Διαστάσεις του Χώρου Εργασίας (βάλτε ένα τικ στο κύριο χαρακτηριστικό μέσα από το. «Πραγματικό» πρόβλημα. Γεωμετρία του «μπιλιάρδου»

Transcript

1 Περιγραφή

2 Περίληψη Η δραστηριότητα αφορά τη μελέτη της γεωμετρίας του μπιλιάρδου. Στόχος της είναι να συνδέσει τις έννοιες των Μαθηματικών όπως αυτή της ομοιότητας και αυτές των τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας με έννοιες της Φυσικής όπως η αρχή διατήρησης της ορμής και η αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας. Η σύνδεση αυτή επιχειρείται στο πλαίσιο ενός «πραγματικού» προβλήματος το οποίο επιχειρήσαμε να συνδέσουμε με το χώρο εργασίας ενός προγραμματιστή. Χώρος Εργασίας To πλαίσιο στο οποίο δομείται η δραστηριότητα έχει σχέση με τον χώρο εργασίας. Θεωρούμε ότι η σχέση αυτή δεν είναι τόσο ισχυρή αλλά όχι και ιδιαίτερα αδύναμη ώστε να προσφέρεται απλά ως το περίβλημα της δραστηριότητας. Οι δραστηριότητες των μαθητών δεν σχετίζονται ιδιαίτερα με αυθεντικές πρακτικές από το χώρο εργασίας. Επίσης, ο τρόπος εργασίας των μαθητών θέλουμε να περιλαμβάνει χαρακτηριστικά της καθημερινής εργασίας των εργαζομένων, όπως η συνεργασία και η ανταλλαγή απόψεων. Κατά τη διάρκεια της εργασίας τους οι μαθητές αναμένεται να διερευνήσουν τα ερωτήματα της δραστηριότητας ενώ το αποτέλεσμα της δραστηριότητας είναι ένα προϊόν που δημιουργούν οι μαθητές και το οποίο θα πρέπει να κοινοποιήσουν σε αυτόν που τους το έθεσε. Διαστάσεις του Χώρου Εργασίας (βάλτε ένα τικ στο κύριο χαρακτηριστικό μέσα από το οποίο επιχειρείται η σύνδεση με το Χ.Ε. και περιγράψτε πολύ σύντομα το πώς λειτουργεί αυτό) Πλαίσιο «Πραγματικό» πρόβλημα Ρόλος Δραστηριότητα Γεωμετρία του «μπιλιάρδου» Σχετικό Επάγγελμα Προγραμματιστές λογισμικών Διερευνητική μάθηση

3 Η διερευνητική δράση των μαθητών δεν περιορίζεται καθώς το πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί αναπτύσσοντας διαφορετικές στρατηγικές. Η δραστηριότητα στηρίζει την συνεργασία και την επικοινωνία των μαθητών μεταξύ τους στην ομάδα τους αλλά και με τις υπόλοιπες ομάδες καθώς επισημαίνεται η ανάγκη της παρουσίασης των αποτελεσμάτων. Διαστάσεις (βάλτε ένα τικ σε όσα χαρακτηριστικά αξιοποιούνται) Διερεύνηση καταστάσεων/προβλημάτων Χ Σχεδιασμός Πειραματισμός Χ Ερμηνεία και αξιολόγηση/έλεγχος Χ Συζήτηση για τα αποτελέσματα Χ Άλλο (περιγράψτε τι) Πλαίσιο Εφαρμογής Περιοχή (σημειώστε με τικ) - Μαθηματικά Χ - Βιολογία - Φυσική Χ - Χημεία - Μηχανική Εκπαιδευτική βαθμίδα (σημειώστε με τικ) - Δημοτικό - Γυμνάσιο - Λύκειο Χ Ηλικία (σημειώστε ηλικιακή ομάδα π.χ ) Διάρκεια (σημειώστε πόσες διδακτικές ώρες εκτιμάτε ότι θα χρειαστούν) 2 Λεπτομέρειες (Υλικά που θα χρησιμοποιήσετε) ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ, Phet προσομοίωσης της κίνησης της μπάλας Διδακτική διαχείριση Περιγράψτε:

4 Πως θα δουλέψουν οι μαθητές Όμαδικά Πόσο διαφορετικές στρατηγικές αναμένεται να ακολουθήσουν οι μαθητές? Τουλάχιστον δύο Πως σκέφτεστε να αξιοποιήσετε τις διαφορετικές απαντήσεις των μαθητών? Παρότρυνση να τις συνδέσουν Τι δυσκολίες αναμένεται να αντιμετωπίσουν οι μαθητές? Δυσκολία στην επιλογή των αντίστοιχων Μαθηματικών εργαλείων Τι ακριβώς διερευνούν οι μαθητές και πως θα υποστηρίξετε τη διερεύνηση που θα κάνουν? Διερευνούν την κίνηση μιας μπάλας η οποία συγκρούεται ελαστικά και η υποστήριξη γίνεται με τη βοήθεια κατάλληλου λογισμικού (Phet) Πως θα υποστηριχθεί η σύνδεση με το χώρο εργασίας Θα γίνει συζήτηση για το πώς μπορούν να αξιοποιηθούν τα αποτελέσματα της δραστηριότητας από κάποιον που εργάζεται σε μια εταιρεία και επιθυμεί να φτιάξει ένα πρόγραμμα προσομοίωσης της κίνησης μιας μπάλας όπως αυτό που χρησιμοποιείται για να διερευνήσουν το πρόβλημα που τους έχει τεθεί. Οι στόχοι της δραστηριότητας Οι στόχοι δεν είναι κοινοί ανά γνωστικό αντικείμενο όμως το αποτέλεσμα της εφαρμογής στην ώρα της Φυσικής θα χρησιμοποιηθεί (είναι προϋπόθεση) στη δραστηριότητα που λαμβάνει χώρα την ώρα των Μαθηματικών. Οι μαθητές στα Μαθηματικά αναμένεται να επιλέξουν να χρησιμοποιήσουν τις έννοιες της ομοιότητας από τη Γεωμετρία αλλά και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας από την Άλγεβρα κατάλληλα για να επιλύσουν το πρόβλημα. Οι μαθητές αναμένεται να κατανοήσουν ότι οι αυστηρά Μαθηματικές έννοιες που διδάσκονται βρίσκουν εφαρμογές και σε προβλήματα έξω από τα Μαθηματικά. Οι στόχοι θα έχουν επιτευχθεί αν οι μαθητές καταφέρουν να προχωρήσουν στα ερωτήματα της δραστηριότητας και αρχίσουν να κοινοποιούν συμπεράσματα και σε μη Μαθηματική γλώσσα. ΥΛΙΚΑ Παρουσίαση του φύλλου εργασίας

5 Φύλλο εργασίας (1 η εφαρμογή) Το πρόβλημα Πρόκειται να βοηθήσετε έναν προγραμματιστή παιχνιδιών να σχεδιάσει ένα ηλεκτρονικό παιχνίδι για κινητά. Το παιχνίδι «προσομοιάζει» τα γνωστά σε όλους μας φλίπερ. Έχετε στη διάθεσή σας όλες τις μαθηματικές και φυσικές γνώσεις που έχετε αποκτήσει μέχρι σήμερα για να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα του προγραμματιστή. Α) Τι κίνηση εκτελεί η μπάλα πριν και μετά τη σύγκρουσή της με κάθε «τοίχο»; Β) Τι πιστεύετε ότι καθορίζει την τροχιά που θα διαγράψει η μπάλα αν θεωρήσουμε ότι η μπάλα ξεκινά από έναν από τους τέσσερις «τοίχους»; Γ) Τι ιδιότητες έχει η τροχιά που διαγράφει η μπάλα στην περίπτωση που αυτή χτυπά και στους τέσσερις «διαδοχικούς τοίχους»; Δ) Ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν ώστε η μπάλα να χτυπά και στους τέσσερις «διαδοχικούς τοίχους»; Ε) Ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν ώστε η μπάλα να χτυπά και στους τέσσερις «διαδοχικούς τοίχους» και να επιστρέψει στην αρχική της θέση; Σε αυτή την περίπτωση ποιο είναι το μήκος της τροχιάς της μπάλας; Σημαντικές πληροφορίες συμβάσεις: Η μπάλα συγκρούεται ελαστικά με κάθε «τοίχο». Στη μπάλα ασκούνται δυνάμεις μόνο κατά την σύγκρουσή της με καθέναν από τους «τοίχους». Θεωρούμε ότι οι διαστάσεις του φλίπερ είναι 1 και 2

6 Φύλλο εργασίας (2 η εφαρμογή, χωρίς την παρέμβαση στο μάθημα της Φυσικής) Το πρόβλημα Πρόκειται να βοηθήσετε έναν προγραμματιστή παιχνιδιών να σχεδιάσει ένα ηλεκτρονικό παιχνίδι για κινητά. Το παιχνίδι «προσομοιάζει» τα γνωστά σε όλους μας φλίπερ. Προσπαθήστε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα του προγραμματιστή. Α) Τι πιστεύετε ότι καθορίζει την τροχιά που θα διαγράψει η μπάλα αν θεωρήσουμε ότι η μπάλα ξεκινά από έναν από τους τέσσερις «τοίχους»; Β) Τι ιδιότητες έχει η τροχιά που διαγράφει η μπάλα στην περίπτωση που αυτή χτυπά και στους τέσσερις «τοίχους» διαδοχικά; Γ) Ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν ώστε η μπάλα να χτυπά και στους τέσσερις «τοίχους» διαδοχικά; Δ) Ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν ώστε η μπάλα να χτυπά και στους τέσσερις «τοίχους» διαδοχικά και να επιστρέψει στην αρχική της θέση; Σε αυτή την περίπτωση ποιο είναι το μήκος της τροχιάς της μπάλας; Σημαντικές πληροφορίες συμβάσεις: Η μπάλα συγκρούεται ελαστικά με κάθε «τοίχο». Στη μπάλα ασκούνται δυνάμεις μόνο κατά την σύγκρουσή της με καθέναν από τους «τοίχους». Θεωρούμε ότι οι διαστάσεις του φλίπερ είναι 1 και 2

7 Ενδεικτικές Απαντήσεις στο Φύλλο εργασίας Α) Τι κίνηση εκτελεί η μπάλα πριν και μετά τη σύγκρουσή της με κάθε «τοίχο»; Ευθύγραμμη ομαλή Β) Τι πιστεύετε ότι καθορίζει την τροχιά που θα διαγράψει η μπάλα αν θεωρήσουμε ότι η μπάλα ξεκινά από έναν από τους τέσσερις «τοίχους»; Το σημείο του τοίχου από το οποίο «ξεκινά» η μπάλα και η γωνία με την οποία «φεύγει» η μπάλα (εναλλακτικά η διεύθυνση της ταχύτητας) Γ) Τι ιδιότητες έχει η τροχιά που διαγράφει η μπάλα στην περίπτωση που αυτή χτυπά και στους τέσσερις «διαδοχικούς τοίχους»; Διαγράφει μια πολυγωνική γραμμή της οποίας οι μη διαδοχικές πλευρές είναι παράλληλες. Η απόδειξη έχει ως εξής: ΓΜˆ 2Μ3 = φ και επειδή ΓΜ 2 //ΑΜ 0 έπεται ότι Μ 2 Μ 3 //Μ 1 Μ 0. Όμοια αποδεικνύεται ότι Μ 1 Μ 2 //Μ 3 Μ 4. Δ) Ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν ώστε η μπάλα να χτυπά και στους τέσσερις «διαδοχικούς τοίχους»; Είναι Μ 1 Α=x εφφ, άρα θα πρέπει 0<Μ 1 Α<1 0<x εφφ<1 x<σφφ. (Σ1) 1 εφφ x Είναι ΔΜ2 =, άρα πρέπει 0<ΔΜ 2 <2 (2+x) εφφ> σφφ<2+x. (Σ2) εφφ Είναι ΓΜ 3 = (2 + x) εφφ 1, άρα πρέπει 0<ΓΜ 3 <1 (2+x) εφφ<2 σφφ>(2+x)/2 σφφ>1+x/2. (Σ3) 2 (2εφφ + x) Είναι ΒΜ4 =, άρα πρέπει εφφ 0<ΒΜ 4 <2 (4+x) εφφ>2 σφφ<(4+x)/2 σφφ<2+x/2. (Σ4) Από τα παραπάνω (και επειδή0<x<2, άρα x<1+x/2 και 2+x/2<2+x) με συναλήθευση των (Σ1), (Σ2), (Σ3) και (Σ4) έχουμε ότι θα πρέπει x x 1σφφ + < 2 < + 2 2

8 Ε) Ποιες συνθήκες πρέπει να ισχύουν ώστε η μπάλα να χτυπά και στους τέσσερις «διαδοχικούς τοίχους» και να επιστρέψει στην αρχική της θέση; Σε αυτή την περίπτωση ποιο είναι το μήκος της τροχιάς της μπάλας; Θα πρέπει ΒΜ 4 =2-ΑΜ 0 εφφ=1/2 Μ 0 Μ 1 //ΒΔ. Τότε: x x 2 x 2 x Π = = = = 2 ΒΔ συνφ συνφ συνφ συνφ συνφ συνφ Phet (Προσομοίωση κίνησης)

9 The mascil project has received funding from the European Union s Seventh Framework Programme for research, technological development and demonstration under grant agreement no mascil project (G.A. no ), lead partner: University of Education Freiburg; CC BY_NC_SA 4.0 license granted Original idea of this task: Mascil Team The Netherlands