ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟ ΓΩΝΙΑ ΠΡΟΣΠΙΠΤΟΝΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ SH ΣΤΗΝ ΤΥΧΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΩΝ ΥΠΟ ΓΩΝΙΑ ΠΡΟΣΠΙΠΤΟΝΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ SH ΣΤΗΝ ΤΥΧΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ Ι. ΠΛΕΥΡΗ Πολιτικός Μηχανικός ΙΟΥΛΙΟΣ 215 ΠΑΤΡΑ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή ειδίκευσης εκπονήθηκε κατά το έτος 214-15 στον Τομέα Κατασκευών του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών υπό την επίβλεψη του καθηγητή κ. Απόστολου Παπαγεωργίου, στον οποίο θα ήθελα να εκφράσω τις θερμότερες ευχαριστίες μου για την ευκαιρία που μου έδωσε να συνεργαστώ μαζί του, την ουσιαστική βοήθεια που μου προσέφερε κατά τη διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών και τις γνώσεις που μου μετέδωσε. Χωρίς την καθοδήγησή του, η εκπόνηση αυτής της διατριβής θα ήταν αδύνατη. Παράλληλα, ευχαριστώ τα μέλη της εξεταστικής επιτροπής, Καθ. Στ. Δρίτσο και Επ. Καθ. Μ. Σφακιανάκη και τους συμφοιτητές μου Δ. Πουλόπουλο, Ζ. Παπαφιλιππάκη και Κ. Νικολάου που μου προσέφεραν την βοήθεια τους όποτε τους ζητήθηκε. Τέλος, δεν θα μπορούσα να μην ευχαριστήσω την οικογένειά μου για την ανιδιοτελή αγάπη τους, την αμείωτη συμπαράσταση, ενθάρρυνση, κατανόηση και υπομονή που έδειξαν όλο αυτό το διάστημα αλλά και για όσες θυσίες έχουν κάνει για μένα όλα αυτά τα χρόνια. Πάτρα, 215 Πλεύρη Ι. Ευαγγελία 1

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Μέχρι σήμερα, οι περισσότερες από τις διαθέσιμες μεθόδους για τον υπολογισμό της δυναμικής απόκρισης των κατασκευών, συμπεριλαμβανομένης της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής, βασίζονται στην παραδοχή ότι η σεισμική διέγερση μπορεί να προσομοιωθεί με επίπεδα θλιπτικά (P-waves) ή διατμητικά (S-waves) κύματα τα οποία φθάνουν κάθετα στη θεμελίωση. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα η διέγερση να θεωρείται ίδια σε όλα τα σημεία της θεμελίωσης και ότι αποτελείται αποκλειστικά από μία οριζόντια ή κατακόρυφη μεταφορική κίνηση. Με βάση αυτή τη θεωρία, το σύστημα θα αναπτύξει στρεπτική απόκριση μόνο όταν η θεμελίωση ή η ανωδομή δεν είναι συμμετρικές. Ωστόσο, πειραματικά αποτελέσματα (Housner 1957, Yamahara 197, Duke et al. 1971, Crouse 1973) καθώς και θεωρητικές αναλύσεις (Trifunac 1971, Trifunac 1972, Iguchi 1973, Wong & Trifunac 1974, Lee & Wesley 1975, Kobori & Shinozaki 1975, Luco 1976, Wong & Luco 1978, Luco & Wong 1982) υποδεικνύουν ότι τα σεισμικά κύματα όταν προσπίπτουν στην κατασκευή υπό γωνία και όχι απαραιτήτως κάθετα μπορεί να έχουν σημαντική επίδραση στην απόκρισή της. Συγκεκριμένα, η παράλληλη προς την επιφάνεια του εδάφους συνιστώσα ενός υπό γωνία προσπίπτοντος διατμητικού κύματος (SH κύμα) προκαλεί αξιοσημείωτη στρεπτική απόκριση επιπλέον της μεταφορικής ακόμα και στην περίπτωση συμμετρικών κατασκευών και θεμελιώσεων. Η στρεπτική συνιστώσα μίας σεισμικής διέγερσης με τη μορφή ενός υπό γωνία προσπίπτοντος κύματος μπορεί λοιπόν να αυξήσει την απόκριση των συμμετρικών κατασκευών αφού έρχεται να προστεθεί στην ήδη γνωστή μεταφορική απόκριση. Η αύξηση αυτή εξαρτάται κατά πολύ από τα δυναμικά χαρακτηριστικά του συστήματος αλλά και από τα χαρακτηριστικά της διέγερσης. Για να ληφθεί αυτό υπόψη από τους σύγχρονους Αντισεισμικούς Κανονισμούς χρησιμοποιείται μια παράμετρος που αναφέρεται ως τυχηματική εκκεντρότητα ως μέρος της εκκεντρότητας σχεδιασμού. Ο σκοπός της παρούσας διατριβής είναι να εκτιμηθεί η τυχηματική εκκεντρότητα μίας συμμετρικής ελαστικής 1-ώροφης κατασκευής οπλισμένου σκυροδέματος η οποία στηρίζεται σε άκαμπτο κυκλικό θεμέλιο πάνω σε ελαστικό ημιχώρο μέσω του αναλυτικού υπολογισμού της δυναμικής απόκρισής της. Αναλυτική περιγραφή του μοντέλου εδάφους- 2

κατασκευής παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 3. Το σύστημα θεμελίωσης-ανωδομής υπόκειται σε μεταφορική και στρεπτική παλμική εδαφική διέγερση εγγύς πεδίου (impulsive near-fault ground motion) ως αποτέλεσμα της υπό γωνία πρόσπτωσης SH κυμάτων. Η διέγερση αυτή παρουσιάζεται με λεπτομέρεια στο Κεφάλαιο 2. O υπολογισμός της απόκρισης του υπό μελέτη συστήματος διεξάγεται σε δύο στάδια. Σε πρώτη φάση υπολογίζεται η απόκριση της κατασκευής στο πεδίο των συχνοτήτων (frequency domain analysis) για κίνηση ελευθέρου πεδίου μοναδιαίου πλάτους. Το δεύτερο στάδιο οδηγεί στην απόκριση της κατασκευής στο πεδίο του χρόνου (time domain analysis) πολλαπλασιάζοντας τις συναρτήσεις μεταφοράς του συστήματος με το μετασχηματισμό Fourier των παλμών εγγύς πεδίου και έπειτα αναστρέφοντας το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού αυτού ώστε να μεταφέρουμε τα αποτελέσματα στο πεδίο του χρόνου. Υπολογίζουμε έτσι τη μεταφορική, στρεπτική και συνολική απόκριση της κατασκευής. Τέλος, υπολογίζουμε τα φάσματα απόκρισης της τυχηματικής εκκεντρότητας ώστε να εξάγουμε συμπεράσματα σχετικά με την επίδραση των χαρακτηριστικών του εδάφους και των παλμών εγγύς πεδίου στην τυχηματική εκκεντρότητα της κατασκευής. Όλοι οι υπολογισμοί έγιναν στο πρόγραμμα MATLAB. Προκύπτει ότι σε πολλές περιπτώσεις η τιμή της τυχηματικής εκκεντρότητας μπορεί να υπερβεί τα όρια των Αντισεισμικών Κανονισμών. 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΤΥΧΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ... 1 1.1 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ... 1 1.2 Η ΤΥΧΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ ΣΕ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ... 13 2. ΠΑΛΜΙΚΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΕΓΓΥΣ ΠΕΔΙΟΥ... 15 2.1 ΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ SH... 15 2.2 ΣΕΙΣΜΙΚΕΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΕΓΓΥΣ ΠΕΔΙΟΥ... 17 2.2.1 Ορισμοί και χαρακτηριστικά... 17 2.2.3 Μοντέλο Mavroeidis & Papageorgiou (23)... 24 3. ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΔΑΦΟΥΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ... 3 3.1 ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ... 3 3.1.1 Σχέση ροπής-στροφής για το θεμέλιο... 32 3.1.2 Σχέση ροπής-στροφής για την ανωδομή... 47 3.1.3 Στρεπτική κίνηση θεμελίου και ανωδομής... 5 3.2 ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ... 52 3.2.1 Κίνηση θεμελίου λόγω αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής... 52 3.2.2 Μεταφορική κίνηση θεμελίου και ανωδομής... 55 4. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ... 63 4.1 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ... 65 4.2 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ... 71 4.3 ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ... 73 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 85 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 88 4

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1 Μετατόπιση κέντρου μάζας διαφράγματος για τον υπολογισμό της τυχηματικής εκκεντρότητας. Σχήμα 2.1 Διάδοση διατμητικού S κύματος: η SH συνιστώσα είναι παράλληλη προς την επιφάνεια του εδάφους ενώ η SV βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο που περιλαμβάνει την ακτίνα διάδοσης του κύματος Σχήμα 2.2 Άφιξη S και P κυμάτων στη σεισμική καταγραφή. Σχήμα 2.3 Φαινόμενο πρόσω κατευθυντικότητας (forward directivity): (α) μοτίβο διάδοσης σεισμικών κυμάτων πρόσω και οπίσω του ρήγματος, (β) σεισμογράφημα πρόσω (Lucerne) και οπίσω (Joshua Tree) του ρήγματος San Andreas, California. Σχήμα 2.4 Φαινόμενα κατευθυντικότητας της διάρρηξης στο μοτίβο ακτινοβολίας των διατμητικών κυμάτων στην κάθετη και παράλληλη στην πηγή κίνηση σε ένα ρήγμα οριζόντιας μετατόπισης. Σχήμα 2.5 Παράδειγμα φαινομένου κατευθυντικότητας και μόνιμης μετακίνησης του εδάφους. Σχήμα 2.6 Έντονοι παλμοί ταχύτητας και μετατόπισης που εμφανίζονται σε περιοχές εγγύς του ρήγματος. Σχήμα 2.7 Παραδείγματα παλμών και φασμάτων εγγύς πεδίου από το μοντέλο Mavroeidis & Papageorgiou (23). Σχήμα 3.1 Περιγραφή συστήματος εδάφους-κατασκευής. Σχήμα 3.2 Στρεπτική διέγερση ελαστικής ράβδου. Σχήμα 3.3 Περιγραφή συστήματος εδάφους-θεμελίου. Σχήμα 3.4 Δυναμική ισορροπία μοντέλου διατμητικού τύπου για μεταφορική και λικνιστική διέγερση βάσης. Σχήμα 4.1 Μεταφορά από το πεδίο συχνοτήτων στο πεδίο του χρόνου και αντίστροφα με τη χρήση των FFT και IFFT. 5

Σχήμα 4.2 Κανονικοποιημένο Η bα (ω) για α 1 =.6 και θ v =. Σχήμα 4.3 Κανονικοποιημένο Η tα (ω) για α 1 =.6 και θ v =. Σχήμα 4.4 Κανονικοποιημένο Η bu (ω) για α 1 =.6 και θ v =. Σχήμα 4.5 Κανονικοποιημένο Η br (ω) για α 1 =.6 και θ v =. Σχήμα 4.6 Κανονικοποιημένο Η tu (ω) για α 1 =.6 και θ v =. Σχήμα 4.7 Παλμός εγγύς πεδίου επιτάχυνσης, ταχύτητας και μετατόπισης με χαρακτηριστικά Α =.6 m, γ = 1.7, ν = 1, f s p = 1 Hz, t = 4.1 sec. Σχήμα 4.8 Κανονικοποιημένο πλάτος μετασχηματισμού Fourier (Fourier amplitudes) για τη συνολική μεταφορική κίνηση της κορυφής με διέγερση έναν παλμό εγγύς πεδίου με χαρακτηριστικά Α =.6 m, γ = 1.7, ν = 1, f s p = 1 Hz, t = 4.1 sec. Σχήμα 4.9 Κανονικοποιημένο πλάτος μετασχηματισμού Fourier (Fourier amplitudes) για τη στρεπτική κίνηση της κορυφής με διέγερση έναν παλμό εγγύς πεδίου με χαρακτηριστικά Α =.6 m, γ = 1.7, ν = 1, f s p = 1 Hz, t = 4.1 sec. Σχήμα 4.1 Κανονικοποιημένη σχετική μεταφορική μετατόπιση κορυφής στο πεδίο του χρόνου. Σχήμα 4.11 Κανονικοποιημένη σχετική στροφή κορυφής στο πεδίο του χρόνου. Σχήμα 4.12 Κανονικοποιημένη σχετική μεταφορική και στρεπτική μετατόπιση κορυφής στο πεδίο του χρόνου. Σχήμα 4.13 Φάσμα μέγιστης στρεπτικής απόκρισης κορυφής u tors για θ v =, α 1 =.1 1, γ = 1.7 και ν = 1. Σχήμα 4.14 Φάσμα μέγιστης μεταφορικής απόκρισης κορυφής u tran για θ v =, α 1 =.1 1, γ = 1.7 και ν = 1. Σχήμα 4.15 Φάσμα μέγιστης στρεπτικής + μεταφορικής απόκρισης κορυφής u T για θ v =, α 1 =.1 1, γ = 1.7 και ν = 1. 6

Σχήμα 4.16 Φάσμα κανονικοποιήμενης συνολικής απόκρισης κορυφής u για θ v =, α 1 =.1 1, γ = 1.7 και ν = 1. Σχήμα 4.17 Φάσμα τυχηματικής εκκεντρότητας κορυφής e a 2a για θ v =, α 1 =.1 1, γ = 1.7 και ν = 1. Σχήμα 4.18 Φάσμα τυχηματικής εκκεντρότητας κορυφής e a 2a για θ v = 22.5, α 1 =.1 1, γ = 1.7 και ν = 1. Σχήμα 4.19 Φάσμα τυχηματικής εκκεντρότητας κορυφής e a 2a για θ v = 3, α 1 =.1 1, γ = 1.7 και ν = 1. Σχήμα 4.2 Φάσμα τυχηματικής εκκεντρότητας κορυφής e a 2a για θ v = 45, α 1 =.1 1, γ = 1.7 και ν = 1. Σχήμα 4.21Φάσμα τυχηματικής εκκεντρότητας κορυφής e a 2a για θ v = 6, α 1 =.1 1, γ = 1.7 και ν = 1. Σχήμα 4.22 Φάσμα τυχηματικής εκκεντρότητας κορυφής e a 2a για θ v = 67.5, α 1 =.1 1, γ = 1.7 και ν = 1. Σχήμα 4.23Φάσμα τυχηματικής εκκεντρότητας κορυφής e a 2a για θ v = 8, α 1 =.1 1, γ = 1.7 και ν = 1. Σχήμα 4.24 Φάσμα τυχηματικής εκκεντρότητας κορυφής e a 2a για θ v = 9, α 1 =.1 1, γ = 1.7 και ν = 1. Σχήμα 4.25 Φάσμα τυχηματικής εκκεντρότητας κορυφής e a 2a για θ v =, α 1 = 1, ν = 1 και γ = 1 3. Σχήμα 4.26 Φάσμα τυχηματικής εκκεντρότητας κορυφής e a 2a για θ v =, α 1 = 1, γ = 1.1 και ν = 36. Σχήμα 4.27 Φάσμα τυχηματικής εκκεντρότητας κορυφής e a 2a για θ v =, α 1 = 1, γ = 1.7 και ν = 36. 7

Σχήμα 4.28 Φάσμα τυχηματικής εκκεντρότητας κορυφής e a 2a για θ v =, α 1 = 1, γ = 2.5 και ν = 36. Σχήμα 4.29 Φάσμα τυχηματικής εκκεντρότητας κορυφής e a 2a για θ v =, α 1 = 1, γ = 3 και ν = 36. 8

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 2.1 Τα πιο κοινά κυματίδια (wavelets) της βιβλιογραφίας. Πίνακας 4.1 Χαρακτηριστικά μοντέλου εδάφους-κατασκευής. Πίνακας 4.2 Ποσοστιαία απόκλιση των μέγιστων τιμών της τυχηματικής εκκεντρότητας από το όριο ±.5 2a για θ v = 9 και α 1 =.1 1. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. ΤΥΧΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ 1.1 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Οι στροφικές διεγέρσεις (στρέψη και λικνισμός) που προκαλούνται από σεισμικά κύματα αγνοούνταν στην πράξη μέχρι πρόσφατα από τους μηχανικούς, πρώτον διότι δεν υπήρχαν οικονομικές συσκευές μέτρησής τους και δεύτερον επειδή η επίδραση της στροφικής εδαφικής κίνησης λανθασμένα εθεωρείτο ότι ήταν αμελητέα για τις συνήθεις κατασκευές (Bouchon & Aki, 1982). Συνεπώς, οι δυναμικές αναλύσεις πραγματοποιούνταν αμελώντας τη στρεπτική σεισμική διέγερση. Εντωμεταξύ, πολλές κατασκευαστικές αστοχίες και βλάβες που προκλήθηκαν από σεισμούς μπορεί να συνδέονται με στροφικές κινήσεις του εδάφους. Η στρεπτική απόκριση ψηλών κτιρίων στο Λος Άντζελες αποδόθηκε σε στρεπτική διέγερση κατά την διάρκεια του σεισμού του Σαν Φερνάντο του 1971 (Trifunac, 26), ενώ παρόμοιες διεγέρσεις φαίνεται να έχουν προκαλέσει την κατάρρευση γεφυρών κατά τη διάρκεια του 1971 San Fernando, 1978 Miyagi -ken-oki (Bycroft, 198), και 1994 Northridge σεισμοί (Trifunac et al., 1996). Ο Newmark (1969) ήταν ο πρώτος που πρότεινε μία απλή σχέση η οποία αντιπροσώπευε κατά προσέγγιση τις στρεπτικές συνιστώσες της σεισμικής διέγερσης. Επινόησε μια ντετερμινιστική διαδικασία για τον υπολογισμό της αύξηση της μετατόπισης που προκαλείται από επίπεδα κύματα σε συμμετρικά κτίρια. Αργότερα, οι Veletsos & Nair 1

(1975) επέκτειναν την έρευνα του Newmark εξετάζοντας την αύξηση των μετατοπίσεων λόγω των φαινομένων διάδοσης των σεισμικών κυμάτων και της έλλειψης συνοχής της εδαφικής κίνησης σε συμμετρικά σε κάτοψη κτίρια που εδράζονται σε επίπεδα κυκλικά άκαμπτα θεμέλια. Ύστερα, οι Chandler & Duan (1991) κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι είναι παραπλανητικά τα αποτελέσματα που προκύπτουν χρησιμοποιώντας την τυχηματική εκκεντρότητα ως μέρος της εκκεντρότητας σχεδιασμού, αγνοώντας ταυτόχρονα αβεβαιότητες και τη στρεπτική συνιστώσα της εδαφικής κίνηση, σε ανελαστικές δυναμικές αναλύσεις. Περαιτέρω έρευνα έχει τονίσει τη σημασία των στρεπτικών συνιστωσών στη δυναμική ανάλυση και το σχεδιασμό των κατασκευών (Ghafory-Ashtiany & Singh, 1986; Lee & Trifunac, 1987; Gupta & Trifunac, 1989; Todorovska & Trifunac, 199a, b, 1992) αλλά και της στρεπτικής διέγερσης και του λικνισμού λόγω των φαινομένων διάδοσης των σεισμικών κυμάτων (Todorovska & Trifunac 1993; Trifunac et al., 1999; Trifunac & Gicev, 26). Οι De La Llera & Chopra (1994) χρησιμοποίησαν μεταφορικές εδαφικές κινήσεις καταγεγραμμένες από επιταχυνσιόμετρα τα οποία ήταν εγκατεστημένα στη θεμελίωση κατασκευών. Αγνοώντας τον εντός-επιπέδου λυγισμό και τις διατμητικές παραμορφώσεις της θεμελίωσης, υπολόγισαν τη στρεπτική επιτάχυνση της βάσης της κατασκευής από τη σχέση a gθ (t) = [a g1 (t) a g2 (t)]/d, όπου a g1 (t) και a g2 (t) είναι μεταφορικές επιταχύνσεις που καταγράφηκαν σε δύο διαφορετικά σημεία της βάσης του κτιρίου και d είναι η μεταξύ τους απόσταση. Αυτά τα επιταχυνσιόμετρα χρησιμοποιούνταν για την εκτίμηση της επίδρασης της στρεπτικής εδαφικής κίνησης στην απόκριση των κατασκευών και για να προσδιορισθεί η τυχηματική στροφή που προκύπτει από αυτήν. Προέκυψε το συμπέρασμα ότι για συστήματα με μικρές περιόδους ταλάντωσης και μικρό λόγο στρεπτικών προς μεταφορικών συχνοτήτων η αύξηση των μετατοπίσεων ως αποτέλεσμα της τυχηματικής εκκεντρότητας λόγω της στρεπτικής σεισμικής διέγερσης είναι εμφανής. Επίσης, αναφέρουν ότι η επίδραση της τυχηματικής εκκεντρότητας είναι μεγαλύτερη για συμμετρικές κατασκευές από ότι για έκκεντρες. 11

Πλέον, όλοι οι σύγχρονοι Αντισεισμικοί Κανονισμοί απαιτούν την εφαρμογή των πλευρικών φορτίων των ορόφων σε απόσταση e d από το κέντρο δυσκαμψίας της κατασκευής, δημιουργώντας έτσι επιπλέον ροπές στους ορόφους πέραν των διατμητικών δυνάμεων και των ροπών ανατροπής, ώστε να λάβουν υπόψη την επίδραση της στρεπτικής εδαφικής διέγερσης. Επιπλέον, προσδιορίζουν την εφαρμογή των πλευρικών φορτίων στο κέντρο μάζας, δηλαδή σε απόσταση ίση με τη στατική εκκεντρότητα e s από το κέντρο δυσκαμψίας, και τη μετατόπιση της δύναμης αυτής κατά ±βb, με b την πλευρά της κατασκευής σε κάτοψη η οποία είναι κάθετη στη σεισμική διέγερση, ώστε να καθορίσουν την αυξημένη φόρτιση σε κάθε δομικό στοιχείο. Επομένως, η εκκεντρότητα σχεδιασμού ορίζεται ως e d = e s ± e α. Ο όρος e s αντιστοιχεί στη στρεπτική απόκριση της κατασκευής που προκύπτει από την έλλειψη συμμετρίας σε κάτοψη. Ο όρος e α, γνωστός ως τυχηματική εκκεντρότητα, αντιπροσωπεύει εκκεντρότητες που έχουν να κάνουν με αποκλίσεις μεταξύ των πραγματικών τιμών των μαζών, δυσκαμψιών ή και αντοχών των δομικών μελών σε σχέση με τις τιμές που έχουν υιοθετηθεί κατά τον σχεδιασμό του κτιρίου, εκκεντρότητες που προκύπτουν από στρεπτικές εδαφικές κινήσεις λόγω της χωρικής διακύμανσης των σεισμικών κυμάτων κατά μήκος της θεμελίωσης αλλά και άλλες εκκεντρότητες που δεν εξετάζονται διεξοδικά κατά το σχεδιασμό μίας κατασκευής. Σχήμα 1.1 Μετατόπιση κέντρου μάζας διαφράγματος για τον υπολογισμό της τυχηματικής εκκεντρότητας. 12

Η τυχηματική εκκεντρότητα ορίζεται λοιπόν ως ένα ποσοστό, ±β, του μήκους της πλευράς της κάθετης στην κίνηση του εδάφους. O συντελεστής β σύμφωνα με τους διεθνείς Αντισεισμικούς Κανονισμούς παίρνει τιμές από.5 έως.1. Αυτό το εύρος τιμών βασίζεται κυρίως στα αποτελέσματα που έχουν προκύψει από ελαστικές αναλύσεις μονώροφων κατασκευών πακτωμένων στο έδαφος. 1.2 Η ΤΥΧΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ ΣΕ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Στην περίπτωση συμμετρικών συστημάτων (συμμετρία μάζας και δυσκαμψίας) η τυχηματική εκκεντρότητα αντιπροσωπεύει την επιπλέον στρεπτική απόκριση που προκύπτει λόγω των σεισμικών κυμάτων που προσπίπτουν υπό γωνία στην επιφάνεια της θεμελίωσης της κατασκευής, πέραν της μεταφορικής απόκρισης. Η χρονική διαφορά της διέγερσης κάθε σημείου της θεμελίωσης προκαλεί έτσι επιπρόσθετη απόκριση στο σύστημα. Αυτή η περίπτωση θα μας απασχολήσει στην παρούσα διατριβή. Με βάση τη θεώρηση που κάνουμε, ότι δηλαδή το σύστημα μας υπόκειται στη σεισμική δράση υπό γωνία προσπιπτόντων SH κυμάτων, έχουμε σαν αποτέλεσμα στη βάση της αβαρούς άκαμπτης θεμελίωσης να αναπτυχθεί μεταφορική κίνηση κατά μήκος οριζόντιου άξονα, στρεπτική κίνηση γύρω από κατακόρυφο άξονα και αμελητέος λικνισμός γύρω από οριζόντιο άξονα. Σε συμμετρική κατασκευή, όπου η στατική εκκεντρότητα είναι μηδενική, και για τη συγκεκριμένη σεισμική φόρτιση, η μεταφορική και η στρεπτική κίνηση γίνονται ασύζευκτες. Αυτό σημαίνει ότι η μεταφορική κίνηση του κέντρου μάζας και η στρεπτική κίνηση των διαφραγμάτων προκύπτουν ξεχωριστά από τη μεταφορική και τη στρεπτική διέγερση αντίστοιχα. Το γεγονός αυτό συνεπάγεται ότι η συνολική απόκριση μίας συμμετρικής σε κάτοψη κατασκευής μπορεί να υπολογιστεί από την επαλληλία δύο ανεξάρτητων συστημάτων: ενός μεταφορικού ταλαντωτή με ιδιοσυχνότητα ω y και ενός στρεπτικού με ιδιοσυχνότητα ω θ (De La Llera & Chopra, 1994). Με βάση τα παραπάνω, για μία συμμετρική κατασκευή πάνω σε κυκλικό άκαμπτο θεμέλιο ακτίνας R η τυχηματική εκκεντρότητα σχεδιασμού ορίζεται ως 13

e a 2R = ( 2 4 ) [u 1] ( ω θ ω y ) (1.1) με u την κανονικοποιήμενη συνολική απόκριση της κατασκευής: u = max t[u tran (t) + u tors (t)] max t [u tran (t)] = u T max t [u tran (t)] (1.2) όπου u tran (t) είναι η μεταφορική μετατόπιση λόγω της μεταφορικής σεισμικής συνιστώσας u gy και u tors (t) η εφαπτομενική μετατόπιση λόγω της στρεπτικής σεισμικής συνιστώσας u gθ. Στα επόμενα κεφάλαια, θα παρουσιάσουμε αναλυτικά τη διαδικασία υπολογισμού της μεταφορικής και της στρεπτικής απόκρισης που είναι απαραίτητες για τον προσδιορισμό της τυχηματικής εκκεντρότητας μέσω της εξ (1.1), για μία συμμετρική ελαστική 1-ώροφη κατασκευή από οπλισμένο σκυρόδεμα η οποία στηρίζεται σε άκαμπτο κυκλικό θεμέλιο πάνω σε ελαστικό ημιχώρο. 14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 2. ΠΑΛΜΙΚΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΕΓΓΥΣ ΠΕΔΙΟΥ 2.1 ΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ SH Από μηχανικής άποψης, ο σεισμός οφείλεται στη διάδοση στο χώρο κυμάτων παραμόρφωσης μέσα στο φλοιό της γης. Κύματα εμφανίζονται όταν επιβάλλεται μια φόρτιση (φορτίο ή μετακίνηση) σε ένα σημείο ή σε ένα τμήμα (επιφάνεια, γραμμή κτλ.) ενός συνεχούς σώματος οπότε το σημείο ή τμήμα επιβολής του φορτίου λέγεται πηγή. Το φυσικό φαινόμενο που οδηγεί σε σεισμικές διαρρήξεις είναι η κίνηση τμημάτων του φλοιού και του ανώτερου μανδύα της γης που ονομάζονται λιθοσφαιρικές πλάκες. Σε ένα ισότροπο και ομογενές σώμα που παραμορφώνεται ελαστικά μπορούν να διαδοθούν κύματα χώρου. Τα χωρικά κύματα διακρίνονται σε δύο κύριες κατηγορίες: τα διαμήκη ή ογκομετρικά κύματα ή κύματα P και τα εγκάρσια ή διατμητικά κύματα ή κύματα S. Στα διαμήκη κύματα η διεύθυνση ταλάντωσης κάθε υλικού σημείου είναι παράλληλη στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος, προκαλούν δηλαδή εναλλασσόμενη συμπίεση και διόγκωση του υλικού στο οποίο διαδίδονται. Από την άλλη, στα διατμητικά κύματα η διεύθυνση κίνησης των υλικών σημείων είναι κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης των κυμάτων. Τα διατμητικά κύματα δεν προκαλούν μεταβολές στον όγκο του υλικού στο οποίο διαδίδονται, αλλά επιβάλλουν διατμητικές παραμορφώσεις στον ελαστικό χώρο. Τα κύματα S διακρίνονται περαιτέρω σε δύο κατηγορίες: στα κύματα SV, όπου τα υλικά σημεία 15

ταλαντώνονται εντός του επιπέδου στο οποίο ανήκει το διάνυσμα της διεύθυνσης διάδοσης του κύματος, και στα κύματα SH, στα οποία τα υλικά σημεία ταλαντώνονται σε επίπεδο κάθετο στο διάνυσμα της διεύθυνσης διάδοσης του κύματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.1. Σχήμα 2.1 Διάδοση διατμητικού S κύματος: η SH συνιστώσα είναι παράλληλη προς την επιφάνεια του εδάφους ενώ η SV βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο που περιλαμβάνει την ακτίνα διάδοσης του κύματος Τα κύματα S φτάνουν σε μια τοποθεσία από τη ζώνη διάρρηξης μετά από τα κύματα P. Σε αυτό το φαινόμενο οφείλεται και μια από τις ονομασίες των κυμάτων P και S: πρωτεύοντα και δευτερεύοντα κύματα αντίστοιχα, λόγω του διαφορετικού χρόνου εμφάνισης των κυμάτων αυτών στις καταγραφές των σεισμών. Λόγω της ομοιότητας των κυμάτων P με τα ηχητικά κύματα, η πρώτη άφιξη των κυμάτων P γίνεται αντιληπτή ως μια 16

ασθενής «έκρηξη». Μετά την πάροδο ορισμένων δευτερολέπτων, γίνεται η άφιξη των κυμάτων S, τα οποία είναι και τα κύματα που συνήθως προκαλούν την πιο έντονη διέγερση και τις βλάβες στις κατασκευές. Σχήμα 2.2 Άφιξη S και P κυμάτων στη σεισμική καταγραφή. 2.2 ΣΕΙΣΜΙΚΕΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΕΓΓΥΣ ΠΕΔΙΟΥ 2.2.1 Ορισμοί και χαρακτηριστικά Οι σεισμοί είναι ταλαντώσεις του εδάφους οι οποίες οφείλονται σε φυσικά και ανθρωπογενή αίτια, όπως είναι οι τεκτονικές εδαφικές κινήσεις, οι κατολισθήσεις, τα ηφαίστεια και οι εκρήξεις. Οι ισχυρότεροι, σημαντικότεροι και περισσότεροι σεισμοί είναι οι τεκτονικοί, οι οποίοι προκαλούνται από τεκτονικές εδαφικές κινήσεις, δηλαδή στη διάρρηξη και σχετική ολίσθηση τεμαχίων του φλοιού της γης στα ρήγματα. Ρήγμα είναι μια περιοχή του φλοιού της γης στην οποία έχει δημιουργηθεί μια ασυνέχεια (μια ρωγμή), κατά μήκος της οποίας μπορεί να πραγματοποιηθεί σχετική ολίσθηση γειτονικών τεμαχίων. Στις περισσότερες περιπτώσεις, οι σεισμοί προκαλούν βλάβες σε μια ζώνη μερικών χιλιομέτρων από το ρήγμα το οποίο προκάλεσε το σεισμό, η οποία λέγεται εγγύς πεδίο. Φυσικά, στον κανόνα υπάρχουν πολλές εξαιρέσεις, στις οποίες παρατηρήθηκαν βλάβες σε μια πολύ πιο εκτεταμένη περιοχή. Σε εξαιρετικές περιπτώσεις, είναι δυνατόν οι σοβαρότερες βλάβες να εμφανιστούν σε μεγάλες αποστάσεις από το γενεσιουργό ρήγμα, λόγω των 17

χαρακτηριστικών της σεισμικής διέγερσης και των επιφανειακών εδαφικών στρώσεων του φλοιού. Όταν ένα σημείο ενδιαφέροντος (π.χ. μια κατασκευή που πρόκειται να σχεδιαστεί) βρίσκεται κοντά στη ρηξιγενή ζώνη ενός σεισμού, απαιτείται ειδική προσοχή για τον καθορισμό των χαρακτηριστικών της διέγερσης. Πιο συγκεκριμένα, τόσο ο μηχανισμός διάρρηξης (είδος ρήγματος και διεύθυνση ολίσθησης), όσο και η απόσταση του σημείου ενδιαφέροντος από την εστία του σεισμού και η θέση του σε σχέση με τη διεύθυνση ολίσθησης του σεισμογόνου ρήγματος, είναι καθοριστικοί παράγοντες για την επιλογή της διέγερσης που θα χρησιμοποιηθεί κατά τη φάση του σχεδιασμού και αυτό διότι οι σεισμικές διεγέρσεις εγγύς πεδίου χαρακτηρίζονται από φαινόμενα διαφορετικά από αυτά που χαρακτηρίζουν τις καταγραφές μακρινού πεδίου. Η ταχύτητα διάδοσης της διάρρηξης σε ένα ρήγμα είναι συγκρίσιμη με την ταχύτητα διάδοσης των διατμητικών κυμάτων (Somerville, 1998). Όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.3 (α), τα διάφορα κύματα που απελευθερώνει η πηγή (current rupture) στην ουσία καταλήγουν στο σημείο ενδιαφέροντος (site), δηλαδή ταξιδεύοντας προς την κατεύθυνση του ρήγματος, την ίδια χρονική στιγμή με αποτέλεσμα να ενισχύουν το ένα το άλλο, ενώ στην αντίθετη πλευρά ταξιδεύουν με χρονική διαφορά του ενός από το άλλο. Για το λόγο αυτό, η σεισμική διέγερση στο σημείο ενδιαφέροντος, στον ονομαζόμενη περιοχή πρόσω κατευθυντικότητας (forward directivity region), χαρακτηρίζεται από έναν παλμό μικρής διάρκειας και μεγάλου εύρους, ενώ η σεισμική διέγερση στην αντίθετη πλευρά (περιοχή οπίσω κατευθυντικότητας ή backward directivity region) έχει μεν μικρότερο εύρος, αλλά έχει μεγαλύτερη διάρκεια, πως φαίνεται στο Σχήμα 2.3 (β). Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται κατευθυντικότητα της διάρρηξης (directivity effect). Τονίζεται ότι στο Σχήμα 2.3 παρουσιάζονται οι χρονοϊστορίες εδαφικής ταχύτητας και όχι επιτάχυνσης. Γενικά, σε περίπτωση όπου τα φαινόμενα κατευθυντικότητας της διάρρηξης είναι σημαντικά, η επίδρασή τους είναι εμφανής στις χρονοϊστορίες εδαφικής ταχύτητας (με την ύπαρξη παλμών μεγάλης περιόδου) και λιγότερο στις χρονοϊστορίες επιτάχυνσης. Πολλές φορές, βέβαια, η ύπαρξη παλμών είναι εμφανής και σε χρονοϊστορίες επιταχύνσεων (Makris & Chang, 1998). Τα φαινόμενα που σχετίζονται με εγγύτητα στη ρηξιγενή ζώνη συνήθως είναι έντονα σε μεγάλες τιμές περιόδου (μεγαλύτερες του 1 sec). 18

(α) (β) Σχήμα 2.3 Φαινόμενο πρόσω κατευθυντικότητας (forward directivity): (α) μοτίβο διάδοσης σεισμικών κυμάτων πρόσω και οπίσω του ρήγματος, (β) σεισμογράφημα πρόσω (Lucerne) και οπίσω (Joshua Tree) του ρήγματος San Andreas, California. Εκτός από τους παλμούς που σχετίζονται με φαινόμενα κατευθυντικότητας, υπάρχει και η επίδραση της μόνιμης μετακίνησης του εδάφους (fling-step effect). Πιο συγκεκριμένα, όταν υπάρχει ολίσθηση ενός ρήγματος, η χρονοϊστορία της μετακίνησης έχει μια παραμένουσα μετατόπιση στο τέλος της σεισμικής διέγερσης. Η ύπαρξη αυτής της παραμένουσας μετατόπισης συνεπάγεται την ύπαρξη παλμών στη χρονοϊστορία ταχυτήτων. Ο διαχωρισμός της επίδρασης της εγγύτητας στο ρήγμα σε επίδραση λόγω παλμού κατευθυντικότητας και επίδραση λόγω μόνιμης μετακίνησης είναι σκόπιμος, καθώς η περιγραφή τους γίνεται με διαφορετικό τρόπο. Επίσης, ανάλογα με το μηχανισμό διάρρηξης, η μία συνιστώσα μπορεί να επηρεάζεται από τον παλμό κατευθυντικότητας, ενώ η άλλη από τη μόνιμη μετακίνηση. Έτσι, για ρήγματα οριζόντιας μετατόπισης, για το σημείο ενδιαφέροντος του Σχήματος 2.3, ο παλμός κατευθυντικότητας θα εμφανιστεί στη συνιστώσα που είναι κάθετη στο επίπεδο του ρήγματος, ενώ η επίδραση λόγω μόνιμης 19

μετακίνησης θα εμφανιστεί στη συνιστώσα που είναι παράλληλη στο επίπεδο του ρήγματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.4. Αυτό ισχύει πάντα για ρήγματα οριζόντιας μετατόπισης, ενώ για κανονικά ή ανάστροφα ρήγματα ο παλμός κατευθυντικότητας και η μόνιμη μετακίνηση επηρεάζουν τόσο τη συνιστώσα που είναι παράλληλη στο επίπεδο του ρήγματος, όσο και αυτή που είναι κάθετη στο επίπεδο του ρήγματος. Σχήμα 2.4 Φαινόμενα κατευθυντικότητας της διάρρηξης στο μοτίβο ακτινοβολίας των διατμητικών κυμάτων στην κάθετη και παράλληλη στην πηγή κίνηση σε ένα ρήγμα οριζόντιας μετατόπισης. Ο μεγάλος παλμός της κίνησης είναι στην οριζόντια διεύθυνση κάθετα στη διεύθυνση του ρήγματος διότι οι σεισμοί έχουν ένα μοτίβο ακτινοβολίας μάλλον σαν αυτό 2

μίας κεραίας ραδιοφώνου. Στο Σχήμα 2.4 φαίνεται το επίκεντρο και το ρήγμα που διαδίδεται προς το σημείο ενδιαφέροντος. Για σημεία που είναι τοποθετημένα κατά μήκος του ρήγματος εμφανίζεται μέγιστο στο μοτίβο ακτινοβολίας για εφαπτομενική κίνηση (SH κύματα στη διεύθυνση κάθετα του ρήγματος), άρα υπάρχει ένας μεγάλος παλμός στην κίνηση κάθετα στη διάδοση του ρήγματος. Από την άλλη, ελάχιστο στο μοτίβο ακτινοβολίας εμφανίζεται για την ακτινική συνιστώσα της κίνησης (SV κύματα στη διεύθυνση παράλληλα του ρήγματος). Σε αντίθεση με το μεγάλο παλμό στην κίνηση κάθετα στο ρήγμα, η δυναμική κίνηση στη διεύθυνση την παράλληλη του ρήγματος είναι μικρή, αν και εκεί υπάρχει συσσώρευση στατικής μετατόπισης. Οι μεγάλοι παλμοί, λοιπόν, στην κίνηση του εδάφους εμφανίζονται μόνο στην κάθετη διεύθυνση στη διάδοση του ρήγματος. Σχήμα 2.5 Παράδειγμα φαινομένου κατευθυντικότητας και μόνιμης μετακίνησης του εδάφους. Οι σεισμικές εδαφικές κινήσεις οι οποίες περιέχουν δεσπόζοντες παλμούς ταχύτητας μακράς περιόδου επιβάλλουν μεγάλες παραμορφώσεις στις κατασκευές. Αυτές οι παραμορφώσεις συχνά εξαντλούν την δυνατότητα παραμόρφωσης δομικών μελών ή και 21

ολόκληρου του στατικού συστήματος και είναι αυτές που αντιστοιχούν στο σεισμό σχεδιασμού της κατασκευής. Ήταν μόλις μετά από το σεισμό του 1994 στο Northridge της Καλιφόρνια όταν η πλειοψηφία των μηχανικών αναγνώρισε τις σοβαρές επιπτώσεις, στις κατασκευές, των παλμών μεγάλης περιόδου που περιλαμβάνονται στις σεισμικές διεγέρσεις εγγύς-πεδίου και άρχισε να εξετάζει μεθόδους για την ενσωμάτωση τους στον αντισεισμικό σχεδιασμό. Μάλιστα, δεν είναι λίγες οι φορές που έχουν δημιουργηθεί νέες διατάξεις στους αντισεισμικούς κανονισμούς βασισμένες σε εδαφικές κινήσεις που δεν ήταν αρκετά κοντά στο ρήγμα που προκάλεσε το σεισμό. Σε αυτό το σημείο αξίζει να αναφερθεί ότι οι Anderson & Bertero (1987), Iwan (1997), Makris (1997), Chopra & Chintanapakdee (1998, 21), Kasalanati & Constantinou (1999), Malhotra (1999), Hall & Ryan (2), Makris & Chang (2a,b), Sasani & Bertero (2), Alavi & Krawinkler (21), Cuesta & Aschheim (21), Jangid & Kelly (21), MacRae et al. (21), Mylonakis & Reinhorn (21), Rao & Jangid (21) και Zhang & Iwan (22a,b) έχουν μελετήσει είτε πειραματικά είτε αναλυτικά την ελαστική ή ανελαστική απόκριση των κατασκευών υποκείμενες σε καταγραφές εγγύς πεδίου ή σε απλοποιημένες κυματομορφές ώστε να αντιπροσωπεύουν απλούς παλμούς εδαφικής κίνησης που παρατηρούνται σε περιοχές εγγύς πεδίου. Η σταδιακή αύξηση του αριθμού των καταγεγραμμένων χρονοϊστοριών εγγύςπεδίου επέτρεψε πρόσφατα στους σεισμολόγους να αναλύσουν με μεγαλύτερη ακρίβεια τον χαρακτήρα των εδαφικών αυτών κινήσεων και ως εκ τούτου να συμβάλλουν στη φυσική κατανόηση των χαρακτηριστικών αυτών που τις ελέγχουν (όπως οι Campillo et al., 1989, Somerville & Graves, 1993, Abrahamson & Somerville, 1996, Somerville et al, 1997, Oglesby et al, 1998, Παπαγεωργίου, 1998). 22

Σχήμα 2.6 Έντονοι παλμοί ταχύτητας και μετατόπισης που εμφανίζονται σε περιοχές εγγύς του ρήγματος. Η απλή μορφή και η καταστρεπτικότητα του δεσπόζοντος συνεκτικού παλμού των εγγύς πεδίου καταγραφών αποτέλεσαν την αιτία για την ανάπτυξη διάφορων κλειστών εκφράσεων που προσεγγίζουν τα σημαντικά κινηματικά τους χαρακτηριστικά. Η εργασία των Veletsos et al. (1965) ακολουθήθηκε, μεταξύ άλλων, από τις δημοσιεύσεις των Hall et al. (1995), Heaton et al. (1995), Makris (1997), Makris & Chang (2), Alavi & Krawinkler (21), Mavroeidis & Papageorgiou (23), Mavroeidis et al. (24). Μερικοί από τους προτεινόμενους παλμούς είναι φυσικώς πραγματοποιήσιμοι (έχουν μηδενική τελική ταχύτητα και πεπερασμένη επιτάχυνση) ενώ άλλες μοντελοποιήσεις παραβιάζουν μία ή και τις δύο από τις παραπάνω απαιτήσεις. Οι φυσικώς πραγματοποιήσιμοι παλμοί μπορούν να περιγράψουν ικανοποιητικά τον ωστικό (impulsive) χαρακτήρα των εγγύς πεδίου καταγραφών τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά. Ο ελάχιστος αριθμός παραμέτρων που 23

χρησιμοποιείται είναι δύο: Είτε η διάρκεια του παλμού, T P, και το πλάτος της επιτάχυνσης, a P, είτε η διάρκεια του παλμού και το πλάτος της ταχύτητας, v P (Makris 1997, Makris & Chang 2). Το πιο αναλυτικό μοντέλο των Mavroeidis & Papageorgiou (23), το οποίο βασίστηκε στα στοιχειώδη σήματα (elementary signals) του Gabor (1946) περιλαμβάνει 4 παραμέτρους οι οποίες περιλαμβάνουν την περίοδο, T P, το πλάτος, A, τη φάση, ν, και τον ταλαντωτικό χαρακτήρα (oscillatory character), γ, του παλμού. Το μοντέλο αυτό, το οποίο θα χρησιμοποιηθεί στην παρούσα διατριβή για την προσομοίωση της σεισμικής διέγερσης, θα παρουσιαστεί αναλυτικότερα στην επόμενη ενότητα (2.2.3). 2.2.3 Μοντέλο Mavroeidis & Papageorgiou (23) Παρά την πρόοδο που είχε επιτευχθεί έως το έτος 22 από τους σεισμολόγους και μηχανικούς, υπήρχε ακόμη μια σαφής ανάγκη για την ανάπτυξη ενός απλού, αλλά αξιόπιστου αναλυτικού μοντέλου, το οποίο να παρέχει τεχνητές εδαφικές κινήσεις που να αποτυπώνουν τον παλμικό χαρακτήρα των καταγραφών εγγύς-πεδίου, τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά. Οι παράμετροι που θα εισάγονταν στο μοντέλο αυτό θα έπρεπε να έχουν μια σαφή φυσική σημασία και να είναι άμεσα, στο μέτρο του δυνατού, συσχετισμένες με τις φυσικές παραμέτρους των ρηγμάτων και των διαδικασιών διάδοσης των κυμάτων. Οι Γ. Π. Μαυροειδής και Απ. Σ. Παπαγεωργίου το 22 πραγματοποίησαν μια πλήρη ανασκόπηση και μελέτη των παραγόντων που επηρεάζουν τις εδαφικές κινήσεις εγγύς-πεδίου και το 23 παρουσίασαν ένα απλό αλλά αποτελεσματικό μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει ικανοποιητικά τις εδαφικές κινήσεις εγγύς-πεδίου, τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά. Το μοντέλο αυτό προσομοιώνει με επιτυχία το σύνολο των διαθέσιμων χρονοϊστοριών μετατοπίσεων, ταχυτήτων και σε αρκετές περιπτώσεις και των επιταχύνσεων καθώς και τα αντίστοιχα φάσματα τους. 24

Σχήμα 2.7 Παραδείγματα παλμών και φασμάτων εγγύς πεδίου από το μοντέλο Mavroeidis & Papageorgiou (23). Οι βασικές παράμετροι που καθορίζουν τα χαρακτηριστικά της κυματομορφής των εγγύς-πεδίου παλμών της ταχύτητας είναι η διάρκεια του παλμού (ή της περιόδου), T P, το πλάτος του παλμού, A, καθώς επίσης και ο αριθμός και η φάση των μισών κύκλων, γ και ν, είναι οι βασικές παράμετροι που καθορίζουν τα χαρακτηριστικά της κυματομορφής των εγγύς-πεδίου παλμών της ταχύτητας. Ως εκ τούτου, ένα αναλυτικό μοντέλο με τέσσερις παραμέτρους, κατ αρχήν θα έπρεπε να αρκεί για να περιγράψει το σύνολο των παλμών της ταχύτητας. Οι σεισμολόγοι έχουν χρησιμοποιήσει «wavelets» (που αναφέρονται επίσης ως «signals», «signatures», ή «pulses»), ιδίως σε τομείς όπως το σεισμικό φιλτράρισμα, η επεξεργασία κυματιδίων και την προσομοίωση της διάδοσης των σεισμικών κυμάτων. Παρά 25

το γεγονός ότι έχουν προταθεί διάφορα κυματίδια (wavelets) στη βιβλιογραφία, μόνο λίγα από αυτά είναι δημοφιλή και χρησιμοποιούνται συχνά στην πράξη. Τα πιο κοινά συνοψίζονται στον Πίνακα 2.1, μαζί με τις αναλυτικές εκφράσεις τους, τις παραμέτρους που εισάγονται σε αυτά, και τις συναφείς αναφορές. Πίνακας 2.1 Τα πιο κοινά κυματίδια (wavelets) της βιβλιογραφίας. Wavelet Αναλυτική έκφραση Gabor f(t) = Ae (2πf p γ )2 t 2 cos [2πf p t + ν] Berlage f(t) = AH(t)t n e (2πf p γ )t cos [2πf p t + ν] Γενικευμένο Rayleigh f(t) = A( 1) k e i(ν+ π 2 ) (i + 2πf k+1 pt k ) Ku pper f(t) = A [sin (m πt T ) m πt sin ((m + 2) m + 2 T )] Ricker 3-loop: f(t) = A(1 2π 2 f p 2 t 2 )e (πfp)2 t 2 2-loop: f(t) = Ate ( 2πfp)2 t 2 όπου A: πλάτος, f P : επικρατούσα συχνότητα, ν: φάση, γ: χαρακτήρας ταλάντωσης, n: ασσυμετρία της περιβάλλουσας συνάρτησης, k: ελέγχει τον αριθμό των λοβών (lobes), T: διάρκεια, m: ελέγχει τον αριθμό των μισών κύκλων (half cycles). Οι προγραμματιστές του M&P (23) προτείνουν ένα αναλυτικό μοντέλο που διατηρεί τα πλεονεκτήματα των Gabor wavelets (όπως τον αριθμό των παραμέτρων, τη φυσική ερμηνεία τους, την απλή μαθηματική έκφραση και τη μεγάλη ευελιξία στον τομέα των συνθετικών κυματομορφών), ενώ παράλληλα αποδίδει μια έκφραση κλειστού τύπου για 26

την απόκριση του συστήματος που υποβάλλεται σε τεχνητές εδαφικές κινήσεις που παράγονται από το μοντέλο αυτό. Για το σκοπό αυτό, έχουν αντικαταστήσει την περιβάλλουσα του Gauss των Gabor wavelets από μια άλλη συμμετρική συνάρτηση σε σχήμα καμπάνας που έχει απλούστερη αναλυτική έκφραση (μια μετατοπισμένη συνάρτηση ανυψωμένου συνημίτονου). Έτσι, το προτεινόμενο αναλυτικό σήμα εκφράζεται ως: f(t) = A 1 2 [1 + cos (2πf p γ t)] cos(2πf pt + ν) (2.1) Το χρονικό διάστημα του σήματος είναι: γ t γ 2f p 2f p (2.2) Είναι χρήσιμο για τη βαθμονόμηση του μοντέλου να εισαχθεί μια χρονική μετατόπιση, t, ώστε να καθορίζεται με ακρίβεια τo μέγιστο της περιβάλλουσας, δηλαδή t t t. Αυτή η παράμετρος εισάγεται συχνά σε όλα τα μοντέλα που παρατίθενται στον Πίνακα 2.1 ως ένα χαρακτηριστικό που παρέχει επιπλέον ευελιξία στο σήμα, επιτρέποντας τη μεταφορά του κατά μήκος του άξονα του χρόνου. Τελικά, από το συνδυασμό των εξισώσεων (2.1) και (2.2) προκύπτει το προτεινόμενο αναλυτικό μοντέλο για τους εγγύςπεδίου παλμούς της ταχύτητας: v(t) = { A 1 2 [1 + cos (2πf p γ (t t ))] cos[2πf p (t t ) + ν], t γ t t 2f + γ, γ > 1 p 2f p, για κάθε άλλη περίπτωση (2.3) Η παράμετρος A ελέγχει το πλάτος του σήματος, f p είναι η επικρατούσα συχνότητα του σήματος, ν η φάση της αρμονικής ταλάντωσης (όταν ν = ή ν = 9 ορίζει συμμετρικά ή αντισυμμετρικά σήματα αντίστοιχα), το γ καθορίζει το χαρακτήρα της ταλάντωσης του σήματος (δηλαδή, πόσες φορές περνάει από το μηδέν), το t καθορίζει το 27

μέγιστο σημείο της περιβάλλουσας και το T p το αντίστροφο της επικρατούσας συχνότητας του σήματος (T p = 1 f p ). Οι αναλυτικές εκφράσεις των χρονοϊστοριών για την επιτάχυνση του εδάφους και τη μετατόπιση δίνονται από τις παρακάτω εξισώσεις: α(t) = { Aπf p γ sin ( 2πf p γ (t t )) cos(2πf p (t t ) + ν) +γsin[2πf p (t t ) + ν] [1 + cos ( 2πf, p [ γ (t t ))] ] t γ t t 2f + γ, γ > 1 p 2f p, σε κάθε άλλη περίπτωση (2.4) d(t) = { sin[2πf A p (t t ) + ν] + 1 γ 2 γ 1 sin [2πf p(γ 1) (t t γ ) + ν] 4πf p + 1 + C, γ [ 2 γ + 1 sin [2πf p(γ + 1) (t t γ ) + ν] ] t γ t t 2f + γ, γ > 1 p 2f p = A 1 4πf p (1 γ 2 ) sin(ν πγ) + C, t < t γ 2f p = A 1 4πf p (1 γ 2 ) sin(ν + πγ) + C, t > t + γ 2f p (2.5) Οι σταθερές τιμές μετατόπισης για t < t γ/2f p και t > t + γ/2f p καθορίζονται έτσι ώστε οι χρονοϊστορίες τις μετατόπισης να ικανοποιούν τη συνθήκη συνέχειας για t = t γ/2f p και t = t + γ/2f p. Όταν ολοκληρώνεται ο παλμός της ταχύτητας για να ληφθεί η μετατόπιση κλειστής μορφής, μια απροσδιόριστη ακόμη σταθερά, C, εμφανίζεται στην έκφραση της μετατόπισης, δηλαδή, d(t) = v(t)dt + C ή d(t) = d I (t) + C, όπου d I (t) αντιπροσωπεύει το αόριστο 28

ολοκλήρωμα v(t)dt. Στη συγκεκριμένη εργασία για λόγους απλότητας η σταθερά ολοκλήρωσης C λαμβάνεται ίση με μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει μία μετατόπιση για t < t γ/2f p ίση με d I (t γ/2f p), που μπορεί να μην είναι πλήρως συμβατή με τα πραγματικά αρχεία μετατόπισης, ακόμη και αν υπάρχουν χρονοϊστορίες μετατόπισης που παρουσιάζουν μη μηδενικές τιμές για t= λόγω των συστημάτων διόρθωσης και επεξεργασίας που εφαρμόζονται στα καταγεγραμμένα ψηφιακά δεδομένα. Ωστόσο, αυτή η μετατόπιση είναι κοντά στο μηδέν για τη μεγάλη πλειονότητα των περιπτώσεων που εξετάστηκαν στη συγκεκριμένη εργασία. 29

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3. ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΔΑΦΟΥΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ Για τη συγκεκριμένη διέγερση (υπό γωνία SH κύμα) η μεταφορική και η στρεπτική απόκριση είναι ασύζευκτες, δηλαδή η μεταφορική και η στρεπτική απόκριση προκύπτουν η μεν από τη μεταφορική διέγερση και η δε από τη στρεπτική, ακολουθώντας ξεχωριστή υπολογιστική διαδικασία. Τελικά, η συνολική απόκριση της κατασκευής υπολογίζεται από την επαλληλία των δύο επιμέρους αποκρίσεων. Στην παρούσα διατριβή χρησιμοποιήθηκε η αναλυτική διαδικασία υπολογισμού της στρεπτικής απόκρισης που περιγράφεται στο J. E. Luco (1976), ενώ ο υπολογισμός της μεταφορικής απόκρισης έγινε με βάση το J. E. Luco and H. L. Wong (1982). Το σύστημα εδάφους-κατασκευής φαίνεται στο Σχήμα 3.1. 3.1 ΣΤΡΕΠΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Στο μοντέλο που χρησιμοποιούμε για την ανάλυση του συστήματος σε στρέψη η κατασκευή μας προσομοιώνεται σαν μία ομοιόμορφη ελαστική ράβδος και το θεμέλιο σαν ένας επίπεδος άκαμπτος κυκλικός δίσκος, με ακτίνα ίση με την ακτίνα της ανωδομής. Το έδαφος θεωρείται ότι είναι ένας ελαστικός, ομογενής και ισότροπος ημιχώρος. Η σεισμική διέγερση αναπαρίσταται από ένα επίπεδο κύμα που κινείται παράλληλα με τον άξονα y, 3

όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.1, και προσπίπτει στο θεμέλιο με γωνία πρόσπτωσης θ V. Η κατασκευή μας είναι συμμετρική άρα η γωνία θ H δεν επηρεάζει την απόκριση της. Σχήμα 3.1 Περιγραφή συστήματος εδάφους-κατασκευής. Η διαδικασία που ακολουθήθηκε στο Luco (1976) βασίζεται στη θεώρηση πρώτα ενός αβαρούς άκαμπτου θεμελίου κυκλικού σχήματος που υπόκειται στη δράση μίας εξωτερικής ροπής και ενός SH κύματος που προσπίπτει στο θεμέλιο υπό γωνία. Αφού η ακριβής σχέση δύναμης-μετατόπισης για το αβαρές θεμέλιο έχει εκτιμηθεί, μπορούμε να διατυπώσουμε και να λύσουμε όλο το πρόβλημα της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής αναλυτικά (χωρίς τη χρήση έτοιμων πινάκων). 31

3.1.1 Σχέση ροπής-στροφής για το θεμέλιο Σε ό,τι ακολουθεί, η σεισμική διέγερση θα αναπαρίσταται από ένα επίπεδο SH κύμα με πλάτος u go 2 που προσπίπτει στο θεμέλιο υπό γωνία θ V, έτσι ώστε η μοναδική μη-μηδενική συνιστώσα της κίνησης να κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα y και να αντιστοιχεί σε u y i (x, y, z) = u go x 2 eiω(t+ β cosθ V z β sinθ V) (3.1) όπου ω η συχνότητα της μόνιμης διέγερσης, β η ταχύτητα διάδοσης του διατμητικού κύματος στο έδαφος και θ V η γωνία πρόσπτωσης όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.1. Το προσπίπτον κύμα όπως περιεγράφηκε και η ολική ανάκλαση του στην ελεύθερη επιφάνεια του εδάφους (ελλείψει του άκαμπτου θεμελίου) u y r (x, y, z) = u go x 2 eiω(t+ β cosθ V+ z β sinθ V) (3.2) συνδυάζονται για να δημιουργήσουν την ακόλουθη κίνηση ελευθέρου πεδίου u y i+r = u y i + u y r = u go e iω(t+x β cosθ V) cos ( ωz β sinθ V) (3.3) Αφού επικεντρωνόμαστε στη στρεπτική απόκριση του θεμελίου, αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τη μέση τιμή u θ (r, θ, z), πάνω από το αζιμούθιο, θ: της εφαπτομενικής συνιστώσας της μετατόπισης, u θ(r, z) = 1 2π 2π u θ(r, θ, z) dθ (3.4) Η χρήση μέσων τιμών και κατά συνέπεια η κατάργηση της παραμέτρου θ προκύπτει από το γεγονός ότι ο υπολογισμός της σχέσης ροπής-στροφής για το θεμέλιο περιλαμβάνει μόνο μέσες τιμές πάνω στην συντεταγμένη θ. Έτσι, η μέση εφαπτομενική συνιστώσα της κίνησης ελευθέρου πεδίου, u θi+r, στην ελεύθερη επιφάνεια του εδάφους, z =, είναι 32

u θ(r, z) = 1 2π 2π u θ(r, θ, z) dθ (3.5) Η μέση εφαπτομενική συνιστώσα της κίνησης ελευθέρου πεδίου, u θi+r, στην ελεύθερη επιφάνεια του εδάφους, z =, είναι ή 2π u θi+r (r, ) = 1 2π u θ i+r (r, θ, ) dθ = u go 2π eiωt 2π e i(ω rcosθ V β )cosθv cosθ dθ (3.6) με u θi+r (r, ) = ie iωt J 1 (ω rcosθ V ) β (3.7) J n (z) = i n 2π 2π eizcosθ cosnθ dθ (3.8) Το πεδίο μετατοπίσεων, u, στον ελαστικό ημιχώρο, πρέπει να ικανοποιεί την ελαστοδυναμική εξίσωση κίνησης (Navier s equation): (λ + μ) ( u) μ u + ρ(f u ) = (3.9) Τώρα εκφράζουμε το πεδίο μετατοπίσεων σε κυλινδρικές συντεταγμένες και θεωρούμε μοναδική μη-μηδενική συντεταγμένη την εφαπτομενική συνιστώσα, u θ, δηλαδή Έτσι, u = u r e r + u θ e θ + u z e z = e r + u θ e θ + e z (3.1) u = 1 r r (ru r) + 1 r θ (u θ) + z (u z) = 1 r θ (u θ) (3.11) 33

( u) = e r r (1 r θ (u 1 θ)) + e θ r θ (1 r θ (u θ)) + e z z (1 r θ (u θ)) (3.12) e r re θ e z u = 1 r = r θ z z (u θ)e r ()e θ + ( 1 r u θ + r (u θ)) e z u r ru θ u z (3.13) e r re θ e z u = 1 r r θ z z (u θ) ( 1 r u θ + r (u θ)) = 1 r ( θ (1 r u θ + r (u θ)) z ()) e r (3.14) ( r (1 r u θ + r (u θ)) + 2 z 2 (u θ)) e θ + 1 2 r θ z (u θ)e z Στο σημείο αυτό πρέπει να υπολογίσουμε κατά μέσο όρο την εφαπτομενική συνιστώσα της μετατόπισης, u θ, ως προς το θ. Αφού η διαδικασία αυτή είναι γραμμική μπορεί να γίνει για όλες τις παραπάνω εξισώσεις (3.9-3.14): u = u r e r + u θe θ + u z e z = e r + u θe θ + e z (3.15) (λ + μ) ( u ) μ u + ρ(f u ) = (3.16) u = 1 r ( u ) = e r r () + e 1 θ r θ (u θ) = (3.17) θ () + e z z () = (3.18) u = z (u θ)e r ()e θ + ( 1 r u θ + r (u θ)) e z (3.19) 34

u = 1 r ( θ (1 r u θ + r (u θ)) z ()) e r ( r (1 r u θ + r (u θ)) + 2 z 2 (u θ)) e θ + 1 2 r θ z (u θ)e z (3.2) = ( r (1 r u θ + r (u θ)) + 2 z 2 (u θ)) e θ = ( 2 u θ z 2 2 u θ r 2 1 r u θ r + u θ r 2) e θ Συνδυάζοντας τα παραπάνω και θέτοντας f =, δηλαδή μηδενικές δυνάμεις πεδίου (body forces), έχουμε μ ( 2 u θ z 2 + 2 u θ r 2 + 1 r u θ r u θ r 2) ρu θ =, ( r <, z < ) (3.21) με οριακές συνθήκες τις εξής u θ = a b re iωt ( r a, z = ) z (u θ) = (a < r, z = ) (3.22) όπου a b το πλάτος της γωνίας στροφής του θεμελίου και a η ακτίνα του. Για αρμονικές ταλαντώσεις έχουμε u θ = ω 2 (3.23) u θ Επίσης, β 2 = μ ρ (3.24) Έτσι, η ελαστοδυναμική εξίσωση κίνησης γίνεται 35

( 2 u θ z 2 + 2 u θ r 2 + 1 r u θ r u θ r 2) + (ω β ) 2 u θ =, ( r <, z < ) (3.25) Το πρόβλημα οριακών συνθηκών που περιγράφουν οι εξ. 3.25 και 3.22 λύνεται με μία ανάλυση πεδίου (field decomposition), που είχε αρχικά εισαχθεί από τον Thau το 1967. Έτσι, u θ = u θi+r + u θr S + (3.26) u θ όπου u θi+r η μέση εφαπτομενική συνιστώσα της κίνησης ελευθέρου πεδίου, u θr πεδίο που σχετίζεται με την κίνηση που παράγεται από τη στροφή του θεμελίου ελλείψει της σεισμικής διέγερσης και u θ S πεδίο που σχετίζεται με τη μέση εφαπτομενική συνιστώσα της κίνησης που χρειάζεται να προστεθεί στην κίνηση ελευθέρου πεδίου όταν το θεμέλιο είναι πακτωμένο και υπόκειται σε σεισμική διέγερση. Αντικαθιστώντας την ανάλυση Thau του συνολικού πεδίου, u θ, στις οριακές συνθήκες αποκτούμε τα παρακάτω ζεύγη εξισώσεων ( 2 u θr z 2 + 2 R u θ r 2 + 1 u θr r r u θ R 2 r 2 ) + (ω β ) u θr = ( r <, z < ) u θr = a b re iωt ( r a, z = ) z (u θ R ) = (a < r, z = ) (3.27) και ( 2 u θ S z 2 + 2 S u θ r 2 + 1 S u θ r r u θ S 2 r 2 ) + (ω β ) u θ S = ( r <, z < ) u θ S = a b re iωt ( r a, z = ) z (u θ S ) = (a < r, z = ) (3.28) 36

Λύση της εξ. 3.27 για το u θr Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των χωριζόμενων μεταβλητών εκφράζουμε τη λύση ως εξής: u θr (r, z) = R(r)Z(z) (3.29) Αντικαθιστώντας στην εξίσωση κίνησης, έχουμε ( 2 u θr z 2 + 2 R u θ r 2 + 1 u θr r r u θ R 2 r 2 ) + (ω β ) u θr = R(r)Z (z) + R (r)z(z) + 1 r R (r)z(z) + (( ω 2 β ) 1 r2) R(r)Z(z) = Z (z) Z(z) + R (r) R(r) + 1 R (r) 2 r R(r) + ((ω β ) 1 r 2) = (3.3) Θέτουμε Z (z) Z(z) = ν2 Z (z) ν 2 Z(z) = (3.31) Οι παραπάνω εξισώσεις δέχονται λύσεις της μορφής e ±νz. Επίσης, R (r) R(r) + 1 R (r) r R(r) 1 r 2 = k2 R (r) + 1 r R (r) + (k 2 1 r 2) = (3.32) Η παραπάνω εξίσωση δέχεται λύσεις της μορφής c 1 J 1 (kr) + c 2 Y 1 (kr). Όμως, επειδή η λύση πρέπει να είναι πεπερασμένη για r =, απορρίπτουμε τη λύση Y 1 (kr) και κρατάμε μόνο τη J 1 (kr). Οι σταθερές ν και k, πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση ν 2 + ( ω 2 β ) k 2 = ν = k 2 ( ω 2 β ) (3.33) 37

Αποφασίζουμε να θεωρήσουμε μόνο τα Re(ν), άρα κρατάμε μόνο τη λύση e +νz. Τελικά, η λύση του προβλήματος οριακών συνθηκών είναι μία επαλληλία λύσεων της μορφής A(k)J 1 (kr)e νz, δηλαδή επαλληλία κυλινδρικών κυμάτων πλάτους A(k). Έτσι, u θr (r, z) = A(k)J 1 (kr)e νz dk ν = k 2 ( ω 2 β ), Re(ν) (3.34) Μέχρι τώρα η μόνη διάσταση που έχει εισαχθεί στο πρόβλημα είναι η ακτίνα, a, του κυλινδρικού άκαμπτου θεμελίου. Μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε σαν παράμετρο κανονικοποίησης. Συγκεκριμένα, u θr (ar, az ) = ( 1 ) A (k a a ) J 1(k r )e ν z dk = a {( 1 a2) A (k a )} J 1(k r )e ν z dk = a A (k )J 1 (k r )e ν z dk (3.35) όπου ν = aν = a k 2 ( ω β ) 2 = (ak) 2 ( ωa β ) 2 = (k ) 2 a o 2 r = r a, z = z a, a o = ωa β, Re(ν ) (3.36) Όπως περιμέναμε, μπορεί να μπορεί να αποδειχθεί (με άμεση αντικατάσταση) ότι η έκφραση u θr (r, z) = A(k)J 1 (kr)e νz dk ικανοποιεί την εξίσωση κίνησης. 38

Έπειτα, στρέφουμε την προσοχή μας στις οριακές συνθήκες. Συγκεκριμένα, η καθορισμένη στροφή του θεμελίου μας παρέχει την ακόλουθη διαφορική εξίσωση: A(k)J 1 (kr) dk = α b r ( r a) A (k )J 1 (k r ) dk = α b r ( r 1) (3.37) Η ελευθέρα-τάσεων επιφάνεια του ημιχώρου μας παρέχει άλλη μία διαφορική εξίσωση: νa(k)j 1 (kr) dk = (a < r) ν A (k )J 1 (k r ) dk = (1 < r ) (3.38) Συνοψίζοντας, για να υπολογίσουμε το A(k) (ή αντίστοιχα το A (k )) πρέπει να λύσουμε ταυτόχρονα τις ακόλουθες διαφορικές εξισώσεις: A (k )J 1 (k r ) dk = α b r ( r 1) ν A (k )J 1 (k r ) dk = (1 < r ) (3.39) Ο τρόπος για να προχωρήσουμε είναι υιοθετώντας την ακόλουθη ολοκληρωτική αναπαράσταση για το A (k ) (Lebedev, 1957): A (k ) = ( 4α bk ν π ) θ R(ξ) sin(k ξ) dξ 1 (3.4) Η συνάρτηση θ R (t) είναι μία νέα άγνωστη συνάρτηση. Η παραπάνω ολοκληρωτική αναπαράσταση του A (k ) είναι τέτοια ώστε η 2 η ολοκληρωτική εξίσωση που αναφέρεται 39

παραπάνω (δηλαδή η ν A (k )J 1 (k r ) dk άμεση αντικατάσταση. = ) να πληρείται, όπως αποδεικνύεται με Έπειτα, χρησιμοποιώντας την παραπάνω ολοκληρωτική αναπαράσταση του A (k ) στην 1 η ολοκληρωτική εξίσωση (δηλαδή στην A (k )J 1 (k r ) dk = α b r ), τη μετατρέπουμε σε μία ολοκληρωτική εξίσωση Fredholm (Hildebrand, 1965; Κεφάλαιο 3) της άγνωστης συνάρτησης θ R (ξ), όπως παρουσιάζεται παρακάτω. Η ολοκληρωτική εξίσωση Fredholm της άγνωστης συνάρτησης θ R (ξ) είναι η 1 θ R (ξ ) + ( 1 π ) θ R(ξ)[Ψ(ξ + ξ ) Ψ(ξ ξ )] dξ = ξ ( ξ 1) (3.41) όπου Ψ(ζ) = ψ(k ) cos(k ζ) dk, ψ(k ) = 1 (k ) 2 a2 o k (3.42) Η συνάρτηση Ψ(ζ) (που παρεμπιπτόντως είναι η συνάρτηση συνημίτονου του μετασχηματισμού Fourier της συνάρτησης ψ(k ), όπως ορίστηκε παραπάνω) μπορεί να εκφραστεί ρητώς σε όρους συναρτήσεων Bessel και Struve (Lebedev, 1959), ως εξής: Ψ(ζ) = πa o 2 [J 1(a o ζ) ih 1 (a o ζ) + 2i π ] (3.43) Συμβολίζουμε τον πυρήνα (kernel) της παραπάνω ολοκληρωτικής εξίσωσης με K(ξ, ξ ): K(ξ, ξ ) = ( 1 π ) [Ψ(ξ + ξ ) Ψ( ξ ξ )] (3.44) Έτσι, K(ξ, ξ ) = ( a o 2 ) {J 1[a o (ξ + ξ )] J 1 [a o ξ ξ ] ih 1 [a o (ξ + ξ )] + ih 1 [a o ξ ξ } ] (3.45) 4

Συνοψίζοντας, ολοκληρωτική εξίσωση Fredholm της άγνωστης συνάρτησης θ R (ξ) παίρνει τη μορφή 1 θ R (ξ ) + θ R (ξ)k(ξ, ξ ) dξ = ξ ( ξ 1) K(ξ, ξ ) = ( a o 2 ) {J 1[a o (ξ + ξ )] J 1 [a o ξ ξ ] ih 1 [a o (ξ + ξ )] + ih 1 [a o ξ ξ } ] (3.46) Η εξίσωση (3.46) λύνεται αριθμητικά, αντικαθιστώντας την με ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων (Hildebrand, 1965): n θ R (ξ j ) = f(ξ j ) K(ξ k, ξ j )D k θ R (ξ k ) k=1 j = 1,2,, n (3.47) όπου D k είναι οι συντελεστές βαρύτητας (weighting coefficients), f(ξ j ) = ξ j. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα Simpson (n = odd) και οι συντελεστές προκύπτουν ως εξής: [D 1, D 2, D 3, D 4,, D n 2, D n 1, D n ] = ( h 3 ) [1,4,2,4,2,4,,2,4,1] (3.48) Μπορούμε να γράψουμε συμπαγώς το παραπάνω ζεύγος εξισώσεων σε μορφή πίνακα: θ R = f KDθ R D = [D i δ ik ] (3.49) Επομένως: (I + KD)θ R = f (3.5) με K(ξ k, ξ j ) συμμετρικό, δηλαδή K(ξ k, ξ j ) = K(ξ j, ξ k ). Χωρίζοντας το διάστημα ξ 1 σε δέκα μέρη με ίσο βήμα (h =.1), μπορούμε να έχουμε ακριβή αποτελέσματα. 41

Λύση της εξ. 3.28 για το u θs Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία όπως για το u θr, προχωρούμε εκφράζοντας μία επαλληλία κυλινδρικών κυμάτων: u θs (r, z) = B(k)J 1 (kr)e νz dk ν = k 2 ( ω 2 β ), Re(ν) (3.51) Χρησιμοποιώντας την ακτίνα, a, σαν παράμετρο κανονικοποίησησης έχουμε: u θs (ar, az ) = ( 1 ) B (k a a ) J 1(k r )e ν z dk = a {( 1 a2) B (k a )} J 1(k r )e ν z dk = a B (k )J 1 (k r )e ν z dk (3.52) 1 η συνοριακή συνθήκη: a B (k )J 1 (k r )e ν z dk B (k )J 1 (k r )e ν z dk = iu go J 1 (ω r cos θ V ) ( r a z = ) β = ( iu go a ) J 1(a o r cos θ V ) ( r 1 z = ) (3.53) 2 η συνοριακή συνθήκη: 42

νb(k)j 1 (kr) dk = (a < r) ν B (k )J 1 (k r ) dk = (1 < r ) (3.54) Συνοψίζοντας, για να υπολογίσουμε το B(k) (ή αντίστοιχα το B (k )) πρέπει να λύσουμε ταυτόχρονα τις ακόλουθες δύο διαφορικές εξισώσεις: B (k )J 1 (k r )e ν z dk = ( iu go a ) J 1(a o r cos θ V ) ( r 1 z = ) ν B (k )J 1 (k r ) dk = (1 < r ) (3.55) Προχωράμε υιοθετώντας ξανά τη διαδικασία Lebedev (1957, 1959), δηλαδή χρησιμοποιώντας την ανάπτυξη σε όρους μίας νέας άγνωστης συνάρτησης θ S (ξ): B (k ) = i ( 2u go a k a o cos θ V ν π 1 ) θ S (ξ) sin(k ξ) dξ (3.56) Με αυτήν την ολοκληρωτική αναπαράσταση για το B (k ), η 2 η οριακή συνθήκη ικανοποιείται, ενώ η 1 η οδηγεί, τελικά, στην ακόλουθη ολοκληρωτική εξίσωση Fredholm: 1 θ S (ξ ) + θ S (ξ)k(ξ, ξ ) dξ = sin(ξ a o cos θ V ) a o cos θ V ( ξ 1) K(ξ, ξ ) = ( a o 2 ) {J 1[a o (ξ + ξ )] J 1 [a o ξ ξ ] ih 1 [a o (ξ + ξ )] +ih 1 [a o ξ ξ } ] (3.57) Η ολοκληρωτική εξίσωση Fredholm για το θ S (ξ) λύνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που λύθηκα για το θ R (ξ), με μόνη διαφορά ότι f(ξ ) = sin(ξ a o cos Θ). a o cos Θ 43

Έπειτα, θα υπολογίσουμε τη συνολική ροπή στο θεμέλιο. Η ροπή που ασκείται στο θεμέλιο από τον ημιχώρο υπολογίζεται αθροίζοντας τις στοιχειώδεις ροπές που ασκεί η επιφάνεια πάνω του a 2π T = σ zθ (r, θ, z = )r da a 2π = σ zθ (r, θ, z = )r rdθdr a 2π = 2π { 1 2π σ zθ(r, θ, z = ) dθ } r 2 dr a = 2πσ zθ (r, z = ) r 2 dr a = 2π {μ u θ z } r 2 dr z= = 2πμ { u θ z } r 2 dr z= a (3.58) όπου σ zθ (r, θ, z = ) οι εφαπτομενικές τάσεις. Για να υπολογίσουμε το { u θ z z= } (στο διάστημα r a r 1) χρησιμοποιούμε την ανάλυση, u θ = u θi+r + u θr + u θs, που υποθέσαμε νωρίτερα: i+r u θ z u θ = ( z= z + u θ R S z + u θ z ) = ν A (k )J 1 (k r ) dk z= + ν B (k )J 1 (k r ) dk (3.59) Τώρα, χρησιμοποιώντας τις ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις των A (k ) και B (k ) σε όρους θ R (ξ) και θ S (ξ), αντίστοιχα, έχουμε 44