1 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέτασης Ο Ένα υλικό σημείο κινείται επάνω σε μια ευθεία έτσι ώστε η απομάκρυνση του να δίνεται από την εξίσωση x(t) = Αt 3 Bt. Το κινητό ακινητοποιείται στιγμιαία σε χρόνο t 1 > 0. Να βρεθεί η απομάκρυνσή του κινητού (σε μέτρα) σε χρόνο Δt μετά από αυτή τη χρονική στιγμή της στιγμιαίας ακινητοποίησης. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες Α (σε m/s 3 ), Β (σε m/s ) και Δt (σε s) αντίστοιχα: 0., 0.6, 0. s x x (t) = 0 => 3At Bt = 0 => 3At B = 0 => t 1 = B 3A = 0.6 3 0. = s t = t 1 + Δt = + 0. =. s x(t ) = Αt 3 Bt = 0. (.) 3 0.6 (.) = 0.7744 m Ένα υλικό σημείο που τη χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται σε στιγμιαία ακινησία, κινείται με επιτάχυνση με συνιστώσες που δίνονται από τις α x (t) = bsin(ωt) και α y (t) = dcos(ωt). Να βρεθεί η γωνία θ σε μοίρες (μεταξύ 0 και 360 0 ) που σχηματίζει το διάνυσμα της ταχύτητας με τον άξονα x κατά τη χρονική στιγμή t = 0. s. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες b (σε m/s ), d (σε m/s ) και ω (σε rad/s) αντίστοιχα: 3.0.0 0.4 Με ολοκλήρωση v x (t) = b ω cos(ωt) + c x v y (t) = d ω sin(ωt) + c y
Από την αρχική συνθήκη v x (0) = 0 => b ω + c x = 0 => c x = b ω v y (t) = 0 => 0 + c y = 0 => c y = 0 Επομένως v x (t) = b ω cos(ωt) + b ω Η γωνία ενός διανύσματος δίνεται από την v y (t) = d ω sin(ωt) Για t = 0. s tanθ = v y v x = d ω sin(ωt) dsin(ωt) => θ = atan [ b ω (1 cos(ωt)) b(1 cos(ωt)) ] 3sin(0.4 0.) θ = atan [ 3(1 cos(0.4 0.)) ] = 0.014640 Σημειακό σώμα A που βρίσκεται στο t = 0 σε ηρεμία στο σημείο Β(1,1), δέχεται ξαφνικά επιτάχυνση ώστε η ταχύτητα του να αποκτήσει συνιστώσες v x = c 1 t και v y = c t. Να βρεθεί η απόστασή του από το Ο(0,0) την χρονική στιγμή t = t 0. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες t 0 (σε s), c 1 (σε m/s ) και c (σε m/s 3 ) αντίστοιχα:.0 1.0 0.3 Με ολοκλήρωση x = c 1 t y = c t 3 + κ 1 3 + κ Όπου κ 1 και κ είναι οι σταθερές ολοκλήρωσης. Για να ικανοποιείται η αρχική συνθήκη x = 1 και y = 1 στο t = 0 πρέπει να έχουμε αναγκαστικά: κ 1 = 1 κ = 1
Η ζητούμενη απόσταση είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος θέσης r = ΟΑ στο t 0 που ισούται με: 3 t r = (c 0 1 + 1) t + (c 0 3 + 1) = (1.0.0 + 1) + (0.3.03 3 + 1) = 3.50 m Α Μικρή πέτρα εκτοξεύεται από το έδαφος με αρχική ταχύτητα v 0 και γωνία θ ως προς το έδαφος. Να βρεθεί η γωνία του διανύσματος της ταχύτητας της πέτρας σε μοίρες (μεταξύ ±90 0 ) σε σχέση με τον άξονα x σε χρόνο Δt αφού έχει φτάσει στο σημείο Α του μέγιστου ύψους της τροχιάς. Πάρτε g = 10 m/s για ευκολία. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες v 0 (σε m/s), θ (σε μοίρες) και Δt (σε s) αντίστοιχα: 10.0 m/s 40 0. s Αρχική ταχύτητα - συνιστώσες v 0x = v 0 cosθ = 10cos40 0 = 7.66 m/s v 0y = v 0 sinθ = 10sin40 0 = 6.43 m/s Στο υψηλότερο σημείο η v y μηδενίζεται επομένως μπορούμε να βρούμε το χρόνο για να φτάσει η πέτρα στο μέγιστο ύψος: v y = 0 => v 0y gt A = 0 => t A = 6.43 10 = 0.643 s Η ζητούμενη γωνία είναι σε χρόνο t = t A + Δt = 0.643 + 0. = 0.843 s. Οι συνιστώσες της ταχύτητας κατά τη συγκεκριμένη στιγμή είναι ίσες με Η ζητούμενη γωνία είναι η v x = v 0x = 7.66 m/s v y = v 0y gt = 6.43 10 0.843 = m/s
φ = tan 1 v y = tan 1 v x 7.66 = 14.630 Στο παραπάνω σχήμα θ = 4 0 και υπάρχει συντελεστής στατικής τριβής μ μεταξύ του κεκλιμένου επιπέδου και της μάζας m. Το ελατήριο είναι σταθερά προσδεμένο στο έδαφος με παραμόρφωση x προς τα πάνω σε σχέση με το φυσικό του μήκος και η τροχαλία ιδανική. Να βρεθεί η κάθετη αντίδραση (σε Ν) που ασκείται στη μάζα m εάν το όλο σύστημα ισορροπεί και η στατική τριβή είναι προς τα πάνω και στο οριακό της σημείο. Πάρτε g = 10 m/s για ευκολία. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες k (σε N/m), x (σε m) και μ αντίστοιχα: 3.0 0.4 0.4 Από την ισορροπία κάθετα στο δάπεδο έχουμε Ν = mgcos4 0. Η μάζα είναι άγνωστη και για να τη βρούμε παίρνουμε ισορροπία κατά μήκος της κίνησης: Έτσι m = mgsin4 0 μmgcos4 0 kx = 0 => kx g(sin4 0 μcos4 0 ) = 3 0.4 10(sin4 0 0.4 cos4 0 = 0.446 kg ) Ν = mgcos4 0 = 0.446 10 cos4 0 = 3.31 N
Μια δύναμη F = 1 Ν δράει σε ένα σύστημα τριών κιβωτίων τα οποία μπορούν και ολισθαίνουν χωρίς τριβή επάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Να βρεθεί η δύναμη επαφής Ν 1 μεταξύ των κιβωτίων 1 και σε Newton (κατά απόλυτη τιμή). Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες m 1, m, και m 3 (σε kg) αντίστοιχα: 3.5 0.3 Για την επιτάχυνση παίρνουμε το όλο σύστημα F a = m 1 + m + m 3 Για το ο νόμο του Νεύτωνα στην 1 η μάζα έχουμε: ΣF = m 1 a => F N 1 = m 1 m + m 3 F => N 1 = F m 1 + m + m 3 m 1 + m + m 3 3.5 + 0.3 N 1 = 1 = 7.86 N + 3.5 + 0.3 Στο παραπάνω σχήμα οι τα δυο κιβώτια A και Β συνδέονται με ιδανικό νήμα και ιδανική τροχαλία και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μ είναι ο ίδιος για όλες τις επιφάνειες. Να βρεθεί η δύναμη τριβής F T που δρα στο πάνω κιβώτιο εάν η τάση του νήματος που δρα στο κάτω κιβώτιο είναι Τ και εάν αυτό το κιβώτιο κινείται με σταθερή επιτάχυνση a. Πάρτε g = 10 m/s για ευκολία.
Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες Τ (σε Ν), a (σε m/s ) και μ αντίστοιχα:.5 3.0 0.4 Β σταθερή επιτάχυνση => Α σταθερή επιτάχυνση Τ F T = m Α a => T μν = m Α a => T μm A g = m Α a => m Α = T μg + a F T = μν = μm Α g = μg 0.4 10 T =.5 =.86 N μg + a 0.4 10 + 3 Φοιτητής ωθεί κιβώτιο μάζας m εφαρμόζοντας δύναμη F ώστε αυτό να κινείται με σταθερή οριζόντια ταχύτητα κατά μήκος δαπέδου ενός ανελκυστήρα o οποίος αρχικά είναι ακίνητος. Ο συντελεστής της τριβής ολίσθησης μεταξύ δαπέδου και κιβωτίου είναι μ. Ξαφνικά ο ανελκυστήρας ανέρχεται με επιτάχυνση λg και ο φοιτητής παρατηρεί ότι χρειάζεται διαφορετική δύναμη F για να προκαλέσει το ίδιο αποτέλεσμα (σταθερή οριζόντια ταχύτητα). Να βρεθεί ο συντελεστής της τριβής ολίσθησης. Πάρτε g = 10 m/s για ευκολία. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες F (σε Ν), m (σε kg) και λ αντίστοιχα:.0 4.5 0.4 Ακίνητος ανελκυστήρας N mg = 0 => N = mg Σταθερή οριζόντια ταχύτητα σημαίνει μηδέν επιτάχυνση και άρα ισορροπία στις οριζόντιες δυνάμεις, δηλαδή τριβή ίσον με τη δύναμη του φοιτητή Κινούμενος ανελκυστήρας F = μmg N mg = ma => N = mg + λmg = (λ + 1)mg Σταθερή ταχύτητα σημαίνει ισορροπία στις οριζόντιες δυνάμεις, δηλαδή τριβή ίσον με τη δύναμη του φοιτητή
F F = μ(λ + 1)mg => μ = (λ + 1)mg = (0.4 + 1)4.5 10 = 0.03 m m 1 Στο παραπάνω σχήμα οι δυο μάζες κινούνται με σταθερή ταχύτητα (ο 1 ος νόμος του Νεύτωνα μπορεί να σας βοηθήσει), υπάρχει τριβή στο οριζόντιο δάπεδο, g = 10 ms και οι τροχαλίες και τα νήματα είναι ιδανικά. Να βρεθεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του δαπέδου. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω δεδομένα για τις ποσότητες m 1 και m (σε kg) αντίστοιχα: 4.0.5 Από τον 1 ο νόμς του Νεύτωνα συμπεραίνουμε ότι αφού τα σώματα κινούνται σε ευθύγραμμη ομαλή κίνηση τότε το σύνολο των δυνάμεων είναι μηδέν, έχουμε δηλαδή ισορροπία δυνάμεων. Στην τροχαλία στα δεξιά ασκείται μέσω του νήματός της το βάρος Β 1 = m 1 g του αναρτώμενου σώματος. Επειδή η τροχαλία αυτή είναι ιδανική, αυτή η δύναμη μεταφέρεται μέσω του νήματος και στο κέντρο της άλλης τροχαλίας. Σε αυτή τη τροχαλία εφαρμόζονται δυο άλλες δυνάμεις από το νήμα που είναι περιτυλιγμένο γύρω του, αλλά επειδή η τροχαλία είναι ιδανική, αυτές είναι ίσες, έστω F. Από την ισορροπία σε αυτή τη τροχαλία F = B 1 => F = m 1g Μέσω του νήματος, στο κιβώτιο δρα η δύναμη F και αφού ισορροπεί, πρέπει αυτή να είναι ίση με την δύναμη της τριβής, δηλαδή: μm g = F => μ = m 1 4 = m.5 = 0.8
Στο παρακάτω σχήμα το κιβώτιο μάζας m βρίσκεται σε ακινησία εάν η δύναμη F είναι αρκετά μεγάλη λόγω τριβής με την επιφάνεια επαφής. Εάν την ελαττώσουμε, σε κάποια οριακή της τιμή το κιβώτιο ξεκινάει να ανέρχεται με σταθερή επιτάχυνση a (θεωρώντας ότι η F είναι απειροστά χαμηλότερη από αυτήν την οριακή τιμή). Εάν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι ο μισός από τον συντελεστή στατικής τριβής, να βρεθεί η F 1 σε Newton. Πάρτε g = 10 m/s για ευκολία. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες a (σε m/s ) και m (σε kg) αντίστοιχα:.5 0. Η οριακή δύναμη στατικής τριβής ισούται με Τ Σ = μ Σ F ενώ η τριβή ολίσθησης Τ = μf όπου μ Σ και μ είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές τριβής. Από τα δεδομένα μ Σ = μ και άρα Τ Σ = Τ. Στο κιβώτιο δρούνε 3 δυνάμεις, το βάρος του B, η τριβή (Τ Σ ή Τ) και η F 1 (μέσω της ιδανικής τροχαλίας). Παίρνουμε δυο περιπτώσεις: α) Οριακή ισορροπία (τα θετικά προς τα πάνω). F 1 B T Σ = 0 => F 1 B Τ = 0 β) Ολίσθηση με επιτάχυνση a. Από τον ο νόμο του Νεύτωνα Συνδυάζοντας F 1 B T = ma Αντικαθιστώντας F 1 B = ma => F 1 = mg + ma = m(g + a) F 1 = 0.(10 +.5) =.5
Τ 1 m 1 Τ m Ανελκυστήρας Όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, η μάζα m 1 είναι αναρτημένη από την οροφή ενός ανελκυστήρα μέσω ιδανικού νήματος και μια μάζα m αναρτάται από την πρώτη επίσης μέσω ιδανικού νήματος. Ο ανελκυστήρας επιταχύνεται προς τα πάνω με επιτάχυνση a = λg. Να βρεθεί η τάση Τ 1 του επάνω νήματος σε Newton. Πάρτε για ευκολία g = 10 m/s. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες m 1, m (σε kg) και λ αντίστοιχα: 3.0.5 0. Στο κάτω σώμα ασκούνται το βάρος του B = m g και η τάση T. Το όλο σύστημα κινείται με επιτάχυνση a = λg και άρα και οι δυο μάζες έχουν αυτή την επιτάχυνση. Από το ο νόμο του Νεύτωνα για την κάτω μάζα: Τ m g = m a => T = m (λg + g) = m (λ + 1)g Στο πάνω σώμα ασκούνται τρεις δυνάμεις, οι δυο τάσεις και το βάρος του και επομένως: Συνδυάζοντας Από τα δεδομένα Τ 1 Τ m 1 g = m 1 a => T 1 = T + m 1 (λ + 1)g T 1 = (m + m 1 )(λ + 1)g T 1 = (3.0 +.5)(0. + 1)10 = 66 N