρόνο, προκύπτει ότι σε ίσους χρόνους διανύει ίσα διαστήµατα. Έτσι: από διανύει 5, από 4 διανύει 3 5 = 5, από 4 6 διανύει 45 3 = 5, από 6 8 διανύει 6 45 = 5 και από 8 διανύει 75 6 = 5. Άρα, ο δροµέας εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. β. Από το διάγραµµα θέσης χρόνου βρίσκουµε ότι: τη χρονική στιγµή t = 3 ο δροµέας βρίσκεται στη θέση x =,5 τη χρονική στιγµή t = 7 ο δροµέας βρίσκεται στη θέση x = 5,5 Εποµένως, στο χρονικό διάστηµα από 3 µέχρι 7, ο δροµέας µετατοπίζεται κατά: = x x = 5,5 -,5 = 3. γ. Ο δροµέας βρέθηκε στη θέση x = 45 τη χρονική στιγµή t = 6, όπως προκύπτει από το διάγραµµα x t. δ. Αρχικά ο δροµέας βρίσκεται στη θέση x = τη χρονική στιγµή t = και µετά από t = στη θέση x = 5. Η ταχύτητα του δροµέα υπολογίζεται ως εξής: υ = = x t x t 5 = = 5 = 7,5. Αν επιλέξουµε µια διαφορετική µετατόπιση σε κάποιο άλλο χρονικό διάστηµα, προκύπτει πάλι η ίδια τιµή για την ταχύτητα του δροµέα: υ = = x t x t 3 5 5 = = = 7,5. 4 Όποιο χρονικό διάστηµα και αν επιλεγεί, η ταχύτητα του δροµέα είναι σταθερή και ίση µε 7,5 /.
5. Ένας ποδηλάτης κινείται µε µέση ταχύτητα 5 /. Πόσο χρονικό διάστηµα χρειάζεται για να Λύση: διανύσει 9 k; Για να διανύσει ο ποδηλάτης 9 k = 9. χρειάζεται χρονικό διάστηµα: 9. t = = = 8 = 3 in =, 5h. v 5 h = 6 in = 36, in = 6 Για να µετατρέψουµε τα σε in διαιρούµε µε το 6. Για να µετατρέψουµε τα in σε h διαιρούµε µε το 6. 6. Στη διπλανή εικόνα φαίνεται το διάγραµµα θέσης χρόνου σε έναν ευθύγραµµο αγώνα δρόµου µεταξύ του παιδιού και του σκύλου του. Η Α γραµµή αντιστοιχεί στην κίνηση του παιδιού και η Β του σκύλου. Πόσο ήταν το µήκος της διαδροµής του αγώνα; Για πόσο χρονικό διάστηµα το παιδί βρισκόταν µπροστά από το σκύλο του; Σε πόση απόσταση από την αφετηρία και ποια χρονική στιγµή συναντήθηκαν; Λύση: Όπως προκύπτει από το διάγραµµα, το µήκος της διαδροµής του αγώνα ήταν 6. Παρατηρούµε ότι στο σηµείο (7, 3) οι δύο ευθείες τέµνονται. Αυτό σηµαίνει ότι τη χρονική στιγµή 7 το παιδί και ο σκύλος συναντήθηκαν και το σηµείο συνάντησής τους απέχει από την αφετηρία 3. Από τη στιγµή µέχρι τη στιγµή 7 το παιδί βρίσκεται µπροστά από το σκύλο. Άρα το παιδί βρίσκεται µπροστά από το από το σκύλο για = 7 = 7. Από το διάγραµµα παρατηρούµε επίσης ότι ο σκύλος άρχισε να τρέχει µετά από 4 από τη στιγµή που άρχισε να τρέχει το παιδί.
7. Οι ανθρωπολόγοι πιστεύουν ότι ο πρώτος άνθρωπος στον πλανήτη εµφανίστηκε στην Αφρική. Στη συνέχεια, ο άνθρωπος µετανάστευσε στις άλλες ηπείρους. Αν υποθέσουµε ότι µπορούσαν να µετακινηθούν ένα χιλιόµετρο το χρόνο και ότι η Βόρεια Ευρώπη απέχει από την Αφρική. k, πόσοι αιώνες χρειάστηκαν για να φθάσουν οι άνθρωποι στη Β. Ευρώπη; Λύση: Αν οι άνθρωποι µπορούσαν να µετακινηθούν k/χρόνο, τότε για να διανύσουν απόσταση. k χρειάστηκαν: x.k t = = =. χρόνια v k χρόνο Γνωρίζουµε ότι ένας αιώνας ισοδυναµεί µε χρόνια, οπότε. χρόνια είναι αιώνες. 8. Ένα ηλεκτροκίνητο τρενάκι/παιχνίδι κινείται κατά µήκος µιας ευθείας γραµµής. Στο σχήµα παριστάνεται η θέση του τρένου σαν συνάρτηση του χρόνου. α. Ποιες είναι οι θέσεις του τρένου τις χρονικές στιγµές: t = 3, t = 5, t 3 = 6, t 4 = 7, t 5 = 8. β. Να υπολογίσεις τη µετατόπιση του τρένου για τα χρονικά διαστήµατα: 3 και 5 6. γ. Η φορά κίνησης του τρένου παρέµεινε η ίδια ή µεταβλήθηκε κατά τη διάρκεια της κίνησής του; Αν ναι, ποια χρονική στιγµή έγινε αυτό; δ. Για ποιο χρονικό διάστηµα το τρένο παρέµεινε ακίνητο; Λύση: α. χρονική στιγµή t = 3, θέση του τρένου x = 3 χρονική στιγµή t = 5, θέση του τρένου x = 3,5 χρονική στιγµή t 3 = 6, θέση του τρένου x 3 = χρονική στιγµή t 4 = 7, θέση του τρένου x 4 = χρονική στιγµή t 5 = 8, θέση του τρένου x 5 = β. Από 3 η µετατόπιση του τρένου είναι: = 3 =. Από 5 6 η µετατόπιση είναι: = 3,5 = -,5.
γ. Η φορά κίνησης του τρένου δεν παρέµεινε η ίδια κατά τη διάρκεια της κίνησής του. Έτσι, από 4,5 κινείται προς τα δεξιά (>), ενώ από 4,5 8 κινείται προς τα αριστερά (<). δ. Από 6 7 το τρένο είναι ακίνητο, διότι βρίσκεται συνέχεια στη θέση x =. 3
Ερωτήσεις Ασκήσεις εκτός βιβλίου. Όταν ένας ποδηλάτης τρέχει σε κυκλικό στίβο µε ταχύτητα συνεχώς 65 k/h κινείται µε σταθερή ταχύτητα; Η ταχύτητα είναι µέγεθος διανυσµατικό, οπότε για να την ορίσουµε χρειαζόµαστε εκτός από το µέτρο της και την κατεύθυνσή της. Το µέτρο της ταχύτητας του ποδηλάτη διατηρείται σταθερό κατά την κίνησή του και ίσο µε 65 k/h, η κατεύθυνσή του όµως συνεχώς µεταβάλλεται αφού αυτή συµπίπτει µε την εφαπτοµένη σε κάθε σηµείο της τροχιάς. Έτσι, η ταχύτητα διατηρείται µόνο κατά µέτρο και όχι κατά κατεύθυνση, άρα ο ποδηλάτης δεν κινείται µε σταθερή ταχύτητα.. Στο παρακάτω σχήµα απεικονίζεται µε διάγραµµα θέσης χρόνου η κίνηση δύο αυτοκινήτων σε ευθύγραµµο δρόµο. Ποιο από τα δύο αυτοκίνητα κινείται µε µεγαλύτερη ταχύτητα; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Παρατηρούµε ότι η γραφική παράσταση της θέσης σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι και για τα δύο αυτοκίνητα ευθεία γραµµή που περνά από την αρχή των αξόνων. Άρα τα αυτοκίνητα εκτελούν ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µε ταχύτητα που υπολογίζεται σύµφωνα µε τον τύπο: υ = = σταθερή. x () 3 5 5 5 Θέση - Χρόνος 3 4 5 6 t ()
Από το διάγραµµα φαίνεται ότι, όταν αναφερόµαστε στην ίδια χρονική στιγµή, το αυτοκίνητο () έχει διανύσει µεγαλύτερη απόσταση από το σηµείο εκκίνησης σε σχέση µε αυτή που έχει διανύσει το (). π.χ. τη χρονική στιγµή t = 3 το αυτοκίνητο () βρίσκεται στη θέση x = 5 ενώ το () βρίσκεται πίσω του στη θέση x = 6. Εποµένως το αυτοκίνητο κινείται µε µεγαλύτερη ταχύτητα. x () 3 5 5 5 Θέση - Χρόνος 3 4 5 6 t () Γενικά, στο διάγραµµα θέσης χρόνου στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση, όσο µεγαλύτερη είναι η κλίση της ευθείας τόσο µεγαλύτερη είναι η ταχύτητα. Στο ίδιο συµπέρασµα µπορούµε να καταλήξουµε, υπολογίζοντας την ταχύτητα µε την οποία κινείται κάθε αυτοκίνητο: Για το αυτοκίνητο () προκειµένου να υπολογίσουµε την ταχύτητα του διαλέγουµε το χρονικό διάστηµα 4. Τη χρονική στιγµή t = η θέση του είναι x = ενώ τη χρονική στιγµή t = 4 η θέση του είναι x =. Άρα: x x υ = = = = = 5. t t 4 Όποιο χρονικό διάστηµα κι αν διαλέξουµε, θα βρούµε την ίδια τιµή για την ταχύτητα, αφού είναι σταθερή. Ακόµη, στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µπορούµε να υπολογίσουµε την ταχύτητα από τη σχέση υ = x/t. Για το αυτοκίνητο () προκειµένου να υπολογίσουµε την ταχύτητα του διαλέγουµε το ίδιο χρονικό διάστηµα. Τη χρονική στιγµή t = η θέση του είναι x = 4 ενώ τη χρονική στιγµή t = 4 η θέση του είναι x = 8. Άρα: x' x' 8 4 4 υ = = = = =. t t 4 Εποµένως το αυτοκίνητο () κινείται µε µεγαλύτερη ταχύτητα. 5
3. Να χαρακτηρίσετε το είδος της κίνησης σε κάθε ένα από τα παρακάτω διαγράµµατα δικαιολογώντας κάθε φορά την απάντησή σας. Στη συνέχεια να οµαδοποιήσετε τα διαγράµµατα που ανήκουν στο ίδιο είδος κίνησης. α Θέση - Χρόνος β Ταχύτητα - Χρόνος 3 3 x () υ (/) 3 4 5 t () 3 4 5 t () γ Ταχύτητα - Χρόνος δ Θέση - Χρόνος 3 5 υ (/) x () 9 6 3 4 5 t () 3 3 4 5 t () στ Ταχύτητα - Χρόνος ε Ταχύτητα - Χρόνος 5 6 υ (/) 8 υ (/) 5 4 5 3 4 5 t () 3 4 5 t ()
διάγραµµα (α): η θέση του κινητού κάθε χρονική στιγµή είναι x = 3, πράγµα που σηµαίνει ότι αυτό είναι ακίνητο (υ = ). διάγραµµα (β): η ταχύτητα του κινητού κάθε χρονική στιγµή είναι υ = /, πράγµα που σηµαίνει ότι αυτό είναι ακίνητο. Εποµένως τα διαγράµµατα (α) και (β) χαρακτηρίζουν ένα σώµα που βρίσκεται σε ακινησία. διάγραµµα (γ): η ταχύτητα του κινητού κάθε χρονική στιγµή είναι υ = 3 /. Εφόσον, η ταχύτητα διατηρείται σταθερή το κινητό εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. διάγραµµα (δ): η θέση του κινητού αυξάνεται και µάλιστα η µεταβολή της θέσης (µετατόπιση) είναι η ίδια σε ίσα χρονικά διαστήµατα. π.χ. στο χρονικό διάστηµα η µετατόπιση είναι: = x x = 6 3 = 3 και στο χρονικό διάστηµα 3 η µετατόπιση είναι: = x x = 9 6 = 3. Εφόσον, το κινητό διανύει ίσες αποστάσεις σε ίσα χρονικά διαστήµατα εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Εποµένως, τα διαγράµµατα (γ) και (δ) περιγράφουν την ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. διάγραµµα (ε): η ταχύτητα του κινητού µειώνεται και µάλιστα η µεταβολή της είναι η ίδια σε ίσα χρονικά διαστήµατα. π.χ. στο χρονικό διάστηµα η µεταβολή της ταχύτητας είναι: υ = υ υ = 5 / / = - 5 / και στο χρονικό διάστηµα 3 η µεταβολή της είναι: υ = υ υ = / 5 / = - 5 /. Εφόσον, η µείωση της ταχύτητας του κινητού είναι η ίδια σε ίσα χρονικά διαστήµατα, το κινητό εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση µε σταθερή 5 υ υ υ 5 / / επιβράδυνση: α = = = = = 5. t t Εποµένως, το διάγραµµα (ε) περιγράφει την ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση. διάγραµµα (στ): η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται και µάλιστα η µεταβολή της είναι η ίδια σε ίσα χρονικά διαστήµατα. π.χ. στο χρονικό διάστηµα η µεταβολή της ταχύτητας είναι: υ = υ υ = 8 / 4 / = 4 / και στο χρονικό διάστηµα 3 η µεταβολή της είναι: υ = υ υ = / 8 / = 4 /. Εφόσον, η αύξηση της ταχύτητας του κινητού είναι η ίδια σε ίσα χρονικά διαστήµατα, το κινητό εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε σταθερή 4 υ υ υ 8 / 4 / επιτάχυνση: α = = = = = 4. t t Εποµένως, το διάγραµµα (στ) περιγράφει την ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση. 7
4. Ένα σαλιγκάρι ξεκινάει, κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα, από το σηµείο Α τη χρονική στιγµή t = και µετά από 5 βρίσκεται στη θέση Γ που απέχει από το Α,5 c. Στη συνέχεια σταµατά για 3 και κινείται µε σταθερή ταχύτητα αντίθετα γυρίζοντας πίσω στο σηµείο Α τη χρονική στιγµή t = 3. α) Να βρεθεί η µετατόπιση του σαλιγκαριού κατά µήκος των διαδροµών Α Γ, Γ Α, Α Γ Α, καθώς και το συνολικό διάστηµα που διάνυσε από t = µέχρι t = 3. β) Στη συνέχεια να γίνει η γραφική παράσταση της θέσης και της ταχύτητας του σαλιγκαριού σε συνάρτηση µε το χρόνο. Τι είδους κίνηση εκτελεί το σαλιγκάρι; Α Γ c c c 3c t= t=5 t=3 α) Καθώς το σαλιγκάρι κινήθηκε από το Α στο Γ µετατοπίστηκε κατά: = x Γ x Α =,5 c c =,5 c. Καθώς το σαλιγκάρι κινήθηκε από το Γ στο Α µετατοπίστηκε κατά: = x Α x Γ = c,5 c = -,5 c. Καθώς το σαλιγκάρι κινήθηκε από το Α στο Γ και ξανά στο Α µετατοπίστηκε κατά: = x Α x Α =,5 c,5 c = c. Το ολικό διάστηµα που διάνυσε το σαλιγκάρι κατά το χρονικό διάστηµα 3 είναι: S = (ΑΓ) + (ΓΑ) =,5 c +,5 c = 5 c. β),5 Θέση - Χρόνος x () X (c),5,5 3 4 5 6 7 8 9 3 t () υ (c/)
Το σαλιγκάρι, όταν κινείται από το Α στο Γ, κάθε δευτερόλεπτο διανύει,5 c, οπότε η ταχύτητά του είναι,5 c/ και εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση προς τα δεξιά. Όταν κινείται από το Γ στο Α, διανύει πάλι,5 c το δευτερόλεπτο, επειδή όµως κινείται αντίθετα η ταχύτητά του είναι αρνητική, δηλαδή είναι,5 c/ και εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση προς τα αριστερά. Το χρονικό διάστηµα 5 8 η θέση του παραµένει σταθερή και η ταχύτητά του είναι µηδέν, αφού δεν κινείται. 5. Ο οδηγός ενός αυτοκινήτου πλησιάζει στα διόδια των Τεµπών, οπότε τη χρονική στιγµή t = πατάει το φρένο για να µειώσει την ταχύτητα του αυτοκινήτου του, σταµατά τη χρονική στιγµή t = 6 για να πληρώσει και τη χρονική στιγµή t = πατάει το γκάζι για να αυξήσει την ταχύτητα του αυτοκινήτου του. Οι τιµές της ταχύτητας τις διάφορες χρονικές στιγµές φαίνονται στον πίνακα. Να γίνει η γραφική παράσταση της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο και να βρεθεί η επιβράδυνση του αυτοκινήτου από 6 καθώς και η επιτάχυνση του από 8. Τι είδους κίνηση εκτελεί το αυτοκίνητο από 6, 6 και από 8 ; Πίνακας υ (/) t () 5 5 4 6 8 5 4 5 6 8 υ (/) 5 5 Ταχύτητα - Χρόνος 4 6 8 468 t () Τη χρονική στιγµή t = η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι υ = 5 /, ενώ τη χρονική στιγµή t = 6 η ταχύτητα είναι υ = /. Η επιβράδυνση από 6 είναι: υ υ υ / 5 / 5 / = = = = =,5 / t t 6 6 α. 9
Τη χρονική στιγµή t = η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι υ = /, ενώ τη χρονική στιγµή t = 8 η ταχύτητα είναι υ = /. Η επιτάχυνση από 8 είναι: υ υ υ = = t t α. / / / = = =,5 / 8 8 από 6 το αυτοκίνητο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση µε σταθερή επιβράδυνση α = -,5 /. από 6 το αυτοκίνητο είναι ακίνητο αφού η ταχύτητά του είναι υ = / από 8 το αυτοκίνητο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση α =,5 /. 6. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε (Σ) αν είναι σωστές και µε (Λ) αν είναι λανθασµένες. i. Η µετατόπιση ενός κινητού εξαρτάται από το σηµείο αναφοράς. ii. Στην οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση το διάγραµµα υ - t είναι µια ευθεία παράλληλη στον άξονα των χρόνων ενώ το διάγραµµα x - t είναι µια ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων. iii. Μια κίνηση χαρακτηρίζεται ως µεταβαλλόµενη όταν µεταβάλλεται: α) το µέτρο της ταχύτητας, β) η κατεύθυνση της ταχύτητας (διεύθυνση και φορά), γ) και το µέτρο και η κατεύθυνση της ταχύτητας. iv. Όταν η ταχύτητα ενός κινητού αυξάνεται ( υ > ) το κινητό επιταχύνεται, ενώ όταν η ταχύτητά του µειώνεται ( υ < ) το κινητό επιβραδύνεται. v. Όταν η µεταβολή της ταχύτητας ενός κινητού είναι η ίδια σε ίσα χρονικά διαστήµατα, το κινητό εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. vi. Στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση το διάγραµµα υ t είναι µια ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων. vii. Ταχύτητα ίση µε 5 / σε ευθεία γραµµή σηµαίνει ότι το κινητό µετατοπίζεται 5 κάθε δευτερόλεπτο.
Απάντηση i. Λάθος. Ενώ η θέση x ενός σώµατος εξαρτάται από το σηµείο αναφοράς που επιλέγουµε, η µετατόπιση είναι ανεξάρτητη από το σηµείο αναφοράς. Εξαρτάται µόνο από την αρχική και τελική θέση του σώµατος, καθώς και από το ποια κατεύθυνση έχουµε ορίσει ως θετική. ii. Λάθος. Αυτό ισχύει στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. iii. Σωστή. iv. Σωστή. v. Λάθος. Όταν η µεταβολή της ταχύτητας ενός κινητού είναι η ίδια σε ίσα χρονικά διαστήµατα, τότε το κινητό εκτελεί οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση. vi. Σωστή. vii. Σωστή.