Εξίσωση της ενέργειας Ομοιόμορφη ροή σε ανοικτούς αγωγούς Βασικές έννοιες Εξίσωση της ενέργειας Ομοιόμορφη ροή Ταχύτητα και γραμμή ενέργειας σε ομοιόμορφη ροή, εξίσωση Manning
Χρυσάνθου, 2014
Χρυσάνθου, 2014
Χρυσάνθου, 2014
Πολυπλοκότητες σε ποτάμια υδραυλική Μεταβολή της διατομής Ανεπάρκεια επίλυσης μόνο με την κλασσική υδραυλική ανοικτών αγωγών Αλληλεπίδραση με τη λεκάνη απορροής Ποτάμι: ζωντανός οργανισμός Απαραίτητα γνωστικά παιδεία: υδραυλική και ειδικευμένη υδραυλική, υδρολογία, ιδιαίτερη αναφορά στο υποσύνολο των φερτών υλικών, παράμετροι ποιότητας νερού, οικολογικές παράμετροι και τελικά τεχνικές λήψης απόφασης
tά: β θος ήρο ς (Παπαϊωάννου, 2010) Συνήθως οι ανοικτοί αγωγοί (ιδιαίτερα στα περισσότερα τεχνικά έργα) έχουν μικρές κλίσεις, επομένως το βάθος ροής (ύψος νερού κάθετο στη μέση ταχύτητα, t) είναι περίπου ταυτόσημο με την κατακόρυφη απόσταση από τον πυθμένα έως την ελεύθερη επιφάνεια, y. Έργα μηχανικού, ήπιες κλίσεις, t(βάθος ροής) και y περίπου ταυτίζονται
Πραγματικά, μεταβολής της ταχύτητας καθ ύψος Με βάση τις οριακές συνθήκες η ταχύτητα στα τοιχώματα των αγωγών είναι μηδέν, επομένως το προφίλ ταχυτήτων αλλάζει καθ ύψος ακόμη και στην ομοιόμορφη ροή απλοποίηση, θεωρούμενο προφίλ ταχυτήτων (μη πραγματικό) προσέγγιση
Μέση ταχύτητα Ορισμός με βάση την παροχή Q Q = V A V= ΟΡΙΣΜΟΣ A π. χή: ορθ. διατοµ y y y ( ) ( )( ) ( ) Q = A V = u y da = u y b dy = b u y dy 0 0 0 dq
Ωστόσο, η μέση ταχύτητα δεν είναι πάντα σωστή να τίθεται στην εξίσωση της ενέργειας
«στριφνό θέμα» Συντελεστής διόρθωσης κινητικής ενέργειας, α Μη ομοιόμορφη κατανομή της ταχύτητας καθ ύψος, συντελεστής ώστε αv 2 /2g να δίνει τη μέση κινητική ανά μονάδα βάρους. Για μόνιμη ροής με βάση την κινητικής ενέργεια που διέρχεται στη μονάδα του χρόνου: ρυθµ ός µεταϕοράς κινητικής = εν έργειας δια µ έσου µ ίας διατοµ ής 2 3 V V Ε κ = α ( γ AV ) = α γa 2g 2g 3 3 3 V u 1 u 3 2 3 u u Ε κ = ( γ da u) = γ 2g 2g 1 AV Α Α 3 u da Α α / γa = / γ da a = da = Ε =Ε 2g 2g A V κ κ / da Α / Α Τυρβώδης ροή: κοντά στη μονάδα, συνήθης εφαρμογές: α=1, πρισματικοί αγωγοί
Μόνο για ομοιόμορφη ροή y 1 =y 2 V 1 =V 2 S 0 =S f προσέγγιση
Συντελεστής διόρθωσης κινητικής ενέργειας Πρισματικοί αγωγοί, συνήθως μονάδα Μπέλλος, 2008 Σε φυσικές και ακανόνιστες διατομές οι συντελεστές αυξάνουν, σε τεχνικούς αγωγούς μικρότερη τιμή. Στο μάθημα αν δεν δίνεται διευκρίνιση α = 1
Ολικό ύψος ενέργειας: Βάθος ροής Ύψος ταχύτητας Ύψος θέσης
Mε λίγο λάθος, ήπιες κλίσεις, α=1 V 1 2 /(2g) h f y 1 V 2 2 /(2g) y 2 z 1 z 2 άξονας z = 0 Σχ. Σκαρίφημα που δείχνει την αρχή διατήρησης της ενέργειας για ένα τμήμα του ανοικτού αγωγού αγωγού 1-2.
Γραμμή ενέργειας σε ένα αγωγό (χωρίς αντλία) Γραμμή ενεργείας: ο γεωμετρικός τόπος του ύψος θέσης, του ύψους πίεσης και του ύψους κινητικής ενέργειας Πάντοτε πτωτική από τη διατήρηση της ενέργειας Δεν ισχύει πάντα το ίδιο για την Π.Γ. (βλπ. Επ. μάθημα)
Εφαρμογή Σε ανοικτό αγωγό πριν το θυρόφραγμα το βάθος ροής είναι 4m μετά το θυρόφραγμα 0.50 m. O αγωγός είναι ορθογωνικής διατομής πλάτους 2 m. Να αγνοηθούν οι απώλειες ενέργειας μεταξύ των δύο θέσεων και η υψομετρική διαφορά. Σχόλιο: Σε άλλη ενότητα θα αναφερθούμε για το υδραυλικό άλμα κατάντη της (2) για τη συνήθη περίπτωση της υποκρίσιμης και υπερκρίσιμης ροής στις θέσεις (1) και (2) αντίστοιχα.
Λύση Από τη διατήρηση της ενέργειας θεωρώντας αμελητέες απώλειες ενέργειας ισχύει: Η 1 =Η 2 Για μικρά μήκη έχω και αμελητέες υψομετρικές διαφορές σε αυτές τις περιπτώσεις: Από την εξίσωση της συνέχειας ισχύει: Q = V 1 b y 1 = V 1 b y 1
Η γραμμή ενέργειας είναι πάντα πτωτική Η διατήρηση της ενέργειας είναι η βασική αρχή και ισχύει πάντοτε Η πιεζομετρική γραμμή των κλειστών αγωγών και η ειδική ενέργεια στους ανοικτούς αγωγούς διατηρείτε κάτω από ειδικές προϋποθέσεις.
Εύρεση πίεσης στο πυθμένα από ισορροπία δυνάμεων
Πιεζομετρική γραμμή, διατήρηση της ενέργειας μεταξύ επιφανειών κάθετες στην ταχύτητα Πιεζομετρική γραμμή και ελεύθερη επιφάνεια δε συμπίπτουν απόλυτα για σημαντικές κλίσεις
Διατήρηση της ενέργειας p/ρg=ycos 2 θ
Στο μάθημα αν δεν δίνεται διευκρίνιση α= 1 (τεχνικά κανάλια) και cosθ κοντά στη μονάδα (ήπιες κλίσεις)
Στο παρακάτω σχήμα λαμβάνει χώρα: 1. Ομοιόμορφη ροή 2. Βαθμιαία μεταβαλλόμενη ροή 3. Ταχέως μεταβαλλόμενη ροή 4. Βαθμιαία μεταβαλλόμενη ροή 5. Ομοιόμορφη ροή Η ροή είναι μόνιμη Ομοιόμορφη ροή: σταθερό βάθος ροής (άρα και ταχύτητα) Βραδέως μεταβαλλόμενη ροή: χαρακτηρίζεται από αργή μεταβολή προφίλ («ημί-ομοιόμορφη ροή») Ταχέως μεταβαλλόμενο προφίλ της ελεύθερης επιφανείας στη ταχέως μεταβαλλόμενη ροή
Ανοικτοί αγωγοί, διάκριση ως προς το βάθος ροής
Προσέγγιση (Μόνιμη) Ομοιόμορφης Προϋποθέσεις Ισορροπία δυνάμεων ροής Μη μεταβολή της διατομής Μη μεταβολή της τραχύτητας των στερεών ορίων
Ομοιόμορφη ανομοιόμορφη ροή
Οι δυνάμεις λόγω πίεσης αλληλοεξουδετερώνονται στην ομοιόμορφη ροή (διαφορά με κλειστούς αγωγούς) Χρυσάνθου, 2014
Διατμητική τάση, ανοικτή αγωγοί, ομοιόμορφη ροή Σχόλιο: Όλη η βρεχόμενη περίμετρος συνυπολογίζεται κατά τον προσδιορισμό της δύναμης λόγο τριβών Σούλης, 2014
Ισχύει: τ 0 1 f = ρv 2 4 C 2 Διατμητική τάση στο πυθμένα ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας Επομένως ρgrs 0 1 f 2 4 ρv 2 = 8 8 V = grs = g R S f f 1 2 0 0 1 2
Ταχύτητα ροής: 8 V = C R S, που = 1 ορ 2 ό 2 g C 01 f 8 g f
Ο Manning, 1891 πρότεινε για την σταθερά του Chezy: R 1 6 n = C Oπότε η εξίσωση του Chezy θα γίνει τότε:
Τραχύτητα
Άλλες εκφράσεις για τη σταθερά C
Σούλης, 2016
Τσακίρης, 2015
Συντελεστής Manning Δεν είναι αδιάστατος Εξαρτάται από το ποσοστό πλήρωσης Εξαρτάται από το είδος της παρόχθιας βλάστησης αλλά και την ταχύτητα Στο μάθημα της Υδραυλικής έστω σταθερός για κάποιο πρόβλημα Παράγοντας αβεβαιότητας Κύρια επιλέγεται με βάση το υλικό πλήρωσης της διατομής, βιβλιογραφικά (από πίνακες και φωτογραφίες) Εναλλακτικά αρχικά θεωρούμε το n πρισματικού λείου αγωγού και κατόπιν αυξάνεται ανάλογα των ανωμαλιών του αγωγού, μεταβολή σχήματος, ύπαρξη εμποδίων στη ροή, βλάστηση, αλλαγή διευθύνσεων κ.ά http://www.fhwa.dot.gov/bridge/wsp2339.pdf
Άσκηση 1: Για την ορθογωνική διατομή από σκυρόδεμα (συντελεστής στο διεθνές σύστημα μονάδων Manning n = 0.015) που εικονίζεται ζητούνται: (α) Για κατά μήκος κλίση πυθμένα 0.001 και παροχή 7 m 3 /s το βάθος της ομοιόμορφης ροής. (β) Να χαρακτηριστεί η ροή σαν υποκρίσιμη ή υπερκρίσιμη και να προσδιορισθεί το κρίσιμο βάθος ροής.
(α) Ομοιόμορφη ροή Το εμβαδόν της υγρής διατομής είναι: Α = b y = 2.5 y (βλπ. πίνακα στο τέλος αυτών των ασκήσεων) Π = b+2y = 2.5+2y y περίμετρος βρεχόμενης επιφάνειας για κοινό n δοκιμές Εξίσωση Manning 2/3 1 2.5y Q= ( 2.5y) S n 2.5 + 2y 0 1 2 2/3 0.015 7 2.5y = 1 ( 2.5 y) f( y) 3.320391543 0.001 2 = εύρεση βάθους 2.5 + 2y ομοιομόρφου ροής με δοκιμές για γνωστή παροχή και κλίση (για μεγάλα y αυξάνεται η f(y)) Με δοκιμές προκύπτει ότι y = 1.663, εφόσον πράγματι: 2.5 1.663 0.015 7 ( 2.5 1.663) 3.32 = 1 2.5 + 2 1.663 0.001 2 2/3
Ασκηση 2 Αν η κλίση του πυθμένα είναι So = 1:240 να προσδιορισθεί η παροχή της παρακάτω τραπεζοειδούς διατομής αν ο συντελεστής Manning στο διεθνές σύστημα είναι n = 0.042 και η παροχή Q = 98,200 m 3 s - 1 να προσδιορισθεί το ομοιόμορφο το βάθος ροής. Να ελεγχθεί αν η ροή είναι κρίσιμη, υπερκρίσιμη ή υπερκρίσιμη και να προσδιοριστεί το κρίσιμο βάθος ροής. (a) 1:0.7 y b = 280 m
- Oμοιόμορφη ροή για Τραπεζοειδής (συμμετρική) διατομή y z Β 1 y z yy zz 22 +11 b Έχουμε διαδοχικά ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΡΑΠΕΖΟΕΙΔΟΥΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ 2 ( ) ( 1 ) c = y + m y c= y + m Το εμβαδόν της υγρής διατομής είναι: ( ) 2 2 2 2 n n n c= y 1+ m b+ b+ 2 m yn 2 b+ 2 m yn A= * y = y n n 2 2 A= b y + m y n n 2 n 2 Εξίσωση Manning: ( ) 2/3 2/3 1 ( ) 1 2 2 0 (( ) ) 2 2 0 1 b + my y 1 b + my y V = S Q = b + my y S n b+ 2y 1+ m n b+ 2y 1+ m
n = 0.042 S o = 1:240 Eξίσωση Manning για τραπεζοειδής διατομή ( ) 2/3 2/3 1 ( ) 1 2 2 0 (( ) ) 2 2 0 1 b + zy y 1 b + zy y V = S Q = b + zy y S n b+ 2y 1+ z n b+ 2y 1+ z ( b + ) nq zy y = (( b + zy) y) S 1 2 2 b+ 2y 1+ z 0 2/3 ( 280 + 0.7 ) 0.042 98, 200 y y = 1 (( 280 + 0.7 y) y) = 63,894.93 2 2 ( 1/ 240 ) 280 + 2 y 1+ 0.7 2/3 Δοκιμές: y = 20 m => f(y)= 40208.5< 63894.93 (Q = 61,800 m 3 s -1 ) y = 30 m => f(y)= 78361.04> 63894.93 ( Q = 120,450 m 3 s -1 ) Καταστρώνω το παρακάτω διάγραμμα: (( 280 0.7 y) y) ( 280 + 0.7 ) 90000 y y + 80000 2 280 + 2 y 1+ 0.7 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0 0 5 10 15 20 25 30 35 Bάθος ομοιόμορφης ροης Σειρά1 Τελικά Q = 98,000 m 3 s -1 για βάθος ομοιόμορφης ροής, yo = 26.5 m.
Μεταβολή της γραμμής ενέργειας σε ομοιόμορφη ροή σε ανοικτούς αγωγούς Ομοιόμορφη ροή: V x y = 0, = 0 x Παραγώγιση όρων ενέργειας κατά τη διεύθυνση της ροής, x 2 2 V V z y z + z+ y = + + = = S0 < 0 x 2g x 2g x x x Ομοιόμορφη ροή κλίση γραμμής ενέργειας = κλίση πυθμένα = κλίση ελεύθερης επιφάνειας