Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Transcript

1 Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004

2 Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από τη συγγραφέα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα ISBN: ª: Εκδόσεις Χριστοδουλίδη- Α. & Π. Χριστοδουλίδη Ο.Ε. Κεντρικό - Βιβλιοπωλείο: Κ. Μελενίκου 17, τηλ Γραφεία - Aποθήκη: Κ. Μελενίκου 22, τηλ , fax , 54635, Θεσσαλονίκη. Web site: info@xristodoulidi.gr Áðáãïñåýåôáé ç áíáäçµïóßåõóç êáé ãåíéêü ç áíáðáñáãùãþ åí üëù Þ åí µýñåé Þ êáé ðåñéëçðôéêü, êáôü ðáñüöñáóç Þ äéáóêåõþ, ôïõ ðáñüíôïò Ýñãïõ µå ïðïéïäþðïôå µýóï Þ ôñüðï, µç áíéêü, çëåêôñïíéêü, öùôïôõðéêü êáé ç ïãñáöþóåùò Þ Üëëùò ðùò óýµöùíá µå ôïõò Í.2387/1920, 4301/1929, ôá Í.Ä. 3565/56, 4254/62, 4264/75, Í.100/74 êáé ëïéðïýò åí ãýíåé êáíüíåò Äéåèíïýò Äéêáßïõ, ùñßò ðñïçãïýµåíç ãñáðôþ Üäåéá ôïõ óõããñáöýá êáé ôïõ åêäüôç.

3 Αφιερώνεται στα παιδιά μου Γιώργο, Μαρία-Χριστίνα και Ντίνα και στις εγγονές μου Κατερίνα και Μαρία

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΦΑΛΜΑΤΑ Ορισμοί Είδη σφαλμάτων Μετάδοση σφαλμάτων κατά τους υπολογισμούς Σφάλμα συνάρτησης... 7 Ασκήσεις... 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ 2.1 Παράσταση αριθμών σε διαφορετικές βάσεις Μετατροπή αριθμών σε διαφορετικές βάσεις Μετατροπή ακέραιου μέρους Μετατροπή κλασματικού μέρους Αριθμητική κινητού σημείου (Floating Point Arithmetic) Παράσταση ακέραιου αριθμού στη μηχανή Εσωτερική παράσταση πραγματικού αριθμού Ασκήσεις Διάδοση σφαλμάτων αριθμητικών υπολογισμών μέσα στις υπολογιστικές μηχανές Απώλεια σημαντικότητας Ρυθμός και βαθμός σύγκλισης Αριθμητική ευστάθεια, αστάθεια και κατάσταση προβλημάτων Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 3.1 Γενικά Υπολογισμός τιμών πολυωνύμων Αλγόριθμος Horner Yπολογισμός τιμών παραγώγων πολυωνύμου βαθμού n Αλγόριθμος Horner Γενικός Αλγόριθμος Horner Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ 4.1 Ορισμοί Πίνακες διαφορών Προς τα μπρος διαφορές Προς τα πίσω διαφορές Κεντρικές διαφορές Τύποι για παρεμβολή με πολυώνυμα Πολυώνυμα παρεμβολής για ανισαπέχοντα ορίσματα Το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange Το πολυώνυμο παρεμβολής Newton Ανάλυση σφάλματος παρεμβολής Παρεμβολή τιμών συνάρτησης και των παραγώγων της Παρεμβολή Hermite Aσκήσεις... 64

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ FOURIER 5.1 Γενικότητες-Ορθογωνικές συναρτήσεις Συνεχείς σειρές Fourier Ανάπτυγμα κατά Fourier σε μιγαδική μορφή Το ολοκλήρωμα Fourier Πεπερασμένες σειρές Fourier Aσκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ 6.1 Γενικά Προσεγγιστικές παράγωγοι Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 7.1 Γενικά Μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης Κανόνας ορθογωνίου (Rectangle rule) Κανόνας μέσου σημείου Κλειστοί τύποι των Newton-Cotes Κανόνας τραπεζίου (Τrapezoid rule) Κανόνας Simpson Mέθοδος Romberg Πολλαπλά Ολοκληρώματα Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 8.1 Γενικά Μέθοδος διχοτόμησης (Bisection method) Mέθοδος regula-falsi ή falsi position Τροποποιημένη μέθοδος regula-falsi Μέθοδος τέμνουσας (secant method) Mέθοδος Νewton Γενική επαναληπτική μέθοδος Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ 9.1 Γενικά Η ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων Το πολυώνυμο των ελαχίστων τετραγώνων Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΥΠΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΥΠΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

6 Πρόλογος «ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ» ΚΑΙ «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» είναι έννοιες σχεδόν ταυτόσημες και αποτελούν τον κλάδο των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών που ασχολείται με την «διακριτοποίηση» και την εύρεση προσεγγιστικών λύσεων Μαθηματικών προβλημάτων των οποίων η αναλυτική λύση είναι αδύνατον να βρεθεί αναλυτικά ή σχεδόν ακατόρθωτη. Το θεωρητικό μέρος της Αριθμητικής Ανάλυσης περιλαμβάνει την κατασκευή αριθμητικών μεθόδων ή αλγορίθμων και την μελέτη της ακρίβειας και της ευστάθειας τους, δηλαδή, την ανάλυση των σφαλμάτων τους. Το εφαρμοσμένο μέρος αφορά τον προγραμματισμό των αλγορίθμων σε μια γλώσσα προγραμματισμού Η/Υ με τον βέλτιστο τρόπο, δηλαδή, με όσο το δυνατό λιγότερο υπολογιστικό χρόνο (CPU) και απαιτούμενο χώρο μνήμης (RAM). Το θεωρητικό και το εφαρμοσμένο μέρος είναι, συνήθως, αλληλένδετα. Με την ανάπτυξη των υπολογιστικών συστημάτων τα τελευταία χρόνια η ανάγκη οργάνωσης αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση προβλημάτων επιστημονικών εφαρμογών έγινε επιτακτική. Για την περιγραφή κάποιου φυσικού φαινομένου εφαρμόζονται συχνά μαθηματικά μοντέλα, δηλαδή σύνολα γνωστών και άγνωστων μεταβλητών και παραμέτρων καθώς και μαθηματικών σχέσεων που συνδέουν αυτές, που πολλές φορές λόγω της πολυπλοκότητας του φαινομένου η αναλυτική τους λύση είτε είναι αδύνατο να βρεθεί, ή σχεδόν ακατόρθωτη. Στις περιπτώσεις αυτές το μαθηματικό μοντέλο προσεγγίζεται από ένα αριθμητικό μοντέλο, που η λύση του απαιτεί είτε έναν προσεγγιστικό τύπο είτε πεπερασμένο αριθμό βημάτων με πεπερασμένο αριθμό πράξεων σε κάθε βήμα που καλείται «αλγόριθμος». Η μέθοδος εύρεσης της προσεγγιστικής λύσης ενός μαθηματικού μοντέλου εφαρμόζοντας κάποιο αριθμητικό μοντέλο είναι γνωστή σαν αριθμητική μέθοδος επίλυσης του μοντέλου και με αυτές τις αριθμητικές μεθόδους θα ασχοληθούμε κυρίως στο βιβλίο αυτό. Είναι φανερό ότι η προσέγγιση ενός μαθηματικού μοντέλου από αριθμητικό εισάγει κάποιο σφάλμα. Σε πολλές από τις αναφερόμενες, εδώ, αριθμητικές μεθόδους δίνεται το σφάλμα ή ένα άνω φράγμα του σφάλματος αυτού σε συνάρτηση με διάφορες γνωστές παραμέτρους που εμφανίζονται στην αριθμητική μέθοδο. Γίνεται προσπάθεια, με το βιβλίο αυτό, να εφοδιαστεί ο αναγνώστης με την απαιτούμενη γνώση στοιχείων των μαθηματικών μεθόδων που εφαρμόζονται στη σύνθεση και αριθμητική λύση των μαθηματικών μοντέλων. Ετσι μπορούν να καλυφθούν οι ανάγκες σπουδαστών και επιστημόνων των Θετικών Επιστημών που αναφέρονται σε χρήση αριθμητικών μεθόδων. Οι μέθοδοι που περιλαμβάνονται για την εύρεση προσεγγιστικής λύσης απαιτούν ή υπολογισμούς με το χέρι ή με αριθμομηχανή ή και ακόμη με υπολογιστή. Εφ όσον η γνώση χρήσης ηλεκτρονικού υπολογιστή και μιας ανώτερης Γλώσσας Προγραμματισμού προϋπάρχει, ο αναγνώστης μπορεί να προγραμματίσει πολλούς από τους αναφερόμενους αλγόριθμους για τη λύση διαφόρων προβλημάτων, που είτε εμφανίζονται σαν άλυτες ασκήσεις στο κείμενο είτε προκύπτουν κατά τη διάρκεια μιας επιστημονικής έρευνας, αυξάνοντας ευκαιριακά την επίδοσή του. Η εμφάνιση πολλών παραδειγμάτων και λύσεων στο κείμενο στοχεύει στην πρόσδοση

7 2 στον αναγνώστη υπολογιστικής εμπειρίας με οργανωμένο τρόπο και που βέβαια ο καθένας θα μπορούσε να αναπτύξει μόνος του. Το παρόν βιβλίο περιλαμβάνει τα κεφάλαια: περί σφαλμάτων, παράσταση αριθμών και σφάλματα, προσεγγιστικές συναρτήσεις, παρεμβολή, σειρές Fourier, αριθμητική παραγώγιση, αριθμητική ολοκλήρωση, αριθμητική λύση μη-γραμμικών εξισώσεων, μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, καθώς και ένα παράρτημα με τους τύπους της Αριθμητικής Ανάλυσης και γενικότερα των Μαθηματικών που συνήθως χρησιμοποιούνται στην Αριθμητική Ανάλυση. Τέλος δίνεται μια σειρά ξένης και ελληνικής βιβλιογραφίας σε Εφαρμοσμένα Μαθηματικά και Αριθμητική Ανάλυση (που είτε χρησιμοποιήθηκαν για τη συγγραφή του παρόντος βιβλίου είτε μπορούν να χρησιμοποιηθούν από τον αναγνώστη σαν μια επέκταση των αναφερομένων εδώ). Το παρόν βιβλίο αποτελεί μετεξέλιξη του βιβλίου της ίδιας συγγραφέως «Ανώτερα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά και Αριθμητικές Μέθοδοι» καθώς και σημειώσεων των «Υπολογιστικών Μαθηματικών Ι», και αποτελεί το απόσταγμα της εκπαιδευτικής εμπειρίας των τελευταίων είκοσι και πλέον ετών της συγγραφέως σε μαθήματα Αριθμητικής Ανάλυσης και Υπολογιστικών Μαθηματικών, κυρίως των τμημάτων Μαθηματικών και Γεωλογίας, καθώς και Φυσικής, Πληροφορικής του Α.Π.Θ., που κατά καιρούς χρησιμοποιήθηκαν στα αντίστοιχα μαθήματά τους. Απευθύνεται κυρίως σε φοιτητές Μαθηματικών τμημάτων, Σχολών Θετικών Επιστημών και Πολυτεχνείων, με προαπαιτούμενες γνώσεις Γραμμικής Άλγεβρας και Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού. Θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στην οικογένειά μου για την κατανόησή τους στην προσπάθειά μου αυτή. Από τη θέση αυτή θέλω να ευχαριστήσω όλους όσους συνέβαλαν στην πραγματοποίηση και έκδοση αυτού του βιβλίου καθώς και την κ. Νίκη Κωνσταντινίδη για την επιμελημένη δακτυλογράφηση του κειμένου, την κ. Μίνα Χριστοδουλίδου για τη σελιδοποίηση του βιβλίου, τον κ. Ευριπίδη Φιλιππίδη για το σχεδιασμό των σχημάτων και του εξωφύλλου και γενικά τις Εκδόσεις Χριστοδουλίδη για την επιμελημένη έκδοση. Θα ήθελα, τέλος, να ευχαριστήσω εκ των προτέρων όλους εκείνους που θα υποδείξουν τυχόν λάθη και παραλείψεις που θα πέσουν στην αντίληψή τους. Θεσσαλονίκη 2003 Μ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια