Ένας δακτύλιος με μια μπίλια

Ένας δακτύλιος με μια μπίλια Θεωρούμε ένα κατακόρυφο δακτύλιο ακτίνας R και μάζας m στο εσωτερικό του οποίου έχει προσκολληθεί σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων μάζας m. O δακτύλιος μπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Αρχικά η διακεντρική ευθεία των δύο σωμάτων είναι κατακόρυφη με το σφαιρίδιο στην ανώτερη θέση. Δίνουμε μια μικρή ώθηση στο σφαιρίδιο και ο δακτύλιος αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση του δακτυλίου συναρτήσει της γωνίας στροφής φ. Εφαρμογή για φ=π/ η Λύση (Κίνηση κέντρου μάζας και αρχή διατήρησης της ενέργειας) Θεωρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων με αρχή την αρχική θέση του κέντρου του δακτυλίου και προσανατολισμό όπως στο σχήμα y Λ O Επειδή ο δακτύλιος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, όταν ο δακτύλιος έχει στραφεί κατά φ το κέντρο του δακτυλίου έχει μετατοπιστεί κατά Rφ. Το διάνυσμα θέσης, η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Κ είναι: r (R,,) (..α) (R,,) (...β) a (R,,) (..γ) Το διάνυσμα θέσης, η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Λ είναι: r (RR,R,) (..α) (R R, R,) (..β) z Γ φ w N w (..γ) a (R R R, R R,) Τ x U=

Η κινητική ενέργεια του δακτυλίου είναι: m mr (.3.α) Η κινητική ενέργεια του σφαιριδίου είναι: m mr ( ) mr ( ) (.3.β) Άρα η κινητική ενέργεια του στερεού είναι: mr mr ( ) (.3.γ) Η Δυναμική ενέργεια του στερεού είναι: UUU mgr (.4) Η μηχανική ενέργεια του στερεού είναι: Um R m R ( ) m gr (.5) Αρχικά φ= και. Άρα mgr Επειδή ο δακτύλιος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει το έργο της στατικής τριβής είναι μηδέν. Συνεπώς η ολική ενέργεια του στερεού παραμένει σταθερή. Η σχέση (.5) γίνεται: mr mr ( ) mgrmgr (.6.α) Επιλύοντας ως προς έχουμε: mg( ) (.6.β) Rmm ( ) Με παραγώγιση της (.6.α) ως προς τον χρόνο έχουμε: m R m R ( ) m R m g m R m R ( ) m R m g (.7α) 3 Αντικαθιστώντας στην (.7α) την (.6.β) έχουμε: mg( ) m Rm R ( ) m g mm ( ) m(m m)g (.7.β) Rmm ( ) Για την κίνηση του κέντρου μάζας του στερεού ισχύει ότι : F (mm )acm NmgmgT (mm )acm NmgmgT ma ma (T,N m g m g,) R(m m m m, m m,) (.8.α) TR(mmmm )

N (m m )g Rm Rm (.8.β) Αντικαθιστώντας τις (.6.β) και (.7.β) στις (.8) έχουμε: mg (m m ) T mm( ) (.9.α) 3 m (3m m ) (m m ) (m m ) (mm )g mg mm( ) Εφαρμογή: Αντικαθιστώντας στις σχέσεις (.6.β), (.7.β) φ=π/ έχουμε: (.9.β) mg mg R m m R(m m ) m(mm)g R(m m ) η Λύση (Κίνηση κέντρου μάζας και νόμος μεταβολής στροφορμής ως προς σταθερό σημείο) Η στροφορμή του δακτυλίου ως προς το κέντρο του είναι L I m R () Η στροφορμή περιφοράς του κέντρου μάζας του δακτυλίου ως προς το σημείο Ο είναι: mr (..α) (..β) Επομένως η στροφορμή του δακτυλίου ως προς Ο είναι: L I mr mr mr z (..γ) ( ) Η στροφορμή του σφαιριδίου ως προς Ο είναι: x y z L (O) mr mr mr ( )z L m R ( )z (.) (O) Η συνολική στροφορμή του στερεού ως προς Ο είναι: L L L R m m ( ) z (.3) ( ) ( ) (O) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του στερεού ως προς Ο είναι dl( ) R m m ( ) z R m ( ) z (.4) Για τις ως προς Ο ροπές των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο στερεό έχουμε: xz NRz (.5.α) 3

x y z r R R RTz T x y z w r w R mgrz m g x y z w r w R mgr( )z m g (.5.β) (.5.γ) (.5.δ) Από τον νόμο μεταβολής της στροφορμής ως προς Ο έχουμε: dl( ) ( ) R m m ( ) R m ( ) N T m g m g( ) Από τις εξισώσεις κίνησης του κέντρου μάζας προκύπτουν με τον ίδιο τρόπο οι σχέσεις (.8) Αντικαθιστώντας από τις σχέσεις (.8α,β) τις Ν και Τ στην τελευταία έχουμε: R m m ( ) m R m g Ανακτούμε δηλαδή την σχέση (.7α), από την οποία μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η συνολική ενέργεια του στερεού είναι σταθερή. 3 η Λύση (Κίνηση κέντρου μάζας και νόμος μεταβολής στροφορμής ως προς στιγμιαίο άξονα περιστροφής) y Λ O Επειδή το σημείο επαφής Γ είναι στιγμιαία ακίνητο ισχύει ότι L z (3.) ( ) mr mr m ( ) (3..α) z Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΓΛΚ έχουμε: ( ) R R R ( ) R ( ) (3..β) Επομένως φ Γ w N w Τ x U= 4

m R m R ( ) (3..γ) Η κινητική ενέργεια του στερεού είναι R [mm ( )] Ξαναβρήκαμε την σχέση (.3.γ) με πολύ λιγότερο κόπο. Αντικαθιστώντας στην σχέση (3.) την ως προς Γ ροπή αδράνειας από την σχέση (3..γ) έχουμε: L R m m ( ) z (3.3) ( ) Η οποία είναι η σωστή σχέση υπολογισμού της γωνιακής επιτάχυνσης. 5 Παραγωγίζοντας την (3.3) ως προς τον χρόνο έχουμε: dl ( ) R m m ( ) z R m z (3.4) Η μόνη δύναμη που έχει ροπή ως προς Γ είναι το βάρος του σφαιριδίου. Ισχύει ότι: ( ) w mgrz (3.5) dl( ) Αν κάνουμε χρήση της σχέσης ( ) έχουμε: R m m ( ) Rm m g Παρατηρούμε ότι η σχέση αυτή είναι διαφορετική από την (.7.α). Επομένως είναι λανθασμένη. Το σημείο Γ του στερεού είναι ένα σημείο που στιγμιαία είναι ακίνητο. Επομένως η στροφορμή ως προς Γ δίνεται από την σχέση 3.. Όμως ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς Γ δεν είναι ίσος με την συνισταμένη ροπή. Για να βρούμε τον σωστή γωνιακή επιτάχυνση, θεωρούμε ένα σημείο Ε του εδάφους το οποίο «παρακολουθεί» το εκάστοτε σημείο επαφής. Συνεπώς, το σημείο Ε έχει ταχύτητα ίση με την ταχύτητα του κέντρου Κ του δακτυλίου. Επειδή τα σημεία Γ και Ε αντιστοιχούν στο ίδιο γεωμετρικό σημείο η στροφορμές ως προς Γ και Ε είναι ίσες. Για τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής ως προς Ε έχουμε: dl( ) ( ) mcm (3.6) Ισχύει ότι: x y z m cm (m m ) m mr mr z (3.7) Αντικαθιστώντας τα πρώτα μέλη των (3.4), (3.5), (3.7) στην (3.6) έχουμε: R m m ( ) Rm m g (3.8)

4 η Λύση (Κίνηση κέντρου μάζας και νόμος μεταβολής στροφορμής ως προς σύστημα συντεταγμένων σταθερό επί του στερεού) y y Λ O z w φ w x U= N Γ Τ x Θεωρούμε ένα σύστημα συντεταγμένων προσαρμοσμένο στο στερεό όπως στο σχήμα. Ο τανυστής ροπής αδράνειας του στερεού και της γωνιακής ταχύτητας του στερεού ως προς το σύστημα x y z και είναι x y και (4.) I z Συνεπώς, αν R είναι το διάνυσμα θέσης του κέντρου μάζας του στερεού ως προς Κ, η στροφορμή του cm στερεού ως προς Κ είναι x L( ) I mr cmx y mr cmx I z x y z L ( ) (mm )R zmr L [m m ( )]R z (4.) ( ) Παραγωγίζοντας την σχέση (4.) ως προς τον χρόνο έχουμε: dl( ) [m m ( )]R z R m (4.3) Επειδή το Κ δεν είναι το κέντρο μάζας του στερεού ισχύει ότι dl( ) ( ) mcm dl( ) Rz m gr z mr z [m m ( )]R R m m g m R 6

Αντικαθιστώντας την T από την σχέση (.8α) έχουμε [m m ( )]R R m m g Η παραπάνω εξίσωση είναι ίδια με την (.7α). Παρατηρήσεις Υποθέτουμε ότι την στιγμή t= το σφαιρίδιο αφήνεται ( ) στην θέση φ. Από την (3.8) έχουμε ότι: R m m ( ) m g Εκείνη στην στιγμή η ροπή αδράνειας ως προς το σημείο επαφής είναι (σχέση 3..γ)) mr [ m ( )] και η ροπή του w (σχέση (3.5)) w m grz ( ) Συνεπώς, ( ) ( ) korfiatis@sch.gr 7