Πρόλογος Α έκδοση Μιγαδικών συναρτήσεων Οι Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής (Μ.Μ.Φ.) αποτελούν ένα αντικείµενο µε πολύ ευρύ περιεχόµενο. εν ϑα ήταν ίσως υπερβολή, αν έλεγε κανείς ότι σε τελευταία ανάλυση περιλαµβάνουν όλες τις µαθηµατικές γνώσεις που χρειάζεται ένας ϕυσικός για τη µελέτη των ϕυσικών ϕαινοµένων. Στην πράξη, µε τον τίτλο Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής, αναφερόµαστε συνήθως σ ένα σύνολο µαθηµατικών γνώσεων, συµπληρωµατικών των ϐασικών γνώσεων `Αλγεβρας, Αναλύσεως και Γεωµετρίας που παρέχουν σ ένα Φυσικό συστηµατικούς µα- ϑηµατικούς τρόπους για την επίλυση ϕυσικών προβληµάτων. Εξυπακούεται ότι η παρουσίαση των γνώσεων αυτών ϑα πρέπει να γίνεται κατά έναν τρόπο που να είναι προσιτός στο Φυσικό και να εκπληρώνεται ο σκοπός που επιδιώκεται. Φυσικά, τόσο η ακριβής έκταση ενός µαθήµατος ή µαθηµάτων πάνω στις Μ.Μ.Φ. όσο και το επίπεδο διδασκαλίας ποικίλει στην πράξη, ανάλογα µε το διαθέσιµο χρόνο και τις γνώσεις που προϋπάρχουν. Είναι χρήσιµο να τονίσει κανείς στο σηµείο αυτό ότι για ένα Φυσικό τα Μαθηµατικά δεν αποτελούν σκοπό παρά εργαλείο. Ετσι η µεγάλη έµφαση στη µαθηµατική αυστηρότητα σε αποδείξεις πολύπλοκων ϑεωρηµάτων, σε άσκοπες λεπτοµέρειες κτλ., εκτός του ότι είναι δυσχερής, δεν είναι και ενδεδειγµένη. Αντίθετα χρειάζεται να δοθεί έµφαση στους τρόπους εφαρµογής των Μαθηµατικών. εν πρέπει πάντως να ξεχνάµε ότι για να πετύχει κανείς κάτι τέτοιο, χρειάζεται να έχει ξεκάθαρες ιδέες για τις Μαθηµατικές έννοιες που χρησιµοποιεί, σαφείς γνώσεις των προϋποθέσεων εφαρµογής των διάφορων ϑεωρηµάτων, µεθόδων κτλ.. Σ αυτό ϐοηθάει σηµαντικά και η παρουσίαση των µαθηµατικών γνώσεων στα πλαίσια των Μ.Μ.Φ.. Νοµίζουµε ότι ϑα πρέπει να τη χαρακτηρίζει, εκτός από την τάξη κατά την έκθεση των διαφόρων ϑεµάτων, και ένας κατάλληλος συνδυασµός µεταξύ παραστατικού τρόπου εισαγωγής των εννοιών κτλ. (που ϐοηθάει πολλές ϕορές σηµαντικά στην κατανόηση και αφοµοίωση τους) και αυστηρής µαθηµατικής τους ϑεµελιώσεως (που δε ϑα πρέπει να ϑυσιάζεται εύκολα, για να αποφεύγεται έτσι η ατελής γνώση και οι
ii παρανοήσεις που µπορεί να υπάρξουν). Η χρησιµοποίηση κατόπιν των δια- ϕόρων µεθόδων σε συγκεκριµένα προβλήµατα από κλάδους της Κλασικής και Νεότερης Φυσικής υπό µορφή εφαρµογών ή ασκήσεων, ϐοηθάει το Φυσικό, ο οποίος ασχολήθηκε µε τα µαθηµατικά ϑέµατα που προηγήθηκαν, στο να εξοικειωθεί µε τον τρόπο εφαρµογής των µεθόδων αυτών και να διεγείρει το ενδιαφέρον του. Μια τέτοια µεθοδολογία προσπαθήσαµε να ακολουθήσουµε κατά ένα µέρος και στη συγγραφή αυτού του ϐιβλίου. Οι Μιγαδικές συναρτήσεις που πραγµατεύεται το ϐιβλίο αυτό αποτελούν ένα µέρος των Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής, η σηµασία του οποίου ϑα ήταν περιττό να τονιστεί. Στην ανάπτυξη της ϑεωρίας των µιγαδικών συναρτήσεων, που αποτελεί έναν ενδιαφέροντα κλάδο και από καθαρά µαθηµατική πλευρά, έχουν συµβάλει πολλοί Μαθηµατικοί µεταξύ των οποίων και µια πλειάδα µεγάλων Μαθηµατικών, όπως π.χ. οι L. Euler, J.L. Lagrange, C.F. Gauss, B. Riemann, K. Weierstrass, J. Liouville, µε προεξάρχοντα τον A.L. Cauchy, για να αναφέρουµε µερικά µόνο ονόµατα. Οταν οι Μαθηµατικοί πριν από µερικούς αιώνες εισήγαγαν τη ϕανταστική µονάδα και τους µιγαδικούς αριθµούς για να πετύχουν κατά έναν τυπικό τρόπο τη δυνατότητα επιλύσεως κάθε αλγεβρικής εξισώσεως δεύτερου ϐαθµού, ϑα ήταν αρκετά δύσκολο να διανοηθεί κανείς, και αν ακόµη διέθετε την πιο τολµηρή ϕαντασία, ότι έτσι έµπαιναν οι ϐάσεις ενός µαθηµατικού τοµέα που ϑα ήταν ιδιαίτερα πρόσφορος στο να χρησιµοποιηθεί πολλές ϕορές, είτε για την παροχή πολύτιµου ϐοηθητικού µέσου για την περιγραφή της απτής ϕυσικής πραγµατικότητας είτε για την επίλυση υπολογιστικών προβληµάτων που σχετίζονται µε αυτή. Για να πειστεί κανείς για αυτό, δεν έχει παρά να ϱίξει µια µατιά στα εδάφια 1.1 και 2.5, όπου γίνεται ιδιαίτερη αναφορά στην χρησιµότητα και στις εφαρµογές των µιγαδικών συναρτήσεων σε ϕυσικά προβλήµατα. Η ύλη που περιέχεται στο ϐιβλίο αυτό είναι κατά το µεγαλύτερο µέρος της εισαγωγική. Ορισµένα ϑέµατα είναι κάπως πιο προχωρηµένα. Τα ϑέµατα αυτά καθώς και µερικά άλλα ϑα µπορούσαν να παραλειφθούν σε πρώτη ανάγνωση, και αρκετά από αυτά να αποτελέσουν ένα µέρος ειδικότερων ϑεµάτων ϑεωρίας µιγαδικών συναρτήσεων στα πλαίσια ενός κατ επιλογή προπτυχιακού ή ενός µεταπτυχιακού µαθήµατος Μ.Μ.Φ. για όσους Φυσικούς έχουν ϑεωρητικά ενδιαφέροντα. Τα ϑέµατα που προαναφέραµε σηµειώνονται στο κείµενο µε ένα +. Σε εξαιρετικές περιπτώσεις µέσα σε ένα εδάφιο στην αρχή του οποίου υπάρχει το σύµβολο + ακολουθεί η ένδειξη (+), που σηµαίνει ότι ειδικά το µέρος αυτό του εδαφίου δε συνιστάται να παραλειφθεί. Φυσικά, η επιλογή της ύλης ϱυθµίζεται από αυτούς που ϑα διδάξουν το µάθηµα και οι οποίοι µπορούν να κάνουν τις κατάλληλες επιλογές, ανάλογα και µε το διαθέσιµο χρόνο. Ελπίζουµε να δοθεί η ευκαιρία µελλοντικά, ορισµένα ϑέµατα που περιέ-
iii χονται στο ϐιβλίο αυτό να αναπτυχθούν εκτενέστερα και να γίνει και µία προσθήκη δεύτερου µέρους, που ϑα καλύπτει µερικά ειδικότερα ϑέµατα πάνω στη ϑεωρία των µιγαδικών συναρτήσεων, καθώς και τη µελέτη των Ειδικών Συναρτήσεων που παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον από την πλευρά της Φυσικής. Το όλο σύγγραµµα ϑα ϑέλαµε να ϑεωρηθεί ότι αποτελεί µια ενότητα. Θα ήταν παράλειψη, αν δεν ευχαριστούσαµε και από τη ϑέση αυτή όλους όσους µας ϐοήθησαν κατά τη συγγραφή του ϐιβλίου και κυρίως στη διόρθωση του αρχικού κειµένου ή µέρους αυτού. Ξεχωριστά ϑα ϑέλαµε να αναφέρουµε το προσωπικό του Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης και ιδιαίτερα τους Λέκτο- ϱες κ. Κ. ασκαλογιάννη, Χ. Κούτρουλο και τους Φυσικούς Χ. Πάνο και Κ. Υψηλάντη, καθώς και τους ϕοιτητές µας, Θ. Κουπελή, Β. Παπαβασιλείου, Ε. Κυριακίδου και Α. Βαρωνίδη. Επίσης για τον ίδιο λόγο το ϕοιτητή µας. Φό- ϱη και ιδιαίτερα τον πατέρα του το ϕιλόλογο κ. Βασίλειο Φόρη, διευθυντή του Ινστιτούτου Νεοελληνικών Σπουδών του Πανεπιστηµίου µας, που µε µεγάλη υποµονή έκανε πολλές γλωσσικές διορθώσεις ϐελτιώνοντας την προσπάθειά µας να γράψουµε το κείµενο σε νεοελληνική γλώσσα χωρίς ακρότητες. Ευχαριστίες οφείλονται επίσης στην κ. Χ. Παντελίδου και στην κ. Α. Κανδύλη για τη δακτυλογράφηση καθώς και στους τυπογράφους κ. Γιαπούλη, Γιαχούδη. Θα ήταν περιττό να αναφερθεί ότι για όσες αβλεψίες ή λάθη την ευθύνη την έχουµε εµείς. Κάθε υπόδειξη για διορθώσεις ή ϐελτιώσεις ϑα ήταν ευπρόσδεκτη. Τελειώνοντας ϑα ϑέλαµε να εκφράσουµε την ευχή να αποτελέσει για τους ϕοιτητές των Τµηµάτων Φυσικής της πατρίδας µας το σύγγραµµα µας αυτό, µαζί µε όσα επίσης είναι πιθανό να ακολουθήσουν, ένα χρήσιµο εφόδιο, που συµβάλει στην κατά ένα συνειδητό τρόπο αύξηση των γνώσεων τους καθώς και για µερικούς από αυτούς, στην απόκτηση ολοκληρωµένου µαθηµατικού υποβάθρου για την ανάπτυξη µεταπτυχιακών σπουδών σε διάφορους κλάδους της Θεωρητικής Φυσικής. Θεσσαλονίκη, 1983 Μ.Ε.Γ. Α έκδοση Αναλύσεως Fourier Ενα από τα ϑέµατα που διαπραγµατεύονται οι Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής είναι η Ανάλυση Fourier που περιγράφεται στο παρόν ϐιβλίο το οποίο ϑα πρέπει να ϑεωρηθεί ως συνέχεια του ϐιβλίου Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής - Μιγαδικές Συναρτήσεις που γράφτηκε πριν από µερικά χρόνια από τον
iv συγγραφέα του παρόντος σε συνεργασία µε τον Καθηγητή κ. Μ. Γρυπαίο. Η Ανάλυση Fourier είναι ένα πολύ χρήσιµο µαθηµατικό εργαλείο" της Θεωρητικής Φυσικής και έχει πολλές εφαρµογές. Ενδεικτικά αναφέρουµε την εφαρµογή της σε προβλήµατα διάδοσης ϑερµότητας, διάδοσης κυµάτων, στην περίθλαση, στη δοµή των κρυστάλλων και των πυρήνων και στη ϑεωρία κυκλω- µάτων. Τέλος στην Κβαντοµηχανική, η κυµατοσυνάρτηση στο χώρο των ϑέσεων και στο χώρο των ορµών αποτελούν ένα Ϲεύγος Fourier ενώ χρησιµοποιείται και στην απόδειξη των σχέσεων του Heisenberg. Επειδή ο κύριος σκοπός του µαθήµατος δεν είναι η ενασχόλησή µας µε τις εφαρµογές της ανάλυσης Fourier, αλλά να γίνει κατανοητή η χρήση των Σειρών και των Μετασχηµατισµών Fourier, δεν δίνεται πολύ µεγάλη έκταση στις εφαρµογές. Άλλωστε, αυτό είναι αντικείµενο των διαφόρων µαθηµάτων που διδάσκονται στο Τµήµα Φυσικής. Οι ϕοιτητές που ενδιαφέρονται ιδιαίτερα για τις εφαρµογές, µπορούν να ανατρέξουν στη ϐιβλιογραφία και κυρίως στο ϐιβλίο του Οµότιµου Καθηγητή κ. Π. Ρεντζεπέρη : Εισαγωγή στην Ανάλυση Fourier µε Εφαρµογές στη Φυσική που επί πολλά χρόνια χρησιµοποιήθηκε από τους ϕοιτητές του Τµήµατος Φυσικής καθώς και από τον συγγραφέα του παρόντος που και από τη ϑέση αυτή ϑα ήθελε να τον ευχαριστήσει για ό,τι έµαθε αναφορικά µε την Ανάλυση Fourier και όχι µόνο. Το ϐιβλίο αποτελείται από δύο ενότητες και δύο παραρτήµατα. Στην πρώτη ενότητα ορίζονται οι ορθογώνιες συναρτήσεις και οι Σειρές Fourier που είναι χρήσιµες στη µελέτη περιοδικών ϕαινοµένων (συναρτήσεων) ενώ στη δεύτερη ορίζονται οι Μετασχηµατισµοί Fourier που είναι χρήσιµοι στη µελέτη µη πε- ϱιοδικών ϕαινοµένων. Για απλότητα παραλείφθηκαν οι αποδείξεις ορισµένων ϑεωρηµάτων, οι οποίες µπορούν να ϐρεθούν στη ϐιβλιογραφία που υπάρχει στο τέλος του ϐιβλίου. Στο ϐιβλίο υπάρχουν αρκετές λυµένες ασκήσεις, ορισµένες από τις οποίες έχουν σχέση µε προβλήµατα που συναντάµε στη Φυσική, όπως για παράδειγ- µα η εύρεση της έντασης ενός κυκλώµατος όταν η τάση είναι τυχαία περιοδική ή µη περιοδική συνάρτηση του χρόνου. Τέλος στο πρώτο παράρτηµα υπάρχει η απόδειξη της συγκλίσεως των Σει- ϱών Fourier, ενώ στο δεύτερο υπάρχουν ο ορισµός και οι ιδιότητες της γενικευµένης συναρτήσεως δ του Dirac. Θεσσαλονίκη 2001
v Β έκδοση Το περιεχόµενο της β αυτής εκδόσεως είναι, κατά το µεγαλύτερο µέρος, το ίδιο µε εκείνο της α εκδόσεως. Υπάρχουν πάντως και διαφορές, όπως, για παράδειγµα, προσθήκες στο κυρίως κείµενο ορισµένων ϑεµάτων και παραδειγµάτων, που ϐοηθούν σηµαντικά τον αναγνώστη στην καλύτερη κατανόηση των αναφεροµένων καθώς και στην επιτυχέστερη εφαρµογή τους. Μεταξύ αυτών ϑα µπορούσαµε να µνηµονεύσουµε τη συνοπτική παρουσίαση της ϑεωρίας των έξι πρώτων κεφαλαίων των µιγαδικών συναρτήσεων καθώς και διάφορες ταξινοµήσεις των τρόπων µε τους οποίους λύνουµε διάφορες ασκήσεις όπως για παράδειγµα η αναπαράσταση των αναλυτικών συναρτήσεων µε σειρές Taylor ή Laurent, ο χαρακτηρισµός ενός σηµείου µιας αναλυτικής συναρτήσεως κλπ. Επί πλέον έγινε αρτιότερη παρουσίαση πολλών σχηµάτων καθώς και διόρ- ϑωση αβλεψιών που εντοπίστηκαν. Η κυριότερη όµως διαφορά ϑα πρέπει να αναφερθεί ότι είναι η προσθήκη αξιόλογου αριθµού λυµένων ασκήσεων στα πρώτα έξι από τα εννέα κεφάλαια των µιγαδικών συναρτήσεων, όπως και ασκήσεων στις οποίες έχουν συµπεριληφθεί και υποδείξεις για τη λύση τους. Οι ασκήσεις αυτές ϑα δώσουν την ευκαιρία στον αναγνώστη να αποκτήσει πολύτιµη εµπειρία για την προετοιµασία του στις εξετάσεις. Οι προσθήκες αυτές έγιναν από τον ένα από τους συγγραφείς (Σ.Η.Μ), ο οποίος δίδαξε και το µά- ϑηµα των Μαθηµατικών Μεθόδων Φυσικής (Μ.Μ.Φ.) για πολλά χρόνια και ο οποίος είχε και το µεγαλύτερο ϐάρος της πρώτης εκδόσεως. Τέλος, στο τεύχος των Μιγαδικών συναρτήσεων προστέθηκε ως ϐ µέρος των Μ.Μ.Φ., το τεύχος το σχετικό µε την Ανάλυση Fourier και τη γενικευµένη συνάρτηση δέλτα υπό Σ.Η. Μάσεν. Ευχαριστίες οφείλονται στους Φυσικούς, διδάκτορες του Τµήµατος Φυσικής του Α.Π.Θ., κ.κ. Κ. Χατζησάββα και Π. Πορφυριάδη και στον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Χ. Πάνο για την κριτική ανάγνωση του κειµένου και τις εύστοχες παρατηρήσεις και υποδείξεις. Ευχαριστούµε επίσης τον κ. Κ. Χατζησάββα για την υποστήριξη και τις παρατηρήσεις του κατά τη συγγραφή του ϐιβλίου µε το τυπογραφικό σύστηµα LaTEX. Θεσσαλονίκη 2009 Μ.Ε.Γ.