Μια διασχολική συνεργασία για την εφαρµογή δραστηριοτήτων διερευνητικής µάθησης στα Μαθηµατικά µε θέµατα που συνδέονται µε τον χώρο της εργασίας Θεµατική ενότητα 4. Παναγιώτα Κοταρίνου, Μαθηµατικός στο Καλλιτεχνικό Σχολείο Γέρακα Ειρήνη Κουλέτση, Μαθηµατικός στο Βαρβάκειο Πρότυπο Γυµνάσιο, Σωτήρης Συριόπουλος, Μαθηµατικός στο 2 ο Γενικό Λύκειο Βριλησσίων, pkotarinou@uth.gr, 6972271037, kouleir@hotmail.com, aresot@otenet.gr Περίληψη Στην εργασία µας αυτή θα παρουσιάσουµε µια διασχολική συνεργασία τριών εκπαιδευτικών για την εφαρµογή στο Γυµνάσιο και στο Λύκειο δραστηριοτήτων µε χρήση διερευνητικής µάθησης, µε θέµατα µαθηµατικών που συνδέονται µε το χώρο εργασίας. Οι εκπαιδευτικοί σχεδίασαν δραστηριότητες, τις προσάρµοσαν σε κάθε εκπαιδευτική βαθµίδα αλλά και ιδιαιτερότητα κάθε σχολείου και τις συνέδεσαν µε το αναλυτικό πρόγραµµα. Από την ανάλυση των δεδοµένων µας διαπιστώθηκε ότι οι αρχικές δυσκολίες των εκπαιδευτικών στη µετατροπή µιας δοµηµένης δραστηριότητας σε διερευνητική, ώστε οι µαθητές να εµπλακούν σε πρακτικές δράσης και αναζήτησης, αντιµετωπίστηκαν µε τη γόνιµη συνεργασία και επικοινωνία µεταξύ τους. Όσον αφορά στους µαθητές διαπιστώθηκε µια ενεργότερη συµµετοχή τους στην πορεία δόµησης της γνώσης όπου οι ίδιοι θέτουν ερωτήµατα, τα διερευνούν και αξιολογούν. Abstract In our work we will present a three interschool educational cooperation in implementing Gymnasium and Lyceum activities using inquiry learning in Mathematics, with a context related to the workplace. Teachers designed activities, adapted them to the level and specifity of each School and linked them to the Curriculum. Our data analysis revealed that the difficulties the teachers met in the process of converting a structured activity into an inquiry based one, with the aim the students to engage in action and research practices, were confronted with their fruitful cooperation and communication between them. With regard to our students they engaged more actively in the process of building the knowledge, which themselves pose questions, explore and evaluate the results.
1. Εισαγωγή Το κυρίαρχο µοντέλο διδασκαλίας στο µάθηµα των Μαθηµατικών αποτελεί το δασκαλοκεντρικό µοντέλο διδασκαλίας, το οποίο συχνά στα µαθήµατα αυτά καλείται κανόνας και παράδειγµα (rule and example) διότι ο εκπαιδευτικός εξηγεί τους νόµους/κανόνες και οι µαθητές εξασκούνται µε ασκήσεις. Στο µοντέλο αυτό της διδασκαλίας ο εκπαιδευτικός καθορίζει τη γνώση που πρέπει να διδαχθεί, µε τους µαθητές να παραµένουν παθητικοί δέκτες της γνώσης αυτής, χωρίς να εµπλέκονται ενεργά µε την ίδια τους τη µάθηση. Αντίθετα η διερευνητική µάθηση (inquiry based learning) σύµφωνα µε τους Dorier και Maaß (2012) αναφέρεται σε ένα παράδειγµα διδασκαλίας Μαθηµατικών και Φυσικών επιστηµών µε κέντρο το µαθητή, στο οποίο οι µαθητές καλούνται να εργαστούν µε τρόπους παρόµοιους µε αυτούς που χρησιµοποιούν οι µαθηµατικοί και οι φυσικοί. Αυτό σηµαίνει ότι πρέπει να παρατηρήσουν φαινόµενα, να διατυπώσουν ερευνητικά ερωτήµατα, να αναζητήσουν επιστηµονικούς τρόπους για να απαντήσουν στα ερωτήµατα αυτά (όπως να διεξάγουν πειράµατα, να ελέγξουν µεταβλητές, να σχεδιάσουν διαγράµµατα, να βρουν κανονικότητες (patterns) και σχέσεις, να διατυπώσουν εικασίες, να οδηγηθούν σε γενικεύσεις, να διακρίνουν εναλλακτικές λύσεις) να ερµηνεύσουν και να αξιολογήσουν τις λύσεις τους και να επικοινωνήσουν και συζητήσουν τα επιχειρήµατά τους µε οµοίους (peers) (Linn, Davis & Bell, 2004). Mε τον τρόπο αυτό δίνεται η δυνατότητα στους µαθητές να βιώσουν τη διαδικασία δηµιουργίας της γνώσης, προετοιµαζόµενοι για τη δια βίου µάθηση. Τους δίνονται ταυτόχρονα οι ευκαιρίες να καλλιεργήσουν την κριτική τους σκέψη, την ικανότητα για ανεξάρτητη έρευνα, την ευθύνη για αυτοκατευθυνόµενη µάθηση και να επιτύχουν πνευµατική ανάπτυξη και ωριµότητα (Spronken- Smith, 2008). Οι Kremer & Schlüter (2006, ο. α. στο Bruder & Prescott, 2013) διακρίνουν τη διερευνητική µάθηση σε δοµηµένη διερεύνηση (Structural Inquiry) κατά την οποία ο δάσκαλος θέτει το πρόβληµα ή το ερώτηµα στους µαθητές καθώς και την κατάλληλη µέθοδο και τα υλικά για τη λύση του, σε καθοδηγούµενη διερεύνηση (Guided Inquiry) κατά την οποία ο δάσκαλος θέτει το ερώτηµα και δίνει µόνο τα απαραίτητα υλικά και σε ανοιχτή διερεύνηση (Open Inquiry) κατά την οποία οι ίδιοι οι µαθητές βρίσκουν τα προβλήµατα και τα ερωτήµατα και αποφασίζουν για τις µεθόδους και τα υλικά που θα χρησιµοποιήσουν. Η πλειοψηφία των ερευνών σχετικά µε τη διερευνητική µάθηση αφορά στην καθοδηγούµενη διερεύνηση και δείχνει ότι έχει τα µεγαλύτερα οφέλη ταυτόχρονα και ως προς το περιεχόµενο,
αλλά και ως προς την ίδια τη διαδικασία της διδασκαλίας (Bruder & Prescott, 2013), συντελώντας στην βελτίωση της εκπαίδευσης στα Μαθηµατικά και τις Φυσικές Επιστήµες. Ο χώρος εργασίας (the world of work)προσφέρει πλαίσια που µπορεί να αξιοποιηθούν για την εισαγωγή στην τάξη αυθεντικών πρακτικών (Gilbert 2006, Wake, 2014). Παρόλα αυτά, πολλοί ερευνητές δηλώνουν τη δυσκολία µεταφοράς αυθεντικών προβληµάτων στη σχολική τάξη, διότι τα προβλήµατα αποκόπτονται από το πλαίσιο αναφοράς τους οπότε χάνουν και το νόηµά τους, ενώ οι έννοιες είναι συνήθως κρυµµένες σε ιδιόµορφους συµβολισµούς και εργασιακούς κανόνες. Επιπλέον, απαιτούνται ειδικές γνώσεις από τους εκπαιδευτικούς, αναφορικά µε το χώρο εργασίας, καθώς και σύνδεση της συγκεκριµένης γνώσης µε την παιδαγωγική γνώση περιεχοµένου, δηλαδή την ικανότητα του δασκάλου να µετασχηµατίσει κατάλληλα το θεµατολογικό περιεχόµενο που αυτός κατέχει σε παιδαγωγικά αποτελεσµατική µορφή λαµβάνοντας υπόψη τις διαφορετικές ικανότητες και το υπόβαθρο των µαθητών (Shulman, 1987, σελ. 15). Είναι φανερό, λοιπόν, ότι η σχεδίαση κατάλληλων δραστηριοτήτων που συνδέουν τα µαθηµατικά µε το χώρο εργασίας, ευνοείται ιδιαίτερα από τη συνεργασία εκπαιδευτικών, η οποία µπορεί να οδηγήσει και στην επαγγελµατική τους εξέλιξη. Σε ανασκόπηση της έρευνας για το τι είναι αποτελεσµατικό στην επαγγελµατική ανάπτυξη των εκπαιδευτικών οι Joubert & Southerland (2009, ο.α. στο Wake, 2014) τονίζουν ότι αυτή θα πρέπει να διατηρηθεί στην πάροδο του χρόνου και ότι πρέπει να βασίζεται σε συνεργατικές κοινότητες εκπαιδευτικών. Με αυτόν τον τρόπο και µε στόχο την εφαρµογή διδασκαλιών µε καθοδηγούµενη διερεύνηση, τρεις εκπαιδευτικοί συνεργαστήκαµε ώστε να σχεδιάσουµε και να πραγµατοποιήσουµε µια σειρά από διδασκαλίες, κατά τη διάρκεια ενός σχολικού έτους, τις οποίες και θα περιγράψουµε στη συνέχεια. 2. Η διασχολική συνεργασία: σχεδιασµός και υλοποίηση Τα πραγµατολογικά δεδοµένα για αυτήν την εργασία προέκυψαν από τη διασχολική συνεργασία µας µε σκοπό την εφαρµογή στο Γυµνάσιο και στο Λύκειο δραστηριοτήτων µε χρήση διερευνητικής µάθησης στα µαθηµατικά, µε θέµατα που συνδέονται µε το χώρο εργασίας. Στην παρούσα εισήγηση θα παρουσιάσουµε τις δραστηριότητες και τις εµπειρίες των µαθητών και τις δικές µας, από τις εφαρµογή τους, καθώς και τις δυσκολίες που αντιµετώπισαν οι µαθητές στις συγκεκριµένες δραστηριότητες. Η διασχολική συνεργασία πραγµατοποιήθηκε σε τρία σχολεία στο Καλλιτεχνικό Σχολείο Γέρακα (δύο τµήµατα Β Λυκείου), στο Βαρβάκειο Πρότυπο Γυµνάσιο (δύο τµήµατα Β Γυµνασίου) και στο 2 ο Γενικό Λύκειο
Βριλησσίων (1 τµήµα Β Λυκείου) κατά τη διάρκεια ολόκληρου του σχολικού έτους 2014-2015. Για την αξιολόγηση των διδασκαλιών αξιοποιήσαµε τα φύλλα εργασίας που είχαν δοθεί και συµπληρωθεί από τους µαθητές, αποµαγνητοφωνηµένες συζητήσεις από την εργασία ορισµένων οµάδων µαθητών, ερωτηµατολόγια µε κλειστές και ανοιχτές ερωτήσεις καθώς και ένας µικρός αριθµός συνεντεύξεων. Τέλος, για την αξιολόγηση της συνεργασίας µας αξιοποιήθηκαν τα ερευνητικά ηµερολόγια που κρατήθηκαν. 2.1. Οι δραστηριότητες Για την εφαρµογή διδασκαλιών µε καθοδηγούµενη διερεύνηση σχεδιάστηκαν και πραγµατοποιήθηκαν µια σειρά από διδασκαλίες µε στόχους για τους µαθητές: α) την καλλιέργεια διερευνητικής σκέψης β) τη γνωριµία µε την εφαρµογή επιστηµονικής γνώσης στο χώρο εργασίας και γ) την ενίσχυση της συνεργασίας και επικοινωνίας µεταξύ τους. Οι εκπαιδευτικοί µέσα από συναντήσεις και ηλεκτρονική επικοινωνία συνεργάστηκαν για το σχεδιασµό των δραστηριοτήτων, προσάρµοσαν τις δραστηριότητες σε κάθε εκπαιδευτική βαθµίδα (Β Γυµνασίου και Λυκείου) αλλά και ιδιαιτερότητα κάθε σχολείου (Γενικό, Πρότυπο, Καλλιτεχνικό) και τις συνέδεσαν µε το αναλυτικό πρόγραµµα. Σε κάθε δραστηριότητα οι µαθητές αναλάµβαναν ρόλους εργαζοµένων σε διάφορους τοµείς (ηλεκτρολόγοι, τοπογράφοι ή αγρονόµοι µηχανικοί, product managers σε εταιρία), εργάστηκαν δε σε οµάδες µε τη βοήθεια φύλλων εργασίας, ελαφρώς διαφοροποιηµένων ανάλογα µε την ιδιαιτερότητα του κάθε σχολείου. Οι µαθητές µας είχαν την ευκαιρία να µελετήσουν φαινόµενα όπως η γραµµική και εκθετική µεταβολή, η µεταβολή του εµβαδού ενός σχήµατος υπό κλίµακα, ο µετασχηµατισµός ενός τριγώνου σε άλλο ισοδύναµο τρίγωνο. 2.1.α. Περιγραφή 1 ης δραστηριότητας: Γινόµαστε Ηλεκτρολόγοι Μηχανικοί. Η παρέµβαση αφορούσε στην εγκατάσταση του µέγιστου αριθµού φωτοβολταϊκών (Φ/Β) στην ταράτσα µιας κατοικίας, καθώς και στα οικονοµικά και περιβαλλοντικά πλεονεκτήµατα από την εγκατάσταση αυτή και αποτελούσε υλικό του προγράµµατος Mascil (Mathematics and Science for life) στο οποίο και συµµετείχαµε. Στο Καλλιτεχνικό Σχολείο (στο οποίο η πλειοψηφία των µαθητών ήταν θεωρητικού προσανατολισµού) και στο Βαρβάκειο Γυµνάσιο, ως εισαγωγή πραγµατοποιήθηκε ψηφιακή παρουσίαση σχετικά µε τα Φ/Β και συζητήθηκαν θέµατα που αφορούσαν στη λειτουργία τους και στους παράγοντες που επηρεάζουν τη απόδοσή τους. Έµφαση δόθηκε στο πρόβληµα του προσανατολισµού και της καταλληλότερης κλίσης για την εγκατάστασή των Φ/Β καθώς και στο
επακόλουθο πρόβληµα δηµιουργίας σκιάς από τον τρόπο τοποθέτησής τους, ζητήµατα απαραίτητα για τη διερεύνηση του προβλήµατος που τέθηκε αργότερα στους µαθητές. Ερώτηµα προς διερεύνηση από τους µαθητές: Ποιος είναι ο µέγιστος αριθµός φωτοβολταϊκών πλεγµάτων, µε διαστάσεις 1,654 και 0.993 και ισχύ 240 Watt/p, που µπορούµε να εγκαταστήσουµε σε µία επίπεδη ταράτσα µε σχήµα ορθογωνίου διαστάσεων 13µ και 9µ, όταν η γωνία κλίσης του φωτοβολταϊκού µε την ταράτσα είναι 28 0 ; Για την περιοχή µας είναι γνωστό ότι µέση ετήσια παραγωγή είναι 1250KWh (κιλοβατώρες) ανά εγκαταστηµένο KWp (κιλοβάτ). Ποιο είναι το κέρδος που θα µας αποφέρουν κάθε χρόνο; Μας συµφέρει οικονοµικά η εγκατάσταση τους; Και στα δύο σχολεία οι µαθητές έπρεπε να διερευνήσουν πώς έπρεπε να τοποθετηθούν τα Φ/Β (µε πλευρά στήριξης τη µεγαλύτερη ή τη µικρότερη πλευρά) ώστε η ταράτσα να καλυφθεί µε το µέγιστο αριθµό Φ/Β. Στο Λύκειο Βριλησσίων (µε την πλειοψηφία των µαθητών θετικού προσανατολισµού) οι µαθητές έπρεπε να υπολογίσουν µόνοι τους τη σκιά που δηµιουργείται από κάθε σειρά Φ/Β ώστε να βρουν την απόσταση ανάµεσα σε δύο συστοιχίες Φ/Β, µε βάση τις πληροφορίες από τις παρακάτω εικόνες. Εικόνα 4 Εικόνα 1 Εικόνα 2 Εικόνα 3 Η δραστηριότητα δόθηκε στο Καλλιτεχνικό σχολείο ως εισαγωγή στο κεφάλαιο της Τριγωνοµετρίας, ενώ στα άλλα δύο σχολεία ως ανακεφαλαιωτική δραστηριότητα. 2.1.β. Περιγραφή 2 ης πρόβληµα µετασχηµατισµού δύο πολυγώνων σε αντιστοίχως ισοδύναµα ορθογώνια πραγµατοποιήθηκε σε µία τάξη Β Λυκείου στο Καλλιτεχνικό σχολείο Γέρακα, σε 1 διδακτική ώρα στο µάθηµα της γεωµετρίας, µε διερευνητικό το παρακάτω ερώτηµα: Δύο αδέλφια έχουν τα παρακάτω γειτονικά δραστηριότητας: Γινόµαστε Τοπογράφοι: Το Εικόνα 4 οικόπεδα τα οποία έχουν προσόψεις σε δύο παράλληλους δρόµους. Επειδή το σχήµα των οικοπέδων δεν είναι κατάλληλο για οικοδόµηση, έρχονται σε σας, που είστε τοπογράφοι µηχανικοί, για να τους µετασχηµατίσετε τα
οικόπεδα σε ορθογώνια σχήµατα µε το ίδιο εµβαδόν και µε τις δυο όψεις του οικοπέδου στους παράλληλους δρόµους. Πώς θα τα σχεδιάσετε; 2.1.γ. Περιγραφή 3 ης δραστηριότητας: Γινόµαστε Product Managers σε µια εταιρία. Στο Καλλιτεχνικό σχολείο η δραστηριότητα πραγµατοποιήθηκε σε δύο τµήµατα Β Λυκείου σε δύο διδακτικές ώρες αντίστοιχα, ως εισαγωγή στην εκθετική συνάρτηση. Ερώτηµα προς διερεύνηση: Οι δύο product managers µιας εταιρίας παραλαµβάνουν στο τέλος Ιουνίου του 2015 ένα προϊόν της εταιρίας τους το οποίο είχε πωλήσεις 5000 το µήνα, µε στόχο να αυξήσουν τις πωλήσεις του. Συµφωνούν οι πωλήσεις του προϊόντος στο τέλος του 2017 να έχουν τετραπλασιαστεί µηνιαία. Διαφωνούν όµως ως προς το αναπτυξιακό µοντέλο που πρέπει να ακολουθήσουν. Ο πρώτος προτείνει να βάλουν στόχο οι πωλήσεις να αυξάνονται κάθε µήνα κατά το σταθερό αριθµό 500 κοµµατιών το µήνα. Ο δεύτερος προτείνει να βάλουν στόχο να έχουν σταθερό ποσοστό αύξησης των πωλήσεων κάθε µήνα 5%. Με πιο µοντέλο µπορούν να πετύχουν το στόχο τους και πιο µοντέλο συµφέρει µακροπρόθεσµα, σε βάθος πενταετίας, την εταιρία; Στο Λύκειο Βριλησσίων στόχος του εκπαιδευτικού ήταν να εξοικειωθούν οι µαθητές µε τη νέα, για αυτούς, εκθετική συνάρτηση την οποία είχαν διδαχθεί ως µαθηµατικό αντικείµενο όπως την παρουσιάζει το σχολικό βιβλίο, συγκρίνοντάς την και µε ήδη γνωστές τους συναρτήσεις. Το πρόβληµα προς διερεύνηση ήταν να προσδιοριστούν µέσα από πίνακα τιµών και χαρακτηριστικών ιδιοτήτων οι τρεις συναρτήσεις (γραµµική, δευτεροβάθµια πολυωνυµική και εκθετική), ώστε να βρεθεί σε 10 χρόνια πιο µοντέλο θα δώσει τις περισσότερες πωλήσεις. 2.1.δ. Περιγραφή 4 ης δραστηριότητας: Γινόµαστε Αγρονόµοι Μηχανικοί. Πραγµατοποιήθηκε σε ένα τµήµα Β Λυκείου στο Καλλιτεχνικό σχολείο Γέρακα στο µάθηµα της Γεωµετρίας και σε δύο τµήµατα του Βαρβακείου Γυµνασίου, κατά τη διάρκεια δύο διδακτικών ωρών. Ερωτήµατα προς διερεύνηση: Στην περιοχή του χωριού µας έπιασε φωτιά και κάηκαν οι καλλιέργειες ελιάς. Ο Δήµος, στον οποίο ανήκει το χωριό µας, για την ανάπλαση της καµένης γης απευθύνθηκε στο γραφείο ενός αγρονόµου µηχανικού για να χαρτογραφήσει την καµένη έκταση Ο µηχανικός χαρτογράφησε την περιοχή και έδωσε σε σας, που είστε συνεργάτης του, τον παρακάτω τοπογραφικό χάρτη κλίµακας 1:50.000, για να υπολογίσετε το Εµβαδόν της περιοχής και τον αριθµό των δενδρυλλίων που πρέπει να ζητήσει ο Δήµος από το αρµόδιο υπουργείο. Αν η φύτευση
των δενδρυλλίων είναι σε τετράγωνο µε αποστάσεις δενδροφύτευσης 5x5 µέτρα, πόσα δενδρύλλια πρέπει να παραγγείλει ο Δήµος; 3. Αποτελέσµατα Στην ενότητα αυτή θα παραθέσουµε τις εµπειρίες των µαθητών και των εκπαιδευτικών από την εφαρµογή των δραστηριοτήτων διερευνητικής µάθησης και θα περιγράψουµε τις δυσκολίες που συνάντησαν οι µαθητές κατά την επίλυση των προβληµάτων που τους τέθηκαν. Α. Κατασκευάζοντας µαθηµατική γνώση µέσα από τις δραστηριότητες διερευνητικής µάθησης: Η ανάλυση των φύλλων εργασίας και η παρατήρηση ανέδειξαν µια σειρά από θέµατα σχετικά µε τη διαδικασία κατασκευής της γνώσης από τους µαθητές. 1 η δραστηριότητα. Στο Καλλιτεχνικό σχολείο οι µαθητές αντιµετώπισαν δυσκολίες στην ανάκληση προηγούµενης γνώσης από το Γυµνάσιο (τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς), για την επίλυση πραγµατικού προβλήµατος, ενώ δε διερεύνησαν όλες τις δυνατές περιπτώσεις τοποθέτησης των Φ/Β ώστε να επιλέξουν τη βέλτιστη. Στο Βαρβάκειο, τα πρωτοτυπικά παραδείγµατα στα εµβαδά λειτούργησαν αρχικά ως εννοιολογικά εµπόδια στη διαπραγµάτευση του προβλήµατος, µε τους µαθητές να αγνοούν την κλίση των Φ/Β, να βρίσκουν το εµβαδόν ενός Φ/Β και να διαιρούν το εµβαδόν της ταράτσας µε αυτό για να βρουν τον αριθµό των Φ/Β. Στο Λύκειο Βριλησσίων οι περισσότερες οµάδες αντιµετώπισαν το πρόβληµα του ύψους και της σκιάς µε τη βοήθεια της τριγωνοµετρίας, αλλά αρκετές οµάδες δεν πήραν σε όλες τις περιπτώσεις τους κατάλληλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Μόνο µια οµάδα δεν χρησιµοποίησε καθόλου τριγωνοµετρία. Η οµάδα που βρήκε τη βέλτιστη λύση έλαβε υπόψιν της το ότι στην τελευταία σειρά Φ/Β δεν πρέπει να υπολογίσουµε λάβουµε υπόψιν µας τη σκιά που δηµιουργείται. Σε αυτό τους βοήθησε η διερεύνηση και των δύο δυνατών τρόπων τοποθέτησης των Φ/Β. 2 η δραστηριότητα. Η παρέµβαση αυτή δυσκόλεψε πολύ τους µαθητές, οι οποίοι προσπάθησαν να επιλύσουν το πρόβληµα µέσω σχεδίασης, χωρίς να χρησιµοποιήσουν τη µαθηµατικη πρόταση για την ισοδυναµία τριγώνων µε την ίδια βάση. 3 η δραστηριότητα. Στο Καλλιτεχνικό σχολείο οι µαθητές αναζήτησαν και βρήκαν µια σχέση για τη γραµµική µεταβολή, ενώ για την εκθετική µεταβολή περιορίστηκαν στην επίλυση του προβλήµατος θέτοντας διαδοχικές τιµές στην ανεξάρτητη µεταβλητή και παρατηρώντας τη µεταβολή της εξαρτηµένης. Οι µαθητές συνειδητοποίησαν ότι έπρεπε να καταλήξουν σε ένα γενικό και όχι ένα αναδροµικό τύπο για να υπολογίζουν την αύξηση της εκθετικής µεταβολής, αλλά δεν κατάφεραν να τον βρουν.
Στο Λύκειο Βριλησσίων όλες οι οµάδες ανακάλυψαν τον τύπο για την γραµµική µεταβολή, µία µόνο για τη δευτεροβάθµια συνάρτηση και άλλη µία οµάδα µπόρεσε να βρει τον τύπο της εκθετικής µεταβολής. 4 η δραστηριότητα. Και στα δύο σχολεία για τον υπολογισµό του εµβαδού ακανόνιστου σχήµατος οι µαθητές κατέληξαν στη χρησιµοποίηση τετραγωνισµένου χαρτιού, µετά την αποτυχία προσέγγισης του εµβαδού µέσα από γνωστά σχήµατα. Οι µαθητές του Βαρβακείου εύκολα διαπίστωσαν µετά από αρχικό λανθασµένο υπολογισµό, ότι το πραγµατικό εµβαδόν της περιοχής βρίσκεται αν πολλαπλασιαστεί το εµβαδόν του σχεδίου µε το τετράγωνο του λόγου της κλίµακας. Οι µαθητές του Καλλιτεχνικού Λυκείου αν και είχαν διδαχθεί την αντίστοιχη σχέση για τα εµβαδά των οµοίων σχηµάτων δεν ανακάλεσαν στη µνήµη τους τη σχέση αυτή, κάνοντας λάθος υπολογισµό του εµβαδού. Όµως επειδή έχουν εµπειρία στο σχέδιο και αυξηµένη την ικανότητα οπτικοποίησης, ορισµένες οµάδες εύκολα οδηγήθηκαν στον αριθµό των δένδρων, φυτεύοντας κάθε δένδρο στο σηµείο τοµής των διαγωνίων τετραγώνου µε πλευρά πέντε µέτρων. Σε αντιδιαστολή όλοι οι µαθητές του Βαρβακείου δυσκολεύτηκαν να τοποθετήσουν σε τετράγωνη διάταξη τα δενδρύλλια, πλην µιας µαθήτριας. Β. Οι εµπειρίες των µαθητών: Στο Βαρβάκειο Γυµνάσιο, από τις απαντήσεις των µαθητών στα ερωτηµατολόγια, φάνηκε ότι οι µαθητές θεωρούν ότι µε τη δραστηριότητα αυτή ενισχύθηκε η ενεργός συµµετοχή τους στο µάθηµα (31%), η ανάληψη πρωτοβουλιών (24%), η κριτική ικανότητα (18%), η δηµιουργικότητα (12%) και η συνεργατικότητα (12 %). Από δε την παρατήρηση διαφάνηκε πράγµατι, ότι ο ρόλος των µαθητών ως ενός επαγγελµατία τους προκάλεσε έντονο ενδιαφέρον, ότι οι µαθητές ενθουσιάστηκαν µε την εργασία σε οµάδες, ότι όλοι οι µαθητές είχαν µια θέση µέσα στην οµάδα, ενώ αναδείχθηκαν οι µαθητές που διαθέτουν πνεύµα ανεξάρτητο/διερευνητικό, πέρα από τα στεγανά στενά όρια που επιβάλλει το σχολείο. Στα δύο Λύκεια από τις ανοιχτές ερωτήσεις σε ερωτηµατολόγιο στους µαθητές και από τις συνεντεύξεις, αναδείχθηκαν οι παρακάτω αναλυτικές κατηγορίες: i) Κατανόηση/Γνώσεις: Οι µαθητές δηλώνουν ότι κατανόησαν τις µαθηµατικές έννοιες «Κατάλαβα την τριγωνοµετρία», «Να σκέφτοµαι και να παρατηρώ καλύτερα τα σχήµατα», αλλά και έµαθαν να σκέφτονται διαφορετικά «Νέους τρόπους σκέψης». Δηλώνουν επίσης ότι έµαθαν να εφαρµόζουν τις γνώσεις τους σε πραγµατικό πρόβληµα «Έµαθα να επιλύω
προβλήµατα που παρουσιάζονται στην καθηµερινή ζωή και να βγάζω συµπεράσµατα από αυτά». ii) Μαθηµατικά και χώρος εργασίας: Οι µαθητές συνέδεσαν τριγωνοµετρικούς και γεωµετρικούς τύπους και υπολογισµούς µε την πραγµατική ζωή, «Σκέφτηκα τα θετικά πράγµατα που µου δίνουν τα µαθηµατικά στη ζωή µου», «Είδα πού χρησιµεύουν στην καθηµερινότητα». Η σύνδεση µε το χώρο εργασίας και άρα µε την πραγµατική ζωή, αποτέλεσε το κυριότερο κίνητρο για να εργαστούν οι µαθητές που τις περισσότερες φορές είναι αδιάφοροι µε το αντικείµενο του µαθήµατος «µ άρεσε αυτό που ήταν να βρούµε την καµένη γη, γιατί χρησιµοποιήσαµε µαθηµατικά τα οποία δεν είχα σκεφτεί ότι µπορούν να χρησιµοποιηθούν και δω πέρα, µού δωσε το βύσµα να πάω το µυαλό µου κάπου αλλού από τα συνηθισµένα που διδασκόµαστε όλα αυτά τα χρόνια. iii) Δεξιότητες που καλλιεργήθηκαν στους µαθητές: Στους µαθητές καλλιεργήθηκε η συνεργατικότητα «Πιστεύω ότι αποκτήσαµε συνεργατικότητα και προσπαθούσαµε όλοι µαζί να λύσουµε το πρόβληµα», καθώς και δεξιότητες για τη διερεύνηση προβληµάτων «Συµµετείχα στις σκέψεις και τις πράξεις της οµάδας, παρότι δεν είµαι καλή στα µαθηµατικά», Γ. Οι εµπειρίες των εκπαιδευτικών: Από µιας µορφής δασκαλοκεντρικό µάθηµα οι εκπαιδευτικοί που συµµετείχαµε περάσαµε σε ένα διαφορετικό µάθηµα, µε τον εκπαιδευτικό σε ρόλο εµψυχωτή και υποστηρικτή των µαθητών οι οποίοι εργάζονται σε οµάδες. Μειώσαµε το χρόνο οµιλίας µας και βοηθήσαµε τις οµάδες των µαθητών µόνο όταν µας το ζητούσαν και µέσα από κατάλληλες ερωτήσεις. Επιδιώξαµε επίσης οι οµάδες των µαθητών να παρουσιάζουν τα αποτελέσµατά τους στην ολοµέλεια της τάξης, ώστε η επικύρωση της γνώσης να επέλθει µετά από τη συζήτηση των αποτελεσµάτων των οµάδων και όχι από τον ίδιο τον εκπαιδευτικό. Οι εκπαιδευτικοί µάθαµε να συνεργαζόµαστε και µέσα από την επικοινωνία αυτή µάθαµε να µετατρέπουµε µια δοµηµένη δραστηριότητα σε διερευνητική, ώστε οι µαθητές να εµπλακούν σε πρακτικές δράσης και αναζήτησης ενώ µετά την εφαρµογή της δραστηριότητας µάθαµε να αναστοχαζόµαστε τις εµπειρίες µας µε τους συναδέλφους µας. Τέλος διαπιστώσαµε ότι δραστηριότητες αυτής της µορφής λειτουργούν ενισχυτικά στη διδασκαλία για την εισαγωγή νέων εννοιών. 4. Ορισµένες τελικές επισηµάνσεις. Οι µαθητές συµµετείχαν περισσότερο από ό,τι σε ένα παραδοσιακό µάθηµα και λειτούργησαν µε καλύτερο τρόπο όταν συνεργάστηκαν για να διερευνήσουν ένα ερώτηµα. Για όλες τις οµάδες µαθητών κοινή παραδοχή ήταν ότι η σύνδεση µαθηµατικών µε την καθηµερινότητα τους
ενεργοποίησε περισσότερο, ενώ η συνεργασία µεταξύ τους ήταν πολύ σηµαντική και είχε ως αποτέλεσµα να µαθαίνουν ευκολότερα και µε πιο «διασκεδαστικό» τρόπο. Όσον αφορά τους εκπαιδευτικούς, κοινή διαπίστωση ήταν ότι παρόλο που υπήρξε αρχική δυσκολία στην προσέγγιση απόλυτα διερευνητικής µάθησης, αυτή αντιµετωπίστηκε µε τη γόνιµη συνεργασία τους. Θεωρούµε ότι διδασκαλίες αυτής της µορφής ενεργοποιούν τους µαθητές να χρησιµοποιήσουν τις γνώσεις τους για να επιλύσουν ένα πρόβληµα, να συνδιαλέγονται µε τα µέλη της οµάδας εξηγώντας στους άλλους τις σκέψεις τους, να µιλούν για µαθηµατικές έννοιες και φαινόµενα, να αναστοχάζονται πάνω στη διαδικασία και τα αποτελέσµατα και να διαπιστώνουν συνδέσεις ανάµεσα στα µαθήµατα του αναλυτικού προγράµµατος και το χώρο εργασίας. 5. Βιβλιογραφία Bruder, R. & Prescott, A. (2013). Research evidence on the benefits of IBL. ZDM Mathematics Education 45, 811 822 Dorier, J.-L., & Maaß, K. (2012). Inquiry-based mathematics education. In S. Lerman (Ed.), Encyclopedia of mathematics education. Heidelberg: Springer. Retrieved May 20, 2015. http://www.springerreference.com/index/chapterdbid/335725. Gilbert, J. (2006). On the nature of 'context' in chemical education. International Journal of Science Education, 28(9), 957-976. Joubert, M., & Sutherland, R. (2009). A perspective on the literature: CPC for teachers of mathematics. National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics. Kremer, A., & Schlüter, K. (2006). Analyse von Gruppensituationen beim forschend entdeckenden Lernen. Ergebnisse einer ersten Studie. Erkenntnisweg Biologiedidaktik, 5, 145 156. Linn, M.C., Davis E.A. & Bell, P.L. (2004) Inquiry and Technology. In M.C. Linn, E.A. Davis & P.L. Bell (Eds.), Internet environments for science education. (pp 3-27). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Spronken-Smith, R. (2008). Experiencing the process of knowledge creation: The nature and use of inquiry-based learning in higher education. Journal of Geography in Higher Education, 2, 183 201. Shulman L. S. (1987). Knowledge and Teaching: Foundations of the new reform. Harvard Educational Review,57(1), 1-22. Wake, G. (2014) Professional development approach of mascil, from http://www.mascilproject.eu/images/pdf/deliverable41mascilpreservicetoolkitfinalversion.pdf