σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

Transcript

1 Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα δυνατοτήτων και κόστους των τριών αυτών σταδίων : ΣΤΑΔΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ (τεμάχια / ώρα) ΚΟΣΤΟΣ (χρηματικές μονάδες / ώρα) Καλούπωμα 7 8 Λείανση 12 5 Βάψιμο με τον εβδομαδιαίο προϋπολογισμό του εργοστασίου σε χρήματα να ανέρχεται σε 3,000 χρηματικές μονάδες, σε χρόνο σε 120 ώρες (και για τα τρία στάδια) και σε πορσελάνη σε 1,000 κιλά. Αν η κάθε μπανιέρα χρειάζεται 9 κιλά πορσελάνης κι αφήνει κέρδος 175 χρηματικών μονάδων, υποδείξτε ένα π.γ.π. για την εύρεση των ωρών που πρέπει να λειτουργεί το καθένα εκ των τριών παραγωγικών σταδίων, ώστε να μεγιστοποιούνται τα κέρδη από το συγκεκριμένο προϊόν. ΛΥΣΗ Ορίζουμε να είναι x 1, x 2, x 3 ο αντίστοιχος αριθμός των ωρών καλουπώματος, λείανσης και βαψίματος που θα απαιτηθούν στην εβδομαδιαία κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων. Επειδή, το τμήμα του καλουπώματος είναι το τμήμα με τη μικρότερη δυναμικότητα, δε μπορούν να κατασκευαστούν περισσότερες μπανιέρες από εκείνες που καλουπώνονται : 7x 1. Τότε, το συνολικό κέρδος του εργοστασίου που πρέπει να μεγιστοποιηθεί ανέρχεται σε 175(7x 1 ) = 1,225x 1 χρηματικές μονάδες. Οι περιορισμοί του προβλήματος προκύπτουν από i) τον εβδομαδιαίο προϋπολογισμό του εργοστασίου ύψους 3,000 χρηματικών μονάδων : 8x 1 + 5x x 3 3,000 ii) την εβδομαδιαία δυνατότητα του εργοστασίου σε εργατικό δυναμικό ύψους 120 ωρών : x 1 + x 2 + x iii) την εβδομαδιαία διαθέσιμη ποσότητα πορσελάνης ύψους 1,000 κιλών : 9(7x 1 ) 1,000 iv) το γεγονός ότι η διαδικασία κατασκευής των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε διαδοχικά στάδια και συνεπώς, το πλήθος που περνά από το τυχόν στάδιο, πρέπει να είναι ίσο με εκείνο οποιουδήποτε άλλου : 7x 1 = 12x 2 7x 1 = 10x 3 7x 1 12x 2 = 10x 3 7x 1 12x 2 10x 3 = 0 12x 2 = 10x 3 v) τη μη-αρνητικότητα των μεταβλητών απόφασης : x 1, x 2, x 3 0.

2 Η Net Electronics, Inc., μια εταιρεία ηλεκτρονικών με έντονη δραστηριότητα στην κατασκευή modems, προγραμματίζει τη γραμμή παραγωγής της νέας σειράς εξωτερικών ISDN modems με ταχύτητες 64K και 128Κ που πρόκειται να διαθέσει στην αγορά την τρέχουσα χρονιά. Το κέρδος καθορίζεται στα 20/modem των 64Κ και στα 30/modem των 128Κ. Σύμφωνα με τα υπάρχοντα στοιχεία ζήτησης, αναμένεται να χρειαστούν τουλάχιστον 100,000 modems των 64Κ και δεν υπάρχει περιορισμός ως προς τη μέγιστη ζητούμενη ποσότητα των modems αυτών. Από την άλλη πλευρά, η μέγιστη ζητούμενη ποσότητα modems των 128Κ είναι το πολύ 90,000 τεμάχια. Κάθε ημέρα, η γραμμή παραγωγής της Net Electronics, αφιερώνεται αποκλειστικά στην παραγωγή ενός εκ των δύο προϊόντων (64Κ ή 128Κ), με ημερήσια δυναμικότητα 1000 ή 500 modems αντιστοίχως, ενώ το τμήμα προγραμματισμού της εταιρείας εκτιμά ότι οι διαθέσιμες ημέρες εργασίας θα είναι το πολύ Αφού διαπιστώσετε ποιο είναι το πρόβλημα της Net Electronics, Inc., διαμορφώστε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού που μπορεί να το επιλύσει. Εξηγήστε με σαφήνεια τα στοιχεία του. 2. Χρησιμοποιήστε τη γραφική μέθοδο επίλυσης προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού για να βρείτε την άριστη λύση και την άριστη τιμή του. Διατυπώστε τα αποτελέσματα με όρους της εκφώνησης του προβλήματος. 3. Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ποιοι χαλαροί; 4. Διατυπώστε το δυϊκό του προβλήματος της ερώτησης (1) και περιγράψτε τις μεταβλητές του με όρους της εκφώνησης του προβλήματος. 5. Πιστεύετε ότι είναι προς το συμφέρον της εταιρείας να δαπανήσει χρήματα σε διαφήμιση με σκοπό να επιδιώξει περισσότερη ζήτηση για modems των 128Κ; Εξηγήστε με σαφήνεια. 6. Υπολογίστε το ποσό κατά το οποίο θα αυξηθεί/ελαττωθεί το συνολικό κέρδος της Net Electronics, Inc. εάν ο διαθέσιμος χρόνος λειτουργίας του εργοστασίου αυξηθεί/ελαττωθεί (αντίστοιχα) κατά 5 ημέρες. ΛΥΣΗ 1. Σύμφωνα με την περιγραφή του προβλήματος, ζητούμενο είναι η εύρεση του αριθμού των ημερών που θα αφιερωθούν στην παραγωγή modems 64Κ και του αριθμού των ημερών που θα αφιερωθούν στην παραγωγή modems 128Κ (μεταβλητές), έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το συνολικό προσδοκώμενο ετήσιο κέρδος της Net Electronics, Inc. (στόχος), μέσα στο διαθέσιμο συνολικό χρόνο. Συμβολίζοντας με x 1, x 2 τον αριθμό των ημερών που η γραμμή παραγωγής κατασκευάζει modems ταχύτητας 64Κ και 128Κ αντίστοιχα, το συνολικό προσδοκώμενο ετήσιο κέρδος ισούται με Ζ = x x 2 = 20,000x ,000x 2. (Το μοναδιαίο κέρδος κάθε modem 64Κ είναι 20 οπότε το συνολικό κέρδος από την πώληση όλων των παραγόμενων modem των 64Κ είναι x 1. Ανάλογα, βρίσκεται ότι το ετήσιο κέρδος από την πώληση των παραγόμενων modem των 128Κ είναι x 2 ) Περιορισμούς στην τιμή αυτή επιβάλλουν ο διαθέσιμος χρόνος εργασίας των 320 ημερών: x 1 + x η ελάχιστη ζητούμενη ποσότητα για modems 64Κ που είναι τεμάχια: 1000x 1 100,000 η μέγιστη ζητούμενη ποσότητα για modems ταχύτητας 128Κ που είναι τεμάχια: 500x 2 90,000 η μη αρνητικότητα των τιμών: x 1, x Εφικτή περιοχή του προβλήματος είναι το πολύγωνο ΑΒΓΔ του οποίου οι κορυφές έχουν συντεταγμένες Α(0, 0), Β(320, 0), Γ(140, 180) και Δ(100, 180). Άριστη λύση είναι το σημείο Β που αντιστοιχεί σε τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z = 6,400,000. Συνεπώς, η Net Electronics πρέπει να αφιερώσει τη γραμμή παραγωγή της αποκλειστικά για όλες τις διαθέσιμες ημέρες (320 συνολικά), στην κατασκευή modems 64K και να μην κατασκευά-

3 σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400, Μόνον ο πρώτος περιορισμός του προβλήματος, ο οποίος εκφράζει τη διαθεσιμότητα των εργάσιμων ημερών, είναι δεσμευτικός (η βέλτιστη λύση είναι σημείο της περιοριστικής ευθείας αυτού του περιορισμού και του οριζόντιου άξονα). 4. Θεωρώντας το μοντέλο του ερωτήματος (1) ως το πρωτεύον πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, προκύπτει το δυϊκό του να είναι το ακόλουθο: με περιορισμούς minimize Y = 320w ,000w ,000w 3 w w 2 20,000 w w 3 15,000 w 1, w 3 0, w 2 0 Οι μεταβλητές w 1, w 2, w 3 εκφράζουν την (οριακή) αξία που έχουν αντίστοιχα για την Net Electronics οι διαθέσιμες ημέρες εργασίας, η ζήτηση της αγοράς σε modems των 64K και η ζήτηση της αγοράς σε modems των 128K. 5. Επειδή μετά τη λύση του πρωτεύοντος βλέπουμε ότι καταναλώνονται πλήρως οι ημέρες εργασίας, η αντίστοιχη δυϊκή τιμή (οριακή αξία) θα είναι w 1 >0. Επιπλέον, θα είναι w 2 = w 3 = 0 (ο δεύτερος και ο τρίτος περιορισμός είναι χαλαροί) αφού η παραγωγή των modems 64K θα ξεπεράσει την ελάχιστη ζητούμενη ποσότητα των 100,000 τεμαχίων ενώ των 128Κ η παραγωγή είναι μηδενική και είναι φυσικά μικρότερη από τη μέγιστη ζητούμενη ποσότητα των 90,000 τεμαχίων. Κατά συνέπεια, δεν είναι προς το συμφέρον της εταιρείας να δαπανήσει χρήματα σε διαφήμιση με σκοπό να εξασφαλίσει μεγαλύτερη ζήτηση για modems 128Κ. 5. Σύμφωνα με το ερώτημα (3), η απάντηση απαιτεί τον υπολογισμό της δυϊκής τιμής w 1. Από τη γραφική επίλυση του προβλήματος, παρατηρούμε ότι υπάρχει μόνον κάτω όριο στην

4 παράλληλη κίνηση του b 1 που ελέγχουμε. Επειδή στο σημείο Α είναι = b 1 b 1 = 100 εύρος εφικτότητας του b 1 είναι το διάστημα [100, ). Οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης στα σημεία Α, Β ισούνται με Α: Ζ = 20, ,000 0 = 2,000,000 Β: Ζ = 20, ,000 0 = 6,400,000 οπότε η κλίση της ευθείας που παριστά το ρυθμό μεταβολής της αντικειμενικής συνάρτησης Ζ σε σχέση με τη μεταβολή του διαθέσιμου χρόνου εργασίας ισοδύναμα τη δυϊκή τιμή του πρώτου περιορισμού ισούται με 6,400,000-2,000,000 κλιση= = 20, Κατά συνέπεια, εάν ο διαθέσιμος χρόνος λειτουργίας του εργοστασίου αυξηθεί/ελαττωθεί κατά 5 ημέρες το συνολικό κέρδος της Net Electronics, Inc. θα αυξηθεί/ελαττωθεί αντίστοιχα κατά 5 20,000=100,000.

5 Μια εταιρεία catering προσπαθεί να προσδιορίσει τον αριθμό των σάντουιτς τυριού φέτας (x 1 ), τόνου (x 2 ) και τυριού/αλλαντικών (x 3 ) που πρέπει να παραδίδει καθημερινά σε μια σειρά από πανεπιστημιακά κυλικεία έτσι ώστε να μεγιστοποιείται το συνολικό (ημερήσιο) κέρδος της. Ύστερα από σχετική μελέτη όλων των παραγωγικών συντελεστών κατέληξε στο εξής μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού: που αν λυθεί με τη μέθοδο Simplex θα δώσει ως βέλτιστο tableau το κατωτέρω (x 4, x 5, x 6 περιθώριες μεταβλητές) B c B β P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P P P z Υπολογίστε το εύρος αριστότητας εκάστου των τριών αντικειμενικών συντελεστών του προβλήματος. 2. Να διατυπώσετε το δυϊκό του δοθέντος π.γ.π. καταγράφοντας ταυτόχρονα τη φυσική σημασία των περιορισμών και των μεταβλητών του. Ποια είναι η βέλτιστη λύση του; 3. Υπολογίστε το διάστημα εφικτότητας του δεξιού μέλους του δεύτερου περιορισμού του προβλήματος. 4. Η εταιρεία, προκειμένου να αυξήσει την κατανάλωση των δύο ειδών σάντουιτς που περιέχουν τυρί σκέφτεται να προχωρήσει σε διαφήμισή τους: εκτιμά ότι δαπανώντας 100 σε κάποια φυλλάδια τα οποία θα μοιράζονται έξω από τα κυλικεία, η ημερήσια ζήτησή τους θα αυξηθεί κατά 200. Θα τη συμβουλεύατε να προχωρήσει; ΛΥΣΗ 1. Έστω ĉ2 = c 2 +Δ. Τότε η γραμμή των z j c j στο βέλτιστο tableau γίνεται Δ B c B β P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P P P Δ z Δ Δ και κατά συνέπεια η βέλτιστη λύση παραμένει ως έχει αν-ν 3.75+Δ 0 Δ Το γεγονός αυτό μας οδηγεί στον προσδιορισμό του διαστήματος ( 1.75, ] ως το εύρος αριστότητας του αντικειμενικού συντελεστή c 2. Ανάλογα προκύπτει, ως εύρος αριστότητας του αντικειμενικού συντελεστή c 3 το 1.25, ). Τέλος, επειδή η P 1 δεν είναι βασική στήλη, για ĉ1 = c1+δ μεταβολή θα επέλθει μόνο στην τιμή z 1 c 1 του δοθέντος τελικού tableau που θα γίνει ίση με 0.5 Δ. Για να παραμείνει βέλτιστη λύση θα πρέπει να είναι Δ 0.5 γεγονός που δίνει ως το εύρος αριστότητας του αντικειμενικού συντελεστή c 1 το (,1.75]. 2. Δυϊκό του δοθέντος προβλήματος είναι το κάτω από τους περιορισμούς minimize u = (1200w 1 + 0w w 3 )

6 0.5w 1 +w w 1 -w 2 +w w 1 +w w 1, w 2, w 3 0 όπου w 1 η αξία 1 επιπλέον min στην παραγωγή, w 2 η αξία της αύξησης της συνδυασμένης ζήτησης των σάντουιτς που περιέχουν τυρί και w 3 η αξία. ενός επιπλέον σάντουιτς τόνου. Σύμφωνα με το Θεώρημα του Δυϊσμού, η βέλτιστη λύση του περιέχεται στο τελικό Simplex tableau επίλυσης του πρωτεύοντος. Είναι προφανές ότι η αρχική βάση του πρωτεύοντος προβλήματος (στην τυπική του μορφή) σχηματίζεται από τις στήλες P 4, P 5, P 6 των περιθώριων μεταβλητών. Κατά συνέπεια είναι w ~1 = 0, w 2 = 1.75, w 3 = Είναι προφανές ότι η αρχική βάση του πρωτεύοντος προβλήματος (στην τυπική του μορφή) σχηματίζεται από τις στήλες P 4, P 5, P 6 των περιθώριων μεταβλητών. Έστω ˆb = b +Δ. Τότε νέα βέλτιστη λύση για το πρόβλημα είναι η Δ 1 xˆ B = xb +Δ B e = +Δ = +Δ Για να είναι εφικτή, αρκεί Δ Δ 0 Δ 250 Δ 500 οπότε το εύρος εφικτότητας του συντελεστή b 2 ισούται με [-500, 250]. 4. Το επιπλέον κέρδος από τη ζήτηση των 200 σάντουιτς θα ανέρχεται σε = 350. Αφού το κόστος της διαφήμισης είναι μόλις 100 η εταιρεία πρέπει να προχωρήσει στην πραγμάτωσή της.

7 Μια εταιρεία παράγει σε καθημερινή βάση τρία προϊόντα, έστω Α, Β και Γ. Η παραγωγή τους απαιτεί τρεις διαφορετικές διαδικασίες οι οποίες έχουν χρονικούς περιορισμούς, ενώ στη συνέχεια τα ολοκληρωμένα προϊόντα αποθηκεύονται. Το π.γ.π. που ακολουθεί έχει διαμορφωθεί με σκοπό την εύρεση του αριθμού των προϊόντων Α (x 1 ), B (x 2 ) και Γ (x 3 ) που πρέπει να παράγονται σε τρόπο ώστε να μεγιστοποιείται το συνολικό κέρδος της εταιρείας κι αν λυθεί με τη μέθοδο Simplex θα δώσει ως βέλτιστο tableau το κατωτέρω (x 4, x 5, x 6, x 7 περιθώριες μεταβλητές) : B c B β P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P P P P z Να διατυπώσετε το δυϊκό του δοθέντος π.γ.π. Στη συνέχεια να ερμηνεύσετε τις μεταβλητές του και να δώσετε τη βέλτιστη τιμή τους. 2. Σημειώστε την ύπαρξη πολλαπλών βέλτιστων λύσεων στο δοθέν π.γ.π. (z 1 c 1 = 0 με τη στήλη Ρ 1 να είναι μη βασική). Το γεγονός αυτό επηρεάζει την ερμηνεία και την τιμή των δυϊκών μεταβλητών; Αν ναι πώς; 3. Να βρεθεί το εύρος αριστότητας του c 2 (χρηματικές μονάδες κέρδους ανά μονάδα παραγόμενου προϊόντος Β). 4. Να βρεθεί το εύρος εφικτότητας του b 4 (m 2 διαθέσιμου αποθηκευτικού χώρου). 5. Μέχρι πόσα χρήματα θα ήταν διατεθειμένη η εταιρεία να πληρώνει για την ενοικίαση επιπλέον αποθηκευτικού χώρου; Πόσα m 2 θα μπορούσε να νοικιάσει σ αυτή την τιμή; ΛΥΣΗ 1. Δυϊκό του δοθέντος προβλήματος είναι το minimize u = (120w w w w 4 ) κάτω από τους περιορισμούς 2w 1 + 4w 2 + 3w 3 + w w 1 + 3w 2 + 2w 3 + w w 1 + w 2 + 4w 3 + w 4 45 w 1, w 2, w 3, w 4 0 όπου w 1, w 2, w 3 η αξία 1hr στην 1 η, 2 η, 3 η διαδικασία αντίστοιχα και w 4 η αξία 1m 2 αποθηκευτικού χώρου. Σύμφωνα με το Θεώρημα του Δυϊσμού, η βέλτιστη λύση του περιέχεται στο τελικό Simplex tableau επίλυσης του πρωτεύοντος. Είναι προφανές ότι η αρχική βάση του πρωτεύοντος προβλήματος (στην τυπική του μορφή) σχηματίζεται από τις στήλες P 4, P 5, P 6, P 7 των περιθώριων μεταβλητών. Συμβολικά τότε, στο τελικό tableau του πρωτεύοντος είναι B c B β P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 z 1500 ~ ~ ~ w~ 1 c w~ 2 c5 w~ 3 c6 w~ 4 c7 λ 1 λ 2 λ 4 3 ( w ~ i οι βέλτιστες δυϊκές τιμές και ~ λ i οι βέλτιστες δυϊκές περιθώριες τιμές), οπότε w ~1 = 0, w ~2 = 0, w ~3 = 5, w ~4 = 25

8 με τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης u ~ = Δεν έχει καμία απολύτως επίδραση. Και η νέα λύση του πρωτεύοντος που θα προκύψει με την είσοδο στη βάση της μεταβλητής x 1 θα έχει στο βέλτιστο tableau την ίδια ακριβώς γραμμή z j - c j. 3. Έστω = c +. Τότε το τελικό παίρνει τη μορφή ĉ2 2 Δ Δ B c B β P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P P P P 2 35+Δ z Δ 0.5Δ Δ 25+2Δ Η βέλτιστη λύση που μας δόθηκε, δε μεταβάλλεται εάν 0.5Δ 0 Δ Δ 0 Δ 10 0 Δ Δ 0 Δ οπότε το εύρος αριστότητας του συντελεστή c 2 ισούται με [35, 45]. 4. Έστω bˆ = b +. Τότε νέα βέλτιστη λύση για το πρόβλημα είναι η 4 4 Δ Για να είναι εφικτή αρκεί 1 x ˆ B = x B + ΔB e Δ Δ = + Δ = Δ Δ 10 4Δ 0 Δ Δ 0 Δ Δ Δ 0 Δ Δ 0 Δ -15 οπότε το εύρος εφικτότητας του συντελεστή b 4 ισούται με [25, 42.5]. 5. Ως γνωστό, οι δυϊκές τιμές ενός π.γ.π. εκφράζουν την αξία που έχει για το υπό μελέτη σύστημα μια μονάδα εκάστου εκ των πόρων του (ή ισοδύναμα τη μεταβολή της αντικειμενικής τιμής z για την άριστη λύση, ανά μονάδα μεταβολής των αντίστοιχων δεξιών μελών στους περιορισμούς του. Στο ερώτημα, το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στη δυϊκή τιμή w 4 που αντιστοιχεί τον 4ο περιορισμό, και η οποία, σύμφωνα με τα αποτελέσματα του 1ου ερωτήματος, ισούται με 25. Συνδυάζοντας το γεγονός αυτό με την ανάλυση ευαισθησίας για το δεξιό μέλος b 4 του περιορισμού, συμπεραίνουμε ότι «για κάθε επιπλέον m 2 που μπορεί να εξασφαλίσει η εταιρεία, και για το πολύ άλλα 2.5, θα ήταν διατεθειμένη να πληρώνει το πολύ 25 χρηματικές μονάδες».