ÈËÓ Ó ÌÈ ÂÓ ÔÂÏÈÓ ÂȈ appleâù Â Ó Â Â ÌÈËÙ Ó Â ÁÒÂapple ÌÈ Â È Â Â ÈÂÒÈapple  Ó
תוכן העניינים 7 9 6 0 8 6 9 55 59 6 מושגים בסיסיים... אינטרוולים וסביבות... מאפיינים של פונקציות... סוגי הפונקציות ותכנותיהם... משפחות של פונקציות... גבול של פונקציה ורציפות של פונקציה... חישוב גבולות... אסימפטוטות לגרף הפונקציה... נגזרת של פונקציה... משיק לגרף הפונקציה... חקירת פונקציות בשילוב אנליזה... אינטגרל ופונקציה קדומה... חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים... מפתח א-ב...
מושגים בסיבסיסיים הגדרות ותיאורים אם משתנה y תלוי במשתנה כך שלכל ערך של מתאים ערך אחד ויחיד של המשתנה y, (הערך של מגדיר את הערך של y), כלומר, אם ידועה שיטה למציאת הערך של y לכל ערך של, אז אומרים שהמשתנה y הוא פונקציה של המשתנה.y=f() : המשתנה נקרא המשתנה הבלתי תלוי והמשתנה y נקרא המשתנה התלוי (הפונקציה). דוגמאות מחיר נסיעה במונית הוא פונקציה של אורך הדרך שעברה המונית בנסיעה. אורך הדרך הוא המשתנה הבלתי תלוי ומחיר הנסיעה הוא המשתנה התלוי. שטח של עיגול הוא פונקציה של רדיוס העיגול. רדיוס העיגול הוא המשתנה הבלתי תלוי ושטח העיגול הוא המשתנה התלוי. מחיר מברק הוא פונקציה של מספר המילים במברק. מספר המילים הוא המשתנה הבלתי תלוי ומחיר המברק הוא המשתנה התלוי. אורך עמוד הכספית במד חום הוא פונקציה של הטמפרטורה. הטמפרטורה היא המשתנה הבלתי תלוי ואורך עמוד הכספית הוא המשתנה התלוי..... קבוצת כל הערכים של המשתנה הבלתי תלוי נקראת תחום הפונקציה (תחום ההגדרה). בדוגמאות לעיל: בדוגמאות ו-, תחום ההגדרה של הפונקציות הנתונות הוא כל המספרים החיוביים. בדוגמה תחום ההגדרה הוא כל המספרים הטבעיים. בדוגמה תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים... קבוצת כל ערכי הפונקציה (המשתנה התלוי), או כל קבוצה המכילה אותה, נקראתטווח הפונקציה. בדוגמה, טווח הפונקציה הוא כל המספרים הממשיים הגדולים מהמחיר ההתחלתי. בדוגמה ובדוגמה, טווח הפונקציה הוא כל המספרים החיוביים. אם הפונקציה היא קבועה, אז הטווח יכול להיות קבוצה המכילה ערך אחד או כל קבוצה המכילה את הערך הזה..
הגדרות ותיאורים ייצוג אלגברי של פונקציה הוא שיטה להצגת הפונקציה בעזרת נוסחה (או כמה נוסחאות) המאפשרת למצוא את ערכי הפונקציה. דוגמאות. f()= -5. g()= +. h () =, 0, < 0-0. y 5 7. ייצוג גרפי של הפונקציה הוא שיטה להצגת הפונקציה כאוסף נקודות במערכת צירים, כך ששיעור ה- של כל נקודה הוא ערך המשתנה הבלתי תלוי, ושיעור ה- y של כל נקודה הוא ערך הפונקציה. אוסף של כל הנקודות הללו נקרא גרף הפונקציה. בגרף הפונקציה אפשר לראות כל מיני תכונות ומאפיינים של הפונקציה. טבלת הערכים של פונקציה היא שיטה להצגת הפונקציה בעזרת טבלה, שבה ליד ערך של המשתנה הבלתי תלוי מופיע ערך הפונקציה המתאים לו. אם לכל ערך של הפונקציה y=f() קיים ערך יחיד. של המשתנה המתאים לו, כלומר, לערכים שונים של מתאימים ערכים שונים של y, אז הפונקציה y=f() נקראת פונקציה חד חד ערכית. הפונקציה f()= היא פונקציה חד חד ערכית, כי לכל שני ערכים שונים של מתאימים ערכים שונים של y: אם אז. הפונקציה g()= איננה פונקציה חד חד ערכית, כי קיימים ערכים שונים של שמתאים להם אותו ערך של y. למשל, g()=g(-)=.
הגדרות ותיאורים אם y=f() היא פונקציה חד חד ערכית, אז המשתנה הוא גם פונקציה של המשתנה y: =g(y). הפונקציה הזאת נקראת הפונקציה ההפוכה לפונקציה.f() לפונקציה שאיננה חד חד ערכית לא קיימת פונקציה הפוכה. דוגמאות הפונקציה: מחיר הנסיעה הוא פונקציה של אורך הדרך. לכל אורך דרך נתון אפשר לחשב את מחיר הנסיעה. הפונקציה ההפוכה: אורך הדרך הוא פונקציה של המחיר. לכל מחיר נסיעה נתון אפשר לחשב את מרחק הנסיעה. הפונקציה: המשקל שלי הוא פונקציה של הגיל שלי. בכל גיל יש לי משקל מסוים. בשנתיים האחרונות המשקל שלי לא השתנה. מכאן שלפונקציה הזאת אין פונקציה הפוכה, כי בגילים שונים היה לי אותו משקל. הפונקציה: f() = איננה פונקציה חד חד ערכית בתחום של כל המספרים הממשיים. בתחום הזה אין לה פונקציה הפוכה. אבל בתחום המספרים החיובים, הפונקציה f()= היא פונקציה חד חד ערכית והפונקציה ההפוכה שלה היא:. g () =... כדי למצוא את הפונקציה ההפוכה לפונקציה הנתונה בייצוג אלגברי יש לבטא את המשתנה הבלתי תלוי באמצעות המשתנה התלוי (בדרך כלל, את המשתנה באמצעות המשתנה y). מצאו את הפונקציה ההפוכה לפונקציה.y=- y + נחלץ את, ונקבל:,=y+. = זוהי הפונקציה ההפוכה לפונקציה הנתונה. אפשר גם להחליף את סימון המשתנים: +. y = בצורה גרפית: הגרפים של שתי פונקציות הפוכות הם סימטריים ביחס לישר.y= 5
. הגדרות ותיאורים פונקציה שמוצגת על-ידי משוואה מהצורה 0=(y f(, נקראת פונקציה סתומה. שימו לב! לא כל משוואה מהצורה 0=(y f(, מגדירה פונקציה. דוגמאות המשוואה +y=0 מגדירה פונקציה סתומה כי לכל ערך של אפשר למצוא ערך יחיד של y שהוא השורש היחיד של המשוואה הליניארית. למשל, אם = אז - =y וכו' המשוואה 0=- y אינה מגדירה פונקציה כי ישנם ערכי שעבורם יש לפונקציה שני ערכים של y (ולא ערך יחיד). למשל, עבור =, גם =y וגם -=y מקיימים את המשוואה.. פונקציה קבועה היא פונקציה שהטווח שלה כולל רק מספר אחד, כלומר, לכל ערכי מתאים אותו ערך של הפונקציה. הגרף של פונקציה קבועה הוא קו ישר המקביל לציר ה- X. אם המשתנה y הוא פונקציה של, כלומר.,y=f() והמשתנה z הוא פונקציה של y, כלומר,z=g(y) אז לכל ערך של מתאים ערך מסוים של. z פירוש הדבר שהמשתנה z גם הוא פונקציה של :.z=g(f()) פונקציה זו נקראת פונקציה מורכבת. יש לי שטר של 00 ש"ח ואני רוצה לקנות גבינה. מחיר הקנייה הוא פונקציה של משקל הגבינה:.y=f() העודף שאקבל מ- 00 ש"ח הוא פונקציה של מחיר הקנייה:.z=g(y) לכן, העודף שאקבל מ- 00 ש"ח גם הוא פונקציה של משקל הגבינה: z=g(f()) אם f()= ו-,g(y)=5y- אז.f(g(y))=(5y-),g(f())=5 -. 6
וסביבות אינטרוולים הגדרות ותיאורים ציר המספרים קו ישר שמוגדרים עליו נקודת אפס וקטע יחידה. לכל נקודה על ציר המספרים אפשר למצוא את שיעור הנקודה, ולכל מספר ממשי אפשר למצוא נקודה המתאימה לו על ציר המספרים. קטע יחידה דוגמאות 0 אינטרוול סגור b] a b [a, הוא אוסף כל המספרים הגדולים מ- a או שווים לו וקטנים מ- b או שווים לו. כלומר, כל הנקודות המקיימות a. b. האינטרוול [,0] כולל את המספרים 0, ואת כל המספרים שביניהם. למשל: 0.,, וכו'.. האינטרוול [,] אינו כולל מספרים כלל (הקבוצה הריקה) כי אין מספרים הגדולים מ- וקטנים מ-.. האינטרוול (,0) כולל את כל המספרים שבין 0 ו- ולא כולל 0 ו-.. האינטרוול (,) אינו כולל מספרים (הקבוצה הריקה) כי אין מספרים הגדולים מ- וקטנים מ-. אינטרוול פתוח a b (b,a) הוא אוסף כל המספרים הגדולים מ- a וקטנים מ- b. כלומר, כל הנקודות המקיימות.a<<b. האינטרוול [,-) כולל את כל המספרים שבין - ו- ולא כולל -.. האינטרוול (,] כולל את כל המספרים שבין ו- ולא כולל. a a b b אינטרוול חצי פתוח (חצי סגור) [b,a) ) b) [a, ( הוא אוסף כל המספרים המקיימים.(a < b ) a< b a 7
(-, ) הגדרות ותיאורים אינטרוולים אינסופיים (a, -) כולל את כל המספרים המקיימים. <a [a, -) כולל את כל המספרים המקיימים. a (,a) כולל את כל המספרים המקיימים. >a (,a] כולל את כל המספרים :. a דוגמאות כולל את כל המספרים המקיימים [5, -) כולל את כל המספרים המקיימים (,-) כולל את כל המספרים (,0] כולל את כל המספרים. <. 5. המקיימים >- המקיימים. 0 סביבה של נקודה היא אינטרוול פתוח המכיל את הנקודה. האינטרוול ) δ (a- δ, a+ נקרא -δ סביבה של נקודה a. סביבה נקובה של נקודה היא סביבה של הנקודה ללא הנקודה עצמה. האינטרוול הפתוח (5,) הוא סביבה של. האינטרוול הפתוח ) δ (a- δ, a+ הוא -δ סביבה של נקודה a. התחום (,.) U 0.8,) ( נקודה : הוא סביבה נקובה של סביבה של אינסוף היא קבוצת כל המספרים הגדולים ממספר כלשהו:.(m, ) האינטרוול (,) הוא סביבה של אינסוף. סביבה של מינוס אינסוף היא קבוצת כל המספרים הקטנים ממספר כלשהו: (m, -). האינטרוול (, -) הוא סביבה של מינוס אינסוף. 8
מאפיינים של פונקציות לחקור פונקציה פירושו למצוא את כל המאפיינים שלה. הגדרות ותיאורים צורה סימבולית והערות פונקציה עולה בתחום לכל זוג ערכים של בתחום אם מתקיים: אם, > אז.f( )>f( ) פונקציה יורדת בתחום לכל זוג ערכים של בתחום מתקיים: אם, > אז f( )<f( ) צורה גראפית ודוגמאות פונקציה עולה בתחום מסוים אם הגרף שלה עולה בכיוון משמאל לימין. פונקציה יורדת בתחום מסוים אם הגרף שלה יורד בכיוון משמאל לימין. פונקציה f() היא פונקציה עולה מונוטונית בתחום מסוים A, אם למשתנה בלתי תלוי גדול יותר בתחום מתאים משתנה תלוי (ערך הפונקציה) גדול יותר בטווח. פונקציה f() היא פונקציה יורדת מונוטונית בתחום מסוים A, אם למשתנה בלתי תלוי גדול יותר בתחום מתאים משתנה תלוי (ערך הפונקציה) קטן יותר בטווח. פונקציה f() עולה (יורדת) בנקודה מסוימת, אם קיימת סביבה של הנקודה שבה הפונקציה עולה (יורדת). פונקציה עולה (יורדת) בתחום מסוים אם ורק אם היא עולה (יורדת) בכל נקודה בתחום. אם הפונקציה עולה בתחום מסוים, היא עולה בכל נקודה בתחום הזה. אם הפונקציה עולה בכל נקודה של תחום מסוים, היא פונקציה עולה בתחום כולו. הפונקציה עולה בנקודה ויורדת בנקודה 0. 9
הגדרות ותיאורים צורה סימבולית והערות היא נקודת מקסימום (נקודת מינימום) של הפונקציה f() אם קיימת סביבה של הנקודה כך שלכל נקודה בסביבה, השונה מהנקודה ושייכת לתחום ההגדרה, מתקיים: )<f() f(.(f( )>f()) צורה גראפית ודוגמאות לפונקציה הנתונה יש מקסימום מקומי בנקודה - = (הנקודה שבה גרף הפונקציה הוא הגבוה ביותר בסביבה). לפונקציה הנתונה יש מינימום מקומי בנקודה = (הנקודה שבה גרף הפונקציה הוא הנמוך ביותר בסביבה).. לפונקציה f() יש מקסימום מקומי בנקודה אם קיימת סביבה של הנקודה שבה ערך הפונקציה בנקודה גדול מכל ערכי הפונקציה האחרים בסביבה. נקראת נקודת מקסימום.. לפונקציה f() יש מינימום מקומי בנקודה אם קיימת סביבה של הנקודה שבה ערך הפונקציה בנקודה קטן מכל ערכי הפונקציה האחרים בסביבה. נקראת נקודת מינימום. נקודות מקסימום מקומי ונקודות מינימום מקומי של הפונקציה נקראות נקודות הקיצון שלה. בדרך כלל, נקודת קיצון של פונקציה היא נקודה שבה משתנה האפיון של הפונקציה מפונקציה עולה לפונקציה יורדת או להפך. לפונקציה בסרטוט יש שלוש נקודות קיצון: שתי נקודות מינימום ונקודת מקסימום אחת. אם הערך של הפונקציה f() בנקודה גדול (קטן) מכל ערכי הפונקציה האחרים בתחום נתון, היא נקודת המקסימום המוחלט (נקודת המינימום המוחלט) בתחום הנתון. אם פונקציה f() היא פונקציה רציפה בתחום מסוים, אז נקודת המקסימום (המינימום) המוחלט שלה בתחום הזה היא נקודת המקסימום (המינימום) המקומי או אחת מנקודות הקצה של התחום הנתון. הנקודה 6= שהיא נקודת קצה של האינטרוול הנתון, והיא נקודת המקסימום המוחלט של הפונקציה בתחום הנתון (לנקודה 6= מתאימה הנקודה הכי גבוה של הגרף בתחום). הנקודה =, שהיא נקודת מינימום מקומי, היא נקודת המינימום המוחלט של הפונקציה בתחום. (לנקודה = מתאימה הנקודה הכי נמוכה של הגרף בתחום). 0
הגדרות ותיאורים נקודת אפס של פונקציה היא נקודה כזו שערך הפונקציה המתאים לה שווה לאפס: 0=(.f( צורה סימבולית והערות כדי למצוא נקודות אפס של פונקציה f() יש לפתור את המשוואה.f()= 0 צורה גראפית ודוגמאות בסרטוט, = היא נקודת אפס של הפונקציה הנתונה: 0=()f. נקודת אפס היא נקודת חיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- X. תחום חיוביות (שליליות) של פונקציה הוא חלק מתחום ההגדרה של הפונקציה שבו כל ערכי הפונקציה חיוביים (שליליים). כדי למצוא תחום חיוביות של פונקציה f() יש לפתור את האי- שוויון.f()>0 כדי למצוא תחום שליליות של פונקציה f() יש לפתור את האי- שוויון.f()< 0 בסרטוט מופיע הגרף של פונקציה נתונה באינטרוול [,-]. האינטרוול (,-] הוא תחום שליליות של הפונקציה (הגרף נמצא מתחת לציר ה- X ). האינטרוול [,) הוא תחום חיוביות של הפונקציה (הגרף נמצא מעל לציר ה- X ). פונקציה זוגית היא פונקציה שעבורה f(-)=f() לכל ערכי בתחום ההגדרה שלה. פונקציה אי-זוגית היא פונקציה שעבורה -f() f(-)= לכל ערכי בתחום ההגדרה שלה. בחקירה של פונקציה זוגית או אי-זוגית, אפשר לחקור את הפונקציה רק עבור 0 ולקבל אוטומטית את כל המאפיינים של הפונקציה עבור 0>. גרף של פונקציה זוגית הוא גרף סימטרי ביחס לציר ה- Y. גרף של פונקציה אי- זוגית הוא גרף סימטרי ביחס לראשית הצירים.
הגדרות ותיאורים פונקציה f() נקראת פונקציה מחזורית אם קיים מספר p השונה מאפס כך שלכל בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים: p)=f().f(+ המספר p נקרא מחזור הפונקציה. המחזור החיובי הקטן ביותר נקרא המחזור היסודי של הפונקציה. אם קיימת סביבה של הנקודה כך שמשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה נמצא מתחת גרף הפונקציה בסביבה זו, אומרים שהפונקציה f() קמורה בנקודה. אם קיימת סביבה של הנקודה כך שמשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה נמצא מעל גרף הפונקציה בסביבה זו, אומרים שהפונקציה f() קעורה בנקודה. צורה סימבולית והערות בחקירה של פונקציה מחזורית בעלת מחזור p, אפשר לחקור אותה רק בתחום [p,0], ולקבל באופן אוטומטי את כל המאפיינים של הפונקציה עבור תחומים אחרים. פונקציה היא קמורה בנקודה אם קצב השינוי שלה עולה בנקודה זו. פונקציה היא קעורה בנקודה אם קצב השינוי שלה יורד בנקודה זו. צורה גראפית ודוגמאות בגרף של פונקציה מחזורית, חלק של הגרף חוזר על עצמו אינסוף פעמים. הפונקציות הנתונות להלן הן קעורות בנקודות המסומנות. הפונקציות הנתונות להלן הן קמורות בנקודות המסומנות. הנקודה = היא נקודת פיתול של הפונקציה המופיעה בסרטוט. אם קיימת סביבה של הנקודה כך שמשמאל (מימין) לנקודה, המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה נמצא מתחת לגרף, ומימין (משמאל) לנקודה המשיק נמצא מעל הגרף, אז הנקודה נקראת נקודת פיתול של גרף הפונקציה. בנקודת פיתול, הפונקציה משתנה מפונקציה קמורה לקעורה או להפך.
קווית פונקציה פונקציה שניתן להציג אותה בצורה f()=m +n ליניארית (פונקציה קווית). הגרף של פונקציה ליניארית הוא קו ישר. בפונקציה, כאשר m ו- n הם פרמטרים, נקראת פונקציה f()=m+n המקדם m נקרא השיפוע של גרף הפונקציה הליניארית. השיפוע m מציג את אופי הפונקציה (עולה או יורדת) ואת קצב ההשתנות שלה: ככל שערכו המוחלט של השיפוע גדול יותר, קצב ההשתנות של הפונקציה גדול יותר. m=0 m<0 m>0 הקו הישר יוצר זווית חדה עם הכיוון החיובי של ציר ה X. הקו הישר יוצר זווית קהה עם הכיוון החיובי של ציר ה X. הקו הישר מקביל לציר ה X. בפונקציה f()=m+n המקדם n מגדיר את שיעור ה- y של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- Y. כל קו ישר במערכת צירים שאינו מקביל לציר ה - Y, מוגדר על ידי פונקציה ליניארית,f()= m +n כאשר m הוא שיפוע הקו הישר ו -n הוא שיעור y של נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-.Y קו ישר המקביל לציר ה- Y אפשר לתאר על ידי משוואה מהצורה =a (כאשר a הוא פרמטר), והוא אינו פונקציה ליניארית (כי לאותו ערך של מתאימים ערכים רבים של הגרף אינו מתאר פונקציה:.(y
ה, טבלת הערכים של פונקציה ליניארית בטבלת הערכים של פונקציה ליניארית אפשר לראות את השינוי של הפונקציה הליניארית: השינוי של הפונקציה שווה לשיפוע שלה כאשר משנים את ערך ה- ביחידה. דוגמה: נתונה הפונקציה הליניארית,f()=- שהשיפוע שלה הוא. 5 7 5 0 - - -5 - -7 y בטבלת הערכים של הפונקציה אפשר לראות שבכל פעם שהערך של גדל ב- ערך של f() גדל ב-. מקרים מיוחדים כאשר בייצוג f()=m+n 0=n, הקו הישר עובר דרך ראשית הצירים. כאשר בייצוג f()=m+n 0=m, הקו הישר מקביל לציר ה- X. כאשר בייצוג f()=m+n 0=n וגם 0=m, הקו הישר מתלכד עם ציר ה- X.
ליניאריות בייצוגים שונים דוגמאות של פונקציות ייצוג אלגברי ערכי הפרמטרים ייצוג גרפי טבלת ערכים - 0-5 - -8 - - y m=, n=-5 השיפוע f ()=-5 הפרש בין ערכי y -7-5 0 - - - - y m=-, n=- - השיפוע g ()= -- הפרש - בין ערכי y 6 6 0 6-6 - 6 y m=0, n=6 השיפוע 0 h ()=6 y לא משתנה. הפרש 0 בין ערכי y 8 0 0 - - - -8 y m=, n=0 השיפוע p ()= הפרש בין ערכי y 5
פונקציה ריבועית פונקציה שניתן להציג אותה בצורה, f()=a +b+c כאשר,a,b c הם פרמטרים ו- a 0 (הצורה הפולינומית של הפונקציה), נקראת פונקציה ריבועית (פונקציה ממעלה שנייה). הגרף של פונקציה ריבועית הוא פרבולה. בפרבולה קיימת תמיד נקודת מינימום או נקודת מקסימום. הנקודה הזאת נקראת קדקוד הפרבולה. שיעורי קדקוד הפרבולה הם: = b a, y b = c a שני חלקי הפרבולה היוצאים מהקדקוד נקראים ענפי הפרבולה. 6
על הגרף השפעת מקדמי הפונקציה f()=a +b+c הסימן של המקדם a מגדיר את כיוון הפרבולה: אם 0<a, קדקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום; אם 0>a, קדקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום. הערך המוחלט של המקדם a משפיע על קצב ההשתנות של הפונקציה (התלילות של ענפי הפרבולה). a>0 קדקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום a<0 קדקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום a =0. a = קצב ההשתנות של הפונקציה הימנית גבוה מקצב ההשתנות של הפונקציה השמאלית. b= a= b > 0 a b=- a= b < 0 a b=0 המקדם b משפיע על מיקומו של קדקוד הפרבולה: שיעור ה- של קדקוד הפרבולה b הוא. a אם 0=b, גרף הפונקציה סימטרי ביחס לציר ה- Y. הפרבולה סימטרית ביחס לציר ה- X c<0 c=0 c>0 המקדם c שווה לשיעור ה- y של נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- y. אם 0=c, גרף הפונקציה עובר דרך ראשית הצירים. 7
והחיתוך של הפרבולה נקודות האפס של הפונקציה f()=a +b+c עם ציר הה- X מספר נקודות האפס של פונקציה ריבועית תלוי בסימן הביטוי b. -ac הביטוי נקרא דיסקרימיננטה והוא מסומן ב-. אם 0<, לפונקציה יש שתי נקודות אפס. הפרבולה חותכת את ציר ה- X בשתי נקודות. a<0 a>0 a<0 a>0 אם 0>, לפונקציה אין נקודות אפס. הפרבולה אינה חותכת את ציר ה- X. a<0 a>0 אם 0=, לפונקציה יש נקודת אפס אחת. הפרבולה משיקה לציר ה- X. תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f()=a +b+c עבור 0<a, הפונקציה יורדת בתחום ) (, b a b ועולה בתחום ), (. a b היא נקודת מינימום. a b (, ) a 0>a, עבור ויורדת בתחום הפונקציה עולה בתחום b. (, ) a היא נקודת מקסימום. b a צורות ייצוג נוספות של פונקציה ריבועית הצורה הקדקודית:.f()=a(-v) p+ בייצוג זה, (p, v) הם שיעורי קדקוד הפרבולה. אם לפונקציה הריבועית יש שתי נקודות אפס r ו- s, אפשר להציג אותה גם בצורת המכפלה:. f()=a(-r)(-s) 8
פונקצית החזקה פונקצית החזקה היא פונקציה מהצורה,f()= n כאשר n הוא מספר טבעי קבוע. צורת הגרף והמאפיינים של פונקציית חזקה תלויים בחזקה n. קיימים שני מקרים:. אם n הוא מספר זוגי, הפונקציה f()= n היא פונקציה זוגית והטווח שלה הוא (,0]. כל ערכי הפונקציה הם מספרים לא שליליים. לכל פונקציה מהסוג הזה יש מינימום בנקודה (0,0). גרף הפונקציה סימטרי ביחס לציר ה- Y.. אם n הוא מספר אי-זוגי, הפונקציה f()= n היא פונקציה אי- זוגית והטווח שלה הוא (, -). הפונקציה מקבלת את כל הערכים הממשיים. כל פונקציה מהסוג זה עולה מונוטונית בכל התחום. גרף הפונקציה הוא בעל סימטריה סיבובית ביחס לראשית הצירים. 9
פולינום פונקציית פונקציית פולינום היא פונקציה מהצורה f()=a 0 n +a n- 0, a, a n כאשר a הם מספרים כלשהם. + +a n תחום ההגדרה של כל פונקציות הפולינום הוא כל המספרים הממשיים: (, -).. (, b] או [ a, הטווח של פונקציית פולינום ממעלה זוגי הוא אינטרוול אינסופי חצי פתוח: (. (, הטווח של פונקציית פולינום ממעלה אי-זוגי הוא קבוצה של כל המספרים הממשיים: ( כל פונקציית פולינום היא רציפה בכל התחום. לפולינום ממעלה n יכולות להיות לכל היותר (-n) נקודות קיצון (נקודות מקסימום או מינימום). לגרף של פונקציית פולינום אין אסימפטוטות. לחקירת פונקציית הפולינום נוח להשתמש בנגזרת. להלן דוגמאות של שלוש פונקציות פולינום: + 6 5 שלוש נקודות קיצון הטווח מוגבל מצד אחד שתי נקודות קיצון הטווח אינסופי משני הצדדים אין נקודות קיצון הטווח אינסופי משני הצדדים 0
פונקציית מנה פונקציית מנה (פונקציה רציונאלית) היא פונקציה מהצורה p() f () = q() כאשר p() ו- q() הם פולינומים. תחום ההגדרה של פונקציית מנה הוא כל המספרים הממשיים חוץ ממספרים שמאפסים את המכנה q(). כל נקודות האפס של המכנה הן גם נקודות אי-רציפות של פונקציית המנה. במקרה כזה הגרף של פונקציית המנה מורכב מכמה ענפים. בכל נקודת אפס של המכנה שהמונה בה שונה מאפס, לגרף פונקציית המנה יש אסימפטוטה אנכית. אם מעלת המונה קטנה או שווה למעלת המכנה, לגרף הפונקציה יש גם אסימפטוטה אופקית. אם מעלת המונה גדולה באחד ממעלת המכנה, לגרף הפונקציה יש גם אסימפטוטה משופעת. לחקירת פונקציה המנה יש להשתמש בנגזרת ובאסימפטוטות. להלן שלוש דוגמאות של פונקציית מנה: + אסימפטוטה אחת אנכית ואחת משופעת טווח אינסופי משני הצדדים שני ענפים שתי אסימפטוטות אנכיות טווח אינסופי משני הצדדים שלושה ענפים + אסימפטוטה אופקית-ציר X פונקציה רצופה טווח מוגבל
פונקציית הערך המוחלט פונקציית הערך המוחלט מוגדרת על ידי f()=. הגרף של הפונקציה מורכב משתי קרניים שראשן בראשית הצירים. הערך המינימאלי של הפונקציה הוא אפס. בתחום 0>, הפונקציה יורדת. בתחום 0<, הפונקציה עולה., > 0 f () הנגזרת של הפונקציה נתונה על ידי : =, < 0 בנקודה 0=, לפונקציית הערך המוחלט אין נגזרת. פונקציית הערך המוחלט של פונקציה כלשהי הפונקציה f(), =y פונקציית הערך המוחלט של הפונקציה,f() היא פונקציה לא שלילית בכל התחום f (), f() 0 f () = ומקיימת: f (), f() < 0 ולכן, כדי לקבל את גרף הפונקציה,y= f() יש לשקף ביחס לציר ה- X את חלקי הגרף של הפונקציה הנמצאים מתחת לציר ה- X. y=f() y = log y = y = דוגמאות: y = log y = y =
פונקציות טריגונומטריות הפונקציה f()=sin תחום הפונקציה: כל המספרים הממשיים (, -). טווח הפונקציה: ] [-,. לכל ערכי.- sin, פונקציה אי זוגית: sin(-)=-sin לכל ערכי. גרף הפונקציה הוא בעל סימטרייה סיבובית ביחס לראשית הצירים. פונקציה מחזורית בעלת מחזור יסודי של sin(+π)=sin π: לכל ערכי. נקודות אפס: לפונקציה יש אינסוף נקודות אפס ששיעוריהן,=πn כאשר n הוא מספר שלם. תחומי חיוביות: π(n+)] [πn,, כאשר n מספר שלם. תחומי שליליות: πn],[π(n-), כאשר n מספר שלם. π נקודות מקסימום: πn,) + (, כאשר n מספר שלם. π πn, + (, כאשר n מספר שלם. נקודות מינימום: ( π π πn, + (, כאשר n מספר שלם. תחומי עלייה: πn) + גרף הפונקציה f()=sin π π πn, + (, כאשר n מספר שלם. תחומי ירידה: πn) + הפונקציה f()=cos תחום הפונקציה: כל המספרים הממשיים (, -). טווח הפונקציה: ] [-,. לכל ערכי.- cos, פונקציה זוגית: cos (-)=cos לכל ערכי. גרף הפונקציה סימטרי ביחס לציר ה- Y. פונקציה מחזורית בעלת מחזור יסודי של cos(+π)=cos π: לכל ערכי. π נקודות אפס: לפונקציה יש אינסוף נקודות אפס ששיעוריהן, = + πn כאשר n מספר שלם. π π πn, + (, כאשר n מספר שלם. תחומי חיוביות: πn) + π π πn, + (, כאשר n מספר שלם. תחומי שליליות: πn) + נקודות מקסימום: πn,) (, כאשר n מספר שלם. ( π(n כאשר n מספר שלם. ), נקודות מינימום:, (- תחומי עלייה: πn],[π(n-), כאשר n מספר שלם. תחומי ירידה: π(n+)],[πn, כאשר n מספר שלם. גרף הפונקציה f()=cos
הפונקציה f()=tan π תחום הפונקציה: כל המספרים הממשיים חוץ ממספרים מהצורה. = + πn טווח הפונקציה: ) (-,. פונקציה אי זוגית: tan (-)=-tan לכל ערכי. גרף הפונקציה סימטרי ביחס לראשית הצירים. פונקציה מחזורית בעלת מחזור יסודי של tan(+π)=tan π: לכל ערכי. נקודות אפס: לפונקציה יש אינסוף נקודות אפס ששיעוריהן, = πn כאשר n מספר שלם. π πn, (, כאשר n מספר שלם. תחומי חיוביות: πn) + π πn, + (, כאשר n מספר שלם. תחומי שליליות: πn) לפונקציה אין נקודות מקסימום או מינימום. π π, ( + πn, פונקציה רציפה בכל תחום πn) + כאשר n מספר שלם. גרף הפונקציה f()=tan π π, ( + πn, פונקציה עולה בכל תחום πn) + כאשר n מספר שלם.
הפונקציה המעריכית פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה, f () = a כאשר a הוא מספר חיובי השונה מ-. a< a> הגרף של כל פונקציה מעריכית עובר דרך הנקודה (,0). a עולה אם <a, הפונקציה מונוטונית בכל התחום. a יורדת אם >a, הפונקציה מונוטונית בכל התחום. הפונקציה יורדת הפונקציה עולה תחום ההגדרה של כל הפונקציות המעריכיות הוא כל המספרים הממשיים: (, -). טווח הפונקציות המעריכיות הוא כל המספרים החיובים: (,0). הלוגריתמית הפונקציה הפונקציה הלוגריתמית היא פונקציה מהצורה, f () = log a כאשר הבסיס a הוא מספר חיובי השונה מ-. הפונקציה log a היא הפונקציה ההפוכה לפונקציה המעריכית a. תחום ההגדרה של כל הפונקציות הלוגריתמיות הוא כל המספרים החיובים: (,0). הטווח של כל הפונקציות הלוגריתמיות הוא כל המספרים הממשיים: (, -). a< הפונקציה יורדת a> הפונקציה עולה הגרפים של כל הפונקציות הלוגריתמיות עוברים דרך הנקודה 0).(, אם,a> הפונקציה log a עולהמונוטוניתבכל התחום. אם,a< הפונקציה log a יורדת מונוטונית בכל התחום. 5
משפחות של פונקציות הגדרות ותיאורים אוסף של פונקציות בעלות תכונה משותפת כלשהי נקרא משפחה של פונקציות. אחת הדרכים ליצור משפחה של פונקציות היא ביצוע שינויים גרפיים (הזזות, מתיחות, וכדומה) על הגרף של פונקציה מסוימת. דוגמאות המשפחה התקבלה על ידי הזזה אנכית של גרף הפונקציה. f()= המשפחה התקבלה על ידי מתיחה אנכית של גרף הפונקציה.f()= בייצוג אלגברי של משפחה של. פונקציות מופיעים פרמטר אחד או כמה פרמטרים. לייצוג כזה קוראים ייצוג פרמטרי של המשפחה. נתונה משפחת הפונקציות m ) f()=m-n ו- n הם שני פרמטרים. לדוגמה, הפונקציות f()=-6 f()=--6, שייכות למשפחה. כל הפונקציות במשפחה הן פונקציות קוויות. a, נתונה משפחת הפונקציות = () f a, < (a הוא פרמטר)., = () f שייכת לדוגמה, הפונקציה, < למשפחה. נתונה משפחת הפונקציות הריבועיות g()=a +b+c (באמצעות שלושה פרמטרים b a, ו- c ). לדוגמה, הפונקציות f()=- ++, f()= - שייכות למשפחה...... אפשר להגדיר משפחה של פונקציות על ידי התכונה המשותפת לכל הפונקציות במשפחה. משפחה של פונקציות זוגיות. משפחה של פונקציות עולות בתחום [,0]. משפחה של פונקציות ליניאריות העוברות דרך הנקודה.(, ) 6
דוגמאות נוספות של משפחות של פונקציות בייצוגים שונים ייצוג פרמטרי המשפחה התקבלה על ידי סיבוב גרף הפונקציה f()= סביב ראשית הצירים. ייצוג גרפי תכונות המשפחה ערכי הפונקציות פרופורציוניים לערכי המשתנה הבלתי-תלוי : כל פונקציה f השייכת למשפחה f () מקיימת: = f ( ) f()=k - k פרמטר המשפחה התקבלה על ידי מתיחה והזזה אנכית של גרף הפונקציה.f()= משפחת כל הפונקציות הריבועיות הזוגיות. g()=a +b a ו- b - פרמטרים המשפחה התקבלה על ידי הזזה של גרף הפונקציה f()=- משפחה של פונקציות ליניאריות בעלות שיפוע.- f()=m- - m פרמטר 7
הביטוי האלגברי של הקשר בין שינוי הגרף של הפונקציה לבין שישינוי הפונקציה כאשר נתונים הגרף והביטוי האלגברי של פונקציה, כל שינוי של הגרף גורם לשינוי מסוים של הביטוי האלגברי, ולהפך, כל שינוי של הביטוי האלגברי גורם לשינוי מסוים של הגרף. בטבלה שלהלן מוצגות טרנספורמציות המבוצעות על גרף של פונקציה והשינוי המתאים בביטוי האלגברי. טרנספורמציות של הגרף הזזה אופקית ב -a יחידות שינוי הביטוי האלגברי דוגמאות על ידי הזזה של גרף הפונקציה f()= ב- יחידות ימינה על הציר האופקי, מקבלים את הגרף של הפונקציה.g()=(-) f(-a) f()+a הזזה אנכית ב -a יחידות על ידי הזזה של גרף הפונקציה f()=ב- יחידות מעלה על הציר האנכי, מקבלים את הגרף של הפונקציה.h()= + על ידי מתיחה אופקית של גרף הפונקציה f()= בגורם, מקבלים את הגרף של הפונקציה h()=() f( ) k מתיחה אופקית בגורם מתיחה k. מתיחה אנכית k f() בגורם מתיחה k. על ידי מתיחה אנכית של גרף הפונקציה f()= בגורם, מקבלים את ה גרף של הפונקציה.g()= שיקוף בציר ה- X -f() על ידי שיקוף גרף הפונקציה f()= בציר ה- X,מקבלים את הגרף של הפונקציה. g()=- 8
טרנספורמציות של הגרף שיקוף בציר ה- Y שינוי הביטוי האלגברי דוגמאות על ידי שיקוף גרף הפונקציה f()= בציר ה- Y, מקבלים את הגרף של הפונקציה.g()=(-) מאחר ש (-), = מתקבל גרף זהה לגרף של.f()= f(-) על ידי שיקוף גרף הפונקציה - f()= + בראשית הצירים, מקבלים את הגרף של הפונקציה. g()=-[(-) -(-)+] שיקוף בראשית -f(-) הצירים 9
ס ) גבול של פונקציה ורציפות של פונקציה הגדרות ותיאורים הגדרה כללית (אינטואיטיבית) המספר a הוא גבול של הפונקציה בנקודה : ) lim f ( אם כאשר שואף ל- אז f() שואפת = a דוגמאות וגרפים דוגמה. כאשר שואף ל- אז הפונקציה שואפת ל- -= שואף ל- אז הפונקציה f()= - ל- a. הערה. ההגדרה הזאת אינה מדויקת כי המילה "שואף" דורשת פרוש. דוגמה. כאשר שואפת ל- += כי בכל נקודה חוץ מ- =. f() = שווה ל- + lim. 0 + ( + ) = = + δ. + = = ε ההגדרה המדויקת של גבול בנקודה המספר a הוא גבול של הפונקציה f() בנקודה אם עבור כל מספר חיובי ε קיים מספר חיובי δ כך ש: לכל מספר שעבורו 0< - δ> אז מתקיים ש f()-.a <ε ניסוח אחר:מספר a הוא גבול של הפונקציה f() בנקודה אם עבור כל סביבה של a קיימת סביבה נקובה ביבה של הנקודה ללא הנקודה עצמה). של כך ש: לכל מספר השייך לסביבה הנקובה של f() שייך לסביבה של הנקודה : a אם ( ) ( δ, + נקודה δ f ( ) ( a ε, a + ε ) ) אז דוגמה. יש להוכיח כי פתרון. בכל חוץ מ- = 0 תהי נתון מספר > 0 ε ניקח ε ( + ) < ε < ε 0 < δ =. אז כלומר אם מ.צ.ל. שימו לב! גבול של הפונקציה בנקודה לא תלוי בערך הפונקציה בנקודה עצמה מכיוון שבהגדרת הגבול מופיעה סביבה נקובה של הנקודה. lim f ( ) = a lim lim f ( ) = a = 0 גבולות באינסוף המספר a הוא גבול של הפונקציה f() כאשר שואף lim f ( ) לאינסוף = a אם עבור כל מספר חיובי ε קיים מספר כלשהו M כך שאם f()-a <ε אז מתקיים גם >M המספר a הוא גבול של הפונקציה f() כאשר שואף lim f ( ) = a למינוס אינסוף אם עבור כל מספר חיובי ε קיים מספר כלשהו N שאם <N אז גם כך דוגמה. (המכנה הולך וגדל לאינסוף ולכן השבר הולך וקטן ושואף ל- 0).. f()-a <ε. 0
דוגמה. = lim 0 + דוגמה. = lim דוגמה. = lim + גבולות אינסופיים הפונקציה f() בנקודה שואפת לאינסוף ( lim f ( אם עבור כל מספר M קיים מספר =.f()>m אז - <δ חיובי δ כך שאם הפונקציה f() בנקודה שואף למינוס אינסוף: lim f ( ) = - אם עבור כל מספר N קיים מספר חיובי δ כך שאם.f()<N אז <δ גבולות חד צדדיות המספר a הוא גבול חד צדדי ימני lim f ( ) בנקודה = a : של הפונקציה f() + אם כאשר שואף ל- מימין אז f() שואפת ל- a. כלומר, המספר a הוא גבול ימני של הפונקציה f() בנקודה אם עבור כל מספר חיובי ε קיים מספר חיובי f()- יהיה 0< - <δ שעבורו כך ש: לכל מספר δ (, + δ ) או בניסוח אחר: אם a <ε f ( ) אז ) ε ( a ε, a + המספר a הוא גבול חד צדדי שמאלי של הפונקציה f() שואף ל- אם כאשר lim f ( ) בנקודה = a : משמאל אז f() שואפת ל- a. כלומר, המספר a הוא גבול משמאל של הפונקציה f() בנקודה אם עבור כל מספר חיובי ε קיים מספר חיובי δ שעבורו 0< -<δ יהיה f()-a <ε גורר ( δ, ) כך ש: לכל מספר או בניסוח אחר : ( f ( אם בנקודה כלשהי לפונקציה ( a ε, a + ε) קיימים שני גבולות חד צדדיות אבל הם לא שווים : lim אז גרף הפונקציה מתפצל f ( ) lim + f ( ) לענפים נפרדים. רציפות של הפונקציה תהי פונקציה f() מוגדרת בסביבת הנקודה. אם קיים גבול של הפונקציה בנקודה השווה לערכה ( lim f ( ) של הפונקציה בנקודה(כלומר, ) = f ( אז אומרים כי הפונקציה.. רציפה בנקודה f() פונקציה רציפה בתחום אם היא רציפה בכל נקודה בתחום זה. אם פונקציה רציפה בתחום ההגדרה שלה אז אומרים כי הפונקציה רציפה. כל הפונקציות :פולינומים, פונקציות שבר, פונקציות טריגונומטריות, פונקציות מערכיות ולוגריתמיות רציפות בכל אינטרוול השייך לתחום ההגדרה שלהן. כל פונקציה רציונאלית רציפה בכל נקודה חוץ מנקודות אפס של המכנה. ( f ( יש שתי נקודות אי-רציפות: דוגמה. לפונקציה = =. = -, זאת אומרת שגרף הפונקציה מתפצל לשלושה חלקים.
גרף של פונקציה רציפה ניראה כקו שלם, ללא קפיצות. בנקודות אי-רציפות גרף הפונקציה מתפצל לחלקים נפרדים. פונקציה רציפה בנקודה f( ) חישוב גבולות גבולות בסיסיים תהיינה. lim f( ) = f( אז ). 0<n פרמטרים, הם ו- n a כאשר lim a n = 0 sin lim = גבול הטריגונומטרי הבסיסי: 0 גבולות מערכיים או לוגריתמיים בסיסיים: e e, lim =, 0 lim( + ) = e 0 ln( + ) lim = 0 א. ב. ג. הוא מספר קבוע :.788=e. : lim g( ) = K וגם lim f ( ) = L,. lim( f ( ) + g( )) = L + K lim ( f ( ) g( )) = L K f ( ) L בתנאי כי K 0 lim = g( ) K lim f [ g( )] = lim f ( ) K.... חוקי הגבולות תהיינה f() ו-( g( שתיפונקציות המקיימות:....
חישוב גבול בנקודה: נתאר חישוב של גבול בנקודה של פונקציה רציפה בנקודה וחישוב של גבול בנקודה של פונקציה שאינה רציפה בנקודה. גבול בנקודה של פונקציה רציפה בנקודה: גבול בנקודה של פונקציה הרציפה בנקודה שווה לערך של הפונקציה. דוגמה: + 5.= מוגדרת ורציפה בנקודה - f ( ) כי הפונקציה = + + 5 + 5 lim = = + + גבול בנקודה של פונקציה שאינה רציפה בנקודה: יש כמה שיטות למציאת הגבול בנקודה של פונקציה שאינה רציפה בנקודה זו. גבול של פונקציה רציונאלית (פונקצית שבר) בנקודה שבה המכנה שווה לאפס. הגבול לא קיים או שווה ל ±. ) במקרה שהמונה לא שווה לאפס, דוגמאות: לא קיים (קיימים גבולות lim 0 חד צדדים). lim ( ) = lim 0 = ) במקרה שגם המונה וגם המכנה שווים לאפס בנקודה יש לצמצם את השבר בגורם השווה לאפס בנקודה. דוגמה ( )( + ) + lim = lim = lim 6 ( ) אחרי הצמצום קבלנו את הפונקציה הרציפה בנקודה = אז הגבול שווהלערך הפונקציה בנקודה =: + +. lim = = דוגמה lim + = + lim ( + )( + + ) + = lim = lim ( + )( + + ) ( + )( + + ) = = + + +
. גבולות של פונקציות טריגונומטריות בחישוב גבולות טריגונומטריות (בנקודות אי רציפות של הפונקציה הנתונה) משתמשים בגבול הטריגונומטרי ( sin הבסיסי: = lim. 0 sin f ( ) מהגבול הזה נגזר הגבול הבא: = lim a f ( ) בתנאי ש- f() היא פונקציה רציפה בנקודה a ו- f(a)=0. בחישוב גבולותטריגונומטריות (בנקודות אי רציפות של הפונקציההנתונה) משתמשים בגבול הטריגונומטרי sin הבסיסי: = lim 0 דוגמה. sin f ( ) ומאז = lim a f ( ) בתנאי ש- f() היא פונקציה רציפה בנקודה a ו- f(a)=0. ( π ) 0 π sin sin 5 lim = lim( ) = = 0 sin 5 0 sin 5 5 5 tan sin sin lim = lim = lim( 0 0 cos 0 π sin( ) lim = lim π π π π sin( ) π ( ) = 5 דוגמה. ) = = cos דוגמה. כי אם אז π sin( ) lim = = π π גבולות מערכיים ולוגריתמיים. בחישוב גבולות מערכיים ולוגריתמיים (בנקודותאי רציפות של הפונקציה הנתונה) משתמשים בגבולות המעריכים או ( הלוגריתמיים הבסיסיים (ר' לעיל): דוגמה:. lim( + ) 0 = lim ( + ) 0 = e חישוב גבול באינסוף בחיפוש גבולשלשבר באינסוף יש לחלק גם את המונה וגם את המכנה של השבר ב- n כאשר n הוא החזקה הגדולה n טבעי. ביותר של דוגמאות המופיעה בשבר ואחר כך להיעזר ב- = 0 lim עבור כל n הגבול לא קיים. lim = lim + / lim = lim / / + / / / / / / lim = lim + / + / / 0 = lim = = / + / = lim / / = lim / + / 0 + 0 = = 0 0 0 = = 0 + 0 0...
אסימפטוטות לגרף של פונקציה אסימפטוטה לגרף של פונקציה היא קו ישר שהגרף שואף אליו. ישנם כמה סוגים שונים של אסימפטוטות. הישר =y הוא אסימפטוטה לגרף הפונקציה f() הגדרות ותיאורים קו ישר y=a שגרף הפונקציה y=f() שואף אליו כאשר שואף לאינסוף (או למינוס אינסוף), נקרא אסימפטוטה אופקית לגרף הפונקציה. צורה סימבולית והערות אם = a או צורה גראפית lim f () lim f () = a אז הישר y=a הוא אסימפטוטה אופקית לגרף הפונקציה. y=f() ציר ה- X הוא אסימפטוטה לגרף הפונקציה g() קו ישר y= m +n שגרף הפונקציה y=f() שואף אליו כאשר שואף לאינסוף (או למינוס אינסוף), נקרא אסימפטוטה משופעת לגרף הפונקציה y=f(). (ההפרש בין f() לבין הפונקציה הליניארית m+ n שואף ל- 0 ). הערה: אסימפטוטה אופקית היא מקרה מיוחד של אסימפטוטה משופעת שבו 0=m. קו הישר =a שגרף הפונקציה y=f() שואף אליו נקרא אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה y=f() אם [ (m + n) ] 0 או = lim f () = [ (m + n) ] 0 lim f () אז הישר =y m+n הוא אסימפטוטה אופקית לגרף הפונקציה.y=f() כדי למצוא אסימפטוטה אופקית, יש למצוא תחילה f () את m = lim (אם הגבול קיים), ואחר כך את m) n = lim (f () אם גרפים של הפונקציות שואפים באין סוף לקו ישר גרף הפונקצה שואף לקו ישר באין סוף ובמינוס אינסוף = () lim f או a, limf() = a דוגמאות. אז הקו הישר =a הוא אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה y=f(). בדרך כלל, a היא נקודה שאינה נמצאת בתחום ההגדרה של הפונקציה. מצאו את האסימפטוטה האופקית של הפונקציות הנתונות. א. = g(). פתרון: = = lim. lim = האסימפטוטה היא =y. האסימפטוטה =y. היא 5
האסימפטוטה היא ציר ה- X. אין אסימפטוטות אופקיות. ב. = (). f + 0. lim = lim פתרון: = 0 = + + האסימפטוטה היא 0=y (ציר ה- X ). ג. = h(). + פתרון: = = lim. lim = + 0 + לפונקציה זו אין אסימפטוטה אופקית.. מצאו את כל האסימפטוטות של גרף הפונקציה. f () = פתרון: אסימפטוטות אופקיות הן מקרה מיוחד של אסימפטוטות משופעות, ולכן, אם, צריך למצוא את כל האסימפטוטות, כמו בדוגמה הזאת, לא כדאי לחפש בנפרד אסימפטוטות אופקיות, אלא כדאי לחפש משוואה של אסימפטוטה משופעת: f () m = lim = lim = lim = = 0 n = lim (f ( ) m ) = lim ( ) = lim ( ) = lim = lim = = / 0 מכאן שמשוואת האסימפטוטה המשופעת היא.y=+ כדי למצוא אסימפטוטה אנכית נבדוק אם הפונקציה שואפת לאינסוף בנקודות שבהן היא אינה מוגדרת. כלומר, בנקודה.=. lim f () = lim = = 0 מכאן שהישר = הוא אסימפטוטה לגרף הפונקציה.f() 6
נגזרת של פונקציה הגדרות ותיאורים הגדרת הנגזרת בנקודה תהי היא פונקציה המוגדרת בסביבת הנקודה. f() הנגזרת של הפונקציה f() בנקודה היא הגבול f ( + h) f () lim בתנאי שהוא קיים. h 0 h הנגזרת בנקודה מסומנת ).f '( לעיתים היא נקראת המספר הנגזר ואומרים שהפונקציה f() גזירה בנקודה. דוגמאות וגרפים דוגמה חשבו לפי ההגדרה את הנגזרת של הפונקציה f()= בנקודה =. פתרון: ( + h) h + h f () = lim = lim = h 0 h h 0 h h( + h) = lim = lim( + h) = h 0 h h 0 לכן הנגזרת של הפונקציה f()= בנקודה = שווה ל-. דוגמה חשבו לפי ההגדרה את הפונקציה הפונקציה הנגזרת הנגזרת של הפונקציה.f()= ערכי הנגזרת בכל הנקודות שעבורם הפונקציה f() גזירה, פתרון: f( + h) f() מרכבים פונקציה חדשה ()' f שהיא הפונקציה הנגזרת של ) + (h f () = lim = lim = h 0 h h 0 h הפונקציה f() (הנגזרת הראשונה). h+ h h( + h) = lim = lim = lim( + h) = f( + h) f( ) h 0 h h 0 h h 0. f ( ) = lim ולכן: h 0 h כלומר, הפונקציה הנגזרת של הפונקציה. היא,f()= כותבים כך:.f '( )= נגזרת מסדר גבוה הפונקציה הנגזרת של הפונקציה ()' f נקראת הנגזרת השנייה של הפונקציה.f() מסומנת ''() f או ().f () הפונקציה הנגזרת של הפונקציה ()'' f נקראת הנגזרת השלישית של הפונקציה.f() מסומנת '''() f או ().f () אפשר להגדיר הנגזרת מסדר גבוה באופן כללי: כאשר n מספר טבעי. דוגמה. מצאו את הנגזרת השנייה ואת הנגזרת השלישית של הפונקציה f()= - פתרון מוצאים קודם את הנגזרת הראשונה: f ( ) = f ( ) = ( f ( ) ) הנגזרת השנייה: = 6 f ( ) = ( f ( ) ) הנגזרת השלישית: = 6 f ( n+ ) ( n) ( ) = ( f ( )) המשמעות של הנגזרת בנקודה סימן הנגזרת של הפונקציה בנקודה מאפיין את הכיוון השינוי של הפונקציה בנקודה: בנקודות שבהן הנגזרת חיובי הפונקציה עולה, בנקודות שבהן הנגזרת שלילי - הפונקציה יורדת. 7
ערך המוחלט של נגזרת הפונקציה בנקודה מאפיין את קצב השינוי של הפונקציה בנקודה. המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת. ערך הנגזרת של הפונקציה בנקודה שווה לשיפוע של המשיק לגרף הפונקציה בנקודה הזו. בנקודות ו- 5 הפונקציה עולה, ערכי הנגזרת חיובים. קצב השינוי של הפונקציה בנקודה = יותר גבוה מקצב השינוי בנקודה 5=. בנקודה 0= הפונקציה יורדת, ערך הנגזרת הוא מספר שלילי. f () = m = tan α כאשר m הוא שיפוע המשיק ו- ά הזווית בין המשיק ובין הכיוון החיובי של ציר ה- X טבלה של נגזרות בסיסיות f '() f '() פונקציה f() C (מספר קבוע) פונקציה נגזרת 0 פונקציה f() sin פונקציה נגזרת cos -sin cos n n n cos tan k m k m m k sin cot arcsin ln a log a arccos ln + arctan a ln a a + arccot e e 8
. חוקי הגזירה משפטים הנגזרת של סכום (הפרש) של שתי פונקציות צורה סימבולית (f () ± g()) = = f () ± g () דוגמאות 5 ( ) = 5. ( + sin ) = + cos. ( ) = =. ( cos ) = ( sin ) = sin ( ln ) = ln + = ln + 6 ( ) = + = ( + 6 + ) ( ( + ) = + ) =. (sin ) = sin ( ) ( ) = cos( ) בדוגמה הזו : y = f () =,g() = sin. ((sin ) ) = sin cos בדוגמה הזו : y = f () = sin,g() = פונקציה היא פונקציה ההפוכה ( ) לפונקציה מאז: = פונקציה arcsin היא פונקציה ההפוכה לפונקציה. sin מאז: (arcsin ) = = cos(arcsin ).. ( a f ()) = a f () (f() g()) = = f () g() + f() g () f () ( ) = g() f () g() f () g () = (g()) ( g(f ())) = g (y) f () כאשר () y = f y 0 y = y הנגזרת של פונקציה המכפלת במספר קבוע הנגזרת של מכפלת שתי פונקציות הנגזרת של מנת שתי פונקציות הנגזרת של פונקציה מורכבת: כלל השרשרת נגזרת הפונקציה ההפוכה נגזרת של פונקציה סתומה כאשר כדי למצוא נגזרת של פונקציה סתומה אפשר לגזור שני אגפי המשוואה המתאימה אם פונקציה y=f() נתונה על ידי המשוואה: =y+. נגזור שני אגפי המשוואה: = או y + y, ( ) = (y + ) y y = y = y + ומאז 9
משיק לגרף הפונקציה קירוב ליניארי של הפונקציה f() הוא פונקציה ליניארית הכי קרובה לפונקציה f() בתחום מסוים. יש כמה סוגי קירוב ליניארי של פונקציה. סוג הקירוב תלוי בתחום הקירוב. אינטרפולציה ליניארית היא קירוב ליניארי לגרף הפונקציה בתחום b] [a, אסימפטוטה משופעת היא קירוב ליניארי לגרף הפונקציה באינסוף משיק לגרף הפונקציה בנקודה היא קירוב ליניארי לגרף הפונקציה בסביבת הנקודה לסיכום: משיק לגרף הפונקציה f() בנקודה ) A(, y הנקודה A הקרוב ביותר לגרף הפונקציה בסביבת הנקודה. הגדרהשל משיק: נתון גרף הפונקציה f() ו ) A(, y נקודה על הגרף. אם מעבירים קווים ישרים דרך נקודה A כך שכל ישר עובר גם דרך נקודה נוספת על גרף הפונקציה f() והנקודה תלך ותתקרב על גבי הגרף לנקודה A אז יתקבל ישר גבולי שנקראת משיק לגרף הפונקציה f() בנקודה. סוגים שונים של משיק לגרף הפונקציה. המקיימת את הפונקציה הוא קו ישר העובר דרך ייצוג גרפי תיאור מילולי ייצוג גרפי תיאור מילולי הקו הישר משיקלגרף הפונקציה בנקודה. הגרף נמצא בצד אחד של המשיק. הקו הישר משיקלגרף הפונקציה בכמה נקודות. הקו הישר משיקלגרף הפונקציה בנקודה ונמצא משני צידי הגרף של הפונקציה. עובר מצד האחד של הגרף לצידו השני לפונקציה אין משיק. בנקודה הקו הישר משיקלגרף הפונקציה בנקודה וחותך את הגרף בנקודה נוספת. הקו הישר משיק לגרף הפונקציה בנקודה ומקביל לציר ה- Y (אינו פונקציה) אולי לשנות בכל מקום כמו הניסוח הזה. 0
משוואת המשיק. תהי נתונה הפונקציה f() והנקודה שבה הפונקציה מוגדרת וגזירה אז: שווה לנגזרת של הפונקציה בנקודה :. y f () = f () ( ) קיים משיק לגרף הפונקציה f() בנקודה.. השיפוע של המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה..m=f '( ) משוואת המשיק לגרף הפונקציה. f() בנקודה היא דוגמאות למציאת משוואת המשיק משימה כתבו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f()= - בנקודה. = פתרון גרף f ( ) = ו-( :f '( = מחשבים ) f( f () =, f () = = מציביםבמשוואתהמשיק הכללית: y + = ( ) ומקבלים את משוואת המשיק: 9 y = מכיוון שהמשיק מקביל לישר y= שיפועו שווה ל-. אז יש למצוא נקודה שבה הנגזרת של הפונקציה g() שווה ל- :,5 ולכן = g () = 5 g'()=. = ± בנקודה =, g()= ועל ידי הצבה במשוואה הכללית מקבלים שמשוואת המשיק היא -y. y = או + =(-) בנקודה - =, g()=- ועל ידי הצבה במשוואה הכללית מקבלים שמשוואת המשיק היא. y = כנ"ל כתבו את משוואת המשיק לגרף g() הפונקציה = 5 המקביל לישר.y= מצאו משיק לגרף הפונקציה f () = שעובר דרך + 6 הנקודה (,0) (הנקודה לא נמצאת על הגרף). אם a הוא שעור ה של נקודת ההשקה אז: f (a) = a f () = a + 6 משוואת המשיק: a) y a 6 = a ( נציב 0=, =y (לפי הנתונים) ונקבל a = ±, a =, a 6 = a אם a= אז 7=()f, fמשוואת =()' המשיק היא ) ( y 7 = או + y = אם a=- אז,f(-)=7 f '(-)=- משוואת y 7 = ( או המשיק היא ( +. y = +
ק( חקירת פונקציות בשילוב אנליזה (נגזרות וגבולות) משפטים והסברים מציאת נקודות קיצון (נקודות מינימום ומקסימום) אם פונקציה f() גזירה פעמיים בנקודה f () 0,f ( ו- 0 = ) אז לפונקציה f() יש ערך קיצון בנקודה : () f אז אם > 0 נקודת הקיצון היא נקודת מינימום. () f אז אם < 0 נקודת הקיצון היא נקודת מקסימום. שימו לב! יתכן כי הפונקציה לא גזירה בנקודת הקיצון. מציאת תחומי עליה וירידה אם בכל נקודה באינטרוול כלשהו אז הפונקציה צורה גרפית דוגמאות מצאו נקודות מקסימום ומינימום של הפונקציה. f()=- פתרון. נגזור את הפונקציה: f () = f () > 0 f() עולה באינטרוול הזה. אם בכל נקודה באינטרוול כלשהו () f אז הפונקציה < 0 f() יורדת באינטרוול הזה. שימו לב! בנקודות שייכות לתחום עלייה או לתחום ירידה של הפונקציה יתכן כי הנגזרת שווה לאפס או הפונקציה לא גזירה. מציאתמינימום מוחלט ומקסימום מוחלט של פונקציה באינטרוול. אם פונקציה רציפה באינטרוול, אז היא יכולה להשיג את המינימום המוחלט ואת המקסימום המוחלט באינטרוול הזה רק בנקודות קיצון של הפונקציה או בקצות האינטרוול. ישר יורד. בתחום עליה של הפונקציה הנגזרת חיובית.המשיק הוא ישר עולה. בתחום ירידה של הפונקציה הנגזרת שלילית.המשיק הוא הפונקציה עולה בכל התחום. בנקודה 0 הנגזרת שווה לאפס. בנקודה הפונקציה לא גזירה. הפונקציה מוגדרת ורציפה באינטרוול [0,8] המקסימום המוחלט נימצא בנקודה 8= צה האינטרוול) המינימום המוחלט נימצא בנקודה 5= (נקודת הקיצון) הנקודות אפס של הנגזרת: = ±, נבדוק את הסימן של הנגזרת השנייה בנקודות האלה: f () = 6, f ( ) = 6 > 0, f () = -6 < 0 בנקודה = לפונקציה יש מקסימום =()f בנקודה -= לפונקציה יש מינימום f(-)=- מצאו את תחומי העליה והירידה של הפונקציה. f()= - f () פתרון. נגזור את הפונקציה: = כאשר < כלומר, 0<-, הפונקציה עולה. כאשר > כלומר, 0>-, הפונקציה יורדת. נוח לראות את זה בציר המספרים: בתחום < הנגזרת חיובית הפונקציה עולה בתחום > הנגזרת שלילית הפונקציה יורדת מצאו את הנקודות מקסימום מוחלט ומינימום מוחלט של הפונקציה g() = בתחום ].[-, פתרון. הפונקציה הנתונה רציפה בתחום ולכן מספיק לחשב את ערכי הפונקציה בנקודות שבהן נגזרת שווה לאפס (כל הנקודות קיצון נמצאות ביניהן) וערכי הפונקציה בנקודות הקצה. g () = = ( ) =, בנקודות =0 g '()=0 נחשב ערכי הפונקציה בנקודות האלה: g (0) =, g() = - g ( ) ובנקודות הקצה: = g(), = נקבל מקסימום מוחלט: = () g. g() מינימום מוחלט: =
מציאת נקודות פיתול. אם היא נקודת פיתול של פונקציה f() והפונקציה גזירה פעמיים ב- אז.f ''( )=0 שימו לב! לא כל נקודה שבה )=0 f ''( היא נקודת פיתול. יתכן כי בנקודת אפס של הנגזרת השנייה אין נקודת פיתול. למציאת נקודות פיתול יש להוכיח כי הנגזרת השנייה משנה את סימנה בנקודה. מצאו נקודות פיתול של הפונקציה 5 f() = 5 פתרון. נחפש נקודות אפס של הנגזרת השנייה: f () = 5 0 f () = (f ()) = 60 60 = 60 ( ). = 0, בנקודות = f () = 0 שינוי הסימן של ()'' f: בנקודה =0 הנגזרת השנייה לא משנה את סימנה, זאת אומרת שהנקודה הזו איננה נקודת פיתול של הפונקציה. בנקודה = הנגזרת השנייה משנה את סימנה, זאת אומרת שהנקודה הזו היא נקודת פיתול של הפונקציה. f ( ) = 0 f ( ) 0 נקודת קיצון f (0) = f (0) = 0 f (0) 0 נקודת פיתול f () = f () = = f () = 0 f () () 0 הכללה: נקודות קיצון ונקודות פיתול. תהי פונקציה f() גזירה n פעמים בנקודה. אם f ( ) = f ( ) =... = f (n) (n ) ( ) = 0 () f אז: אבל 0 אם n זוגי אז. היא נקודת קיצון, אם n אי זוגי אז. היא נקודת פיתול מצאו נקודות קיצון ונקודות פיתול של 5 f() (דוגמה מהסעיף הפונקציה = 5 הקודם בדרך אחרת). פתרון. נחשב נגזרות ונקודות אפס שלהן: f () = 5 0 = 5 ( ) f f () = 60 () () = 80 =, 60 = =, = נקודות אפס: 0 = 60 ( ) נקודות אפס: 0 0 = 60( ) f () = 60 0 עבור =0 () (). f (0) 0,f (0) = f (0) = f (0) = 0 מאז 0= נקודת קיצון ( הוא מספר זוגי).. f ( ) 0,f עבור = = 0 ) ( מאז = נקודת קיצון ( הוא מספר זוגי). מצאו תחומי קמירות וקעירות של הפונקציה f () = 6 + פתרון. נגזור את הפונקציה פעמיים: f () = 6,f () = + הנגזרת השנייה שווה לאפס אם 0=-6, f שינוי הסימן של = - + :''() f () כאשר > > 0 הפונקציה קמורה. f () כאשר < < 0 הפונקציה קעורה. () נקודת קיצון קמירות בנקודה = f () > 0 קעירות בנקודה = f () < 0 מציאת תחומי קעירות וקמירות של הפונקציה. תהי f() פונקציה הגזירה פעמיים בנקודה () f אז. אם > 0. קמורה בנקודה f f אז f () אם < 0 קעורה בנקודה.
התנהגות של פונקציה באינסוף ובסביבת נקודות אי רציפות יש הרבה אפשרויות שונות להתנהגות של פונקציה באינסוף ובסביבת נקודות אי רציפות. בטבלה שלהלן מופיע קמה מאפשרויות האלה. ר' גם סעיף "אסימפטוטות". התנהגות של פונקציה באינסוף התנהגות של פונקציה בסביבת נקודות אי רציפות בסביבת הנקודה אי הפונקציה שואף רציפות הגרף שואף לאינסוף באופן לאינסוף משני חופשי (לא שואף לקו הצדדים ישר איזשהו) באינסוף הגרף שואף לקו הישר המשופע בסביבת הנקודה אי רציפות הגרף שואף לאינסוף מצד אחד ולמינוס אינסוף מצד השני באינסוף הגרף שואף לקו הישר האופקי בסביבת הנקודה אי רציפות הגרף שואף למספר מצד אחד ולמינוס אינסוף מצד השני באינסוף הגרף שואף לקו הישר המשופע ובמינוס אינסוף הגרף שואף לקב הישר האופקי בסביבת הנקודה אי רציפות הגרף שואף לנקודה מצד אחד ולנקודה האחרת מצד השני גם באינסוף וגם במינוס אינסוף הגרף שואף לאותה קו הישר האופקי בסביבת הנקודה אי רציפות הגרף שואף לאותה הנקודה משני הצדדים הפונקציה שואפת לאינסוף באינסוף ושואפת לאפס במינוס אינסוף. הפונקציה מוגדרת בנקודה אי רציפות. בצד אחד ממנה הגרף שואף לאינסוף.
אינטגרל ופונקציה קדומה מושגים בסיסים הגדרות ותיאורים צורה גרפית, הערות דוגמאות. כל פונקציה F() המקיימת '()=f() F בתחום A נקראת פונקציה קדומה של פונקציה f() בתחום A. הפעולה של מציאת פונקציה קדומה נקראת אינטגרציה. שימו לב! יתכן כי לפונקציה מסוימת בתחומים שונים יש כמה פונקציות קדומות שונות הפונקציה הבאה היא פונקציה קדומה של הפונקציה: הפונקציה F()= היא פונקציה קדומה של הפונקציה f()=. ( ) כי = הפונקציה = () F היא פונקציה קדומה של הפונקציה בתחום 0 f () = והפונקציה = () F היא פונקציה קדומה לפונקציה בתחום.<0 f () =. אם פונקציה F() היא פונקציה קדומה של פונקציה f() בתחום, A אז כל פונקציה מהצורה (C F()+C מספר קבוע) גם היא פונקציה קדומה של הפונקציה f() באותו התחום. אוסף הפונקציות F()+C נקרא אינטגרל לא מסוים של הפונקציה.f() המספר C נקרא קבוע האינטגרציה.. f()d = F() + C כלומר, אינטגרל לא מסוים הוא אוסף פונקציות השונות זו מזו במספר קבוע. אוסף הפונקציות הוא אינטגרל לא מסוים של הפונקציה: הפונקציה F()= היא פונקציה קדומה של פונקציה f()= כי ( ) = כל אחת מהפונקציות,F ()= + F ()= -0.,F ()= -5 וכן הלאה גם הן פונקציות קדומות של הפונקציה.f()= אינטגרל לא מסוים של הפונקציה d = + C : אם F() היא פונקציה קדומה של הפונקציה f() בתחום [b,a] אז ההפרש F(b)-F(a) נקרא אינטגרל מסוים של הפונקציה a המספרים.[a, b] בתחום f() ו- b נקראים גבולות האינטגרציה. a הוא הגבול התחתון ו- b הוא הגבול העליון. הערה: אינטגרל מסוים הוא מספר (ולא פונקציה). המספר הזה לא תלוי בבחירת הפונקציה הקדומה מבין הפונקציות השייכות לאוסף הפונקציות.F()+C חשבו. d פתרון. אחת מהפונקציות הקדומות של הפונקציה היא הפונקציה (ר' סעיף הקודם). ולכן: d = [ ] = ( ) = כלומר, האינטגרל המסוים של הפונקציה בתחום ] [-, הוא. b f()d = [F()] a = F(b) F(a) b a = 5
... אינטגרלים לא אמיתיים הם אינטגרלים קשורים לאינסוף. כלומר: אם אחד מגבולות האינטגרציה או שניהם הוא, - או תחום האינטגרציה כולל נקודה שבה הפונקציה לא מוגדרת ושואפת ל- או -. במקרים כאלה יש לעבור לגבול המתאים:. חשבו ) d ( פתרון. פונקציה הקדומה של הפונקציה היא פונקציה = 0 = d = [ ] = = lim( ) ( ) = 0 + =. חשבו d 0 פתרון. פונקציה הקדומה של הפונקציה היא פונקציה. F () = הנקודה =0 לא שייך לתחום ההגדרה של הפונקציה לכן יש צורך לעבור לגבול: d = lim d = + 0 t 0 t = lim[ ] = lim ( t ) = + t 0 t + t 0 f ()d = lim f ()d a b t t a f()d = lim f()d b b t t lim f()d = כאשר f()d a b t a t lim f() = ± a טבלת אינטגרלים מיידיים (הטבלה התקבלה על סמך טבלת הנגזרות). a a ln a e e sin -cot cos tan cos sin sin -cos ln n n - n + n + פונקציה f() פונקציה קדומה F() הערה a פונקציה קבועה בטבלה נתונה רק אחת מהפונקציות הקדומות. על ידי הוספת מספר קבוע (C+ ( נקבל כל פונקציה קדומה a אחרת. כללי אינטגרציה צורה מילולית אינטגרל של סכום (הפרש) של שתי פונקציות שווה לסכום (הפרש) של שני האינטגרלים המתאימים צורה סימבולית (f () ± g()d) = = f ()d ± g()d דוגמאות (sin + )d = sin d + + d = cos + + C 6
d = d = + C = 5 5 = + C 5 ( )d = d d = = + C = 5 + C.. (af())d = a f () d אינטגרל של מכפלת פונקציה בגורם קבוע שווה למכפלת האינטגרל של הפונקציה באותו הגורם. (גורם קבוע אפשר להוציא מחוץ לאינטגרל) ( 5) d = z dz = 5 z 5 = + C = ( 5) 5 0 + C f(k+ b)d= f(z) dz k כשה z = k + b אינטגרל של פונקציה מפונקציה קווית שווה למכפלה של אינטגרל של הפונקציה המתווכת במספר ההפוך לשיפוע של הפונקציה הקווית. חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים צורה מילולית השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה f() (מלמעלה), הישרים =b,=a וציר ה- X (מלמטה) שווה לאינטגרל המסוים של הפונקציה f() בתחום [b,a].(a<b) צורה סימבולית צורה גרפית S = b a f ()d S = b f ()d a השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה f() (מלמטה), הישרים =b,=a וציר ה- X (מלמעלה) שווה לנגדי של האינטגרל המסוים של הפונקציה f() בתחום.(a<b) [a, b] אולי לכתוב שהוא שווה האינטגרל המסוים. S= S b + S = = f()d f()d c c a במקרה שחלק מהגרף של הפונקציה f() בתחום האינטגרציה נמצא מעל לציר ה- X וחלק אחר של הגרף נמצא מתחת לציר ה- X, אפשר לחשב כל אחד מהחלקים של השטח בנפרד ואחר כך לחבר אותם. 7
S = b a (f() g())d השטח בין גרפים של שתי פונקציות בתחום שאחד מהגרפים נימצא מעל הגרף האחר, שווה לאינטגרל מסוים של ההפרש של שתי הפונקציות. S= S b + S = = (f() g())d+ a c + (g() f())d b אם שני הגרפים נחתכים בתחום האינטגרציה, אפשר להרכיב את השטח ממספר חלקים. דוגמאות משימה. חשבו את השטח המוגבל ע "י גרף הפונקציה, f()=- ציר ה- X והישר.=. חשבו את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה f()=sin וציר ה- X בתחום [π,π-]. גרף פתרון לפי הסרטוט, הגבול התחתון של האינטגרציה הוא והגבול העליון הוא נקודת אפס של הפונקציה :f() =0, =0, = ולכן = - הוא הגבול העליון. עכשיו אפשר לחשב את השטח: S = ( )d = [ ] = = ( ) ( ) = 9 חלק אחד מהגרף נמצא מעל ציר ה- X וחלק האחר תחת הציר. לכן השטח שווה לסכום של שני השטחים: S = S + S = [ cos] = sin d + sin d = 0 π + [ cos] π 0 = (cos0 cos( π)) + + ( cosπ ( cos0)) = = ( ( )) + ( ( )) = 0 π -π 0 = 8
S =. חשבו את השטח בין שתי הפרבולות: f()= - ו- g()=- נחשב קודם את גבולות האינטגרציה שהן נקודות החיתוך של שני הגרפים:. =, = - = מכיוון שבתחום האינטגרציה גרף הפונקציה g() נמצא מעל גרף הפונקציה f() אז: (g() = ( = ( f ())d ( ))d = + + )d = = [ + + ] = = ( + + ) ( ) ( + ( ) + ( )) = 9 לשני הגרפים יש שלוש נקודות חיתוך: ו- ועוד שתי נקודות =0 =, =, 6 = בתחום [0,-] גרף הפונקציה f() נמצא מעל גרף הפונקציה g() ובתחום [,0] להפך ולכן: S = S + (g() f ())d = 0 + (9 )d = [ 0 9 + [ + S ] = = (f () g())d + 0 0 0 ( 9 ] = + = 8 9)d + 0 +. חשבו שטח המוגבל ע"י הגרפים של הפונקציות - f()= ו- g()=. 6 9
מפתח לפי א-ב מושג אינטגרל מסוים אינטגרלים לא אמיתיים אינטגרל לא מסוים אינטגרלים מיידיים (טבלה) אינטרוול אינסופי אינטרוול חצי פתוח אינטרוול סגור אינטרוול פתוח אסימפטוטה לגרף הפונקציה אסימפטוטה אופקית לגרף הפונקציה אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה אסימפטוטה משופעת לגרף הפונקציה גבול של פונקציה בנקודה גבול של פונקציה באינסוף גבול אינסופי גבולות האינטגרציה (הגבול התחתון, הגבול העליון) גבול חד צדדי גבולות בסיסיים גבולות של פונקציות טריגונומטריות גבולות של פונקציה רציונאלית (פונקציה שבר) גבולות האינטגרציה (הגבול התחתון והגבול העליון) גרף הפונקציה הזזה של גרף הפונקציה הקשר בין שינוי הגרף לבין שינוי הביטוי האלגברי השפעת מקדמי הפונקציה הריבועית על הגרף שלה התנהגות של הפונקציה באינסוף חוקי הגבולות חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים טבלת אינטגרלים מיידיים טבלת הערכים של פונקציה טבלת נגזרות טווח הפונקציה ייצוג אלגברי של הפונקציה עמוד 5 6 5 5 5 5 5 8,8 9 9 0,0 5 7 7 0 8 6 6 50
5 7 6 0,8,8 9 8 5 8,7 5,9,0,8 6 6 6 7 9 6 9 0 ייצוג אלגברי של משפחת הפונקציות ייצוג גרפי של הפונקציה ירידה של פונקציה בתחום ירידה של פונקציה בנקודה כללי אינטגרציה מחזור הפונקציה המחזור היסודי של הפונקציה מינימום מקומי של הפונקציה מינימום מוחלט של הפונקציה מקסימום מקומי של הפונקציה מקסימום מוחלט של הפונקציה משוואת המשיק לגרף הפונקציה משיק לגרף הפונקציה משפחה של פונקציות משתנה תלוי משתנה בלתי תלוי מתיחה אופקית של גרף הפונקציה מתיחה אנכית של גרף הפונקציה נגזרת של פונקציה בנקודה (המספר הנגזר) נגזרת מסדר גבוה נקודת אפס של הפונקציה נקודת פיתול של הפונקציה נקודת קיצון של הפונקציה סביבה של אינסוף סביבה של נקודה סביבה נקובה של נקודה עליה של פונקציה בתחום עליה של פונקציה בנקודה פונקציה פונקציה חד חד ערכית פונקציית הערך המוחלט פונקציה הפוכה פונקציה החזקה פונקציה זוגית, פונקציה אי-זוגית פונקציות טריגונומטריות: cos,sin פונקציה tan פונקציה לוגריתמית 5
0 8 7 5 0 5 5 5 8 8 8 9,9,0 5 פונקציה מעריכית פונקציה מחזורית פונקציה מורכבת פונקציה מנה (פונקציה רציונאלית) פונקציה סתומה פונקציה פולינום פונקציה קדומה פונקציה קבועה פונקציה קווית (ליניארית) פונקציה קמורה בנקודה פונקציה קעורה בנקודה פונקציה ריבועית פונקציה רציפה צורה קדקודית של פונקציה ריבועית צורה המכפלה של פונקציה ריבועית ציר המספרים קבוע האינטגרציה קירוב ליניארי של הפונקציה שיקוף גרף הפונקציה בציר ה-, Xבציר ה- Y שיקף גרף הפונקציה בראשית הצירים תחום הפונקציה, תחום ההגדרה של הפונקציה תחום חיוביות (שליליות) של הפונקציה תחום עליה (ירידה) של הפונקציה תחום קעירות (קמירות) של הפונקציה תכונה משותפת של משפחה של פונקציות 5