Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή

Transcript

1 Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη προερχόμενη από δυναμικό, η ολική ενέργεια διατηρείται. Για ένα τέτοιο υλικό σημείο ο νόμος του Νεύτωνα γράφεται ως mẍ = F (), ή, διαιρώντας με τη μάζα ως ẍ = f (). (11.0.1) Η εξίσωση αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός υλικού σημείου με μάζα ίση με τη μονάδα Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή Θα ξεκινήσουμε με το απλούστερο παράδειγμα υποθέτοντας ότι η συνάρτηση F είναι γραμμική της μορφής F () = k, k > 0. Πρόκειται για τον γνωστό μας αρμονικό ταλαντωτή και η ΔΕ που περιγράφει την κίνηση του γράφεται ως k mẍ = k ẍ = ω 2, ω := m. (11.1.1) Πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέλη της εξίσωσης (11.1.1) με ẋ θα έχουμε mẋẍ + kẋ = 0 d 1 dt 2 mẋ k2 =

2 190 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Συμπεραίνουμε ότι η ποσότητα στην παρένθεση είναι μία σταθερή, έστω E E = 1 2 mẋ k2. Η σταθερή αυτή είναι ένα πρώτο ολοκλήρωμα της (11.1.1) και φυσικά την αναγνωρίζουμε ως την ενέργεια του αρμονικού ταλαντωτή E = κινητική ενέργεια + δυναμική ενέργεια. Λύνοντας ως προς ẋ θα έχουμε d 2E dt = ± m ω2 2, και κρατώντας μόνο τη θετική ρίζα προκύπτει d = t + C, 2E m ω2 2 όπου C είναι μία νέα σταθερή. Το ολοκλήρωμα αναγνωρίζεται ως το τόξο ημιτόνου 1 ω arcsin ω = t + C, 2E m και επανονομάζοντας τη σταθερή η λύση γράφεται (t) = 2E m 1 sin (ωt + φ). ω Για την επίλυση του προβλήματος ακολουθήσαμε τέσσερα βήματα: α) Βρήκαμε ένα πρώτο ολοκλήρωμα E. β) Χρησιμοποιήσαμε τη σταθερή E για να ελαττώσουμε την τάξη της διαφορικής εξίσωσης κατά ένα. γ) Ολοκληρώσαμε την ΔΕ πρώτης τάξης. δ) Αντιστρέψαμε τη συνάρτηση για να έχουμε τη λύση (t). Εκ πρώτης όψεως η σχετικώς επίπονη αυτή διαδικασία δεν παρέχει κανένα πλεονέκτημα έναντι της κλασσικής μεθόδου του Κεφαλαίου 1, κατά την οποία αναζητούμε λύση της μορφής e ρt. Οπως θα δούμε όμως, η μέθοδος που ακολουθήσαμε είναι εφαρμόσιμη ακόμα και στην περίπτωση που η f στη ΔΕ δεν είναι γραμμική συνάρτηση.

3 11.2. Η ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Η γενική περίπτωση Οπως ειπώθηκε η διατήρηση της ενέργειας δεν είναι χαρακτηριστικό μόνο του αρμονικού ταλαντωτή. Στο σύστημα (11.0.1) ή στο ισοδύναμο του ορίζουμε τη συνάρτηση δυναμικού ẋ = y, ẏ = f (), (11.2.1) U () = 0 f (z) dz. Χρησιμοποιώντας ορολογία μηχανικής λέμε ότι η δύναμη προέρχεται από δυναμικό, f () = du/d. Ορίζουμε ως ολική ενέργεια του συστήματος E (, y) = 1 2 y2 + U (). (11.2.2) Η ολική ενέργεια είναι ένα πρώτο ολοκλήρωμα του (11.2.1). Πράγματι η συνάρτηση E (, y) είναι σταθερή κατά μήκος των τροχιών του συστήματος: de dt = E d dt + E dy y dt = f () y + yf () = 0. Κατ αρχήν λοιπόν κάθε πρόβλημα μονοδιάστατης κίνησης επιλύεται πάντοτε: Για σταθερή τιμή της ολικής ενέργειας E το μέτρο της ταχύτητας δίνεται ως συνάρτηση της θέσης από την ẋ = 2 (E U ()). Συνεπώς η λύση του προβλήματος προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης: d = t + C, ή t t 0 = 2 (E U ()) 0 d 2 (E U ()). (11.2.3) Σε ότι αφορά στο πορτραίτο φάσεων του (11.2.1) παρατηρούμε ότι οι τροχιές του συστήματος ταυτίζονται με τις ισοσταθμικές καμπύλες της συνάρτησης E (, y). Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση U() εμφανίζει ένα ελάχιστο σε κάποιο σημείο 1. Μπορούμε να φανταστούμε ένα σφαιρίδιο που κυλάει μέσα σε πηγάδι δυναμικού U έχοντας σταθερή ολική ενέργεια E. Επειδή η κινητική ενέργεια είναι μη αρνητική, η δυναμική ενέργεια U δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη της ολικής ενέργειας E. Οσο μεγαλώνει η δυναμική ενέργεια τόσο ελαττώνεται η

4 192 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ U() E a b y Σχήμα 11.1: Κίνηση σε πηγάδι δυναμικού ταχύτητα του σφαιριδίου και στα σημεία επιστροφής a και b η ταχύτητα μηδενίζεται. Αν η ενέργεια E είναι μικρότερη από U ( 1 ), τότε το σύνολο στάθμης της είναι το κενό σύνολο (η κίνηση του σφαιριδίου είναι φυσικώς αδύνατη). Αν η ενέργεια E είναι ίση με U ( 1 ), τότε το σύνολο στάθμης της είναι ένα απλό σημείο ( 1, 0) (το σφαιρίδιο ισορροπεί στον πάτο του πηγαδιού). Αν η ενέργεια E είναι μεγαλύτερη από U ( 1 ), τότε το σύνολο στάθμης της είναι μία κλειστή συμμετρική καμπύλη που περιέχει το σημείο ισορροπίας ( 1, 0). Το σφαιρίδιο ανέρχεται μέχρι ύψος E, σταματά στιγμιαία, κατέρχεται περνώντας από το ( 1, 0) με μέγιστη ταχύτητα, ανέρχεται μέχρι υψος E κ.ο.κ., βλ. Σχήμα Με παρόμοιο τρόπο μελετούμε πιο πολύπλοκες περιπτώσεις. Δηλαδή αυξάνουμε σταδιακά την τιμή της ενέργειας E και σταματούμε στα κρίσιμα σημεία της δυναμικής ενέργειας (εκεί όπου U () = 0). Στη συνέχεια εξετάζουμε τις ισοσταθμικές καμπύλες για τιμές της E λίγο μεγαλύτερες και λίγο μικρότερες των κρίσιμων τιμών του δυναμικού. Για την κατασκευή του πορτραίτου των φάσεων του συστήματος ẋ = y, ẏ = du d, (11.2.4)

5 11.2. Η ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 193 U() y Σχήμα 11.2: Η μορφή του δυναμικού προσδιορίζει το πορτραίτο φάσεων. Στα ελάχιστα του δυναμικού αντιστοιχούν κλειστές τροχιές και στα μέγιστα αντιστοιχούν σαγματικά σημεία. λαμβάνουμε υπ όψιν τα ακόλουθα, βλ. Σχήμα Τα σημεία ισορροπίας του (11.2.1) είναι πάντοτε του τύπου ( 1, 0), όπου 1 είναι κρίσιμο σημείο της U, άρα U ( 1 ) = 0. Επομένως όλα τα σημεία ισορροπίας του συστήματος κείνται πάνω στον άξονα. Οι τροχιές στο χώρο των φάσεων είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα. Τούτο προκύπτει άμεσα από τις εξισώσεις των ισοσταθμικών καμπυλών της ενέργειας y = ± 2 (E U ()). Εκτός ίσως από τα σημεία ισορροπίας οι τροχιές τέμνουν κάθετα τον άξονα. Αυτό φαίνεται διότι πάνω στον άξονα είναι ẋ = 0, δηλαδή η οριζόντια ταχύτητα είναι μηδέν.

6 194 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η φορά των κλειστών τροχιών είναι όμοια με τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Αυτό φαίνεται διότι, π.χ. για θετικό y, είναι ẋ > 0, δηλαδή η οριζόντια ταχύτητα έχει φορά προς τα δεξιά. Μπορούμε να πεισθούμε για τη μορφή των διαγραμμάτων και με επιχειρήματα αναλυτικής φύσης. Για ευκολία, υποθέτουμε ότι το σημείο τοπικού ακροτάτου της U είναι το μηδέν (διαφορετικά, μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων θέτωντας = X + 1, y = Y +0, όπου X, Y είναι οι νέες συντεταγμένες). Αναπτύσσοντας τη συνάρτηση U κατά Taylor θα έχουμε U () = U (0) + U (0) U (0) 2 + O 3. Λαμβάνοντας υπ όψιν ότι στα ακρότατα η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται θα έχουμε U (0) = 0, οπότε η U() προσεγγίζεται κοντά στο 0 από μία τετραγωνική συνάρτηση U () U (0) k2, όπου k = U (0). Ετσι, οι ισοσταθμικές καμπύλες της (11.2.2) κοντά στο (0, 0) προσδιορίζονται από την εξίσωση 1 2 k y2 = E U (0). (11.2.5) α) Οταν k > 0, δηλαδή στην περίπτωση τοπικού ελαχίστου της U (όπου U (0) > 0) και E U (0) > 0, η εξίσωση (11.2.5) παριστάνει ελλείψεις. β) Οταν k < 0, δηλαδή στην περίπτωση τοπικού μεγίστου της U, η εξίσωση (11.2.5) παριστάνει υπερβολές. Ειδικώς για E = U (0) παίρνουμε τις εξισώσεις των διαχωριζουσών ευθειών (separatrices) y = ±k. Παρατηρούμε ότι οι τροχιές που ξεκινούν από σημεία επί δύο διαχωριζουσών ευθειών πλησιάζουν ασυμπτωτικά το σημείο ισορροπίας (0, 0) και οι τροχιές που ξεκινούν από σημεία επί των δύο άλλων διαχωριζουσών ευθειών απομακρύνονται από αυτό. Αν το αρχικό σημείο δεν βρίσκεται σε κάποια διαχωρίζουσα, θα κινηθεί κατά μήκος μιας υπερβολής, βλ. άνω αριστερά πορτραίτο φάσεων στο Σχήμα Παρατήρηση Η τοπική αυτή ανάλυση είναι ισοδύναμη με την γραμμικοποίηση του δυναμικού συστήματος (11.2.4) στο σημείο ισορροπίας που

7 11.2. Η ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 195 y y E 1 E 2 E 3 E 3 E 1 U() E 1 E 2 E 3 Σχήμα 11.3: Σάγμα του γραμμικού και του μή γραμμικού συστήματος. Τροχιές με ενέργεια E 2 είναι οι διαχωρίζουσες. Αυτές χωρίζουν τον χώρο των φάσεων σε τέσσερα χωρία που περιέχουν τροχιές με ενέργειες E 1 και E 3. υποθέσαμε ότι είναι η αρχή των αξόνων. Πράγματι το γραμμικό σύστημα που αντιστοιχεί στο (11.2.4) κοντά στο (0, 0) γράφεται u = Au με A = =. f (0) 0 U (0) 0 Οι ιδιοτιμές του A είναι ± U (0). Συμπεραίνουμε ότι: α) Στην περίπτωση τοπικού ελαχίστου της U (δηλαδή U (0) > 0) οι ιδιοτιμές είναι φανταστικές, οπότε το (0, 0) είναι κέντρο. β) Στην περίπτωση τοπικού μεγίστου της U (δηλαδή U (0) < 0) οι ι- διοτιμές είναι πραγματικές και ετερόσημες, οπότε το (0, 0) είναι σαγματοειδές σημείο. Θέτοντας k = U (0) τα ιδιοδιανύσματα γράφονται ως 1, ± k T. Οι τροχιές πλησιάζουν ασυμπτωτικά προς το σημείο ισορροπίας κατά την διεύθυνση του ιδιοδιανύσματος 1, k T που αντιστοιχεί στην αρνητική ιδιο-

8 196 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ τιμή και απομακρύνονται από αυτό κατά την διεύθυνση του ιδιοδιανύσματος 1, + k T που αντιστοιχεί στη θετική ιδιοτιμή. Δηλαδή οι διευθύνσεις των ιδιοδιανυσμάτων είναι ακριβώς οι διευθύνσεις των διαχωριζουσών ευθειών. Οσο απομακρυνόμαστε από το σημείο ισορροπίας οι τροχιές μοιάζουν ό- λο και λιγότερο με ελλείψεις ή υπερβολές, αλλά το πορτραίτο φάσεων είναι ποιοτικά το ίδιο. Για παράδειγμα ένα σημείο ισορροπίας που αντιστοιχεί σε ε- λάχιστο της δυναμικής ενέργειας περικυκλώνεται από κλειστές καμπύλες που αντιστοιχούν σε περιοδικές κινήσεις. Στην περίπτωση τοπικού μεγίστου της U οι διαχωρίζουσες τροχιές παύουν να είναι ευθείες και το πορτραίτο των φάσεων είναι όπως στο Σχήμα Το μαθηματικό εκκρεμές Το μαθηματικό εκκρεμές είναι ένα σύστημα που αποτελείται από μία σημειακή μάζα που κρέμεται από αβαρή ράβδο και εκτελεί απλές ταλαντώσεις, (σε αντίθεση με το νήμα η ράβδος επιτρέπει στο εκκρεμές να περιστρέφεται). Η κίνηση του μαθηματικού εκκρεμούς περιγράφεται από την εξίσωση θ = g l sin θ, ή με αλλαγή χρονικής κλίμακας ẍ = sin. Πρόκειται για μία ΔΕ δεύτερης τάξης που δεν λύνεται αναλυτικά. Μπορούμε όμως να μελετήσουμε ποιοτικά τις λύσεις με τις μεθόδους των Δυναμικών Συστημάτων. Κατά τα γνωστά, το ισοδύναμο σύστημα είναι ẋ = y, ẏ = sin. (11.3.1) Η δυναμική ενέργεια είναι U () = cos, συνεπώς οι τροχιές δίνονται από την y = ± 2 (E + cos ). Επιτρεπτές τιμές της ενέργειας είναι E 1. Τα κρίσιμα σημεία της U () = cos είναι = kπ, k = 0, ±1, ±2,..., βλ. Σχήμα Οι κλειστές καμπύλες περί το (0, 0) μοιάζουν με ελλείψεις και αντιστοιχούν σε μικρές ταλαντώσεις του εκκρεμούς. Οσο μεγαλώνει η ενέργεια, η περίοδος

9 11.3. ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ 197 U() π π y Σχήμα 11.4: Πορτραίτο φάσεων του μαθηματικού εκκρεμούς σε ένα υ- ποσύνολο του χώρου των φάσεων που περιλαμβάνει τα σημεία ισορροπίας ( π, 0), (0, 0), (π, 0). αυξάνει και τείνει στο άπειρο όταν η ενέργεια πλησιάζει την μέγιστη τιμή του δυναμικού (που αντιστοιχεί στην ανωτάτη κατακόρυφη θέση του εκκρεμούς). Ο χρόνος κίνησης κατά μήκος των διαχωριζουσών καμπυλών είναι άπειρος. Για ακόμα μεγαλύτερες τιμές της ενέργειας οι τροχιές παύουν να είναι κλειστές και το πρόσημο της ταχύτητας y παραμένει σταθερό (το εκκρεμές δεν ταλαντεύεται αλλά περιστρέφεται). Η ταχύτητα παίρνει τη μέγιστη τιμή της στο κατώτατο σημείο ισορροπίας και την ελάχιστη στο ανώτατο σημείο ισορροπίας. Επισημαίνουμε ότι δεν επιτύχαμε μία αναλυτική λύση του μαθηματικού εκκρεμούς. Ο λόγος είναι ότι το ολοκλήρωμα d = t + C, 2 (E + cos ) βλ. (11.2.3), δεν υπολογίζεται συναρτήσει στοιχειωδών συναρτήσεων, εκφράζεται όμως όπως θα δούμε ως ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους. Η ποιοτική όμως εικόνα του πορτραίτου φάσεων παρέχει όλες τις γενικές ιδιότητες των λύσεων (περιοδικότητα, ευστάθεια, ασυμπτωτική συμπεριφορά). Για την ολοκλήρωση της (11.2.3) επανερχόμαστε στην εξίσωση του μαθηματικού εκκρεμούς με τις αρχικές μεταβλητές θ = g sin θ. l

10 198 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η δυναμική ενέργεια είναι U (θ) = (g/l) cos θ, συνεπώς οι λύσεις δίνονται από την dθ dt = ± 2 E + g l cos θ. Με ολοκλήρωση λοιπόν θα έχουμε l dθ 2g E0 + cos θ = t t 1, 1 όπου θέσαμε μία νέα σταθερή E 0 = E(l/g). Οπως αναφέραμε το ολοκλήρωμα 1 dθ E0 + cos θ δεν υπολογίζεται συναρτήσει στοιχειωδών συναρτήσεων εκφράζεται όμως ως ελλειπτικό ολοκλήρωμα. Κατ αρχάς για τον προσδιορισμό της σταθεράς E 0 αρκεί να θυμηθούμε ότι αντιστοιχεί στη μέγιστη δυναμική ενέργεια του εκκρεμούς, δηλαδή στη μέγιστη γωνία α του εκκρεμούς. Επειδή θ = 0 όταν θ = α, προκύπτει αμέσως E 0 = cos α. Επομένως αρκεί να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα 0 dθ cos θ cos α, όπου επιλέξαμε τη στιγμή t 1 = 0, αρχική γωνία 1 = 0. Αντικαθιστούμε τα συνημίτονα συναρτήσει των ημιτόνων του μισού τόξου, π.χ. cos θ = 1 2 sin 2 (θ/2) και ορίζουμε μία νέα μεταβλητή u θέτωντας sin θ 2 = sin α 2 sin u, 0 u π 2. Λαμβάνοντας υπ όψιν τον υπολογισμό του διαφορικού dθ, το ολοκλήρωμά μας παίρνει τη μορφή 2 u1 0 du 1 k2 sin 2 u, k = sin α 2. Επομένως η περίοδος του εκκρεμούς θα δίνεται από τον τύπο l π/2 du T = 4 g 1 k2 sin 2 u. Το πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους K (k, π/2) = π/2 0 0 du 1 k2 sin 2 u, 0 < k < 1

11 11.3. ΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΚΚΡΕΜΕΣ 199 δεν υπολογίζεται αναλυτικά, αλλά ασυμπτωτικά δίνεται από την σχέση K (k, π/2) = π k 2 + k 4 + k Υπόδειξη: Αναπτύξτε κατά Taylor την υπό ολοκλήρωση συνάρτηση. Προς διευκόλυνσή σας δίνεται το ανάπτυγμα, 1 = O 4. Μπορείτε επίσης να γράψετε Series[EllipticK[k], {k, 0, 6} ] στη Mathematica. Ο τύπος για την περίοδο μπορεί να γραφεί λοιπόν ως l T = 2π 1 + g 2 1 k k k Για παράδειγμα αν α = 30, οπότε k = sin 15 = 0.258, η διόρθωση πρώτης τάξης στον τύπο του απλού εκκρεμούς είναι περίπου 1.7%. Το άθροισμα μέσα στην αγκύλη μέχρι τον όρο k 6 είναι , επομένως η πρώτης τάξη προσέγγιση σχεδόν ταυτίζεται με την τρίτης τάξης προσέγγιση. όριο της σειράς δεν είναι πολύ διαφορετικό: 2 K (0.258, π/2) π Το η σειρά συγκλίνει στην τιμή

12