Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός
|
|
|
- Τερψιχόρη Αθανασιάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1
2 Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση
3 Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις που δεν είναι εφικτή η αυθαίρετη λύση µε µηδενικές µεταβλητές απόφασης χρησιµοποιήσαµε την τεχνική των δύο ϕάσεων
4 Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις που δεν είναι εφικτή η αυθαίρετη λύση µε µηδενικές µεταβλητές απόφασης χρησιµοποιήσαµε την τεχνική των δύο ϕάσεων Μπορούµε να αποφύγουµε την παραπάνω διαδικασία χρησιµοποιώντας την ϑεωρία του δυϊσµού χρησιµοποιώντας µόνο µια ϕορά τον αλγόριθµο της Simplex
5 Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις που δεν είναι εφικτή η αυθαίρετη λύση µε µηδενικές µεταβλητές απόφασης χρησιµοποιήσαµε την τεχνική των δύο ϕάσεων Μπορούµε να αποφύγουµε την παραπάνω διαδικασία χρησιµοποιώντας την ϑεωρία του δυϊσµού χρησιµοποιώντας µόνο µια ϕορά τον αλγόριθµο της Simplex Σύµφωνα µε αυτή τη ϑεωρία για κάθε πρωταρχικό πρόβληµα P υπάρχει το δυϊκό του D
6 Αλγεβρική Μορφή υϊκού Προβλήµατος Πρωταρχικό Πρόβληµα P n max z = c j x j s.t. n a ij x j b i, 1 i m x j 0 1 j n
7 Αλγεβρική Μορφή υϊκού Προβλήµατος Πρωταρχικό Πρόβληµα P n max z = c j x j s.t. n a ij x j b i, 1 i m x j 0 1 j n υϊκό Πρόβληµα D m min w = b i y i s.t. m a ij y i c j, 1 j n y i 0 1 i m
8 Μορφή Πινάκων υϊκού Προβλήµατος Πρωταρχικό Πρόβληµα P max z =cx s.t. Ax b x 0
9 Μορφή Πινάκων υϊκού Προβλήµατος Πρωταρχικό Πρόβληµα P max z =cx s.t. Ax b x 0 υϊκό Πρόβληµα D min w =b T y s.t. A T y c T y 0
10 Παράδειγµα - Υπογραφή Συµβολαίων Πρωταρχικό Πρόβληµα P max z = 8x 1 + 6x 2 = 2 (4x 1 + 3x 2 ) s.t. 5x 1 + 3x x 1 + 3x 2 24 x 1 + 3x 2 18 x 1, x 2 0
11 Παράδειγµα - Υπογραφή Συµβολαίων Πρωταρχικό Πρόβληµα P max z = 8x 1 + 6x 2 = 2 (4x 1 + 3x 2 ) s.t. 5x 1 + 3x x 1 + 3x 2 24 x 1 + 3x 2 18 x 1, x 2 0 υϊκό Πρόβληµα D min w = 30y y y 3 s.t. 5y 1 + 2y 2 + y 3 4 3y 1 + 3y 2 + 3y 3 3 y 1, y 2, y 3 0
12 Παρατηρήσεις Παρατηρούµε µια σχέση ανάµεσα από κάθε περιορισµό i του πρωταρχικού προβλήµατος µε την µεταβλητή y i του δυϊκού προβλήµατος
13 Παρατηρήσεις Παρατηρούµε µια σχέση ανάµεσα από κάθε περιορισµό i του πρωταρχικού προβλήµατος µε την µεταβλητή y i του δυϊκού προβλήµατος Αντίστοιχα ανάµεσα από κάθε µεταβλητή x j του πρωταρχικού προβλήµατος µε τον περιορισµό j του δυϊκού προβλήµατος και την αντίστοιχη µεταβλητή απόκλισης y m+j
14 Παρατηρήσεις Παρατηρούµε µια σχέση ανάµεσα από κάθε περιορισµό i του πρωταρχικού προβλήµατος µε την µεταβλητή y i του δυϊκού προβλήµατος Αντίστοιχα ανάµεσα από κάθε µεταβλητή x j του πρωταρχικού προβλήµατος µε τον περιορισµό j του δυϊκού προβλήµατος και την αντίστοιχη µεταβλητή απόκλισης y m+j Οι σχέσεις αυτές δίνονται στους παρακάτω πίνακες
15 Πίνακες µετατροπής Πρωταρχικό υϊκό n Περιορισµός a ij x j b i Μεταβλητή y i 0 Περιορισµός Περιορισµός n a ij x j = b i Μεταβλητή y i R n a ij x j b i Μεταβλητή y i 0
16 Πίνακες µετατροπής Πρωταρχικό Μεταβλητή x j 0 Μεταβλητή x j R Μεταβλητή x j 0 υϊκό m Περιορισµός a ij y i c j Περιορισµός Περιορισµός m a ij y i = c j m a ij y i c j
17 Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω ένα πρωταρχικό πρόβληµα P. Συµβολίζουµε το δυϊκό του ως D(P). Για το δυϊκό του D(P) ισχύει : D(D(P)) = P
18 Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω ένα πρωταρχικό πρόβληµα P. Συµβολίζουµε το δυϊκό του ως D(P). Για το δυϊκό του D(P) ισχύει : D(D(P)) = P P Απόδειξη max z =cx s.t. Ax b x 0
19 Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω ένα πρωταρχικό πρόβληµα P. Συµβολίζουµε το δυϊκό του ως D(P). Για το δυϊκό του D(P) ισχύει : D(D(P)) = P P Απόδειξη D(P) max z =cx s.t. Ax b x 0 min w =b T y s.t. A T y c T y 0
20 Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω ένα πρωταρχικό πρόβληµα P. Συµβολίζουµε το δυϊκό του ως D(P). Για το δυϊκό του D(P) ισχύει : D(D(P)) = P P Απόδειξη D(P) D(P) max z =cx s.t. Ax b x 0 min w =b T y s.t. A T y c T y 0 max w = b T y s.t. Ax c T y 0
21 Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω ένα πρωταρχικό πρόβληµα P. Συµβολίζουµε το δυϊκό του ως D(P). Για το δυϊκό του D(P) ισχύει : D(D(P)) = P P Απόδειξη D(P) D(P) max z =cx s.t. Ax b x 0 D(D(P)) min w =b T y s.t. A T y c T y 0 max w = b T y s.t. Ax c T y 0 min z =(c T ) T x s.t. (A T ) T x (b T ) T x 0
22 Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω ένα πρωταρχικό πρόβληµα P. Συµβολίζουµε το δυϊκό του ως D(P). Για το δυϊκό του D(P) ισχύει : D(D(P)) = P P Απόδειξη D(P) D(P) max z =cx s.t. Ax b x 0 D(D(P)) min w =b T y s.t. A T y c T y 0 max w = b T y s.t. Ax c T y 0 D(D(P)) min z =(c T ) T x s.t. (A T ) T x (b T ) T x 0 max z =cx s.t. Ax b x 0
23 Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω (x 1,..., x n ) µια εφικτή λύση για το P και (y 1,..., y m ) µια εφικτή n m λύση για το δυϊκό του D. Ισχύει πώς : c j x j b i y i
24 Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω (x 1,..., x n ) µια εφικτή λύση για το P και (y 1,..., y m ) µια εφικτή n m λύση για το δυϊκό του D. Ισχύει πώς : c j x j b i y i Απόδειξη n c j x j = n m ( a ij y i )x j m n ( a ij x j )y i m b i y i
25 Θεωρία δυϊσµού Κάθε λύση του δυϊκού αποτελεί ένα άνω ϕράγµα για την ϐέλτιστη m λύση του πρωταρχικού z b i y i
26 Θεωρία δυϊσµού Κάθε λύση του δυϊκού αποτελεί ένα άνω ϕράγµα για την ϐέλτιστη m λύση του πρωταρχικού z b i y i Αντίστοιχα κάθε λύση του πρωταρχικού αποτελεί ένα κάτω ϕράγµα n για την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού w c j x j
27 Θεωρία δυϊσµού Κάθε λύση του δυϊκού αποτελεί ένα άνω ϕράγµα για την ϐέλτιστη m λύση του πρωταρχικού z b i y i Αντίστοιχα κάθε λύση του πρωταρχικού αποτελεί ένα κάτω ϕράγµα n για την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού w c j x j Αµεσο συµπέρασµα είναι πως εάν ένα πρόβληµα είναι εφικτό και µη ϕραγµένο το δυϊκό του είναι µη εφικτό (κενός χώρος εφικτών λύσεων)
28 Θεωρία δυϊσµού Κάθε λύση του δυϊκού αποτελεί ένα άνω ϕράγµα για την ϐέλτιστη m λύση του πρωταρχικού z b i y i Αντίστοιχα κάθε λύση του πρωταρχικού αποτελεί ένα κάτω ϕράγµα n για την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού w c j x j Αµεσο συµπέρασµα είναι πως εάν ένα πρόβληµα είναι εφικτό και µη ϕραγµένο το δυϊκό του είναι µη εφικτό (κενός χώρος εφικτών λύσεων) Ενα πολύ σηµαντικό ϑεώρηµα για τις ϐέλτιστες λύσεις του δυϊκού είναι το παρακάτω
29 Θεωρία δυϊσµού Θεώρηµα Εάν ένα πρόβληµα P επιδέχεται ϐέλτιστη λύση z max τότε το δυϊκό του επίσης επιδέχεται ϐέλτιστη λύση w min. Επιπλέον ισχύει z max = w min Απόδειξη Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε τον αλγόριθµο της Simplex αφού το πρόβληµα είναι εφικτό και ϕραγµένο.
30 Θεωρία δυϊσµού Θεώρηµα Εάν ένα πρόβληµα P επιδέχεται ϐέλτιστη λύση z max τότε το δυϊκό του επίσης επιδέχεται ϐέλτιστη λύση w min. Επιπλέον ισχύει z max = w min Απόδειξη Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε τον αλγόριθµο της Simplex αφού το πρόβληµα είναι εφικτό και ϕραγµένο. Εστω x η ϐέλτιστη λύση. Για τις µεταβλητές απόκλισης ισχύει : n x n+1 = b i a ij x j
31 Θεωρία δυϊσµού Θεώρηµα Εάν ένα πρόβληµα P επιδέχεται ϐέλτιστη λύση z max τότε το δυϊκό του επίσης επιδέχεται ϐέλτιστη λύση w min. Επιπλέον ισχύει z max = w min Απόδειξη Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε τον αλγόριθµο της Simplex αφού το πρόβληµα είναι εφικτό και ϕραγµένο. Εστω x η ϐέλτιστη λύση. Για τις µεταβλητές απόκλισης ισχύει : n x n+1 = b i a ij x j n+m Επιπλέον για το τελικό λεξικό ισχύει : z = z η k x k k=1 (η k = 0 για µεταβλητές x k B ενώ η k 0 για x k EB)
32 Θεωρία δυϊσµού Θεώρηµα Εάν ένα πρόβληµα P επιδέχεται ϐέλτιστη λύση z max τότε το δυϊκό του επίσης επιδέχεται ϐέλτιστη λύση w min. Επιπλέον ισχύει z max = w min Απόδειξη Για την απόδειξη ϑα χρησιµοποιήσουµε τον αλγόριθµο της Simplex αφού το πρόβληµα είναι εφικτό και ϕραγµένο. Εστω x η ϐέλτιστη λύση. Για τις µεταβλητές απόκλισης ισχύει : n x n+1 = b i a ij x j n+m Επιπλέον για το τελικό λεξικό ισχύει : z = z η k x k k=1 (η k = 0 για µεταβλητές x k B ενώ η k 0 για x k EB) n m n z = z η j x j η n+i (b i a ij x j )
33 Θεωρία δυϊσµού Απόδειξη(Συνέχεια) n z = z η j x j m η n+i b i + m n η n+i ( a ij x j )
34 Θεωρία δυϊσµού Απόδειξη(Συνέχεια) n m m n z = z η j x j η n+i b i + η n+i ( a ij x j ) z = z m η n+i b i + n m ( η n+i a ij η j )x i
35 Θεωρία δυϊσµού Απόδειξη(Συνέχεια) n z = z η j x j z = z m η n+i b i + m η n+i b i + m n η n+i ( a ij x j ) n m ( η n+i a ij η j )x i Χρησιµοποιώντας την ισότητα πολυωνύµων ϑέτοντας n z = c j x j καταλήγουµε στις σχέσεις z = m η n+i b i c j = ( m η n+ia ij ) η j για 1 j n
36 Θεωρία δυϊσµού Απόδειξη (Συνέχεια) Αφού η j 0 m c j η n+i a ij
37 Θεωρία δυϊσµού Απόδειξη (Συνέχεια) Αφού η j 0 m c j η n+i a ij Αρα ή (η n+1,..., η n+m ) είναι εφικτή λύση του δυϊκού προβλήµατος. Επιπλέον είναι η ελάχιστη αφού ταυτίζεται µε µία λύση του πρωταρχικού και σύµφωνα µε το πρώτο ϑεώρηµα οποιαδήποτε λύση του δυϊκού είναι άνω ϕράγµα για όλες τις λύσεις του πρωταρχικού
38 Συµπεράσµατα Μπορούµε µε τη Simplex να καθορίσουµε την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού προβλήµατος από την επίλυση του αρχικού
39 Συµπεράσµατα Μπορούµε µε τη Simplex να καθορίσουµε την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού προβλήµατος από την επίλυση του αρχικού Θέτουµε y i = η n+i για 1 i m όπου η n+i οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης των µεταβλητών απόκλισης στο τελευταίο λεξικό
40 Συµπεράσµατα Μπορούµε µε τη Simplex να καθορίσουµε την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού προβλήµατος από την επίλυση του αρχικού Θέτουµε y i = η n+i για 1 i m όπου η n+i οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης των µεταβλητών απόκλισης στο τελευταίο λεξικό Στη περίπτωση των πινάκων η ϐέλτιστη λύση του δυϊκού δίνεται από την κολόνα y του Βήµατος 3
41 Παράδειγµα Υπογραφή Συµβολαίων Λεξικό 3 Βάση : Β 3 = {1, 2, 4} Εκτός Βάσης : ΕΒ 3 = {3, 5} Βασική Εφικτή Λύση : ΒΕΛ 3 = {3, 5, 0, 3, 0} x 1 = 1 4 x 3 x 2 = x 4 = 1 12 x x 3 + z = 3 4 x x x x x
42 Παράδειγµα Υπογραφή Συµβολαίων Λεξικό 3 Βάση : Β 3 = {1, 2, 4} Εκτός Βάσης : ΕΒ 3 = {3, 5} Βασική Εφικτή Λύση : ΒΕΛ 3 = {3, 5, 0, 3, 0} x 1 = 1 4 x 3 x 2 = x 4 = 1 12 x x 3 + z = 3 4 x x x x x Θέτουµε y 1 = η 2+1 = 3 4 και y 3 = η 2+3 = 1 4
43 Σχέση περιορισµών-µεταβλητών Πολλές ϕορές αφού λύσουµε ένα πρόβληµα καταγράφουµε µόνο τη ϐέλτιστη λύση και όχι την σκιαγράφηση του αλγορίθµου
44 Σχέση περιορισµών-µεταβλητών Πολλές ϕορές αφού λύσουµε ένα πρόβληµα καταγράφουµε µόνο τη ϐέλτιστη λύση και όχι την σκιαγράφηση του αλγορίθµου Ακόµη και σε αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει δυνατότητα προσδιορισµού της λύσης του δυϊκού µε ϐάση τα επόµενα ϑεωρήµατα
45 Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω (x 1,..., x n ) (y 1,..., y m) λύσεις για το πρωταρχικό P και το δυϊκό D αντίστοιχα. Οι δύο λύσεις είναι ϐέλτιστες αν και µόνο αν ισχύει : 1 x j = 0 ή y m+j = 0 για 1 j n 2 y i = 0 ή x n+i = 0 για 1 i m
46 Θεωρία υϊσµού Θεώρηµα Εστω (x 1,..., x n ) (y 1,..., y m) λύσεις για το πρωταρχικό P και το δυϊκό D αντίστοιχα. Οι δύο λύσεις είναι ϐέλτιστες αν και µόνο αν ισχύει : 1 x j = 0 ή y m+j = 0 για 1 j n 2 y i = 0 ή x n+i = 0 για 1 i m Παρατήρηση Το ή στις παραπάνω συνθήκες δεν είναι αποκλειστικό
47 Θεωρία υϊσµού Απόδειξη Αφού οι λύσεις x και y είναι ϐέλτιστες ϑα ισχύει: n n m m n m c j x j = ( a ij y i )x j = ( a ij x j )y i = b i y i
48 Θεωρία υϊσµού Απόδειξη Αφού οι λύσεις x και y είναι ϐέλτιστες ϑα ισχύει: n n m m n m c j x j = ( a ij y i )x j = ( a ij x j )y i = b i y i n m (c j ( a ij y i ))x j = 0 x j = 0 ή c j ( m a ijy i ) = x j = 0 ή y n+j = 0
49 Θεωρία υϊσµού Απόδειξη Αφού οι λύσεις x και y είναι ϐέλτιστες ϑα ισχύει: n n m m n m c j x j = ( a ij y i )x j = ( a ij x j )y i = b i y i n m (c j ( a ij y i ))x j = 0 x j = 0 ή c j ( m a ijy i ) = x j = 0 ή y n+j = 0 m n (b i ( a ij x j ))y i = 0 y i = 0 ή b i ( n a ijx j ) = y i = 0 ή x m+i = 0
50 Θεωρία υϊσµού Ορισµός Θα συµβολίζουµε έναν περιορισµό της µορφής η ως κορεσµένο όταν ισχύει η ισότητα
51 Θεωρία υϊσµού Ορισµός Θα συµβολίζουµε έναν περιορισµό της µορφής η ως κορεσµένο όταν ισχύει η ισότητα Πόρισµα Εστω x µια ϐέλτιστη λύση του πρωταρχικού προβλήµατος P. Για την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού y ισχύει : Εάν η µεταβλητή x j είναι αυστηρά µεγαλύτερη του µηδενός τότε ο περιορισµός j του δυϊκού προβλήµατος D είναι κορεσµένος. Εάν ο περιορισµός i δεν είναι κορεσµένος τότε η µεταβλητή y j ισούται µε το µηδέν.
52 Θεωρία υϊσµού Ορισµός Θα συµβολίζουµε έναν περιορισµό της µορφής η ως κορεσµένο όταν ισχύει η ισότητα Πόρισµα Εστω x µια ϐέλτιστη λύση του πρωταρχικού προβλήµατος P. Για την ϐέλτιστη λύση του δυϊκού y ισχύει : Εάν η µεταβλητή x j είναι αυστηρά µεγαλύτερη του µηδενός τότε ο περιορισµός j του δυϊκού προβλήµατος D είναι κορεσµένος. Εάν ο περιορισµός i δεν είναι κορεσµένος τότε η µεταβλητή y j ισούται µε το µηδέν. Παρατήρηση Στις παραπάνω προτάσεις δεν ισχύει η διπλή συνεπαγωγή. Υπάρχουν περιπτώσεις που ένας περιορισµός είναι κορεσµένος ενώ η αντίστοιχη µεταβλητή του δυϊκού είναι µηδενική
53 Συµπεράσµατα Οπως έχουµε δει κάθε πρόβληµα µπορεί να είναι εφικτό µε ϐέλτιστη λύση, µη εφικτό, εφικτό µη ϕραγµένο
54 Συµπεράσµατα Οπως έχουµε δει κάθε πρόβληµα µπορεί να είναι εφικτό µε ϐέλτιστη λύση, µη εφικτό, εφικτό µη ϕραγµένο Από τους 9 διαφορετικούς συνδυασµούς χαρακτηρισµών των δύο προβληµάτων, πρωταρχικού και δυϊκού µόνο 5 είναι δυνατοί
55 Συµπεράσµατα Οπως έχουµε δει κάθε πρόβληµα µπορεί να είναι εφικτό µε ϐέλτιστη λύση, µη εφικτό, εφικτό µη ϕραγµένο Από τους 9 διαφορετικούς συνδυασµούς χαρακτηρισµών των δύο προβληµάτων, πρωταρχικού και δυϊκού µόνο 5 είναι δυνατοί υϊκό D Μ Ε Ε Μ Φ Β Λ Πρωταρχικό P Μ Ε " " Ε Μ Φ " Β Λ "
56 Συµπεράσµατα Το δυϊκό πρόβληµα µπορεί να µας οδηγήσει στη ϐέλτιστη λύση µε πολύ λιγότερα ϐήµατα του αλγορίθµου
57 Συµπεράσµατα Το δυϊκό πρόβληµα µπορεί να µας οδηγήσει στη ϐέλτιστη λύση µε πολύ λιγότερα ϐήµατα του αλγορίθµου εν µπορούµε όµως να γνωρίζουµε πιο από τα δύο ϑα µας οδηγήσει στα λιγότερα ϐήµατα
58 Συµπεράσµατα Το δυϊκό πρόβληµα µπορεί να µας οδηγήσει στη ϐέλτιστη λύση µε πολύ λιγότερα ϐήµατα του αλγορίθµου εν µπορούµε όµως να γνωρίζουµε πιο από τα δύο ϑα µας οδηγήσει στα λιγότερα ϐήµατα Η χρήση όµως πίνακα ϐάσης µικρότερων διαστάσεων µπορεί να επιταχύνει τους υπολογισµούς πινάκων των Βηµάτων 2 και 3
59 Συµπεράσµατα Το δυϊκό πρόβληµα µπορεί να µας οδηγήσει στη ϐέλτιστη λύση µε πολύ λιγότερα ϐήµατα του αλγορίθµου εν µπορούµε όµως να γνωρίζουµε πιο από τα δύο ϑα µας οδηγήσει στα λιγότερα ϐήµατα Η χρήση όµως πίνακα ϐάσης µικρότερων διαστάσεων µπορεί να επιταχύνει τους υπολογισµούς πινάκων των Βηµάτων 2 και 3 Επιπλέον σε περιπτώσεις που η Αρχική Βασική Εφικτή Λύση δεν είναι τετριµµένη µπορούµε να καταφύγουµε στην επίλυση του δυϊκού
60 Παράδειγµα Πρωταρχικό Πρόβληµα P min z = 30x x x 3 s.t. 5x 1 + 2x 2 + 2x 3 4 3x 1 + 3x 2 + 3x 3 3 x 1, x 2, x 3 0
61 Παράδειγµα Πρωταρχικό Πρόβληµα P max w = 30x 1 24x 2 18x 3 s.t. 5x 1 2x 2 2x 3 4 3x 1 3x 2 3x 3 3 x 1, x 2, x 3 0
62 Παράδειγµα υϊκό Πρόβληµα D min w = 8y 1 6y 2 s.t. 5y 1 3y y 1 3y 2 24 y 1 3y 2 18 y 1, y 2 0
63 Παράδειγµα υϊκό Πρόβληµα D max w = 8y 1 + 6y 2 s.t. 5y 1 + 3y y 1 + 3y 2 24 y 1 + 3y 2 18 y 1, y 2 0
Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Simplex µε πίνακες Simplex µε πίνακες
Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0 Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0 [ A c x = b ] Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0 A x = b [ ] c Επιλογή αντιστρέψιµου υποπίνακα m m (Βάση) Συµβολισµοί
Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία
Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία
Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία
Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
Γενικευµένη Simplex Γενικευµένη Simplex
Πρόβληµα cutting stock Λογικά µεγέθη (20 περιορισµοί, 24000 µεταβλητές) Πρόβληµα cutting stock Λογικά µεγέθη (20 περιορισµοί, 24000 µεταβλητές) Μεγάλα µεγέθη (30 περιορισµοί, 190000 µεταβλητές) Πρόβληµα
Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση
Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Ο Αλγόριθµος της Simplex
Βήµατα Αλγορίθµου Τα ϐήµατα του αλγορίθµου συνοψίζονται σε ϐήµατα. Βήµατα Αλγορίθµου Τα ϐήµατα του αλγορίθµου συνοψίζονται σε ϐήµατα. Αρχικοποίηση : Επέλεξε έναν αντιστρέψιµο πίνακα B (m m) έτσι ώστε x
Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση
Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση
Δυϊκότητα. Δημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Δυϊκότητα Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιστοποίηση Άνω Φράγματος Έχει το ΓΠ εφικτή λύση με κόστος 2; Ναι, π.χ. [0, 1, 3, 0, 2, 0,
Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός
Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j
Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ-ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ IΟΥΝΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ 1 ( Μονάδες 2) Μια επιχείρηση κατασκευής tablet έχει εργοστάσια σε τρεις διαφορετικές χώρες Α,Β,Γ που παράγουν αντίστοιχα 200, 260 και
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006
Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.
Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή
Μοντελοποίηση προβληµάτων
Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων
Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού
Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.
Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.
Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη
Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex
Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε
Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός
Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο
Εισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των
Branch and Bound. Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληµάτων ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού Μέθοδος επίλυσης προβληµάτων ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού Προσπαθούµε να αποφύγουµε την εξαντλητική αναζήτηση Μέθοδος επίλυσης προβληµάτων
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές
Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε
Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville
Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Χρήστος Κονταράτος 14 Νοεµβρίου 2014 1 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 2 Το Θεώρηµα του Liouville 4 3 Η Υπερβατικότητα του ξ 6 4 Αριθµοί του Liouville 8 2 1 Εισαγωγή
f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j
Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του
x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε
Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων:
Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f(n) είναι O( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C και n
Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός
Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜαθηµατικός Προγραµµατισµός είναι κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών που ασχολείται µε την εύρεση άριστης λύσης. ιαφέρει από την κλασική αριστοποίηση στο ότι προσπαθεί να
Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Θεωρήµατα Ιεραρχίας Ειδικά Θέµατα Υπολογισµού και Πολυπλοκότητας, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Εαρινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων
Θεωρήµατα Ιεραρχίας Ειδικά Θέµατα Υπολογισµού και Πολυπλοκότητας, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Εαρινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Απόστολος Φίλιππας Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής 19 Μαΐου,
Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και
Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν τη γραµµική αντικειµενική συνάρτηση. n j = j = 1, 2,, n
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 Γραµµικός Προγραµµατισµός 6. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο γραµµικός προγραµµατισµός (Γ.Π.) είναι µια µέθοδος βελτιστοποίησης που εφαρµόζεται για την επίλυση προβληµάτων στα οποία η αντικειµενική συνάρτηση και
Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών
Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος Α. Μπεληγιάννης
Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 Τµηµα Β ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html 19 Οκτωβρίου 2016 Το παρόν
Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει
Αριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται
Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα
Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία
Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δυϊκή Θεωρία (1) Θεώρημα : Το δυϊκό πρόβλημα του γραμμικού προβλήματος 0 0 1 1 2 2 0 0 T
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 11: Σχέσεις Πρωτεύοντος και Δυϊκού Προβλήματος, Χαρακτηριστικά Αλγορίθμων τύπου Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/aeligia/linearalgerai/lai07/lai07html Παρασκευή Νοεµβρίου 07 Ασκηση Αν
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει
KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017
Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)
Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων
QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)
![QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)](/thumbs/27/10724538.jpg "QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)")
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων
Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.
4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (
Θεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια
ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ
ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη
Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει
ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)
1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της
min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε
Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης
Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο
Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Εισαγωγή στην Τοπολογία
Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Επιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex
Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.
Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,
Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.
4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )
Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο
Επιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Δυϊκή Θεωρία Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται
Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.
Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι
Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις
Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε
1 Το ϑεώρηµα του Rademacher
Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.