Ñ. À. ÊÓËÅ ÎÂ, À. Ô. ÑÀËÈÌÎÂÀ, Ñ. Ë. ÑÒÀÂÖÅÂ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀSS ÃÅÎÌÅÒÐÈSS 2009

Ñ. À. ÊÓËÅ ÎÂ, À. Ô. ÑÀËÈÌÎÂÀ, Ñ. Ë. ÑÒÀÂÖÅÂ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀSS ÃÅÎÌÅÒÐÈSS

Ñ. À. ÊÓËÅ ÎÂ, À. Ô. ÑÀËÈÌÎÂÀ, Ñ. Ë. ÑÒÀÂÖÅÂ ÀÍÀËÈÒÈ ÅÑÊÀSS ÃÅÎÌÅÒÐÈSS 2009

Ñîäå æàíèå Òåìà 1 À èôìåòè åñêèå äåéñòâèß íàä âåêòî àìè... 7 1. Âåêòî û (îñíîâíûå îï åäåëåíèß)... 7 2. Ñëîæåíèå âåêòî îâ è åãî ñâîéñòâà... 10 3. Óìíîæåíèå âåêòî îâ íà èñëî è åãî ñâîéñòâà... 14 4. Âåêòî íîå ï îñò àíñòâî... 19 Ï èìå û å åíèß òèïîâûõ çàäà... 24 Êîíò îëüíûå âîï îñû... 26 Çàäà è... 27 Òåìà 2 Áàçèñ è êîî äèíàòû... 30 5. Ëèíåéíàß çàâèñèìîñòü âåêòî îâ... 30 6. Êîëëèíåà íûå âåêòî û... 35 7. Êîìïëàíà íûå âåêòî û... 37 8. Áàçèñ... 39 9. Êîî äèíàòû... 44 10. Î òîíî ìè îâàííûé áàçèñ. Ï ßìîóãîëüíàß ñèñòåìà êîî äèíàò... 48 11. Öåíò ìàññ... 50 Ï èìå û å åíèß òèïîâûõ çàäà... 53 Êîíò îëüíûå âîï îñû... 59 Çàäà è... 60 Òåìà 3 Ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåá àè åñêèõ ó àâíåíèé. Ìàò èöû... 63 12. Îñíîâíûå ïîíßòèß ÑËÀÓ... 63 13. Ìåòîä Ãàóññà å åíèß ÑËÀÓ... 65 14. Ëèíåéíûå îïå àöèè íàä ìàò èöàìè... 75 15. Ï îèçâåäåíèå ìàò èö... 78 16. Òåî åìà î ñò óêòó å å åíèé îäíî îäíîé ÑËÀÓ... 82 17. Òåî åìà î ñò óêòó å å åíèé íåîäíî îäíîé ÑËÀÓ... 84 18. Ëèíåéíûé îïå àòî. Ìàò èöà ëèíåéíîãî îïå àòî à... 86

Ñîäå æàíèå 3 19. Îá àòèìûå îòîá àæåíèß è îá àòíàß ìàò èöà... 94 Ï èìå û å åíèß òèïîâûõ çàäà... 102 Êîíò îëüíûå âîï îñû... 108 Çàäà è... 109 Òåìà 4 Ñêàëß íîå ï îèçâåäåíèå... 114 20. Ï îåêöèß âåêòî à íà âåêòî è åå ñâîéñòâà. Ôî ìóëà ï îåêöèè... 114 21. Ñêàëß íîå ï îèçâåäåíèå... 119 22. Ñâîéñòâà ñêàëß íîãî ï îèçâåäåíèß... 121 23. Ñêàëß íîå ï îèçâåäåíèå â êîî äèíàòàõ... 122 24. Åâêëèäîâî ï îñò àíñòâî... 124 25. Íå àâåíñòâî Êî è Áóíßêîâñêîãî âà öà... 128 Ï èìå û å åíèß òèïîâûõ çàäà... 134 Êîíò îëüíûå âîï îñû... 136 Çàäà è... 137 Òåìà 5 Âåêòî íîå ï îèçâåäåíèå... 141 26. Î èåíòè îâàííûå ò îéêè âåêòî îâ. Áàçèñ ı, j, k.. 141 27. Âåêòî íîå ï îèçâåäåíèå è åãî ñâîéñòâà... 143 28. Âåêòî íîå ï îèçâåäåíèå â êîî äèíàòàõ... 150 29. Îï åäåëèòåëè ìàëûõ ïî ßäêîâ è èõ ñâîéñòâà... 151 30. Âû èñëåíèå âåêòî íîãî ï îèçâåäåíèß å åç îï åäåëèòåëü... 155 Ï èìå û å åíèß òèïîâûõ çàäà... 156 Êîíò îëüíûå âîï îñû... 162 Çàäà è... 163 Òåìà 6 Ñìå àííîå ï îèçâåäåíèå... 167 31. Ñìå àííîå ï îèçâåäåíèå è åãî ñâîéñòâà... 167 32. Ñìå àííîå ï îèçâåäåíèå â êîî äèíàòàõ... 169 33. Ãåîìåò è åñêèé ñìûñë ñìå àííîãî ï îèçâåäåíèß... 170 34. Î èåíòè îâàííûé îáúåì n-ìå íîãî ïà àëëåëåïèïåäà. 174 35. Îï åäåëèòåëü ïî ßäêà n... 177

4 Ñîäå æàíèå 36. Îï åäåëèòåëü âå õíåò åóãîëüíîé ìàò èöû... 180 37. Ìåòîä Ãàóññà âû èñëåíèß îï åäåëèòåëß... 183 38. Ñâîéñòâà îï åäåëèòåëß... 186 Ï èìå û å åíèß òèïîâûõ çàäà... 194 Êîíò îëüíûå âîï îñû... 199 Çàäà è... 200 Òåìà 7 Ï ßìàß íà ïëîñêîñòè... 204 39. Êàíîíè åñêîå è âûâîäèìûå èç íåãî ó àâíåíèß ï ßìîé íà ïëîñêîñòè... 206 40. Îáùåå ó àâíåíèå ï ßìîé íà ïëîñêîñòè... 209 41. Ó àâíåíèå ï ßìîé ñ óãëîâûì êî ôôèöèåíòîì... 212 42. Ó àâíåíèå ï ßìîé â îò åçêàõ... 213 43. Íî ìàëüíîå ó àâíåíèå ï ßìîé... 214 44. Âçàèìíîå àñïîëîæåíèå ï ßìûõ íà ïëîñêîñòè... 218 45. Ïó îê ï ßìûõ... 219 46. Ï îåêòèâíàß ï ßìàß... 221 Ï èìå û å åíèß òèïîâûõ çàäà... 224 Êîíò îëüíûå âîï îñû... 232 Çàäà è... 233 Òåìà 8 Ïëîñêîñòü... 237 47. Ó àâíåíèå ïëîñêîñòè, ï îõîäßùåé å åç äàííó òî êó ïå ïåíäèêóëß íî äàííîìó âåêòî ó... 237 48. Îáùåå ó àâíåíèå ïëîñêîñòè... 238 49. Ó àâíåíèå ïëîñêîñòè, ï îõîäßùåé å åç äàííó òî êó ïà àëëåëüíî äâóì íåêîëëèíåà íûì âåêòî àì... 239 50. Ïà àìåò è åñêèå ó àâíåíèß ïëîñêîñòè... 241 51. Ó àâíåíèå ïëîñêîñòè, ï îõîäßùåé å åç äâå äàííûå òî êè ïà àëëåëüíî çàäàííîìó âåêòî ó... 242 52. Ó àâíåíèå ïëîñêîñòè, ï îõîäßùåé å åç ò è äàííûå òî êè... 244 53. Âçàèìíîå àñïîëîæåíèå ïëîñêîñòåé... 244 54. Ó àâíåíèå ïëîñêîñòè â îò åçêàõ... 246 55. Íî ìàëüíîå ó àâíåíèå ïëîñêîñòè... 249

Ñîäå æàíèå 5 Ï èìå û å åíèß òèïîâûõ çàäà... 253 Êîíò îëüíûå âîï îñû... 258 Çàäà è... 259 Òåìà 9 Ï ßìàß â ï îñò àíñòâå... 263 56. Êàíîíè åñêèå ó àâíåíèß ï ßìîé â ï îñò àíñòâå... 263 57. Ïà àìåò è åñêèå ó àâíåíèß ï ßìîé â ï îñò àíñòâå... 264 58. Îáùèå ó àâíåíèß ï ßìîé â ï îñò àíñòâå... 265 59. Ó àâíåíèß ï ßìîé â ï îåêöèßõ... 265 60. Âçàèìíîå àñïîëîæåíèå ï ßìûõ â ï îñò àíñòâå... 268 61. Ó àâíåíèß îáùåãî ïå ïåíäèêóëß à ê ñê åùèâà ùèìñß ï ßìûì... 272 62. Ðàññòîßíèå ìåæäó ñê åùèâà ùèìèñß ï ßìûìè... 275 63. Ï îåêòèâíàß ïëîñêîñòü... 277 Ï èìå û å åíèß òèïîâûõ çàäà... 285 Êîíò îëüíûå âîï îñû... 294 Çàäà è... 295 Òåìà 10 Ïëîñêèå ê èâûå âòî îãî ïî ßäêà... 299 64. Îñíîâíûå ïîíßòèß, ñâßçàííûå ñ ïà àáîëîé... 300 65. Äè åêòî èàëüíîå ñâîéñòâî ïà àáîëû... 301 66. Îïòè åñêîå ñâîéñòâî ïà àáîëû... 302 67. Îñíîâíûå ïîíßòèß, ñâßçàííûå ñ ëëèïñîì... 305 68. Ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ëëèïñà... 306 69. Äè åêòî èàëüíîå ñâîéñòâî ëëèïñà... 311 70. Îïòè åñêîå ñâîéñòâî ëëèïñà... 311 71. Îñíîâíûå ïîíßòèß, ñâßçàííûå ñ ãèïå áîëîé... 314 72. Ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ãèïå áîëû... 315 73. Äè åêòî èàëüíîå ñâîéñòâî ãèïå áîëû... 318 74. Îïòè åñêîå ñâîéñòâî ãèïå áîëû... 318 75. Ïîëß íàß ñèñòåìà êîî äèíàò... 321 76. Ó àâíåíèß ïëîñêèõ ê èâûõ âòî îãî ïî ßäêà â ïîëß íîé ñèñòåìå êîî äèíàò... 324 Ï èìå û å åíèß òèïîâûõ çàäà... 328 Êîíò îëüíûå âîï îñû... 336

6 Ñîäå æàíèå Çàäà è... 337 Òåìà 11 Ïîâå õíîñòè âòî îãî ïî ßäêà... 344 77. Ýëëèïñîèä... 344 78. Êîíóñ... 346 79. Ãèïå áîëîèäû... 349 80. Ïà àáîëîèäû... 353 81. Öèëèíä û... 357 Ï èìå û å åíèß òèïîâûõ çàäà... 358 Êîíò îëüíûå âîï îñû... 363 Çàäà è... 363 Ñïèñîê ï èìå îâ... 366 Ï åäìåòíûé óêàçàòåëü... 369

Òåìà 1 À èôìåòè åñêèå äåéñòâèß íàä âåêòî àìè 1. Âåêòî û (îñíîâíûå îï åäåëåíèß) Âû óæå ñòàëêèâàëèñü ñ ïîíßòèåì âåêòî, åñëè íå â êîëüíîì êó ñå ìàòåìàòèêè, òî â êîëüíîì êó ñå ôèçèêè, ãäå ñêî îñòü, óñêî åíèå, ñèëà è ò. ä. μ òî âåêòî íûå âåëè èíû. Ñåé àñ ìû àêêó àòíî îï åäåëèì òî ïîíßòèå è ïîçíàêîìèìñß ñ åãî ñâîéñòâàìè. 1.1. Îï åäåëåíèå. Íàï àâëåííûì îò åçêîì íàçûâàåòñß îò- åçîê, ó êîòî îãî çàôèêñè îâàíû íà àëî è êîíåö. Íà èñ. 1.1, à èçîá àæåí ï èìå íàï àâëåííîãî îò åçêà AB.Òî êà A ñëóæèò åãî íà- àëîì,àb μ êîíöîì. Íà èñ. 1.1, á ï èâåäåí ï èìå òàê íàçûâàåìîãî íóëåâîãî íàï àâëåííîãî îò åçêà. Ó íåãî íà àëî ñîâïàäàåò ñ êîíöîì. Èíûìè ñëîâàìè, íóëåâîé íàï àâëåííûé îò åçîê μ òî ï îñòî òî êà. 1.2. Îï åäåëåíèå. Íàï àâëåííûå îò åçêè AB è CD, íå ëåæàùèå íà îäíîé ï ßìîé, Ðèñ. 1.1. Íàï àâëåííûé îò åçîê íàçûâà òñß ñîíàï àâëåííûìè ( òî îáîçíà àåòñß êàê AB CD), åñëè ï ßìûå (AB) è (CD) ïà àëëåëüíû ( òî ìû áóäåì îáîçíà àòü êàê (AB) (CD)), à ôèãó à, ïîëó à- ùàßñß â åçóëüòàòå ïîñò îåíèß îò åçêîâ AC è BD, ßâëßåòñß ò àïåöèåé, êàê íà èñ. 1.2, à. Íàï àâëåííûå îò åçêè íàçûâà òñß ï îòèâîïîëîæíî íàï àâëåííûìè ( AB CD), åñëè (AB) (CD), à ò àïåöèß ïîëó àåòñß, åñëè ï îâåñòè îò åçêè AD è BC, êàê ïîêàçàíî íà èñ. 1.2, á.

8 Òåìà 1 Ðèñ. 1.2. Íàï àâëåííûå îò åçêè: a) ñîíàï àâëåííûå; á) ï îòèâîïîëîæíî íàï àâëåííûå Íàï àâëåííûå îò åçêè, àñïîëîæåííûå íà îäíîé ï ßìîé, íàçûâà òñß ñîíàï àâëåííûìè, åñëè èõêîíöû çàäà ò îäíî èòî æåíàï àâëåíèåï ßìîé,èï îòèâîïîëîæíîíàï àâëåííûìèâï îòèâíîì ñëó àå. Ïî äîãîâî åííîñòè ñ èòà ò, òîíóëåâîé íàï àâëåííûé îò- åçîê ñîíàï àâëåí ë áîìó ä óãîìó íàï àâëåííîìó îò åçêó. Ðèñ. 1.3. Ýêâèâàëåíòíûå íàï àâëåííûå îò- åçêè 1.3. Îï åäåëåíèå. Íàï àâëåííûå îò åçêè AB è CD íàçûâà- òñß êâèâàëåíòíûìè ( òî îáîçíà àåòñß êàê AB CD), åñëè 1 AB CD è AB = CD. Íà èñ. 1.3, a èçîá àæåíû êâèâàëåíòíûå íàï àâëåííûå îò- åçêè AB è CD. Ýòè íàï àâëåííûå îò åçêè ëåæàò íà ïà àëëåëüíûõ ï ßìûõ (AB) è (CD) è èìå ò îäèíàêîâó äëèíó. Çàìåòèì, òî ï è òîì ôèãó à ABDC ßâëßåòñß ïà àëëåëîã àììîì. Íà èñ. 1.3, á ï åäñòàâëåíû êâèâàëåíòíûå íàï àâëåííûå îò åçêè AB è CD, ëåæàùèå íà îäíîé ï ßìîé. Ïîíßòèå êâèâàëåíòíîñòü î åíü ïîõîæå íà ïîíßòèå àâåíñòâî. Â àñòíîñòè, îíî åôëåêñèâíî, ò.å. êàæäûé íàï àâëåííûé îò åçîê êâèâàëåíòåí ñàì ñåáå; ñèììåò è íî (åñëè 1 Äëß òåõ, êòî åùå íå ï èâûê ê ñèìâîëüíûì çàïèñßì, ïîâòî èì, òî íàï àâëåííûå îò åçêè êâèâàëåíòíû, åñëè îíè ñîíàï àâëåíû è èõ äëèíû àâíû.

1. Âåêòî û (îñíîâíûå îï åäåëåíèß) 9 ïå âûé îò åçîê êâèâàëåíòåí âòî îìó, òî âòî îé êâèâàëåíòåí ïå âîìó) è ò àíçèòèâíî (èíà å ãîâî ß, åñëè ïå âûé îò åçîê êâèâàëåíòåí âòî îìó, à âòî îé ò åòüåìó, òî ïå âûé êâèâàëåíòåí ò åòüåìó). Îäíàêî ïîíßòèå êâèâàëåíòíîñòü áîëåå òîíêîå, åì àâåíñòâî. Ñ ôèëîñîôñêîé òî êè ç åíèß àâåíñòâî â êàêîé-òî ñòåïåíè îçíà àåò ñîâïàäåíèå, òîãäà êàê êâèâàëåíòíûå íàï àâëåííûå îò åçêè ñîâñåì íå îáßçàòåëüíî ñîâïàäà ò, íî èõ ìîæíî ñîâìåñòèòü ïà àëëåëüíûì ïå åíîñîì. Ïîíßòèå êâèâàëåíòíîñòü ïîçâîëßåò àçáèòü âñå ìíîæåñòâî íàï àâëåííûõ îò åçêîâ íà íåïå åñåêà ùèåñß ïîäìíîæåñòâà, ñîñòîßùèå èç êâèâàëåíòíûõ ä óã ä óãó íàï àâëåííûõ îò åçêîâ. Èõ ï èíßòî íàçûâàòü êëàññàìè êâèâàëåíòíîñòè. Òàêîå àçáèåíèå ïîäâîäèò íàñ ê ñëåäó ùåìó îï åäåëåíè. 1.4. Îï åäåëåíèå. Âåêòî îì íàçûâàåòñß êëàññ êâèâàëåíòíîñòè íàï àâëåííûõ îò åçêîâ. Ï è òîì êàæäûé íàï àâëåííûé îò åçîê èç êëàññà êâèâàëåíòíîñòè íàçûâàåòñß ãåîìåò è- åñêîé åàëèçàöèåé âåêòî à. Ñóùåñòâóåò ïî ê àéíåé ìå å åùå äâà îï åäåëåíèß âåêòî- à: êàê ïà àëëåëüíûé ïå åíîñ è êàê ñâîáîäíûé íàï àâëåííûé îò åçîê. Îï åäåëåíèå å åç ïà àëëåëüíûé ïå åíîñ íà íà âçãëßä äîâîëüíî ñëîæíî äëß âîñï èßòèß, à îï åäåëåíèå å åç ñâîáîäíûé íàï àâëåííûé îò åçîê î åíü áëèçêî ê íà åìó. Ôàêòè- åñêè, ñâîáîäíûé íàï àâëåííûé îò åçîê μ òî íàï àâëåííûé îò åçîê, êîòî ûé ìîæíî ñâîáîäíî ïå åìåùàòü ïà àëëåëüíûì ïå åíîñîì, ò.å. ï àêòè åñêè òîæå ñàìîå, òî è êëàññ êâèâàëåíòíîñòè, î êîòî îì ìû ãîâî èëè. Íî, íà íà âçãëßä, îï åäåëåíèå âåêòî à å åç êëàññ êâèâàëåíòíîñòè áîëåå ñò îãîå, åì å åç ñâîáîäíûé âåêòî. Â äàëüíåé åì, ïîñëå íåêîòî îãî ï èâûêàíèß, ïîìíß î òåñíîé ñâßçè íà åãî îï åäåëåíèß è ñâîáîäíîãî íàï àâëåííîãî îò åçêà, äëß óï îùåíèß å è è âîñï èßòèß, ìû áóäåì èçîá àæàòü âåêòî û íàï àâëåííûìè îò åçêàìè è çàáóäåì òå ìèí ãåîìåò è åñêàß åàëèçàöèß.

10 Òåìà 1 1.5. Îï åäåëåíèå. Íóëåâîé âåêòî μ òî êëàññ êâèâàëåíòíîñòèíóëåâûõíàï àâëåííûõîò åçêîâ.îíîáîçíà àåòñßêàê 0. 1.6. Îï åäåëåíèå. Äëèíîé âåêòî à a íàçûâàåòñß äëèíà ë áîé åãî ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèè. Îíà îáîçíà àåòñß ñèìâîëîì a. 1.7. Îï åäåëåíèå. Äâà âåêòî à íàçûâà òñß ñîíàï àâëåííûìè (ï îòèâîïîëîæíî íàï àâëåííûìè), åñëè ñîíàï àâëåíû (ï îòèâîïîëîæíî íàï àâëåíû) èõ ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè. Îáîçíà à òñß ñîíàï àâëåííûå è ï îòèâîïîëîæíî íàï àâëåííûå âåêòî û òàê æå, êàê è ñîíàï àâëåííûå è ï îòèâîïîëîæíî íàï àâëåííûå îò åçêè. 2. Ñëîæåíèå âåêòî îâ è åãî ñâîéñòâà 2.1. Îï åäåëåíèå. Ïóñòü äàíû âåêòî û a è b. òîáû íàéòè èõ ñóììó, âûáå åì ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè AB âåêòî à a è BC μ âåêòî à b òàê, òîáû êîíåö íàï àâëåííîãî îò åçêà AB ßâëßëñß íà àëîì íàï àâëåííîãî îò åçêà BC. Ãîâî ßò, òî âåêòî c, üåé ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèåé ñëóæèò íàï àâëåííûé îò åçîê AC, íàçûâàåòñß ñóììîé âåêòî îâ a è b : c = a + b. Ò àäèöèîííî òàêîå îï åäåëåíèå ñóììû âåêòî îâ íàçûâà ò ï àâèëîì ò åóãîëüíèêà. Åñëè íàï àâëåííûå îò åçêè AB è BC ëåæàò íà îäíîé ï ßìîé, òî ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèåé ñóììû áóäåò òàêæå íàï àâëåííûé îò åçîê AC, ëåæàùèé íà òîé æå ï ßìîé. Â òîì ñëó àå ò åóãîëüíèê ABC ïîëó àåòñß âû îæäåííûì. Â îï åäåëåíèè ñóììû âåêòî îâ ìû ñòàëêèâàåìñß ñ îï åäåëåííîé ò óäíîñòü, êîòî ó ñëîæíî çàìåòèòü íåîïûòíîìó èòàòåë. Ò óäíîñòü çàêë àåòñß â ñëåäó ùåì. Ìû îï åäåëèëè ñóììó âåêòî îâ å åç èõ ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè. Íî âûá àòü ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè ìîæíî êàê óãîäíî.

2. Ñëîæåíèå âåêòî îâ è åãî ñâîéñòâà 11 Íàï èìå, â êà åñòâå ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèè âåêòî à a âûáå åì íàï àâëåííûé îò åçîê A 1 B 1,àâêà åñòâå b μ B 1 C 1 ( èñ. 1.4). Òîãäà èõ ñóììîé áóäåò âåêòî c ñ ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèåé A 1 C 1. Âîçíèêàåò âîï îñ, ïî åìó AC è A 1 C 1 èçîá- àæà ò îäèí èòîòæå âåêòî, ò. å. ïî åìó AC A 1 C 1? B B A C A C Ðèñ. 1.4. Ï àâèëî ò åóãîëüíèêà òîáû òî ï îâå èòü, äîñòàòî íî îñóùåñòâèòü ïà àëëåëüíûé ïå åíîñ, ïå åâîäßùèé òî êó A â òî êó A 1.Òîãäà íàï àâëåííûé îò åçîê AB ïå åéäåò â A 1 B 1 (òàê êàê îíè êâèâàëåíòíû, ñì. 1.3), à BC â B 1 C 1. Ï è òîì íàï àâëåííûé îò åçîê AC ñîâìåñòèòüñß ñ A 1 C 1. Çíà èò, òè íàï àâëåííûå îò åçêè êâèâàëåíòíû, ò.å. c = c è ñóììà âåêòî îâ íå çàâèñèò îò âûáî à ãåîìåò è åñêèõ åàëèçàöèé. 2.2. Îï åäåëåíèå. Ïóñòü äàíû âåêòî û a è b. Â êà åñòâå èõ ãåîìåò è åñêèõ åàëèçàöèé âûáå åì íàï àâëåííûå îò åçêè AB è AC ñîîòâåòñòâåííî. Îá àùàåì âíèìàíèå, òî òè íàï àâëåííûå îò åçêè èìå ò îáùåå íà àëî â òî êå A, êàê ïîêàçàíî íà èñ. 1.5. Ñóììîé âåêòî îâ a è b íàçûâàåòñß âåêòî c, ãåîìåò è- åñêîé åàëèçàöèåé êîòî îãî ßâ- A B C D Ðèñ. 1.5. Ï àâèëî ïà àëëåëîã àììà ëßåòñß íàï àâëåííûé îò åçîê AD â ïà àëëåëîã àììå ABDC. Èç èñ. 1.5 âèäíî, òî â õîäå ïîñò îåíèß åçóëüòè ó ùåãî âåêòî à c ñò îèòñß ïà àëëåëîã àìì ABDC. Ïî òîìó òàêîå

12 Òåìà 1 ï àâèëî ñóììè îâàíèß âåêòî îâ ïîëó èëî íàçâàíèå ï àâèëî ïà àëëåëîã àììà. 2.3. Ýêâèâàëåíòíîñòü ï àâèë ò åóãîëüíèêà è ïà àëëåëîã àììà. Ñóììà âåêòî îâ, ïîëó åííàß ïî ï àâèëó ò åóãîëüíèêà 2.1 è ïî ï àâèëó ïà àëëåëîã àììà 2.2 ñîâïàäàåò. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëß äîêàçàòåëüñòâà îá àòèìñß ê èñ. 1.6. Íà íåì B èçîá àæåíû ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè âåêòî îâ a è b â âèäå íàï àâëåííûõ îò åçêîâ AB è BC, à òàêæå A C ãåîìåò è åñêàß åàëèçàöèß èõ ñóììû μ íàï àâëåííûé îò åçîê AC, ïîñò îåííûé ïî ï àâèëó ò åóãîëüíèêà 2.1. D Äîñò îèì ò åóãîëüíèê äî ïà àëëåëîã àììà. Äëß òîãî ï îâåäåì íà- Ðèñ. 1.6. Ýêâèâàëåíòíîñòü ï àâèë ò åóãîëüíèêà èïà- ï àâëåííûé îò åçîê AD, êâèâàëåíòíûé BC. Ñîåäèíèì òî êè D è C. àëëåëîã àììà Òî, òî ABCD μ ïà àëëåëîã àìì, ñëåäóåò èç àâåíñòâà ò åóãîëüíèêîâ ABC è CDA è îï åäåëåíèß êâèâàëåíòíûõ íàï àâëåííûõ îò åçêîâ 1.3. AC μ äèàãîíàëü ïîñò îåííîãî ïà àëëåëîã àììà, çíà èò,ïî ï àâèëó ïà àëëåëîã àììà 2.2 íàï àâëåííûé îò åçîê AC ßâëßåòñß ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèåé âåêòî à ñóììû c = a + b. Òàê êàê ïîñò îåííûå ïî ï àâèëó ò åóãîëüíèêà è ïî ï àâèëó ïà àëëåëîã àììà ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè âåêòî à c ñîâïàäà ò, òî (ïî îï åäåëåíè âåêòî à) ñîâïàäà ò ñàìè âåêòî û, òî ãîâî èò îá êâèâàëåíòíîñòè ï àâèë ò åóãîëüíèêà è ïà àëëåëîã àììà. Ñåé àñ ìû ñôî ìóëè óåì è äîêàæåì îñíîâíûå ñâîéñòâà ñëîæåíèßâåêòî îâ( èòàé ï àâèëàà èôìåòè åñêèõ äåéñòâèé ). Âû ñ òèìè ñâîéñòâàìè óæå âñò å àëèñü â ñòàíäà òíîì êîëüíîì êó ñå, íî íàçûâàëè èõ ïî óñòà åâ åé îññèéñêîé ò àäèöèè. Íà ñîâ åìåííîì òàïå ï èíßòû ä óãèå íàçâàíèß òèõ ñâîéñòâ, êîòî ûå âñò å à òñß íå òîëüêî â à èôìåòèêå è âåê-

2. Ñëîæåíèå âåêòî îâ è åãî ñâîéñòâà 13 òî íîé àëãåá å, íî ï àêòè åñêè âî âñåõ îáëàñòßõ ìàòåìàòèêè, ïî òîìó öåëåñîîá àçíî çàïîìíèòü ñîâ åìåííûå íàçâàíèß. 2.4. Êîììóòàòèâíîñòü ñëîæåíèß. Äëß ë áûõ âåêòî îâ a è b ñï àâåäëèâî àâåíñòâî 2 a + b = b + a. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç èñ. 1.6: íàï àâëåííûé îò åçîê AC ßâëßåòñß îäíîé è òîé æå åàëèçàöèåé ñóììû âåêòî îâ a + b è ñóììû âåêòî îâ b + a. 2.5. Àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèß. Äëß ë áûõ âåêòî îâ a, b è c ñï àâåäëèâî àâåíñòâî 3 Ðèñ. 1.7. Àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèß âåêòî îâ ( a + b )+ c = a +( b + c ). Äîêàçàòåëüñòâî. Èç èñ. 1.7 âèäíî, òî îäèí è òîò æå íàï àâëåííûé îò åçîê AD ìîæíî àññìàò èâàòü êàê ñóììó íàï àâëåííûõ îò åçêîâ AC + CD, òî ßâëßåòñß åàëèçàöèåé âåêòî à ( a + b )+ c.âòîæå â åìß AD ìîæíî àññìàò èâàòü êàê ñóììó íàï àâëåííûõ îò åçêîâ AB + BD,êîòî àß ßâëßåòñß åàëèçàöèåé a +( b + c ). 2.6. Íóëåâîé âåêòî. Ñóùåñòâóåò íóëåâîé âåêòî 0, êîòî- ûé ï è ñëîæåíèè ñ ë áûì ä óãèì âåêòî îì a íå ìåíßåò åãî: 0+ a = a. 2 Â êîëå òî ñâîéñòâî íàçûâà ò ïå åìåñòèòåëüíûì çàêîíîì ñëîæåíèß. 3 Èçâåñòíûé èç êîëû ñî åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèß.

14 Òåìà 1 Íàïîìíèì, òî ãåîìåò è åñêàß åàëèçàöèß íóëåâîãî âåêòî- à μ òî òî êà, ïî òîìó ï èáàâèâ åãî ê ë áîìó âåêòî ó íè åãî íîâîãî íå ïîëó èì. 2.7. Ï îòèâîïîëîæíûé âåêòî. Ë áîé âåêòî a îáëàäàåò ï îòèâîïîëîæíûì, êîòî ûé ìû â åìåííî îáîçíà èì å åç a, òàêèì, òî: a + a = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèåé âåêòî- à a ßâëßåòñß íàï àâëåííûé îò åçîê AB. Òîãäà â êà åñòâå ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèè âåêòî à a âûáå åì íàï àâëåííûé îò åçîê BA. Ñóììîé ãåîìåò è åñêèõ åàëèçàöèé òèõ âåêòî îâ áóäåò íàï àâëåííûé îò åçîê AB + BA = AA, ò.å.íàï àâëåííûé îò åçîê, ó êîòî îãî íà àëî ñîâïàäàåò ñ êîíöîì. Ñîãëàñíî îï åäåëåíè 1.1 òàêîé íàï àâëåííûé îò åçîê íàçûâàåòñß íóëåâûì. Ïî îï åäåëåíè íóëåâîãî âåêòî à 1.5 íàï àâëåííûé îò åçîê AB + BA ßâëßåòñß åàëèçàöèåé íóëåâîãî âåêòî à 0. 3. Óìíîæåíèå âåêòî îâ íà èñëî è åãî ñâîéñòâà Â òîì àçäåëå ìû ïîçíàêîìèìñß ñ óìíîæåíèåì âåêòî îâ íà èñëà. Íî ï åæäå åì ï èñòóïèòü ê èçëîæåíè ìàòå èàëà, íåîáõîäèìî îòìåòèòü, òî èñëà (êàê è âåêòî û, âï î åì, â åì âû ïîçæå ñìîæåòå óáåäèòüñß) âîîáùå ãîâî ß, áûâà ò àçíûìè, íàï èìå àöèîíàëüíûå, âåùåñòâåííûå, êîìïëåêñíûå, êâàòå íèîíû. È òàêó îïå àöè, êàê óìíîæåíèå âåêòî à íà èñëî, ìîæíî îï åäåëßòü äëß ë áûõ èñåë. Îäíàêî èñòî è åñêè ñëîæèëîñü òàê, òî âïå âûå òàêàß îïå àöèß áûëà îï åäåëåíà äëß âåêòî îâ, êîòî ûå ìû ñ âàìè èçó àåì, è âåùåñòâåííûõ èñåë. Ïî òîìó èìè ìû ïîêà è îã àíè èìñß. 3.1. Îï åäåëåíèå. Ï îèçâåäåíèåì âåêòî à a íà èñëî 4 λ R íàçûâàåòñß òàêîé âåêòî b = λ a, òî b = λ a, ï è åì b a,åñëèλ 0 è b a,åñëèλ<0. 4 Ñèìâîëîì R îáîçíà à ò ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ, èëè äåéñòâèòåëüíûõ, èñåë è çàïèñü λ R îçíà àåò, òî λ μ âåùåñòâåííîå èñëî.

3. Óìíîæåíèå âåêòî îâ íà èñëî è åãî ñâîéñòâà 15 Íà èñóíêå èñ. 1.8 èçîá àæåíû ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè âåêòî îâ a, λ a, ñ ïîëîæèòåëüíûì è îò èöàòåëüíûì λ â âèäå ñîîòâåòñòâó ùèõ íàï àâëåííûõ îò åçêîâ AB, CD, Ðèñ. 1.8. Óìíîæåíèå âåêòî à íà èñëî EF, êîòî ûå ëåæàò íà ïà àëëåëüíûõ ï ßìûõ. Òàê êàê äëèíà íàï àâëåííîãî îò åçêà CD > AB, òî äëß CD èñëî λ>1. Òàê êàê EF < AB, òî äëß EF îíî 1 <λ<0. 3.2. Äèñò èáóòèâíîñòü îòíîñèòåëüíî ñóììû èñåë. Äëß ë áûõ äâóõ èñåë λ, µ R è âåêòî à a âûïîëíåíî àâåíñòâî 5 : (λ + µ) a = λ a + µ a. (1.1) A B A B C K F D E K F C D E à) á) Ðèñ. 1.9. Äèñò èáóòèâíîñòü îòíîñèòåëüíî ñóììû èñåë Äîêàçàòåëüñòâî. Äëß äîêàçàòåëüñòâà àññìîò èì ñëåäó ùèå ñëó àè: 1. Åñëè λ = 0, èëè µ = 0, èëè a = 0, òî âûïîëíåíèå ñâîéñòâà î åâèäíî. 2. Ïóñòü çíàêè èñåë λ è µ ï îòèâîïîëîæíû. Äëß îï åäåëåííîñòè áóäåì ñ èòàòü λ>0, µ<0. (à) Åñëè λ = µ,òîâëåâîé àñòè (1.1) (λ+µ) a =0 a = 0, à â ï àâîé λ a + µ a = λ a λ a = 0. 5 Ðàñï åäåëèòåëüíûé çàêîí îòíîñèòåëüíî ñóììû.

16 Òåìà 1 (á) Åñëè λ > µ, òî λ + µ>0, òîãäà äëèíà âåêòî à â ëåâîé àñòè (1.1) àâíà (λ + µ) a = (ïî åìó?) = λ + µ a = =(λ + µ) a = λ a + µ a. Äëèíà âåêòî à â ï àâîé àñòè λ a + µ a =(ñì. èñ. 1.9, a) = λ a µ a = λ a µ a = = λ a ( µ) a = λ a + µ a. Òî åñòü äëèíû âåêòî îâ â ëåâîé è ï àâîé àñòßõ (1.1) àâíû. Ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè âåêòî îâ a, λ a, µ a, (λ+µ) a ëåæàò íà ïà àëëåëüíûõ ï ßìûõ, ï è åì òàê êàê λ > µ, òî ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè âåêòî îâ (λ + µ) a è λ a (íàï àâëåííûå îò åçêè KF è CD íà èñ. 1.9, à) ñîíàï àâëåíû. Ñ ä óãîé ñòî îíû, òàê êàê äëèíà âåêòî à λ a áîëü å äëèíû âåêòî à µ a, òî ãåîìåò è åñêàß åàëèçàöèß âåêòî à λ a +µ a ñîíàï àâëåíà ñ âåêòî îì λ a,àçíà èò, ñîíàï àâëåíà ñ ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèåé âåêòî à (λ + µ) a.òàê êàê ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè âåêòî îâ (λ + µ) a è λ a + µ a ñîíàï àâëåíû, äëèíû èõ àâíû, òî òè âåêòî û àâíû. (â) Åñëè λ < µ, òî λ + µ<0, òîãäà äëèíà âåêòî à â ëåâîé àñòè (1.1) àâíà (λ + µ) a = λ + µ a = (λ + µ) a = = λ a µ a. Äëèíà âåêòî à â ï àâîé àñòè (1.1) àâíà λ a + µ a =(ñì. èñ. 1.9, á ) = λ a + µ a = λ a + + µ a = λ a µ a.òî åñòü äëèíû âåêòî îâ â ëåâîé è ï àâîé àñòßõ (1.1) àâíû. Òàê êàê λ + µ < 0, òî ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè âåêòî îâ (λ+µ) a è µ a (íà èñ. 1.9, á íàï àâëåííûå îò åçêè CK è EF) ñîíàï àâëåíû. Ñ ä óãîé ñòî îíû, ïîñêîëüêó äëèíà âåêòî à λ a ìåíü å äëèíû âåêòî à µ a, òî ãåîìåò è åñêàß åàëèçàöèß âåêòî à λ a + µ a ñîíàï àâëåíà ñ âåêòî îì µ a, è ïî òîìó ñîíàï àâëåíà ñ ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèåé âåêòî à (λ + µ) a. Òàêèì îá àçîì, âåêòî û (λ + µ) a è λ a + µ a àâíû. 3. Ñëó àé îäèíàêîâûõ çíàêîâ èñåë λ è µ äîêàæèòå ñàìîñòîßòåëüíî! 3.3. Àññîöèàòèâíîñòü ï îèçâåäåíèß. Äëß ë áûõ äâóõ èñåë λ, µ R è âåêòî à a âûïîëíåíî àâåíñòâî: (λ µ) a = λ(µ a ). (1.2)

3. Óìíîæåíèå âåêòî îâ íà èñëî è åãî ñâîéñòâà 17 Ðèñ. 1.10. Àññîöèàòèâíîñòü ï îèçâåäåíèß A B E D C F Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Åñëè λ = 0, èëè µ = 0, èëè a = 0, òî èñòèííîñòü àâåíñòâà (1.2) íå âûçûâàåò ñîìíåíèé. 2. Ïóñòü çíàêè èñåë λ è µ îäèíàêîâû. Ðàññìîò èì ñàìûé ñëîæíûé ñëó àé, êîãäà λ<0, µ<0. Òîãäà λ µ>0, âåêòî (λ µ) a èìååò äëèíó (λ µ) a = λ µ a = λ µ a è åãî ãåîìåò è åñêàß åàëèçàöèß μ íàï àâëåííûé îò åçîê CF (ñì. èñ. 1.10) ñîíàï àâëåí ñ íàï àâëåííûì îò åçêîì AB, ßâëß ùèìñß ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèåé âåêòî à a. Ñ ä óãîé ñòî îíû, äëèíà âåêòî à λ(µ a ) = λ µ a = = λ µ a, ò.å. ñîâïàäàåò ñ äëèíîé âåêòî à (λ µ) a.òàê êàê µ<0, òî íàï àâëåííûé îò åçîê AB ï îòèâîïîëîæíî íàï àâëåí CE, ßâëß ùåìóñß ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèåé âåêòî à µ a (ñì èñ. 1.10). Ïîñêîëüêó λ<0, òî ãåîìåò è åñêàß åàëèçàöèß âåêòî à λ(µ a ) ï îòèâîïîëîæíî íàï àâëåíà CE, íî ñîíàï àâëåíà ñ AB, àçíà èò, èñcf. Òàêèì îá àçîì, êàê äëèíû, òàê è íàï àâëåíèß âåêòî îâ (λµ) a è λ(µ a ) ñîâïàäà ò, ò. å. òè âåêòî û àâíû. Âà èàíò λ>0, µ>0 àññìîò èòå ñàìîñòîßòåëüíî. 3. Äîêàçàæèòå ñâîéñòâî, êîãäà λ è µ àçíûõ çíàêîâ. 3.4. Äèñò èáóòèâíîñòü îòíîñèòåëüíî ñóììû âåêòî îâ. Äëß ë áûõ äâóõ âåêòî îâ a, b è èñëà λ R âûïîëíåíî àâåíñòâî: λ( a + b )=λ a + λ b. (1.3) Äîêàçàòåëüñòâî. Äëß äîêàçàòåëüñòâà àññìîò èì ñëåäó ùèå ñëó àè: 1. Åñëè λ =0,èëè a = 0, èëè b = 0, òî âñå âå íî.

18 Òåìà 1 Ðèñ. 1.11. Äèñò èáóòèâíîñòü îòíîñèòåëüíî ñóììû âåêòî îâ 2. Ïóñòü λ < 0. Ï åäïîëîæèì ñíà àëà, òî âåêòî û a è b íåïà àëëåëüíû. Ðàññìîò èì ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè âåêòî îâ a, b, a + b â âèäå íàï àâëåííûõ îò åçêîâ AB, BC, AC ñîîòâåòñòâåííî (ñì. èñ. 1.11). Ïîñò îèì ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè âåêòî îâ λ a, λ( a + b ) â âèäå íàï àâëåííûõ îò åçêîâ AB 1 è AC 1, à òàêæå íàï àâëåííûé îò åçîê B 1 C 1 (ñì. èñ. 1.11). Â ñèëó íà èõ ïîñò îåíèé îò åçêè AB 1 è AB ëåæàò íà îäíîé ï ßìîé, à òàêæå ëåæàò íà îäíîé ï ßìîé îò åçêè AC 1 è AC. Áîëåå òîãî, AB 1 = AC 1 AB = λ. Ïî òîìó ò åóãîëüíèêè ABC è AB 1 C 1 ïîäîáíû. Ñëåäîâàòåëüíî, B 1 C 1 = AC = λ BC, CBA = C1 B 1 A è ï ßìûå (B 1 C 1 ) (BC). Òàêèì îá àçîì, èç íà èõ ïîñò îåíèé B 1 C 1 = λ BC. Èç èñ. 1.11 ïî ï àâèëó ò åóãîëüíèêà 2.1 íàï àâëåííûé îò åçîê AC 1 ßâëßåòñß ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèåé ñóììû λ a + λ b, à òàêæå â ñèëó íà èõ ïîñò îåíèé ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèåé λ( a + b ), òîäîêàçûâàåò (1.3). Òåïå ü îá àòèìñß ê ñëó à, êîãäà a è b ïà àëëåëüíû. Îáîçíà èì å åç µ îòíî åíèå äëèí: µ = b / a è ïîëîæèì µ = µ, åñëè òè âåêòî û ñîíàï àâëåíû, è µ = µ, åñëè îíè ï îòèâîïîëîæíî íàï àâëåíû. Òîãäà µ a b è µ a = = µ a = b. Òàêèì îá àçîì, b = µ a (ñì. îï åäåëåíèå óìíîæåíèß âåêòî à íà èñëî íà ñò. 14). Ïîäñòàâèì òî ñîîòíî åíèå â ëåâó àñòü äîêàçûâàåìîãî àâåíñòâà. λ( a + b )=λ( a + µ a )=(ïî ñâîéñòâó 3.2) = = λ((1 + µ) a )=(ïî ñâîéñòâó 3.3) = (λ(1 + µ)) a =

4. Âåêòî íîå ï îñò àíñòâî 19 =(λ + λµ) a =(ïî ñâîéñòâó 3.2) = λ a +(λµ) a = =(ïî ñâîéñòâó 3.3) = λ a + λ(µ a )=λ a + λ b. 3. Äëß λ>0 àíàëîãè íûå àññóæäåíèß ï îâåäèòå ñàìîñòîßòåëüíî. 3.5. Óìíîæåíèå íà åäèíèöó. Äëß ë áîãî âåêòî à a âûïîëíåíî àâåíñòâî: 1 a = a. Â âèäó ï îñòîòû òîãî ñâîéñòâà îñòàâèì åãî äîêàçàòåëüñòâî â êà åñòâå îáßçàòåëüíîãî, õîòß è ï îñòîãî óï àæíåíèß. Äåëî â òîì, òî èçó àòü ìàòåìàòèêó, íè åãî íå äîêàçûâàß ï è òîì ñàìîñòîßòåëüíî, ê àéíå ò óäíî è ìîæíî îïóñòèòüñß äî ò èâèàëüíîé çóá åæêè, îò åãî ìû âàñ ïûòàåìñß óäå æàòü! 4. Âåêòî íîå ï îñò àíñòâî Ôî ìàëüíî òîò àçäåë íå âõîäèò â îáßçàòåëüíûé êó ñ àíàëèòè åñêîé ãåîìåò èè è åãî, â ï èíöèïå, ìîæíî ï îïóñòèòü. Îäíàêî, êàê íàì êàæåòñß, èíòå åñíî óçíàâàòü, êàê óñò îåíà ñîâ åìåííàß íàóêà è åì îíà çàíèìàåòñß. Ïî òîìó ìû âàì íàñòîßòåëüíî ñîâåòóåì íå îñòàâëßòü ôàêóëüòàòèâíûå àçäåëû áåç âíèìàíèß. Îñíîâíîé ìåòîä ìàòåìàòèêè, êàê, ñîáñòâåííî, è ë áîé íàó íîé äèñöèïëèíû, μ òî äâèæåíèå îò àñòíûõ ñëó àåâ ê îáùåé çàêîíîìå íîñòè è, ïîñëå àçâèòèß òåî èè, ï èëîæåíèå íàéäåííûõ çàêîíîìå íîñòåé ê àñòíûì ñëó àßì. Îäíàêîìàòåìàòèêó ñ åäè îñòàëüíûõ íàóê âûäåëßåò ñòåïåíü àáñò àêòíîñòè, òî õî î î áóäåò âèäíî èç òîãî àçäåëà. Ìû ñ âàìè ïîçíàêîìèëèñü ñ âåêòî àìè, íàó èëèñü èõ ñêëàäûâàòü, óìíîæàòü íà èñëà è âûßñíèëè ñâîéñòâà òèõ îïå- àöèé, ïîçâîëß ùèå ï îèçâîäèòü âû èñëåíèß. Î åâèäíî, òî ñêëàäûâàòü è óìíîæàòü íà èñëà ìîæíî íå òîëüêî âåêòî û, à, íàï èìå, ñàìè èñëà èëè ôóíêöèè, èìå ùèå îäèíàêîâó

20 Òåìà 1 îáëàñòü îï åäåëåíèß, èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ìîæåò, è áåñêîíå íûå). Äà ìíîãî åãî ìîæíî íàï èäóìûâàòü. È âñå áû è çàêîí èëîñü ï îñòûìè àññîöèàöèßìè, åñëè áû òè îáúåêòû (ôóíêöèè, íàï èìå ) íå áûëè ñòîëü âàæíû êàê â ôèçèêå, òàê è â ë áîé òåõíè åñêîé äèñöèïëèíå. Ïî òîìó ìàòåìàòèêè ïîïûòàëèñü âûäåëèòü õà àêòå èçó ùèå ñâîéñòâà âåêòî îâ â íåêîòî ó ñèñòåìó, äîâîëüíî õî î î èçó èëè åå, ïîñëå åãî ïîëó åííûå åçóëüòàòû ñìîãëè ï èêëàäûâàòü óæå íå ï îñòî ê âåêòî àì, íî è òàêèì îáúåêòàì, êàê ìíîãî ëåíû èëè íåï å ûâíûå ôóíêöèè, íè åì íå ïîõîæèå íà íàï àâëåííûå îò- åçêè. Íàèáîëü èì äîñòèæåíèåì òîãî ï èëîæåíèß, íà íà âçãëßä, ñòàëà âîçìîæíîñòü èçìå åíèß àññòîßíèß è óãëîâ ìåæäó ôóíêöèßìè. Óãëû ïîêà îòñòàâèì, à âîò ï èâëåêàòåëüíîñòü èçìå åíèß àññòîßíèß ìåæäó ôóíêöèßìè è âàì äîëæíà áûòü ïîíßòíà. Äåéñòâèòåëüíî, àññìîò èì âïîëíå êîíê åòíó çàäà ó î ò àåêòî èè áàëëèñòè åñêîé àêåòû. Àíàëèòè åñêèìè ìåòîäàìè òî íîãî åå å åíèß ïîëó èòü íåâîçìîæíî íà ñîâ åìåííîì òàïå. Ïî òîìó âñòàåò âîï îñ î ï èáëèæåííîì å- åíèè. Îäíàêî, òî òàêîå ï èáëèæåííàß äëèíà, ìû ñêàçàòü â ñîñòîßíèè μ òî èñëî, îòëè à ùååñß îò èñòèííîãî íå áîëåå çàäàííîé òî íîñòè. À òî òàêîå òî íîñòü, êîãäà å ü èäåò î ôóíêöèßõ? Òàê âîò, âîçìîæíîñòü îï åäåëåíèß àññòîßíèß ìåæäó ôóíêöèßìè ñíèìàåò ï îáëåìó íåîï åäåëåííîñòè ï èáëèæåííîé ò àåêòî èè. Òåïå ü, îñîçíàâ ïîëåçíîñòü îáîáùåíèß ïîíßòèß âåêòî à, ââåäåì îï åäåëåíèå âåêòî íîãî ï îñò àíñòâà. 4.1. Îï åäåëåíèå. (Âåùåñòâåííûì) âåêòî íûì, èëè ëèíåéíûì ï îñò àíñòâîì íàçûâàåòñß íåïóñòîå ìíîæåñòâî V, ëåìåíòû êîòî îãî ï èíßòî íàçûâàòü âåêòî àìè (ñò åëêè ï è èõ îáîçíà åíèè íå ñòàâßò, à âûäåëß ò ïîëóæè íûì èôòîì), íà êîòî îì ââåäåíû îïå àöèè ñóììû âåêòî îâ è ï îèçâåäåíèß èõ íà (âåùåñòâåííûå) èñëà, ï è åì âûïîëíåíû ñëåäó ùèå ñâîéñòâà 6 : 6 Çíà îê íàçûâàåòñß êâàíòî îì âñåîáùíîñòè. Ïî òîìó çàïèñü u, v V èòàåòñß êàê äëß ë áûõ âåêòî îâ u è v èç ï îñò àíñòâà V. Ñèìâîë μ òî êâàíòî ñóùåñòâîâàíèß. Çàïèñü 0 èòàåòñß êàê ñóùåñòâóåò 0.

1) u, v V : u + v = v + u; 4. Âåêòî íîå ï îñò àíñòâî 21 2) u, v, w V : u +(v + w) =(u + v)+w; 3) 0 V μòàêîé âåêòî, òî u V : 0 + u = u + 0 = u (åãî íàçûâà ò íóëåâûì âåêòî îì; 4) u V u : u + u = u + u = 0; 5) u, v V, λ R: λ(u + v) =λu + λv; 6) u V, λ, µ R: (λ + µ)u = λu + µu; 7) u V, λ, µ R: (λµ)u = λ(µu); 8) u V : 1u = u. Ñ àâíèòå òè ñâîéñòâà (àêñèîìû âåêòî íîãî ï îñò àíñòâà) ñ àíàëîãè íûìè ñâîéñòâàìè à èôìåòè åñêèõ îïå àöèé íàä âåêòî àìè. Âêà åñòâå ï èìå îâ âåêòî íûõ ï îñò àíñòâ, ï åæäå âñåãî, ìîæíî ï èâåñòè ìíîæåñòâî âåêòî îâ μ êëàññîâ êâèâàëåíòíûõ íàï àâëåííûõ îò åçêîâ, êîòî îå ìû áóäåì ñ òîãî ìîìåíòà îáîçíà àòü ñèìâîëîì E 3 è íàçûâàòü åâêëèäîâûì ò åõìå íûì ï îñò àíñòâîì 7. Ñëåäó ùèé ï èìå μ à èôìåòè åñêîå âåêòî íîå ï îñò àíñòâî R n,ñîñòîßùåå èç âåêòî -ñòîëáöîâ a = a 1 a 2. a n, a i R. 7 Ýòî íàçâàíèå μ äàíü óâàæåíèß ä åâíåã å åñêîìó ìàòåìàòèêó Åâêëèäó, ñèñòåìàòèçè îâàâ åìó ãåîìåò è åñêèå çíàíèß àíòè íûõ ìàòåìàòèêîâ â ñâîåì ò óäå Íà àëà.

22 Òåìà 1 Îïå àöèè îï åäåëß òñß ïîêîî äèíàòíî: a 1 a 2. a n + b 2. b 1 b n = a 1 + b 1 a 2 + b 2. a n + b n, λ a 1 a 2. a n = λa 1 λa 2. λa n. Ìíîæåñòâî ôóíêöèé, íåï å ûâíûõ íà îò åçêå [a, b], êîòî îå ñòàíäà òíî îáîçíà àåòñß êàê C[a, b], òîæå ìîæíî àññìàò èâàòü êàê âåêòî íîå ï îñò àíñòâî, îï åäåëèâ ñóììó f(x) è g(x) êàê ôóíêöè, êîòî àß ï èíèìàåò â òî êå x çíà åíèå f(x) +g(x). Íàäååìñß, âàì ïîíßòíî, êàê îï åäåëèòü ï îèçâåäåíèå ôóíêöèè íà èñëî! Â êà åñòâå óï àæíåíèß óáåäèòåñü, òî äëß îïå àöèé íà R n è C[a, b] àêñèîìû âåêòî íîãî ï îñò àíñòâà äåéñòâèòåëüíî âûïîëíåíû è ïîäáå èòå åùå íåñêîëüêî ï èìå îâ âåêòî íûõ ï îñò àíñòâ. Ï èâåäåì ï èìå àáîòû ñ âåêòî àìè àáñò àêòíîãî âåêòî íîãî ï îñò àíñòâà è äîêàæåì íåêîòî ûå ï îñòåé èå ñâîéñòâà, âûòåêà ùèå èç àêñèîì. Ýòè ñâîéñòâà íàñòîëüêî åñòåñòâåííû, òî ï è àáîòå ñ íàï àâëåííûìè îò åçêàìè äàæå è ñîìíåíèé íå âîçíèêàëî, òî íå òî ïîäîáíîå íóæíî ôî ìóëè îâàòü. À âîò â ñëó àå àáñò àêòíîãî âåêòî íîãî ï îñò àíñòâà òè ñâîéñòâà íóæíî ï îâå èòü! 4.2. Åäèíñòâåííîñòü íóëß. Íóëåâîé âåêòî â ë áîì âåêòî íîì ï îñò àíñòâå òîëüêî îäèí! Äîêàçàòåëüñòâî. Ï åäïîëîæèì, òî ñóùåñòâóåò äâà íóëåâûõ âåêòî à, êîòî ûå ìû îáîçíà èì å åç 0 1 è 0 2. Íàì íóæíî ïîêàçàòü, òî íà ñàìîì äåëå 0 1 = 0 2. Ïî îï åäåëåíè íóëåâîãî âåêòî à (àêñèîìà 3) äëß ë áîãî âåêòî à u âûïîëíåíî ñâîéñòâî 0 1 + u = u. Ïî òîìó, åñëè â êà åñòâå u âçßòü 0 2, òî ïîëó èì, òî 0 1 + 0 2 = 0 2. Ñ ä óãîé ñòî îíû, â òîé æå ñóììå ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñß òåì, òî 0 2 μ íóëåâîé âåêòî. Ïî òîìó åãî ï èáàâëåíèå ê 0 1 íå èçìåíèò ïîñëåäíèé âåêòî, ò.å. 0 1 + 0 2 = 0 1.

4. Âåêòî íîå ï îñò àíñòâî 23 Ñ àâíèâàß òè äâà àâåíñòâà, ïîëó àåì òî, òî íóæíî: 0 1 = 0 1 + 0 2 = 0 2. 4.3. Óìíîæåíèå íà 0. Åñëè ï îèçâîëüíûé âåêòî óìíîæèòü íà 0, ïîëó èòñß íóëåâîé âåêòî. Äîêàçàòåëüñòâî. òîáû ï îâå èòü òî óòâå æäåíèå, íóæíî óáåäèòüñß, òî 0u îáëàäàåò ñâîéñòâîì íóëåâîãî âåêòî à, ò.å. íè åãî íå ìåíßåò ï è ï èáàâëåíèè ê ë áîìó ä óãîìó âåêòî- ó v. È ïîñêîëüêó ïî óòâå æäåíè 4.2 òàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò åäèíñòâåííûé íóëåâîé âåêòî, ìû äîêàæåì íà å óòâå æäåíèå. Ï åäïîëîæèì ñíà àëà, òî v = u. 0u + u =0u +1u = (ïî àêñèîìå 8) =(0+1)u = (ïî àêñèîìå 6) Òåïå ü ï îâå èì, òî =1u = u (ïî àêñèîìå 8). 0u + v = v (1.4) äëß ï îèçâîëüíîãî âåêòî à v. Åñëè ê îáåèì àñòßì ï îâå ßåìîãî àâåíñòâà ï èáàâèòü u, òî ïîëó èì àâíîñèëüíîå âû àæåíèå: u +0u + v = u + v (u +0u)+v = u + v. Àòàê êàê ìû óæå çíàåì, òî u+0u = u, òî ïîñëåäíåå àâåíñòâî èñòèííî. Ñëåäîâàòåëüíî, âå íî è àâåíñòâî (1.4). 4.4. Óìíîæåíèå íà 1. Åñëè ï îèçâîëüíûé âåêòî óìíîæèòü íà 1, ïîëó èòñß ï îòèâîïîëîæíûé åìó. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëîæèì âåêòî u è ( 1)u: u +( 1)u =1u +( 1)u = (ïî àêñèîìå 8) =(1 + ( 1))u = (ïî àêñèîìå 6) =0u = 0 (ïîï åäûäóùåìóóòâå æäåíè ).

24 Òåìà 1 Â ñâßçè ñ òèì óòâå æäåíèåì âåêòî, ï îòèâîïîëîæíûé âåêòî ó u, ìîæíî îáîçíà àòü ï îñòî êàê u. Ï îâå èâ òè ïîëåçíûå ñâîéñòâà â àáñò àêòíîì âåêòî íîì ï îñò àíñòâå, ìû ìîæåì ï èìåíèòü èõ è ê íà èì âåêòî àì μ êëàññàì êâèâàëåíòíûõ íàï àâëåííûõ îò åçêîâ! Ï èìå û å åíèß òèïîâûõ çàäà Ï èìå 1.1. Âû àçèòü âåêòî a èç èñ. 1.12 å åç âåêòî û b, c, d è e. B B A C A C D D E E Ðèñ. 1.12. Ðèñóíîêêï èìå ó 1.1 Ðèñ. 1.13. Ðèñóíîê ê å åíè ï èìå à 1.1 Ðå åíèå. Ïóñòü AB, CB, CD, ED, AE μ ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè âåêòî îâ a, b, c, d, e ñîîòâåòñòâåííî. Èçîá àçèì íàï àâëåííûå îò åçêè EB è EC. Èç ò åóãîëüíèêà ECD âû àçèì EC : Èç ECB: Èç AEB: EC = ED + DC = ED CD. EB = EC + CB = ED CD + CB. AB = AE + EB = AE + ED CD + CB.

Ï èìå û å åíèß òèïîâûõ çàäà 25 Òîãäà âåêòî a ìîæíî âû àçèòü ñëåäó ùèì îá àçîì: a = b c + d + e. Îá àùàåì âíèìàíèå íà òî, òî âåêòî a ìîæíî âû àçèòü å åç îñòàëüíûå âåêòî û åùå è ñ ïîìîùü ï àâèëà ìíîãîóãîëüíèêà. Ï àâèëî ñîñòîèò â ñëåäó ùåì: åñëè íàï àâëåííûå îò åçêè àñïîëîæèòü òàê, òîáû íà àëî êàæäîãî ñëåäó ùåãî ñëàãàåìîãî áûëî â êîíöå ï åäûäóùåãî, òî ñóììîé áóäåò íàï àâëåííûé îò åçîê, íà àëî êîòî îãî ñîâïàäàåò ñ íà àëîì ïå âîãî ñëàãàåìîãî, à êîíåö μ ñ êîíöîì ïîñëåäíåãî. Äëß íà åãî ï èìå à åçóëüòàòîì ï èìåíåíèß ï àâèëà ìíîãîóãîëüíèêà ßâëßåòñß àâåíñòâî: AB = AE + ED + DC + CB = AE + ED CD + CB. Ïîëó èì òîò æå åçóëüòàò a = b c + d + e. Ï èìå 1.2. Â ï ßìîóãîëüíèêå ABCD òî êà P ßâëßåòñß ñå- åäèíîé ñòî îíû AB. Ðàçëîæèòü AC è AD ïî PC è PD. A P B A P B D K C D C M Ðèñ. 1.14. Ðèñóíîêêï èìå ó 1.2 Ðèñ. 1.15. Ðèñóíîê ê å åíè ï èìå à 1.2

26 Òåìà 1 Ðå åíèå. Äîñò îèì PCD äî ïà àëëåëîã àììà PCMD, â êîòî îì PM è DC μ íàï àâëåííûå îò åçêè äèàãîíàëåé. Âû àçèì èõ å åç PD è PC : PM = PD+ PC, DC = PC PD. Èçâåñòíî, òî ïà àëëåëîã àììå òî êà ïå åñå åíèß äèàãîíàëåé äåëèò èõ ïîïîëàì, ïî òîìó 1 PK = PM. 2 Îòìåòèì, òî PK è AD μ òî ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè îäíîãî è òîãî æå âåêòî à. Çíà èò, AD = 1 2PM = 1 2 ( PD+ PC). Òåïå ü èç ACD âû àçèì AC : AC = 1 AD + DC = 2 ( PD+ 3 PC)+( PC PD)= PC 1 PD. 2 2 Êîíò îëüíûå âîï îñû 1.1. òî òàêîå íàï àâëåííûé îò åçîê? 1.2. Äàéòå îï åäåëåíèå ñîíàï àâëåííûõ, ï îòèâîïîëîæíî íàï àâëåííûõ è êâèâàëåíòíûõ íàï àâëåííûõ îò åçêîâ. 1.3. òî íàçûâàåòñß âåêòî îì? 1.4. Ï èâåäèòå ï èìå û ôèçè åñêèõ âåëè èí, êîòî ûå ßâëß- òñß âåêòî àìè. 1.5. Ñôî ìóëè óéòå ï àâèëà, ïî êîòî ûì ìîæíî íàéòè ñóììó äâóõ âåêòî îâ a è b. Ýêâèâàëåíòíû ëè òè ï àâèëà? 1.6. òî çíà èò óìíîæèòü âåêòî a íà èñëî λ? 1.7. Ïå å èñëèòå ñâîéñòâà,êîòî ûìè îáëàäà ò ëèíåéíûå îïå- àöèè íàä âåêòî àìè. 1.8. Êàêîé âåêòî íàçûâàåòñß ï îòèâîïîëîæíûì äàííîìó? 1.9. Äàéòå îï åäåëåíèå íóëåâîãî âåêòî à. 1.10. Ñôî ìóëè óéòå ï àâèëî ìíîãîóãîëüíèêà äëß ñóììè îâàíèß íåñêîëüêèõ âåêòî îâ.

Çàäà è Çàäà è 27 1.1. Äëß çàäàííûõ âåêòî îâ a è b ïîñò îèòü âåêòî û: a b ; b a ;2 a b ; 1 3 a ; 1 2 b 3 a. 1.2. Â ò åóãîëüíèêå ABC âû àçèòü BC å åç AB è AC. 1.3. Âû àçèòü âåêòî x å åç âåêòî û a, b, c, d, e (ñì. èñ. 1.16). Ðèñ. 1.16. Ðèñóíîê ê çàäà å 1.3 1.4. Â ABC ï îâåäåíà ìåäèàíà CM. Íàï àâëåííûå îò åçêè CA è CB ßâëß òñß ãåîìåò è åñêèìè åàëèçàöèßìè âåêòî îâ a è b ñîîòâåòñòâåííî. Ðàçëîæèòü ïî òèì âåêòî àì CM. 1.5. Êàêîìó óñëîâè äîëæíû óäîâëåòâî ßòü íåíóëåâûå âåêòî à a è b, òîáû âûïîëíßëîñü óñëîâèå a + b = = a b? 1.6. Â îìáå ABCD óãîë ï è âå èíå B àâåí 120 o. Èç öåíò à O îìáà ï îâåäåíû ïå ïåíäèêóëß û OP è OQ ê ñòî îíàì AB è BC ñîîòâåòñòâåííî. Âû àçèòü å åç âåêòî û OP è OQ âåêòî û AB è BC. 1.7. Ïè àìèäà ïîñò îåíà íà âåêòî àõ a, b, c. Åå îñíîâàíèåì ßâëßåòñß ïà àëëåëîã àìì, ïîñò îåííûé íà âåêòî àõ a è b. Íàéòè âåêòî MS,ãäå M μ òî êà ïå åñå åíèß äèàãîíàëåé îñíîâàíèß, S âå èíà ïè àìèäû. 1.8. Â ABC òî êè M,N è P ßâëß òñß ñå åäèíàìè ñòî îí AB, BC è CA ñîîòâåòñòâåííî. MN = a, MP = b. Âû àçèòü âåêòî û ñòî îí AB, BC è CA å åç a è b.

28 Òåìà 1 1.9. Äëß ò åõ òî åê A, B è C íàéòè òàêó òî êó O, òîáû âûïîëíßëîñü óñëîâèå OA + OB + OC = 0. 1.10. ABCDEF μï àâèëüíûé åñòèóãîëüíèê. Âíåì AD = a, AC = b. Âû àçèòü å åç a è b âåêòî û AB, BC, CD, DE, EF è FA. 1.11. Â ïà àëëåëåïèïåäå ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, ïîñò îåííîì íà âåêòî àõ AB = a, AD = b, AA1 = c. Òî êè M è N äåëßò åá î BB 1 òàê, òî BM = MN = NB 1. Âû- àçèòü âåêòî û MD è DN å åç âåêòî û a, b è c. 1.12. Óëè íûé ôîíà ü ïîäâå åí â òî êå B ê ñå åäèíå ò îñà ABC, ï èê åïëåííîãî êîíöàìè ê ê êàì A è C, íàõîäßùèìñß íàîäíîé ãî èçîíòàìè. Îï åäåëèòü íàòßæåíèß T 1 è T 2 â àñòßõ ò îñà AB è BC, åñëè âåñ ôîíà ß àâåí 150 Í, äëèíà âñåãî ò îñà àâíà 20 ì, à îòêëîíåíèå òî êè ïîäâåñà ôîíà ß îò ãî èçîíòàëè àâíî 0,1 ì. Âåñîì ò îñà ï åíåá å ü. Èñïîëüçîâàòü óñëîâèå çàìêíóòîñòè ñèëîâîãî ìíîãîóãîëüíèêà. A D B C A O D E C B Ðèñ. 1.17. Ðèñóíîê ê çàäà å 1.12 Ðèñ. 1.18. Ðèñóíîê ê çàäà å 1.13 1.13. Íà äâóõ âçàèìíî ïå ïåíäèêóëß íûõ ãëàäêèõ íàêëîííûõ ïëîñêîñòßõ AB è BC ëåæèò îäíî îäíûé à âåñà 60 Í. Îï åäåëèòü äàâëåíèå à à íà êàæäó ïëîñêîñòü, çíàß, òî ïëîñêîñòü BC ñîñòàâëßåò ñ ãî èçîíòîì óãîë 60 o. 1.14. Äëß çàäàííîãî âåêòî à a ñ ïîìîùü öè êóëß è ëèíåéêè ïîñò îèòü âåêòî 3 a. 1.15. Äëß çàäàííîãî âåêòî à a ñ ïîìîùü öè êóëß è ëèíåéêè ïîñò îèòü âåêòî 6 a.

Çàäà è 29 1.16. Â ABC ï îâåäåíà áèññåêò èñà CL. Íàï àâëåííûå îò- åçêè CA è CB ßâëß òñß ãåîìåò è åñêèìè åàëèçàöèßìè âåêòî îâ a è b ñîîòâåòñòâåííî. Ðàçëîæèòü ïî òèì âåêòî àì CL. Ðèñ. 1.19. Ðèñóíîê ê çàäà å 1.17 1.17. AA 1 BB 1 CC 1 DD 1 EE 1 μ ïåíòîã àììà, ò.å. ïßòèêîíå íàß çâåçäà (ñì. èñ. 1.19). Âû àçèòü AC è BD å åç A 1 E 1 è A 1 B 1. 1.18. Â åòû åõìå íîì ï ßìîóãîëüíîì ïà àëëåëåïèïåäå A 0 B 0 C 0 D 0 A 1 B 1 C 1 D 1 A 2 B 2 C 2 D 2 A 3 B 3 C 3 D 3 âû àçèòüíàï àâëåííûéîò åçîêãëàâíîéäèàãîíàëè A 0 C 3 å åç ãëàâíûå äèàãîíàëè ã àíåé, ï èëåæàùèå ê òî êå A 0 : A 0 C 2, A 0 B 3, A 0 D 3 è A 0 C 1. Ã àíßìè åòû åõìå íîãî ï ßìîóãîëüíîãî ïà àëëåëåïèïåäà ßâëß òñß ò åõìå íûå ï ßìîóãîëüíûå ïà àëëåëåïèïåäû. 1.19. Âåêòî íîå ï îñò àíñòâî R 3 [x] ñîñòîèò èç ìíîãî ëåíîâ îò ïå åìåííîé x ñ âåùåñòâåííûìè êî ôôèöèåíòàìè, ñòåïåíü êîòî ûõ íå ï åâîñõîäèò 3. Âû àçèòå âåêòî v = x + x 2 å åç âåêòî û e 1 =2x +1è e 2 = 1 2 + x2. 1.20. Âåêòî íîåï îñò àíñòâî C[ π, π] èç ñîñòîèò íåï å ûâíûõ íà îò åçêå [ π; π] ôóíêöèé. Âû àçèòå âåêòî v =cos(x + π 4 ) å åç âåêòî û e 1 =sinx è e 2 =cosx.

Òåìà 2 Áàçèñ è êîî äèíàòû 5. Ëèíåéíàß çàâèñèìîñòü âåêòî îâ Ï îäîëæèì àçâèòèå èäåé, èçëîæåííûõ â ï åäûäóùåé ëåêöèè è ñâßçàííûõ ñ ïîíßòèåì âåêòî à êàê ëåìåíòà ëèíåéíîãî ï îñò àíñòâà. Åñòåñòâåííî ïå åéòè îò àññìîò åíèß ñâîéñòâ îäíîãî âåêòî à ê èçó åíè ñâîéñòâ ã óïïû âåêòî îâ. Ðàññìîò èì ñîâîêóïíîñòü âåêòî îâ u 1, u 2,...,u n èç ëèíåéíîãî ï îñò àíñòâà V. Âñå ñîâîêóïíîñòè âåêòî îâ ìîæíî àçäåëèòü íà äâå ã óïïû: â ïå âîé îäèí âåêòî ìîæíî ëèíåéíî âû àçèòü å åç ä óãèå, à âî âòî îé íè îäèí âåêòî âû àçèòü å åç ä óãèå íåëüçß. Îò òîãî, ê êàêîé ã óïïå ï èíàäëåæèò òà èëè èíàß ñîâîêóïíîñòü âåêòî îâ, çàâèñßò åå ñâîéñòâà. Íàï èìå, âåêòî û èç ïå âîé ã óïïû ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëß ñîçäàíèß îñíîâû èëè, ãîâî ß íàó íûì ßçûêîì, áàçèñà, å åç êîòî ûé áóäóò âû àæàòüñß îñòàëüíûå âåêòî û ï îñò àíñòâà V. 5.1. Îï åäåëåíèå. Ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ëåìåíòîâ u 1,...,u n âåêòî íîãî ï îñò àíñòâà V ñ êî ôôèöèåíòàìè λ 1,...,λ n R íàçûâàåòñß âû àæåíèå âèäà λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + + λ n u n = n λ i u i. 5.2. Îï åäåëåíèå. Âåêòî û u 1, u 2,...,u n ëèíåéíîãî ï îñò àíñòâà V íàçûâà òñß ëèíåéíî çàâèñèìûìè, åñëè ñóùåñòâó- ò òàêèå èñëà λ 1,λ 2,...,λ n îäíîâ åìåííî íå àâíûå íóë, òî ëèíåéíàß êîìáèíàöèß òèõ âåêòî îâ ñ êî ôôèöèåíòàìè λ 1,λ 2,...,λ n àâíà íóë. Â ï îòèâíîì ñëó àå âåêòî û u 1, u 2,...,u n íàçûâà òñß ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè. i=1

5. Ëèíåéíàß çàâèñèìîñòü âåêòî îâ 31 Îá àòèòå âíèìàíèå íà ò åáîâàíèå ê êî ôôèöèåíòàì λ i, i =1, 2,..., n â îï åäåëåíèè ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âåêòî îâ: îíè íå äîëæíû àâíßòüñß íóë îäíîâ åìåííî. Äåëî â òîì, òî åñëè âñå êî ôôèöèåíòû â ëèíåéíîé êîìáèíàöèè àâíû 0, òî è ñàìà êîìáèíàöèß íóëåâàß (èëè, ãîâî ß íàó íûì ßçûêîì, ò èâèàëüíàß) 0 u 1 +0 u 2 + +0 u n = 0 + 0 + + 0 = 0. (2.1) Ïîñêîëüêó òîìó òîæäåñòâó óäîâëåòâî ßåò ë áîé íàáî âåêòî îâ u 1, u 2,...,u n, òî íèêàêîãî óñëîâèß, îï åäåëß ùåãî çàâèñèìîñòü ìåæäó u 1, u 2,...,u n, íå âîçíèêàåò. Â îï åäåëåíèè æå ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ëèíåéíàß êîìáèíàöèß ìîæåò àâíßòüñß íóë òîëüêî êîãäà âñå êî ôôèöèåíòû íóëåâûå. Îá àòèì âíèìàíèå, òî â ôî ìóëå (2.1) çíàêè 0, ñòîßùèå ïîñëå çíàêà àâåíñòâà (êàê ïîñëå ïå âîãî, òàê è ïîñëå âòî îãî), îçíà à ò íóëåâûå ëåìåíòû âåêòî íîãî ï îñò àíñòâà V, ââåäåííûå â îï åäåëåíèè âåêòî íîãî ï îñò àíñòâà 4.1, à òî íå âñåãäà 0 èç ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ èñåë. Ë áîå îï åäåëåíèå ñòàíîâèòñß áîëåå ïîíßòíûì ïîñëå èññëåäîâàíèß êàêèõ-íèáóäü ï èìå îâ. Ïå åéäåì ê èõ àññìîò åíè. 5.3. Ëèíåéíàß çàâèñèìîñòü îäíîãî âåêòî à. Åñëè n =1, ò. å. àññìàò èâàåòñß îäèí âåêòî u, òî îí áóäåò ëèíåéíî çàâèñèì òîëüêîâòîìñëó àå,åñëèîííóëåâîé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè âåêòî u 0, òî àâåíñòâî λu = 0 âîçìîæíî òîëüêî ï è λ =0, òî îçíà àåò ëèíåéíó íåçàâèñèìîñòü ñîâîêóïíîñòè âåêòî îâ, ñîñòîßùåé èç îäíîãî âåêòî à u. Íàïîìèíàåì, òî ïî îï åäåëåíè ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòî îâ èõ ëèíåéíàß êîìáèíàöèß ò èâèàëüíà òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå êî ôôèöèåíòû àâíû íóë! À ìû èç àâåíñòâà λu = 0 ïîëó èëè, òî åäèíñòâåííûé êî ôôèöèåíò λ =0!

32 Òåìà 2 5.4. Ëèíåéíàß çàâèñèìîñòü ñèñòåìû ñ íóëåâûì âåêòî- îì. Åñëè ñèñòåìà âåêòî îâ ñîäå æèò íóëåâîé âåêòî, òî òà ñèñòåìà ëèíåéíî çàâèñèìà. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì ñ åäè âåêòî îâ u 1, u 2,...,u n åñòü íóëåâîé, íàï èìå, u 1 = 0. Äëß äîêàçàòåëüñòâà ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè íàì äîñòàòî íî ï åäúßâèòü íåò èâèàëüíó ëèíåéíó êîìáèíàöè òèõ âåêòî îâ (íå âñå êî ôôèöèåíòû íóëåâûå), àâíó íóë. Íàï èìå, 1 u 1 +0 u 2 + +0 u n =1 u 1 + 0 + + 0 =1 0 + 0 = 0. Èíûìè ñëîâàìè, ìû âçßëè λ 1 =1 0, λ 2 = λ 3 = = λ n =0. Òàê êàê λ 1 0,òîêîìáèíàöèß íåò èâèàëüíàß. Ïî òîìó ñèñòåìà u 1, u 2,...,u n ëèíåéíî çàâèñèìà. 5.5. Òåî åìà (î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âåêòî îâ, êîãäà îäíè èç âåêòî ßâëßåòñß ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ). Ñèñòåìà âåêòî îâ ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòß áû îäèí èç âåêòî îâ ñèñòåìû ßâëßåòñß ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ. Ï åæäå åì ïå åõîäèòü íåïîñ åäñòâåííî ê äîêàçàòåëüñòâó òåî åìû, îòìåòèì ñëåäó ùåå. Êîãäà â ôî ìóëè îâêå òåî åì âñò å àåòñß ô àçà (âûïîëíßåòñß A) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (âûïîëíßåòñß B), òî òî îçíà àåò, òî íåîáõîäèìî äîêàçàòü, òî èç âûïîëíåíèß A ñëåäóåò âûïîëíåíèå B è, íàîáî îò, ï è âûïîëíåíèè B âûïîëíßåòñß A. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü ñèñòåìà âåêòî îâ u 1, u 2,...,u n ëèíåéíî çàâèñèìà, ò.å. ñîãëàñíî îï åäåëåíè ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè 5.2 ñóùåñòâóåò ëèíåéíàß êîìáèíàöèß λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + + λ n u n = 0, (2.2) âêîòî îé õîòß áûîäíî èñëî, íàï èìå, λ i íå àâíî íóë. Òàê êàê λ i 0, òî èç (2.2) ìîæíî âû àçèòü u i : u i = λ 1 λ i u 1 λ i 1 λ i u i 1 λ i+1 λ i u i+1 λ n λ i u n.

5. Ëèíåéíàß çàâèñèìîñòü âåêòî îâ 33 Òàêèìîá àçîì,äîêàçàíî, òîâëèíåéíîçàâèñèìîéñèñòåìåâåêòî îâõîòßáûîäèíßâëßåòñßëèíåéíîéêîìáèíàöèåéîñòàëüíûõ. 2) Ïóñòü, íàï èìå, âåêòî u 1 ßâëßåòñß ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòî îâ u 2,...,u n : òîãäà ñï àâåäëèâî àâåíñòâî u 1 = λ 2 u 2 + + λ n u n, 1 u 1 λ 2 u 2 λ n u n = 0, òî äîêàçûâàåò ëèíåéíó çàâèñèìîñòü âåêòî îâ u 1, u 2,...,u n. Äåéñòâèòåëüíî, ìû ï åäúßâèëè ëèíåéíó êîìáèíàöè òèõ âåêòî îâ, â êîòî îé λ 1 =1 0! C òî êè ç åíèß ìàòåìàòè åñêîé ëîãèêè, åñëè èç A ñëåäóåò B, è èç B ñëåäóåò A, òî òî îçíà àåò, òî ïîíßòèß A è B êâèâàëåíòíû, ò.å. îïèñûâà ò îäíî è òî æå, íî àçíûìè ñëîâàìè. Ïî òîìó äîêàçàííîå óòâå æäåíèå ïîçâîëßåò ââåñòè ä óãîå îï åäåëåíèå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âåêòî îâ, àâíîñèëüíîå îï åäåëåíè 5.2. Âåêòî û u 1, u 2,...,u n ëèíåéíîãî ï îñò àíñòâà V íàçûâà- òñß ëèíåéíî çàâèñèìûìè, åñëè õîòß áû îäíè èç âåêòî îâ ßâëßåòñß ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ. 5.6. Ëèíåéíàß çàâèñèìîñòü ñèñòåìû âåêòî îâ, ñîäå æàùåé çàâèñèìó ïîäñèñòåìó. Åñëè ñèñòåìà âåêòî îâ ñîäå æèò ëèíåéíî çàâèñèìó ïîäñèñòåìó, òî îíà ñàìà ëèíåéíî çàâèñèìà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîò èìñèñòåìóâåêòî îâ u 1, u 2,...,u n, â êîòî îé åñòü ëèíåéíî çàâèñèìàß ïîäñèñòåìà. Ïå åíóìå îâàâ, åñëè íóæíî, âåêòî û, ìû ìîæåì ñ èòàòü, òî ïå âûå k âåêòî îâ ëèíåéíî çàâèñèìû. Çíà èò, íàéäåòñß ëèíåéíàß êîìáèíàöèß, àâíàß íóë : λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + + λ k u k = 0, (2.3) âêîòî îé íå âñå èñëà λ 1,...,λ k íóëåâûå (ìîæåòå äëß ï îñòîòû àññóæäåíèé ñ èòàòü λ 1 0).

34 Òåìà 2 Òåïå ü íàì íóæíî íàéòè íåò èâèàëüíó ëèíåéíó êîìáèíàöè, àâíó íóë, äëß âñåé ñèñòåìû âåêòî îâ. Ñäåëàåì òî, äîáèâ ê àâåíñòâó (2.3) íóëåâûå ñëàãàåìûå: λ 1 u 1 + + λ k u k +0 u k+1 + +0 u n = 0. Î åâèäíî, òî àâåíñòâî ñîõ àíèòñß, ò.å. ó íàñ åñòü ëèíåéíàß êîìáèíàöèß àâíàß íóë. Íî ñ ä óãîé ñòî îíû, λ 1 0. Çíà- èò, â íåé íå âñå êî ôôèöèåíòû íóëåâûå. Ïî òîìó èñõîäíàß ñèñòåìà u 1, u 2,...,u n òîæå ëèíåéíî çàâèñèìà (ñîãëàñíî îï åäåëåíè 5.2). Ïîäûòîæèì ïîëó åííûå åçóëüòàòû. Ñèñòåìà âåêòî îâ u 1, u 2,...,u n èç âåêòî íîãî ï îñò àíñòâà V ìîæåò áûòü ëèíåéíî çàâèñèìîé èëè ëèíåéíî íåçàâèñèìîé. Åñëè ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìà, òî íè îäèí âåêòî òîé ñèñòåìû íåëüçß âû àçèòü å åç îñòàëüíûå, âåêòî û íå çàâèñßò ä óã îò ä óãà. Ñ åäè âåêòî îâ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû îòñóòñòâóåò íóëåâîé âåêòî. Åñëè æå ñèñòåìà ëèíåéíî çàâèñèìà, òî êàêîé-ëèáî âåêòî òîé ñèñòåìû ìîæíî âû àçèòü å åç îñòàëüíûå, ò.å. îäèí âåêòî çàâèñèò îò ä óãèõ. Áîëåå òîãî, ï è äîáàâëåíèè ê ëèíåéíî çàâèñèìîé ñèñòåìå ë áîãî èñëà âåêòî îâ îíà îñòàåòñß ëèíåéíî çàâèñèìîé. Ðàññìîò èì ñëó àé, êîãäà ñèñòåìà âåêòî îâ u 1, u 2,...,u n ëèíåéíî íåçàâèñèìà, à ï è äîáàâëåíèè âåêòî à u n+1 ñòàíîâèòñß ëèíåéíî çàâèñèìîé. 5.7. Òåî åìà. Åñëè ëèíåéíî íåçàâèñèìàß ñèñòåìà âåêòî îâ u 1, u 2,...,u n ñòàíîâèòñß ëèíåéíî çàâèñèìîé ïîñëå äîáàâëåíèß ê íåé âåêòî à u n+1, òî âåêòî u n+1 ëèíåéíî âû àæàåòñß å åç âåêòî û u 1, u 2,...,u n. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî óñëîâè ñèñòåìà u 1, u 2,...,u n, u n+1 ëèíåéíî çàâèñèìà. Çíà èò, ñóùåñòâóåò íåò èâèàëüíàß ëèíåéíàß êîìáèíàöèß, àâíàß íóë : λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + + λ n u n + λ n+1 u n+1 = 0. (2.4)

6. Êîëëèíåà íûå âåêòî û 35 Åñëè λ n+1 0, òî ìû ìîæåì âû àçèòü âåêòî u n+1 å åç îñòàëüíûå: u n+1 = λ 1 u 1 λ 2 u 2 λ n u n, λ n+1 λ n+1 λ n+1 òî äîêàæåò ò åáóåìîå óòâå æäåíèå. Òàêèì îá àçîì, íàì äîñòàòî íî óáåäèòüñß, òî λ n+1 0. Äîïóñòèì, òî íå òàê è λ n+1 =0, òîãäà ñîîòíî åíèå (2.4) ï èíèìàåò âèä: λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + + λ n u n +0u n+1 = 0 λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + + λ n u n = 0. Íî âåêòî û u 1, u 2,...,u n ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ïî òîìó àâåíñòâî λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + + λ n u n = 0. (2.5) âîçìîæíî, òîëüêî êîãäà λ 1 = λ 2 = = λ n = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå êî ôôèöèåíòû â (2.4) íóëåâûå, òî ï îòèâî å èò ï åäïîëîæåíè î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ñèñòåìû u 1,...,u n+1. Çíà èò, ï åäïîëîæåíèå î λ n+1 =0ëîæíî è óòâå æäåíèå äîêàçàíî. 6. Êîëëèíåà íûå âåêòî û 6.1. Òåî åìà. Äâà âåêòî à u è v ëèíåéíîãî ï îñò àíñòâà V ëèíåéíî çàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ï îïî öèîíàëüíû, ò. å. íàéäåòñß èñëî λ (êî ôôèöèåíò ï îïî öèîíàëüíîñòè), äëß êîòî îãî u = λv. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëß äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñß òåî åìîé 5.5 â àñòíîì ñëó àå, êîãäà n =2. Èç íåå ñëåäóåò, òî ñèñòåìà èç äâóõ âåêòî îâ u è v ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòß áû îäèí èç âåêòî îâ (äëß îï åäåëåííîñòè áóäåì ñ èòàòü, òî òî âåêòî u) ßâëßåòñß ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ, ò.å. u = λv.

36 Òåìà 2 Ï îïî öèîíàëüíûå âåêòî û â åâêëèäîâîì ï îñò àíñòâå E 3 (ò. å. ï îñò àíñòâå íàï àâëåííûõ îò åçêîâ) èìå ò ñïåöèàëüíîå íàçâàíèå: êîëëèíåà íûå âåêòî û, íåñìîò ß íà òî, òî îï åäåëåíèå êîëëèíåà íîñòè çâó èò íåñêîëüêî èíà å. 6.2. Îï åäåëåíèå. Äâà âåêòî à a è b íàçûâà òñß êîëëèíåà íûìè 1, åñëè a b èëè a b (ò. å. åñëè îíè ñîíàï àâëåíû èëè ï îòèâîïîëîæíî íàï àâëåíû). Äîêàæåì, òî êîëëèíåà íûå âåêòî û ï îïî öèîíàëüíû. 6.3. Òåî åìà. Äâà âåêòî à a è b êîëëèíåà íû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ï îïî öèîíàëüíû, ò. å. íàéäåòñß èñëî λ, äëß êîòî îãî a = λ b èëè b = λ a. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü âåêòî û a è b êîëëèíåà íû, òîãäà a b èëè a b. Â êàæäîì èç òèõ ñëó àåâ ñîîòâåòñòâó ùèå ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè òèõ âåêòî îâ ëåæàò íà îäíîé èëè ïà àëëåëüíûõ ï ßìûõ. Ðàññìîò èì ñëó àé, êîãäà a 0. Ïî îï åäåëåíè óìíîæåíèß âåêòî à íà èñëî 3.1 âåêòî û a è λ a êîëëèíåà íû. Âîçüìåì λ òàêîå, òîáû λ = b a, ï è åì λ 0, åñëè a b è λ<0 åñëè a b. Òîãäà λ a = λ a = b a a = b. Åñëè a b, λ>0, òîãäà λ a a, ïî òîìó λ a b. Åñëè a b, λ<0, òîãäà λ a a, ïî òîìó λ a b. Òàê êàê ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè âåêòî îâ λ a è b ñîíàï àâëåíû, äëèíû èõ àâíû, òî òè âåêòî û àâíû: b = λ a,ò. å. âåêòî û a è b ï îïî öèîíàëüíû. Åñëè a = 0, òî èç àâåíñòâà a =0 b òàêæå ñëåäóåò, òî âåêòî û a è b ï îïî öèîíàëüíû. 2) Ïóñòü âåêòî û a è b ï îïî öèîíàëüíû, ò.å. íàéäåòñß èñëî λ, äëß êîòî îãî b = λ a. Òîãäà ïî îï åäåëåíè óìíîæåíèß âåêòî à íà èñëî 3.1 ï è λ 0 a λ a = b, à ï è 1 Ñëîâî êîëëèíåà íûå âîï åêè ñîâ åìåííîé ò àäèöèè íàïèñàíî âñåòàêè ï àâèëüíî. Ýòèìîëîãèß ñëîâà ï îñòà: òî, òî îòíîñèòñß ê îäíîé ëèíèè. Ôàêòè åñêè äîëæíî áûëî áû ïèñàòüñß êàê êîëèíå íûå.

7. Êîìïëàíà íûå âåêòî û 37 λ<0 a λ a = b, èëè ñîãëàñíî îï åäåëåíè 6.2 âåêòî û a è b êîëëèíåà íû. 6.4. Ñëåäñòâèå. Äâà âåêòî à a è b â åâêëèäîâîì ï îñò àíñòâå E 3 ëèíåéíî çàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè êîëëèíåà íû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî òåî åìå 6.1 âåêòî û ï îïî öèîíàëüíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ëèíåéíî çàâèñèìû, à ñîãëàñíî äîêàçàííîé òåî åìå 6.3 òî âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà òè âåêòî û êîëëèíåà íû. Ïî òîìó âåêòî û a è b ëèíåéíî çàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè êîëëèíåà íû. Î åâèäíî, òî èç ñëåäñòâèß 6.4 íåïîñ åäñòâåííî âûòåêàåò, òî äâà âåêòî à a è b â åâêëèäîâîì ï îñò àíñòâå E 3 ëèíåéíî íåçàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè íåêîëëèíåà íû. 7. Êîìïëàíà íûå âåêòî û Ñëåäó ùèé ïî ñëîæíîñòè ñëó àé ñèñòåìû âåêòî îâ μ òî ò è âåêòî à. Õîòåëîñü áû ïîëó èòü êàêîé-òî ßñíûé ê èòå èé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ò åõ âåêòî îâ a, b, c â åâêëèäîâîì ï îñò àíñòâå E 3.Íà íåì ñ îï åäåëåíèß. 7.1. Îï åäåëåíèå. Âåêòî û a, b è c â åâêëèäîâîì ï îñò àíñòâå E 3 íàçûâà òñß êîìïëàíà íûìè 2, åñëè èõ ãåîìåò è- åñêèå åàëèçàöèè ïà àëëåëüíû îäíîé ïëîñêîñòè. Îêàçûâàåòñß, êîìïëàíà íîñòü μ òî è åñòü íåîáõîäèìîå è äîñòàòî íîå óñëîâèå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ò åõ âåêòî îâ. Îá àòèòå âíèìàíèå! Åñëè äâà âåêòî à èç ò åõ (íàï èìå, a è b )êîëëèíåà íû, òî âñß ò îéêà ëèíåéíî çàâèñèìà èêîìïëàíà íà. Ñôî ìóëè óåì è äîêàæåì òî óòâå æäåíèå â âèäå òåî åìû. 2 Çäåñü îïßòü ï îßâëß òñß îñîáåííîñòè óñòà åâ åãî óññêîãî ßçûêà. Êîìïëàíà íîñòü îçíà àåò îòíî åíèå ê îäíîé ïëîñêîñòè, è äîëæíî ïèñàòüñß êàê êîïëàíà íîñòü.

38 Òåìà 2 7.2. Òåî åìà (î êîìïëàíà íûõ âåêòî àõ). Ò è âåêòî à a, b è c ëèíåéíî çàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè êîìïëàíà íû. Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïóñòü âåêòî û a, b è c ëèíåéíî çàâèñèìû. Òîãäà ñîãëàñíî òåî åìå 5.5 (ï è n =3) õîòß áû îäèí èç òèõ âåêòî îâ ßâëßåòñß ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ. Ïóñòü äëß îï åäåëåííîñòè òàêèì âåêòî îì áóäåò c (äëß ä óãèõ âåêòî îâ àññóæäåíèß ï îâîäßòñß àíàëîãè íî), òîãäà c = λ1 a + λ2 b. (2.6) Ðàññìîò èì ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè âåêòî îâ a, b è c â âèäå íàï àâëåííûõ îò åçêîâ OA, OB è OC ñîîòâåòñòâåííî ( èñ. 2.1). Îáîçíà èì å åç π ïëîñêîñòü, â êîòî îé ëåæàò ï ßìûå (OA) è (OB). Ðèñ. 2.1. Òåî åìà î êîìïëàíà íûõ âåêòî àõ Òàê êàê ñîãëàñíî îï åäåëåíè óìíîæåíèß âåêòî à íà èñëî (ñò. 14) íàï àâëåííûé îò åçîê λ 1OA = OA1 ëåæèò íà ï ßìîé (OA), òî îí ëåæèò â ïëîñêî- ñòè π. Àíàëîãè íî, íàï àâëåííûé îò åçîê λ 2OB = OB1 òàêæå ëåæèò â ïëîñêîñòè π. Ñêëàäûâàß íàï àâëåííûå îò åçêè λ 1OA è λ 2OB ïî ï àâèëó ïà àëëåëîã àììà 2.2, ïîëó àåì íàï àâëåííûé îò åçîê OC, òàêæå ëåæàùèé â ïëîñêîñòè π. C ä óãîé ñòî îíû, ñîãëàñíî ôî ìóëå (2.6) OC ßâëßåòñß ãåîìåò è åñêîé åàëèçàöèåé âåêòî à c. Òàêèì îá àçîì, ãåîìåò è åñêèå åàëèçàöèè âåêòî îâ a, b è c ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè π, ïî òîìó ïî îï åäåëåíè êîìïëàíà íîñòè 7.1 âåêòî û a, b è c êîìïëàíà íû. 2) Ïóñòü âåêòî û a, b è c êîìïëàíà íû. Åñëè õîòß áû äâà èç íèõ êîëëèíåà íû, òî ïî òåî åìå 5.6 è ñëåäñòâè 6.4 âåêòî û a, b è c ëèíåéíî çàâèñèìû. Ðàññìîò èì ñëó àé, êîãäà â ñèñòåìå âåêòî îâ a, b è c íåò êîëëèíåà íûõ. Ïóñòü

8. Áàçèñ 39 ãåîìåò è åñêèìè åàëèçàöèßìè âåêòî îâ a, b è c ßâëß òñß íàï àâëåííûå îò åçêè OA, OB è OC. å åç òî êó C ï îâåäåì ï ßìûå l 1 è l 2, ïà àëëåëüíûå ï ßìûì (OB) è (OA) ñîîòâåòñòâåííî (ñì. èñ. 2.1). Îáîçíà èì å åç A 1 è B 1 òî êè ïå åñå åíèß ï ßìûõ l 1 è l 2 ñîîòâåòñòâåííî ñ ï ßìûìè (OA) è (OB). Èç ïà àëëåëîã àììà OA 1 CB 1 ïî ï àâèëó 2.2 OC = OA 1 + OB 1. (2.7) Íàï àâëåííûå îò åçêè OA 1 è OA ßâëß òñß ãåîìåò è åñêèìè åàëèçàöèßìè êîëëèíåà íûõ âåêòî îâ a 1 è a,êîòî ûå ñîãëàñíî òåî åìå 6.3 ï îïî öèîíàëüíû, ò.å. a 1 = λ 1 a. OB1 è OB ßâëß òñß ãåîìåò è åñêèìè åàëèçàöèßìè êîëëèíåà íûõ âåêòî îâ b 1 è b, äëß êîòî ûõ ñîãëàñíî òåî åìå 6.3 âûïîëíßåòñß óñëîâèå ï îïî öèîíàëüíîñòè: b 1 = λ 2 b. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî (2.7) âåêòî c = λ 1 a + λ2 b, ò.å. ßâëßåòñß ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòî îâ a è b. Îòñ äà ïî òåî åìå 5.5 ñèñòåìà âåêòî îâ a, b è c ëèíåéíî çàâèñèìà. 7.3. Ñëåäñòâèå. Ë áûå ò è íåêîìïëàíà íûõ âåêòî à ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ï åäïîëîæèì, òî ò è íåêîìïëàíà íûõ âåêòî à èç E 3 ëèíåéíî çàâèñèìû. Òîãäà ïî äîêàçàííîé òåî åìå 7.2 âåêòî û a, b è c êîìïëàíà íû, òî ï îòèâî å èò ï åäïîëîæåíè. Ñëåäñòâèå äîêàçàíî. 8. Áàçèñ Â òîì è ñëåäó ùåì âîï îñàõ ìû îáñóäèì èçâåñòíûå è äàæå ãäå-òî âîëíó ùèå (äëß òåõ, êòî óâëåêàåòñß íàó íîé ôàíòàñòèêîé) òå ìèíû êîî äèíàòû è àçìå íîñòü. Åñëè ìíîãèå äîâîëüíî íåïëîõî ï åäñòàâëß ò ñåáå, òî òàêîå êîî äèíàòû (íàáî èñåë, îäíîçíà íî îï åäåëß ùèé ïîëîæåíèå òî êè), òî âîï îñ î òîì, òî òàêîå àçìå íîñòü, âûçûâàåò ñòîëáíßê â àóäèòî èè.

40 Òåìà 2 Ñ ä óãîé ñòî îíû, åñëè âñïîìíèòü, òî ï ßìàß îäíîìå íà, ïëîñêîñòü äâóìå íà, à ï îñò àíñòâî ò åõìå íî, òî ëåãêî ï èéòè ê âûâîäó, òî àçìå íîñòü μ òî êîëè åñòâî ñòåïåíåé ñâîáîäû, êîòî ûå íóæíî çàôèêñè îâàòü, òîáû îäíîçíà íî çàäàòü ïîëîæåíèå òî êè. Â âåêòî íîé àëãåá å âåêòî û óäîáíî çàäàâàòü óïî ßäî åííûì íàáî îì èñåë. Âûßñíèì êàê òî ìîæíî ñäåëàòü. Ðàññóæäåíèß áóäåì ï îâîäèòü äëß àáñò àêòíîãî âåêòî íîãî ï îñò àíñòâà, íî âû ìîæåòå ï åäñòàâëßòü ñåáå E 3. 8.1. Îï åäåëåíèå. Ñèñòåìà âåêòî îâ u 1, u 2,...,u n âåêòî íîãî ï îñò àíñòâà V íàçûâàåòñß ïîëíîé, åñëè ë áîé âåêòî u V ëèíåéíî âû àæàåòñß å åç íèõ: u V, λ 1,...,λ n R : u = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + + λ n u n. Ðèñ. 2.2. Î ïîëíîòå ñèñòåìû âåêòî îâ, ñîñòîßùåé èç îäíîãî âåêòî à Âîçüìåì, íàï èìå, âåêòî û, ïà àëëåëüíûå ôèêñè îâàííîé ï ßìîé l, è âûáå åì êàêîé-íèáóäü îäèí íåíóëåâîé èç íèõ, ñêàæåì, e ( èñ. 2.2). Ðàññìîò èì òåïå ü ï îèçâîëüíûé âåêòî a, ãåîìåò è åñêàß åàëèçàöèß êîòî îãî ëåæèò íà ï ßìîé, ïà àëëåëüíîé l. Òîãäà a è e êîëëèíåà íû, à çíà èò, ïî òåî åìå 6.3 îíè ï îïî öèîíàëüíû: a = λ e. Òàêèì îá àçîì, ë áîé âåêòî, ïà àëëåëüíûé l, ëèíåéíî âû- àæàåòñß å åç e.çíà èò, ñîãëàñíî îï åäåëåíè 8.1 ñèñòåìà, ñîñòîßùàß èç îäíîãî âåêòî à e, ßâëßåòñß ïîëíîé äëß âåêòî îâ, ïà àëëåëüíûõ ï ßìîé l. 8.2. Ï åäëîæåíèå. Ë áûåäâàíåêîëëèíåà íûõâåêòî à íà ïëîñêîñòè îá àçó ò ïîëíó ñèñòåìó äëß âåêòî îâ, ïà àëëåëüíûõ òîé ïëîñêîñòè.