ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών πολυγώνων. Μία ώρα για την κατασκευή κανονικών πολυγώνων. Μία ώρα για τη γωνία και την κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ : Οι μαθητές επιδιώκεται: να γνωρίζουν τον ορισμό του κανονικού πολυγώνου, να γνωρίζουν ότι ένα κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε κύκλο, να αποκτήσουν ευχέρεια στον υπολογισμό της γωνίας και της κεντρικής γωνίας ν-γώνου, να μπορούν να κατασκευάζουν απλά κανονικά πολύγωνα χρησιμοποιώντας τον υπολογισμό της κεντρικής γωνίας τους, να συσχετίζουν τη γωνία ή την κεντρική γωνία ενός κανονικού πολυγώνου με το πλήθος των πλευρών του. ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Η κατασκευή των κανονικών πολυγώνων δεν είναι αυστηρά γεωμετρική. Ουσιαστικά, γίνεται μια αντιστοίχηση της κεντρικής γωνίας με τις πλευρές του κανονικού πολυγώνου. Η γεωμετρική απόδειξη ότι η γωνία ν-γώνου είναι παραπληρωματική της κεντρικής γωνίας θα γίνει αναλυτικά μέσα στην τάξη Τα φύλλα εργασίας θα δοθούν στους μαθητές στην τάξη και με αυτενέργειά τους και καθοδήγηση του καθηγητή, όπου αυτό κρίνεται απαραίτητο, θα οδηγηθούμε στην επίτευξη των προαναφερθέντων στόχων. ΧΩΡΟΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ: Tο σχέδιο μαθήματος προτείνεται να διεξαχθεί εναλλάξ στην τάξη και στο εργαστήριο υπολογιστών (ή διαφορετικά κάνοντας χρήση του διαδραστικού πίνακα) ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΡΓΑΛΕΙΑ: Οι μαθητές πρέπει να έχουν στη διάθεσή τους φύλλα εργασίας, το σχολικό βιβλίο της Β Γυμνασίου και το τετράδιο σημειώσεων.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( Κανονικά πολύγωνα ) Δραστηριότητα 1 : Θεωρούμε ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ ( τυχαίο μήκος ) και πάνω σε σ αυτόν παίρνουμε 5 διαδοχικά ίσα τόξα τα: AB, B,,,. Στην συνέχεια αν φέρετε τις χορδές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΕ και ΕΑ σχηματίζεται ένα πεντάγωνο το... Αν συγκρίνετε τις παραπάνω χορδές θα διαπιστώσετε ότι είναι... μεταξύ τους διότι τα αντίστοιχα... είναι ίσα μεταξύ τους. Κάθε μία από τις πέντε επίκεντρες γωνίες 1, 2, 3, 4, 5 είναι...μεταξύ τους διότι... Είναι 1 2 3 4 5... Το μέτρο κάθε μίας από τις παραπάνω γωνίες είναι....=... Στο τρίγωνο ΑΟΒ το οποίο είναι... διότι ΟΑ...ΟΒ =... ισχύει: 1... 2 Είναι : 1 2..., 180... άρα 1.... 2 Το ίδιο συμβαίνει σε όλα τα τρίγωνα που έχουν σχηματισθεί. Συμπέρασμα: α) Όλα τα τρίγωνα που σχηματίστηκαν είναι..., β) Οι ακτίνες...τις γωνίες του πενταγώνου, γ) Όλες οι γωνίες του πενταγώνου είναι... μεταξύ τους και έχουν η κάθε μία μέτρο... Το πεντάγωνο αυτό λέγεται κανονικό. Το ίδιο συμβαίνει και όταν έχουμε γενικά κανονικό ν γωνο - 2 -
Ορισμός : Το πολύγωνο το οποίο έχει όλες τις... ίσες μεταξύ τους και τις... ίσες μεταξύ τους ονομάζεται... Ορισμός : Κάθε μία από τις ίσες επίκεντρες γωνίες ονομάζεται κεντρική γωνία του κανονικού ν γωνου, συμβολίζεται με ω και δίνεται από την σχέση 0 360 Η γωνία του κανονικού ν-γωνου συμβολίζεται με φ και μαζί με την κεντρική γωνία του κανονικού ν-γωνου είναι γωνίες... δηλαδή :... Ο κύκλος ( Ο, ρ ) ονομάζεται περιγεγραμμένος του κανονικού ν γωνου Δραστηριότητα 2 : Να βρείτε τη γωνία και την κεντρική γωνία και την γωνία του κανονικού εικοσαγώνου. Λύση:......... Δραστηριότητα 3 : α) Να βρείτε ποιο κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 15. β) Να βρείτε ποιο κανονικό πολύγωνο έχει γωνία 144. Λύση:... Δραστηριότητα 4 : α) Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο με κεντρική γωνία: 70 ο β) Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο με γωνία: 100 0 Λύση:... - 3 -
Δραστηριότητα 5 : Να κατασκευάσετε ένα κανονικό εννιάγωνο. Λύση: Υπολογίστε τη γωνία......... Γράψτε κύκλο (Ο,ρ) και σχηματίστε μία επίκεντρη γωνία... Φέρτε την χορδή ΑΒ και στην συνέχεια γράψτε κύκλο με κέντρο το Β και ακτίνα ρ = ΑΒ που τέμνει το αρχικό στο σημείο Γ. Η διαδικασία αυτή να γίνει όμοια άλλες... φορές. Σχεδιάστε τα διαδοχικά τόξα τα οποία είναι... μεταξύ τους και φέρνουμε τις χορδές των παραπάνω τόξων. Δραστηριότητα 6 : Να σχεδιάσετε σε ένα κύκλο ένα τετράγωνο και ένα κανονικό οκτάγωνο. Λύση: - 4 -
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση 1. Η κεντρική γωνία κανονικού δεκαγώνου είναι: Α. 30 Β. 72 Γ. 10 Δ. 36 2. Η γωνία του κανονικού εξαγώνου είναι: Α. 30 Β. 36 Γ. 150 Δ. 120 3. Η κεντρική γωνία κανονικού 15-γώνου είναι: Α. 24 Β. 15 Γ. 156 Δ. 30 4. Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 12.Το πλήθος των πλευρών του είναι: Α. 15 Β. 6 Γ. 30 Δ. 60 5. Ένα κανονικό πολύγωνο έχει γωνία 60. Το πλήθος των πλευρών του είναι: Α. 6 Β. 3 Γ. 9 Δ. 12 6. Ένα κανονικό πολύγωνο έχει κεντρική γωνία 45. η γωνία του πολύγωνου είναι: Α. 135 Β. 90 Γ. 45 Δ. 55 7.Ένα κανονικό πολύγωνο έχει γωνία 108.Η κεντρική γωνία του πολυγώνου είναι: Α. 42 Β. 92 Γ. 72 Δ. 108 8. Ένα κανονικό πολύγωνο έχει γωνία 90. Η κεντρική γωνία του πολυγώνου είναι: Α. 110 Β. 45 Γ. 70 Δ. 90 Να χαρακτηρίσετε με Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη) τις παρακάτω προτάσεις: α) Υπάρχει κανονικό πολύγωνο που να έχει οξεία γωνία. β) Στο κανονικό εξάγωνο η πλευρά του είναι ίση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. γ) Ο ρόμβος είναι κανονικό πολύγωνο. δ) Η κεντρική γωνία του κανονικού εξαγώνου είναι διπλάσια από την κεντρική γωνία του κανονικού τριγώνου. - 5 -
1. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΥΤΕΝΕΡΓΕΙΑ Πλήθος πλευρών κανονικού πολυγώνου 4 5 8 12 Γωνία πολυγώνου Κεντρική γωνία 2. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Γωνία κανονικού πολυγώνου 120 108 Κεντρική γωνία 20 40 3. Σε κανονικό πολύγωνο η γωνία του είναι πενταπλάσια της κεντρικής του γωνίας. Να βρείτε τον αριθμό των πλευρών του πολυγώνου. 4. Στο διπλανό σχήμα ένα κανονικό οκτάγωνο, ένα κανονικό εξάγωνο και ένα κανονικό πεντάγωνο έχουν κοινή κορυφή. Είναι κατασκευαστικά δυνατόν; 5. Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα κανονικό εξάγωνο, ένα κανονικό πεντάγωνο και δύο ισόπλευρα τρίγωνα. - 6 -
6. Οκτώ τραπέζια, όπως αυτά της διπλανής εικόνας, σχηματίζουν ένα μεγάλο κανονικό οκταγωνικό τραπέζι. Να βρεθούν οι γωνίες των ισοσκελών τραπεζίων. 7. Ένα κανονικό πολύγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε τόξο με χορδή την πλευρά του κανονικού πολυγώνου είναι 15 0, να βρεθεί το πλήθος των πλευρών του. 8. Να δείξετε ότι η διχοτόμος ΒΖ, της γωνίας ΑΒΕ ενός κανονικού πενταγώνου ΑΒΓΔΕ είναι κάθετη στην πλευρά ΒΓ. 9. Τα πολύγωνα είναι κανονικά. Να βρεθεί η γωνία x. - 7 -