Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Transcript

1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Στοιχειώδεις παρατηρήσεις Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών αριθµών Μέτρο και όρισµα του γινοµένου µιγαδικών αριθµών Ρίζες µιγαδικών αριθµών Ακολουθίες µιγαδικών αριθµών. Το σηµείο άπειϱο ( ) Ακολουθίες µιγαδικών αριθµών Το κατ εκδοχή σηµείο άπειρο ( ) Ασκήσεις Κεφαλαίου Ανασκόπηση - Παρατηρήσεις Λυµένες ασκήσεις Άλυτες ασκήσεις ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Χρήσιµοι ορισµοί Ορισµός και παραδείγµατα συναρτήσεων µιας µιγαδικής µετα- ϐλητής Στοιχειώδεις συναρτήσεις Πολυωνυµικές και ϱητές αλγεβρικές συναρτήσεις Εκθετικές συναρτήσεις Τριγωνοµετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις Λογάριθµοι Μη ϱητές δυνάµεις µιας µιγαδικής µεταβλητής Σηµεία διακλαδώσεως, τοµές, επιφάνεια Riemann Εισαγωγικά παραδείγµατα και ϐασικοί ορισµοί Μονοσηµαντοποίηση πλειότιµων συναρτήσεων. Επιφάνειες Riemann

2 viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Επιπρόσθετα παραδείγµατα Χρησιµότητα των µιγαδικών αριθµών και συναρτήσεων Μιγαδική παράσταση κύµατος Μιγαδική συχνότητα, κυµατοδιάνυσµα και δείκτης δια- ϑλάσεως Η κυµατοσυνάρτηση ενός σωµατίου Μιγαδική ενέργεια και µιγαδικό δυναµικό Εφαρµογή στη Φυσική : Κύκλωµα συντονισµού σε σειρά Ασκήσεις Κεφαλαίου Ανασκόπηση - Παρατηρήσεις Λυµένες ασκήσεις Άλυτες ασκήσεις ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Παράγωγος µιγαδικής συναρτήσεως Συνθήκες Cauchy - Riemann Παραδείγµατα αναλυτικών συναρτήσεων Αρµονικές συναρτήσεις Εφαρµογή στη Φυσική - Τετραπολικός ϕακός Ασκήσεις Κεφαλαίου Ανασκόπηση - Παρατηρήσεις Λυµένες ασκήσεις Άλυτες ασκήσεις ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ταξινόµηση των καµπυλών στο µιγαδικό επίπεδο Ορισµός του ολοκληρώµατος µιγαδικής συναρτήσεως Απλά παραδείγµατα υπολογισµού ολοκληρωµάτων Θεώρηµα του Cauchy Θεώρηµα του Cauchy για απλά συνεκτικό τόπο Θεώρηµα του Cauchy για πολλαπλά συνεκτικό τόπο Τύπος του Cauchy Ολοκληρωτική παράσταση παραγώγου n-τάξεως Θεώρηµα του Morera Πορίσµατα του τύπου του Cauchy Ασκήσεις Κεφαλαίου Ανασκόπηση - Παρατηρήσεις Λυµένες ασκήσεις Άλυτες ασκήσεις

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ix 5 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σειρές Taylor Σειρές Laurent Συµπληρωµατικές παρατηρήσεις πάνω στις σειρές Εφαρµογή στη Φυσική : Παράδειγµα από την Οπτική Ασκήσεις Κεφαλαίου Ανασκόπηση - Παρατηρήσεις Λυµένες ασκήσεις Άλυτες ασκήσεις ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Είδη ανώµαλων σηµείων Ολοκληρωτικό υπόλοιπο µιας συναρτήσεως Θεώρηµα των υπολοίπων Κατηγορίες µιγαδικών συναρτήσεων Ασκήσεις Κεφαλαίου Ανασκόπηση - Παρατηρήσεις Λυµένες ασκήσεις Άλυτες ασκήσεις ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Λήµµα του Jordan Γενικευµένα ολοκληρώµατα Κύρια τιµή γενικευµένου ολοκληρώµατος π 7.3 Ολοκληρώµατα της µορφής R(sin θ, cos θ) dθ Ολοκληρώµατα της µορφής f(x) dx Ολοκληρώµατα της µορφής f(x) eimx dx Ολοκληρώµατα της µορφής 0 x α 1 R(x) dx Παραµόρφωση του δρόµου. Μετακίνηση των πόλων Σχέσεις Kramers Kronig (σχέσεις διασποράς) Εφαρµογή στη Φυσική Υπολογισµός της συναρτήσεως Green στην Κβαντοµηχανική µελέτη του ϕαινοµένου της σκεδάσεως Ολοκληρώµατα του Fresnel της ϑεωρίας περιθλάσεως Υπολογισµός ενός χρήσιµου ολοκληρώµατος και χρησι- µοποίησή του στην Κβαντοµηχανική Ασκήσεις Κεφαλαίου Ανασκόπηση - Παρατηρήσεις Άλυτες ασκήσεις

4 x ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 8 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΠΕΚΤΑΣΗ Εισαγωγικό παράδειγµα ιαδικασία αναλυτικής επεκτάσεως Χρήσιµες προτάσεις. Θεώρηµα ταυτότητας Θεώρηµα µονοδρόµου. Πλειότιµες πλήρεις αναλυτικές συναρτήσεις Αρχή ανακλάσεως του Schwarz Τρόποι αναλυτικής επεκτάσεως Μέθοδος δυναµοσειρών Μέθοδος ολοκληρωτικής παραστάσεως Μέθοδος συναρτησιακών σχέσεων Παραδείγµατα Περίπτωση µη αναλυτικά επεκτάσιµης δυναµοσειράς Αναλυτική επέκταση της συναρτήσεως Γ(z) Ασκήσεις Κεφαλαίου ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γεωµετρική παράσταση µιγαδικών συναρτήσεων µιας µιγαδικής µεταβλητής Παραδείγµατα µετασχηµατισµών Η συνάρτηση w = z + z Η συνάρτηση w = z 0 z Η συνάρτηση w = z Η συνάρτηση w = 1 z Η συνάρτηση w = z Η συνάρτηση w = e z Η συνάρτηση w = ln z Συµπληρωµατικοί ορισµοί. Μερικοί ειδικοί µετασχηµατισµοί Συµπληρωµατικοί ορισµοί Μερικοί ειδικοί µετασχηµατισµοί Σύµµορφοι µετασχηµατισµοί Εφαρµογές των σύµµορφων απεικονίσεων Εφαρµογή στη Φυσική Παράδειγµα από τη ϱοή ϑερµότητας Παράδειγµα από τον Ηλεκτρισµό Ασκήσεις Κεφαλαίου

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xi II ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΣΕΙΡΕΣ FOURIER Γενικοί ορισµοί και ϑεωρήµατα Ορθογώνιες συναρτήσεις Ανάπτυγµα συναρτήσεως σε σειρά συναρτήσεων Οµοιόµορφη σύγκλιση και µέση σύγκλιση Ασκήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Σειρές Fourier Σειρές Fourier συµµετρικών συναρτήσεων Παραδείγµατα σειρών Fourier Μιγαδική µορφή της σειράς Fourier Σειρές Fourier και σειρές Laurent Θεωρήµατα σειρών Fourier Πολλαπλές σειρές Fourier Εφαρµογές των σειρών Fourier Εφαρµογή στη ϑεωρία των ηλεκτρικών κυκλωµάτων Λύση διαφορικών εξισώσεων µε µερικές παραγώγους. Μέθοδος χωρισµού των µεταβλητών Λύση διαφορικών εξισώσεων µε µερικές παραγώγους. Μια άλλη προσσέγγιση Πίνακας ορισµών και ιδιοτήτων των σειρών Fourier Ασκήσεις Κεφαλαίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER Γενικά Μετασχηµατισµοί Fourier Μετασχηµατισµός Fourier της συναρτήσεως του Gauss Μετασχηµατισµός Fourier ορθογώνιου παλµού Μετασχηµατισµός Fourier πεπερασµένου συρµού κυµάτων Μετασχηµατισµός Fourier ϱητών συναρτήσεων Ηµιτονοειδής και συνηµιτονοειδής µετασχηµατισµός Fourier Θεωρήµατα µετασχηµατισµών Fourier Μετασχηµατισµός Fourier παραγώγων Θεώρηµα διπλώσεως Πολλαπλοί µετασχηµατισµοί Fourier Χρήσιµοι πίνακες των µετασχηµατισµών Fourier Ασκήσεις Κεφαλαίου

6 xii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Αʹ 345 Αʹ.1 Η σύγκλιση των σειρών Fourier Αʹ.2 Φαινόµενο Gibbs Βʹ Η γενικευµένη συνάρτηση δέλτα 353 Βʹ.1 Ορισµός και ιδιότητες της συναρτήσεως δέλτα Βʹ.2 Παραστάσεις της συναρτήσεως δέλτα Βʹ.3 Ασκήσεις συναρτήσεως δέλτα

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xiii Πίνακας µερικών χρήσιµων συµβολισµών φ Υπάρχει Για κάθε `Επεται ότι Αν και µόνο αν : `Ετσι ώστε `Ενωση δύο συνόλων Τοµή δύο συνόλων Το κενό σύνολο {α : P } Το σύνολο όλων των στοιχείων για τα οποία ισχύει η ιδιότητα P α S α / S A = B A B A / B ρ(α 1, α 2 ) d(α 1, α 2 ) N (ή Φ) R (ή Π ) C(ή M ) Το στοιχείο α ανήκει στο σύνολο S Το στοιχείο α δεν ανήκει στο σύνολο S Το σύνολο A ταυτίζεται µε το σύνολο B Το σύνολο A είναι υποσύνολο του συνόλου B Το σύνολο A δεν είναι υποσύνολο του συνόλου B Απόσταση µεταξύ δύο σηµείων Απόσταση µεταξύ δύο σηµείων Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών (natural numbers) Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών (real numbers) Το σύνολο των µιγαδικών αριθµών (complex numbers) που έχουν πεπερασµένο µέτρο C (ή M ) Το σύνολο των µιγαδικών αριθµών που περιέχει και το : D D Re z Im z C = C { } Τόπος (ανοιχτός) Το κλείσιµο ενός ανοιχτού τόπου Το πραγµατικό µέρος (real part) του z Το ϕανταστικό µέρος (imaginary part) του z