ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ
|
|
- Ἀπολλωνία Κουβέλης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ 5.1 Εισαγωγή Μια υπολογιστική μελέτη (computational study) αποτελεί ένα μέσο σύγκρισης δυο ή περισσότερων αλγορίθμων ώστε να εξαχθούν ασφαλή συμπεράσματα για την πρακτική αποτελεσματικότητα (αποδοτικότητα) των αλγορίθμων σε ίδια προβλήματα. Θεωρείται επιβεβλημένο σήμερα από την επιστημονική κοινότητα, κάθε νέος αλγόριθμος που κατασκευάζεται να συγκριθεί στην πράξη με παρόμοιους μ' αυτόν αλγόριθμους, λύνοντας κοινά προβλήματα. Το ζητούμενο σε μια υπολογιστική μελέτη είναι η καταγραφή του πλήθους των επαναλήψεων καθώς και του συνολικού χρόνου της κεντρικής μονάδας επεξεργασίας (CPU) που απαιτείται για την επίλυση των προβλημάτων που θα χρησιμοποιηθούν για το σκοπό αυτό. Η εμπειρία από παρόμοιες μελέτες δείχνει ότι ο αριθμός επαναλήψεων και ο χρόνος CPU δεν είναι αναγκαστικά ποσότητες ανάλογες. Ενδέχεται ένας αλγόριθμος να εκτελεί πολύ λιγότερες επαναλήψεις από ένα άλλο αλγόριθμο, αλλά να χρειάζεται περισσότερο χρόνο για τη λύση ενός προβλήματος επειδή εκτελεί πολύ πιο χρονοβόρες επαναλήψεις. Η συγκριτική υπολογιστική μελέτη που παρουσιάζεται στη συνέχεια έχει ως κύριο στόχο τον υπολογισμό του πλήθους των επαναλήψεων που απαιτούνται για την επίλυση ενός γραμμικού προβλήματος από τον Δυϊκό Αλγόριθμο Simplex (ΔΑΣ) σε σχέση με το νέο αλγόριθμο, τον Δικριτήριο Αλγόριθμο Simplex Εξωτερικών Σημείων (ΔΑΣΕΣ). Η υπάρχουσα εμπειρία από σχετικές υπολογιστικές μελέτες μας οδηγεί σε ασφαλή συμπεράσματα όσον αφορά στον χρόνο CPU, βλέπε Paparrizos, Samaras, Stephanides
2 B 110 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη (2003a), (2003b) και Samaras (2001). Στην περίπτωσή μας όποια συμπεράσματα εξαχθούν για τον αριθμό επαναλήψεων ισχύουν και για το χρόνο CPU. Θεωρήθηκε επίσης σκόπιμο για υπολογιστικούς λόγους να συγκριθούν οι δύο αλγόριθμοι χρησιμοποιώντας τη μορφή των μητρών που περιγράφεται παρακάτω. 5.2 Δυϊκός Αλγόριθμος Simplex σε μορφή μητρών Έστω ότι το πρωτεύων γραμμικό πρόβλημα έχει τη μορφή min{c T x : Ax = b, x 0} (P) όπου c, x R n, b R m και A R mxn. Το αντίστοιχο δυϊκό γραμμικό πρόβλημα θα έχει τη μορφή (DP) max{b T w : A T w +s = c} (DP) όπου w R m οι δυϊκές μεταβλητές και s R n οι δυϊκές χαλαρές μεταβλητές. Θεωρούμε μια βασική διαμέριση (B, N) και A B R mxm μια αρχική βάση του προβλήματος (P). Άρα το δυϊκό γ.π. (DP) θα έχει μια λύση που δίνεται από τη σχέση w T = (c B ) T (A B ) -1. όπου η μήτρα Α Β είναι η μήτρα των βασικών μεταβλητών και αποτελείται από τις στήλες a j της μήτρας Α για τις οποίες j B. Αντίστοιχα c B είναι το διάνυσμα που αποτελείται από τα στοιχεία cj του διανύσματος c για τα οποία j B. Παρόμοια οι παραπάνω έννοιες επεκτείνονται και για τη μήτρα n Ν, οπότε και το διάνυσμα x R διαχωρίζεται στα υποδιανύσματα xb και x N,
3 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 111 δηλαδή x = ( x B, x N ). Επίσης με τους συμβολισμούς Α.t ή A t. που θα ακολουθήσουν θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι εννοούμε την t γραμμή ή την t στήλη αντίστοιχα της μήτρας Α. Ο δυϊκός αλγόριθμος Simplex κατασκευάζει μια ακολουθία από δυϊκά εφικτές βάσεις, δηλαδή s T = c T w T A 0. Για τον έλεγχο βελτιστότητας χρειάζεται μόνο να εξετάσουμε αν ισχύει x B = (A B ) -1 b 0. Τότε ο αλγόριθμος σταματά. Στην αντίθετη περίπτωση θα υπάρχει μια βασική μεταβλητή που έχει αρνητική τιμή. Έστω x B(r) = x k. Άρα η μεταβλητή x k θα είναι εξερχόμενη. Στη συνέχεια θα πρέπει να προσδιοριστεί η εισερχόμενη μεταβλητή x l, l N, έτσι ώστε να προκύψει η επόμενη δυϊκά εφικτή βάση. Γι' αυτό υπολογίζεται το διάνυσμα H rn = ((A B ) -1 ) r. A N όπου A N η μήτρα των μη βασικών μεταβλητών και ((A B ) -1 ) r. είναι η r γραμμή της αντίστροφης μήτρας των βασικών μεταβλητών. Γίνεται έλεγχος του διανύσματος H rn, δηλαδή αν H rn 0 τότε ο αλγόριθμος σταματά. Άρα το δυϊκό πρόβλημα (DP) είναι απεριόριστο και το πρωτεύων πρόβλημα (P) είναι αδύνατο. Διαφορετικά γίνεται το τεστ ελαχίστου λόγου
4 112 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη s j λ = min : j N και h rj < 0 = h rj s h l rl και επιλέγεται η εισερχόμενη μεταβλητή x l, l N. Τέλος ανανεώνεται η βασική διαμέριση (Β, Ν) θέτοντας B(r) = l και N(t) = k και η προηγούμενη διαδικασία επαναλαμβάνεται. Περιγραφή αλγορίθμου με βήματα Βήμα 0 : (Ξεκίνημα) Ξεκίνα με μια δυϊκά εφικτή βασική διαμέριση (Β, Ν). Βήμα 1 : (Υπολογισμοί) Υπολόγισε τις ποσότητες c B, B cn, (A B ), xb = (A B ) b, w = T -1 T T T (cb) (AB) και (sn) = (cn) w A N. Βήμα 2 : (Έλεγχος βελτιστότητας προσδιορισμός εξερχόμενης μεταβλητής) -1-1 T Αν είναι x B 0, ΤΕΛΟΣ. Η x B είναι βέλτιστη λύση για το πρόβλημα (P) και η w είναι η βέλτιστη λύση του προβλήματος (DP). Διαφορετικά προσδιόρισε την εξερχόμενη μεταβλητή x k, επιλέγοντας ένα δείκτη r έτσι ώστε x B(r) = x k < 0. Βήμα 3 :(Έλεγχος ελαχίστου λόγου-προσδιορισμός εισερχόμενης μεταβλητής) Υπολόγισε το διάνυσμα H rn = ((A B ) -1 ) r. A N Αν H rn 0 ΤΕΛΟΣ. Το πρόβλημα (DP) είναι απεριόριστο και το (P) είναι αδύνατο. Διαφορετικά επέλεξε την εισερχόμενη μεταβλητή x l = x N(t) κάνοντας το τεστ του ελαχίστου λόγου
5 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 113 s j λ = min : j N και h rj < 0 = h rj s h l rl Βήμα 4 : (Περιστροφή) Υπολόγισε μια νέα βασική διαμέριση θέτοντας B(r) = l και N(t) = k. Πήγαινε στο βήμα 1. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η συνάρτηση DSA προγραμματισμένη σε γλώσσα MATLAB όπως χρησιμοποιήθηκε στην υπολογιστική μελέτη και βασίζεται στην προηγούμενη βηματική περιγραφή του δυϊκού αλγορίθμου Simplex στη μορφή των μητρών. function [adarap,zvalue,niter]=dsα(c,a,b,b,maxiter) % DSA : Δυϊκός Αλγόριθμος Simplex % SYNTAX: [adarap,zvalue,x,w,s,b,niter]=dsa(c,a,b,b,maxiter) % Επιλύει το γραμμικό πρόβλημα στάνταρ μορφής % min{c'x:ax=b,x>=0} % με τον Δυϊκό Αλγόριθμο Simplex. Η αρχική βάση Β πρέπει να % είναι δυϊκά εφικτή. Ο αλγόριθμος σταματά αν ο μέγιστος % αριθμός επαναλήψεων, maxiter, ξεπεραστεί. % Β και maxiter ειναι προαιρετικα,οι εξ ορισμου τιμες τους % ειναι maxiter=10000, B=[n-m+1:n] % >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> % % Μεταβλητές εισόδου % % <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< % c = διάνυσμα κόστους % A = μήτρα συντελεστών % b = δεξιό μέρος
6 114 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη % B = δείκτες αρχικής βάσης % maxiter = μέγιστο πλήθος επιτρεπόμενων επαναλήψεων % >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> % % Μεταβλητές εξόδου % % <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< % niter = πλήθος εκτελεσθέντων επαναλήψεων % x,w,s = μεταβλητές απόφασης,δυϊκές και δυϊκές χαλαρές % αντίστοιχα % B = δείκτες τελικής βάσης % zvalue = τελική τιμή αντικειμενικής συνάρτησης % adarap = -1 πρόβλημα αδύνατο % = 0 πρόβλημα βέλτιστο % = 1 πρόβλημα απεριόριστο % = 2 πρόβλημα αδύνατο ή απεριόριστο % = -2 πρόβλημα δεν έχει λυθεί % >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> % % Γράφτηκε από Κ. Δόσιο % Τελευταία τροποποίηση στις % % <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< warning off % Αρχικοποίηση B και maxiter αν δε δοθούν if nargin==4 maxiter=10000; if nargin==3
7 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 115 maxiter=10000; B=n-m+1:n; % Επιτρέπει είσοδο διανυσμάτων σε στήλες ή γραμμές c=c(:)'; b=b(:); % Βήμα 0 : Υπολογισμοί Ξεκινήματος [m n]=size(a); adarap=-2; niter=0; N=setdiff(1:n,B); Binv=inv(A(:,B)); xb=binv*b; w=c(b)*binv; sn=c(n)-w*a(:,n); % Έλεγχος αρχικής βάσης αν είναι δυϊκά εφικτή if any(sn<0) error('η αρχική βάση δεν είναι δυϊκά εφικτή') % Βρόχος επαναλήψεων (τερματισμός βελτιστότητας ή πλήθους % επαναλήψεων) while (any(xb<0))&(niter<=maxiter) % Επιλογή εισερχόμενης και εξερχόμενης μεταβλητής
8 116 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη [xbr,r]=min(xb); HrN=Binv(r,:)*A(:,N); if HrN>=0 adarap=-1; % Πρόβλημα αδύνατο break [mrt,t]=max(hrn./(-sn)); k=b(r(1)); l=n(t(1)); % Ανανεώσεις niter=niter+1; N(t(1))=k; B(r(1))=l; Binv=inv(A(:,B)); xb=binv*b; w=c(b)*binv; sn=c(n)-w*a(:,n); % Έλεγχος πλήθους επαναλήψεων if niter>maxiter error('το μέγιστο πλήθος επαναλήψεων ξεπεράστηκε') % Τελικά Αποτελέσματα if adarap==-2 adarap=0; disp(' Τέλος >> Το πρόβλημα είναι βέλτιστο')
9 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 117 x=zeros(1,n); x(b)=xb; s=zeros(1,n); s(n)=sn; zvalue=c(b)*xb if nargout==3 adarap=adarap; zvalue=zvalue; x=niter; warning on Μπορεί εύκολα κάποιος να παρατηρήσει ότι δεν χρησιμοποιήθηκαν ιδιαίτερες τεχνικές προγραμματισμού. Και αυτό γιατί όπως αναφέρθηκε προηγούμενα η υπολογιστική μελέτη έχει σκοπό να καταγράψει το πλήθος των επαναλήψεων που απαιτείται για την επίλυση ενός γ.π. από το Δυϊκό Αλγόριθμο Simplex σε σχέση με τον Δικριτήριο Αλγόριθμο Simplex Εξωτερικών Σημείων που ακολουθεί Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex Εξωτερικών Σημείων σε μορφή μητρών Στην περιγραφή του αλγορίθμου θα χρησιμοποιήσουμε όπως προηγούμενα τη μορφή (P) για το πρωτεύων γραμμικό πρόβλημα και τη μορφή (DP) για το δυϊκό γραμμικό πρόβλημα. Έστω (Β, Ν) μια βασική διαμέριση και A B R mxm μια αρχική βάση του (P). Άρα το δυϊκό γ.π. (DP) θα έχει μια λύση που δίνεται από τις σχέσεις w T = (c B ) T (A B ) -1
10 118 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη και s T = c T w T A 0. Ο Δικριτήριος αλγόριθμος Simplex εξωτερικών σημείων ξεκινά από μια δυϊκά εφικτή βάση και κατασκευάζει μια ακολουθία πιθανώς μη-δυϊκά εφικτών βάσεων. Στη συνέχεια υπολογίζονται τα σύνολα Ι - = {i N : b i < 0} Ι + = {i N : b i 0} Αν I - = τότε το πρόβλημα είναι βέλτιστο και ο αλγόριθμος σταματά. Διαφορετικά υπολογίζουμε τη γραμμή m+1 όπως γνωρίζουμε από τα κεφάλαια 3 και 4. Γνωρίζοντας τώρα τη μορφή μητρών του δυϊκού αλγορίθμου Simplex η μορφή μητρών του ΔΑΣΕΣ προκύπτει εύκολα. Η παρακάτω βηματική περιγραφή του είναι εύκολα κατανοητή. Περιγραφή αλγορίθμου με βήματα Βήμα 0 : (Ξεκίνημα) Ξεκίνα με μια δυϊκά εφικτή βασική διαμέριση (Β, Ν) και υπολόγισε τις ποσότητες c B, c N, (A B ) -1, x B = (A B ) -1 b, w T = (c B ) T (A B ) -1 και (s N ) T = (c N ) T w T A N. Βήμα 1 : (Έλεγχος τερματισμών) α) (Έλεγχος βελτιστότητας) Προσδιόρισε τα σύνολα των δεικτών Ι - και Ι + από τη σχέση (3.2.1). Αν Ι - =, ΤΕΛΟΣ (η παρούσα λύση είναι βέλτιστη), διαφορετικά υπολόγισε τη γραμμή m+1
11 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 119 Η m+1, N = e T (A B ) -1 H(I -, :) β) (Έλεγχος μη εφικτότητας) Προσδιόρισε τo σύνολo των δεικτών J - με τη σχέση (3.2.4) και χρησιμοποιώντας τα στοιχεία της γραμμής Η m+1,n. Αν J - =, ΤΕΛΟΣ (το πρόβλημα P είναι αδύνατο). Διαφορετικά προσδιόρισε το δείκτη t της εισερχόμενης μεταβλητής x t με τη σχέση s t s j = min : j J Hm+ 1,t Hm+ 1,j Η μη βασική μεταβλητή x t εισέρχεται στη βάση. Βήμα 2 : (Περιστροφή) Υπολόγισε τη στήλη h με τη σχέση h = (A B ) -1 A.t Υπολόγισε τις ποσότητες θ 1 και θ 2 με τις σχέσεις xb(i) x θ 1 = min : hi < 0,i I = hi h B(k) k xb(i) x θ 2 = min : hi > 0,i I+ = hi h B(l) l Αν θ 1 θ 2 θέσε Ι - Ι - Β(k) I + I + B(k)
12 120 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη Ανανέωσε τα σύνολα Β και Ν και πήγαινε στο βήμα 1. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η συνάρτηση DASES προγραμματισμένη σε γλώσσα MATLAB όπως χρησιμοποιήθηκε στην υπολογιστική μελέτη και βασίζεται στην προηγούμενη βηματική περιγραφή του Δικριτήριου Αλγορίθμου Simplex Εξωτερικών Σημείων στη μορφή μητρών. function [adarap,zvalue,x,w,y,b,niter]=dases(c,a,b,b,maxiter) % DASES: Δικριτήριος Αλγόριθμος Simplex Εξωτερικών Σημείων % SYNTAX:[adarap,zvalue,x,w,y,B,niter]=dases(c,A,b,B,maxiter) % Επιλύει το γραμμικό πρόβλημα στάνταρ μορφής % min{c'x:ax=b,x>=0} με τον δικριτήριο αλγόριθμο Simplex % Εξωτερικών σημείων. Η αρχική βάση Β πρέπει να είναι δυϊκά % εφικτή. Ο αλγόριθμος σταματά αν ο μέγιστος αριθμός % επαναλήψεων (maxiter), ξεπεραστεί. % Β και maxiter είναι προαιρετικά, οι εξ' ορισμού τιμές τους % είναι: maxiter=10000, B=[n-m+1:n] % >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> % % Μεταβλητές εισόδου % % <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< % c = διάνυσμα κόστους % A = μήτρα συντελεστών % b = δεξιό μέρος % B = δείκτες αρχικής βάσης % maxiter = μέγιστο πλήθος επιτρεπόμενων επαναλήψεων % >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> % % Μεταβλητές εξόδου %
13 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 121 % <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< % niter = πλήθος εκτελεσθέντων επαναλήψεων % x,w,y = μεταβλητές απόφασης,δυϊκές και δυϊκές χαλαρές % αντίστοιχα % B = δείκτες τελικής βάσης % zvalue = τελική τιμή αντικειμενικής συνάρτησης % adarap = -1 πρόβλημα αδύνατο % = 0 πρόβλημα βέλτιστο % = 1 πρόβλημα απεριόριστο % = 2 πρόβλημα αδύνατο ή απεριόριστο % = -2 πρόβλημα δεν έχει λυθεί % >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> % % Γράφτηκε από Κ. Δόσιο % Τελευταία τροποποίηση στις % % <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< % Διαίρεση με μηδέν στα τεστ ελαχίστου λόγου warning off % Αρχικοποίηση B και maxiter αν δε δοθούν if nargin==4 maxiter=10000; if nargin==3 maxiter=10000; B=n-m+1:n;
14 122 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη % Επιτρέπει είσοδο διανυσμάτων σε στήλες ή γραμμές c=c(:)'; b=b(:); % Βήμα 0 : Υπολογισμοί Ξεκινήματος [m n]=size(a); adarap=-2; niter=0; N=setdiff(1:n,B); AB=A(:,B); AN=A(:,N); AB_1=inv(AB); HN=AB_1*A(:,N); xb=ab_1*b; w=c(b)*ab_1; yn=c(n)-w*an; zvalue=w*b; I_=find(xB<0); Iplus=setdiff(1:m,I_); % Έλεγχος αρχικής βάσης αν είναι δυϊκά εφικτή if any(yn<0) error('η αρχική βάση δεν είναι δυϊκά εφικτή') % Βρόχος επαναλήψεων (τερματισμός βελτιστότητας ή πλήθους %επαναλήψεων) while (~isempty(i_)) & (niter<=maxiter)
15 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 123 % Βήμα 1: Έλεγχος τερματισμών if length(i_)==1 RowNew=HN(I_,:); else RowNew=sum(HN(I_,:)); % Βήμα 2: Έλεγχος μη εφικτότητας J_=find(RowNew<0); if isempty(j_) disp(' Τέλος >> Το πρόβλημα είναι αδύνατο') adarap=-1; break [testmin j]=min(-yn(j_)./rownew(j_)); t=j_(j(1)); s=n(t); I1=find(HN(I_,t)<0); [th1 i1]=min(xb(i_(i1))./hn(i_(i1),t)); I2=find(HN(Iplus,t)>0); if (~isempty(i2)) [th2 i2]=min(xb(iplus(i2))./hn(iplus(i2),t)); else th2=inf; if th1<=th2 r=i_(i1(i1(1))); I_=setdiff(I_,r);
16 124 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη Iplus=union(Iplus,r); else r=iplus(i2(i2(1))); % Βήμα 2: Περιστροφή niter=niter+1; N(t)=B(r); B(r)=s; AB=(A(:,B)); AN=A(:,N); AB_1=inv(AB); HN=AB_1*AN; xb=ab_1*b; w=c(b)*ab_1; yn=c(n)-w*an; % Έλεγχος πλήθους επαναλήψεων if niter>maxiter error('το μέγιστο πλήθος επαναλήψεων ξεπεράστηκε') % Τελικά Αποτελέσματα if adarap==-2 adarap=0; disp(' Τέλος >> Το πρόβλημα είναι βέλτιστο')
17 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 125 x=zeros(1,n); x(b)=xb; y=zeros(1,n); y(n)=yn; zvalue=c(b)*xb if nargout==3 adarap=adarap; zvalue=zvalue; x=niter; warning on 5.4 Χαρακτηριστικά υπολογιστικής μελέτης Η αποτελεσματικότητα των αλγορίθμων είναι η βασική επιδίωξη των ερευνητών που ασχολούνται με θέματα γραμμικής βελτιστοποίησης. Οι νέοι αλγόριθμοι που κατασκευάζονται πρέπει, να είναι αποδοτικότεροι ως προς το χρόνο CPU ενός Η/Υ που απαιτούν, καθώς και ως προς το πλήθος των επαναλήψεων, για την επίλυση μιας κατηγορίας γραμμικών προβλημάτων. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η αποτελεσματικότητα (αποδοτικότητα) στην πράξη δυο αλγορίθμων, του Δυϊκού Αλγόριθμου Simplex (DSA) και του Δικριτήριου Αλγόριθμου Simplex Εξωτερικών Σημείων (DASES). Το ζητούμενο της υπολογιστικής μελέτης που ακολουθεί είναι η σύγκριση του πλήθους των επαναλήψεων που απαιτείται από κάθε αλγόριθμο για την επίλυση δυο ειδών γραμμικών προβλημάτων.
18 126 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη (i) Τυχαία πυκνά γραμμικά προβλήματα με την αρχική βάση να είναι δυϊκά εφικτή (ii) Τυχαία αραιά γραμμικά προβλήματα με την αρχική βάση να είναι δυϊκά εφικτή και για τρεις διαφορετικές πυκνότητες, 2.5%, 5% και 10%. Και για τις δυο κατηγορίες γραμμικών προβλημάτων χρησιμοποιήθηκαν 2 διαφορετικές κλάσεις προβλημάτων, δηλαδή τετραγωνικά nxn και ορθογώνια nx2n. Οι κλάσεις αυτές επελέγησαν αφού τα περισσότερα πρακτικά προβλήματα έχουν τέτοια μορφή. Στα τετραγωνικά γραμμικά προβλήματα περιλαμβάνονται 12 διαφορετικές κλάσεις προβλημάτων, όπου κάθε κλάση περιλαμβάνει 10 τυχαία (πυκνά ή αραιά αντίστοιχα) βέλτιστα γραμμικά προβλήματα. Τα ορθογώνια γραμμικά προβλήματα περιλαμβάνουν 8 διαφορετικές κλάσεις προβλημάτων. Στον επόμενο πίνακα παρουσιάζονται οι τιμές των βασικών στοιχείων των γραμμικών προβλημάτων που μελετήθηκαν. Εύρος τιμών Α [ ] Εύρος τιμών c [ ] Εύρος τιμών b [ ] Σύνολο γ.π. μελέτης 760 Για την υλοποίηση της συγκριτικής υπολογιστικής μελέτης χρησιμοποιήθηκε PC με επεξεργαστή Pentium IV 3.0 GHz, 1GB Ram, λειτουργικό σύστημα Windows XP Professional. Ο προγραμματισμός των αλγορίθμων έγινε σε γλώσσα προγραμματισμού MATLAB, αφού περιλαμβάνει κατά τη γνώμη μας τα καταλληλότερα εργαλεία για τον προγραμματισμό τέτοιου είδους αλγορίθμων. Εκτός της υλοποίησης των
19 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 127 συγκεκριμένων αλγορίθμων (DSA) και (DASES) σε MATLAB υλοποιήθηκαν και άλλες συναρτήσεις για τη δημιουργία τυχαίων και τυχαίων αραιών γραμμικών προβλημάτων διαφορετικής πυκνότητας, βλέπε Dosios, K. et.al. (2002), (2003a) (ή χρησιμοποιήθηκαν από Βιβλιοθήκη Συναρτήσεων MATLAB που διαθέτει ο κ. Παπαρρίζος Κ., βλέπε Paparrizos, Κ. (2004) και Paparrizos, K. (2005)). Τα τυχαία γραμμικά προβλήματα που επιλύθηκαν είναι της κανονικής μορφής min c T x μ.π. Ax b x 0 όπου A R mxn, c,x R n, b R m και συμβολίζει το είδος της ανισότητας, δηλαδή {, }.
20 128 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 5.5 Συγκριτικοί πίνακες αποτελεσμάτων Οι πίνακες που ακολουθούν περιλαμβάνουν το μέγεθος των προβλημάτων, το μέσο πλήθος επαναλήψεων (niter) και για τους δυο αλγόριθμους, τη διαφορά των μέσων όρων επαναλήψεων (DSA-DASES) και το λόγο DSA/DASES, απ' όπου φαίνεται πόσες φορές είναι ταχύτερος σε επαναλήψεις ο αλγόριθμος DASES έναντι του αλγόριθμου DSA. TYXAIA ΒΕΛΤΙΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (πυκνά) ΔΙΑΣΤΑΣΗ Μέσος Όρος Επαναλήψεων nxn DSA DASES DSA - DASES DSA / DASES 100x ,00 247,00 35,00 1,14 150x ,40 423,70 120,70 1,28 200x ,10 669,20 288,90 1,43 250x ,00 917,70 544,30 1,59 300x , ,00 935,80 1,71 400x , , ,40 2,05 500x , , ,70 2,30 600x , , ,44 2,50 700x , , ,43 2,64 800x , , ,23 2,79 900x , , ,38 2, x , , ,50 3,34 Πίνακας Συγκριτικός πίνακας τυχαίων πυκνών γ.π. διάστασης nxn Πιο συγκεκριμένα από τον πίνακα φαίνεται ότι σε τυχαία πυκνά βέλτιστα τετραγωνικά γραμμικά προβλήματα διάστασης 1000x1000 ο
21 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 129 αλγόριθμος DASES υπερτερεί μέχρι και 3,34 φορές του αλγόριθμου DSA. Επίσης πρέπει να αναφέρουμε ότι ο αλγόριθμος DSA εκτελεί περίπου περισσότερες επαναλήψεις έναντι του αλγόριθμου DASES κατά την επίλυση ενός γ.π. της παραπάνω κατηγορίας. ΤΥΧΑΙΑ ΑΡΑΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (πυκνότητα = 10%) ΔΙΑΣΤΑΣΗ Μέσος Όρος Επαναλήψεων nxn DSA DASES DSA - DASES DSA / DASES 100x ,80 194,40 88,40 1,45 150x ,40 437,40 251,00 1,57 200x ,80 688,20 405,60 1,59 250x ,80 909,20 779,60 1,86 300x , , ,40 1,96 400x , , ,60 2,39 500x , , ,40 2,50 600x , , ,70 2,75 700x , , ,00 2,91 800x , , ,50 3,18 900x , , ,86 3, x , , ,86 3,43 Πίνακας Συγκριτικός πίνακας τυχαίων αραιών γ.π. διάστασης nxn πυκνότητας 10% Ανάλογα είναι και τα αποτελέσματα για τυχαία αραιά βέλτιστα τετραγωνικά προβλήματα. Πράγματι στους πίνακες 5.5.2, 5.5.3, και για πυκνότητες 10%, 5%, και 2.5% αντίστοιχα παρατηρούμε ότι ο
22 130 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη αλγόριθμος DASES υπερτερεί μέχρι και 4,31 φορές του αλγόριθμου DSΑ για προβλήματα διάστασης 1000x1000, ενώ απαιτούνται περίπου περισσότερες επαναλήψεις του DSA για την λύση ενός γ.π. αυτής της καταηγορίας. ΤΥΧΑΙΑ ΑΡΑΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (πυκνότητα = 5%) ΔΙΑΣΤΑΣΗ Μέσος Όρος Επαναλήψεων nxn DSA DASES DSA - DASES DSA / DASES 100x ,00 185,03 126,97 1,69 150x ,90 367,00 376,90 2,03 200x ,70 577,80 711,90 2,23 250x ,80 861, ,20 2,34 300x , , ,90 2,62 400x , , ,50 2,61 500x , , ,60 2,92 600x , , ,33 2,95 700x , , ,13 3,39 800x , , ,75 3,53 900x , , ,80 3, x , , ,25 3,90 Πίνακας Συγκριτικός πίνακας τυχαίων αραιών γ.π. διάστασης nxn πυκνότητας 5%
23 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 131 ΤΥΧΑΙΑ ΑΡΑΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (πυκνότητα = 2,5%) ΔΙΑΣΤΑΣΗ Μέσος Όρος Επαναλήψεων nxn DSA DASES DSA - DASES DSA / DASES 100x ,42 170,80 197,62 2,16 150x ,58 364,89 474,69 2,30 200x ,36 652, ,02 2,54 250x , , ,11 3,00 300x , , ,05 3,18 400x , , ,50 3,39 500x , , ,00 3,45 600x , , ,80 3,63 700x , , ,58 3,83 800x , , ,00 4,03 900x , , ,00 4, x , , ,00 4,31 Πίνακας Συγκριτικός πίνακας τυχαίων αραιών γ.π. διάστασης nxn πυκνότητας 2,5% Στη συνέχεια στους πίνακες 5.5.5, 5.5.6, και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα από τη σύγκριση των δυο αλγορίθμων σε ορθογώνια βέλτιστα γραμμικά προβλήματα και αντιστοιχούν σε πυκνά ή αραιά γ.π. με πυκνότητες 10%, 5%, και 2.5%. Σε προβλήματα αυτής της κατηγορίας και για διάσταση προβλήματος 700x1400 ο αλγόριθμος DASES υπερτερεί του αλγόριθμου DSA μέχρι και 6.57 φορές, ενώ απαιτούνται περίπου περισσότερες επαναλήψεις από τον DSA έναντι του DASES.
24 132 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη TYXAIA ΒΕΛΤΙΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (πυκνά) ΔΙΑΣΤΑΣΗ Μέσος Όρος Επαναλήψεων nx2n DSA DASES DSA - DASES DSA / DASES 100x ,50 228,00 121,50 1,53 150x ,90 408,30 324,60 1,80 200x ,80 658,90 520,90 1,79 250x ,60 822, ,00 2,47 300x , , ,70 2,40 400x , , ,40 3,18 500x , , ,20 3,26 600x , , ,70 4,13 700x , , ,00 4,32 Πίνακας Συγκριτικός πίνακας τυχαίων πυκνών γ.π. διάστασης nx2n ΤΥΧΑΙΑ ΑΡΑΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (πυκνότητα = 10%) ΔΙΑΣΤΑΣΗ Μέσος Όρος Επαναλήψεων nx2n DSA DASES DSA - DASES DSA / DASES 100x ,90 182,10 153,80 1,84 150x ,20 350,70 403,50 2,15 200x ,00 606,40 908,60 2,50 250x ,70 802, ,40 2,96 300x , , ,60 3,10 400x , , ,20 3,66 500x , , ,20 4,32 600x , , ,40 4,63 700x , , ,00 4,84 Πίνακας Συγκριτικός πίνακας τυχαίων αραιών γ.π. διάστασης nx2n πυκνότητας 10%
25 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 133 ΤΥΧΑΙΑ ΑΡΑΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (πυκνότητα = 5%) ΔΙΑΣΤΑΣΗ Μέσος Όρος Επαναλήψεων nx2n DSA DASES DSA - DASES DSA / DASES 100x ,90 134,00 70,90 1,53 150x ,70 352,50 431,20 2,22 200x ,80 505, ,00 3,22 250x ,60 776, ,50 3,35 300x , , ,00 3,60 400x , , ,70 4,27 500x , , ,40 4,74 600x , , ,80 5,13 700x , , ,70 5,39 Πίνακας Συγκριτικός πίνακας τυχαίων αραιών γ.π. διάστασης nx2n πυκνότητας 5% ΤΥΧΑΙΑ ΑΡΑΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (πυκνότητα = 2,5%) ΔΙΑΣΤΑΣΗ Μέσος Όρος Επαναλήψεων nx2n DSA DASES DSA - DASES DSA / DASES 100x200 65,33 73,00-7,67 0,89 150x ,00 182,40 57,60 1,32 200x ,60 374,00 578,60 2,55 250x ,70 654, ,30 3,57 300x ,50 896, ,70 4,24 400x , , ,10 5,27 500x , , ,70 5,87 600x , , ,00 6,26 700x , , ,50 6,57 Πίνακας Συγκριτικός πίνακας τυχαίων αραιών γ.π. διάστασης nx2n πυκνότητας 2,5%.
26 134 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 5.6 Αξιολόγηση Αλγόριθμων Τα αποτελέσματα που παρουσιάστηκαν στους προηγούμενους πίνακες γίνονται περισσότερο αντιληπτά και κατανοητά στις επόμενες εικόνες. Πράγματι στις εικόνες και παρουσιάζονται οι λόγοι (DSA/DASES) των Μ.Ο. του πλήθους των επαναλήψεων για τετραγωνικά και ορθογώνια γ.π. και για όλες τις πυκνότητες. Λόγοι Μ.Ο. πλήθους επαναλήψεων 5,0 4,0 DSA/DASES 3,0 2,0 1,0 0, Διάσταση γ.π. nxn Εικόνα Λόγος (DSA/DASES) για γ.π. διάστασης nxn Τυχαία Πυκνά Πυκν. 10% Πυκν. 5% Πυκν. 2,5%
27 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 135 Φαίνεται ολοκάθαρα η αύξηση του λόγου (DSA/DASES) που φτάνει τις 6,57 φορές καθώς αυξάνεται η διάσταση του προβλήματος. Επίσης είναι καλύτερη η συμπεριφορά του αλγόριθμου DASES σε αραιά γραμμικά προβλήματα. Λόγοι Μ.Ο. πλήθους επαναλήψεων 7,0 6,0 5,0 DSA/DASES 4,0 3,0 2,0 1,0 Τυχαία Πυκνά Πυκν. 10% Πυκν. 5% Πυκν. 2,5% 0, Διασταση γ.π. nx2n Εικόνα Λόγος (DSA/DASES) για γ.π. διάστασης nx2n
28 136 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη Διαφορές Μ.Ο. πλήθος επαναλήψεων DSA-DASES Τυχαία Πυκνά Πυκν. 10% Πυκν. 5% Διάσταση προβλήματος nxn 1000 Εικόνα Διαφορές (DSA-DASES) για γ.π. διάστασης nxn Στις εικόνες και παρουσιάζονται οι διαφορές (DSA-DASES) των Μ.Ο. του πλήθους των επαναλήψεων για τετραγωνικά και ορθογώνια γ.π. και για όλες τις πυκνότητες. Είναι φανερό ότι οι επαναλήψεις που απαιτούνται από τον αλγόριθμο DSA έναντι του DASES αυξάνονται καθώς
29 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 137 αυξάνεται η διάσταση των προβλημάτων και όσο τα προβλήματα γίνονται περισσότερο αραιά. Διαφορές Μ.Ο. πλήθος επαναλήψεων DSA-DASES Τυχαία Πυκνά Πυκν. 10% Πυκν. 5% Πυκν. 2,5% Διάσταση προβλήματος nx2n Εικόνα Διαφορές (DSA-DASES) για γ.π. διάστασης nxn
30 138 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη Λόγοι Μ.Ο. πλήθους επαναλήψεων 7,0 6,0 5,0 DSA/DASES 4,0 3,0 2,0 γ.π. nxn γ.π. nx2n 1,0 0, Διάσταση n Εικόνα Λόγοι (DSA/DASES) για γ.π. διάστασης nxn και nx2n Τέλος στις εικόνες και φαίνεται η καλύτερη συμπεριφορά του αλγόριθμου DASES στις μεγάλες διαστάσεις προβλημάτων καθώς και στα αραιά προβλήματα όπως άλλωστε είναι τα περισσότερα πρακτικά προβλήματα σήμερα.
31 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη 139 Διαφορές Μ.Ο. πλήθους επαναλήψεων DSA-DASES γ.π. nxn γ.π. nx2n Διάσταση n Εικόνα Διάφορές (DSA-DASES) για γ.π. διάστασης nxn και nx2n
32 140 Κεφάλαιο 5 Μια Συγκριτική Υπολογιστική Μελέτη
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 22: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για την επίλυση Γραμμικών Προβλημάτων με τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 3/4/2012. Lecture08 1
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μεθοδολογία αλγορίθμων τύπου simplex (5) Βήμα 0: Αρχικοποίηση (Initialization). Στο βήμα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 13: Μεθοδολογία Αλγορίθμων τύπου Simplex, Αναθεωρημένος Πρωτεύων Αλγόριθμος Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης 28/3/2012. Lecture07 1
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χαρακτηριστικά αλγορίθμων τύπου simplex (5) Αν το βασικό σημείο ικανοποιεί ακριβώς n-m ανισότητες
Διαβάστε περισσότεραΕΝΑΣ ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ
ΕΝΑΣ ΝΕΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ Παπαρρίζος Κωνσταντίνος, Σαμαράς Νικόλαος, Στεφανίδης Γεώργιος Τμ. Εφαρμοσμένης Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δυϊκή Θεωρία (1) Θεώρημα : Το δυϊκό πρόβλημα του γραμμικού προβλήματος 0 0 1 1 2 2 0 0 T
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 11: Σχέσεις Πρωτεύοντος και Δυϊκού Προβλήματος, Χαρακτηριστικά Αλγορίθμων τύπου Simplex Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραz = c 1 x 1 + c 2 x c n x n
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική πολυπλοκότητα του πρωτεύοντος αλγόριθμου εξωτερικών σημείων
Υπολογιστική πολυπλοκότητα του πρωτεύοντος αλγόριθμου εξωτερικών σημείων Γεώργιος Παπανίκος Τμ. Εφ. Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Εγνατία 156, 54006 Θεσσαλονίκη it0837@uom.gr Νικόλαος Σαμαράς Τμ.
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Δυϊκότητα Θα δείξουμε πώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης με ένα πρόβλημα ΓΠ στην συνήθη του μορφή. Ένα πρόβλημα στην συνήθη του μορφή μπορεί να είναι ένα κατασκευαστικό πρόβλημα,
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 14: Τεχνικές Βελτίωσης Απόδοσης Κώδικα σε Matlab, Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για την Τεχνική Κλιμάκωσης της Ισορρόπησης Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότερα2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Εισαγωγή Οι κλασσικές μέθοδοι αριστοποίησης βασίζονται κατά κύριο λόγο στο διαφορικό λογισμό. Ο Μαθηματικός Προγραμματισμός ο οποίος περιλαμβάνει τον Γραμμικό Προγραμματισμό
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Δυϊκή Θεωρία Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η
Ανάλυση Ευαισθησίας αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών c μεταβολή των όρων b i στο δεξιό μέλος του συστήματ των περιορισμ μεταβολή των συντελεστών
Διαβάστε περισσότερα12/3/2012. Εργαστήριο Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης. Lab03 1. Διανυσματοποίηση Βρόχων. Αρχικοποίηση μητρών (preallocating)
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βελτίωση Απόδοσης ιανυσματοποίηση βρόχων Αρχικοποίηση μητρών (preallocating) Χρήση κατάλληλων
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση ενεργειακών πόρων & συστημάτων Πρακτικά συνεδρίου(isbn: )
ISN: 978-960-87277-8-6 23 ο Εθνικό Συνέδριο Ελληνικής Εταιρείας Επιχειρησιακών Ερευνών Διαχείριση ενεργειακών πόρων & συστημάτων Πρακτικά συνεδρίου(isn: 978-960-87277-8-6) Αθήνα, 2-4 Σεπτεμβρίου 202 Αίθουσα
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας.
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο «Δικτυακή Βελτιστοποίηση» γράφτηκε με κύριο στόχο να καλύψει τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος «Δικτυακός Προγραμματισμός», που διδάσκεται στο Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 7: Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Σχέσεις μεταξύ του πρωτεύοντος και του δυϊκού του. Για να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία δυϊκότητας αλλάζουμε την μορφή του πίνακα της μεθόδου simplex, προσθέτοντας μια σειρά και μια στήλη. Η σειρά προστίθεται
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής
Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Στόχοι Εργαστηρίου ημιουργία Τυχαίων Βέλτιστων Γ.Π. Περιγραφή μεθόδου για δημιουργία βέλτιστων
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 10: Επαναληπτική Βελτίωση Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
Συστήματα Παραγωγής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Περιεχόμενα 1 Γενικά στοιχεία γραμμικού προγραμματισμού 2 Παράδειγμα γραμμικού προγραμματισμού και γραφικής επίλυσης του 3 Γραμμικός προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΟ Αλγόριθµος της Simplex
Βήµατα Αλγορίθµου Τα ϐήµατα του αλγορίθµου συνοψίζονται σε ϐήµατα. Βήµατα Αλγορίθµου Τα ϐήµατα του αλγορίθµου συνοψίζονται σε ϐήµατα. Αρχικοποίηση : Επέλεξε έναν αντιστρέψιµο πίνακα B (m m) έτσι ώστε x
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ... 2 1.1.1 Ορισμός και ιδιότητες γραφημάτων... 2 1.1.2 Δέντρα... 7 1.2 ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ... 11 1.2.1 Μήτρα πρόσπτωσης κόμβων τόξων...
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ. 1.1 Εισαγωγή
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ. Εισαγωγή Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι ο πιο εφαρμοσμένος κλάδος της επιστήμης των Μαθηματικών με πληθώρα εφαρμογών στην επιστήμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ασχολείται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 1: Δυϊκή Θεωρία, Οικονομική Ερμηνεία Δυϊκού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 20: Ανάπτυξη Κώδικα σε Matlab για τη δημιουργία τυχαίων βέλτιστων Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 23: Κλασική Ανάλυση Ευαισθησίας, Βασικές Έννοιες Γραφημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραData Envelopment Analysis
Data Envelopment Analysis Η μέθοδος των «Βέλτιστων Προτύπων Αποδοτικότητας», γνωστή στην διεθνή βιβλιογραφία ως «Data Envelopment Analysis», εφαρμόζεται για τον υπολογισμό της σχετικής αποδοτικότητας και
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος Simplex. Χρήστος Γκόγκος. Χειμερινό Εξάμηνο ΤΕΙ Ηπείρου
Η μέθοδος Simplex Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 1 / 17 Η μέθοδος Simplex Simplex Είναι μια καθορισμένη σειρά επαναλαμβανόμενων υπολογισμών μέσω των οποίων ξεκινώντας από ένα αρχικό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜαθηµατικός Προγραµµατισµός είναι κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών που ασχολείται µε την εύρεση άριστης λύσης. ιαφέρει από την κλασική αριστοποίηση στο ότι προσπαθεί να
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ Διπλωματική Εργασία του Πόνου Παύλου Θεσσαλονίκη,
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Μέρος 5ο ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1 Η ΕΝΤΟΛΗ for Με την εντολή for δημιουργούμε βρόχους επανάληψης σε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 15: Κύκλωση Δεσμοί, Κανόνες Περιστροφής Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΈνα ολοκληρωμένο σύστημα για την διδασκαλία του αναθεωρημένου αλγορίθμου simplex A complete training system for teaching revised simplex algorithm
Ένα ολοκληρωμένο σύστημα για την διδασκαλία του αναθεωρημένου αλγορίθμου simplex A complete training system for teaching revised simplex algorithm Λαζαρίδης Βασίλειος, Παπαρρίζος Κωνσταντίνος, Σαμαράς
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον (Εργαστήριο 5) Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ Δημήτρης Βαρσάμης Αριθμητικές Μέθοδοι (E 5) Σεπτέμβριος 2015 1
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014)
Λύσεις θεμάτων Επιχειρησιακής Έρευνας (17/09/2014) Θέμα 1 Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί 3 πρώτες ύλες Α, Β, Γ για να παράγει 2 προϊόντα Π1 και Π2. Για την παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος Α απαιτούνται 1
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΒ. Βασιλειάδης. Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex
Β. Βασιλειάδης Επιχειρησιακή Έρευνα Διάλεξη 5 η -Αλγόριθμος Simplex Περιεχόμενα Ο αλγόριθμος Simplex Βασικά Βήματα Παραδείγματα Συμπεράσματα 1o Bήμα: εξάλειψη των ανισοτήτων Στη μαθηματική διατύπωση του
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση
Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στη MATLAB ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΚΡΙΒΗΣ ΒΟΗΘΟΙ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΣΩΚΡΑΤΗΣ, ΣΚΟΡΔΑ ΕΛΕΝΗ E-MAIL: SDIMITRIADIS@CS.UOI.GR, ESKORDA@CS.UOI.GR Τι είναι Matlab Είναι ένα περιβάλλον
Διαβάστε περισσότεραΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού
Διαβάστε περισσότεραΑντίστροφη & Ιδιάζουσα μήτρα. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Αντίστροφη & Ιδιάζουσα μήτρα Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Γιατί όμως μελετάμε τις μήτρες Συνήθως τα επιστημονικά δεδομένα (παρατηρήσεις, αποτελέσματα πειραμάτων κ.λπ.) οργανώνονται σε γραμμές και σε στήλες,
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση με περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής Διάλεξη 9-10 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραΒασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.
Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 7-8 η /2017 Τι παρουσιάστηκε
Διαβάστε περισσότεραΠαράλληλος προγραμματισμός περιστροφικών αλγορίθμων εξωτερικών σημείων τύπου simplex ΠΛΟΣΚΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
Παράλληλος προγραμματισμός περιστροφικών αλγορίθμων εξωτερικών σημείων τύπου simplex ΠΛΟΣΚΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Διπλωματική Εργασία Μεταπτυχιακού Προγράμματος στην Εφαρμοσμένη Πληροφορική Κατεύθυνση: Συστήματα Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Μεθόδου Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Θεωρία Μεθόδου Simplex Άδεια Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραείναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές
Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΙδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα
Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων
Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο
Διαβάστε περισσότερα(sensitivity analysis, postoptimality analysis).
Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 7 Ανάλυση ευαισθησίας Παραμετρική ανάλυση Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 11 Φεβρουαρίου 2016 Α.
Διαβάστε περισσότεραΤα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον.
ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Τα περισσότερα προβλήματα βελτιστοποίησης είναι με περιορισμούς, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης χωρίς περιορισμούς έχουν γενικό ενδιαφέρον. Μέθοδοι που απαιτούν
Διαβάστε περισσότεραΟΠΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
ΟΠΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Λαζαρίδης Βασίλειος Παπαρρίζος Κωνσταντίνος Σαμαράς Νικόλαος Τμ. Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Εγνατία 56 54006 Θεσσαλονίκη e-mail:
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες
Διαβάστε περισσότεραΒασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Δημήτρης Φωτάκης Προσθήκες (λίγες): Άρης Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)
Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχοντας λύσει ένας πρόβλημα ΓΠ θα πρέπει να αναρωτηθούμε αν η λύση έχει φυσική σημασία. Είναι επίσης πολύ πιθανό να έχουμε χρησιμοποιήσει δεδομένα για τα οποία δεν είμαστε σίγουροι
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης
Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (2) Διανυσματικοί Χώροι
Παραδείγματα () Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v=(,4,6), v=(,,), v=(7,,) b) v=(,4), v=(,), v=(4,) ) v=(,,), v=(5,,), v=(5,,)
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός
Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήµατα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια
Διαβάστε περισσότεραΒασικές αρχές εκπαίδευσης ΤΝΔ: το perceptron. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων
Βασικές αρχές εκπαίδευσης ΤΝΔ: το perceptron Βιολογικός Νευρώνας Δενδρίτες, που αποτελούν τις γραμμές εισόδου των ερεθισμάτων (βιολογικών σημάτων) Σώμα, στο οποίο γίνεται η συσσώρευση των ερεθισμάτων και
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων
Διαβάστε περισσότεραΥλοποίηση Αναθεωρημένου Αλγορίθμου Simplex
Υλοποίηση Αναθεωρημένου Αλγορίθμου Simple Για το γενικό γραμμικό πρόβλημα Αμπατζόγλου Απόστολος Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Ιούνιος 2005 Γενικό γραμμικό πρόβλημα Προβλήματα μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης
Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν
Διαβάστε περισσότεραΔιερεύνηση και Αξιολόγηση Διαφορετικών Κανόνων Περιστροφής για τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex
Μεταπτυχιακή Εργασία Διερεύνηση και Αξιολόγηση Διαφορετικών Κανόνων Περιστροφής για τον Αναθεωρημένο Αλγόριθμο Simplex Παναγιώτης Βουτσκίδης Επιβλέπων Καθηγητής: Νικόλαος Σαμαράς Εξεταστές: Νικόλαος Σαμαράς
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 5: Τεχνικές Κλιμάκωσης, Γεωμετρία Γραμμικού Προβλήματος Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα Μεταφοράς
Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραMatrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου
Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,
Διαβάστε περισσότερα