ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη"

Φαίδρα Φοίβη Παπανικολάου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήµη τωναποφάσεων, ιοικητική Επιστήµη 5 ο Εξάµηνο 5 ο ΜΑΘΗΜΑ ηµήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τµήµα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

2 Κανόνες µεθόδου SIMPLEX Κριτήριο εισόδου της βάσης. Επιλέγεται η µη-βασική µεταβλητή που θα αυξήσει περισσότερο την ΑΣ (κέρδος). Είναι αυτή που έχει το µεγαλύτερο συντελεστή στον υπολογισµό τουp (ή µικρότερο αρνητικό στον πίνακα). Κριτήριο εξόδου από τη βάση Επιλέγεται η βασική µεταβλητή που περιορίζει περισσότερο τη µη-βασική µεταβλητή που διαλέξαµε. Ηεξερχόµενη µεταβλητή είναι αυτή που έχει τον µικρότερο θετικό λόγο. Κριτήριο Τερµατισµού διαδικασίας Όλαταστοιχείατηςγραµµής της αντικειµενικής συνάρτησης είναι θετικά ή µηδέν. 2

3 υϊκές ή σκιώδεις τιµές Χαρακτηριστικό των µη βασικώνµεταβλητών Από την γραµµή τηςαντικειµενικής συνάρτησης (m+1) του τελικού Πίνακα Simplex διαβάζονταιοιδυϊκές(ή σκιώδεις) τιµές των µη βασικώνµεταβλητών. Ερµηνεία Για περιορισµό (µεταβλητή απόκλισης): είχνουν πόσο θα χειροτερέψει η αντικειµενική συνάρτηση αν ο πόρος που εκφράζει ο συγκεκριµένος περιορισµός µειωθεί κατά µία µονάδα. Για µεταβλητή απόφασης: είχνουν πόσο θα χειροτερέψει η τιµή τηςαντικειµενικής συνάρτησης αν αυξήσουµε τησυγκεκριµένη µη-βασική µεταβλητή κατά µία µονάδα (εισέλθει στη βάση) Έχουν µεγάλη οικονοµική σηµασία για την ανάλυση της βέλτιστης λύσης 3

4 υϊκές ή σκιώδεις τιµές Αν ο πόρος που εκφράζεται από τον Περιορισµό (1) µειωθεί κατά 1 µονάδα τότε η αντικειµενική συνάρτηση (κέρδος) θα χειροτερεύσει κατά 2 µονάδες ( ). Αντίστοιχα για τον περιορισµό (2), θα µειωθεί κατά 2 µονάδες ( ). Ουσιαστικά, οι δυϊκές τιµές µας φανερώνουν την επίδραση - αξία του συγκεκριµένου προϊόντος / πόρου Μη βασικές µεταβλητές β.µ. Χ 1 Χ 2 S 1 S 2 P X /4 3 X /4 2 P υϊκές ή σκιώδεις τιµές 4

5 Το δυϊκό πρόβληµα Σε κάθε πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού πρωτεύον, primal - αντιστοιχεί ένα άλλο, το δυϊκό πρόβληµα, dual. To δυϊκό προκύπτει µε απλούς µετασχηµατισµούς από το πρωτεύον και αποτελεί εναλλακτική λύση του ίδιου προβλήµατος (δίνειταίδιααποτελέσµατα) Η δυϊκή θεωρία είναι δυνατό να δώσει µια δεύτερη µατιά στο αρχικό πρόβληµα καινα φανερώσει χαρακτηριστικά του όχι άµεσα ορατά. 5

6 Πρωτεύων και δϋικό πρόβληµα Πρωτεύων υϊκό Μεταβλητή απόφασης: x Μεταβλητή απόφασης: y max cx µε Ax b n x m min yb µε ya c m y n 6

7 Πρωτεύων και δϋικό πρόβληµα Παράδειγµα Πρωτεύων υϊκό Max z = 3x 1 +5x 2 με x 1 4 2x x 1 +2x 2 18 x 1,x 2 Min w = 4y 1 +12y 2 +18y 3 Με y 1 + 3y 3 3 2y 2 +2y 3 5 y 1, y 2, y 3 7

8 Μετασχηµατισµός του πρωτεύοντος σε δυϊκό Το δυϊκό έχει τόσες µεταβλητές (δυϊκές) όσοι είναι οι περιορισµοί του πρωτεύοντος Το δυϊκό έχει τόσους περιορισµούςόσεςείναιοι µεταβλητέςαπόφασηςτουπρωτεύοντος Οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης του δυϊκού είναι τα δεξιά µέλη των περιορισµών του πρωτεύοντος Τα δεξιά µέλη των περιορισµών του δυϊκού είναι οι συντελεστές της αντικειµενικής συνάρτησης του πρωτεύοντος Όταν το πρωτεύον είναι πρόβληµα µεγιστοποίησης το δυϊκό είναι ελαχιστοποίησης και αντιστρόφως 8

9 Ειδικές περιπτώσεις µεθόδου Simplex Ισοπαλία στην εξερχόµενη µεταβλητή όταν υπάρχουν πλεονάζοντες περιορισµοί Υπάρχουν πάνω από δύο µεταβλητές που έχουν τον ελάχιστο λόγο κατά τον προσδιορισµό της εξερχόµενης µεταβλητής (αυθαίρετη επιλογή της εξερχόµενης µεταβλητής) Κίνδυνος ατέρµονος επανάληψης (βρόγχος) Αποτέλεσµα: Βασικές µεταβλητές µε µηδενική τιµή (εκφυλισµένη λύση) 9

10 Μη πεπερασµένη λύση Αόριστη ή µη πεπερασµένη λύση Οι συντελεστές στην αξονική στήλη είναι µηδενικοί ή αρνητικοί Ηεισερχόµενη µεταβλητή µπορεί να αυξηθεί απεριόριστα Μη φραγµένοεφικτόπεδίο β.µ. Χ1 Χ2 S1 S2 P Τιµή Λόγος xb S1 X1 S2 P Pmax /2= 1 4/- 5=-2 1/= 1

11 Πολλαπλά άριστα xb Ηαντικειµενική συνάρτηση παράλληλη µε περιορισµό ΆριστεςλύσειςοιΓκαιΒκαιόλατασηµεία µεταξύ τους Περισσότερες από µία εισερχόµενες µεταβλητές ισοβαθµούν Μη βασικές µεταβλητές µε µηδενικές δυϊκές τιµές Γ Β Pmax Α xa 11

12 Αδύνατη ή ανέφικτη λύση xa <= 4 xb <= 3 5 xa + 8 xb <= 32 xa + xb >= 6 xb xa+xb>=6 Γ Β Pmax Α xa 12

13 Ελεύθερες µεταβλητές Υπάρχουν περιπτώσεις όπου κάποια µεταβλητή απόφασης x F µπορείναπάρεικαιαρνητικήτιµή (ελεύθερη µεταβλητή) Πρόβληµα: Αυτό όµως παραβιάζει µια βασική προϋπόθεση της µεθόδου Simplex ότι δηλαδή xi Αντικατάσταση µεταβλητής x F µετηδιαφοράδύο θετικών µεταβλητών απόφασης: x F = x F1 -x 2 F συνέχεια λύνουµε κανονικάµε τηµέθοδο Simplex όπου x F x F1, x 2 F Π.χ. οπεριορισµός 2 x x F <= 3 γράφεται 2x 1 + 3(x F1 -x F2 )<= 3 2x x F1-3x F2 <= 3 13

14 Προβλήµατα ελαχιστοποίησης Οι κανόνες που αναφέρθηκαν αναφέρονται στη µεγιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης Για ελαχιστοποίηση αντιστρέφεται το πρόσηµο των συντελεστών της αντικειµενικής συνάρτησης και γίνεται κανονικά η µεγιστοποίηση: min(z) max (-z) Παράδειγµα min(z) = 3x 1 + 8x 2 max(-z) = -3 x 1 8 x 2 14

Σχετικά έγγραφα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών