Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo

Υπολογιστική εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising µε τη µέθοδο Monte Carlo Κουτσιούµπας Αλέξανδρος εκέµβριος 00 Το µοντέλο Ising εισήχθη από τους Lenz (190) και Ising (195) για την περιγραφή της µετατροπής φάσης των διαµαγνητικών υλικών στην θερµοκρασία Curie T C. Το µοντέλο υποθέτει την ύπαρξη πλέγµατος, τα πλεγµατικά σηµεία του οποίου κατέχουν µια τιµή spin µε κατεύθυνση πάνω ή κάτω ως προς άξονα z ( σ = ± 1 ). Προφανώς µεταξύ γειτονικών πλεγµατικών σηµείων υφίσταται αλληλεπίδραση η οποία συνεισφέρει στην ενέργεια του συστήµατος. Ανάλογα µε το πρόσηµο της ενέργειας αλληλεπίδρασης I που καθορίζεται από την επικάλυψη των κυµατοσυναρτήσεων των spin, προτιµάτε από το σύστηµα η παράλληλη ή αντιπαράλληλη τοποθέτηση των spin, δηλαδή η ενεργειακά συµφέρουσα κατάσταση. Η Χαµιλτόνια του συστήµατος δίδεται από τη σχέση H ( σ 1,..., σ Ν ) = Ι σ ι σ κ (1) όπου η άθροιση αναφέρετε σε όλα τα ζεύγη εγγύτατων γειτόνων ο αριθµός των οποίων εξαρτάτε από τη διάσταση του πλέγµατος. Σε µηδενική θερµοκρασία τα spin οφείλουν να παραλληλιστούν, πράγµα το οποίο οδηγεί το σύστηµα να αποκτήσει µία µαγνητική διπολική ροπή D = Nµ. 1 Αντίθετα σε υψηλές θερµοκρασίες η αλληλεπίδραση δεν παίζει σηµαντικό ρόλο στην µαγνητική συµπεριφορά του πλέγµατος, όπου αναµένουµε η τυχαία κατεύθυνση των spin να αλληλοακυρώνει τις µαγνητικές ροπές και συνεπώς να οδηγεί σε αµελητέα ολική διπολική µαγνητική ροπή. Αν και γνωρίζουµε τη συµπεριφορά του συστήµατος σε ακραίες θερµοκρασίες, δεν µας είναι ξεκάθαρη η ύπαρξη µετατροπής φάσης καθώς θα µπορούσε αυξανόµενης της θερµοκρασίας, η µαγνήτιση µε συνεχή τρόπο να µηδενίζεται. Η απάντηση µπορεί να δοθεί φυσικά µέσω του υπολογισµού της συνάρτησης επιµερισµού του συστήµατος και κατόπιν του υπολογισµού των θερµοδυναµικών µεγεθών που µας ενδιαφέρουν ( θερµοχωρητικότητα, επιδεκτικότητα κ.λ.π ). υστυχώς µόνο για το µονοδιάστατο και δισδιάστατο [1] πλέγµα Ising έχουν βρεθεί αναλυτικές λύσεις. Η αναλυτική λύση του µονοδιάστατου µοντέλου δεν παρουσιάζει µετατροπή φάσης σε αντίθεση µε το δισδιάστατο µοντέλο το οποίο εµφανίζει µετατροπή φάσης τάξης αταξίας. Ακόµη λοιπόν και για ένα σχετικά απλό µοντέλο φαίνεται η δυσκολία του θεωρητικού χειρισµού των µετατροπών φάσης. Σε αυτό σηµείο η υπολογιστική εξοµοίωση έρχεται να δώσει πληροφορίες για τη συµπεριφορά ανάλογων µοντέλων τα οποία έχουν µεγάλο ενδιαφέρον για την κατανόηση της ποιοτικής και ποσοτικής συµπεριφοράς συστηµάτων που εµφανίζουν µετατροπές φάσεων. Η µέθοδος Monte Carlo την οποία χρησιµοποιήσαµε στην παρούσα εργασία για την εξοµοίωση του δισδιάστατου πλέγµατος Ising, αποτελεί γενική µέθοδο προσοµοίωσης φυσικών συστηµάτων που εµφανίζουν συµπεριφορά στοχαστικού χαρακτήρα. Στις πολυάριθµες παραλλαγές της [] η µέθοδος επιδιώκει µέσω της 1 Έχοντας υποθέσει ότι κάθε spin συνοδεύεται από µαγνητική ροπή µ

χρήσης τυχαίων αριθµών να «παρακολουθήσει» την «χρονικά εξαρτώµενη» πορεία του υπό µελέτη συστήµατος και να οδηγήσει στον υπολογισµό χαρακτηριστικών στατιστικών µεγεθών. Συγκεκριµένα για το υπό µελέτη διαστατό πλέγµα Ising ένας crude 3 Monte Carlo αλγόριθµος που θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί, είναι η τυχαία 4 παραγωγή πλεγµατικών διαµορφώσεων και κατόπιν ο υπολογισµός της στατιστικής συνεισφοράς της κάθε διαµόρφωσης µέσω ενός παράγοντα Boltzmann 5. Η υιοθέτηση µιας τέτοιας τακτικής θα µας οδηγούσε στην κατανάλωση υπερβολικού υπολογιστικού χρόνου για τον υπολογισµό πολλών καταστάσεων οι οποίες προσφέρουν ελάχιστα στις µέσες τιµές των θερµοδυναµικών ποσοτήτων του συστήµατος στην κατάσταση ισορροπίας. Μια ποιό αποτελεσµατική µέθοδος η οποία µπορεί να άρει τις παραπάνω δυσκολίες είναι η δειγµατοληψία µε βάση την συνεισφορά της κάθε διαµόρφωσης του πλέγµατος importance sampling method. Αντί δηλαδή της δειγµατοληψίας πολλών διαφορετικών καταστάσεων και τον υπολογισµό της συνεισφοράς τους µέσω του παράγοντα Boltzmann, είναι προτιµότερο να παράγουµε σε κάθε βήµα του αλγόριθµου µας και συνεπώς να συνυπολογίζουµε, καταστάσεις µε µεγαλύτερη «σπουδαιότητα» ή αλλιώς µεγαλύτερη συνεισφορά στους στατιστικούς µέσους όρους. Ένας τέτοιος αλγόριθµος που και εµείς χρησιµοποιήσαµε προτάθηκε από τον Metropolis [4] και σε γενικές γραµµές ακολουθεί τα παρακάτω βήµατα: 1. Παράγεται µια δοκιµαστική διαµόρφωση µεταβάλλοντας τυχαία την κατεύθυνση του spin ενός πλεγµατικού σηµείου.. Υπολογίζουµε την ενεργειακή διαφορά που προκύπτει από την εναλλαγή του spin. 3. Αν η ενεργειακή διαφορά Ε είναι συµφέρουσα για το σύστηµα τότε γίνεται αποδεκτή, διαφορετικά ένας τυχαίος αριθµός n παράγεται µεταξύ του µηδέν βδε και του ένα και η νέα διαµόρφωση γίνεται αποδεκτή µόνο εφόσον e > n. Γίνεται κατανοητό ότι πλέον µε πολύ λιγότερες διαµορφώσεις, µπορούµε να υπολογίσουµε µε «ασφάλεια» τις τιµές θερµοδυναµικών µεγεθών, καθώς µετά από σχετικά µικρό αριθµό επαναλήψεων του παραπάνω αλγόριθµου, οι διαµορφώσεις οι οποίες παράγονται περιγράφουν ικανοποιητικά την συµπεριφορά του πλέγµατος σε κατάσταση ισορροπίας σε συγκεκριµένη θερµοκρασία. Στον κώδικα 6 που χρησιµοποιήσαµε, ξεκινάµε από µια «θερµή» διαµόρφωση και υψηλή θερµοκρασία για να αποφύγουµε εγκλωβισµό του αλγόριθµου σε τοπικά που όσο τυχαίοι είναι, άλλο τόσο «αναγκαίοι» είναι... 3 βάρβαρος σε σχέση µε την υπολογιστική ισχύ που απαιτεί για την εξαγωγή «αξιοπρεπών» αποτελεσµάτων. 4 Σε αυτό το σηµείο οφείλουµε να πούµε ότι οι αριθµοί που παράγονται από της γεννήτριες τυχαίων αριθµών, στην πραγµατικότητα είναι ψευδότυχαιοι. Μάλιστα µια «κακή» γεννήτρια πολλές φορές µπορεί να εισάγει σηµαντικά στατιστικά λάθη στους υπολογισµούς µας. Στην βιβλιογραφία περιγράφονται πολλές µέθοδοι ελέγχου της ποιότητας µιας γεννήτριας τυχαίων αριθµών. Στην παρύσα εργασία χρησιµοποιήσαµε µια απλή congruential γεννήτρια η οποία φάνηκε να αρκεί για της ανάγκες των υπολογισµών µας. 5 Γνωρίζοντας ότι η αναµενόµενη τιµή ενός στατιστικού µεγέθους Α δίδεται από την σχέση < Α >= r Α r e e βer ρ βe r 6 Το πρόγραµµα γράφτηκε στην γλώσσα FORTRAN

ενεργειακά ελάχιστα, ενώ παράλληλα θεωρούµε περιοδικές συνοριακές συνθήκες για τα άκρα του πλέγµατος. Επειδή αναγκαστικά τα συστήµατα που µελετάµε υπολογιστικά είναι πεπερασµένων διαστάσεων, οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες αναλαµβάνουν να παρακάµψουν την εµφάνιση συνοριακών φαινοµένων στο σύστηµά µας χωρίς βέβαια να καταφέρνουν απόλυτα να αναπαράγουν τη συµπεριφορά το άπειρο πλέγµα. Για κάθε διαφορετική θερµοκρασία στον υπολογισµό των θερµοδυναµικών ποσοτήτων, δεν λαµβάνουµε υπόψη έναν αριθµό αρχικών βηµάτων µέχρι να «φτάσουµε» σε κατάσταση ισορροπίας. Οι βασικές ποσότητες οι οποίες καταγράφονται σε κάθε υπολογιστικό βήµα ( Monte Carlo Step ) είναι η ενέργεια του συστήµατος Ε και η µαγνήτιση Μ. Κατόπιν για κάθε θερµοκρασία µετά το πέρας ικανού αριθµού Monte Carlo steps 7 υπολογίζουµε τις µέσες τιµές της ενέργειας και της µαγνήτισης. Όσον αφορά την ειδική θερµότητα και την µαγνητική επιδεκτικότητα εύκολα µπορούµε να δείξουµε ότι : όµοια < Ε > β < Ε > β ln Z β 1 Ζ C V = = = = ( ) = T Τ β T β Τ β Ζ β () β 1 Ζ 1 Ζ β = { ( ) } = { < Ε > < Ε > } Τ Ζ β Ζ β Τ < Μ > χ = = β{ < Μ > < Μ > } (3) Η Συνεπώς µέσα από τη γνώση των µέσων τιµών της ενέργειας, της µαγνήτισης και των τετραγώνων τους, εύκολα υπολογίζουµε µέσω των σχέσεων () και (3) (δηλαδή των διακυµάνσεων θερµοδυναµικών ποσοτήτων) την θερµοχωρητικότητα και την µαγνητική επιδεκτικότητα. Στα επόµενα σχήµατα παραθέτουµε αποτελέσµατα εξοµοιώσεων που εκτελέσαµε βάση της περιγραφής που κάναµε, για διάφορα µεγέθη πλεγµάτων. 7 Είναι κατανοητό ότι αυξανόµενου του µεγέθους του πλέγµατος, αυξάνετε και ο αριθµός των απαιτούµενων διαµορφώσεων που οφείλουµε να συνυπολογίσουµε καθώς και των MC steps που χρειάζονται µέχρι να φτάσουµε στην παραγωγή διαµορφώσεων που χαρακτηρίζουν την κατάσταση ισορροπίας του συστήµατος σε κάθε θερµοκρασία.

1,0 0,8 0,6 N=30 N=0 N=15 N=10 N=5 <M> 0,4 0, 0,0 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα 1.Τιµές της µέσης µαγνήτισης για διάφορα µεγέθη πλεγµάτων -0,4-0,6-0,8-1,0-1, <E> -1,4-1,6-1,8 N=30 -,0 -, 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα. Μέση ενέργεια για πλέγµα 30x30

0,004 0,003 Cv 0,00 N=0 0,001 0,000 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα 3. Ειδική Θερµότητα για πλέγµα 0x0 0,05 0,00 χ 0,015 0,010 N=0 0,005 0,000 1,0 1,5,0,5 3,0 3,5 4,0 Temperature Σχήµα 4. Μαγνητική Επιδεκτικότητα για πλέγµα 0x0

Στα σχήµατα 1-4, παρατηρούµε την αναµενόµενη συµπεριφορά του δισδιάστατου πλέγµατος Ising. Η αναλυτική λύση του µοντέλου προβλέπει ότι για άπειρο πλέγµα έχουµε µετατροπή φάσης στην ανηγµένη θερµοκρασία T=,3. Στις καµπύλες της ειδικής θερµότητας και της µαγνητικής επιδεκτικότητας εµφανίζεται µια έντονη κορυφή πολύ κοντά στη συγκεκριµένη θερµοκρασία η οποία αντιστοιχεί στον απειρισµό αυτών των ποσοτήτων για το άπειρο πλέγµα. Το γεγονός του ότι η εξοµοίωσή µας γίνετε για πεπερασµένα πλέγµατα finite size effects οδηγεί στην µερική εξοµάλυνση αυτής της συµπεριφοράς αν και αυξανοµένων των διαστάσεων του υπό εξοµοίωση πλέγµατος παρατηρούµε πως οι κορυφές γίνονται όλο και ποιό οξείες. Αντίστοιχα στο σχήµα 1, εµφανίζεται καθαρά πως όσο µεγαλώνει το πλέγµα, τόσο προσεγγίζεται η συµπεριφορά του άπειρου πλέγµατος. Η απότοµη αλλαγή της µαγνήτισης κοντά στην κρίσιµη θερµοκρασία, δηλώνει την ύπαρξη της µετατροπής φάσης όσον αφορά την µαγνητική συµπεριφορά του πλέγµατός µας. Αρκετά διδακτικό και ενδιαφέρων είναι να καταγράψουµε την εξέλιξη της πορείας της εξοµοίωσης για ένα συγκεκριµένο θερµοκρασιακό βήµα. ηλαδή την εξέλιξη των θερµοδυναµικών µεγεθών συναρτήσει του υπολογιστικού χρόνου ( MC steps ). Πέρα από αυτό µπορούµε να ορίσουµε την συνάρτησης συσχέτισης correlation function του συστήµατος, η οποία µπορεί να µας δώσει ένα µέτρο της χρονικής εξέλιξης της «µνήµης» του συστήµατος, δηλαδή του πόσο γρήγορα αποµακρύνεται από την αρχική του διαµόρφωση. Συγκεκριµένα ορίζουµε της συνάρτηση συσχέτισης µέσω της σχέσης: = 1 g σ ι σ (4) N ξ όπου η άθροιση αναφέρετε στο σύνολο των πλεγµατικών σηµείων. Στα επόµενα σχήµατα παραθέτουµε αποτελέσµατα που λάβαµε για διάφορες θερµοκρασίες για την συνάρτηση συσχέτισης αλλά και για την χρονική εξέλιξη διάφορων θερµοδυναµικών µεγεθών. Επίσης παρουσιάζουµε «στιγµιότυπα» του συστήµατος καθώς πληθαίνουν τα MC steps. Σχήµα 5. Στιγµιότυπα του συστήµατος 50x50 για κάθε 5000 MC steps στη θερµοκρασία.1 Σχήµα 6. Στιγµιότυπα του συστήµατος 100x100 για κάθε 40000 MC Steps στη θερµοκρασία.0

Σχήµα 7.. Στιγµιότυπα του συστήµατος 100x100 για κάθε 50000 MC Steps στην κρίσιµη θερµοκρασία.3 Σχήµα 8. Στιγµιότυπα του συστήµατος 50x50 για κάθε 50000 MC Steps στη θερµοκρασία 1.1 0,8 0,7 0,6 correlation function 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 N=0 T=.3-0,1 10 100 1000 Monte Carlo Steps Σχήµα 9. Συνάρτηση συσχέτισης για πλέγµα 0x0 στη θερµοκρασία.3

1,0 correlation function 0,8 0,6 0,4 0, N=50 T=.3 0,0 100 1000 10000 Monte Carlo Steps Σχήµα 10. Συνάρτηση συσχέτισης για πλέgµα 50x50 σε θερµοκρασία.3 10000 8000 6000 Average Energy 4000 000 0-000 -4000 N=50 T=.3-6000 -8000 100 1000 10000 monte carlo steps Σχήµα 11. Μέση ενέργεια συναρτήσει του υπολογιστικού χρόνου στη θερµοκρασία.3

10000 8000 Average Energy 6000 4000 000 0 N=50 T=4.0-000 -4000 100 1000 10000 monte carlo steps Σχήµα 1. Μέση ενέργεια συναρτήσει του υπολογιστικού χρόνου στη θερµοκρασία 4.0 600 Average Magnetization 400 00 0-00 N=50 T=.0-400 0 00000 400000 600000 800000 1000000 monte carlo steps Σχήµα 13. Χρονική εξέλιξη της µαγνήτισης για θερµοκρασία.0 σε πλέγµα 50x50 Στα σχήµατα 5-8 παρατηρούµε τα στιγµιότυπα διαφόρων πλεγµάτων σε διάφορες θερµοκρασίες. Αυξανόµενης της θερµοκρασίας και εφόσον βρισκόµαστε σε θερµοκρασία µικρότερη της κρίσιµης, έχουµε την εµφάνιση νησίδων spin. Καθώς οδεύουµε προς την κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας εµφανίζονται καλώς ορισµένες περιοχές που συνεισφέρουν στην συνολική µαγνήτιση. Μάλιστα σε

χαµηλή θερµοκρασία και µετά από «αρκετό» χρόνο, αναµένουµε την πλήρη παραλλήλιση των spin, πράγµα που παρατηρούµε στο σύστηµα του σχήµατος 8. Στα σχήµατα 9-1 παρατηρούµε τη συµπεριφορά της συνάρτησης συσχέτισης και της µέσης ενέργειας µε τον υπολογιστικό χρόνο. Σε όλες τις καµπύλες εµφανίζονται 3 στάδια εξέλιξης του φαινοµένου. Στο πρώτο στάδιο που διαρκεί τα λίγα πρώτα MC steps, έχουµε την ραγδαία µεταβολή της διάταξης των spin. Μετά περνάµε στο δεύτερο στάδιο όπου η αλλαγή γίνετε µε βραδύτερο ρυθµό µέχρι να φτάσουµε στην ισορροπία ( τρίτο στάδιο ) όπου πλέον έχουµε διακύµανση γύρω από τη µια µέση τιµή για την ενέργεια και µικρές διακυµάνσεις περί του µηδενός για την συνάρτηση συσχέτισης η οποία µας δίνει να καταλάβουµε ότι πλέον το σύστηµα έχει «ξεχάσει» σχεδόν εντελώς της αρχική του κατάσταση. Στο σχήµα 14 όπου δεν έχουµε λογαριθµίσει τον άξονα του «χρόνου» τα παραπάνω είναι περισσότερο εµφανή. Σχήµα 14. Οι τρεις περιοχές συµπεριφοράς της συνάρτησης συσχέτισης Επίσης στα σχήµατα 11 και 1 βλέπουµε πως για µικρότερη θερµοκρασία το σύστηµα όπως είναι αναµενόµενο καθυστερεί να φτάσει στην κατάσταση ισορροπίας, η µέση ενέργειά του καθυστερεί να σταθεροποιηθεί γύρω από µια µέση τιµή. Τέλος στο σχήµα 14 παρουσιάζεται η χρονική εξέλιξη της µαγνήτισης η οποία µεταπηδά από θετικές σε αρνητικές τιµές µε «ακανόνιστο» τρόπο για θερµοκρασίες κοντά στην κρίσιµη. Αντίθετα όπως αναµένουµε ( σχήµα 15 ) σε χαµηλές θερµοκρασίες η µαγνήτιση µετά από ένα στάδιο αρχικής διακύµανσης, «γρήγορα» σταθεροποιείται γύρω από µια µέση τιµή και αντίστοιχα σε υψηλές θερµοκρασίες σταθεροποιείται γύρω από µηδενική τιµή µέσης µαγνήτισης.

100 Avarage Magnetization 0-100 -00-300 N=0 T=1.0-400 0 00000 400000 600000 800000 1000000 monte carlo steps Σχήµα 15. Χρονική εξέλιξη της µαγνήτισης για χαµηλή θερµοκρασία 1.0 σε πλέγµα 0x0 1,0 0,5 <Magnetization> 0,0-0,5 T=.0 T=.6 T=.3 (Tc) Lattice 0x0-1,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 Magnetic Field Σχήµα 16. Μέση µαγνήτιση συναρτήσει εξωτερικά µεταβαλλόµενου µαγνητικού πεδίου. Η επίδραση εξωτερικού µαγνητικού πεδίου στο σύστηµά µας για διάφορες θερµοκρασίες άνω και κάτω της κρίσιµης αναπαρίσταται στο σχήµα 16. Η εφαρµογή εξωτερικού µαγνητικού πεδίου Β εισάγει ένα νέο όρο στη Χαµιλτόνια (1) ή οποία πλέον θα δίδεται από την έκφραση H ( σ 1,..., σ ) = Ι Ν σ σ + µ Β όπου µ η µαγνητική ροπή των spin. Όπως παρατηρούµε για θερµοκρασίες µικρότερες της κρίσιµης, η αλλαγή της κατεύθυνσης της µέσης µαγνήτισης λαµβάνει χώρα κατά ασυνεχή τρόπο συναρτήσει της έντασης του πεδίου Β ( κοντά στην τιµή που ι κ σ ι

αντιστοιχεί στην απουσία του πεδίου ). Αντίθετα άνω του Tc η µετάβαση γίνετε µε συνεχή τρόπο. Αφήσαµε τελευταίο τον «ευαίσθητο» υπολογισµό [3] των λεγόµενων κρίσιµων εκθετών της µετατροπής φάσης του δισδιάστατου πλέγµατος Ising. Γενικά κατά την εξοµοίωση συστηµάτων που εµφανίζουν µετατροπές φάσης είναι σηµαντικό το να διαπιστωθεί ο τύπος της µετατροπής ( 1 ου, ου είδους κλπ ). Για τον θεωρητικό χειρισµό των µετατροπών φάσεις, οφείλουµε να ορίσουµε µια παράµετρο τάξης ( order parameter ) η οποία διαχωρίζει σαφώς µέσω των τιµών της, τις φάσεις του συστήµατος. Συνήθως λαµβάνει τιµή µηδέν στην φάση που χαρακτηρίζεται από αταξία και µη µηδενικές τιµές στην φάση που εµφανίζεται τάξη. Εύκολα αναγνωρίζουµε για το υπό µελέτη σύστηµα, αυτές τις ιδιότητες στην µέση µαγνήτιση την οποία και θεωρούµε από εδώ και πέρα ως παράµετρο τάξης. Ο τύπος της µετατροπής φάσης µπορεί να κατηγοριοποιηθεί µέσω των τιµών των κρίσιµων εκθετών που ορίζονται από τις σχέσεις 8 ( για T να τείνει στο Tc ) M 1 T / T χ 1 T / T C 1 T / T Σε πολλές περιπτώσεις αυτοί οι εκθέτες είναι universal «παγκόσµιοι» δηλαδή δεν εξαρτώνται από παραµέτρους του συγκεκριµένου µοντέλου ( µέγεθος, ενέργεια αλληλεπίδρασης ) αλλά από βασικές ιδιότητες που έχουν σχέση µε τις διαστάσεις του χώρου που έχουµε θεωρήσει και τις συµµετρίες του συστήµατος. Σε αυτό το γεγονός οφείλετε και η σχετική επιτυχία τόσο απλών µοντέλων στην περιγραφεί πραγµατικών µαγνητών όπου υφίστανται κλάσης πολυπλοκότερες αλληλεπιδράσεις. C C C γ α β (5) 0,0 log <M> -0,5-1,0-1,5 -,0 Lattice 50x50 T>Tc T<Tc Slope= -0.69 Slope= 0.13 -,5-3,0-3,5-6,0-5,5-5,0-4,5-4,0-3,5-3,0 -,5 -,0-1,5-1,0-0,5 0,0 log ε 8 Η ποσότητα e = 1 T / TC τείνει στο µηδέν κοντά στην κρίσιµη θερµοκρασία. Την συναντάµε πολύ συχνά στην ανάλυση φαινοµένων κοντά σε κρίσιµα σηµεία Tc.

Σχήµα 16. Υπολογισµός κρίσιµων εκθετών Στην συγκεκριµένη εργασία επιχειρήσαµε τον υπολογισµό του εκθέτη β που σχετίζεται µε την µαγνήτιση (5). Από τα αποτελέσµατα τις εξοµοίωσης για την µαγνήτιση ενός πλέγµατος 50x50 ( σχήµα 17 ), παρατηρήσαµε ότι καθώς πλησιάζουµε ( από δεξιά και αριστερά ) την κρίσιµη θερµοκρασία 9, οι ποσότητες log<m> και logε κατέχουν γραµµική σχέση. Λογαριθµίζοντας την πρώτη εξίσωση (5) παρατηρούµε ότι log < M > β logε (6) Συνεπώς η κλίση της καµπύλης ( σχήµα 16 ) µας δίδει την τιµή του κρίσιµου εκθέτη β. Συγκεκριµένα λαµβάνουµε την τιµή 0.13 η οποία βρίσκεται πολύ κοντά στην θεωρητική τιµή [] η οποία ισούται µε 0.15. Σε αυτό το σηµείο πρέπει να πούµε ότι η προσπάθεια εύρεσης της τιµής του εκθέτη β για µικρότερα πλέγµατα παρουσίασε µικρές αποκλίσεις οι οποίες µικραίνουν αυξανοµένων των διαστάσεων του υπό εξοµοίωση πλέγµατος. Γενικότερα δεν είναι εύκολη υπόθεση η εύρεση των τιµών των κρίσιµων εκθετών πράγµα που καταδεικνύεται και από την πλούσια βιβλιογραφία γύρω από το θέµα αυτό. Αναφορές 1. Lars Osanger, Physical Review 65, 117 ( 1944 ). David P.Landau, Kurt Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge Press ( 000 ) 3. David P.Landau, Physical Review B, 13, 997 (1975) 4. Metropolis, N., Rosenbluth, A.W., Roselbluth, M.N., Teller, A.M. and Teller, E. (1953), J.Chem Phys 1,1087 9 Την οποία δεν υπολογίσαµε αλλά πήραµε δεδοµένη Tc=.3. Αυτό έγινε για να αποφύγουµε την ανάγκη του fitting δύο παραµέτρων β,tc το οποίο θα δυσκόλευε εξαιρετικά τον υπολογισµό αλλά και θα απαιτούσε αρκετά µεγάλους υπολογιστικούς χρόνους.