ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις των αποτελεσμάτων σύγκλισης και περατότητας του αλγορίθμου. Για το σκοπό αυτό υποθέσαμε ότι τα γραμμικά προβλήματα είναι μη εκφυλισμένα, δηλαδή ότι δεν υπάρχουν δεσμοί στους υπολογισμούς των ελαχίστων λόγων. Μπορούμε να συμπεράνουμε εύκολα από τις προηγούμενες αποδείξεις ότι το πρόβλημα που θα αντιμετωπίσουμε προέρχεται από την ύπαρξη δεσμών στον προσδιορισμό της εξερχόμενης μεταβλητής. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι στην τρέχουσα επανάληψη υπάρχουν δεσμοί στον υπολογισμό της εξερχόμενης μεταβλητής και πιο συγκεκριμένα για τις γραμμές r, r 2,, r k οι αντίστοιχοι λόγοι είναι ίσοι με θ και θ θ 2. Επομένως οι δείκτες r, r 2,, r k ανήκουν όλοι στο τρέχον σύνολο Ι -. Μπορούμε να επιλέξουμε αυθαίρετα οποιονδήποτε απ' αυτούς τους δείκτες ώστε να προσδιορίσουμε την γραμμή περιστροφής. Ας πούμε ότι επιλέγουμε το δείκτη r. Θέτοντας στην επόμενη επανάληψη I {r } I όλες οι αποδείξεις του προηγούμενου κεφαλαίου μπορούν να επαναληφθούν ως έχουν στην περίπτωσή μας. Προσέξτε ότι, αν εφαρμόσουμε τον ΔΑΣΕΣ όπως περιγράφτηκε προηγούμενα το νέο σύνολο I δεν θα είναι ίσο με I - - {r }, αλλά με το σύνολο I - - {r, r 2,, r k }. Αυτό βεβαίως αμέσως δηλώνει ότι είναι πιθανόν
90 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων ο αλγόριθμος ΔΑΣΕΣ να μην εντοπίσει μια βέλτιστη λύση ακόμη και στην περίπτωση που το γραμμικό πρόβλημα είναι βέλτιστο. Επομένως μέχρι τώρα βλέπουμε ότι η σωστή υλοποίηση του ΔΑΣΕΣ ώστε να επιλύει και εκφυλισμένα προβλήματα οδηγεί στην ανανέωση των συνόλων I - και I + και όχι στον υπολογισμό τους στην αρχή κάθε επανάληψης με τη χρήση των τιμών των δεξιών μερών του tbleu Simplex. Πιο συγκεκριμένα τα σύνολα I και I + της επόμενης επανάληψης ανανεώνονται ως εξής α) Αν η γραμμή περιστροφής ανήκει στο Ι - τότε I Ι - - {r} I Ι + + {r} + β) Αν η γραμμή περιστροφής ανήκει στο Ι + τότε τα σύνολα Ι + και Ι - παραμένουν ίδια Βεβαίως υπάρχει ακόμη το πρόβλημα της κύκλωσης, δηλαδή στην περίπτωση εκφυλισμένων προβλημάτων αυθαίρετο σπάσιμο των δεσμών των ελαχίστων λόγων μπορεί να προκαλέσει κύκλωση του αλγόριθμου. Ως γνωστόν κατά την κύκλωση ενός αλγόριθμου υπάρχει μια ακολουθία διαδοχικών βάσεων η οποία επαναλαμβάνεται έπ' αόριστο κάνοντας τον αλγόριθμο να μη συγκλίνει. Το πρόβλημα αυτό που εμφανίζεται και σε άλλους αλγόριθμους έχει επιλυθεί με την ανάπτυξη κανόνων περιστροφής γνωστών ως κανόνων αντικύκλωσης του αλγορίθμου Simplex. Ένας από τους κανόνες ο οποίος αποτρέπει και τον ΔΑΣΕΣ να κάνει κύκλωση είναι ο κανόνας του Blnd (977). Όπως είναι γνωστό στον κανόνα του Blnd κατά το σπάσιμο των δεσμών επιλέγεται πάντοτε ο μικρότερος δείκτης. Ένας άλλος κανόνας αντικύκλωσης είναι ο λεξικογραφικός κανόνας, βλέπε Dntzig (963). Επειδή οι αποδείξεις αντικύκλωσης των παραπάνω κανόνων στον ΔΑΣΕΣ είναι όμοιες με προηγούμενες παρόμοιες αποδείξεις
Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 9 παραλείπονται. Ο ενδιαφερόμενος μπορεί να βρει τις αποδείξεις αυτές στις αναφορές Blnd (977), Anstreiher και Terlky (994), Pprrizos (993). Ένα υπολογιστικό μειονέκτημα του αλγορίθμου ΔΑΣΕΣ του προηγούμενου κεφαλαίου προέρχεται από τον υπολογισμό της m+ γραμμής του tbleu Simplex σε κάθε επανάληψη. Μπορούμε να υπολογίσουμε περισσότερο αποτελεσματικά την m+ γραμμή αν την ανανεώνουμε σε κάθε επανάληψη. Επειδή οι πράξεις της ανανέωσης του tbleu Simplex είναι γραμμικές, η ανανέωση της m+ γραμμής μπορεί να γίνει ως εξής α) Στις επαναλήψεις κατά τις οποίες r I + η m+ γραμμή ανανεώνεται όπως κάθε άλλη γραμμή του tbleu Simplex εκτός της γραμμής περιστροφής, αφού τα σύνολα I + και I - δεν αλλάζουν, η γραμμή περιστροφής r δεν ανήκει στο Ι - και οι πράξεις είναι γραμμικές. β) Όταν r I - η ανανέωση της γραμμής m+ δεν είναι προφανές πως θα γίνει αφού τα σύνολα Ι - και Ι + αλλάζουν στην επόμενη επανάληψη όπως περιγράψαμε προηγουμένως στην περίπτωση α). Για να δούμε τώρα πως μπορεί να γίνει ανανέωση της m+ γραμμής σκεφτόμαστε ως εξής. Πριν γίνει η περιστροφή αφαιρούμε από την m+ γραμμή τη γραμμή περιστροφής και μετά ανανεώνουμε την νέα m+ γραμμή. Τότε το στοιχείο είναι ίσο με μηδέν, αφού όλα τα στοιχεία της στήλης s εκτός αυτού â m +,s της γραμμής r είναι ίσα με μηδέν. Όμως στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε ανανεώνοντας την m+ γραμμή όπως ακριβώς ανανεώνονται και οι υπόλοιπες γραμμές του tbleu Simplex. Αποδείχτηκε επομένως το επόμενο αποτέλεσμα.
92 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Θεώρημα 4. Η ανανέωση της m+ γραμμής του tbleu Simplex γίνεται σε κάθε τύπο περιστροφής (Α ή Β) όπως γίνεται η ανανέωση κάθε άλλης γραμμής, i 0,, 2,, m (εκτός της r). Παράδειγμα 4.. Δίνεται το επαυξημένο tbleu Simplex ενός γραμμικού προβλήματος που προκύπτει από το βήμα α, στην η επανάληψη του αλγόριθμου ΔΑΣΕΣ. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. -4-9 -8-3 0 0 0 0 0 x 5 0-2 -3-2 0 0 0-4 x 6-2 2 2 0 0 0 3 x 7 2-3 -2-0 0 0-2 x 8 6 4 2 2 0 0 0 2 2-5 -5-3 0 0-6 Να ολοκληρωθεί η επανάληψη με εφαρμογή της ανανέωσης της m+ γραμμής του επόμενου tbleu Simplex. Λύση Θα συνεχίσουμε την επανάληψη του ΔΑΣΕΣ από το βήμα β. Άρα έχουμε
Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 93 Βήμα β: Από τη σχέση (3.2.4) βρίσκουμε J - {2, 3, 4}. Κάνουμε το τεστ του ελαχίστου λόγου. 54 9 8 3 min,, 5 5 3 04 Άρα s 4 οπότε η μη βασική μεταβλητή x 4 εισέρχεται στη βάση. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. -4-9 -8-3 0 0 0 0 0 x 5 0-2 -3-2 0 0 0-4 x 6-2 2 2 0 0 0 3 x 7 2-3 -2-0 0 0-2 x 8 6 4 2 2 0 0 0 2 2-5 -5-3 0 0-6 Βήμα 2: Από τη σχέση (3.2.6) έχουμε Ι + {2, 4}. Υπολογίζουμε τις παρακάτω ποσότητες θ b 4 2 min, 2 4 2. θ b 3 2 min, 2 2 4 2 44. Επειδή θ 2 < θ θέτουμε r 4. Άρα η βασική μεταβλητή x 8 εξέρχεται από τη βάση. Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 44 2 και προκύπτει το επόμενο επαυξημένο tbleu Simplex, όπου η m+ γραμμή
94 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων. προκύπτει με ανανέωση όπως περιγράφεται παραπάνω στην περίπτωση β) με r Ι +. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. -5-3 -5 0 0 0 0 3/2 3 x 5 6 2-0 0 0-2 x 6-8 -2-0 0 0 - x 7 5 - - 0 0 0 /2 - x 4 3 2 0 0 0 /2-2 0 0 3/2-3 Πράγματι, αν προσθέσουμε την η και 3 η γραμμή του παραπάνω tbleu Simplex προκύπτει η γραμμή m+ όπως αυτή ανανεώθηκε προηγούμενα. Άρα μπορούμε να ανανεώνουμε και την m+ γραμμή όπως τις άλλες γραμμές όταν r Ι + αντί να υπολογίζεται σύμφωνα με τις σχέσεις (3.2.2) και (3.2.3). Θα δούμε επίσης με το επόμενο παράδειγμα πως γίνεται η ανανέωση της m+ γραμμής αν r Ι -. Παράδειγμα 4..2 Να γίνει μια επανάληψη του αλγόριθμου ΔΑΣΕΣ με σημείο εκκίνησης το τελευταίο tbleu Simplex, όπως αυτό προέκυψε από το προηγούμενο παράδειγμα. Λύση Θα συνεχίσουμε την επανάληψη του ΔΑΣΕΣ από το βήμα β. Άρα έχουμε
Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 95 Βήμα β: Από τη σχέση (3.2.4) βρίσκουμε J - {3}. Κάνουμε το τεστ του ελαχίστου λόγου. 53 5 min 2 03 5 2 Άρα s 3 οπότε η μη βασική μεταβλητή x 3 εισέρχεται στη βάση. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. -5-3 -5 0 0 0 0 3/2 3 x 5 6 2-0 0 0-2 x 6-8 -2-0 0 0 - x 7 5 - - 0 0 0 /2 - x 4 3 2 0 0 0 /2-2 0 0 3/2-3 Βήμα 2: Από τη σχέση (3.2.6) έχουμε Ι + {2, 4}. Υπολογίζουμε τις παρακάτω ποσότητες θ b 2 min, 3 33. θ b min 4 2 43. Επειδή θ θ 2 θέτουμε r 3. Άρα η βασική μεταβλητή x 7 εξέρχεται από τη βάση.
96 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο και προκύπτει το επόμενο επαυξημένο tbleu Simplex, όπου η m+ γραμμή προκύπτει με ανανέωση όπως περιγράφεται παραπάνω. 33 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Δ.Μ. -30 2 0 0 0 0-5 - 8 x 5 3 0 0 0 - /2 - x 6-3 - 0 0 0 - -3/2 2 x 3-5 0 0 0 - -/2 x 4 8 0 0 0 0 3 0 0 0 - /2 - Πράγματι, από την η γραμμή του παραπάνω tbleu Simplex προκύπτει η γραμμή m+ όπως αυτή ανανεώθηκε προηγούμενα. Άρα μπορούμε να ανανεώνουμε και την m+ γραμμή όπως τις άλλες γραμμές όταν r Ι - αντί να υπολογίζεται σύμφωνα με τις σχέσεις (3.2.2) και (3.2.3). Συνοψίζοντας τα παραπάνω μπορούμε εύκολα να δούμε ότι η βηματική περιγραφή του ΔΑΣΕΣ μπορεί κάλλιστα να είναι η παρακάτω. Σ' αυτή την περιγραφή δεν προσδιορίζουμε τον αντικυκλωτικό κανόνα περιστροφής στο σπάσιμο των δεσμών. Βηματική περιγραφή Αλγορίθμου ΔΑΣΕΣ για εκφυλισμένα προβλήματα Βήμα 0: Ξεκίνα με μια δυϊκά εφικτή βάση και κατασκεύασε το αρχικό tbleu Simplex ( A, b). Προσδιόρισε το σύνολο δεικτών Ι - από τη σχέση (3.2.) και θέσε I + {, 2,, m} - I -. Αν I - υπολόγισε την m+ γραμμή με τις σχέσεις (3.2.2) και (3.2.3).
Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 97 Βήμα : α) (Έλεγχος τερματισμών) Αν Ι -, TΕΛΟΣ (η παρούσα λύση είναι βέλτιστη). β) (Έλεγχος μη εφικτότητας) Προσδιόρισε το σύνολο των δεικτών J - από τη σχέση (3.2.4). Αν J - ΤΕΛΟΣ (το πρόβλημα P είναι αδύνατο). Διαφορετικά προσδιόρισε το δείκτη s από τη σχέση (3.2.5). Η μη βασική μεταβλητή x s εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2: (Περιστροφή) Προσδιόρισε τις ποσότητες θ και θ 2 από τις σχέσεις (3.2.7) και (3.2.8) αντίστοιχα. α) Αν θ θ 2, θέσε r k. β) Αν θ 2 < θ, θέσε r l. Η βασική μεταβλητή x B(r) εξέρχεται από τη βάση. Κάνε περιστροφή στο στοιχείο rs Aν θ θ 2 τότε θέσε και Ι + Ι + + {r} και Ι - Ι - - {r} Πήγαινε στο βήμα. Θα διευκρινίσουμε τώρα τον αλγόριθμο με το παρακάτω παράδειγμα το οποίο είναι εκφυλισμένο. Παράδειγμα 4..3 Στο παρακάτω γραμμικό πρόβλημα θα εφαρμόσουμε τον ΔΑΣΕΣ για εκφυλισμένα προβλήματα.
98 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων min 4x + 3x 2 + 4x 3 + 4x 4 μ.π x + x 2 + 2x 3 - x 4 + x 5 4-4x - 3x 2 + 5x 3 + 4x 4 + x 6 4-5x - 2x 2 + 2x 3 - x 4 + x 7-8 -2x 2 + 4x 3 + 4x 4 + x 8-8 4x - 2x 2-5x 3 + 3x 4 + x 9-8 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 0 Λύση Επανάληψη Βήμα 0: Κατασκευάζουμε το αρχικό tbleu Simplex x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Δ.Μ. -4-3 -4-4 0 0 0 0 0 0 x 5 2-4 0 0 0 0 4 x 6-4 -3 5 4 0 0 0 0 4 x 7-5 -2 2-0 0 0 0-8 x 8 0-2 4 4 0 0 0 0-8 x 9 4-2 5 3 0 0 0 0-8 Υπολογίζουμε το σύνολο Ι - {3, 4, 5} και θέτουμε Ι + {, 2, 3, 4, 5}- Ι - {, 2}. Επειδή I - κατασκευάζουμε το επαυξημένο tbleu Simplex προσδιορίζοντας τα στοιχεία της 5ης γραμμής σύμφωνα με τις σχέσεις (3.2.2) και (3.2.3)
Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 99 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Δ.Μ. -4-3 -4-4 0 0 0 0 0 0 x 5 2-4 0 0 0 0 4 x 6-4 -3 5 4 0 0 0 0 4 x 7-5 -2 2-0 0 0 0-8 x 8 0-2 4 4 0 0 0 0-8 x 9 4-2 5 3 0 0 0 0-8 - -6 6 0 0-24 Βήμα : α) Επειδή I - η παρούσα λύση δεν είναι βέλτιστη β) Βρίσκουμε J - {, 2}. Κάνουμε το τεστ του ελαχίστου λόγου. 02 4 3 min, 6 2 62 Άρα s 2 οπότε η μη βασική μεταβλητή x 2 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2: Υπολογίζουμε τις παρακάτω ποσότητες b 8 8 8 min,, 4 3 θ 32 2 2 2 b 4 min 4 θ 2 2 Επειδή θ θ 2 θέτουμε r 3. Άρα η βασική μεταβλητή x 7 εξέρχεται από τη βάση. Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 32 2 και προκύπτει το επόμενο tbleu Simplex.
00 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Δ.Μ. 7/2 0-7 -5/2 0 0-3/2 0 0 2 x 5-3/2 0 3-9/2 0 /2 0 0 0 x 6 7/2 0 2 /2 0-3/2 0 0 6 x 2 5/2 - /2 0 0 -/2 0 0 4 x 8 5 0 2 5 0 0-0 0 x 9 9 0-7 4 0 0-0 0 4 0-5 9 0 0-2 0 Θέτουμε Ι + Ι + + {r} {, 2, 3} και Ι - Ι - - {r} {4, 5} Πηγαίνουμε στο βήμα. Επανάληψη 2 Βήμα : α) Επειδή I - η παρούσα λύση δεν είναι βέλτιστη β) Βρίσκουμε J - {3, 7}. Κάνουμε το τεστ του ελαχίστου λόγου. 07 7 3/2 3 min, 5 2 4 67 Άρα s 7 οπότε η μη βασική μεταβλητή x 7 εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2: Υπολογίζουμε τις παρακάτω ποσότητες b 0 0 min, 0 4 θ 47 b 0 min 0 θ 2 7 /2
Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 0 Επειδή θ θ 2 θέτουμε r 4. Άρα η βασική μεταβλητή x 8 εξέρχεται από τη βάση. Κάνουμε περιστροφή στο στοιχείο 47 και προκύπτει το επόμενο tbleu Simplex. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Δ.Μ. -4 0-0 -0 0 0 0-3/2 0 2 x 5 0 4-2 0 0 /2 0 0 x 6-4 0 - -2 0 0-3/2 0 6 x 2 0-2 -2 0 0 0 -/2 0 4 x 7-5 0-2 -5 0 0-0 0 x 9 4 0-9 - 0 0 0-0 4 0-9 - 0 0 0-0 Θέτουμε Ι + Ι + + {r} {, 2, 3, 4} και Ι - Ι - - {r} {5} Η περιστροφή καταλήγει σε βέλτιστο tbleu. Παρότι είναι Ι -. Μπορούμε να κάνουμε ακόμα μια περιστροφή στη γραμμή 5. Το νέο tbleu θα είναι επίσης βέλτιστο. Τώρα θα σταματήσει ο αλγόριθμος επειδή τώρα έχουμε Ι -. 4.2 Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Είδαμε ότι ο ΔΑΣΕΣ μπορεί να εφαρμοστεί αμέσως σε ένα γραμμικό πρόβλημα για το οποίο έχουμε στη διάθεσή μας μια βάση Β που είναι δυϊκώς εφικτή, δηλαδή στα πρωτεύοντα προβλήματα ελαχιστοποίησης και στο αρχικό tbleu Simplex που αντιστοιχεί στη βάση Β είναι 0j 0, για j, 2,, n.
02 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σε ένα γενικό γ.π. η παραπάνω συνθήκη είναι δυνατό να μην ισχύει για μερικές τιμές του j. Σ' αυτή την περίπτωση μπορούμε να εφαρμόσουμε μια μέθοδο μεγάλου Μ παρόμοια μ' αυτή του δυϊκού αλγορίθμου Simpex. Πιο συγκεκριμένα στο αρχικό μας πρόβλημα το οποίο υπενθυμίζουμε ότι είναι στην ισοτική μορφή min {c T x : Ax b, x 0} όπου x, c R n, b R n, A R mxn, και Τ δηλώνει αναστροφή, εισάγουμε ένα περιορισμό της μορφής n j m+,jx j + x n+ M όπου Μ είναι ένας πάρα πολύ μεγάλος θετικός αριθμός. Θα ονομάζουμε τον παραπάνω περιορισμό "τεχνητό". Επομένως το πρόβλημα του μεγάλου Μ στο οποίο θα εφαρμοστεί ο ΔΑΣΕΣ θα έχει τη μορφή min z c T x μ.π. Ax b n+. x + x n+ M x 0, x n+ 0 στο οποίο η μεταβλητή x n+ είναι η τεχνητή μεταβλητή. Είναι γνωστό ότι το μέγεθος του αριθμού Μ μπορεί να προσδιοριστεί από τα δεδομένα του προβλήματος. Στην πράξη όμως χρησιμοποιούνται τιμές Μ 0 30. Στις περιγραφές μας δεν θα προσδιορίζουμε την τιμή του Μ, αλλά τιμές του Μ μπορούν να δίνονται όταν ο αλγόριθμος υλοποιείται σε Η/Υ. Οι τιμές των m+ j μπορεί να είναι οι παρακάτω
Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 03 m + j 0, αν, αν 0j 0j 0 > 0 Προσέξτε ότι οι δείκτες j για τους οποίους είναι m+ j είναι μη βασικοί δείκτες. Ο ΔΑΣΕΣ μπορεί να εφαρμοστεί στο πρόβλημα του μεγάλου Μ ως εξής. Πρώτα υπολογίζουμε το tbleu Simplex που αντιστοιχεί στη βάση Β και στο αρχικό μας πρόβλημα. Το tbleu αυτό όπως ήδη γνωρίζουμε έχει m+ γραμμές που αριθμούνται 0,, 2,, m, όπου η μηδενική γραμμή αντιστοιχεί στη γραμμή κόστους, και n+ στήλες, όπου η στήλη n+ αντιστοιχεί στο δεξιό μέρος. Στο tbleu αυτό εισάγουμε μια νέα στήλη που θα αντιστοιχεί στην τεχνητή μεταβλητή, x n+ και θα τοποθετηθεί ανάμεσα στην n και στην παλιά n+ στήλη. Άρα τώρα το δεξιό μέρος αναγράφεται στην n+2 στήλη. Προφανώς οι συντελεστές της τρέχουσας στήλης n+ είναι όλοι ίσοι με μηδέν. Στο σημείο αυτό εισάγουμε τους συντελεστές του τεχνητού περιορισμού στο κάτω μέρος του τρέχοντος tbleu, δηλαδή στη γραμμή m+. Υπενθυμίζουμε ότι η αρίθμηση των γραμμών του tbleu είναι 0,, 2,, m, m+ και επομένως το tbleu αποτελείται από m+2 γραμμές. Παράδειγμα 4.2. Δίνεται το γραμμικό πρόβλημα min -7x - 3x 2-4x 3-2x 4 μ.π 4x - x 2 + 4x 3 + 6x 4 + x 5-3 -x + 3x 2-2x 3 + x 4 + x 6 6 3x - x 2 + x 3 + 5x 4 + x 7-9 5x - 2x 2 - x 3-3x 4 + x 8-7 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 0
04 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Να υπολογιστεί το πρόβλημα του μεγάλου Μ για τον ΔΑΣΕΣ. Λύση Αν κατασκευάσουμε το αρχικό tbleu Simplex θα παρατηρήσουμε ότι δεν υπάρχει στη διάθεσή μας μια βάση Β που να είναι δυϊκώς εφικτή στο παραπάνω γραμμικό πρόβλημα, δηλαδή δεν υπάρχει 0j 0, για j, 2,, n. Επομένως μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο του μεγάλου Μ στο παραπάνω γραμμικό πρόβλημα. Εισάγουμε τον τεχνητό περιορισμό x + x 2 + x 3 + x 4 + x 9 000 σύμφωνα με όσα περιγράφηκαν προηγούμενα και το πρόβλημα του μεγάλου M θα έχει την παρακάτω μορφή min -7x - 3x 2-4x 3-2x 4 μ.π 4x - x 2 + 4x 3 + 6x 4 + x 5-3 -x + 3x 2-2x 3 + x 4 + x 6 6 3x - x 2 + x 3 + 5x 4 + x 7-9 5x - 2x 2 - x 3-3x 4 + x 8-7 x + x 2 + x 3 + x 4 + x 9 000 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9 0 Μένει τώρα να κατασκευάσουμε την πρώτη βασική λύση του προβλήματος του μεγάλου Μ η οποία θα είναι δυϊκώς εφικτή ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος ΔΑΣΕΣ. Πρώτα επεκτείνουμε την τρέχουσα βάση εισάγοντας το δείκτη n+ της τεχνητής μεταβλητής. Μετά προσδιορίζουμε τη στήλη s, όπου s προσδιορίζεται από τη σχέση
Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 05 0s mx { 0j : j μη βασικό } Επειδή η βάση Β δεν είναι δυϊκώς εφικτή στο αρχικό πρόβλημα μπορούμε εύκολα να δούμε ότι είναι 0s > 0 (και στο αρχικό και στο πρόβλημα του μεγάλου Μ). Κάνουμε τώρα μια περιστροφή, στην οποία γραμμή περιστροφής είναι η m+ γραμμή, δηλαδή αυτή που αντιστοιχεί στον τεχνητό περιορισμό και στήλη περιστροφής είναι η στήλη s. Αν δηλώσουμε με ij τα στοιχεία του νέου tbleu Simplex βλέπουμε ότι για τα στοιχεία της γραμμής κόστους έχουμε τις σχέσεις 0 j 0j 0s, για j n τέτοιο ώστε m+ j 0 j 0j, για j n τέτοιο ώστε m+ j 0 + -. 0n Για j n τέτοιο ώστε m+ j 0 είναι 0j 0 και επομένως 0 j 0. Για j n τέτοιο ώστε m+ j είναι 0j > 0. Όμως λόγω της επιλογής του δείκτη s έχουμε 0 < 0j 0s και επομένως 0 j 0j 0s 0. Επομένως για όλους τους δείκτες j, 2,, n, n+ είναι 0 j 0 και άρα η νέα βάση είναι δυϊκώς εφικτή. Επειδή στο προηγούμενο tbleu Simplex η βάση είναι το σύνολο των δεικτών B {n+}, εξερχόμενη βασική μεταβλητή είναι η x n+ και εισερχόμενη μεταβλητή είναι η x s, η νέα βάση είναι το σύνολο των δεικτών B {s} Τώρα μπορούμε στο τρέχον tbleu να εφαρμόσουμε τον ΔΑΣΕΣ.
06 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Όσον αφορά τώρα στην επίλυση του αρχικού προβλήματος ισχύουν τα αποτελέσματα του παρακάτω θεωρήματος. Θεώρημα 4.2. Έστω ότι ο ΔΑΣΕΣ εφαρμόζεται στο πρόβλημα του μεγάλου Μ. Συμβολίζουμε με 0j τα στοιχεία του τελευταίου tbleu. α) Αν το πρόβλημα του μεγάλου Μ είναι βέλτιστο και σε μια βέλτιστη λύση του (αυτή που υπολόγισε ο ΔΑΣΕΣ) είναι 0n+ 0 τότε το αρχικό πρόβλημα είναι επίσης βέλτιστο. Αν είναι 0n+ < 0 το αρχικό πρόβλημα είναι απεριόριστο. β) Αν το πρόβλημα του μεγάλου Μ είναι αδύνατο τότε και το αρχικό πρόβλημα είναι αδύνατο. Μια απόδειξη του προηγούμενου θεωρήματος μπορεί κάποιος να βρεί στην αναφορά Pprrizos (2005). Το θεώρημα αυτό ισχύει και για τον ΔΑΣΕΣ επειδή στην περίπτωση που το πρόβλημα του μεγάλου Μ είναι βέλτιστο είναι 0j 0, βλέπε απόδειξη στην αναφορά Pprrizos (2005). Θα διευκρινίσουμε τώρα περισσότερο τις παραπάνω διαδικασίες με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα 4.2.2. Στο πρόβλημα του μεγάλου Μ του παραδείγματος 4.2. να προσδιοριστεί η πρώτη δυϊκώς εφικτή βασική λύση ώστε να μπορεί να εφαρμοστεί ο αλγόριθμος ΔΑΣΕΣ. Λύση Κατασκευάζουμε το αρχικό tbleu Simplex για το πρόβλημα του μεγάλου Μ όπως αυτό προσδιορίστηκε στο προηγούμενο παράδειγμα.
Κεφάλαιο 4 - Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων 07 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Δ.Μ. 7 3 4 2 0 0 0 0 0 0 x 5 4-4 6 0 0 0 0-3 x 6-3 -2 0 0 0 0 6 x 7 3-5 0 0 0 0-9 x 8 5-2 - -3 0 0 0 0-7 x 9 0 0 0 0 000 Επειδή η αρχική βάση Β δεν είναι δυϊκώς εφικτή στο πρόβλημα του μεγάλου Μ προσδιορίζουμε τη στήλη περιστροφής, δηλαδή 0 mx{7, 3, 4, 2} 7 και επομένως η στήλη περιστροφής είναι s. Γραμμή περιστροφής είναι η r 6, δηλαδή αυτή που αντιστοιχεί στον τεχνητό περιορισμό. Κάνουμε περιστροφή σύμφωνα με τις σχέσεις που περιγράφηκαν παραπάνω και έχουμε το επόμενο tbleu Simplex. x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 Δ.Μ. 0-4 -3-5 0 0 0 0-7 -7000 x 5 0-5 0 2 0 0 0-4 -4003 x 6 0 4-2 0 0 0 006 x 7 0-4 -2 2 0 0 0-3 -3009 x 8 0-7 -6-8 0 0 0-5 -5007 x 0 0 0 0 000 Από το παραπάνω tbleu Simplex είναι φανερό τώρα, ότι έχουμε έτοιμη στη διάθεσή μας, μια πρώτη βάση που είναι δυϊκώς εφικτή, δηλαδή τη βάση Β [ 5, 6, 7, 8, ]
08 Κεφάλαιο 4 Επίλυση Εκφυλισμένων και Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Άρα μπορούμε στη συνέχεια να εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο ΔΑΣΕΣ στο τρέχον tbleu Simplex. Από τη λύση του προβλήματος του μεγάλου Μ και σύμφωνα με το θεώρημα 4.2. προκύπτει η λύση του αρχικού γραμμικού προβλήματος όπως δόθηκε στο παράδειγμα 4.2..