ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΕ ΤΕΛΕΙΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ ΑΓΩΓΟΙ ΚΑΙ ΠΥΚΝΩΤΕΣ 1. [ Σχεδίαση πυκνωτή ] Να σχεδιαστεί σφαιρικός πυκνωτής αέρα με χωρητικότητα C = 1 pf και τάση V = 1 V. Για να μη γίνει διάσπαση του διηλεκτρικού θα πρέπει η μέγιστη τιμή του μέτρου της ηλεκτρικής έντασης να μην υπερβαίνει την τιμή Ε mx = 1 V/cm. [ Απ.: Μία αποδεκτή λύση είναι r 1 = 3 cm, r = 3.1 cm. ]. [ Μεταβλητός πυκνωτής ] Μεταβλητός πυκνωτής αποτελείται από δύο ομάδες μεταλλικών ημικυκλικών πλακών, Α και Β. Η ομάδα Α είναι σταθερή, ενώ η ομάδα Β μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον κοινό άξονα των ημικυκλίων έτσι, ώστε οι πλάκες της να εισέρχονται ανάμεσα στις πλάκες της ομάδας Α. Αν κάθε ομάδα αποτελείται από Ν όμοιες τέτοιες ημικυκλικές πλάκες σταθερής ακτίνας R και η απόσταση ανάμεσα στις πλάκες είναι d, ζητούνται: α./ η χωρητικότητα του πυκνωτή β./ αν ο πυκνωτής είναι συνδεδεμένος με πηγή συνεχούς τάσης V, να βρεθούν : β.1./ το συνολικό φορτίο του πυκνωτή και η ενέργεια του πυκνωτή, β../ η ενέργεια που αποδίδει η πηγή, β.3./ η ροπή στρέψης που πρέπει να καταβληθεί για την αλλαγή θέσης του πυκνωτή. εr d εr d [ Απ.: α./ C = (N 1) φ, β./ Q = CV, W C = CV /, Τ = (N 1) V. ] 3. [ Υπολογισμός μη ιδανικού πυκνωτή ] Οι οπλισμοί ενός πυκνωτή πλακών δεν είναι τελείως παράλληλοι, αλλά βρίσκονται επάνω στις έδρες δίεδρης γωνίας, έτσι ώστε οι πλευρές που είναι παράλληλες με την ακμή της να απέχουν μεταξύ τους αποστάσεις d + και d, αντίστοιχα, με << d. Αμελώντας τα φαινόμενα άκρων και λαμβάνοντας υπ' όψη ότι 1+ x ln x 1 = + x 1 x 3 3 ( ) για x << 1, να αποδειχτεί ότι η χωρητικότητα του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση: εs 1 C= 1+ d 3 d όπου S η επιφάνεια των οπλισμών. - 1 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
. [ Χωρητικότητα ομοαξονικού καλωδίου ] Σε ομοαξονικό καλώδιο με σταθερή εξωτερική ακτίνα b και δεδομένη τάση V = V V b, μεταξύ εξωτερικού και εσωτερικού αγωγού να καθοριστεί η ακτίνα του εσωτερικού αγωγού ώστε η πεδιακή ένταση να είναι ελάχιστη επάνω στην επιφάνειά του. Να υπολογιστεί η χωρητικότητα ανά μονάδα μήκους του ομοαξονικού αυτού καλωδίου. Ο χώρος για < r < b παρουσιάζει διηλεκτρική σταθερά ε. [ Απ.: b/ = e, C = πε. ] 5. [ Μη ομογενές διηλεκτρικό ] Οι οπλισμοί σφαιρικού πυκνωτή έχουν ακτίνες και b, < b. Η διηλεκτρική σταθερά του υλικού πλήρωσης είναι συνάρτηση της απόστασης από το κοινό κέντρο των δύο οπλισμών, ε = ε(r), με τιμή ε() = A για r =. Να υπολογιστεί η συνάρτηση ε(r) που την περιγράφει, έτσι ώστε η πεδιακή ένταση ανάμεσα στους οπλισμούς να είναι σταθερή και ίση με Ε. Σ' αυτή τη περίπτωση, να υπολογιστούν συναρτήσει των, b, E, A: α./ Η χωρητικότητα C, το φορτίο Q και η ενέργεια W του πυκνωτή. β./ Η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου ρ s στους οπλισμούς. [ Απ.: ( ) ε(r) = A, r b C= πa, Q= πa E, s W = πa (b )E, ρ () = AE, ρ (b) = A( ) E. ] s b 6. [ Οριακές συνθήκες ] Το ηλεκτροστατικό δυναμικό ανάμεσα σε δύο άπειρες, οριζόντιες, τέλεια αγώγιμες πλάκες με απόσταση d και αέρα ανάμεσά τους δίνεται από την συνάρτηση φ(x) = Ax 3 + Bx + C όπου A, B, C σταθερές και x η απόσταση από την κάτω πλάκα. Προσδιορίστε την ηλεκτρική πεδιακή ένταση E και τα φορτία του συστήματος. Αν η κάτω πλάκα είναι γειωμένη και η επάνω έχει δυναμικό V, να βρεθεί η σχέση που πρέπει να ικανοποιούν οι σταθερές A, B, C. [ Απ.: ρ ε Ax 1 = 3, ρ s() εb ρ (d) = ε Ax 3 + B, v 9 =, s ( 3 ) C =, Ad 3 + Bd= V. ] ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΓΩΓΩΝ 7. [ Θεώρημα Green ] Δίνεται αγωγός Α με δυναμικό V. Στο σημείο Β του πεδίου του, όπου το δυναμικό έχει τιμή V, τοποθετείται σημειακό φορτίο q, ενώ ο αγωγός Α γειώνεται. Να δειχτεί ότι το φορτίο που επάγεται στον αγωγό Α έχει τιμή: - - Παπαγιαννάκης Αντώνης
V Q= q V 8. [ Συντελεστές δυναμικού ] Η απόσταση D των κέντρων δύο αγώγιμων σφαιρών είναι πολύ μεγαλύτερη από τις ακτίνες τους και b. Να υπολογιστούν οι συντελεστές δυναμικού, οι συντελεστές χωρητικότητας και επαγωγής, καθώς και οι μερικές χωρητικότητες του συστήματος. Αν D = 1 m, = 5 cm, b = cm ποιες είναι οι μερικές χωρητικότητες; [ Απ.: Για /D, b/d : C 11 = πε = 5.56 pf, C = πε b =.3 pf, C 1 = C 1 =. ] 9. [ Σύστημα αγωγών ] Τρεις όμοιοι, μονωμένοι και αφόρτιστοι αγωγοί βρίσκονται μέσα σε ομογενή και ισότροπο χώρο και είναι έτσι τοποθετημένοι, ώστε κάθε ένας να βρίσκεται σε πλήρη συμμετρία με τους άλλους δύο. Ένας αγωγός συνδέει διαδοχικά κάθε ένα από τους πιο πάνω αγωγούς με πηγή άγνωστης τάσης. Τα φορτία στους δύο πρώτους αγωγούς μετρήθηκαν και βρέθηκαν ότι είναι Q 1 και Q, αντίστοιχα. Να βρεθεί το φορτίο του τρίτου αγωγού. Θεωρήστε ότι ο αρνητικός πόλος της πηγής είναι γειωμένος και οι αγωγοί συνδέονται με τον θετικό πόλο της. [ Απ.: Q 3 = Q /Q 1. ] 1. [ Σύστημα αγωγών ] Δίνονται τέσσερις αγωγοί Α, Β, C, D, από τους οποίους ο Β περιβάλλει τον Α και ο D περιβάλλει τον C. Να βρεθούν οι συντελεστές χωρητικότητας και επαγωγής του συστήματος όταν δίνονται οι συντελεστές χωρητικότητας: α./ των Α και Β, όταν οι C και D έχουν αφαιρεθεί β./ των C και D, όταν οι Α και Β έχουν αφαιρεθεί και γ./ των D και Β, όταν οι Α και C έχουν αφαιρεθεί, ενώ είναι γνωστοί και οι συντελεστές επαγωγής σ' αυτή την περίπτωση. [ Απ.: c AA = c AB = c α AA, c CC = c CD = c β CC, c BD = c γ BD, c BB = c γ BB+c α AA, c DD = c γ DD+c β CC. Οι υπόλοιποι από την συμμετρία ή μηδενίζονται. ] ΚΑΤΟΠΤΡΙΣΜΟΣ 11. [ Κατοπτρισμός σφαίρας: Επαγόμενο φορτίο ] Δίνεται αγώγιμη σφαίρα ακτίνας και εξωτερικό σημειακό φορτίο Q σε απόσταση d από το κέντρο της σφαίρας. Εάν η σφαίρα έχει το δυναμικό του απείρου, να βρεθεί ο λόγος του φορτίου που βρίσκεται στο τμήμα της σφαίρας που είναι ορατό από το Q προς το υπόλοιπο φορτίο της. [ Απ.: (d + ) (d ). ] - 3 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
1. [ Κατοπτρισμός σφαίρας - Θ. Green: Επαγόμενο φορτίο ] Δίνονται δύο ομόκεντρα σφαιρικά κελύφη με ακτίνες και c, αντίστοιχα, γειωμένα και τα δύο. Σε απόσταση b από το κοινό κέντρο των σφαιρών τοποθετείται κεντρικό φορτίο Q έτσι, ώστε < b < c. Να προσδιοριστούν τα φορτία που αναπτύσσονται εξ επαγωγής σε κάθε επιφάνεια. [ Απ.: Q = Q(1 c / b) (1 c / ), Qc = Q(1 / b) (1 / c). ] 13. [ Βέλτιστη θέση αγωγών μέσα σε αγώγιμο περίβλημα ] Δύο πολύ λεπτά ευθύγραμμα σύρματα πολύ μεγάλου μήκους βρίσκονται μέσα σε μεταλλικό σωλήνα κυκλικής διατομής με εσωτερική ακτίνα. Τα σύρματα είναι ομοεπίπεδα και παράλληλα προς τον άξονα του κυλινδρικού σωλήνα και σε ίση απόσταση b από αυτόν και φέρουν ίσα και ετερώνυμα ηλεκτρικά φορτία με ομοιόμορφη γραμμική πυκνότητα q. Να βρεθούν: α./ Σε ποια απόσταση από τον άξονα του σωλήνα πρέπει να βρίσκεται κάθε σύρμα έτσι, ώστε να μην ασκείται πάνω τους καμία δύναμη. β./ Η δύναμη πάνω σε κάθε σύρμα για : = cm, b = 1 mm και q = ncb/mm. [ Απ.: b =.859, f 196 N/m = kgr*/m. ] 1. [ Κατοπτρισμός κυλίνδρου ] Δύο όμοιοι αγώγιμοι κύλινδροι ακτίνας R, απείρου μήκους και παράλληλοι μεταξύ τους με απόσταση αξόνων, έχουν διαφορά δυναμικού V. Ζητούνται : α./ Το φορτίο ανά μονάδα μήκους σε κάθε κύλινδρο. β./ Η ένταση στα σημεία του επιπέδου που ορίζουν οι άξονες των κυλίνδρων. γ./ Να αποδειχτεί ότι ο λόγος της μέγιστης προς την ελάχιστη ένταση στο μεταξύ των κυλίνδρων τμήμα είναι: + R R δ./ Ποια δύναμη εξασκεί ο ένας κύλινδρος πάνω στον άλλο. πεv ρ [ Απ.: α./ ρ =, β./ = d, δ./ ln d R + d+ R ρ πε d f = [N/m] με E x πε x d d= R. ] 15. [ Κατοπτρισμός επιπέδου ] Δύο άπειρα αγώγιμα επίπεδα x = και y = τέμνονται κάθετα. Σε απόσταση και b από τα επίπεδα x = και y =, αντίστοιχα, υπάρχει μία ευθεία απείρου μήκους που φέρει γραμμική πυκνότητα φορτίου q. Να βρεθούν: α./ Οι πυκνότητες φορτίων στις επιφάνειες x = και y =. β./ Η δύναμη στο τυχόν σημείο Α της ευθείας. γ./ Το ολικό φορτίο που επάγεται στις επιφάνειες. - - Παπαγιαννάκης Αντώνης
16. [ Κατοπτρισμός ] Ένα τέλεια αγώγιμο σώμα έχει σφαιρικό σχήμα ακτίνας R. Στο εσωτερικό του υπάρχει κοιλότητα άγνωστου σχήματος, μέσα στην οποία υπάρχει χωρική κατανομή πυκνότητας φορτίων με συνολικό φορτίο Q. Έξω από τον αγωγό και σε απόσταση από το κέντρο της σφαιρικής εξωτερικής του επιφάνειας υπάρχει σημειακό φορτίο Q. Να βρεθεί το δυναμικό και η πεδιακή ένταση σε κάθε σημείο του χώρου έξω από τον αγωγό. R Q Q Η/Σ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ 17. [ Δυνάμεις αγωγών ] Δύο αγώγιμες σφαίρες με ακτίνες R 1 και R συνδέονται με ένα πολύ λεπτό νήμα μήκους, πάρα πολύ μεγάλου σε σχέση με τις R 1 και R. Το σύστημα βρίσκεται μόνο του μέσα στον άπειρο κενό χώρο και φορτίζεται με φορτίο Q. Να βρεθεί η δύναμη που εξασκείται στο νήμα. Επίσης, η σχέση ανάμεσα στις ακτίνες των δύο σφαιρών, ώστε η δύναμη να γίνεται μέγιστη. Q λ πε (λ+ 1) 1 [ Απ.: F = με λ =, mx για λ=1. ] R R 18. [ Κατοπτρισμός σφαίρας ] Δίνεται σημειακό φορτίο q σε απόσταση b από το κέντρο αγώγιμης αφόρτιστης σφαίρας με ακτίνα R, όπου R > b. Με την βοήθεια της ελκτικής δύναμης που αναπτύσσεται ανάμεσα στο φορτίο και την σφαίρα, να βρεθεί το έργο που πρέπει να δαπανηθεί για να μεταφερθεί το φορτίο στο κέντρο της σφαίρας κατά μήκος της ακτίνας που περνά από αυτό. Να εξεταστεί αν στο κέντρο της σφαίρας το φορτίο ισορροπεί και αν ναι, τί είδους ισορροπία έχει. q b [ Απ.: W =, ασταθής ισορροπία. ] 8πε R(R b ) 19. [ Ενέργεια συστήματος αγωγών ] Δίνεται σύστημα αγωγών που ο καθένας τους συνδέεται με πηγή τάσης κατάλληλης τιμής ώστε να διατηρείται σε σταθερό δυναμικό. Να αποδειχτεί ότι, για μία τυχούσα μετακίνηση ενός ή περισσοτέρων από αυτούς τους αγωγούς, η ενέργεια που παρέχεται συνολικά από τις πηγές ισούται με το διπλάσιο της μεταβολής της συνολικής ηλεκτρικής ενέργειας του συστήματος.. [ Εκφόρτιση πυκνωτών ] Δύο πυκνωτές Α και Β έχουν χωρητικότητα C 1 και C, αντίστοιχα. Ο πυκνωτής Α φορτίζεται από συστοιχία με τάση V. Στην συνέχεια η συστοιχία απομακρύνεται και ο πυκνωτής Α εκφορτίζεται με ένα σπινθήρα. Κατόπιν ξαναφορτίζεται από άλλη συστοιχία με τάση V και - 5 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
αφού και πάλι απομακρυνθεί η νέα συστοιχία, ο φορτισμένος πυκνωτής Α συνδέεται παράλληλα με τον Β. Καθώς όμως εκτελείται η παράλληλη σύνδεση δημιουργείται δεύτερος σπινθήρας. Εάν η ενέργεια του πρώτου σπινθήρα είναι μ φορές μεγαλύτερη από την ενέργεια του δεύτερου σπινθήρα, να αποδειχτεί ότι ισχύει η σχέση C1 μ 1 C = 1. [ Εκφόρτιση πυκνωτών ] Δύο πυκνωτές (1) και () έχουν χωρητικότητες C 1 και C αντίστοιχα. Ο πυκνωτής (1) φορτίζεται από μία πηγή και μετά την απομάκρυνσή της εκφορτίζεται με την δημιουργία ενός σπινθήρα ανάμεσα στις πλάκες του. Τότε ο (1) φορτίζεται όπως και πριν και συνδέεται παράλληλα με τον () που είναι αφόρτιστος, οπότε δημιουργείται νέος σπινθήρας. Στην συνέχεια οι δύο πυκνωτές αποχωρίζονται και καθένας εκφορτίζεται με ένα σπινθήρα. Να αποδειχτεί ότι οι ενέργειες των τεσσάρων σπινθήρων έχουν την παρακάτω αναλογία ( + ) ( + ) 1 1 1 1 C C : C C C : C : C C ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η/Σ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ. [ Μιγαδική απεικόνιση ] Να μελετηθούν τα πεδία που προκύπτουν από τις συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής: α./ w = cz β./ w = c/z γ./ w = c 1 rccosh(z/c ) όπου c, c 1, c σταθερές και z = x+jy C [ Απ.: Εάν φ = Re{w}: dw/dz = E x +je y και β./ δίπολο, γ./ δύο κύλινδροι. ] - 6 - Παπαγιαννάκης Αντώνης