ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ"

Transcript

1 ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

2 Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες του βιβλίου των Ζώη- Μοσχονά Προγραµµατισµός επιχειρήσεων οικονοµικός και γραµµικός προγραµµατισµός. Όπως αναφέρουµε στη σελίδα 4 το µοντέλο του προβλήµατος µεταφοράς µπορεί να λυθεί µε τη µέθοδο simplex, αλλά επειδή στην πράξη το πρόβληµα µπορεί να γίνει πολύ µεγάλο ως προς τις µεταβλητές και τους περιορισµούς, έχουν αναπτυχθεί ειδικοί αλγόριθµοι επίλυσης για το πρόβληµα µεταφοράς. Οι αλγόριθµοι επίλυσης του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσονται παρακάτω. Αναγκαία για την επίλυση του προβλήµατος είναι η κατασκευή του πίνακα µεταφοράς (σελ.43). Επίλυση προβλήµατος µεταφοράς Παράδειγµα Εστω ότι πρέπει να µεταφερθούν ορισµένες ποσότητες ενός προϊόντος από 3 εργοστάσια σε 4 κέντρα διανοµής. Στον παρακάτω πίνακα µεταφοράς, δίνονται τα µοναδιαία (δηλ. µιας µονάδας προϊόντος) κόστη µεταφοράς cijαπό κάθε εργοστάσιο σε κάθε κέντρο διανοµής σε χρηµατικές µονάδες. Επίσης, δίνεται η προσφορά (π.χ. παραγωγική ικανότητα) του κάθε εργοστασίου και η ζήτηση του κάθε κέντρου διανοµής, σε µονάδες προϊόντος. Να προσδιοριστούν οι ποσότητες x ij του προϊόντος που πρέπει να µεταφερθούν, έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος µεταφοράς, ενώ συγχρόνως να πληρούνται οι περιορισµοί προσφοράς και ζήτησης Προσφορά x 11 x 1 x 13 x 14 Εργοστάσια x 1 x x 3 x x 31 x 3 x 33 x 34 Ζήτηση

3 Συµβολίζουµε µε : x ij τις µεταβλητές που παριστάνουν τις ποσότητες του προϊόντος που θα µεταφερθούν από την i προέλευση (εργοστάσιο) στο j προορισµό (κέντρο διανοµής), και τις οποίες θέλουµε να προσδιορίσουµε. c ij τα µοναδιαία κόστη µεταφοράς από την i προέλευση (εργοστάσιο) στο j προορισµό (κέντρο διανοµής), (στο παράδειγµα c 11 =, c 1 =0, c 13 = 1, c 14 = 17, c 1 = 18,.) α i τις ποσότητες (προϊόντος) προσφοράς της i προέλευσης (ή εργοστάσιου) (στο παράδειγµα α 1 =60, α =70, α 3 =10) b j τις ποσότητες (προϊόντος) ζήτησης του j προορισµού (ή κέντρου διανοµής). (στο παράδειγµα b 1 =40, b =80, b 3 =90, b 4 =40) Ισορροπηµένο λέγεται το πρόβληµα µεταφοράς στο οποίο το άθροισµα προσφοράς = το άθροισµα ζήτησης. Π.χ. στο παραπάνω πρόβληµα = =50. Στην περίπτωση που το πρόβληµα µεταφοράς δεν είναι ισορροπηµένο το µετατρέπουµε σε ισορροπηµένο πρόβληµα µεταφοράς, εισάγοντας εικονικές προελεύσεις ή προορισµούς µε µηδενικά µοναδιαία κόστη µεταφοράς. Σχετικά µε την επίλυση του προβλήµατος µεταφοράς, τα βήµατα του αλγόριθµου µεταφοράς είναι τα εξής : βήµα 1 : Προσδιορίστε µια αρχική βασική εφικτή λύση βήµα : Χρησιµοποιήστε την αρχική βασική εφικτή λύση για την εύρεση της άριστης λύσης. Ι) Βήµα 1 Προσδιορισµός µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης Το µοντέλο του γενικού προβλήµατος µεταφοράς µε m προελεύσεις και n προορισµούς έχει m+n περιορισµούς. Επειδή όµως το πρόβληµα µεταφοράς είτε είναι ή το µετατρέπουµε σε ισορροπηµένο, το µοντέλο έχει m+n-1 (περιορισµούς) ανεξάρτητες περιοριστικές εξισώσεις. Εποµένως µια αρχική βασική εφικτή λύση αποτελείται από m+n-1 βασικές µεταβλητές. Οι υπόλοιπες mn - (m+n-1) µεταβλητές θα είναι ίσες µε µηδέν (δηλαδή, µη βασικές µεταβλητές). 3

4 Στο παραπάνω παράδειγµα µια βασική εφικτή λύση πρέπει να περιέχει =6 βασικές µεταβλητές (x ij >0) και 6 µη βασικές µεταβλητές (x ij =0). Στην περίπτωση που µια ή περισσότερες από τις βασικές µεταβλητές είναι ίσες µε µηδέν, η λύση θεωρείται εκφυλισµένη. Για την εύρεση µιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης υπάρχουν οι εξής µέθοδοι: Ια) Μέθοδος της Βορειο- υτικής γωνίας Ιβ) Μέθοδος του ελαχίστου κόστους Ιγ) Μέθοδος Vogel Ια) Εύρεση αρχικής βασικής εφικτής λύσης µε τη µέθοδο της Βορειο - υτικής γωνίας Με τη µέθοδο αυτή αρχίζουµε µε το κελί της Βορειο- υτικής γωνίας δηλαδή µε τη µεταβλητή x 11 Βήµα1: τοποθετήστε όση ποσότητα επιτρέπεται στη µεταβλητή του κελιού της Βορειο- υτικής γωνίας ανάλογα µε τη προσφορά και τη ζήτηση δηλαδή x ij = min (αντίστοιχης προσφοράς, αντίστοιχης ζήτησης), βρείτε τα υπόλοιπα της προσφοράς και ζήτησης -που αντιστοιχούν στο κελί (i,j)- αφαιρώντας την τοποθετηµένη ποσότητα στη µεταβλητή x ij. Βήµα Η στήλη (ή η γραµµή) της οποίας η ζήτηση (ή η προσφορά) εξαντλείται διαγράφεται. Με άλλα λόγια δεν µπορούµε να τοποθετήσουµε άλλη ποσότητα σε µια µεταβλητή σε αυτή τη γραµµή ή στήλη. Εάν µια γραµµή ή µια στήλη εξαντλούνται ταυτοχρόνως µόνο µια διαγράφεται και στην άλλη τοποθετούµε µηδέν προσφορά ή ζήτηση. Βήµα 3 Η διαδικασία επαναλαµβάνεται έως ότου µείνει µόνο µια γραµµή ή στήλη χωρίς να διαγραφεί. ιαφορετικά πηγαίνετε στο κελί προς τα δεξιά εάν µόλις µια στήλη έχει διαγραφεί ή στο κελί µιας γραµµής παρακάτω εάν µια γραµµή έχει διαγραφεί. Πηγαίνετε στο βήµα1. Στο παραπάνω παράδειγµα 1 (σελ.) Η αρχική βασική εφικτή λύση µε τη µέθοδο της Β- γωνίας θα είναι η εξής: τοποθετούµε στη µεταβλητή της Β γωνίας δηλαδή στη x 11 = min(60, 40)=40 µονάδες, οπότε εξαντλείται η ζήτηση του 1ου κέντρου διανοµής, δηλαδή 4

5 διαγράφεται η 1η στήλη. Το υπόλοιπο προσφοράς στη 1η γραµµή είναι 60-40=0 µονάδες. Οι παραπάνω ενέργειες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Προσφορά x 11 =40 0 Εργοστάσια Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Το επόµενο κελί Β- γωνίας (µετά τη διαγραφή της 1ης στήλης) είναι το (1,) δηλαδή κελί που αντιστοιχεί στη 1 γραµµή και στη στήλη. Τοποθετούµε x 1 = min(0, 80)=0, εξαντλείται η προσφορά της 1ης γραµµής και εποµένως διαγράφεται η 1 γραµµή και αφήνει υπόλοιπο ζήτησης 60 µονάδων στη στήλη. Οι παραπάνω ενέργειες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 3 4 Προσφορά x 1 =0 Εργοστάσια Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Το επόµενο κελί Β γωνίας είναι το (,). Τοποθετούµε x = min(70, 60)=60, διαγράφεται η η στήλη και αφήνει υπόλοιπο προσφοράς 10 µονάδων στη η γραµµή. Οι παραπάνω ενέργειες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 5

6 3 4 Προσφορά Εργοστάσια x = Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται, x 3 = min(10, 90)=10, διαγράφεται η η γραµµή και µένει υπόλοιπο ζήτησης 80 µονάδων στη 3η στήλη. 3 4 Προσφορά Εργοστάσια x 3 = Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται, x 33 = min(10, 80)=80 διαγράφεται η 3η στήλη και αφήνει υπόλοιπο προσφοράς της 3ης γραµµής 40 µονάδες. 3 4 Προσφορά x 33 = 80 Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Τοποθετούµε στο κελί (3,4) τη υπόλοιπη ποσότητα γραµµή 3 ή τη στήλη 4. x 34 = 40 που διαγράφει τη 6

7 4 Προσφορά x 34 = 40 Ζήτηση 40 Εφόσον µια γραµµή ή στήλη δεν διαγράφηκε η διαδικασία σταµατά. Εποµένως η αρχική βασική εφικτή λύση (µε τη µέθοδο της Β- γωνίας) αποτελείται από τις εξής 6 βασικές µεταβλητές x 11 =40, x 1 =0, x =60, x 3 =10, x 33 =80, x 34 = 40 οι οποίες δίνουν συνολικό κόστος *40+0*0+15*60+5*10+30*80+10*40= 530 χρηµ µονάδες Οι υπόλοιπες µεταβλητές είναι µη βασικές δηλ. ίσες µε µηδέν. Η αρχική βασική εφικτή λύση φαίνεται στον παρακάτω πίνακα Προσφορά x 11 =40 x 1 =0 Εργοστάσια x =60 x 3 = x 33 =80 x 34 =40 Ζήτηση β) Εύρεση αρχικής βασικής εφικτής λύσης - µέθοδος του ελαχίστου κόστους Τοποθετούµε τη µέγιστη επιτρεπόµενη ποσότητα στη µεταβλητή που αντιστοιχεί στο κελί µε το ελάχιστο κόστος, διαγράφουµε τη στήλη ή τη γραµµή της οποίας η ζήτηση (ή η προσφορά) εξαντλείται και τροποποιούµε την αντίστοιχη προσφορά και ζήτηση (αφαιρώντας τη ποσότητα που έχουµε θέσει στη µεταβλητή). Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία µέχρι να µείνει µόνο µια γραµµή ή στήλη χωρίς να διαγραφεί. 7

8 1γ) Εύρεση αρχικής βασικής εφικτής λύσης µε τη Μέθοδο Vogel Τα βήµατα της µεθόδου Vogel είναι : Βήµα 1 Για κάθε γραµµή και (κάθε στήλη) µε αυστηρά θετική προσφορά (ζήτηση) υπολογίσετε τις διαφορές αφαιρώντας το ελάχιστο µοναδιαίο κόστος της κάθε γραµµής ( στήλης) από το αµέσως επόµενο ελάχιστο µοναδιαίο κόστος της ίδιας γραµµής (στήλης). Βήµα Επιλέξτε τη γραµµή ή στήλη µε τη µεγαλύτερη διαφορά και στο κελί (της επιλεγµένης γραµµής ή στήλης) µε το µικρότερο κόστος τοποθετείστε τη µέγιστη επιτρεπόµενη ποσότητα (δηλαδή το ελάχιστο της αντίστοιχης προσφοράς και ζήτησης) στην αντίστοιχη µεταβλητή. Βρείτε τα υπόλοιπα της προσφοράς και ζήτησης και διαγράψτε τη γραµµή ή στήλη της οποίας η προσφορά ή η ζήτηση εξαντλείται. Εάν µια γραµµή ή στήλη εξαντλούνται ταυτοχρόνως µόνο µια διαγράφεται και στην άλλη τοποθετούµε µηδέν προσφορά ή ζήτηση. Οποιαδήποτε γραµµή ή στήλη µε «τοποθετηµένο µηδέν» στην προσφορά ή ζήτηση δεν χρησιµοποιείται στον υπολογισµό των µελλοντικών διαφορών. Χρησιµοποιούµε στο τέλος τα «τοποθετηµένα µηδέν» ως λύσεις στις βασικές µεταβλητές (εκφυλισµένη λύση) ώστε να έχουµε m +n 1 βασικές µεταβλητές. Βήµα 3 (α) Εάν ακριβώς µια γραµµή ή στήλη δεν έχει διαγραφεί σταµατήστε. (β) Εάν µόνο µια γραµµή (στήλη) µε θετική προσφορά (ή ζήτηση) δεν έχει διαγραφεί, καθορίστε τις βασικές µεταβλητές στη γραµµή (στήλη) µε τη µέθοδο του ελαχίστου κόστους. (γ) Εάν όλες οι µη διαγραµµένες γραµµές και στήλες έχουν «τοποθετηµένα µηδέν» στην προσφορά ή ζήτηση, καθορίστε τις βασικές µεταβλητές ίσες µε µηδέν στα κελιά µε τη µέθοδο του ελάχιστου κόστους. Σταµατήστε. ιαφορετικά πηγαίνετε στο βήµα 1 (δηλαδή ξανα-υπολογίστε τις διαφορές για τις µη διαγραµµένες γραµµές και στήλες κ.ο.κ.). Προσέξτε να µην υπολογίσετε διαφορές στις γραµµές ή στήλες στις οποίες έχουµε «τοποθετηµένο µηδέν» στην προσφορά και ζήτηση. 8

9 Στο παραπάνω παράδειγµα Προσ φορά ιαφορές =3 Εργ/σια = = x 31 =40 80 Ζήτηση ιαφορέ 18-1=6 0-15=5 5-1= =4 Συγκρίνουµε τις διαφορές των γραµµών και των στηλών και παρατηρούµε ότι στη στήλη 1 παρουσιάζεται η µεγαλύτερη διαφορά 6. Άρα επιλέγουµε στη 1η στήλη το κελί µε το ελάχιστο κόστος δηλ. το κελί (3,1) που έχει κόστος 1. Τοποθετώ τη µέγιστη επιτρεπόµενη ποσότητα στη µεταβλητή x 31 = min(αντίστοιχης προσφοράς, αντίστοιχης ζήτησης)= min(10, 40) =40. Η ζήτηση της στήλης 1 εξαντλείται, δηλαδή η στήλη 1 διαγράφεται, και µένει υπόλοιπο προσφοράς 80 µονάδες στη γραµµή 3. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται 3 4 Προσφορά ιαφορές =3 Εργ/σια = x 34 = =14 Ζήτηση ιαφορές 0-15=5 5-1= =4 9

10 Στον παραπάνω πίνακα υπολογίζουµε πάλι διαφορές. Επιλέγουµε τη γραµµή 3 διότι παρουσιάζει τη µεγαλύτερη διαφορά 14 και τοποθετούµε στο κελί µε το µικρότερο κόστος της γραµµής 3, δηλαδή στο κελί (3,4) στη µεταβλητή x 34 =min(80, 40) =40 που διαγράφει τη στήλη 4 γιατί η ζήτησή της εξαντλείται και αφήνει υπόλοιπο προσφοράς στη 3η γραµµή 40 µονάδες. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. 3 Προσφορά ιαφορές =1 Εργ/σια =10 x = =6 Ζήτηση ιαφορές 0-15=5 5-1=4 Επιλέγουµε τη γραµµή διότι παρουσιάζει τη µεγαλύτερη διαφορά 10 και τοποθετούµε στο κελί µε το µικρότερο κόστος της γραµµής, δηλαδή στο κελί (,) στη µεταβλητή x =min(70, 80) =70 που διαγράφει τη γραµµή γιατί η προσφορά της εξαντλείται και αφήνει υπόλοιπο ζήτησης στη η στήλη 10 µονάδες. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. 3 Προσφορά ιαφορές =1 x 13 = =6 Ζήτηση ιαφορές 4-0=4 30-1=9 10

11 Η µεγαλύτερη διαφορά βρίσκεται στην 3η στήλη. Επιλέγουµε τη στήλη 3 διότι παρουσιάζει τη µεγαλύτερη διαφορά 9 και τοποθετούµε στο κελί µε το µικρότερο κόστος της στήλης 3, δηλαδή στο κελί (1,3) στη µεταβλητή x 13 =min(60, 90) =60 που διαγράφει τη γραµµή 1 γιατί η προσφορά της εξαντλήθηκε και µένει υπόλοιπο ζήτησης 30 µονάδες στη στήλη 3. Στον πίνακα που απέµεινε (χωρίς την πρώτη γραµµή) παρατηρούµε ότι µόνο µια γραµµή µε θετική προσφορά δεν έχει διαγραφεί, έτσι καθορίζουµε τις βασικές µεταβλητές στη γραµµή 3 µε τη µέθοδο του ελαχίστου κόστους. ηλαδή στη γραµµή 3 το κελί µε το µικρότερο κόστος είναι το (3,) και τοποθετούµε στη µεταβλητή x 3 =10. Έτσι διαγράφεται η στήλη γιατί εξαντλήθηκε η ζήτηση της και µένει υπόλοιπο προσφοράς 30 µονάδες στη γραµµή 3. 3 Προσφορά 3 4 x 3 = Ζήτηση Στον πίνακα που απέµεινε µετά τη διαγραφή της ης στήλης, στο κελί (3,3) θέτουµε x 33 =30 και σταµατάµε. 3 Προσφορά Εργοστάσιο x 33 =30 Ζήτηση 30 Εποµένως η αρχική βασική εφικτή λύση µε τη µέθοδο Vogel (φαίνεται και στον παρακάτω πίνακα) είναι: x 13 =60, x =70, x 31 =40, x 3 =10, x 33 =30, x 34 =40. µε συνολικό κόστος: = 4330 Οι υπόλοιπες µεταβλητές είναι µη βασικές. 11

12 1 3 4 Προσφορά x 13 =60 Εργοστάσια x = x 31 =40 x 3 =10 x 33 =30 x 34 =40 Ζήτηση ΙΙ) βήµα : Εύρεση της άριστης λύσης Για την εύρεση της άριστης λύσης υπάρχουν οι εξής µέθοδοι: ΙΙα) Μέθοδος Charmes ΙΙβ) Μέθοδος MODI Θα αναπτύξουµε τη Μέθοδο MODI η οποία αποτελείται από τα εξής βήµατα 1) Σε κάθε βασική µεταβλητή της αρχικής εφικτής λύσης x ij συνδέουµε τους πολλαπλασιαστές u i και v j µε τη γραµµή i και τη στήλη j, έτσι ώστε το µοναδιαίο κόστος µεταφοράς για κάθε βασική µεταβλητή να είναι c ij = u i + v j Βρίσκουµε τις τιµές των πολλαπλασιαστών u i και v j στο σύστηµα που προκύπτει θέτοντας u 1 =0 (επειδή έχουµε m+n µεταβλητές και m+n-1 εξισώσεις). ) Μετά για κάθε µη βασική µεταβλητή υπολογίζουµε τις ποσότητες c ij - u i - v j Η συνθήκη αριστότητας είναι Εάν οι ποσότητες c ij - u i - v j >=0 για κάθε µη βασική µεταβλητή x ij τότε η βασική εφικτή λύση είναι άριστη. Η συνθήκη εφικτότητας είναι: Εάν οι ποσότητες c ij - u i - v j δεν είναι µη αρνητικές για κάθε µη βασική µεταβλητή x ij τότε επιλέγουµε ως εισερχόµενη µεταβλητή τη µη βασική µεταβλητή 1

13 µε την πιο µικρή αρνητική τιµή c ij - u i - v j (ή µεγαλύτερη σε απόλυτο τιµή από τις αρνητικές τιµές ). Για την επιλογή της εξερχόµενης µεταβλητής κατασκευάζουµε ένα βρόχο (δηλαδή κλειστό κύκλο αποτελούµενο από διαδοχικά οριζόντια και κάθετα ευθύγραµµα τµήµατα των οποίων τα ακραία σηµεία είναι βασικές µεταβλητές εκτός από το τελευταίο που συνδέεται µε την εισερχόµενη µεταβλητή) για τη νέα εισερχόµενη µεταβλητή. Αυξάνουµε και µειώνουµε τις τιµές των βασικών µεταβλητών του κύκλου ανάλογα µε τη προσφορά και τη ζήτηση. Εξερχόµενη µεταβλητή θα είναι εκείνη µε τη µικρότερη τιµή από αυτές που µειώνονται. Στο παραπάνω παράδειγµα Θα χρησιµοποιήσουµε ως αρχική βασική εφικτή λύση αυτή που βρήκαµε µε τη µέθοδο Vogel. (σελ. 11, 1) Για τις βασικές µεταβλητές της αρχικής λύσης βρίσκω τις τιµές των πολλαπλασιαστών από το σύστηµα c ij = u i + v j δηλαδή Για τη βασική µεταβλητή x 13 θα ισχύει c 13 = u 1 + v 3 ή 1= u 1 + v 3, οµοίως Για τη µεταβλητή x θα ισχύει c = u + v ή 15= u + v Για τη µεταβλητή x 31 θα ισχύει c 31 = u 3 + v 1 ή 1= u 3 + v 1 Για τη µεταβλητή x 3 θα ισχύει c 3 = u 3 + v ή 4= u 3 + v Για τη µεταβλητή x 33 θα ισχύει c 33 = u 3 + v 3 ή 30= u 3 + v 3 Για τη µεταβλητή x 34 θα ισχύει c 34 = u 3 + v 4 ή 10= u 3 + v 4 Βρίσκουµε τις τιµές των πολλαπλασιαστών. Επειδή οι πολλαπλασιαστές είναι 7 (δηλαδή u i µε i=1,.,3 και v j µε j=1,,3,4) και οι εξισώσεις 6, θέτουµε u 1 =0 13

14 Λύνουµε το παραπάνω σύστηµα ως προς u i και v j και βρίσκουµε τους πολλαπλασιαστές u i και v j u =0, u 3 =9, v 1 = 3, v = 15, v 3 = 1, v 4 =1 Για τις µη βασικές µεταβλητές δηµιουργούµε τις διαφορές c ij - u i - v j : Αναλυτικά: Για τη µη βασική µεταβλητή x 11 θα ισχύει c 11 - u 1 - v 1 = - 0-3= 19 οµοίως Για τη µεταβλητή x 1 θα ισχύει c 1 - u 1 - v = = 5 Για τη µεταβλητή x 14 θα ισχύει c 14 - u 1 - v 4 = =16 Για τη µεταβλητή x 1 θα ισχύει c 1 - u - v 1 = = 15 Για τη µεταβλητή x 3 θα ισχύει c 3 - u - v 3 = = 4 Για τη µεταβλητή x 4 θα ισχύει c 4 - u - v 4 = = 13 Εφόσον οι ποσότητες c ij - u i - v j για κάθε µη βασική µεταβλητή είναι >=0 η αρχική βασική εφικτή λύση που βρήκαµε µε τη µέθοδο Vogel είναι η άριστη Παράδειγµα Έστω ότι πρέπει να µεταφερθούν ορισµένες ποσότητες ενός προϊόντος από 3 εργοστάσια σε 4 κέντρα διανοµής. Στον παρακάτω πίνακα µεταφοράς, να προσδιοριστούν οι ποσότητες x ij που πρέπει να µεταφερθούν έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος µεταφοράς ενώ συγχρόνως να πληρούνται οι περιορισµοί προσφοράς και ζήτησης Προσφορά x 11 x 1 x 13 x 14 Εργοστάσια x 1 x x 3 x x 31 x 3 x 33 x 34 Ζήτηση Το πρόβληµα είναι ισορροπηµένο Π.χ = =45. 14

15 Εύρεση αρχικής βασικής εφικτής λύσης µε τη µέθοδο της Βορειο - υτικής γωνίας Μια αρχική βασική εφικτή λύση θα έχει =6 βασικές µεταβλητές (δηλαδή διαφορετικές του µηδέν) και τις υπόλοιπες µεταβλητές µη βασικές (δηλ. ίσες µε µηδέν). Η αρχική βασική εφικτή λύση µε τη µέθοδο της Β- γωνίας θα είναι η εξής: τοποθετούµε στη µεταβλητή της Β γωνίας δηλαδή στη x 11 = min(15,5)=5 µονάδες, οπότε εξαντλείται η προσφορά του 1ου κέντρου διανοµής, δηλαδή διαγράφεται η 1η στήλη. Το υπόλοιπο προσφοράς στη 1η γραµµή είναι 15-5 =10 µονάδες. Οι παραπάνω ενέργειες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα Προσφορά x 11 =5 Εργοστάσια Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Το επόµενο κελί Β- γωνίας (µετά τη διαγραφή της 1ης στήλης) είναι το (1,) δηλαδή κελί που αντιστοιχεί στη 1 γραµµή και στη στήλη. Τοποθετούµε x 1 = min(10,15)=10, εξαντλείται η προσφορά της 1ης γραµµής και εποµένως διαγράφεται η 1 γραµµή και αφήνει υπόλοιπο 5 µονάδων στη στήλη. 3 4 Προσφορά x 1 =10 Εργοστάσια Ζήτηση

16 Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Το επόµενο κελί Β γωνίας είναι το (,). Τοποθετούµε x = min(5,5)=5 διαγράφεται η η στήλη και αφήνει υπόλοιπο 0 µονάδων στη η γραµµή. 3 4 Προσφορά Εργοστάσια x = Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. x 3 = min(0,15)=15, διαγράφεται η 3η στήλη και υπόλοιπο προσφοράς 5 µονάδων στη η γραµµή. 3 4 Προσφορά Εργοστάσια x 3 = Ζήτηση Η διαδικασία επαναλαµβάνεται x 4 = min(5,10)=5 διαγράφεται η η γραµµή και αφήνει υπόλοιπο ζήτησης της 4ης στήλης 5 µονάδες. 4 Προσφορά Εργοστάσια 0 5 x 4 = Ζήτηση

17 Η διαδικασία επαναλαµβάνεται. Τοποθετούµε στο κελί (3,4) τη υπόλοιπη ποσότητα x 34 = 5 που διαγράφει τη γραµµή 3 ή τη στήλη 4 4 Προσφορά x 34 = 5 Ζήτηση 5 Εφόσον µια γραµµή ή στήλη δεν διαγράφηκε η διαδικασία σταµατά. Εποµένως η αρχική βασική εφικτή λύση (µε τη µέθοδο της Β- γωνίας) αποτελείται από τις εξής 6 βασικές µεταβλητές x 11 =5, x 1 =10, x =5, x 3 =15, x 4 =5 x 34 = 5 οι οποίες δίνουν συνολικό κόστος 5*10+10*0+5*7+15*9+5*0+5*18=410 χρηµ µονάδες Οι υπόλοιπες µεταβλητές είναι µη βασικές δηλ. ίσες µε µηδέν. Εύρεση αρχικής βασικής εφικτής λύσης µε τη Μέθοδο Vogel του πρδ.. (σελ.14) Στη γραµµή 3 παρουσιάζεται η µεγαλύτερη διαφορά 14. Άρα επιλέγουµε στη 3η γραµµή το κελί µε το ελάχιστο κόστος δηλ. το κελί (3,1) που έχει κόστος 0. Τοποθετώ τη µέγιστη επιτρεπόµενη ποσότητα στη µεταβλητή x 31 = min(αντίστοιχης προσφοράς, αντίστοιχης ζήτησης)= min(5,5) =5. Η γραµµή 3 και η στήλη 1 εξαντλούνται ταυτοχρόνως, έστω ότι επιλέγουµε να διαγράψουµε τη στήλη 1. Στο υπόλοιπο προσφοράς της γραµµής 3 τοποθετούµε µηδέν και δεν χρησιµοποιούµε τη γραµµή 3 για µελλοντικές διαφορές. Οι παραπάνω ενέργειες φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: 17

18 1 3 4 Προσ φορά ιαφορές =10 Εργο στάσια 5 9-7= x 31 = =14 Ζήτηση ιαφορές 10-0=10 7-0=7 16-9= =7 Η διαδικασία επαναλαµβάνεται Στον παρακάτω πίνακα υπολογίζουµε πάλι διαφορές. Παρατηρείτε ότι στη τρίτη γραµµή που είχε µηδέν προσφορά δεν υπολογίζουµε διαφορές. Ακόµη παρατηρούµε ότι η γραµµή 1 και η στήλη 3 παρουσιάζουν την ίδια µεγαλύτερη διαφορά. Επιλέγουµε αυθαίρετα τη στήλη 3 και τοποθετούµε στη µεταβλητή x 3 =min(5, 15) =15 που διαγράφει τη στήλη 3 και αφήνει υπόλοιπο προσφοράς στη η γραµµή 10 µονάδες 3 4 Προσφορά ιαφορές =11 Εργοστάσια x 3 = = Ζήτηση ιαφορές 7-0=7 0-9= =9 Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία θα πάρουµε x =10 διαγράφοντας τη η γραµµή 18

19 4 Προσφορά ιαφορές =11 Εργοστάσια 7 0 x = = Ζήτηση ιαφορές 7-0=7 0-11=9 Η γραµµή 3 δεν χρησιµοποιείται για διαφορές,(δηλαδή δεν βρίσκουµε άλλες διαφορές) εποµένως µε τη µέθοδο του ελαχίστου κόστους (βήµα 3β) βρίσκουµε x 1 =5 διαγράφοντας τη η στήλη 4 Προσφορά x 1 = Ζήτηση 5 10 Μετά τοποθετούµε x 14 =10 διαγράφοντας τη 1η γραµµή και θέτοντας µηδέν στη ζήτηση της 4ης στήλης 4 Προσφορά x 14 = Ζήτηση

20 Μόνο η τρίτη γραµµή ή η τέταρτη στήλη µε τοποθετηµένη µηδενική προσφορά και ζήτηση έχουν παραµείνει και θέτουµε x 34 =0 4 Προσφορά Εργοστάσιο x 34 =0 Ζήτηση 0 Ετσι η αρχική βασική εφικτή λύση µε τη µέθοδο Vogel είναι Προσφορά x 1 =5 x 14 =10 Εργοστάσια x =10 x 3 = x 31 =5 x 34 =0 Ζήτηση ηλαδή η αρχική βασική εφικτή λύση είναι x 1 =5, x 14 =10, x =10, x 3 =15, x 31 =5, x 34 =0 Όλες οι άλλες µεταβλητές είναι µη βασικές άρα ίσες µε µηδέν Η λύση αυτή δίνει συνολικό κόστος 5*0 +10*11+ 10*7 + 15*9 + 5 *0 + 0*18 =315 χρηµ µονάδες. Παρατηρείτε ότι η αρχική βασική εφικτή λύση µε τη µέθοδο Vogel είναι καλύτερη δηλαδή δίνει µικρότερο συνολικό κόστος σε σύγκριση µε τη µέθοδο της Β- γωνίας και αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι λαµβάνει υπόψιν της τα µοναδιαία κόστη. 0

21 Εύρεση της άριστης λύσης Μέθοδος MODI Θα χρησιµοποιήσουµε ως αρχική βασική εφικτή λύση αυτή που βρήκαµε µε τη µέθοδο Vogel. Για τις βασικές µεταβλητές της αρχικής λύσης βρίσκω τις τιµές των πολλαπλασιαστών από το σύστηµα c ij = u i + v j δηλαδή Για τη βασική µεταβλητή x 1 θα ισχύει c 1 = u 1 + v ή 0= u 1 + v, οµοίως Για τη µεταβλητή x 14 θα ισχύει c 14 = u 1 + v 4 ή 11= u 1 + v 4 Για τη µεταβλητή x θα ισχύει c = u + v ή 7= u + v Για τη µεταβλητή x 3 θα ισχύει c 3 = u + v 3 ή 9= u + v 3 Για τη µεταβλητή x 31 θα ισχύει c 31 = u 3 + v 1 ή 0= u 3 + v 1 Για τη µεταβλητή x 34 θα ισχύει c 34 = u 3 + v 4 ή 18= u 3 + v 4 Βρίσκουµε τις τιµές των πολλαπλασιαστών. Επειδή οι πολλαπλασιαστές είναι 7 (δηλαδή u i µε i=1,.,3 και v j µε j=1,,3,4) και οι εξισώσεις 6, θέτουµε u 1 =0 Λύνουµε το παραπάνω σύστηµα ως προς u i και v j και βρίσκουµε τους πολλαπλασιαστές u i και v j u =7, u 3 =7, v 1 = -7, v = 0, v 3 =, v 4 =11 Για τις µη βασικές µεταβλητές δηµιουργώ τις διαφορές c ij - u i - v j : Αναλυτικά: Για τη µη βασική µεταβλητή x 11 θα ισχύει c 11 - u 1 - v 1 = (-7)= 17 οµοίως Για τη µεταβλητή x 13 θα ισχύει c 13 - u 1 - v 3 = = 18 Για τη µεταβλητή x 1 θα ισχύει c 1 - u - v 1 = (-7)= 1 Για τη µεταβλητή x 4 θα ισχύει c 4 - u - v 4 = = Για τη µεταβλητή x 3 θα ισχύει c 3 - u 3 - v = =7 Για τη µεταβλητή x 33 θα ισχύει c 33 - u 3 - v 3 = =7 Εφόσον οι ποσότητες c ij - u i - v j για κάθε µη βασική µεταβλητή είναι >=0 η αρχική βασική εφικτή λύση που βρήκαµε µε τη µέθοδο Vogel είναι η άριστη Παρατήρηση Εάν στην εύρεση της αρχικής λύσης µε τη µέθοδο Vogel στο σηµείο που η γραµµή 1 και η στήλη 3 παρουσίαζαν την ίδια µεγαλύτερη διαφορά 11 (ος πίνακας) αντί να επιλέξουµε τη στήλη 3 επιλέγαµε τη γραµµή 1 και συνεχίζαµε τότε η αρχική βασική εφικτή λύση θα ήταν... x 1 =15, x 14 =0, x 3 =15, x 4 =10, x 31 =5, x 34 =0 1

22 Στην περίπτωση αυτή οι πολλαπλασιαστές u i και v j θα ήταν u 1 =0 u =9, u 3 =7, v 1 = -7, v = 0, v 3 = 0, v 4 =11 και για τις µη βασικές µεταβλητές οι ποσότητες c ij - u i - v j θα ήταν : c 11 - u 1 - v 1 =17, c 13 - u 1 - v 3 =0, c 1 - u - v 1 =10, c - u - v = -, c 3 - u 3 - v = 7, c 33 - u 3 - v 3 =9 Επειδή οι ποσότητες c ij - u i - v j δεν είναι >=0 (παρατηρούµε c - u - v = -) η αρχική βασική εφικτή λύση δεν είναι άριστη οπότε πηγαίνουµε στη συνθήκη εφικτότητας δηλαδή: Στον πίνακα κόστους (στον παρακάτω πίνακα) γράφουµε την αρχική βασική εφικτή λύση επιλέγουµε ως εισερχόµενη µεταβλητή τη µη βασική µεταβλητή µε την πιο µικρή αρνητική τιµή c ij - u i - v j δηλαδή την x Προσφορά x 1 =15 Εργοστάσια 3 0 x 31 = x x 14 = x 3 =15 x 4 = x 34 =0 Ζήτηση Επιλέγουµε ως εισερχόµενη µεταβλητή τη x και δηµιουργούµε το βρόχο µε βασικές µεταβλητές τις x 1, x 14, x 4

23 Εάν η x αυξηθεί από το µηδενικό επίπεδο τότε αντίστοιχα οι x 1 =15 και x 4 =10 θα µειωθούν ενώ η x 14 =0 θα αυξηθεί. Αρα εξερχόµενη µεταβλητή θα είναι εκείνη µε τη µικρότερη τιµή από αυτές που µειώνονται δηλαδή η x 4 Εφόσον η x 4 εξέρχεται δηλαδή από βασική (=10) θα γίνει µη βασική (δηλαδή =0) αναπροσαρµόζουµε τις τιµές των βασικών µεταβλητών των άκρων του βρόγχου βάσει της ποσότητας 10 (λύση της εξερχόµενης µεταβλητής x 4 ) δηλαδή Αυξάνεται η x κατά 10 δηλαδή x =10, Μειώνεται η x 1 κατά 10 δηλαδή x 1 =5, Αυξάνεται η x 14 κατά 10 δηλαδή x 14 =10 Αρα η νέα βασική εφικτή λύση θα είναι x 1 =5, x 14 =10, x 3 =15, x =10, x 31 =5, x 34 =0 και επαναλαµβάνουµε το κριτήριο της αριστότητας για να ελέγξουµε εάν είναι άριστη η παραπάνω λύση 3

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) Η διαµόρφωση και το µοντέλο του προβλήµατος ανάθεσης (π.χ. εργασιών σε µηχανές ή δραστηριοτήτων σε άτοµα) περιγράφεται στις

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Πρόβλημα Μεταφοράς. Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Πρόβλημα Μεταφοράς Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς Μαθηματική Διατύπωση Εύρεση Αρχικής Λύσης Προσδιορισμός Βέλτιστης Λύσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΠΑΝΤΑΙΔΑΚΗΣ ΜΙΧΑΗΛ Α.Μ 8342 ΕΞΑΜΗΝΟ :ΠΤΘ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΜΕΡΙΣΜΟΥ ΠΤΥΧΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών

ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Το Πρόβληµα Μεταφοράς Άλλες µέθοδοι επιλογής τοποθεσίας Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Ορισµός του προβλήµατος µεταφοράς συσχέτιση µε πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ Η αρχική τους εφαρµογή, όπως δηλώνει και η ονοµασία τους, αφορούσε τον καθορισµό του βέλτιστου τρόπου µεταφοράς αγαθών από διαφορετικά σηµεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης (π.χ.,

Διαβάστε περισσότερα

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι

Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι Η µέθοδος Vogel Μιατρίτη µέθοδος προσδιορισµού αρχικής λύσης σε προβλήµατα µεταφοράς είναι η µέθοδος Vogel Η προσεγγιστική µέθοδος Vogelείναι µια πιο πολύπλοκη µέθοδος σε σχέση µε τις προηγούµενες, αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Προσφορά Τροποποιηµένος πίνακας, όπου προσφορά ίση µε τη ζήτηση µε την προσθήκη εικονικού προορισµού *

Προσφορά Τροποποιηµένος πίνακας, όπου προσφορά ίση µε τη ζήτηση µε την προσθήκη εικονικού προορισµού * ΚΕΦ.8 ΕΙ ΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ιδιαίτερη κατηγορία των προβληµάτων ΓΠ είναι τα προβλήµατα δικτυακής ροής. Σε αυτά ανήκουν τα προβλήµατα µεταφοράς και εκχώρησης. 8. Πρόβληµα µεταφοράς Σε m πηγές (κέντρα προσφοράς)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής αναγνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex:

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex: http://usrs.uo.gr/~acg 1 UΜετάβαση από τον ΓΠ στη Θεωρία ικτύων UΤο πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation probl) UΗ «Μακεδονική Εταιρεία Αναψυκτικών Α.Ε.» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας κατανάλωσης Το προϊόν

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 4: Το Πρόβλημα Ανάθεσης Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex:

Η άριστη λύση με τη μέθοδο simplex: http://usrs.uo.gr/~acg 1 UΜετάβαση από τον Γραμμικό Προγραμματισμό στη Θεωρία Δικτύων UΤο πρόβλημα Μεταφοράς (Transportation probl) UΗ «Μακεδονική Εταιρεία Αναψυκτικών Α.Ε.» Παράγει ένα αναψυκτικό ευρείας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής

Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κεφάλαιο 4: Επιλογή σημείου παραγωγής Κ4.1 Μέθοδος ανάλυσης νεκρού σημείου για την επιλογή διαδικασίας παραγωγής ή σημείου παραγωγής Επιλογή διαδικασίας παραγωγής Η μέθοδος ανάλυσης νεκρού για την επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση

Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n

Διαβάστε περισσότερα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα

Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Παραλλαγές του Προβλήματος Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφόρτωσης και το Πρόβλημα Αναθέσεων Γεωργία Φουτσιτζή ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα To Πρόβλημα Μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΡΣΕΦΟΝΗ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΔΟΥ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x)

όπου είναι γνήσια. ρητή συνάρτηση (δηλαδή ο βαθµός του πολυωνύµου υ ( x) ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουµε την ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων, δηλαδή συναρτήσεων της µορφής p f ( ( q(, όπου p( και q ( είναι πολυώνυµα µιας µεταβλητής του µε συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ Ενότητα 8: Μοντέλα χωροθέτησης και ανάθεσης δυναμικότητας - Μέρος ΙΙ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΒΔΟΜΟ: Το Πρόβλημα της μεταφοράς και οι μέθοδοι επίλυσης του. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΒΔΟΜΟ: Το Πρόβλημα της μεταφοράς και οι μέθοδοι επίλυσης του. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΒΔΟΜΟ: Το Πρόβλημα της μεταφοράς και οι μέθοδοι επίλυσης του. Εφαρμογές χρησιμοποιώντας το R Σύνοψη Το πρόβλημα της μεταφοράς αποτελεί μια ειδική κατηγορία προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων

ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ. Ι. Προσδιοριστικά Μοντέλα αποθεµάτων ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ Οι αποφάσεις σχετικά µε την διαχείριση ή «πολιτική» των αποθεµάτων που πρέπει να πάρει κάποιος, ασχολείται µε το «πόσο» πρέπει να παραγγείλει (ή να παράγει) και «πότε» να παραγγείλει

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017html Παρασκευή 20 Οκτωβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΣ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΣ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΣ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ρ. Α. Μαγουλάς Οκτώβριος 4 Παράδειγµα ίδεται το ακόλουθο δίκτυο: E Είσοδος:

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

ιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Εφοδιαστική Αλυσίδα (ΕΡΓ.)

Διαβάστε περισσότερα

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI)

Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Η Μέθοδος Αναθεωρηµένης Εκχώρησης (MODI) Ηµέθοδος MODIεπιτρέπει τον υπολογισµό των οριακών µεταβολών στο συνολικό κόστος µεταφοράς για κάθε µη επιλεγείσα διαδροµή µε αλγεβρικό τρόπο, χωρίς τη διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων. 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ http://www.economics.edu.gr 1 ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΑ ( τρόποι επίλυσης παρατηρήσεις σχόλια ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω ο πίνακας παραγωγικών δυνατοτήτων µιας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ

ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: ΙΑΛΥΜΑΤΑ Οι ασκήσεις διαλυµάτων που αφορούν τις περιεκτικότητες % w/w, % w/v και % v/v χωρίζονται σε 3 κατηγορίες: α) Ασκήσεις όπου πρέπει να βρούµε ή να µετατρέψουµε διάφορες περιεκτικότητες.

Διαβάστε περισσότερα

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Η μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai8/lai8html Παρασκευή 6 Οκτωβρίου 8 Υπενθυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης

Πρόβλημα Μεταφοράς. Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Πρόβλημα Μεταφοράς Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. ίνεται το γνωστό πρόβληµα των δύο δοχείων: «Υπάρχουν δύο δοχεία

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ο Αλγόριθµος της Simplex

Ο Αλγόριθµος της Simplex Βήµατα Αλγορίθµου Τα ϐήµατα του αλγορίθµου συνοψίζονται σε ϐήµατα. Βήµατα Αλγορίθµου Τα ϐήµατα του αλγορίθµου συνοψίζονται σε ϐήµατα. Αρχικοποίηση : Επέλεξε έναν αντιστρέψιµο πίνακα B (m m) έτσι ώστε x

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΟΜαθηµατικός Προγραµµατισµός είναι κλάδος των εφαρµοσµένων µαθηµατικών που ασχολείται µε την εύρεση άριστης λύσης. ιαφέρει από την κλασική αριστοποίηση στο ότι προσπαθεί να

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

ΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Κοινό κριτήριο επιλογής µεταξύ εναλλακτικών τρόπων παραγωγής είναι η µεγιστοποίηση (κέρδος ήηελαχιστοποίηση (κόστος κάποιου µεγέθους. Αυτά τα προβλήµατα µεγιστοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως

Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Γραμμικός Προγραμματισμός Πρόβλημα Αντιστοιχήσεως

Διαβάστε περισσότερα

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας 5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.

Διαβάστε περισσότερα