ΣΚΕΔΑΣΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΖΕΥΓΟΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΣΚΕΔΑΣΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ & ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΚΕΔΑΣΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΖΕΥΓΟΣ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΣΚΕΔΑΣΤΩΝ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΕΠΙ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΑ υπό ΙΩΑΝΝΗ ΛΟΥΚΑ ΛΕΚΑΤΣΑ Πτυχ. Μαθματικού του Πανεπιστμίου Πατρών ΠΑΤΡΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ

Τετάρτ Ιανουαρίου και ώρα 7:3 στν αίθουσα Συνεδριάσεων του Τμήματος Μχανολόγων και Αεροναυπγών Μχανικών ΕΠΤΑΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Τριμελής Συμβουλευτική Επιτροπή. Ομότιμος Καθγτής Στέφανος Παϊπέτς. Καθγτής Βασίλειος Κωστόπουλος 3. Καθγτής Γεώργιος Δάσιος * Μέλ Εξεταστικής 4. Καθγτής Νικόλαος Ανυφαντής 5. Καθγτής Yai Araoudov ** 6. Επίκουρος Καθγήτρια Πνελόπ Μενούνου 7. Καθγτής Δμοσθένς Πολύζος * Ο κ. Γεώργιος Δάσιος είναι Καθγτής του Τμήματος Χμικών Μχανικών του Πανεπιστμίου Πατρών ** Ο κ. Yai Araoudov είναι Καθγτής του Τεχνικού Πανεπιστμίου τς Σόφιας 3

Uiversity of Patras Departmet of Mechaical Egieerig & Aeroautics ectio of Applied Mechaics, Applied Mechaics Laboratory Paepistimioupolis, Rio, Patras, GR 654 Tel.: 3 6 969446 Fax: 3 6 96947 e mail: lekatsas@mech.upatras.gr 4

ΑΦΙΕΡΩΣΗ Αφιερώνεται στν Κατερίνα μου με τν ευχή σύντομα να γιορτάσουμε τν απόκτσ του δικού τς Διδακτορικού. 5

6

EYΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θεωρώντας ότι είχα τν ιδιαίτερ τιμή και τύχ, Τριμελής Συμβουλευτική μου επιτροπή να αποτελείται από τρεις διεθνώς καταξιωμένους επιστήμονες, θα ήθελα να αρχίσω ευχαριστώντας τον καθένα τους ξεχωριστά: Τον Ομότιμο Καθγτή κ. Στέφανο Παϊπέτ για τν συμβολή του στν εκτέλεσ του Διδακτορικού μου προσφέροντάς τν πολύτιμ πολύπλευρ του γνώσ και επρεάζοντας τον τρόπο σκέψς μου. Τον Καθγτή κ. Βασίλειο Κωστόπουλο που με τν επιστμονική του κατάρτισ και με το άγρυπνο βλέμμα του υπεύθυνου επιστήμονα δρομολόγσε με προσεκτικά βήματα τν ολοκλήρωσ του Διδακτορικού. Τον καθγτή κ. Γιώργο Δάσιο που με τν επιστμονική συνέπεια αλλά και με μεράκι για τα Μαθματικά ήταν πάντα παρών δίνοντας χρήσιμες συμβουλές και αμέριστ βοήθεια, τόσο που χωρίς αυτήν πραγματοποίσ του Διδακτορικού θα ήταν προβλματική. Θέλω ακόμ να ευχαριστήσω το προσωπικό του Εργαστρίου Τεχνικής Μχανικής και Ταλαντώσεων και τους Μεταπτυχιακούς Φοιττές του που συνέβαλαν στ δμιουργία ενός ιδανικού περιβάλλοντος για αποδοτική εργασία και εξαιρετικές συνθήκες για τν πραγματοποίσή τς. Τέλος, επιθυμώ να εκφράσω τα βαθειά μου αισθήματα ευγνωμοσύνς και τρυφερόττας, στν οικογένειά μου, τ σύζυγό μου Ντία και τν κόρ μου Κατερίνα, για τ γεμάτ στοργή και ανεκτικόττα στήριξή τους κατά τ διάρκεια όλων αυτών των δύσκολων χρόνων σκλρής αλλά δμιουργικής δουλειάς, που μοιραία απορροφούσε σμαντικό μέρος του χρόνου μου, που δικαιωματικά τους ανήκε. 7

Σκέδασ ακουστικών κυμάτων από ζεύγος σφαιρικών σκεδαστών Διδακτορική Διατριβή Του Ιωάννου Λούκα Λεκατσά Περίλψ Αντικείμενο τς διατριβής είναι επίλυσ των προβλμάτων τς σκέδασς επιπέδων ακουστικών κυμάτων χαμλών συχνοτήτων από ένα διαπερατό σφαιρικό κέλυφος με έκκεντρο μαλακό, σκλρό ή διαπερατό πυρήνα και από μια μαλακή σφαίρα κάτω από ένα διαπερατό επίπεδο. Η λύσ των προβλμάτων σκέδασς στν περιοχή χαμλών συχνοτήτων επιδέχεται ανάπτυγμα Taylor σε δυνάμεις του κυματικού αριθμού k, όπου οι συντελεστές του αναπτύγματος (προσεγγίσεις χαμλής συχνόττας συνιστούν ακολουθία λύσεων στάσιμων προβλμάτων τς θεωρίας δυναμικού. Ένα πρόβλμα σκέδασς μπορεί να δεχθεί προσέγγισ χαμλών συχνοτήτων όταν το μήκος κύματος τς κυματικής διαταραχής είναι πολύ μεγαλύτερο από τν ακτίνα τς ελάχιστς περιγεγραμμένς σφαίρας του σκεδαστή. Το δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων παρέχει κατάλλλο περιβάλλον για τν επίλυσ προβλμάτων πολλαπλής σκέδασς από δύο σφαίρες Αυτό ισχύει μόνο στ περιοχή των χαμλών συχνοτήτων δεδομένου ότι εξίσωσ Laplace επιδέχεται διαμορφωμένο χωρισμό στις δισφαιρικές συντεταγμένες, ενώ δεν συμβαίνει το ίδιο στν εξίσωσ Helmholtz. Προσαρμόζοντας το δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων στν δεδομέν γεωμετρία του κάθε προβλήματος απλουστεύεται περιγραφή των χώρων που ορίζονται από το έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος και οι σφαιρικές επιφάνειες του προβλήματός μας περιγράφονται από διαφορετικές τιμές τς ίδιας συντεταγμένς μεταβλτής, ενώ ο απομακρυσμένος χώρος περιγράφεται από μια γειτονιά τς αρχής των συντεταγμένων στο παραμετρικό χώρο των μεταβλτών, θ. Επιλύοντας τα αντίστοιχα προβλήματα συνοριακών συνθκών για μδενική και πρώτς τάξεως προσεγγίσεις, καταλήγουμε σε αντίστοιχες αναγωγικές εξισώσεις ακολουθιών των συντελεστών ή αντίστοιχα συστήματα αναγωγικών εξισώσεων. Δεδομένου ότι οι ακολουθίες των συντελεστών συγκλείνουν ταχύτατα, περιοριζόμαστε στους πρώτους όρους συντελεστών και οι αναδρομικές εξισώσεις ή τα συστήματα αναγωγικών εξισώσεων ανάγονται σε εξισώσεις πινάκων ή γραμμικά συστήματα εξισώσεων με άγνωστους πίνακες στήλες και συντελεστές των αγνώστων τριδιαγώνιοι πίνακες. Με τν πρωτότυπ αυτή μέθοδο προσδιορίζονται ακριβώς οι πρώτοι όροι χαμλών συχνοτήτων των δύο προσεγγίσεων μδενικής και οι πρώτς τάξεως, και στ συνέχεια οι προσεγγίσεις του πλάτους σκέδασς και των ενεργειακών διατομών σκέδασς. Μειώνοντας τν απόστασ d των κέντρων συμπεραίνουμε ότι το πρόβλμα τς σκέδασς ομόκεντρου σφαιρικού φλοιού δεν μπορεί να θεωρθεί ειδική περίπτωσ του προαναφερθέντος προβλήματος. 8

Low-Frequecy scatterig of acoustical waves by a pair of spherical scatterers A Doctoral Thesis by JOHN LUCA-LEKATA Graduate of Mathematics Departmet of Uiversity of Patras ABTRACT A plae wave is scattered by a acoustically soft, hard or peetrable sphere, covered by a peetrable o-cocetric spherical lossless shell which disturbs the propagatio of the icidet plae wave field. There is exactly oe bispherical coordiate system that fits the give twosphere obstacle. If the wavelegth of the icidet field is much larger tha the radius of the exterior sphere, Low Frequecy Theory reduces the scatterig problem to a sequece of potetial problems which ca be solved iteratively Applyig the correspodig boudary value problem for each case, a set of two equatios results as well as a recurrece equatio with three ukow sequece of coefficiets for zero-th order, ad the first-order approximatio is obtaied, by solvig two sets of two equatios ad a recurrece equatio with three ukow sequece coefficiets each for the soft core or the calculatio of the zero th order coefficiets of the hard or peetrable core, leads to a solutio of a liear system of two equatios with two ukow colums A ad B ad tridiagoal square matrices are coefficiets of the ukow colums, while the first-order approximatio is obtaied, by solvig two liear systems of two equatios with four ukow colums G, E ad C, D ad eight tri-diagoal matrices as coefficiets of the ukow colums. Applyig the cut-off method for soft, hard ad peetrable sphere, the lowfrequecy coefficiets of the zero-th ad first-order for the ear field as well as the first ad secod-order coefficiets are obtaied for the ormalized scatterig amplitude ad cross sectio. A plae wave is scattered by a acoustical soft acoustic sphere embedded ito a acoustically lossless half space, which disturbs the propagatio of the icidet wave field. I the first step, the problem of soud diffractio by oly a peetrable plae is solved, were the amplitudes of reflective ad diffractive acoustical waves are calculated. I the secod step the diffractive as a icidet wave is scattered by the embedded acoustical soft sphere. Exactly oe bispherical coordiate system exists that fits the give geometry of the obstacle ad the plae boudary. The size of the sphere is much smaller tha the wavelegth of the icidet wave field. Low frequecy theory reduces this scatterig problem to a sequece of potetial problems which ca be solved iteratively. The low frequecy zero-th ad first order coefficiets of the ear field are calculated for the soft scatterer ad fially the scatterig amplitude ad cross-sectio are determied. Future research icludes a effort to solve the iverse scatterig problems, defiig the positio ad the radius of the spheres ad to ivestigate why complicated solutios i the bispherical realm occur. 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελίδες ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 3 ΜΕΡΟΣ Ι ΣΚΕΔΑΣΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΩΝ ΧΑΜΗΛΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ.: ΔΙΑΔΟΣΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.: ΦΥΣΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΤΟΥ ΕΥΘΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΚΕΔΑΣΗΣ ΓΙΑ ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΠΡΟΣΠΤΩΣΗ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.3: ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΕΝΤΑΣΗ 57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ, ΠΛΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΟΜΕΣ ΣΚΕΔΑΣΗΣ 59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 5: ΑΝΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΧΑΜΗΛΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ.6: ΣΚΕΔΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΦΑΙΡΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΉΣΗ ΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 77

ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΔΙΣΦΑΙΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ 94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.: ΣΚΕΔΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΧΑΜΗΛΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟ ΔΙΑΠΕΡΑΤΟ ΕΚΚΕΝΤΡΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΚΕΛΥΦΟΣ ΜΕ ΜΑΛΑΚΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΠΥΡΙΝΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.: ΣΚΕΔΑΣΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΦΑΙΡΑ ΩΣ ΜΑΛΑΚΟΥ ΣΚΕΔΑΣΤΟΥ DIRICHLET 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.3: ΣΚΕΔΑΣΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΜΙΑ ΔΙΑΠΕΡΑΤΗ ΣΦΑΙΡΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.4: ΣΚΕΔΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΧΑΜΗΛΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟ ΔΙΑΠΕΡΑΤΟ ΕΚΚΕΝΤΡΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΚΕΛΥΦΟΣ ΜΕ ΣΚΛΗΡΟ ΠΥΡΗΝΑ 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.5: ΣΚΕΔΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΧΑΜΗΛΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟ ΔΙΑΠΕΡΑΤΟ ΕΚΚΕΝΤΡΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΚΕΛΥΦΟΣ ΜΕ ΔΙΑΠΕΡΑΤΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΠΥΡΗΝΑ 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.6: ΣΚΕΔΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΧΑΜΗΛΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟ ΜΙΑ ΜΑΛΑΚΗ ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΕΝΑ ΔΙΑΠΕΡΑΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 3 ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ 5

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π.A: Ιδιόττες των συναρτήσεων Legedre 8 Π.B: Υπολογισμοί ολοκλρωμάτων 3 Π.C: Δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων (προσαρμογή δισφαιρικού συστήματος συντεταγμένων σε δοθείσες σφαίρες 3 Π.D: Σκέδασ ακουστικών κυμάτων χαμλών συχνοτήτων από μία σφαίρα σε σφαιρικό σύστμα συντεταγμένων 35 Π.Ε: Εσωτερική Ολοκλρωτική Αναπαράστασ τς Λύσς τς Εξίσωσς του Helmholtz 44 Π.F: Εξωτερική Ολοκλρωτική Αναπαράστασ τς Λύσς τς Εξίσωσς του Helmholtz 49 Π.G: Υπολογισμός του Πλάτους Ενεργειακής διατομής σκέδασς 54 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 56 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 63 3

4

Σ Υ Μ Β Ο Λ Ι Σ Μ Ο Ι. Παράμετροι - μεταβλτές β : λόγος πυκνοτήτων μαζών των V, V - β : λόγος πυκνοτήτων μαζών των V -, V = γ : συμπιεστόττα στον V γ - : συμπιεστόττα στον V - δ : συντελεστής απόσβεσς V δ - : συντελεστής απόσβεσς V - Ζ : ακουστική αντίστασ : σχετικός δείκτς διάθλασς των V, V - : σχετικός δείκτς διάθλασς των V -, V = λ : μήκος κύματος προσπίπτοντος κυματικού πεδίου 5

ν : συχνόττα ρ : πυκνόττα μάζας στον V ρ - : πυκνόττα μάζας στον V - ρ = : πυκνόττα μάζας στον V = T : χρονική περίοδος ω : κυκλική συχνόττα c : φασική ταχύττα στο V c - : φασική ταχύττα στο V - c = : φασική ταχύττα στο V = x, x, x 3 : : ορθοκανονικές συντεταγμένες, θ,φ: : δισφαιρικές συντεταγμένες r, θ, φ : σφαιρικές συντεταγμένες ( r ˆ, ˆ θ, ˆ ϕ : σφαιρικά μοναδιαία διανύσματα Imf : φανταστικό μέρος τς συνάρτσς f 6

ˆk : μοναδιαίο διάνυσμα διάδοσς του επιπέδου ακουστικού κύματος k : κυματικός αριθμός k =k : κυματικός αριθμός στον χώρο V k - : κυματικός αριθμός στον χώρο V - k = : κυματικός αριθμός στο χώρο V = k ˆ : διάνυσμα διάδοσς του επιπέδου ακουστικού κύματος : εξωτερικό μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στν επιφάνεια Ref : πραγματικό μέρος τς συνάρτσς f 3 : Ευκλείδειος χώρος τριών διαστάσεων r : διάνυσμα θέσς ˆr : μοναδιαίο διάνυσμα : επιφάνεια του εξωτερικής σφαίρας - : επιφάνεια εσωτερικής σφαίρας : μοναδιαία σφαίρα (, 7

(,r : επιφάνεια σφαίρας με κέντρο Ο και ακτίνα r V : εξωτερικός χώρος σκεδαστή V - : εσωτερικός χώρος σκεδαστή ή σφαιρικό κέλυφος V = : εσωτερικός χώρος σφαιρικού πυρήνα. Συναρτήσεις δ(χ : συνάρτσ του Dirac σ ( ˆr : διαφορική διατομή σκέδασς σ s : ενεργειακή διατομή σκέδασς σ a : ενεργειακή διατομή απορρόφσς σ e : ενεργειακή διατομή εξαφάνισς Φ ( rt, : συνάρτσ δυναμικού πεδίου ταχύττας (, G r r : θεμελιώδ λύσ τς εξίσωσς του Helmholtz ( h x = h x : σφαιρική συνάρτσ Hakel μδενικής τάξς και πρώτου είδους 8

U( r, t : πεδίο υπερπίεσς (διαφορά πραγματικής πίεσς από τν πίεσ ρεμίας V ( rt, : πεδίο ταχύττας i u r : πεδίο προσπίπτοντας s u r : σκεδαζόμενο πεδίο u ( r { u ( r, u ( r } = u u = ( r ( r : ολικό εξωτερικό πεδίο υπερπίεσς : προσεγγίσεις χαμλών συχνοτήτων : πεδίο υπερπίεσς του διαπερατού σφαιρικού κελύφους : πεδίο υπερπίεσς του διαπερατού σφαιρικού πυρήνα r u r : ανακλώμενο κύμα στον χώρο V t u r : διαθλώμενο κύμα στον χώρο V - ( ˆ, ˆ g r k : πλάτος σκέδασς P x : πολυώνυμο Legedre -βαθμού 9

P x : πολυώνυμο Legedre -βαθμού W( r, t : συνάρτσ πυκνόττας ενέργειας W i : πυκνόττα ενέργειας του προσπίπτοντος W r : πυκνόττα ενέργειας του ανακλώμενο W r : πυκνόττα ενέργειας του διαθλώμενου 3. Τελεστές Διαφορικός τελεστής, απόκλισ = i j k x x x 3 x i Μερική παράγωγος ως προς τν x i συνιστώσα Τελεστής Laplace Δ= = x x x 3 ( coshcosθ ( coshcosθ = siθ siθ cosh cos θ θ cosh cos θ θ a a si θ φ

Τελεστής Laplace σε δισφαιρικές συντεταγμένες Διαφορικός τελεστής d = Διαφορικός τελεστής κατά τν κάθετ διεύθυνσ προς τν επιφάνεια = ˆ = cosh cosθ a Διαφορικός τελεστής τς κάθετς συνιστώσας στις δισφαιρικές συντεταγμένες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΚΕΔΑΣΗΣ Με τον όρο σκέδασ εννοούμε το εξής πρόβλμα: Ας θεωρήσουμε ένα μέσο στο οποίο υπάρχει ένα αντικείμενο. Προς τν κατεύθυνσ του αντικειμένου στέλνουμε ένα προσπίπτον κύμα, με το οποίο αλλλεπιδρά και παράγει ένα ανακλώμενο κύμα και ένα διαθλώμενο κύμα. u i u s Aν ένα κύμα λοιπόν κατά τν διάρκεια τς πορείας του συναντήσει στο μέσο διάδοσς, μια ασυνέχεια, δλαδή μια περιοχή με διαφορετικές ιδιόττες από τον υπόλοιπο χώρο, τότε δεν συνεχίζει ανεπρέαστο τ πορεία του. Το πως ασυνέχεια του μέσου διάδοσς επιδρά στ διάδοσ του κυματικού πεδίου είναι πρόβλμα που απασχολεί τν θεωρία τς σκέδασς. 3

Το φαινόμενο τς σκέδασς εμφανίζεται όταν στο χώρο διάδοσς μιας κυματικής διαταραχής παρεμβάλλεται μια χωρική ασυνέχεια ή μεταβολή στις φυσικές παραμέτρους του χώρου, οποία διαταράσσει τν ομοιογένεια και τν ισοτροπία του. Το εμπόδιο (σκεδαστής εκτρέπει ένα τμήμα τς ενέργειας του αρχικού κυματικού πεδίου (προσπίπτον πεδίο δμιουργώντας ένα δευτερογενές κυματικό πεδίο (σκεδασμένο πεδίο. Το σκεδασμένο πεδίο, εκτός από τα χαρακτριστικά τς πρόσπτωσς, ενσωματώνει και μεταφέρει στν περιοχή ακτινοβολίας τόσο τ γεωμετρία τς επιφάνειας όσο και τα φυσικά χαρακτριστικά του σκεδαστή. Με λίγα λόγια, το βασικό πρόβλμα στ θεωρία τς σκέδασς είναι να προσδιοριστεί μεταβολή του κυματικού πεδίου, που οφείλεται στν ύπαρξ μιας ασυνέχειας στο μέσο διάδοσς, το οποίο ονομάζεται σκεδαστής. Γενικά το πρόβλμα τς σκέδασς μπορεί να αντιμετωπιστεί από δύο οπτικές γωνίες:. Το ευθύ πρόβλμα τς σκέδασς είναι το πρόβλμα του προσδιορισμού των ιδιοτήτων του ανακλώμενου και του διερχόμενου κύματος (π.χ. πλάτους, κυματικού αριθμού, συχνόττας κ.λπ., υπό τν προϋπόθεσ ότι είναι γνωστές οι ιδιόττες του προσπίπτοντος κύματος και του σκεδαστή. Στο ευθύ πρόβλμα τς σκέδασς δίνονται ορισμένες ασυνέχειες ή μεταβολές των φυσικών παραμέτρων του χώρου διάδοσς, και ζτείται να υπολογιστεί επίδρασ τους στ διάδοσ του κύματος, δλαδή προσδιορίζουμε το σκεδαζόμενο πεδίο και ιδιαιτέρως τν συμπεριφορά του σε μεγάλες αποστάσεις από τον σκεδαστή, όταν είναι γνωστές οι ιδιόττες και γεωμετρία του σκεδαστή.. Το αντίστροφο πρόβλμα τς σκέδασς είναι το πρόβλμα του προσδιορισμού των ιδιοτήτων του σκεδαστή, αν είναι γνωστές οι ιδιόττες των τριών τύπων κυμάτων. Το αντίστροφο πρόβλμα τς σκέδασς ξεκινάει από τν απάντσ του ευθέος προβλήματος, δλαδή δίνεται το κύμα το οποίο προσπίπτει πάνω σε κάποιο άγνωστο εμπόδιο και το σκεδαζόμενο πεδίο σε μεγάλες αποστάσεις από τον σκεδαστή. Το ζτούμενο εδώ είναι να βρεθούν τα γεωμετρικά ή και τα φυσικά χαρακτριστικά του εμποδίου. Υπάρχει μεγάλ ποικιλία αντίστροφων προβλμάτων, όπως α αν γνωρίζουμε τις συνοριακές συνθήκες και αναζτούμε το σχήμα του σκεδαστή, ή β αν γνωρίζουμε το σχήμα του σκεδαστή και αναζτούμε τις συνοριακές συνθήκες, ή γ αν γνωρίζουμε το σχήμα και τις συνοριακές συνθήκες για διαπερατό σκεδαστή, και αναζτείται ο σχετικός δείκτς διάθλασς. Τα αντίστροφα προβλήματα τς σκέδασς βρίσκονται στν αιχμή τς σύγχρονς τεχνολογίας και μεγάλου ερευντικού ενδιαφέροντος στα Εφαρμοσμένα Μαθματικά. Με εφαρμογές 4

στον μ καταστρεπτικό έλεγχο, τ γεωφυσική έρευνα όπου κατά τν μελέτ των κυμάτων που ανακλώνται από διάφορα στρώματα του υπεδάφους μπορεί να μας υποδείξει τν ύπαρξ κοιτασμάτων πετρελαίου ή κάποιου άλλου σχματισμού που παρουσιάζει ενδιαφέρον από γεωλογικής πλευράς, στν διαγνωστική των υπερήχων, στν θεωρία των ραντάρ ή του σόναρ, όπου γνωρίζουμε τις ιδιόττες του προσπίπτοντος κύματος και χρσιμοποιούμε μετρήσεις των ιδιοτήτων του ανακλώμενου κύματος για να ανιχνεύσουμε τν ύπαρξ ή τα χαρακτριστικά π.χ. ενός αεροπλάνου ή ενός υποβρύχιου αντικειμένου. Στν τομογραφία χρσιμοποιούμε ακτίνες Χ ή χτικά κύματα για να προσδιορίσουμε τν ύπαρξ ή τ σύστασ ενός όγκου, ανιχνεύοντας, π.χ. μεταβολές πυκνόττας. Στν περίπτωσ αυτή μας είναι γνωστά και τα τρία είδ κυμάτων, το προσπίπτον, το ανακλώμενο και το διαθλώμενο. Από τ μαθματική σκοπιά, οι ιδιόττες του μέσου διάδοσς περιγράφονται τοπικά από μια μερική διαφορική εξίσωσ υπερβολικού τύπου, οποία είναι γραμμική, ομογενής, με σταθερούς συντελεστές. Ο υπερβολικός τύπος τς εξίσωσς περιγράφει κυματική διάδοσ. Η ομογένεια τς εξίσωσς δλώνει ότι δεν υπάρχουν πγές ή καταβόθρες και οι σταθεροί συντελεστές αντανακλούν τν ομοιογένεια του χώρου διάδοσς. Οι λύσεις τς κυματικής εξίσωσς περιγράφουν το δυνατό τρόπο διάδοσς μιας κυματικής διαταραχής στο μέσον αυτό. Η ανάλυσ Fourier στο χρόνο επιτρέπει να θεωρήσουμε αρμονική χρονική εξάρτσ για όλα τα πεδία του προβλήματος. Τότε εξίσωσ εκφυλίζεται στν αντίστοιχ στάσιμ κυματική εξίσωσ και έτσι το πρόβλμα αντιμετωπίζεται, συνήθως στο πεδίο των συχνοτήτων. Στν περίπτωσ αυτή μερική διαφορική εξίσωσ που περιγράφει τ χωρική δομή του φαινομένου ονομάζεται φασματική κυματική εξίσωσ και συνήθως συμπίπτει με τν εξίσωσ Helmholtz. Το ευθύ πρόβλμα σκέδασς ανάγεται στν εύρεσ τς λύσς τς εξίσωσς στον εξωτερικό χώρο ενός δεδομένου χωρίου, οποία ικανοποιεί μια συγκεκριμέν συνοριακή συνθήκ στν επιφάνειά του και μια συνθήκ ακτινοβολίας στο άπειρο. Η συνοριακή συνθήκ περιγράφει τν φυσική συμπεριφορά του σκεδαστή, ενώ συνθήκ ακτινοβολίας εξασφαλίζει τα κατάλλλα ασυμπτωτικά χαρακτριστικά που πρέπει να έχει το σκεδασμένο πεδίο και είναι απαραίττ για τν καλή τοποθέτσ του ευθέος προβλήματος σκέδασς ως εξωτερικό πρόβλμα συνοριακών τιμών. Η συνθήκ ακτινοβολίας υποκαθιστά τ συνοριακή συνθήκ του απείρου (οριακή συνθήκ. 5

Όταν επιφάνεια του σκεδαστή επιτρέπει στν προσπίπτουσα διαταραχή να τ διαπερνά, τότε αποτελεί μια διεπιφάνεια και το ευθύ πρόβλμα αναζτά τ λύσ τς αντίστοιχς εξίσωσς τόσο στο εξωτερικό όσο και στο εσωτερικό του σκεδαστή. Η συνοριακή συνθήκ αντικαθίσταται από συνθήκες διαπερατόττας, που συνδέουν το εσωτερικό και το εξωτερικό κυματικό πεδίο πάνω στν επιφάνεια του σκεδαστή, και το αντίστοιχο πρόβλμα χαρακτρίζεται ως μεταβατικό πρόβλμα. Το ευθύ πρόβλμα σκέδασς είναι καλά τοποθετμένο, κατά Hadamard, δεδομένου ότι έχει μοναδική λύσ εξαρτώμεν κατά συνεχή τρόπο από τα δεδομένα του προβλήματος. Η μοναδικόττα τς λύσς εξασφαλίζεται από τ συνθήκ ακτινοβολίας, οποία στ σμερινή τς μορφή και για τν περίπτωσ των βαθμωτών πεδίων, προτάθκε από τον Α. ommerfeld (9. Η συνθήκ αυτή, οποία δίνεται σε οριακή μορφή, εξασφαλίζει δύο χαρακτριστικά που πρέπει να έχει λύσ του ακουστικού προβλήματος: χαρακτρίζει το σκεδασμένο πεδίο ως ένα αποκλίνων κύμα σε σχέσ με το σκεδαστή και καθορίζει τ γεωμετρική εξασθένισ τν οποία πρέπει να εμφανίζει το σκεδασμένο κύμα, καθώς ενέργειά του μεταφέρεται μέσω ακτινοβολίας στον χώρο των τριών διαστάσεων. Ο F. Atkiso (949 έδειξε ότι κάθε εξωτερική λύσ τς εξίσωσς Helmholtz που ικανοποιεί τ συνθήκ ακτινοβολίας του ommerfeld, επιδέχεται ένα ανάπτυγμα σε μια απόλυτα και ομοιόμορφα συγκλίνουσα σειρά σε αντίστροφες δυνάμεις τς ακτινικής απόστασς r, εξωτερικά τς ελάχιστς περιγεγραμμένς στον σκεδαστή σφαίρας. Η εξάρτσ τς λύσς από τ διεύθυνσ παρατήρσς ενσωματώνεται στους συντελεστές του αναπτύγματος Atkiso. Διατρώντας τον πρώτο όρο του αναπτύγματος του σκεδασμένου πεδίου στν περιοχή ακτινοβολίας, οδγούμαστε στ συνθήκ ακτινοβολίας του Rayleigh (897. Στον όρο αυτό παρατρείται ένας διαχωρισμός μεταξύ ακτινικής και γωνιακής εξάρτσς τς λύσς, όπου ακτινική εξάρτσ είναι ίδια για όλους τους σκεδαστές, χαρακτρίζει τν ακτινοβόλο συμπεριφορά του σκεδασμένου πεδίου και έχει τ μορφή τς θεμελιώδους λύσς. Η γωνιακή εξάρτσ ενσωματώνει τα γεωμετρικά και φυσικά χαρακτριστικά του συγκεκριμένου εμποδίου σε μια συνάρτσ, οποία είναι γνωστή ως πλάτος σκέδασς (scatterig amplitude, ή πρότυπο ακτινοβολίας (radiatio patter, ή πρότυπο απομακρυσμένου πεδίου (far-field patter, ή συντελεστής σκέδασς (scatterig coefficiet. Έτσι, ενώ στο κοντινό πεδίο αλλλεπίδρασ τς πρόσπτωσς με το εμπόδιο είναι έντον, μακριά από το σκεδαστή (περιοχή ακτινοβολίας επέρχεται μια κανονικοποίσ στ μορφή του σκεδασμένου 6

πεδίου, οποία δλώνει ότι ο σκεδαστής «πλσιάζει» τ συμπεριφορά μιας σμειακής πγής. Με άλλα λόγια, το πλάτος σκέδασς καθορίζει σε κάθε διεύθυνσ τν «εκτροπή» του σκεδασμένου πεδίου από τ γεωμετρία ενός σφαιρικού αποκλίνοντος κύματος. Η «περιοχή ακτινοβολίας» καθορίζεται από τον εμπειρικό τύπο (r > d / λ. όπου d χαρακτριστική διάμετρος του σκεδαστή και λ το μήκος κύματος τς προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Όσο περισσότερα πλήρ κύματα του πεδίου πρόσπτωσς διαταράσσει ο σκεδαστής, τόσο μακρύτερα από αυτόν οριοθετείται το «απομακρυσμένο πεδίο» ή «περιοχή ακτινοβολίας» Το 956 ο C. Wilcox, αξιοποιώντας τν παρατήρσ ότι το ανάπτυγμα Atkiso πρέπει να ικανοποιεί τν εξίσωσ Helmholtz στον εξωτερικό χώρο διάδοσς, απέδειξε ότι όλοι οι συντελεστές του αναπτύγματος μπορούν να υπολογιστούν από μια αναγωγική σχέσ συναρτήσει του πρώτου συντελεστή. Έτσι, επιτυγχάνεται μια αμφιμονοσήμαντ αντιστοιχία ανάμεσα στο σκεδασμένο πεδίο και στο πλάτος σκέδασς που παράγει, οποία εξασφαλίζει ότι αυτή τελευταία συνάρτσ ενσωματώνει όλ τ διαδικασία τς σκέδασς και τν μεταφέρει στν περιοχή ακτινοβολίας, χωρίς απώλεια πλροφορίας. Στν πραγματικόττα, παρατήρσ αυτή του Wilcox αποτελεί ένα ισχυρό αποτέλεσμα αντίστροφς σκέδασς, αφού εξασφαλίζει ότι γνώσ του απομακρυσμένου πεδίου αρκεί για τν πλήρ ανακατασκευή του σκεδασμένου πεδίου μέχρι τν περιγεγραμμέν σφαίρα. Η παρατήρσ αυτή δικαιώνει το γεγονός ότι το πλάτος σκέδασς αποτελεί τ σμαντικότερ συνάρτσ τς θεωρίας σκέδασς. Το πλάτος σκέδασς αποτελεί πειραματικά μετρήσιμ συνάρτσ στ θεωρία αντίστροφς σκέδασς, οποία έχει ως αντικείμενο τν ανάπτυξ αλγορίθμων, ικανών να εκμαιεύσουν από αυτό πλροφορίες που αφορούν το σκεδαστή. Το αντίστροφο πρόβλμα σκέδασς είναι σμαντικά δυσκολότερο από το ευθύ. Αυτό οφείλεται στν ισχυρή μ-γραμμικόττα και στν μ-καλή τοποθέτσ του προβλήματος, δλαδή στο γεγονός ότι ύπαρξ, μοναδικόττα και συνεχής εξάρτσ τς λύσς από τα δεδομένα του προβλήματος δεν εξασφαλίζονται εκ των προτέρων. Στις περισσότερες περιπτώσεις έλλειψ καλής τοποθέτσς οφείλεται στν μ μοναδικόττα των αναζτούμενων χαρακτριστικών μεγεθών. Ειδικότερα, τα σφάλματα που υπεισέρχονται στις μετρήσεις του πλάτους σκέδασς, λόγω ανακρίβειας των οργάνων μέτρσς, είναι δυνατόν να οδγήσουν σε συνάρτσ που δεν ανήκει στν κλάσ αποδεκτών συναρτήσεων πλατών. σκέδασς. Με άλλα λόγια, ενδέχεται να μν υπάρχει σκεδαστής που να γεννά το συγκεκριμένο «πλάτος σκέδασς» και το πρόβλμα να μν έχει λύσ. Ακόμα και αν υπάρχει λύσ είναι δυνατόν να μν είναι μοναδική, 7

δλαδή να υπάρχουν περισσότεροι του ενός σκεδαστές που να αντιστοιχούν στο συγκεκριμένο «πλάτος σκέδασς». Τέλος, είναι δυνατόν μικρή μεταβολή στο πλάτος σκέδασς να οδγήσει σε δραστική μεταβολής τς εκτιμώμενς επιφάνειας, δλαδή δεν εξασφαλίζεται εκ των προτέρων συνέχεια τς λύσς ως προς τα δεδομένα του προβλήματος. Έτσι, για τν αντιμετώπισ του αντιστρόφου προβλήματος σκέδασς έχουν αναπτυχθεί τεχνικές ομαλοποίσς, με βασική ιδέα τν αντικατάστασ του μ καλά τοποθετμένου προβλήματος από ένα άλλο καλά τοποθετμένο, και τν αντίστοιχ εκτίμσ του σφάλματος που δμιουργεί αυτή αντικατάστασ. Ακόμα και για το ευθύ πρόβλμα, αναλυτική αντιμετώπισ και ο προσδιορισμός τς ακριβούς λύσς παρουσιάζουν σμαντικές δυσκολίες. Αυτό οδήγσε στν ανάπτυξ προσεγγιστικών μεθόδων υπολογισμού τς λύσς, που διακρίνονται σε «αριθμτικές» και «αναλυτικές προσεγγιστικές μεθόδους» Οι μέθοδοι «αριθμτικής προσέγγισς» (πεπερασμένα στοιχεία, συνοριακά στοιχεία βασίζονται στν αριθμτική επεξεργασία τς κατάλλλς ολοκλρωτικής εξίσωσς, οποία ενσωματώνει όλες τις πλροφορίες του συγκεκριμένου προβλήματος σκέδασς. Το βασικό πλεονέκτμα των μεθόδων αυτών είναι ότι δεν υπόκεινται σε ισχυρούς περιορισμούς σχετικά με τν πολυπλοκόττα τς γεωμετρίας του σκεδαστή, αλλά παρέχουν έναν πίνακα προσεγγιστικών τιμών τς λύσς σε διάφορα σμεία του πεδίου ορισμού τς. Οι μέθοδοι «αναλυτικών προσεγγίσεων» βασίζονται, συνήθως, στν παρατήρσ ότι το φαινόμενο τς σκέδασς παρουσιάζει δραστικές αλλαγές, καθώς συχνόττα τς προσπίπτουσας ακτινοβολίας μετατοπίζεται από το ένα άκρο του διαστήματος μεταβολής τς στο άλλο. Όταν το μήκος κύματος λ τς προσπίπτουσας διαταραχής είναι πολύ μικρό σε σχέσ με τ χαρακτριστική διάστασ του σκεδαστή (τν ακτίνα τς ελάχιστς περιγεγραμμένς σφαίρας, τότε αναφερόμαστε σε «υψλές συχνόττες» ( ka». Η προσπίπτουσα ακτινοβολία προσβάλλει τοπικά το μεγάλο σκεδαστή, επικρατούν συνθήκες γεωμετρικής οπτικής, και το σκεδασμένο πεδίο εξαρτάται δραστικά από τοπικές μεταβολές τς καμπυλόττας τς επιφάνειας του εμποδίου. Στν περιοχή υψλών συχνοτήτων μελέτ του μαθματικού προβλήματος στρίζεται στ χρήσ ολοκλρωτικών μετασχματισμών και μεθόδων ασυμπτωτικής ανάλυσς (Keller, Ludwig, κλπ. Η μέθοδος αναλυτικής προσέγγισς των προβλμάτων σκέδασς, όπως και πιο πριν αναφέρθκε, είναι μέθοδος των υψλών συχνοτήτων. 8

Ο κατάλλλος τρόπος αντιμετώπισς αυτών των προβλμάτων είναι ο ασυμπτωτικός, που μας δίνει μερικές φορές προσεγγιστικές λύσεις πολύ πιο χρήσιμες και από τις ακριβείς. Ο λόγος είναι ότι οι υψλές συχνόττες ακόμα και όταν μπορούν να βρεθούν οι ιδιοσυναρτήσεις τς ακριβούς λύσς, οι σειρές που τις αναπαριστούν δεν συγκλίνουν συνήθως αλλά και όταν συγκλίνουν, σύγκλισ είναι πολύ αργή. Στις υψλές συχνόττες δεν υπάρχει μόνο μια μέθοδος αντιμετώπισς του προβλήματος, όπως γίνεται με τις χαμλές συχνόττες, όπου το ανάπτυγμα τς λύσς συγκλίνει πάντοτε. Οι σμαντικότερες μέθοδοι στις υψλές συχνόττες είναι μέθοδος τς γεωμετρικής οπτικής (Fermat, μέθοδος τς φυσικής οπτικής με συμπλρώσεις που έκανε ο Keller (953 σχετικά με το πως γίνεται σκέδασ από γωνίες. Επιπλέον είναι γνωστή μέθοδος που βασίζεται στο μετασχματισμό του Watso (98, που το μειονέκτμά τς είναι ότι προϋποθέτει τ γνώσ τς πλήρους λύσς οπότε επιταχύνει τ σύγκλισ, και μέθοδος που στρίζεται στ θεωρία του Fock (946. Όμως αποτελεσματικότερ και γενικότερ μέθοδος αλλά από τις όλες τις προγούμενες είναι τεχνική του αναπτύγματος των Lueberg-Klie (944 που ουσιαστικά αναπτύσσει ασυμπτωτικά τ λύσ σε δυνάμεις του k -. Στ περιοχή των αριθμτικών προσεγγίσεων εντάσσεται μέθοδος του πίνακα σκέδασς (Τ-Matrix method, που προτάθκε από τον P.C. Waterma και εφαρμόστκε από τον ίδιο αρχικά στ σκέδασ ακουστικών κυμάτων και στ συνέχεια στν σκέδασ ελαστικών κυμάτων. Ταυτόχρονα σχεδόν με τις εργασίες του Waterma για τν ελαστικόττα εμφανίστκαν και οι εργασίες των Y.H. Pao και V. Varada [9], που πάλι με τ χρήσ τς μεθόδου του πίνακα σκέδασς, έλυσαν το πρόβλμα τς σκέδασς για σκεδαστή με σχήμα ελλειπτικού κυλίνδρου και σφαιροειδούς. Με τν μέθοδο των χαμλών συχνοτήτων έχουν λυθεί προσεγγιστικά, προβλήματα στν περιοχή τς ακουστικής, του λεκτρομαγντισμού και ελαστικόττας. Στν ακουστική, πάντα με τις χαμλές συχνόττες, ο J. W.. Rayleigh έλυσε το πρόβλμα για σφαιρικό σκεδαστή. Αντίθετα, στν περιοχή «χαμλών συχνοτήτων» ( ka«l ο μικρός σκεδαστής διαταράσσει με τν παρουσία του το μεγάλου μήκους κυματικό προσπίπτον πεδίο και το αποτέλεσμα τς αλλλεπίδρασς (σκεδασμένο πεδίο ενσωματώνει πλροφορίες για το σκεδαστή, όπως το εμβαδόν τς επιφάνειάς του, ο όγκος του, κλπ. Ο Lord 9

Rayleigh (897 πρώτος επιχείρσε να προσεγγίσει το κυματικό πρόβλμα με το αντίστοιχο στατικό πρόβλμα τς θεωρίας δυναμικού, όταν ο κυματικός αριθμός μδενίζεται (k=o. Ο Rayleigh, βασιζόμενος σε φυσικά επιχειρήματα, υπολόγισε τν πρώτ προσέγγισ (προσέγγισ Rayleigh για μερικά προβλήματα φυσικού ενδιαφέροντος [3]. Εκτεταμέν αναφορά στο έργο του Lord Rayleigh μπορεί να βρει κανείς στο εξαιρετικό άρθρο του Twersky (964 «Rayleigh catterig» [37]. Στ περιοχή χαμλών συχνοτήτων, μαθματική αντιμετώπισ του προβλήματος βασίζεται στν παρατήρσ ότι το κυματικό πρόβλμα μπορεί να θεωρθεί ως ακολουθία διαταραχών του αντίστοιχου στατικού προβλήματος. Η παράμετρος οποία μετρά τ διαταραχή είναι ο κυματικός αριθμός k. Με άλλα λόγια στν περιοχή χαμλών συχνοτήτων, λύσ του προβλήματος σκέδασς επιδέχεται ανάπτυγμα Taylor σε δυνάμεις του k, όπου οι συντελεστές του αναπτύγματος (προσεγγίσεις χαμλής συχνόττας συνιστούν μια ακολουθία λύσεων στάσιμων προβλμάτων τς θεωρίας δυναμικού. Η βασική ιδέα του επιχειρήματος οφείλεται στον teveso (953. Η περιοχή του κυματικού πεδίου k, για τν οποία το «ανάπτυγμα χαμλής συχνόττας» (ή «σειρά Rayleigh» τς λύσς συγκλίνει, ονομάστκε «περιοχή Rayleigh» από τον R. Kleima (965. Ο προσδιορισμός τς έκτασς αυτής τς περιοχής αποτελεί ένα δύσκολο πρόβλμα, και δεν μπορούμε να έχουμε εκ των προτέρων εκτιμήσεις για τν ακτίνα σύγκλισς τς σειράς. Η μαθματική θεωρία τς σκέδασς σε χαμλές συχνόττες θεμελιώθκε από τον R. Kleima στ δεκαετία του 96, Αναλυτικές προσεγγιστικές λύσεις με τ μέθοδο χαμλών συχνοτήτων, για το ευθύ πρόβλμα σκέδασς ακουστικών κυμάτων, παρήχθσαν από τον Burke (966, 968. για το επίμκες και πεπλατυσμένο σφαιροειδές και από τον Δάσσιο. (977, 978. 98 για το διαπερατό ελλειψοειδές και για τον ελλειψοειδή σκεδαστή με ομοεστιακό ελλειψοειδή πυρήνα (το γενικότερο σχήμα που επιδέχεται αναλυτική επίλυσ και καλύπτει ως ειδικές περιπτώσεις ένα μεγάλο αριθμό σχμάτων σκεδαστών. Ειδικά για το ακουστικά μαλακό ελλειψοειδές, το πρόβλμα αντίστροφς σκέδασς επιλύθκε στν περιοχή χαμλών συχνοτήτων από τον Δάσσιο (987, με εκτενή αξιοποίσ των πλροφοριών που παρέχει επίλυσ του ευθέος προβλήματος. Στον λεκτρομαγντισμό αντίστοιχα προβλήματα έλυσαν ο A. F. teveso ο R. E. Kleima, του οποίου συμβολή υπήρξε καθοριστική στ ανάπτυξ τς μεθόδου 3

των ολοκλρωτικών εξισώσεων και στον καθορισμό των προϋποθέσεων για τν σύγκλισ του αναπτύγματος των χαμλών συχνοτήτων. Για το πρόβλμα τς σκέδασς ελαστικών κυμάτων από ένα σώμα, πρώτ εργασία υπάρχει από το 863 και έγινε από τον A. Clebash. Ο Clebash μελέτσε τν διάδοσ και τν σκέδασ τς ορατής ακτινοβολίας με τ βοήθεια τς κυματικής θεωρίας. Ο σκεδαστής ήταν απόλυτα στερεή σφαίρα και γι αυτό χρσιμοποίσε τις εξισώσεις τς ελαστικόττας και τις ελαστικές συνοριακές συνθήκες. Από τότε πολλοί ερευντές προσέφεραν σμαντικές εργασίες στ περιοχή αυτή. Ο D.. Joes απέδειξε τν σύγκλισ του αναπτύγματος χαμλών συχνοτήτων για τν ελαστικόττα και έδωσε άνω και κάτω εκτιμήσεις για τν πρώτ προσέγγισ του προβλήματος τς σκέδασς ελαστικού κύματος από διαπερατό σκεδαστή. Πολύ πρόσφατα οι G. Dassios και Κ. Kiriaki πρότειναν μια γενική τεχνική αντιμετώπισς του προβλήματος τς σκέδασς σε χαμλές συχνόττες και ως εφαρμογές έλυσαν το πρόβλμα τς σκέδασς ελαστικών κυμάτων από ένα σκλρό ελλειψοειδές και μία ελλειψοειδή κοιλόττα. Η Κ. Kiriaki έλυσε ακόμα το αντίστοιχο γενικό πρόβλμα στ περίπτωσ ενός διαπερατού σκεδαστή και εφάρμοσε τ μέθοδό τς στν ελλειψοειδή γεωμετρία. Στο βιβλίο «Low Frequecy catterig by George Dassios και Ralph Kleima» [4] έχουμε εκτενή ανάπτυξ τς θεωρίας σκέδασς χαμλών συχνοτήτων και των ολοκλρωτικών αναπαραστάσεων των ολικών ακουστικών πεδίων, του πλάτους και τς διατομής σκέδασς. Τέλος επιλύονται τα προβλήματα τς σκέδασς από σφαίρα (Μαλακή, Σκλρή, Ανθεκτική και Διαπερατή για επίπεδο ακουστικό πεδίο χαμλής συχνόττας σε σφαιρικές συντεταγμένες. Το πρόβλμα τς σκέδασς σμειακής διαταραχής από δύο μαλακές σφαίρες επιλύθκε σε δισφαιρικό περιβάλλον από τους M. Hadjiikolaou και V Kostopoulo το (995 [7]. Οι Kakogiaos Nikolaos B. και Roumeliotis Joh A.[9] το (995 στο πρόβλμα διαπερατού έκκεντρου σφαιρικού φλοιού με διαπερατό ή μ πυρήνα ευρίσκουν αναλυτικά το πλάτος και τν διατομή σκέδασς χρσιμοποιώντας το προσθετικό θεώρμα των σφαιρικών συναρτήσεων όπου και προσάρμοσαν δύο παράλλλα Καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων με αρχές των συστμάτων να ταυτίζονται με τα κέντρα των σφαιρών και όρισαν δύο αντίστοιχα σφαιρικά συστήματα συντεταγμένων. 3

Αναλυτικά και χωρίς υπολογιστικό σφάλμα το πρόβλμα τς σκέδασς σε χαμλές συχνόττες δύο άνισων μαλακών σφαιρών από ένα επίπεδο ακουστικό κύμα οι A. Charalambopoulos, G. Dassios, και M. Hadjiicolaou [7], έλυσαν το (998, προσαρμόζοντας ένα δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων στν δοθείσα γεωμετρία των δύο σφαιρών περιγράφοντας έτσι τις επιφάνειες των σφαιρών με δύο τιμές τς μιας δισφαιρικής παραμέτρου. Με τν εργασία τους οι Y Araoudov, G Dassios και V Kostopoulos έλυσαν το πρόβλμα τς σκέδασς σμειακής διαταραχής από ομόκεντρο διαπερατό σφαιρικό φλοιό με μαλακό ή σκλρό σφαιρικό πυρήνα [3] προσαρμόζοντας ένα σφαιρικό σύστμα συντεταγμένων και το (999 οι Araoudov Y, Dassios G, και Hadjiicolaou έλυσαν το ίδιο ακριβώς πρόβλμα με το προγούμενο αλλά με ανθεκτικό πυρήνα [4]. To 999 το ευθύ και αντίστροφο πρόβλμα τς σκέδασς σμειακής διαταραχής από μια μικρή διαπερατή σφαίρα επιλύεται από τους G. Dassios, Μ. Hadjiicolaou και G. Kamvyssas [] Οι A. Charalambopoulos και G. Dassios σε μία άλλ τους εργασία το έδωσαν σφαιροειδείς κυματικές λύσεις μέσω του μετασχματισμού Vekua. Η δε σμασία αυτής τς εργασίας είναι ότι παρέχει αναλυτικές εκφράσεις του μετασχματισμού Vekua στις σφαιροειδείς συντεταγμένες. Οι J. A. Roumeliotis και A. D. Kotsis [34] το (5 έλυσαν το πρόβλμα τς σκέδασς επιπέδου ακουστικού κύματος από δύο διαπερατούς ή μ διαφορετικούς σφαιρικούς σκεδαστές μικρής ακτίνας χωρίς να χρσιμοποιήσουν τν μέθοδο των χαμλών συχνοτήτων αλλά κάνοντας χρήσ του προσθετικού θεωρήματος για τις σφαιρικές κυματικές συναρτήσεις ευρίσκοντας αναλυτικά το Πλάτος και Διατομή σκέδασς. Ενσωματώνοντας δύο ανεξάρττες τεχνικές (μετασχματισμός Vekua και μέθοδος βοθτικών πγών οι Mavratzas., Charalambopoulos A., Gergidis L.N [7] το (9 υπολόγισαν το σκεδαζόμενο ακουστικό πεδίο, το πλάτος και τ διατομή σκέδασς από σφαιροειδές, περιβαλλόμενο από ένα διαπερατό σκεδαστή, υπό τν επίδρασ σμειακού ακουστικού πεδίου. Τέλος οι Araoudov I.και Vekov G. [4,5], το (4,6 έχουν κάνει μία πρώτ προσέγγισ στν επίλυσ του προβλήματος τς σκέδασς επιπέδου ακουστικού κύματος από ένα έκκεντρο διαπερατό φλοιό με μαλακό πυρήνα καταλήγοντας στν πρότασ να επιλυθούν αναλυτικά ή με τν μέθοδο Cut-off τα γραμμικά συστήματα που έχουν ένα άπειρο τριδιαγώνιο πίνακα των συντελεστών των αγνώστων. Στν συντριπτική πλειοψφία των εργασιών στν περιοχή τς σκέδασς, το προσπίπτον κυματικό πεδίο έχει τ μορφή ενός επίπεδου κύματος. Υπάρχουν. φυσικά, διάφοροι λόγοι που υποστρίζουν αυτή τ θεώρσ. Το φαινόμενο τς 3

σκέδασς ενδιαφέρει κυρίως όταν δεν υπάρχει άμεσ πρόσβασ στν περιοχή του σκεδαστή. Συνήθως το προσπίπτον πεδίο έχει μακριά από το εμπόδιο ς πγές του (αυτές πρέπει να βρίσκονται πάντα κάτω από τον έλεγχο του ερευντή και όταν προσβάλλει το σκεδαστή έχει (τοπικά «σχεδόν» μδενική καμπυλόττα. Από τν άλλ πλευρά. είναι λογικό να αποφεύγουμε το πρόβλμα σκέδασς ενός κυματικού πεδίου με ισοφασικές επιφάνειες πολύπλοκς γεωμετρίας, γιατί πολυπλοκόττα αυτή τς πρόσπτωσς θα αντανακλαστεί με κάποιο τρόπο στο πλάτος σκέδασς. Εφόσον το προσπίπτον κύμα είναι πάντα γνωστό, θα πρόκειται για δυσκολία τν οποία έχουμε εισαγάγει τεχντά στο πρόβλμα, χωρίς κανένα όφελος. Γι αυτό τον λόγο, τον ρόλο τς πρόσπτωσς παίζει συνήθως ένα επίπεδο κύμα, το οποίο παρουσιάζει τν απλούστερ γεωμετρία (μδενική καμπυλόττα. Ένας άλλος λόγος τς χρήσς επίπεδς πρόσπτωσς είναι ότι τα επίπεδα κύματα αποτελούν βάσ για τον χώρο των κυμάτων, με τν έννοια ότι κάθε καλά συμπεριφερόμενο κυματικό πεδίο μπορεί να αναλυθεί κατά Fourier σε επίπεδα κύματα. Επειδή το πρόβλμα τς σκέδασς είναι γραμμικό ως προς τν πρόσπτωσ, είναι δυνατόν να κατασκευάσουμε τ λύσ του προβλήματος με υπέρθεσ των αντίστοιχων λύσεων για επίπεδ πρόσπτωσ, όταν αυτές είναι γνωστές. Τα παραπάνω επιχειρήματα συμβάλλουν σμαντικά στν αντιμετώπισ του ευθέος προβλήματος τς σκέδασς, παρουσιάζουν όμως ένα μειονέκτμα όσον αφορά το αντίστροφο πρόβλμα. Στν επίπεδ διέγερσ, από τ διαδικασία τς σκέδασς απουσιάζει μια πολύ σμαντική παράμετρος, αυτή τς απόστασς ανάμεσα στο σκεδαστή και τν πγή που γεννά το προσπίπτον πεδίο. Αυτή απόστασ μεταφέρεται στν περιοχή ακτινοβολίας μέσω του πλάτους σκέδασς και αποτελεί μια χρήσιμ παράμετρο στο πρόβλμα αντίστροφς σκέδασς, όταν θέσ του σκεδαστή είναι ένας από τους αγνώστους του προβλήματος. Η παρατήρσ αυτή καθιστά ενδιαφέρουσα τ θεώρσ του προβλήματος σκέδασς τς κυματικής διαταραχής που δμιουργεί μια σμειακή πγή στο χώρο. Καθώς γνήσια επίπεδα κύματα δεν είναι άμεσα διαθέσιμα στον περιορισμένο χώρο ενός εργαστρίου, σμειακή πρόσπτωσ προσφέρει ένα πολύ περισσότερο ρεαλιστικό και χρήσιμο μοντέλο στ θεωρία σκέδασς. Έτσι, απόκτσ αναλυτικών αποτελεσμάτων που θεωρούν τ σκέδασ σμειακών πεδίων από μικρούς σκεδαστές, μπορεί να ενισχύσει τ θεωρτική ανάλυσ πειραματικών δεδομένων τα οποία επιτυγχάνονται σε ένα εργαστήριο. Από τν άλλ, το ενδιαφέρον 33

για τα εφαρμοσμένα προβλήματα με σμειακές πγές προέρχεται από τις περιοχές τς σεισμολογίας, των ιατρικών διαγνωστικών μεθόδων, του μ-καταστρεπτικού ελέγχου. Στν υποθαλάσσια ακουστική έρευνα είναι σχεδόν αποκλειστική χρήσ σμειακών πγών [7]. Λαμβάνοντας υπ όψει τις παραπάνω παρατρήσεις, προκαλεί έκπλξ το γεγονός ότι το πρόβλμα τς σκέδασς ενός σφαιρικού κύματος από ένα πεπερασμένο σώμα έχει ερευνθεί σε πολύ περιορισμέν έκτασ, και τα αποτελέσματα παραμένουν δυσανάλογα λιγότερα από τα αντίστοιχα αποτελέσματα για επίπεδ πρόσπτωσ. Με εξαίρεσ τν εργασία του Joes (956 για τον κυκλικό δίσκο, στν περιοχή χαμλών συχνοτήτων δεν υπάρχουν αναλυτικά αποτελέσματα ούτε καν για τν περίπτωσ ενός σφαιρικά συμμετρικού σκεδαστή. Μια συλλογή αποτελεσμάτων για απλά σχήματα σκεδαστών εμπεριέχεται στο βιβλίο των Bowma, eior και Usleghi (969. Τα αποτελέσματα αφορούν τν περιοχή ακουστικής και λεκτρομαγντισμού και δίνονται από πολύπλοκες σειρές που δεν είναι εύκολο να χειριστούμε, προκειμένου να αναπτύξουμε αλγορίθμους αντιστροφής, λόγω τς πολυπλοκόττας τς σμειακής πγής. Προβλήματα σκέδασς με σμειακές πγές διέγερσς υπάρχουν επίσς στο βιβλίο του Joes (986 και στν περιοχή τς σεισμολογίας στο βιβλίο των Be- Meahem και igh (98 και στο βιβλίο των Aki και Richards (98. Ακριβείς αναλυτικές λύσεις σε προβλήματα σκέδασς είναι ιδιαίτερα δύσκολες ακόμα και σε περιοχές που περιγράφονται από βαθμωτά πεδία. Έτσι καταφεύγουμε σε αναλυτικές ή αριθμτικές προσεγγίσεις. Οι αναλυτικές προσεγγιστικές λύσεις των προβλμάτων σκέδασς ανάγονται σε δύο κύριες προσεγγιστικές μεθόδους φυσικού ενδιαφέροντος στις προσεγγίσεις χαμλής συχνόττας ( μικρού κυματικού αριθμού ή μεγάλου μήκους κύματος και στις προσεγγίσεις υψλής συχνόττας μεγάλου κυματικού αριθμού ή μικρού μήκους κύματος. Το ευθύ και το αντίστροφο πρόβλμα τς σκέδασς από ένα αντικείμενο έχει ερευνθεί διεξοδικά στν βιβλιογραφία. Για κάποια συγκεκριμένα σχήματα υπάρχουν αναλυτικά αποτελέσματα για χαμλές και ψλές συχνόττες καθώς και για οποιαδήποτε συχνόττα. Αν ο χώρος διάδοσς περιλαμβάνει περισσότερους του ενός σκεδαστές, τότε αναφερόμαστε σε πολλαπλή σκέδασ, και το σκεδαζόμενο πεδίο από το ένα σκεδαστή λαμβάνεται ως εκπεμπόμενο κύμα για τους υπόλοιπους σκεδαστές. Για τις προσεγγίσεις χαμλών συχνοτήτων θα δοθούν αρκετές διευκρινίσεις στ συνέχεια τς εργασίας. Η ζτούμεν λύσ είναι το όριο μιας ακολουθίας λύσεων που 34

προκύπτουν αναγωγικά. Με τν μέθοδο των χαμλών συχνοτήτων έχουν λυθεί προσεγγιστικά, προβλήματα στν περιοχή τς ακουστικής, του λεκτρομαγντισμού και τς ελαστικόττας. Στν παρούσα Διατριβή θα επιλυθεί το πρόβλμα τς σκέδασς βαθμωτώνακουστικών κυματικών πεδίων από ένα έκκεντρο σφαιρικό φλοιό, όπου ο πυρήνας είναι μαλακός, σκλρός, διαπερατός σκεδαστής και τις ειδική περίπτωσ όπου ο πυρήνας εκφυλίζεται σε σμείο το πρόβλμα ανάγεται στν περίπτωσ τς διαπερατής σφαίρας. Η παρούσα διατριβή χωρίζεται σε τρία μέρ. Το Ι Μέρος έχει σχέσ με τν περιγραφή και μαθματική τοποθέτσ του ευθέος προβλήματος τς ακουστικής σκέδασς για επίπεδ πρόσπτωσ, όταν επιφάνεια είναι κλειστή. Το πρόβλμα αναλύεται σε προσεγγίσεις χαμλής συχνόττας. Ειδικά στο ο κεφάλαιο εισάγουμε τις κυματικές εξισώσεις που διέπουν τν διάδοσ των ακουστικών κυμάτων σε ομογενή και ισότροπα μέσα και αναφερόμαστε στις φυσικές παραμέτρους του υλικού όπου διαδίδονται τα ακουστικά κύματα που καθορίζουν το φαινόμενο. Στο ο κεφάλαιο τοποθετούμε μαθματικά το ευθύ πρόβλμα τς σκέδασς ενός επιπέδου ακουστικού κύματος με χρονική εξάρτσ, από ένα σκεδαστή με πεπερασμέν και κλειστή επιφάνεια. Θεωρούμε ότι ο εξωτερικός χώρος δεν απορροφά ενέργεια από τν διαταραχή, εξασφαλίζοντας ότι ο κυματικός αριθμός είναι πραγματικός αριθμός. Εκείνο που απαιτούμε από τν επιφάνεια του σκεδαστή είναι να περιγράφεται από συναρτήσεις με συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους, ώστε να ισχύουν τα θεωρήματα του Gree. Η συμπεριφορά του σκεδαστή διαφοροποιείται απέναντι στο επίπεδο ακουστικό κύμα ανάλογα από τις φυσικές ιδιόττές του.. Έτσι αν επιφάνεια δεν προβάλει καμία αντίστασ στις εξωτερικές πιέσεις τότε ο σκεδαστής χαρακτρίζεται μαλακός (πρόβλμα Dirichlet. Αν επιφάνεια του σκεδαστή παραμένει ακλόντ τότε ο σκεδαστής χαρακτρίζεται σκλρός (πρόβλμα Newma 3. Αν επιφάνεια παρουσιάζει μια σχετική ενδοτικόττα, που περιγράφεται από τν παράμετρο τς ακουστικής αντίστασς τότε ο σκεδαστής χαρακτρίζεται ανθεκτικός ( πρόβλμα Robi. 35

4. Αν το επίπεδο προσπίπτων ακουστικό κύμα διαπερνά τν επιφάνεια του σκεδαστή και, στο εσωτερικό του σκεδαστή, αν το μέσο διάδοσς διαφοροποιεί τουλάχιστον μία από τις φυσικές παραμέτρους του εξωτερικού μέσου, ώστε να πραγματοποιείται το φαινόμενο τς σκέδασς. Στν επιφάνεια του σκεδαστή ορίζουμε συνθήκες διαπερατόττας, ώστε να εξασφαλίζεται συνέχεια των πεδίων, τότε το πρόβλμα αυτό το ονομάζουμε μεταβατικό πρόβλμα και ο σκεδαστής ονομάζεται διαπερατός σκεδαστής. Στν περίπτωσ αυτή έχουμε να αντιμετωπίσουμε δύο διαφορετικά προβλήματα στο εσωτερικό του σκεδαστή, το πεδίο να απορροφά ενέργεια ή όχι. Στν παρούσα διατριβή θα ασχολθούμε με τν περίπτωσ όπου το εσωτερικό του σκεδαστή δεν απορροφά ενέργεια. Τα τέσσερα αυτά προβλήματα εξαντλούν τα προβλήματα ακουστικής σκέδασς με φυσικό περιεχόμενο. Για να έχουμε τν καλή τοποθέτσ των παραπάνω προβλμάτων, απαιτούμε να ικανοποιείται στο άπειρο συνθήκ ακτινοβολίας του ommerfeld από το σκεδασμένο πεδίο. Στο 3 ο κεφάλαιο του Μέρους Ι ορίζουμε τα συναρτσιακά τς ενέργειας και το διάνυσμα τς ακουστικής έντασς ενός ακουστικού πεδίου, που εκφράζει ροή ισχύος από τν στοιχειώδ επιφάνεια. Το 4 ο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στις ολοκλρωτικές αναπαραστάσεις των πεδίων, οι οποίες περιέχουν όλες τις πλροφορίες του προβλήματος σε μια ολοκλρωτική μορφή. Επίσς ορίζουμε τις διατομές σκέδασς, που εκφράζουν με μονάδες εμβαδού τν ενέργεια που αποκόπτει ο σκεδαστής από το προσπίπτον κύμα, καθώς και τν ενέργεια τν οποία απορροφά ή σκεδάζει προς όλες τις διευθύνσεις. Στο 5 ο κεφάλαιο του Μέρους Ι τς διατριβής εφαρμόζουμε τν μέθοδο των χαμλών συχνοτήτων, οποία ανάγει τα προαναφερθέντα προβλήματα σκέδασς, σε μια ακολουθία προβλμάτων τ θεωρίας δυναμικού. Παρατρούμε ότι μδενικής και πρώτς τάξεως προσέγγισ του πεδίου αποτελούν αρμονικές συναρτήσεις στον εξωτερικό χώρο του σκεδαστή, ενώ κάθε προσέγγισ ανώτερς τάξς οφείλει να ικανοποιεί μια εξίσωσ Poisso. Η εξωτερική ολοκλρωτική αναπαράστασ τς λύσς του αντίστοιχου κυματικού προβλήματος παρέχει τν κατάλλλ ασυμπτωτική συνθήκ στο άπειρο για τν -στή προσέγγισ του πεδίο. Το άγνωστο μέρος στ συνθήκ αποτελεί μια αρμονική συνάρτσ στον εξωτερικό χώρο. Συνεπώς, το υπόλοιπο τμήμα, το οποίο εκφράζεται σε όρους προσεγγίσεων χαμλότερς τάξς τς -στής, παρέχει μια ειδική λύσ τς εξίσωσς Poisso. Η συνάρτσ πγής στν εξίσωσ Poisso εκφράζεται επίσς συναρτήσει 36

προσεγγίσεων χαμλότερς τάξς, ενώ συνοριακή συνθήκ που προκύπτει για - στ προσέγγισ δεν εμπλέκει προσεγγίσεις τάξς ανώτερς τς -στής. Επομένως, εύρεσ των προσεγγίσεων του πεδίου γίνεται αναγωγικά. Αντίστοιχες παρατρήσεις θα έχουμε για τις συνθήκες διαπερατόττας που εξασφαλίζουν τν καλή τοποθέτσ τς σειράς των προβλμάτων που αντιστοιχεί στο μεταβατικό πρόβλμα. Στν περίπτωσ αυτή, μια ειδική λύσ τς εξίσωσς Poisso που ικανοποιεί -στ προσέγγισ του εσωτερικού πεδίου, μπορεί να βρεθεί από τν εσωτερική ολοκλρωτική αναπαράστασ τς λύσς τς εξίσωσς Helmholtz. Κατόπιν υπολογίζουμε τα πλήρ αναπτύγματα χαμλής συχνόττας του πλάτους σκέδασς και των ενεργειακών διατομών σκέδασς και απορρόφσς για κάθε πρόβλμα, με όρους προσεγγίσεων του πεδίου. Το κέρδος τς μεθόδου είναι ότι ο τελεστής Laplace είναι απλούστερος και πιο μελετμένος από τον τελεστή Helmholtz. Στο 6 ο και τελευταίο κεφάλαιο του Ι Μέρους τς διατριβής αυτής θα επιλυθούν δύο προβλήματα σκέδασς ακουστικού κύματος χαμλής συχνόττας από μία μαλακή και μία διαπερατή σφαίρα που τοποθετούμε τν αρχή του συστήματος συντεταγμένων στο κέντρο τς σφαίρας, και στις δύο περιπτώσεις τα προβλήματα επιλύονται απλούστερα με τ χρήσ του συστήματος των σφαιρικών συντεταγμένων. Το επίπεδο ακουστικό κύμα προσπίπτει πάνω σε μαλακή ή σε διαπερατή σφαίρα που ακτίνα τς α είναι πολύ μικρότερ από το μήκος κύματος του επιπέδου ακουστικού πεδίου, τότε εφαρμόζουμε τν μέθοδο που θα περιγράψουμε αναλυτικά στο Μέρος Ι τς παρούσας διατριβής και υπολογίζουμε τις πρώτες προσεγγίσεις χαμλής συχνόττας για τα προβλήματα αυτά. Στο πρόβλμα του Dirichlet γνώσ των τριών πρώτων προσεγγίσεων του ολικού πεδίου μας επέτρεψε να υπολογίσουμε τους τρεις πρώτους όρους του πλάτους τς σκέδασς και στ συνέχεια τους δύο πρώτους όρους τς ενεργειακής διατομής σκέδασς. Στο δε Μεταβατικό πρόβλμα, υπολογίζουμε δύο και ένα όρο, αντίστοιχα, από τα αναπτύγματα. Το Μέρος ΙΙ τς διατριβής είναι αφιερωμένο, στον λεπτομερή χαρακτρισμό του Δισφαιρικού συστήματος συντεταγμένων. Επειδή στν παρούσα διατριβή θα επιλυθούν προβλήματα σκέδασς, όπου ο σκεδαστής είναι έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος, έχει παρατρθεί ότι οι χώροι που δμιουργούνται από τον σκεδαστή περιγράφονται απλούστερα με τν χρήσ δισφαιρικού συστήματος συντεταγμένων αντί του ορθοκανονικού συστήματος. Τέλος προσαρμόζουμε ένα δισφαιρικό σύστμα 37

συντεταγμένων στν γεωμετρία του έκκεντρου σφαιρικού φλοιού. Εκφράζουμε επίσς τν εξίσωσ Laplace στις δισφαιρικές συντεταγμένες, οποία επιδέχεται διαμορφωμένο διαχωρισμό (R και τν οποία και επιλύουμε παραθέτοντας τις ειδικές τς λύσεις, το τυπικό ανάπτυγμα ιδιοσυναρτήσεων και τν λύσ τς εξίσωσς Laplace σε δισφαιρικές συντεταγμένες, ώστε να επιλυθούν τα αντίστοιχα προβλήματα σκέδασς μδενικής και πρώτς τάξεως προσέγγισ. Στν περίπτωσ αξονικής συμμετρίας, απουσιάζει από τν εξίσωσ Laplace μεταβλτή (φ όπου και επιλύεται στο Μέρος ΙΙ με τον ίδιο τρόπο. Το Μέρος ΙΙI τς διατριβής είναι αφιερωμένο στο πρόβλμα τς Σκέδασς επιπέδου ακουστικού κύματος χαμλών συχνοτήτων από διαπερατό έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος. Ο στόχος τς διατριβής είναι ο υπολογισμός των προσεγγίσεων χαμλής συχνόττας και εξαγωγή αποτελεσμάτων. Πολλοί μακροσκελείς υπολογισμοί παραλείφθκαν από το κείμενο, όλοι όμως δίδονται με συνοπτική μορφή στο τέλος υπό μορφή παραρτμάτων ώστε να υπάρχει πλρόττα. βασική προϋπόθεσ για να χρσιμοποιθεί μέθοδος των χαμλών συχνοτήτων, είναι να εξασφαλιστεί ότι το μήκος κύματος τς διαταραχής να είναι πολύ μεγαλύτερο από τν χαρακτριστική διάστασ του σκεδαστή, όπου σαν τέτοια ορίζεται ακτίνα τς ελάχιστς περιγεγραμμένς σφαίρας γύρω από τον σκεδαστή, έστω α. ή ισοδύναμα, αρκεί το γινόμενο κυματικού αριθμού επί τν χαρακτριστική διάτασ να είναι πολύ μικρότερο τς μονάδος. (. ka << Όσο μικρότερο είναι αυτό το γινόμενο, τόσο λιγότερους όρους χρειαζόμαστε από το ανάπτυγμα τς λύσς για να έχουμε ικανοποιτική προσέγγισ. Πάντως σχέσ εξασφαλίζει τ σύγκλισ του κυματικού πεδίου γύρω από τον σκεδαστή. Στο Κεφάλαιο 3. του Μέρους ΙΙΙ επιλύεται το πρόβλμα τς Σκέδασς επιπέδου ακουστικού κύματος χαμλών συχνοτήτων από διαπερατό έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος, όπου ο πυρήνας είναι μαλακός σφαιρικός σκεδαστής. Οι ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή Laplace στο δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων είναι επαρκώς μελετμένες. Στο πρόβλμα αυτό εμπλέκονται οι προσεγγίσεις του προσπίπτοντος επιπέδου πεδίου, 38

Τα παραπάνω αναπτύγματα επιτυγχάνονται με τν κατάλλλ χρήσ τς γεννήτριας συνάρτσς των πολυωνύμων Legedre, αναγωγικών σχέσεων και τς ιδιόττας ορθογωνιόττας των σφαιρικών αρμονικών. Στο συγκεκριμένο πρόβλμα γίνεται προσπάθεια να υπολογιστούν οι προσεγγίσεις μδενικής και πρώτς τάξς. Η αρχή τς επαλλλίας των λύσεων μας επιτρέπει να υποθέτουμε τα αναπτύγματα τς λύσς στις εξωτερικές και εσωτερικές χωρικές σφαιρικές αρμονικές. Στ μεν μδενικής τάξεως προσέγγισ, τριπλή ακολουθία αγνώστων συντελεστών προσδιορίζεται από τν απαίτσ να ικανοποιούνται οι συνθήκες διαπερατόττας για τν επιφάνεια τς εξωτερικής σφαίρας και συνοριακή συνθήκ του Dirichlet (μαλακού σκεδαστή για τν επιφάνεια τς έκκεντρς εσωτερικής σφαίρας, με τ χρήσ των ιδιοτήτων ορθογωνιόττας των σφαιρικών αρμονικών. Από τν συνοριακή συνθήκ διαπερατόττας, που εξισώνει τν εσωτερική και εξωτερική υπερπίεσ στν επιφάνεια τς εξωτερικής σφαίρας, και από τν συνθήκ του Dirichlet για τν επιφάνεια τς εσωτερικής σφαίρας προκύπτουν δύο εξισώσεις με τους τρεις αγνώστους συντελεστές. Επιλύνοντας το σύστμα αυτό εκφράζουμε τους δύο αγνώστους συναρτήσει του τρίτου. Από τν δεύτερ συνοριακή συνθήκ του μεταβατικού προβλήματος, που αφορά τν σχέσ των παραγώγων των καθέτων συνιστωσών στις δισφαιρικές συντεταγμένες τς εσωτερικής και εξωτερικής υπερπίεσς, προκύπτει μία αναγωγική εξίσωσ με μία ακολουθία συντελεστών. Από τν εν λόγω αναγωγική εξίσωσ για πεπερασμένο πλήθος συντελεστών προκύπτει γραμμικό σύστμα, όπου το τετραγωνικό μτρώο των συντελεστών των αγνώστων είναι τριδιαγωνικό. Έτσι επιλύουμε τα αντίστοιχα γραμμικά συστήματα που προκύπτουν για διάφορες τιμές του =,3,4 κλπ. Στ μεν ς τάξεως προσέγγισ κατ αρχάς εκφράζουμε τις ορθοκανονικές συντεταγμένες σε δισφαιρικές αρμονικές και γράφουμε σε ασυμπτωτική μορφή. Η εξαπλή ακολουθία αγνώστων συντελεστών προσδιορίζεται από τν απαίτσ να ικανοποιούνται οι συνθήκες διαπερατόττας για τν επιφάνεια τς εξωτερικής σφαίρας και συνοριακή συνθήκ του Dirichlet (μαλακού σκεδαστή για τν επιφάνεια τς έκκεντρς εσωτερικής σφαίρας, κάνοντας χρήσ των ιδιοτήτων ορθογωνιόττας των σφαιρικών αρμονικών. Από τν συνοριακή συνθήκ διαπερατόττας, που εξισώνει τν εσωτερική και εξωτερική υπερπίεσ στν επιφάνεια τς εξωτερικής σφαίρας, και από τν συνθήκ του Dirichlet για τν επιφάνεια τς εσωτερικής σφαίρας προκύπτουν τέσσαρες εξισώσεις με έξι αγνώστους συντελεστές. Από τν δεύτερ συνοριακή συνθήκ του 39

μεταβατικού προβλήματος, που αφορά τν σχέσ των παραγώγων των καθέτων συνιστωσών στις δισφαιρικές συντεταγμένες τς εσωτερικής και εξωτερικής υπερπίεσς, προκύπτουν δύο αναγωγικές εξισώσεις με δύο σειρές συντελεστών. Από τις εν λόγω αναγωγικές εξισώσεις για πεπερασμένο πλήθος συντελεστών προκύπτουν δύο γραμμικά συστήματα, όπου τα μτρώα των συντελεστών των αγνώστων είναι τριδιαγωνικά. Έτσι επιλύουμε τα αντίστοιχα γραμμικά συστήματα που προκύπτουν για διάφορες τιμές του =,3,4 κλπ. Έτσι ευρίσκονται οι πρώτοι όροι των δύο αυτών σειρών εφαρμόζοντας τν μέθοδο cutoff. Στο πρόβλμα αυτό, γνώσ των δύο πρώτων προσεγγίσεων του ολικού εξωτερικού πεδίου μας επέτρεψε να υπολογίσουμε δύο πρώτους μ-μδενικούς όρους του αναπτύγματος του πλάτους τς σκέδασς και στ συνέχεια τους δύο πρώτους όρους του αναπτύγματος τς ενεργειακής διατομής. Σκέδασς. Στο Κεφάλαιο 3. του ΙΙΙ Μέρους επιλύεται το πρόβλμα τς Σκέδασς επιπέδου ακουστικού κύματος χαμλών συχνοτήτων από μαλακό σφαιρικό σκεδαστή έκκεντρα τοποθετμένου. Το πρόβλμα του σφαιρικού μαλακού σκεδαστή έχει επιλυθεί στο σφαιρικό σύστμα συντεταγμένων. Στν παρούσα διατριβή επιλύεται το ίδιο πρόβλμα αλλά ως ειδική περίπτωσ τς γενικής που επιλύσαμε στο Κεφάλαιο του ΙΙΙ μέρους, όπου στο έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος εξωτερική διαπερατή σφαίρα απουσιάζει και επομένως δεν έχουμε σκέδασ παρά μόνο από τν σφαίρα ως μαλακού σκεδαστή. Στο πρόβλμα αυτό υπολογίζονται οι προσεγγίσεις μδενικής και πρώτς τάξς στο δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων. Στ μεν μδενικής τάξεως προσέγγισ, μονή ακολουθία αγνώστων συντελεστών προσδιορίζεται από τν απαίτσ να ικανοποιείται συνοριακή συνθήκ του Dirichlet (μαλακού σκεδαστή στν επιφάνεια τς σφαίρας, με τ χρήσ των ιδιοτήτων ορθογωνιόττας των σφαιρικών. Στ πρώτς τάξεως προσέγγισ, διπλή ακολουθία αγνώστων συντελεστών προσδιορίζεται από τν απαίτσ να ικανοποιείται συνοριακή συνθήκ του Dirichlet (μαλακού σκεδαστή στν επιφάνεια τς σφαίρας, κάνοντας χρήσ των ιδιοτήτων ορθογωνιόττας των πολυωνύμων Legedre. Με τν γνώσ των προσεγγίσεων μδενικής και πρώτς τάξεως του Ολικού εξωτερικού πεδίου υπολογίζεται το πλάτος και ενεργειακή διατομή τς σκέδασς. Στο Κεφάλαιο 3.3 του Μέρους ΙΙΙ επιλύεται το πρόβλμα τς Σκέδασς επιπέδου ακουστικού κύματος χαμλών συχνοτήτων από μία διαπερατή σφαίρα 4

Το πρόβλμα του σφαιρικού διαπερατού σκεδαστή έχει επίσς επιλυθεί στο σφαιρικό σύστμα συντεταγμένων. Στν παρούσα διατριβή επιλύεται το ίδιο πρόβλμα αλλά ως ειδική περίπτωσ τς γενικής που επιλύσαμε στο Κεφάλαιο του μέρους ΙΙΙ, όπου στο έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος εσωτερική μαλακή σφαίρα εκφυλίζεται σε σμείο. Στν ουσία το πρόβλμα επιλύεται στο δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων. Με τν γνώσ των προσεγγίσεων, μδενικής και πρώτς τάξεως του Ολικού εξωτερικού πεδίου υπολογίζεται το πλάτος και ενεργειακή διατομή τς σκέδασς. Στο Κεφάλαιο 3.4 του ΙΙΙ Μέρους επιλύεται το πρόβλμα τς Σκέδασς επιπέδου ακουστικού κύματος χαμλών συχνοτήτων από διαπερατό έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος, με σκλρό σφαιρικό πυρήνα. Οι ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή Laplace στο δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων είναι επαρκώς μελετμένες. Στο πρόβλμα αυτό εμπλέκονται οι προσεγγίσεις του προσπίπτοντος επιπέδου πεδίου, Τα παραπάνω αναπτύγματα επιτυγχάνονται με τν κατάλλλ χρήσ τς γεννήτριας συνάρτσς των πολυωνύμων Legedre, αναγωγικών σχέσεων και τς ιδιόττας ορθογωνιόττας των σφαιρικών αρμονικών. Στο συγκεκριμένο πρόβλμα γίνεται προσπάθεια να υπολογιστούν οι προσεγγίσεις μδενικής και πρώτς τάξς. Η αρχή τς επαλλλίας των λύσεων μας επιτρέπει να υποθέτουμε τα αναπτύγματα τς λύσς στις εξωτερικές και εσωτερικές χωρικές σφαιρικές αρμονικές. Στ μεν μδενικής τάξεως προσέγγισ, τριπλή ακολουθία αγνώστων συντελεστών προσδιορίζεται από τν απαίτσ να ικανοποιούνται οι συνθήκες διαπερατόττας για τν επιφάνεια τς εξωτερικής και τν συνοριακή συνθήκ για τν σκλρή επιφάνεια έκκεντρς εσωτερικής σφαίρας, με τ χρήσ των ιδιοτήτων ορθογωνιόττας των σφαιρικών αρμονικών. Από τις συνοριακές συνθήκες διαπερατόττας, για τν εξωτερική σφαιρική επιφάνεια και τν συνοριακή συνθήκ για τον έκκεντρο σκλρό σφαιρικό πυρήνα, στο πρόβλμα τς μδενικής προσέγγισς, προκύπτουν δύο αναγωγικές εξισώσεις με δύο άγνωστες κοινές ακολουθίες συντελεστών Α, Β κάθε μία. Η ταχεία σύγκλσ των ακολουθιών Α, Β μας επιτρέπει να περιοριστούμε στους πρώτους όρους των ακολουθιών (Cut-off. Έτσι οι εν λόγω αναγωγικές εξισώσεις απαλλαγμένες από τους τελευταίους όρους των ακολουθιών ορίζουν ένα γραμμικό σύστμα πινάκων, δύο εξισώσεων με δύο άγνωστες στήλες Α και Β (m τάξεως και με συντελεστές των 4

αγνώστων, τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες (m (m τάξεως που για διάφορες τιμές του m=,3,4 επιλύονται και εν συνεχεία υπολογίζονται οι πρώτοι m συντελεστές τς μδενικής προσέγγισς. Στ μεν ς τάξεως προσέγγισ κατ αρχάς εκφράζουμε τις ορθοκανονικές συντεταγμένες σε δισφαιρικές αρμονικές και γράφουμε σε ασυμπτωτική μορφή. Η εξαπλή ακολουθία αγνώστων συντελεστών προσδιορίζεται από τν απαίτσ να ικανοποιούνται οι συνοριακές συνθήκες του μεταβατικού προβλήματος για τν επιφάνεια τς εξωτερικής σφαίρας και συνοριακή συνθήκ για τν επιφάνεια τς έκκεντρς σκλρής εσωτερική σφαίρας, με τ χρήσ των ιδιοτήτων ορθογωνιόττας των σφαιρικών αρμονικών. Από τις συνοριακές συνθήκες του μεταβατικού προβλήματος για τν επιφάνεια τς εξωτερικής σφαίρας και συνοριακή συνθήκ για τν επιφάνεια τς έκκεντρς σκλρής εσωτερικής σφαίρας, στο πρόβλμα τς πρώτς προσέγγισς, προκύπτουν δύο ζευγάρια αναγωγικών εξισώσεων με δύο ζευγάρια άγνωστων ακολουθιών συντελεστών Ε, G και C, D αντίστοιχα. Η ταχεία σύγκλσ των όρων των Ε, G και C, D μας επιτρέπει να περιοριστούμε στους πρώτους όρους των ακολουθιών με αποτέλεσμα τα δύο ζευγάρια αναγωγικών εξισώσεων, να οδγούν στν επίλυσ δύο γραμμικών συστμάτων πινάκων, δύο εξισώσεων με τις δύο άγνωστες στήλες Ε, G και C, D αντίστοιχα (m τάξεως και με συντελεστές των αγνώστων στλών, τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες (m (m τάξεως που για διάφορες τιμές του m=,3,4 επιλύονται και εν συνεχεία υπολογίζονται και οι πρώτοι m συντελεστές τς πρώτς προσέγγισς. Στο πρόβλμα αυτό, γνώσ των δύο πρώτων προσεγγίσεων του ολικού εξωτερικού πεδίου μας επέτρεψε να υπολογίσουμε δύο πρώτους μ-μδενικούς όρους του αναπτύγματος του πλάτους τς σκέδασς και στ συνέχεια τους δύο πρώτους όρους του αναπτύγματος τς ενεργειακής διατομής. Σκέδασς. Στο Κεφάλαιο 3.5 του ΙΙΙ Μέρους επιλύεται το πρόβλμα τς Σκέδασς επιπέδου ακουστικού κύματος χαμλών συχνοτήτων από διαπερατό έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος, όπου ο πυρήνας είναι διαπερατός σφαιρικός σκεδαστής. Οι ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή Laplace στο δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων είναι επαρκώς μελετμένες. Στο πρόβλμα αυτό εμπλέκονται οι προσεγγίσεις του προσπίπτοντος επιπέδου πεδίου. 4

Τα παραπάνω αναπτύγματα επιτυγχάνονται με τν κατάλλλ χρήσ τς γεννήτριας συνάρτσς των πολυωνύμων Legedre, αναγωγικών σχέσεων και τς ιδιόττας ορθογωνιόττας των σφαιρικών αρμονικών. Στο συγκεκριμένο πρόβλμα γίνεται προσπάθεια να υπολογιστούν οι προσεγγίσεις μδενικής και πρώτς τάξς. Η αρχή τς επαλλλίας των λύσεων μας επιτρέπει να υποθέτουμε τα αναπτύγματα τς λύσς στις εξωτερικές και εσωτερικές χωρικές και εντός του πυρήνα σφαιρικές αρμονικές. Στ μεν μδενικής τάξεως προσέγγισ, τετραπλή ακολουθία αγνώστων συντελεστών προσδιορίζεται από τν απαίτσ να ικανοποιούνται οι συνθήκες διαπερατόττας για τις επιφάνειες τς εξωτερικής και τς έκκεντρς εσωτερικής σφαίρας, με τ χρήσ των ιδιοτήτων ορθογωνιόττας των σφαιρικών αρμονικών. Από τις συνοριακές συνθήκες του μεταβατικού προβλήματος για τις επιφάνειες τς εξωτερικής και τς έκκεντρς εσωτερικής σφαίρας, στο πρόβλμα τς μδενικής προσέγγισς, προκύπτουν δύο αναγωγικές εξισώσεις με δύο άγνωστες κοινές ακολουθίες συντελεστών Α, Β κάθε μία. Η ταχεία σύγκλσ των ακολουθιών Α, Β μας επιτρέπει να περιοριστούμε στους πρώτους όρους των ακολουθιών. Έτσι οι εν λόγω αναγωγικές εξισώσεις απαλλαγμένες από τους τελευταίους όρους των ακολουθιών ορίζουν ένα γραμμικό σύστμα πινάκων, δύο εξισώσεων με δύο άγνωστες στήλες Α και Β (m τάξεως και με συντελεστές των αγνώστων, τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες (m (m τάξεως που για διάφορες τιμές του m=,3,4 επιλύονται και εν συνεχεία υπολογίζονται οι υπόλοιποι συντελεστές τς μδενικής προσέγγισς. Αν θέσουμε β= ή β = ανάγεται στο πρόβλμα Μιας διαπερατής σφαίρας με ίδια αποτελέσματα με το Κεφάλαιο3.3 και αν β= ανάγεται στο πρόβλμα Σκέδασς από ένα διαπερατό έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος με σκλρό σφαιρικό πυρήνα δλ. ( Neuma problem Στ μεν ς τάξεως προσέγγισ κατ αρχάς εκφράζουμε τις ορθοκανονικές συντεταγμένες σε δισφαιρικές αρμονικές και γράφουμε σε ασυμπτωτική μορφή. Η οκταπλή ακολουθία αγνώστων συντελεστών προσδιορίζεται από τν απαίτσ να ικανοποιούνται οι συνοριακές συνθήκες του μεταβατικού προβλήματος για τις επιφάνειες τς εξωτερικής και τς έκκεντρς εσωτερικής σφαίρας, με τ χρήσ των ιδιοτήτων ορθογωνιόττας των σφαιρικών αρμονικών. Από τις συνοριακές συνθήκες του μεταβατικού προβλήματος για τις επιφάνειες τς εξωτερικής και τς έκκεντρς εσωτερικής σφαίρας, στο πρόβλμα τς πρώτς προσέγγισς, προκύπτουν δύο ζευγάρια αναγωγικών εξισώσεων με δύο ζευγάρια 43

άγνωστων ακολουθιών συντελεστών Ε, G και C, D αντίστοιχα. Η ταχεία σύγκλσ των Ε, G και C, D μας επιτρέπει να περιοριστούμε στους πρώτους όρους των ακολουθιών με αποτέλεσμα τα δύο ζευγάρια αναγωγικών εξισώσεων, να οδγούν στν επίλυσ δύο γραμμικών συστμάτων πινάκων, δύο εξισώσεων με τις δύο άγνωστες στήλες Ε, G και C, D αντίστοιχα (m τάξεως και με συντελεστές των αγνώστων στλών, τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες (m (m τάξεως που για διάφορες τιμές του m=,3,4 επιλύονται και εν συνεχεία υπολογίζονται και οι υπόλοιποι συντελεστές τς πρώτς προσέγγισς. Ομοίως για β= ή β= το πρόβλμα ανάγεται στα προβλήματα Μιας διαπερατής σφαίρας ή Σκέδασς από ένα διαπερατό έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος με σκλρό σφαιρικό πυρήνα δλ. ( Neuma problem αντίστοιχα. Στο πρόβλμα αυτό, γνώσ των δύο πρώτων προσεγγίσεων του ολικού εξωτερικού πεδίου μας επέτρεψε να υπολογίσουμε δύο πρώτους μ-μδενικούς όρους του αναπτύγματος του πλάτους τς σκέδασς και στ συνέχεια τους δύο πρώτους όρους του αναπτύγματος τς ενεργειακής διατομής. Σκέδασς. Στο Κεφάλαιο 3.6 του ΙΙΙ Μέρους επιλύεται το πρόβλμα τς Σκέδασς επιπέδου ακουστικού κύματος χαμλών συχνοτήτων από μαλακή σφαιρική επιφάνεια ευρισκόμεν κάτω από ένα διαπερατό επίπεδο. Πρώτα επιλύουμε το πρόβλμα τς διάθλασς επιπέδου ακουστικού κύματος από ένα διαπερατό επίπεδο όπου και εντοπίζονται τα πλάτ του ανακλώμενου και διαθλώμενου κύματος και μορφή των αντιστοίχων κυμάτων. Δεύτερον επιλύουμε το πρόβλμα τς σκέδασς από Μαλακή σφαιρική επιφάνεια ευρισκόμεν στον αρντικό μιχώρο (κάτω από το διαπερατό επίπεδο λαμβάνοντας υπόψ πλέον ως προσπίπτων επίπεδο ακουστικό κύμα το διαθλώμενο από τν πρώτ περίπτωσ που σκεδάζεται από τν μαλακή σφαίρα. Με δεδομένο ότι το μήκος κύματος τς επίπεδς κυματικής διαταραχής να είναι πολύ μεγαλύτερο από τν χαρακτριστική διάστασ του σκεδαστή επιλύεται στν συνέχεια το πρόβλμα τς Σκέδασς επιπέδου ακουστικού κύματος χαμλών συχνοτήτων από μαλακό σφαιρικό σκεδαστή όπου υπολογίζονται οι προσεγγίσεις μδενικής και πρώτς τάξς στο δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων. Η αρχή τς επαλλλίας των λύσεων μας επιτρέπει να υποθέτουμε το ανάπτυγμα τς λύσς στις εξωτερικές χωρικές σφαιρικές αρμονικές. Στ μεν μδενικής τάξεως προσέγγισ, οι ακολουθίες αγνώστων συντελεστών προσδιορίζονται με τν απαίτσ να ικανοποιείται συνοριακή συνθήκ του Dirichlet (μαλακού σκεδαστή στν επιφάνεια τς σφαίρας και του μεταβατικού 44

προβλήματος του διαπερατού επιπέδου με τ χρήσ των ιδιοτήτων ορθογωνιόττας. Ομοίως προσδιορίζεται και πρώτς τάξεως προσέγγισ. Με τν γνώσ των προσεγγίσεων μδενικής και πρώτς τάξεως του ολικού εξωτερικού πεδίου από τν σφαίρα υπολογίζεται το πλάτος και ενεργειακή διατομή τς σκέδασς. 45

46

ΜΕΡΟΣ Ι Σκέδασ ακουστικών επίπεδων κυμάτων στν περιοχή των χαμλών συχνοτήτων 47

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΔΙΑΔΟΣΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Θεωρούμε τον χώρο R 3 σαν ένα ομογενή και ισότροπο μέσο διάδοσς ακουστικών κυμάτων. Η ομοιογένεια και ισοτροπία του μέσου διάδοσς αντανακλά τν αναλλοίωτ συμπεριφορά του χώρου στις ομάδες των παραλλήλων μεταφορών και των ορθογωνίων μετασχματισμών, αντίστοιχα. Οι διαταραχές που διαδίδονται εμπίπτουν στν γραμμικοποιμέν περιοχή τς κυματικής διάδοσς (μικρές διαταραχές. Οι φυσικοί παράμετροι που χαρακτρίζουν το υλικό είναι πυκνόττα μάζας (ρ και μέσ συμπιεστόττα (γ, οποία ορίζεται ως σχετική μείωσ του όγκου ανά μονάδα αύξσς τς επιφανειακής πίεσς. Τα πεδία που ενδιαφέρουν είναι το πεδίο ταχυτήτων V, που προέρχεται από τν συνάρτσ δυναμικού Φ, (. V ( rt, = Φ ( rt, Η απόκλισ του πεδίου πίεσς ονομάζεται ακουστικό πεδίο υπερπίεσς και συμβολίζεται U που εξαρτάται από το διάνυσμα θέσεως και τον χρόνο (είναι διαφορά στιγμιαίας πίεσς και πίεσς του μέσου στν κατάστασ ρεμίας. Οι 48

βασικές εξισώσεις γραμμικής διάδοσς ακουστικών κυμάτων που συσχετίζουν τν υπερπίεσ με το πεδίο ταχύττας είναι (. U r t t γ (, = V ( r, t t (.3 ρ V ( rt, = U( rt, δ V ( rt, Συνδυάζει τν εξίσωσ συνέχειας και τν καταστατική εξίσωσ. Η (. εκφράζει το γεγονός ότι εκροή του υλικού από κάθε στοιχειώδ όγκο μειώνει τν πίεσ και, για μικρές συμπιέσεις, ο ρυθμός μεταβολής του πεδίου υπερπίεσς είναι ανάλογος τς απόκλισς του πεδίου ταχυτήτων. Η σταθερά αναλογίας /γ καλείται μέτρο συμπίεσς. Όταν το μέσο διάδοσς επιβάλει απώλεια ενέργειας στο διαδιδόμενο κύμα (λόγω ιξώδους συμπεριφοράς, υποβάθμισ μχανικής ενέργειας σε θερμόττα τότε κυματική εξίσωσ γράφεται (.4 (, δ U r t U( r, t = c Δ U( r, t Δ ρ t t Η παράμετρος δ> είναι ο συντελεστής απόσβεσς και x x x 3 Δ= = είναι ο τελεστής του Laplace Στν περίπτωσ αυτή ο κυματικός αριθμός στν εξίσωσ Helmholtz παίρνει τν μορφή (.5 k ρω = ρc iωδ Με τν προϋπόθεσ ότι το μέσον διάδοσς δεν απορροφά ενέργεια από το διαδιδόμενο κύμα (δ=, τα βαθμωτά πεδία οφείλουν να ικανοποιούν τν κλασική κυματική εξίσωσ 49

,, t (.6 U( r t = c ΔU( r t όπου (.7 c= γρ φασική ταχύττα (ταχύττα διάδοσς των ακουστικών κυμάτων. Η (.6 ενσωματώνει τν (. με αρχή διατήρσς τς ορμής και περιγράφει τν διάδοσ ακουστικών κυμάτων σε ομογενή και ισότροπα μέσα, όταν δεν παρατρείται απόσβεσ. Η γραμμικόττα τς εξίσωσς και ανάλυσ Fourier επιτρέπουν να υποθέσουμε αρμονική χρονική εξάρτσ ( e -iωt, γιατί αν γνωρίζουμε τ λύσ για μια αρμονική συνιστώσα του χρόνου, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τ λύσ που αντιστοιχεί σε οποιαδήποτε καλά συμπεριφερόμεν χρονική εξάρτσ υπολογίζοντας ένα ολοκλήρωμα Fourier. Έτσι αν (.8 Urt (, = u( re iωt V (, rt = ν( re Φ (, rt = φ( re iωt iωt Τότε το χωρικό μέρος του πεδίου υπερπίεσς u(r και του δυναμικού τς ταχύττας, ικανοποιούν τν εξίσωσ του Helmholtz (ανοιγμέν κυματική εξίσωσ (.9 Δ k u( r = π όπου ω = κυκλική συχνόττα, Τ χρονική περίοδος Τ π ω k = = ο κυματικός αριθμός και λ το μήκος κύματος λ c 5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ.: ΦΥΣΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗ ΤΟΥ ΕΥΘΕΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΚΕΔΑΣΗΣ ΓΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΠΡΟΣΠΤΩΣΗ Υποθέτουμε ότι μια κλειστή και φραγμέν επιφάνεια χωρίζει τον ευκλείδειο χώρο R 3 σε δύο μέρ στο εξωτερικό τς V (ανοικτό, συνεκτικό και μ-φραγμένο υποσύνολο R 3, και στο εσωτερικό τς V - (ανοικτό, συνεκτικό υποσύνολο του R 3. Το χωρίο V αποτελεί το μέσον διάδοσς ενώ το χωρίο V - περιγράφει τν χωρική ασυνέχεια τν οποία στο εξής θα ονομάζουμε σκεδαστή. Η επιφάνεια αποτελεί το σύνορο του σκεδαστή και για τν καλή τοποθέτσ των προβλμάτων που θα ακολουθήσουν, απαιτούμε να έχει τις ιδιόττες μιας επιφάνειας Lyapuov, δλ:. να είναι πεπερασμέν,. να είναι μονοσήμαντα ορισμένο εφαπτόμενο επίπεδο σε κάθε σμείο τς, 3. αν θ είναι γωνία των καθέτων διευθύνσεων στα σμεία r και r τς, τότε να υπάρχουν σταθερές α και β τέτοιες ώστε: θ < α r, <β, r β 4. να υπάρχει ε>, ο ίδιος για κάθε r που ανήκει στο, έτσι ώστε κάθε ευθεία παράλλλ στν κάθετ τς στο r, να τέμνει το πολύ σε ένα σμείο εκείνο το 5

κομμάτι τς, που περιέχει το σμείο r και περιέχεται στο κύλινδρο με ακτίνα ε και άξονα παράλλλο τς καθέτου τς στο r. Η συνθήκ 3. εξασφαλίζει ότι το κάθετο στν επιφάνεια διάνυσμα στρέφεται συνεχώς πάνω σε αυτή, ενώ 4. απαγορεύει τν ύπαρξ πυκνών πτυχώσεων, που θα μπορούσαν να εγκλωβίσουν ένα μέρος τα ενέργειας τς διαταραχής. Στν πράξ οι παραπάνω συνθήκες εξασφαλίζονται από τν απαίτσ να ορίζεται από C ( συναρτήσεις. Ο μ φραγμένος εξωτερικός χώρος καταλαμβάνεται από το μέσο μδενικής απόσβεσς και αποτελεί τον χώρο μιας δεδομένς κυματικής διαταραχής. Το προσπίπτον επίπεδο κυματικό πεδίο στν σκέδασ είναι ένα πεδίο που θα υπήρχε στο R 3 αν δεν υπήρχε σκεδαστής και θα είναι ένα κύμα τς μορφής i (. ikkˆ r 3 u r = e, r Με κυματικό αριθμό k και διεύθυνσ διάδοσς ˆ k Όλα τα προσπίπτοντα επίπεδα κύματα ικανοποιούν τν εξίσωσ Helmholtz (. i k u r =, r Το φυσικό εμπόδιο με επιφάνεια (σκεδαστής εκτρέπει τν ενέργεια του επιπέδου κύματος δμιουργώντας ένα δευτερογενές πεδίο u s στον χώρο V. Η γραμμικόττα τς ομογενούς εξίσωσς (. επιτρέπει να γράψουμε το ολικό πεδίο u u r = u r u r r V (.3 i s, Η φυσική συμπεριφορά τς επιφάνειας αντανακλάται κάθε φορά στν αντίστοιχ συνοριακή συνθήκ που απαιτείται από το ολικό πεδίο υπερπίεσς πάνω σ αυτήν. Έτσι, ένας μαλακός σκεδαστής δεν προβάλει καμία αντίστασ στις επιβαλλόμενες πιέσεις μδενίζοντας τ συνολική υπερπίεσ παντού στν επιφάνειά του και περιγράφεται από τν Συνοριακή συνθήκ Dirichlet: u r = r (.4, 3 5

Αντίθετα, ο σκλρός σκεδαστής δεν επιδέχεται μετατοπίσεις των σμείων τς επιφάνειάς του και, συνεπώς, κάθετ συνιστώσα του πεδίου ταχυτήτων επάνω στν πρέπει να μδενίζεται. Έτσι, για το ολικό πεδίο υπερπίεσς έχουμε τν Συνοριακή συνθήκ Neuma: u r = r (.5, Τέλος, ο ανθεκτικός σκεδαστής ερμνεύει τν Συνοριακή συνθήκ Robi: παρουσιάζει μια ενδιάμεσ συμπεριφορά που iωρ u r u r =, r Ζ (.6 Επιφάνεια με σύνθετ αντίστασ έχει ενδιάμεσ συμπεριφορά ανάμεσα σε μαλακό και σκλρό σκεδαστή. Η συνοριακή συνθήκ μπορεί να γραφτεί ως εξής (.7 ˆ Ζ φ = u Η κάθετ συνιστώσα του πεδίου ταχύττας είναι ανάλογ τς υποπίεσς στο αντίστοιχο σμείο. Η παράμετρος Ζ που εμφανίζεται είναι ανεξάρττ τς θέσς και καλείται ακουστική αντίστασ. Μέχρι τώρα μελετήσαμε συνοριακές συνθήκες, κατά τις οποίες το προσπίπτον κυματικό πεδίο δεν διαπερνά τν επιφάνεια του σκεδαστή επομένως το κυματικό πεδίο μδενίζεται στο χωρίο V - μέσα στον σκεδαστή. Στν περίπτωσ που έχουμε διαπερατόττα τς επιφάνειας τότε αναφερόμαστε σε μεταβατικό πρόβλμα το οποίο θα περιγράψουμε παρακάτω. Υποθέτουμε ότι το επίπεδο κύμα (. συναντά τν διαπερατή επιφάνεια, που στο εσωτερικό τς V - καταλαμβάνει υλικό μέσο με πυκνόττα μάζας ρ -, μέσ συμπιεστόττα γ - και συντελεστή απόσβεσς δ -. Εκτός από το σκεδαζόμενο πεδίο u s, δμιουργείται και το εσωτερικό πεδίο u -, r που ανήκει στο V -,το οποίο πρέπει να ικανοποιεί τν εξίσωσ Helmholtz k u r =, r V (.8 με κυματικό αριθμό k - 53

(.9 ( k - ωγ ρ = iωγ δ (. k = ωγ ρ Οι κυματικοί αριθμοί k -, k συνδέονται με τον σχετικό δείκτ διάθλασς ( των δύο μέσων ως εξής (. - k γ ρ = = k γ ρ ( iωγ δ Όπου γ -, γ οι συμπιεστόττες στους αντίστοιχους χώρους και ρ -, ρ οι πυκνόττες. Επομένως θα έχουμε (. Για το ολικό εξωτερικό πεδίο έχουμε k u r =, r V u r = u r u r r V (.3 i s, Το εσωτερικό και εξωτερικό πεδίο πρέπει να ικανοποιούν τις συνθήκες διαπερατόττας στο διαπερατό σύνορο u r = u r r (.4, u r = u r r (.5 β, Όπου β μια αδιάστατ σταθερά ίσ προς (.6 ρ β = i - ρ ( ωδ γ Η συνθήκ (.4 εξασφαλίζει τν συνέχεια του πεδίου υπερπίεσς πάνω στν επιφάνεια του σκεδαστή, (.5 περιγράφει τ συνέχεια τς κάθετς συνιστώσας του πεδίου ταχυτήτων. Από τν (. και (.6 έχουμε τον πραγματικό ορισμό τς παραμέτρου 54

(.7 γ β = γ Στν περίπτωσ που ο διαπερατός σκεδαστής έχει μδενικό ιξώδες (δεν απορροφά ενέργεια δ - =, οι δύο παράμετροι του προβλήματος είναι πραγματικές και ίσες προς (.8 ρ β = ρ (.9 = k k c γ ρ = = c γ ρ Το γενικό μεταβατικό πρόβλμα είναι πρόβλμα που εξαρτάται από δύο παραμέτρους β και. Για σκεδαστές που δεν απορροφούν ενέργεια, ειδική περίπτωσ που ρ - = ρ, όπου β=,ή αν γ - = γ οι συμπιεστόττες είναι ίσες ή αν οι κυματικοί αριθμοί είναι ίσοι δλ. =. Αν τέλος είναι και οι δύο παράμετροι ίσες με (β==, τότε ο χώρος δεν έχει ασυνέχειες και δεν έχουμε φαινόμενο τς σκέδασς. Η καλή τοποθέτσ των προβλμάτων σκέδασς που θα διατυπώσουμε, απαιτεί τον καθορισμό μιας κατάλλλς συνθήκς στο άπειρο, το άλλο σύνορο του θεμελιώδους πεδίου τς λύσς. Η συνθήκ αυτή πρέπει να εξασφαλίζει για το σκεδασμένο πεδίο δύο ιδιόττες: να έχει τν απαραίττ ασυμπτωτική τάξ εξασθένισς με τν απόστασ από τον σκεδαστή και να διαδίδεται από το σκεδαστή προς το άπειρο, δλαδή ο σκεδαστής πρέπει να δρα σαν πγή και όχι σαν καταβόθρα ακτινοβολίας. Η τελευταία απαίτσ δικαιολογεί και τν ονομασία τς σαν συνθήκ ακτινοβολίας. Η ασθενέστερ μορφή συνθήκς ακτινοβολίας είναι αυτή των Magus-WilcoxMuller (. u lim iku d r = r r Όπου r επιφάνεια μιας σφαίρας ακτίνας r, / r εξωτερική ακτινική παραγώγισ, και u το σκεδαζόμενο πεδίο. Η συνθήκ (. εκφράζει ότι μέσ τιμή του σκεδασμένου πεδίου πάνω στν επιφάνεια μιας μεγάλς σφαίρας που περικλείει το σκεδαστή, τείνει στο μδέν όταν ακτίνα τς σφαίρας τείνει στο άπειρο. Η κυριότερ πλροφορία που παρέχει είναι το θετικό πρόσμο τς ενεργειακής ροής, που σμαίνει ότι ενέργεια που μεταφέρει το 55

σκεδασμένο κύμα ρέει από και όχι προς το σκεδαστή. Μια ισχυρότερ συνθήκ ακτινοβολίας είναι αυτή που διατυπώθκε από τον ommerfeld με τ μορφή: (. u( r lim r iku( r = r r Η συνθήκ ακτινοβολίας του ommerfeld καθορίζει τν κατάλλλ γεωμετρική εξασθένισ του σκεδαζόμενου πεδίου και επιβάλλει τν μορφή του σκεδαζόμενου κύματος. Προμθεύει μια απαραίττ συνθήκ, όταν τυποποιούμε το πρόβλμα τς σκέδασς ως καλά τοποθετούμενου εξωτερικού συνοριακού προβλήματος, όπου σύγκλισ θεωρείται ομοιόμορφ σε όλες τις διευθύνσεις. Υπενθυμίζουμε ότι με ˆr συμβολίζεται μοναδιαία σφαίρα του R Οι παραπάνω συνθήκες εξασφαλίζουν τ μοναδικόττα τς λύσς των εξωτερικών προβλμάτων που θα αντιμετωπίσουμε, γιατί αποκλείουν τ δμιουργία στάσιμων κυμάτων. Πράγματι, αποκλείοντας κυματική διάδοσ από το άπειρο προς τον σκεδαστή αποκλείουν τ δυνατόττα συμβολής με το σκεδασμένο κύμα για τ δμιουργία στάσιμου κύματος. Μακριά από το σκεδαστή το προσπίπτον κυματικό πεδίο (. παρουσιάζει, επίσς, τα δύο χαρακτριστικά του σκεδασμένου πεδίου που προαναφέραμε και ικανοποιεί τ συνθήκ ακτινοβολίας του ommerfeld (.. Η γραμμικόττα τς ομογενούς συνθήκς (. σε συνδυασμό με το γεγονός ότι το προσπίπτον πεδίο μας επιτρέπει να τ διατυπώσουμε για το ολικό εξωτερικό πεδίο υπερπίεσς (.3. 3. 56

ΚΕΦΑΛΑΙΟ.3: ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΕΝΤΑΣΗ Ορίζουμε ως κιντική ενέργεια και δυναμική ενέργεια αντίστοιχα τις ποσόττες ρ γ,, (3. V ( rt Urt (, και ορίζουμε ως συνάρτσ πυκνόττας ενέργειας ρ γ W r t = r t Urt (3. (, V (, (, Το οποίο μετριέται σε μονάδες ενέργειας ανά μονάδα όγκου. Στ συνέχεια ορίζουμε το διάνυσμα τς ροής ισχύος { } * (3.3 І ( rt, = Re Urt (, V ( rt, Εισάγοντας το δυναμικό πεδίο ταχυτήτων και τν αρμονική χρονική εξάρτσ πυκνόττα ενέργειας μετασχματίζεται στον τύπο i t e ω 57

ρ γ w r = r ur (3.4 φ ( μπορεί να εξαρτάται από όρους που περιέχουν μόνο το δυναμικό πεδίο ταχυτήτων 4 ρ k wr = r φ r (3.5 φ ( ργω ή μπορεί να εξαρτάται από όρους που περιέχουν μόνο το πεδίο υπερπίεσς (3.6 wr γ ργω u r = 4 k ur ( Το διάνυσμα τς ακουστικής έντασς (ροή ισχύος ορίζεται { } * (3.7 Ι ( r = Re ur ( φ ( r Μπορεί να γραφεί επίσς ως εξής * (3.8 Ι r = Im ( iωδγ u ( r u ( r ωρ { } Αν ο χώρος στο οποίο διαδίδεται το ακουστικό κύμα έχει ιξώδες (δ= τότε θα έχουμε Im ( ( ωρ * (3.9 Ι ( r = { u r u r } που εκφράζει ροή ισχύος από τ στοιχειώδ επιφάνεια, 58

ΚΕΦΑΛΑΙΟ.4: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΠΛΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΟΜΕΣ ΣΚΕΔΑΣΗΣ Ολοκλρωτικές αναπαραστάσεις Τα επίπεδα κύματα ικανοποιούν τν εξίσωσ του Helmholtz (.9 σε όλα τα σμεία του R 3 αλλά δεν ικανοποιούν τν συνθήκ ακτινοβολίας (. Από τν άλλ πλευρά, το πεδίο οφειλόμενο σε σμειακή πγή στο r ικανοποιεί τν συνθήκ ακτινοβολίας αλλά θα είναι και λύσ τς εξίσωσς του Helmholtz. Ένα τέτοιο πεδίο μπορεί να είναι μια συνάρτσ δύο σμείων, G(r,r, που συμβολίζουμε τν κανoνικοποιμέν (αδιάστατ θεμελιώδ λύσ τς εξίσωσς Helmholtz στις τρεις διαστάσεις. (4. ik r r e G( rr, = = h kr r = h krr ik r r ( ( με τν σφαιρική συνάρτσ του Hakel μδενικής τάξς και πρώτου είδους. Αυτή συνάρτσ είναι λύσ τς εξίσωσς 4π r k G r r δ r r ik (4. ( Δ (, = ( όπου δ το συναρτσιακό του Dirac. 59

Με τ βοήθεια τς θεμελιώδους λύσς h μπορούμε να κατασκευάσουμε ολοκλρωτική αναπαράστασ του σκεδαζόμενου πεδίου τν (4.3 ik hkr ( r u r 4π u( r = u( r h k rr d( r, r V όπου επιφάνεια του σκεδαστή οποία ενσωματώνει τόσο τν εξίσωσ Helmholtz, όσο και τν συνθήκ ακτινοβολίας ommerfeld (.. Με τον ίδιο τρόπο, το εσωτερικό πεδίο του μεταβατικού προβλήματος επιδέχεται τν ολοκλρωτική αναπαράστασ (4.4 ik h( k r r u r 4π u ( r = u ( r h k rr d r r V -, όπου k - είναι ο κυματικός αριθμός στο V -. Επειδή το προσπίπτον πεδίο u i και (4. αποτελούν ομαλές λύσεις τς εξίσωσς Helmholtz στο εσωτερικό χωρίο V -, όπου το r ανήκει στο V και από τν δεύτερ σχέσ του Gree έχουμε ότι (4.5 ( ( i h k r r u r i u r h k r r d r - V - V i ( ( ( ( υ ( = Δ Δ i u r h k r r h k r r u r d r i i ( ( ( ( υ ( = k h k r r u r k h k r r u r d r = Μία παραπλήσια ολοκλρωτική αναπαράστασ μπορεί να αποκτθεί για το προσπίπτον πεδίο u i από τν περιοχή του χώρου που καταλαμβάνει το V - απόντος του σκεδαστού. Επομένως το σκεδαζόμενο πεδίο u στν ολοκλρωτέα έκφρασ τς (4.3 μπορεί να αντικατασταθεί από το ολικό πεδίο u και οδγεί έτσι στν ολοκλρωτική αναπαράστασ (4.6 i ik h k r r u ( r u ( r = u ( r u ( r h( k r r d( r, r V 4π 6

Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε τις συνοριακές συνθήκες προβλήματα. για το πρόβλμα Dirichlet έχουμε: στα παρακάτω (4.7 ( r i ik u u ( r = u ( r h( k r r d( r, r V 4π. για το πρόβλμα Neuma έχουμε: (4.8 ( r i ik h k r u ( r = u ( r u ( r d( r, r V 4π 3. και για το πρόβλμα Robi έχουμε: (4.9 για r V όπου ( i ik hkr r u r u ( r = u ( r u ( r ikv h( k r r d r 4π ( παράμετρος ν=cρ/ζ, ορίζεται ως ο λόγος του γινομένου τς φασικής ταχύττας και τς πυκνόττας μάζας του μέσου που καταλαμβάνει τον εξωτερικό χώρο διάδοσς V προς τν ακουστική αντίστασ του ανθεκτικού σκεδαστή. Οι αναπαραστάσεις(4.6, (4.7 και (4.8 εκφράζουν το ολικό πεδίο ως υπέρθεσ τς ακτινοβολίας του επίπεδου κύματος και μιας κατανομής μονοπόλων, διπόλων ή και των δύο, αντίστοιχα, πάνω στν επιφάνεια του σκεδαστή, με πυκνόττα που καθορίζεται από τις τιμές του σκεδασμένου πεδίου πάνω στν επιφάνειά του. 4. Ανάλογ ερμνεία επιδέχεται το μεταβατικό πρόβλμα όπου οι εξισώσεις (4.5 και (4.4 γράφονται ως εξής (4. i ik h k r r u r u ( r = u ( r u ( r β h( k r r d( r, r V 4π (4. ( i k h k r r u r u ( r = u ( r h( k r r d r r V 4π -, 6

Απομακρυσμένο πεδίο (πλάτος σκέδασς Χρσιμοποιώντας τις παρακάτω ασυμπτωτικές σχέσεις καθώς r (4. r r = r rˆ r Ο r (4.3 r r = rˆ Ο r r r Βρίσκουμε (4.4 ikrˆ r G ( r, r = h( k r r = e h( kr Ο r Η ασυμπτωτική μορφή του u δίνεται από τν (4.3 και τν (4. ως εξής (4.5 (4.6 u( r = g( rˆ h( kr Ο, r r ik g r u r ik r u r e ds r 4π ikrˆ r ( ˆ = ( ( ˆ ˆ ( ( Για επίπεδα κύματα πρόσπτωσς το πλάτος τς σκέδασς συμβολίζεται ( ˆ, ˆ grk το οποίο εξαρτάται μόνο από τν διεύθυνσ πρόσπτωσς παρατήρσς. ˆk και τν διεύθυνσ Η συνάρτσ (4.6 ονομάζεται κανονικοποιμένο πλάτος σκέδασς ή σταθερά σκέδασς ή συνάρτσ ακτινοβολίας και είναι σπουδαιότερ, από πλευράς εφαρμογών, συνάρτσ που ενδιαφέρει τ θεωρία σκέδασς. Περιλαμβάνει τν εξάρτσ του u από τν θέσ παρατήρσς σκεδαστή στ διεύθυνσ παρατήρσς κύμα διευθύνσεως ˆk ˆr και αποτελεί τν απόκρισ του κατά τν προσβολή του από το προσπίπτων. Ενσωματώνει και μεταφέρει στν περιοχή ακτινοβολίας, όλες τις ιδιόττες του σκεδαστή: τ γεωμετρία τς επιφάνειάς του και τ φυσική του συμπεριφορά απέναντι στ συγκεκριμέν διέγερσ. Η σπουδαιόττα του πλάτους ˆr 6

σκέδασς είναι ότι περιλαμβάνει τα γωνιακά χαρακτριστικά του σκεδαζόμενου πεδίου και δεν μεταβάλλεται με το r δλ. αν το r είναι αρκετά μεγάλο, τότε αλλλεπίδρασ για δεδομένο σκεδαστή, που παρεμβάλλεται στον χώρο διάδοσς του επίπεδου κύματος, περιλαμβάνεται στο g, συνάρτσ h(kr είναι κοινή για όλους τους σκεδαστές, επομένως αλλαγή γεωμετρίας ή φυσικής συμπεριφοράς (συνοριακές συνθήκες θα φανεί μόνο στο g, ανεξάρττα από το αν παρατήρσ γίνεται στο μακρινό πεδίο ή όχι. Η απόστασ πγής-σκεδαστή είναι μια παράμετρος που έχει νόμα μόνο όταν έχουμε σμειακή διέγερσ και τότε απόστασ αυτή αποτελεί χρήσιμο στοιχείο για τον χωρικό εντοπισμό του σκεδαστή. Η συνάρτσ (4.6 θα προσαρμοστεί ανάλογα, με τις αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες. Διατομή σκέδασς Για επίπεδο κυματικό πεδίο i (4.7 ( r ik r ˆ r u = e = e ikk και αν θεωρήσουμε τν ακουστική έντασ του σκεδασμένου πεδίου στο μακρινό πεδίο, όπου ο χώρος έχει μδενικό ιξώδες, (4.8 I u u ρω * ( r = Im{ } Η ακουστική έντασ στν διεύθυνσ τς διάδοσς ˆk είναι ίσ προς (4.9 ˆ i k k I = = ρ ω ρ ω ( r Im{ kˆ ik} Το σκεδασμένο πεδίο u στν περιοχή ακτινοβολίας, που διαδίδεται στν ακτινική διεύθυνσ, έχει τν ακτινική έντασ (4. Η συνθήκ ακτινοβολίας (. δίνει u r * rˆ I( r Im = u ( r, r ρω r (4. u( r = iku ( r Ο, r r r 63

και, δεδομένου ότι το σκεδασμένο πεδίο υπερπίεσς έχει τν ασυμπτωτική μορφή (4.5 u( r = g( rˆ h( kr Ο, r r Τότε ακτινική ακουστική έντασ είναι k ρω = Ο 3 rˆ I (4. ( r u( r r = g ( r Ο 3 ˆ, kρωr r r Αν υποθέσουμε ότι ροή ισχύος πάνω σε μια μεγάλ σφαίρα ακτίνας r είναι ίδια σε κάθε διεύθυνσ και δίνεται από τν (4., τότε ολική ροή ισχύος δια μέσου αυτής τς σφαίρας είναι ίσ προς (4.3 4 π r rˆ I( r = g( rˆ Ο, r kρω r Η ροή ισχύος του σκεδασμένου πεδίου μετρούμενο με μονάδα μέτρσς του αντίστοιχς ροής ισχύος του προσπίπτοντος κυματικού πεδίου, ορίζει στο όριο, καθώς r, τν διαφορική διατομή σκέδασς (4.4 σ ( rˆ ( r π r rˆ I r =lim = r ˆ i k I 4 4 π g k ( rˆ Είναι μια συνάρτσ που εξαρτάται από τν διεύθυνσ παρατήρσς διεύθυνσ πρόσπτωσς. Η συνάρτσ ( ˆr ˆr και τν ˆk σ μετριέται σε μονάδες εμβαδού και εξαρτάται από τν διεύθυνσ παρατήρσς και τιμή τς προσδιορίζει το ποσόν τ ροής ισχύος που σκεδάζεται στ διεύθυνσ διάδοσς. ˆr σε σχέσ με τν ροή ισχύος του προσπίπτοντος στν διεύθυνσ 64

Η μέσ τιμή τς σ ( ˆr πάνω στ μοναδιαία σφαίρα για όλες τις διευθύνσεις ορίζει τν ενεργειακή διατομή σκέδασς (4.5 σ s = σ 4π = 4π ( rˆ ds( rˆ g( rˆ ds( rˆ Η ασυμπτωτική μορφή του σκεδασμένου πεδίου επιτρέπει να γράψουμε: (4.6 σ s ( ˆ = lim u r r ds r = u r ds r r (, Και επίσς έχουμε ότι (4.7 σ s = lim Im r k (, r u r r * u r ds r Η τελευταία ολοκλρωτική αναπαράστασ τς ενεργειακής διατομής σκέδασς, μας επιτρέπει να μεταφέρουμε τν ολοκλήρωσ πίσω στν επιφάνεια του σκεδαστή ως εξής. Εφαρμόζουμε τ δεύτερ ταυτόττα του Gree για τις συναρτήσεις u, u * στο φραγμένο χωρίο με σύνορα τν και τν επιφάνεια μιας μεγάλς σφαίρας (,r και ορίζουμε (4.8 (, r = { r 3 : r = r} Το φραγμένο αυτό χωρίο συμβολίζουμε ως εξής (4.9 V B[, r] = { r V : r r} Και έτσι έχουμε 65

(4.3 [ r] V B, ( Δ ( ( Δ ( υ ( * * u r u r u r u r d r =,r * u r u r * u r u r ds r ( * u r u r * u r u r ds r ( Επειδή u επιλύει τν εξίσωσ Helmholtz στον εξωτερικό χώρο V με πραγματικό k, το ολοκλήρωμα του ου μέρους είναι μδέν και τότε έχουμε (4.3 lim Im r,r u r u r ( = Im ( r * * u r ds r u r ds r Τότε (4.7 γράφεται (4.3 σ s = Im k u r * u r ds r Η τελευταία σχέσ τς ενεργειακής διατομής ορίζεται από επιφανειακό ολοκλήρωμα στν επιφάνεια του σκεδαστή του σκεδασμένου πεδίου και τς παραγώγου τς κατά τν κάθετ διεύθυνσ. Η αντίστοιχ έκφρασ που αφορά το ολικό εξωτερικό πεδίο δίνει τν ενεργειακή διατομή απορρόφσς (4.33 σ a * u r u r = Im u ( r ds( r Im u ( r ds r k = k * όπου το αρντικό πρόσμο δλώνει ότι ροή ισχύος έχει κατεύθυνσ προς τα μέσα. Στα προβλήματα Dirichlet και Neuma ενεργειακή διατομή απορρόφσς με εφαρμογή των αντίστοιχων συνοριακών συνθκών (.4 και (.5 στν σχέσ (4.33, παρατρούμε ότι είναι μδέν. Ο μαλακός και ο σκλρός σκεδαστής σκεδάζουν όλ τν προσπίπτουσα ενέργεια, λειτουργώντας ως δευτερογενής πγή ακτινοβολίας. Αντίθετα το πρόβλμα του Robi με τν συνοριακή συνθήκ (.6 παρέχει τον τύπο 66

(4.34 * Im σ a = u ( r ikvu ( r ds r = v u r ds r k που είναι μ μδενική ποσόττα. Η επιφάνεια του ανθεκτικού σκεδαστή απορροφά μέρος τς ενέργειας που λαμβάνει. Η ποσόττα σ εκφράζει τν ενέργεια που απορροφά ο διαπερατός σκεδαστής όταν a έχει μ μδενικό ιξώδες. Από τις συνοριακές συνθήκες του διαπερατού σκεδαστή (.4 και (.5 και τν δεύτερ ταυτόττα του Gree έχουμε (4.35 ( r u a Im σ = u ( r ds r k * * u ( r * u ( r = u ( r ( u ( r ds( r ik β β = u r β u r u r β u r dυ ik * * ( ( V * * {( β β u ( r k β ( β } d = ik V γ ρ = δ u ρ γ V r Επειδή το εσωτερικό πεδίο u - ικανοποιεί τν εξίσωσ Helmholtz στο φραγμένο χώρο V -, dυ υ (4.36 = = Δ u r k u r =, r V * u ( r * u ( r u ( r ( u ( r ds r V V * * ( υ u ( r Δ u ( r u r Δu r d r * ( υ k u r d r = Im υ ik u r d r V 67

Τέλος ενεργειακή διατομή απορρόφσς του διαπερατού σκεδαστή δίδεται από τν κατωτέρω έκφρασ (4.37 γ ωδ γ σα = k u r d γ V ( ωδ γ υ( r ( r ρ u ωδ γ Re u ( r ds r k ρ * Εάν το εσωτερικό του σκεδαστή δεν απορροφά ενέργεια δ - = τότε το σ α =. Τελικά ορίζουμε τν ενεργειακή διατομή εξαφάνισς (4.38 σ e = σs σa που περιγράφει τν ολική ενέργεια που εξαφανίζει ο σκεδαστής από το επίπεδο κύμα, τ οποία απορροφά (σ α ή ακτινοβολεί (σ s προς όλες τις διευθύνσεις στο χώρο. Όλες οι ενεργειακές διατομές σκέδασς εκφράζονται σε μονάδες εμβαδού. 68

ΚΕΦΑΛΑΙΟ.5: ΑΝΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ- ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΧΑΜΗΛΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Επειδή ασχολούμαστε με επίπεδα ακουστικά κύματα χαμλών συχνοτήτων, και σύμφωνα με το πνεύμα του Rayleigh, είναι δυνατόν να αντικαταστήσουμε το πρόβλμα τς σκέδασς με ένα δυναμικό πρόβλμα. Αν κάποιος θέλει να βελτιώσει τν προσέγγισ, τότε επιπλέων όροι μπορούν βρεθούν σε ανάπτυγμα Taylor με δυνάμεις του k. Επιλύοντας προβλήματα συνοριακών τιμών ή μεταβατικά προβλήματα για τν εξίσωσ Laplace στν ακουστική, λεκτρομαγντισμό και λεκτροστατική εξίσωσ ελαστικόττας, που στν κάθε περίπτωσ είναι ευκολότερ λύσ παρά στο αρχικό πρόβλμα τς σκέδασς. Αν χαρακτριστική διάστασ του σκεδαστή (δλ. ακτίνα a τς ελάχιστς σφαίρας που τον περιγράφει είναι πολύ μικρότερ από το μήκος κύματος του προσπίπτοντος πεδίου. Όλα τα πεδία που εμφανίζονται στο πρόβλμα είναι αναλυτικές συναρτήσεις του κυματικού αριθμού, όπου επιδέχονται συγκλίνοντα αναπτύγματα σε δυνάμεις του k. 69

Όλα τα προσπίπτοντα ακουστικά κύματα επιδέχονται ανάπτυγμα δυνάμεων τoυ k ως εξής i (5. = ( ik i u r = u r, r V! Το προσπίπτων πεδίο (. επιδέχεται ανάπτυγμα χαμλής συχνόττας κατά Taylor ως εξής (5. ik ikkˆ r 3 i u r = e = kˆ r, r! = δλ. αναλυτικότερα θα έχουμε 3 4 (5.3 i ( ˆ k ( ˆ k ( ˆ k u r ik k r k r i k r ( kˆ r 3 4 =... 6 4 3 i i i, r άρα u r =, u r = k r, u r = k r,... ˆ ( ˆ Αυτά τα αναπτύγματα συγκλείνουν για όλα τα σμεία r και θέτουμε k=k για να δλώσουμε τον κυματικό αριθμό στον χώρο V. Και στα τέσσερα προβλήματα σκέδασς, θα έχουμε αναπτύγματα χαμλών συχνοτήτων των πεδίων ως εξής (5.4 = ( ik u r = u r, r V! στο δε μεταβατικό πρόβλμα σκέδασς θα έχουμε επίσς (5.5 = ( ik u r = u r, r V! Όπου οι συντελεστές u r εμπεριέχουν τον σχετικό δείκτ διάθλασς ( δεδομένου ότι k - = k ή k - = k. Αν αντικαταστήσουμε τν (5.4 και (5.5 στις αντίστοιχες εξισώσεις του Helmholtz (. και (.8 και θα προκύψουν ισόττες σειρών όπου εξισώνοντας τους 7

συντελεστές των ίδιων δυνάμεων του k θα εξισώσεις για κάθε =,, έχουμε τις παρακάτω αναγωγικές Δ u r = u r, r V (5.6 (5.7 Δ u r = u r, r V Επίσς πρέπει να ικανοποιούνται οι συνοριακές συνθήκες (.4, (.5 και (.6 στν επιφάνεια του σκεδαστή Τότε οι προσεγγίσεις θα πρέπει να ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις u r = r (5.8, (5.9 ( r u =, r (5. ( r u vu ( r =, r Στν περίπτωσ που έχουμε δ - = στο εσωτερικό του σκεδαστή V - Οι συνθήκες διαπερατόττας (.4 και (.5 μαζί με τα αναπτύγματα (5.4 και (5.5 υποχρεώνουν τους συντελεστές στα αναπτύγματα χαμλών συχνοτήτων να ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες διαπερατόττας u r = u r r (5., u r = u r, r (5. _ β Έχοντας υπόψ το ανάπτυγμα τς θεμελιώδους λύσς (5.3 ( = ( ik ikh k r r = rr! 7

Στν ολοκλρωτική αναπαράστασ (4.6 οποία υποκαθιστά τν συνθήκ ακτινοβολίας στο απομακρυσμένο πεδίο αντικαθιστούμε τα, i ( αντίστοιχα αναπτύγματα χαμλών συχνοτήτων (5., (5.4 (5.4 i u ( r u( r u r u r ik ik ik = =! =! 4 π! m m = = m m um - ( r rr rr um - ( r d( r, r V με τα Εξισώνοντας τις ίδιες δυνάμεις του k, θα έχουμε (5.5 u ( r = f ( r υ ( r Όπου i f r = u r = και (5.6 i ( r = f u r um - r r r r r um - r d 4π m= m, m m ( ( ( r = 4 π rr rr, (5.7 υ ( r u ( r u ( r d( r και τα τέσσερα κυματικά προβλήματα σκέδασς χωριστά ανάγονται σε μια ακολουθία προβλμάτων θεωρίας δυναμικού για τον προσδιορισμό των { } προσεγγίσεων u ( r = { } = ή u ( r, u ( r Η εύρεσ τς -τής προσέγγισς u ( r γίνεται με τν εύρεσ τς συνάρτσς f ( r που διατυπώνονται αναγωγικά. του εξωτερικού ολικού πεδίου υπερπίεσς, που αποτελεί το γνωστό τμήμα τς λύσς, που ενσωματώνει το προσπίπτων πεδίο και τις γνωστές προσεγγίσεις u, u,..., u μικρότερς τάξς. 7

Η συνάρτσ υ ( r είναι ένας συνδυασμός κατανομής μονοπόλων και διπόλων, αντίστοιχα, πάνω στν επιφάνεια του σκεδαστή, που είναι ολοκλρώματα τς θεμελιώδους λύσς τς εξίσωσς του Laplace και τς παραγώγου κατά τν κάθετ διεύθυνσ με άγνωστες πυκνόττες. Η συνάρτσ υ ( r είναι λύσ τς εξίσωσς Laplace στο V και φθίνει σαν r καθώς r και είναι αρμονική συνάρτσ στον χώρο V. Τέλος ο προσδιορισμός τς u ( r υ ολοκλρώνεται με τν εύρεσ τς δυναμικής συνάρτσς r. Για να βρούμε το ανάπτυγμα χαμλών συχνοτήτων του πλάτους σκέδασς αντικαθιστούμε το ανάπτυγμα (5.8 e ikrˆ r = ( ik ( rˆ r =! στν εξίσωσ (4.6, αθροίζουμε τν διπλή σειρά σύμφωνα κατά τo γινόμενο Cauchy και λαμβάνουμε το ο ανάπτυγμα (5.9 ( ik m g( rˆ = 4 π =! m= m um r ik r um r r r ds r m ( ( ˆ ( ( ˆ ( Σμειώνουμε ότι το παραπάνω ανάπτυγμα του πλάτους τς σκέδασς ισχύει και για τα τέσσερα προβλήματα που περιγράψαμε και μορφή του αυτή απλοποιείται μετά τν εφαρμογή τς αντίστοιχς συνοριακής συνθήκς. Για το πρόβλμα Dirichlet θα έχουμε (5. ( ˆ ( ik g r = um r r r ds r 4 π =! m= m m m ( ( ˆ ( Για το πρόβλμα Neuma θα έχουμε (5. ( ˆ ( ik g r = r um r r r ds r 4 π =! m= m m m ( ˆ ( ( ˆ ( 73

Για το πρόβλμα Robi αν εφαρμόσουμε τν συνθήκ (5. θα έχουμε το πλάτος σκέδασς (5. ( ˆ m ( m g r = ik ( rˆ v u ( r ( rˆ r ds( r 4 π!! m = m= m m Τν (5.9 μπορούμε να αναλύσουμε ως εξής (5.3 ( ik g( rˆ = r r um r ds r 4 π =! m= m ( ik 4 π! = m= m m ( ˆ ( ( m m ( rˆ r ( rˆ u ( r ds( r m που θα μας βοθήσει να γράψουμε για λόγους εφαρμογής το πλάτος τς σκέδασς ως εξής g rˆ = ikα rˆ k Α rˆ ik Α rˆ k Α rˆ Ο k, k 3 4 5 (5.4 3 4 όπου (5.5 Α ( rˆ = u r 4π ds r (5.6 ( ( u r u r u r Α ˆ ˆ ˆ ˆ r = ds r r r ds r r ds r 4π 4π 4π (5.7 u r u r u r Α 3 ( rˆ = ds( r ( rˆ r ds( r ( rˆ r ds r 8π 4π 8π ( r u ( rˆ ˆ ds r rˆ r rˆ ˆ u r ds r 4π 4π ( 74

(5.8 u3 r u r u r Α 4 ( rˆ = ds r rˆ r ds r rˆ r ds r 4π 4π 8π 3 u ( r ( rˆ ˆ ds( r ( rˆ ˆ u ( r ds( r ( rˆ r ( rˆ ˆ u ( r ds( r 4π 8π 4π rˆ r rˆ ˆ u r ds r 8π Επίσς για όλα τα προβλήματα ενεργειακή διατομή σκέδασς δίδεται από τον τύπο σ = s k ( ˆ ds( rˆ g r (5.9 ( rds ˆ ( rˆ k ( rˆ ( rˆ ( rˆ ds( rˆ = Α Α Α Α3 ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆ ( ˆr 4 k Α 3 r Α r Α 4 r Α r Α5 r ds 6 ( k Ο, k Όπως γνωρίζουμε ενεργειακή διατομή απορρόφσς για τα προβλήματα Dirichlet και Neuma είναι μδέν ενώ για το πρόβλμα Robi δίδεται από τν σχέσ (5.3 σ a = v u r ds r k = v um r u m r ds r ( =! m= m m από τν οποία συνάγεται παρακάτω ασυμπτωτική μορφή (5.3 ( 4 a = v u r ds r vk u r u r u r ds r Ο k σ, k Ομοίως και στο μεταβατικό πρόβλμα θα έχουμε σύμφωνα με τν σχέσ (4.37 75

(5.3 γ ωδ γ σα = k u r γ V ( ωδ γ dυ( r ( r ρ u ωδ γ Re u ( r ds r k ρ * 76

ΚΕΦΑΛΑΙΟ.6: ΣΚΕΔΑΣΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΧΑΜΗΛΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΦΑΙΡΑ σε σφαιρικό σύστμα συντεταγμένων 77

Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα για τν σκέδασ επίπεδου ακουστικού κύματος χαμλών συχνοτήτων από μια σφαίρα ακτίνας α. Τα αποτελέσματα που θα παρατεθούν αφορούν προσπίπτων επίπεδο ακουστικό κύμα με διεύθυνσ παράλλλ προς τον άξονα x 3. Το διάνυσμα διάδοσς είναι πάντοτε ίσο (6. k ˆ = xˆ 3 Το δε προσπίπτων επίπεδο ακουστικό πεδίο είναι τς μορφής i ik r ikx u r = e = e 3 (6. Τα αποτελέσματα θα εκφραστούν σε σφαιρικές συντεταγμένες (r, θ, φ και σφαιρικά μοναδιαία διανύσματα ( rˆ, ˆ θ, ˆ ϕ που ορίζονται ως εξής (6.3 x x x 3 = rsiθ cosϕ = rsiθsiϕ = rcosθ r, θ π, ϕ < π (6.4 rˆ = siθcos ϕ, siθsi ϕ, cosθ ˆ θ = cosθcos ϕ, cosθsi ϕ, siθ ˆ ϕ = si ϕ, cos ϕ, Η επιφάνεια τς σφαίρας,, ορίζεται από τν σχέσ (6.5 r = a Το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα προς τν επιφάνεια τς σφαίρας με φορά προς το V Είναι (6.6 ˆ = rˆ και παράγωγος τς κάθετς συνιστώσας είναι (6.7 = r 78

Το στοιχειώδες επιφανειακό εμβαδό δίδεται από τον παρακάτω τύπο (6.8 ds = a siθdθdϕ Ο όγκος τς σφαίρας είναι (6.9 V = 4π a 3 3 Και το εμβαδό τς επιφάνειας είναι (6. = 4π a ΣΦΑΙΡΑ ΩΣ ΜΑΛΑΚΟΣ ΣΚΕΔΑΣΤΗΣ (Dirichlet Όταν ένα επίπεδο ακουστικό κύμα προσπίπτει πάνω σε μαλακή σφαίρα ακτίνας α, Η εξωτερική περιοχή V όπου το σκεδαζόμενο ακουστικό κύμα διαδίδεται, είναι το εξωτερικό τς σφαίρας και αντιστοιχεί στν περιοχή. { } (6. V = ( r, θ, φ r > a, θ [, π], φ [,π Το πρόβλμα τς σκέδασς που θα ασχολθούμε είναι το ακόλουθο. Θα βρούμε το ολικό πεδίο u r = u r u r r V (6. i s, Το οποίο επαλθεύει τν παρακάτω εξίσωσ του Helmholtz (6.3 Δ k u r =, r V και επειδή έχουμε μαλακό σκεδαστή οι συνοριακές συνθήκες θα είναι Το σκεδαζόμενο πεδίο u s ικανοποιεί τν συνθήκ ακτινοβολίας του ommerfeld (6.4 s u s lim r iku = r r 79

Με ομοιόμορφ σύγκλισ επάνω στν μοναδιαία σφαίρα του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου και στν επιφάνεια τς σφαίρας θεωρούμε ότι ισχύει συνοριακή συνθήκ του Dirichlet. (6.5, u r = r Σκέδασ χαμλών συχνοτήτων Αν το μήκος κύματος του προσπίπτοντος πεδίου είναι πολύ μεγαλύτερο από τν ακτίνα τς σφαίρας, για τν σφαίρα συχνοτήτων μπορεί να εφαρμοστεί. Θεωρούμε τα αναπτύγματα ka<<, τότε θεωρία των χαμλών i (6.6 (6.7 = ( ik i u r = u r, r V! = ( ik u r = u r, r V! και οι προσεγγίσεις χαμλών συχνοτήτων ικανοποιούν τα διαδοχικά προβλήματα στν δυναμική θεωρία. Η μδενικής τάξεως προσέγγισ δίδεται από το ακόλουθο πρόβλμα συνοριακών τιμών Μδενική Προσέγγισ (Dirichlet (6.8 (6.9 Δ u r = με r a u r = με r = a 8

(6. u r = O / r r Η υπερπίεσ εξωτερικά από τον σκεδαστή θα είναι τς μορφής (6. ( ϑ = ( ( θ u r, a r P cos = Που θα πρέπει να πλρεί τν συνοριακή συνθήκ του Dirichlet (6. u ( r ϑ, r= a = o Στο μέρος του παραρτήματος Δ αποδεικνύεται ότι οι συντελεστές θα έχουν τις τιμές a m = a m = (6.3 { m Επομένως θα έχουμε (, ϑ = ( cosθ u r a r P (6.4 u ( r ϑ, = a r Πρώτς τάξεως Προσέγγισ (Dirichlet Η προσέγγισ ς τάξεως του εξωτερικού πεδίου υπερπίεσς πρέπει να επαλθεύει το παρακάτω πρόβλμα συνοριακών τιμών (6.3 Δ u r = με r a u r = με r = a u ( r = u ( r x3 ds( r O( / r, r 4π (6.5 u ( r u (, r θϕ, = x3 ds( r 4π u ( r = r θ ds r O 4π r= a r r cos 8

Στν (D3 υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα και ευρίσκουμε u (6.6 ( r ds ( r = 4π a r= a r (6.7 (,, cos u r θϕ = r θ a O r (6.8 ( θ ϕ f r,, = br cmcosm dmsi mϕ cosθ = m= ( m [ ϕ ] Ρ (6.9 ( u (, r θ, ϕ = rcosθ a b r Ρ cosθ = Από τν συνοριακή συνθήκ (6.3 θα έχουμε (6.3 ( u ( a, θϕ, = acosθ a b a Ρ cosθ = = από τν παραπάνω σχέσ και (D4 ευρίσκουμε τους συντελεστές (6.3 m b a ( δ δ = = m m m a m= - a 3 m= m, και έτσι προσδιορίζεται προσέγγισ ς τάξεως του εξωτερικού πεδίου υπερπίεσς 3 u r θ ϕ r θ a a r θ a r (,, = cos Ρ cos Ρ cosθ Τέλος θα έχουμε (6.33 3 a a u (, r θϕ, = rρ( cosθ aρ 3 r r Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε τν προσέγγισ ας τάξεως (6.34 5 a a θ ϕ = Ρ 5 ( θ u (, r, a a r r cos r 3 3 r Το πλάτος τς σκέδασς δίδεται από τ έκφρασ 8

(6.35 ( ˆ ( r ik u r k u r g rˆ, k = ds( r ds r 4π 4π k u ( rˆ r rˆ ˆ u r ds r k 4π Ο 3 Από τν (6.6, (6.7 και (6.8 (6.35 γίνεται ( ˆ (6.36 ( r ik u r k u r g rˆ, k = ds( r ds r 4π r 4π r r= a r= a k u ( rˆ r rˆ rˆ u r ds r k 4π Ο r r= a 3 Υπολογίζοντας το κάθε ολοκλήρωμα ξεχωριστά στο (D5 θα έχουμε (6.37 ik ( u r 4π (6.38 k ( ( ds r = ika r u r 4π r ds r =a k (6.39 k u ( r 4 r a rˆ r ( rˆ rˆ u ( r ds( r π = r = τέλος ευρίσκουμε (6.4 3 g( rˆ, kˆ =ika a k Ο( k Η ενεργειακή διατομή σκέδασς υπολογίζεται ως εξής (6.4 83

σ s = g r ds r ika a k k ds r k = Ο k π 3 ( ˆ ( ˆ ( ˆ π = dϕ ( ikaa k ( ika a k siθdθ = k π π 4 4 = ( ka ak siθdθ = k = 4π a a k O k Η ΣΦΑΙΡΑ ΩΣ ΔΙΑΠΕΡΑΤΟΣ ΣΚΕΔΑΣΤΗΣ = Το εξωτερικό τς σφαίρας είναι περιοχή V όπου διαδίδεται το σκεδαζόμενο ακουστικό κύμα, και εκφράζεται, με τ χρήσ σφαιρικών συντεταγμένων, από το παρακάτω σύνολο. { } (6.4 V = ( r, θ, φ r ( a,, θ [, π], φ [,π το εσωτερικό του σκεδαστή συμβολίζεται V - συντεταγμένες από το σύνολο και περιγράφεται σε σφαιρικές { } (6.43 V = ( r, θ, φ r [, a], θ [, π], φ [,π Ο διαπερατός σκεδαστής στο εσωτερικό δεν απορροφά ενέργεια δλ. το ιξώδες στο εσωτερικό του σκεδαστή είναι Το πρόβλμα τς σκέδασς ακουστικού κύματος χαμλής συχνόττας από μία διαπερατή σφαίρα που το κέντρο τς ταυτίζεται με τν αρχή του συστήματος των συντεταγμένων, καταστρώνεται ως εξής Θα βρούμε το ολικό εξωτερικό και εσωτερικό πεδίο υπερπίεσς. Απαλείφοντας τν αρμονική χρονική εξάρτσ exp{-iωt}, όπου ω είναι κυκλική συχνόττα, το προσπίπτων επίπεδο κυματικό πεδίο ορίζεται ως εξής. i ik r ikx u r = e = e 3 (6.44 Όπου k είναι ο κυματικός αριθμός στο χώρο V και τς διάδοσς. ˆk είναι το μοναδιαίο διάνυσμα 84

Το πρόβλμα τς σκέδασς που θα ασχολθούμε είναι το ακόλουθο. Θα βρούμε το ολικό εξωτερικό πεδίο u r = u r u r r V (6.45 i s, Το οποίο επαλθεύει τν παρακάτω εξίσωσ του Helmholtz Δ k u r =, r V (6.46 και μεταβολή του εσωτερικού πεδίου υπερπίεσς u - στον χώρο V -, επαλθεύει τν εξίσωσ (6.47 και k - είναι ο κυματικός αριθμός στο V -. Το k - σχετίζεται με το k ως εξής Δ k u r =, r V (6.48 k = k Όπου είναι ο δείκτς διάθλασς των δύο χώρων Το σκεδαζόμενο πεδίο u s ικανοποιεί τν συνθήκ ακτινοβολίας του ommerfeld (6.49 s u s lim r iku = x r Με ομοιόμορφ σύγκλισ επάνω στν μοναδιαία σφαίρα Ευκλείδειου χώρου. του τρισδιάστατου Στο μεταβατικό πρόβλμα, καθώς διανύουμε το διαπερατό σύνορο και με τν προϋπόθεσ ότι το εσωτερικό του σκεδαστή δεν απορροφά ενέργεια, θα ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες διαπερατόττας που εξασφαλίζουν τν συνέχεια του πεδίου υπερπίεσς 85

, u r = u r r και u r u = r r (6.5 β, Σκέδασ χαμλών συχνοτήτων Αν το μήκος κύματος του προσπίπτοντος πεδίου είναι πολύ μεγαλύτερο από τν ακτίνα τς εξωτερικής σφαίρας, για τν σφαίρα kr <<, τότε θεωρία των χαμλών συχνοτήτων μπορεί να εφαρμοστεί. Θεωρούμε τα αναπτύγματα κατά Taylor του εξωτερικού και εσωτερικού πεδίου (6.5 = ( ik u r = u r, r V! ( ik = u r = u r, r V! Και οι προσεγγίσεις χαμλών συχνοτήτων ικανοποιούν τα διαδοχικά προβλήματα στν δυναμική θεωρία. Η μδενικής τάξεως προσέγγισ δίδεται από το ακόλουθο πρόβλμα συνοριακών τιμών Μδενικής τάξεως προσέγγισ (6.5 (6.53 Δ u r = με r > a Δ u r = με r < a u r = u r με r = a (6.58 86

(6.54 u ( r u ( r r = β με r = a r u r = O / r r (6.55 Οι προσεγγίσεις μδενικής τάξεως τς εξωτερικής και εσωτερικής υπερπίεσς θα έχουν τις παρακάτω μορφές με δύο άγνωστες σειρές συντελεστών a, b (6.56 ( ϑ = ( ( θ u r, = a r P cos με r a (6.57 Από τν u r, ϑ = b r P cos θ με r < a = συνοριακή συνθήκ (6.58 και από τις ιδιόττες ορθογωνιόττας των πολυωνύμων Legedre και σύμφωνα με (D6 θα προκύψει εξίσωσ (6.59 ( m m ba m aa m = δm Από τν συνοριακή συνθήκ (6.55 και από τις ιδιόττες ορθογωνιόττας των πολυωνύμων Legedre (D7 επίσς θα προκύψει εξίσωσ (6.6 m m am =β a b m m Επιλύοντας το σύστμα των δύο αυτών εξισώσεων (6.59 και (6.6 ευρίσκουμε τους συντελεστές b m m β = a m m δ m (6.6 a m =β a m b m m m b =, a = m= m m b =, a = m m m 87

Τότε εσωτερική (6.58 και εξωτερική υπερπίεσ (6.57 μδενικής τάξεως υπολογίζονται ως ακολούθως (6.6 ( ϑ u r, = με r a ( ϑ u r, =, με r < a Πρώτς τάξεως προσέγγισ (6.63 Δ u r = με r a Δ u r = με r < a u r = u r με r = a (6.69 (6.64 u ( r u ( r = β με r = a Επομένως λύσ θα είναι τς μορφής (6.65 u ( r u (, r θϕ, = rcos θ ds( r O 4π r Όπου (6.66 u r= a r ds r r = Τότε (6.67 γίνεται (6.67 ( u (, r θ, ϕ = rcosθ c r Ρ cos = ( θ Επίσς θα έχουμε 88

(6.68 = ( θ u (, r θ, ϕ = d r Ρ cos Από τν πρώτ συνοριακή συνθήκ (6.69 θα έχουμε r = a (6.7 ( rcosθ c r Ρ cosθ = d r Ρ cos θ γιά = = Από τν(δ8 ευρίσκουμε τους συντελεστές (6.7 m m θα έχουμε c = d a m m (6.7 3 m = θα έχουμε c a = d Από τν δεύτερ συνοριακή συνθήκ (6.66 και τν (D9 θα έχουμε (6.73 ( ( cr dr = = cosθ Ρ cosθ = β Ρ cosθ και καταλήγουμε m m cm = β dma m (6.74 m m = c a = β d (6.75 3 Επιλύοντας το σύστμα των εξισώσεων (6.73 και (6.76 θα υπολογιστούν οι συντελεστές για m= (6.76 c d β = β 3 = β a 3 Επιλύοντας το σύστμα των εξισώσεων (6.7 και (6.75 θα υπολογιστούν οι συντελεστές για m θα είναι 89

(6.77 d m =, c m = Έτσι προσδιορίζονται ακριβώς τα αναπτύγματα τς εξωτερικής και εσωτερικής υπερπίεσς ςτάξς (6.78 3 β a u ( r, θϕ, = r 3 Ρ ( cos θ, r > a β r 3 u ( r, θϕ, = rρ ( cos θ, r < a β Ομοίως ευρίσκεται οι προσέγγισ ας τάξεως (6.79 3 r a u ( r, θϕ, = ( β 3 3r 5 ( β a r 5 Ρ ( cos θ, r > a 3 β 3 r (6.8 3β r u ( r, θϕ, = a r Ρ ( cos θ, r < a 3 3 3 ( β Δεδομένου ότι γνωρίζουμε τις τρεις πρώτες προσεγγίσεις, το πλάτος τς σκέδασς θα έχει τν μορφή από τν (5.9 του ου μέρους (6.8 ( ˆ, ˆ g r k = 3 ik u ( r k u ( r ik u ( r = ds( r ds ( r ds r 4π 4π 8π ( r k u ( rˆ r r u r ds r 4π ( r 3 ik u ( rˆ r 4π ( r ( ˆ ˆ ( rˆ ˆ u ( r ds( r 3 ik u ( r ˆ r r ˆ r r ˆ ˆ u r ds r k 4π Ο 4 Υπολογίζοντας δε τα ολοκλρώματα ξεχωριστά στο (D. ευρίσκουμε το πλάτος τς σκέδασς 9

(6.8 ( ˆ 3 3 4 ˆ, ( β = β Ρ ( cos θ Ο g r k ik a k 3 β Η ενεργειακή διατομή σκέδασς υπολογίζεται (D. και ισούται με σs = 4 πka Ok 9 3( β (6.83 ( β ( β 4 6 6 9

9

ΜΕΡΟΣ ΙΙ δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων 93

ΔΙΣΦΑΙΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Λεπτομερής χαρακτρισμός του δισφαιρικού συστήματος συντεταγμένων. Σχήμα 94

Το δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων είναι ένα ορθογώνιο σύστμα που συνδέεται με το Καρτεσιανό ορθοκανονικό σύστμα (x, x, x 3 ως εξής: ( x = siθ cosφ a cosh cosθ < < ( (3 x x 3 = siθ siφ a θ π cosh cosθ = sih a φ π cosh cosθ Όπου με α σμειώνεται εστιακή απόστασ. Για =σταθερό παριστάνεται σφαίρα με κέντρο (,, α/tah και ακτίνα α/ sih που εξίσωσή τς θα είναι (4 cosh x x x a sih a sih [ 3 ] = Το διατρέχει από το - έως το cosh a (ι Αν -<< είναι σφαίρα κέντρου (,, -α και ακτίνας sih sih (ιι Αν = είναι σφαίρα άπειρς ακτίνας cosh a (ιιι Αν<< είναι σφαίρα κέντρου (,, α και ακτίνας sih sih Καθώς το - αντίστοιχ σφαίρα εκφυλίζεται σε σμείο που είναι εστία (,, -α, επίσς όταν το αντίστοιχ σφαίρα εκφυλίζεται σε σμείο που είναι άλλ εστία (,, α, σαρώνοντας τον μιχώρο x 3 < για <, διέρχεται από το επίπεδο x 3 = για =, και κατόπιν σαρώνει τον μιχώρο x 3 > για >. Αν θ= σταθερό (5 χ χ χ3 = α α χ χ cosθ siθ (6 cosθ α 3 = χ χ α χ siθ si θ (ι Για θ= θα έχουμε δύο μιευθείες {(,, ± χ 3 : α< χ 3 < } 95

(ιι Για < θ < π/ το μικρό τόξο παράγει επιφάνεια εκ περιστροφής, επιφάνεια που παράγεται από τν περιστροφή μικρού κυκλικού τόξου, και παράγεται επιφάνεια σχήματος λεμονιού (spidle- shaped. Σχήμα (ιιι Για π/ < θ< π το μεγάλο τόξο παράγει επιφάνεια εκ περιστροφής, επιφάνεια που παράγεται από τν περιστροφή μεγάλου κυκλικού τόξου, γύρω από τν αντίστοιχ χορδή και παράγει επιφάνεια σε σχήμα μήλου (apple- shaped Σχήμα 3 (ιv Για θ= π/ παριστάνει σφαίρα κέντρου (,, με ακτίνα α και με εξίσωσ x x x = a (7 3 (v Για θ= π αντιστοιχεί, ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν οι εστίες {(,, χ 3 : -α< χ 3 < α} Τελικά, για φ=σταθερό παριστάνει το μεσμβρινό μιεπίπεδο. Για τν επίλυσ του προβλήματος τς σέδασς επίπεδου ακουστικού κύματος χαμλών συχνοτήτων από σφαιρικό έκκεντρο κέλυφος, θα προσαρμόσουμε ένα δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων (, θ, φ κατά τέτοιο τρόπο ώστε να 96

προσδιοριστούν δύο δεδομένες σφαίρες από δύο καθορισμένες τιμές τς μιας μεταβλτής. Ας θεωρήσουμε δύο έκκεντρες σφαίρες με ακτίνες R και R (R > R που βρίσκονται σε απόστασ d< R - R και με τα κέντρα τους επάνω στον άξονα x 3 Αν θεωρήσουμε ότι οι δύο σφαίρες βρίσκονται στον κάτω μιχώρο και μία μέσα στν άλλ, δε εξωτερική σφαίρα αντιστοιχεί στν τιμή =-, εσωτερική αντιστοιχεί στν τιμή =- όπου <, χρειαζόμαστε να προσδιορίσουμε θετικούς αριθμούς, και α κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες. Ας θεωρήσουμε δυο σφαίρες με ακτίνες R και R που τα κέντρα τους έχουν απόστασ d. (8 α R sih = (9 ( α R sih = α α = d tah tah Επιλύοντας το παραπάνω σύστμα με αγνώστους, και α ευρίσκουμε R R d R R d ( ( ( α = d ( (3 α α R = l R α α R = l R Επομένως, με τν υπόθεσ ότι όλα τα, και α είναι θετικά, υπάρχει ένα δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων που ταιριάζει στο έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος. Η εξωτερική περιοχή V όπου το σκεδαζόμενο ακουστικό κύμα διαδίδεται, είναι το εξωτερικό στις σφαίρας s και αντιστοιχεί στν περιοχή. { } (4 V = (, θφ, (,, θ [, π], φ [, π 97

Το σφαιρικό κέλυφος μεταξύ των σφαιρών και - συμβολίζεται V - και αντιστοιχεί στν περιοχή { } (5 V = (, θφ, (,, θ [, π], φ [, π Η σφαιρική ακτινική απόστασ δίνεται από τον τύπο (6 cosh cosθ r = a cosh cosθ / Όταν το (,θ βρίσκεται σε μία μικρή περιοχή του (, ακτινική απόστασ r πγαίνει στο άπειρο. Επομένως το μακρινό πεδίο στο δισφαιρικό πεδίο ορισμού ορίζεται για τιμές του (,θ που βρίσκονται σε μικρή περιοχή του (,. Ο πίνακας με στοιχεία [g ] είναι ο μετρικός τανυστής και για κάθε ij =, και οι υπόλοιποι μετρικοί συντελεστές θα είναι g ij i j ισχύει (7 g g = g = ( cosh cosθ = a si ( cosh cosθ 33 g g g = θ 3 siθ ( cosh cosθ 33 3 a a επομένως το δισφαιρικό σύστμα είναι ένα ορθογώνιο σύστμα συντεταγμένων. Ο μετρικός τανυστής ενός ορθογωνίου συστήματος είναι πάντα διαγώνιος πίνακας. Εξίσωσ Laplace στις δισφαιρικές συντεταγμένες Ο εξίσωσ Laplace σε δισφαιρικές συντεταγμένες έχει τν μορφή 98

(8 cosh cosθ ( cosh cos θ f (, θ, φ siθ f ( θφ,, siθ θ cosh cosθ θ f ( θφ,, = si θ φ Η εξίσωσ Laplace επιδέχεται διαμορφωμένο (R χωρισμό στις δισφαιρικές συντεταγμένες, τότε (9 M M M 3 = =, = si θ Όπου Μ, Μ, Μ 3 ελάσσονες ορίζουσες τς ορίζουσας του tackel που είναι παρακάτω - ( = si θ Η δε λύσ τς εξίσωσς Laplace είναι τς μορφής f = cosh cosθ Η Θ Φ ( Όπου Η, Θ, Φ επαλθεύουν τις εξισώσεις χωρισμού ( (3 d Η Η α = d 4 d d α3 siθ Θ α Θ = siθ dθ dθ si θ (4 d Φ Φ= dφ α 3 Όπου οι διαφορικές εξισώσεις ικανοποιούνται για οποιαδήποτε τιμές των α και α 3. οι συνήθεις συνοριακές συνθήκες απαιτούν περιοδικές λύσεις. Έτσι αν θέσουμε α 3 =m, όπου m ακέραιος. Επίσς θέτουμε α =( θα έχουμε τις λύσεις των παραπάνω (, (3 και (4 διαφορικών εξισώσεων αντίστοιχα 99

(5 Η=Α e Β e (6 Θ=Α si mφ Β cos mφ m m (7 Φ=Α Ρ ( cosθ Β Q ( cosθ Γι αυτό τον λόγο οι ειδικές λύσεις τς εξίσωσς Laplace στις δισφαιρικές συντεταγμένες, που το δυναμικό είναι συνάρτσ και των τριών μεταβλτών, είναι ± si f = e Ρ mφ cos m (8 ( cosh cosθ ( cosθ ± si f = e Q mφ cos m (9 ( cosh cosθ ( cosθ και το τυπικό ανάπτυγμα ιδιολύσεων θα έχει τν παρακάτω μορφή (3 f = m= ( / m ( / m θϕ,, = coshcosθ Α e Βe ( cos ( cos cos si ( m m m m m m C Ρ θ D Q θ E mφ F mφ Είναι εύκολο να αποδείξει κάποιος ότι οι ιδιολύσεις στο τελευταίο άθροισμα έχουν συντελεστές που μδενίζονται, γιατί οι συντελεστές θα είναι λύσεις ομογενών γραμμικών συστμάτων που οι ορίζουσες είναι μ μδενικές και έτσι το τελευταίο άθροισμα δεν θα περιέχει όρους τς μορφής (3 m m Ρ ( cosθ cos ( mφ, Ρ ( cosθ si ( mφ με m επομένως λύσ τς εξίσωσς Laplace θα έχει τν μορφή

(3 f (, θ, ϕ ( / ( / = cosh cosθ Α e Βe Ρ ( cosθ = = = ( / ( / Ce De Ρ ( cosθ Ecos( φ Fsi ( φ Αν το δυναμικό εξαρτάται μόνο από και θ δλ όταν έχουμε αξονική συμμετρία, τότε εξίσωσ Laplace θα έχει τν μορφή si θ = cosh cosθ siθ θ cosh cosθ θ (33 f ( θ, f ( θ, εξίσωσ Laplace επιδέχεται διαμορφωμένο (R χωρισμό, με ειδικές λύσεις ± (34 ( cosh cos m f = θ e Ρ ( cosθ (35 ( cosh cos m = θ ( cosθ ± f e Q και το τυπικό ανάπτυγμα ιδιοσυναρτήσεων (36 f m ( / m ( / e e = m= m m m m ( cosθ D Q ( cosθ θϕ,, = coshcosθ Α Β C Ρ Ομοίως είναι εύκολο να αποδείξει κάποιος ότι οι ιδιολύσεις στο προγούμενο άθροισμα έχουν συντελεστές που μδενίζονται, γιατί οι συντελεστές θα είναι λύσεις ομογενών γραμμικών συστμάτων που οι ορίζουσες είναι μ μδενικές και έτσι το τελευταίο άθροισμα δεν θα περιέχει όρους τς μορφής (37 m m Ρ ( cos θ, Ρ ( cosθ με m Άρα λύσ τς εξίσωσς Laplace όταν έχουμε αξονική συμμετρία, θα είναι τς μορφής (38 = ( / ( / ( θ f, θ = coshcosθ Α e Βe Ρ cos

ΜΕΡΟΣ ΙΙI ΣΚΕΔΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΧΑΜΗΛΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟ ΔΙΑΠΕΡΑΤΟ ΕΚΚΕΝΤΡΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΚΕΛΥΦΟΣ 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΚΕΔΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΧΑΜΗΛΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟ ΔΙΑΠΕΡΑΤΟ ΕΚΚΕΝΤΡΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΚΕΛΥΦΟΣ ΜΕ ΜΑΛΑΚΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΠΥΡΗΝΑ.5.5 -.5 -.5.5 -.5 3 4-4 - - 4-4 4

Το έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος V - και ο εξωτερικός χώρος του V περιγράφονται ευκολότερα κάνοντας χρήσ του δισφαιρικού συστήματος συντεταγμένων, ορίζουμε δε το V με το παρακάτω σύνολο { } (. V = (, θφ, (,, θ [, π], φ [, π Το σφαιρικό κέλυφος μεταξύ των σφαιρών και - συμβολίζεται V - και εκφράζεται με το παρακάτω σύνολο { } (. V = (, θφ, (,, θ [, π], φ [, π Η σφαιρική ακτινική απόστασ δίνεται από τον τύπο (.3 cosh cosθ r = a cosh cosθ / Το σκεδαζόμενο πεδίο μακριά από τον σκεδαστή αντιστοιχεί σε μια μικρή περιοχή του (, θ = (, στο δισφαιρικό πεδίο. 5

Απαλείφοντας τν αρμονική χρονική εξάρτσ exp{-iωt}, όπου ω είναι κυκλική συχνόττα, θεωρούμε το προσπίπτον επίπεδο κυματικό πεδίο ως εξής. i (.4 i ˆ = u r e kk r όπου k είναι ο κυματικός αριθμός στο χώρο V και είναι το μοναδιαίο διάνυσμα τς διάδοσς. Το πρόβλμα τς σκέδασς που θα ασχολθούμε είναι το ακόλουθο. Προσδιορίζουμε το ολικό εξωτερικό πεδίο u r = u r u r r V (.5 i s, το οποίο επαλθεύει τν παρακάτω εξίσωσ του Helmholtz ˆk (.6 Δ k u r =, r V και μεταβολή του εσωτερικού πεδίου υπερπίεσς u - στον χώρο V -, επαλθεύει τν εξίσωσ (.7 Δ k u r =, r V όπου k - είναι ο κυματικός αριθμός στο V -. Το k - σχετίζεται με το k ως εξής (.8 k όπου είναι ο δείκτς διάθλασς που συνδέει τους δύο χώρους Το σκεδαζόμενο πεδίο u s ικανοποιεί τν συνθήκ ακτινοβολίας του ommerfeld = k (.9 s u s lim r iku = x r με ομοιόμορφ σύγκλισ επάνω στν μοναδιαία σφαίρα Ευκλείδειου χώρου. του τρισδιάστατου Επάνω στν σφαίρα πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω συνοριακές συνθήκες διαπερατόττας 6

u r = u r r (., και u r u = r r (. β, Οι παραπάνω σχέσεις περιγράφουν τν συνέχεια του πεδίου υπερπίεσς, καθώς και τς κάθετς συνιστώσας του πεδίου ταχύττας, καθώς διανύουμε το διαπερατό σύνορο. Στν επιφάνεια τς σφαίρας - του πυρήνα θεωρούμε ότι ισχύει συνοριακή συνθήκ του μαλακού σκεδαστή ( Dirichlet. (., u r = r Σκέδασ χαμλών συχνοτήτων Αν το μήκος κύματος του προσπίπτοντος πεδίου είναι πολύ μεγαλύτερο από τν ακτίνα τς εξωτερικής σφαίρας, για τν σφαίρα kr <<, τότε μπορεί να εφαρμοστεί θεωρία των χαμλών συχνοτήτων. Θεωρούμε δε τα αναπτύγματα για μεν το εξωτερικό πεδίο (.3 για δε το εσωτερικό (.4 ( ik =, =! u r u r r V = ( ik u r = u r, r V! Αντικαθιστώντας τα ανωτέρω αναπτύγματα στις εξισώσεις (.6, (.7, και από τις συνοριακές συνθήκες (.,(. και (. θα έχουμε, για κάθε =,,,3,, τις εξισώσεις u r = u r, r V (.5 7

(.6 u r = u r, r V και προκύπτουν οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες για τις προσεγγίσεις κάθε =,,,3,. u, u για u r = u r r (.7, u r u r = r (.8 β, (.9 u r = r για μαλακό σκεδαστή και οι προσεγγίσεις χαμλών συχνοτήτων ικανοποιούν τα διαδοχικά προβλήματα στν δυναμική θεωρία. Η μδενικής τάξεως προσέγγισ δίδεται από το ακόλουθο πρόβλμα συνοριακών τιμών Μδενικής Τάξεως προσέγγισ Παρατρούμε ότι προσέγγισ Rayleigh u ± του πεδίου υπερπίεσς πρέπει να επιλύει το παρακάτω στάσιμο πρόβλμα (. (. Δ u r = με r V Δ u r = με r V (. = u r u r με = (.3 u ( r u ( r (.4 = β με = u r = με = u r = O / r r (.5 8

Προσέγγισ Rayleigh. Στο δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων το πρόβλμα συνοριακών τιμών οδγεί στν αξονική συμμετρική προσέγγισ χαμλών συχνοτήτων u (, θ και αξιώνει ως μορφή τν ειδική εξίσωσ Laplace για λύσεις ανεξάρττες από τν αζιμουθιακή γωνία. (.6 (, f θ f ( θ, = cosh cosθ siθ θ cosh cosθ θ Η διαφορική εξίσωσ (.6 επιδέχεται R-χωρισμό μεταβλτών και ανάπτυγμα ιδιοσυναρτήσεων, επομένως οι λύσεις έχουν τν μορφή (.7 = ( / ( / ( θ f, θ = coshcosθ Α e Βe Ρ cos όπου P είναι πολυώνυμα Legedre (.8 ( / = e Ρ ( cosθ cosh cosθ = Χρσιμοποιώντας τν μορφή τς λύσς τς εξίσωσς Laplace που περιγράψαμε προγουμένως και τ βασική ταυτόττα (.8 οι παρακάτω εκφράσεις παριστάνουν τα ολικά πεδία υπερπίεσς εξωτερικά και εσωτερικά από τον σκεδαστή μδενικής προσέγγισς u (, θ και u (, θ (.9 θ θ = ( / ( / [ ( θ u, = cosh cos e Β e Ρ cos,, 9

(.3 ( / ( / θ = θ Α Β Ρ = [ ] ( θ u, cosh cos e e cos,, Η εφαρμογή τς (.4 συνοριακής συνθήκς παρέχει τν σχέσ (.3 ( Α = Β e Για =,,, 3 Ενώ (. συνοριακή συνθήκ δίνει λόγω ορθογωνιόττας των πολυωνύμων Legedere, τν εξίσωσ (.3 ( ( ( Β =Β e e δε παράγωγος τς κάθετς συνιστώσας στις δισφαιρικές συντεταγμένες δίδεται από τον τύπο (.33 cosh cosθ = ˆ = a (.34 (, θ u = cosh cosθ sih ( / ( / = e Βe Ρ c a cosh cosθ = ( osθ ( / ( / cosh cosθ ( / e Βe Ρ( cosθ = (.35 και u (, θ = cosh cosθ sih ( / ( / = Α e Βe Ρ a cosh cosθ = ( cosθ ( / ( / cosh cosθ ( / Αe Βe Ρ( cosθ =

Η (.3 συνοριακή συνθήκ διαπερατόττας σε συνδυασμό με τις σχέσεις (.3, (.3 γίνεται (.36 { } ( / β Ω sih Ξ cosh Β cosh e Ρ ( cosθ = ( / e ( cosθ cos = ( = Ξ Β Ρ όπου (.37 Ξ =Ω βω (.38 ( ( Ω = e e (.39 ( ( Ω = e e Για να μπορέσουμε να χειριστούμε τν σχέσ (.36 με μεγαλύτερ ευκολία, αντικαθιστούμε τις ποσόττες (.4 Ψ = ( β Ω ( Ξ Β ( sih cosh cosh θ (.4 ( Ζ = Ξ Β και προκύπτει απλοποιμέν μορφή (.4 ( / ( / Ψ e Ρ cosθ = Ζ e Ρ cosθ cosθ = = Ολοκλρώνοντας ως προς θ, θα έχουμε τν παρακάτω σχέσ ( / / Ψe Ρ( x Ρ m( x dx= Ζe xρ x Ρm = = ( x dx Όπου x=cosθ και με τν χρήσ των ιδιοτήτων (A3 και (A7 των πολυωνύμων Legedre προκύπτει ακόλουθ αναδρομική εξίσωσ

(.43 m ( m / Ψ e = m = Ζ ( m ( m Ζm m m m m 3 m ( m / 3/ m e e Αν αντικαταστήσουμε στν (.43 εξίσωσ τις (.4 και (.4 προκύπτει αναγωγική εξίσωσ με σειρά συντελεστών Β για m=,,,3 m (.44 όπου (.45 me Ξ Β H Β m e Ξ Β = sih m- m m m m m Ξ =Ω βω m m m Και λαμβάνοντας τιμές του ( m H = β Ω sih Ξ cosh m m m m=,,,3,4 από τν (.44 προκύπτει γραμμικό σύστμα (m (m, όπου το τετραγωνικό μτρώο των συντελεστών των αγνώστων είναι τριδιαγωνικό. - H e Ξ... Β - e Ξ H e Ξ... Β - e Ξ H 3e Ξ3... Β - 3e Ξ H3 4e Ξ4... Β3 4e Ξ3 H 4... Β = 4............. ( m e Ξm- Hm- me Ξ m Βm... me Ξm- H m Βm (.46 = sih...

Εφαρμόζοντας τν μέθοδο cutoff επιλύουμε το σύστμα για m=,,3,4, ευρίσκοντας τους άγνωστους συντελεστές ανάλογα για τν κάθε περίπτωσ Β για m =,,,3... m (.47 ( ( Β e e Β = =Β ( e e e ( ( ( Α = Β e (.4. - - -. -.4 Σχήμα Αναπαράστασ τς μδενικής προσέγγισς του πεδίου υπερπίεσς u θ= συναρτήσει τς συντεταγμένς χ3 για διάφορες τιμές του d=.,.,.5 και.8 u at a costat poit H,,.64774 L.6.4...3.4.5 d -. -.4 3

Σχήμα 3 Σύμφωνα με τις (, ( ad (3 του ΙΙ μέρους για δύο καθορισμένες σφαίρες με ακτίνες R =.8, R =.5 και για διάφορες τιμές του d=.,.,.5 στο σμείο (,,.64774, μδενικής τάξεως προσέγγισ του πεδίου υπερπίεσς u θα έχει τις παραπάνω τιμές. u at a costat poit H,, 5L..3.4.5 d.8.6.4 Σχήμα 4 Σύμφωνα με τις (, ( ad (3 του ΙΙ μέρους για δύο καθορισμένες σφαίρες με ακτίνες R =.8, R =.5 και για διάφορες τιμές του d=.,.,.5 στο σμείο (,,5, μδενικής τάξεως προσέγγισ του πεδίου υπερπίεσς έχει τις παραπάνω τιμές. u θα u.9.8.7.6.5.4..3.4.5 d Σχήμα 5 Σύμφωνα με τις (, ( ad (3 του ΙΙ μέρους για δύο καθορισμένες σφαίρες με ακτίνες R =.8, R =.5 και για διάφορες τιμές του d=.,.,.5 στο σμείο (,,α για για κάθε περίπτωσ. 4

Δ for.8.6.4. 4 5 6 Σχήμα 6 Επιλύνοντας το (.46 γραμμικό σύστμα για τις αντίστοιχες περιπτώσεις =, 3, 4, 5 και με τις (.47 ευρίσκουμε τους συντελεστές Α, Β, Β m=,,, 4, 5 υπολογίζοντας το σφάλμα στν κάθε περίπτωσ ως εξής ( u ( u ( u u, u ad Δ = =3, 4, 5, m m m Σχήμα 7 5

Σχήμα8 Στα σχήματα 7 και 8 έχει καταγραφεί συμπεριφορά τς ολικής υπερπίεσς μδενικής προσέγγισς στο κοντινό και μακρινό περιβάλλον για, 3 και 4 όρους όπου απόστασ των κέντρων d των σφαιρών πλσιάζει στο μδέν (δλ περίπτωσ ομόκεντρου σφαιρικού φλοιού. Παρατρούμε ότι όσο το d πλσιάζει στο μδέν οι τιμές αποκλίνουν. Συμπεραίνουμε δε ότι μέθοδος Cutoff δεν εφαρμόζεται επομένως επίλυσ του προβλήματος του ομόκεντρου σφαιρικού φλοιού δεν μπορεί να θεωρθεί ειδική περίπτωσ τς σκέδασς από έκκεντρο σφαιρικό φλοιό. ς τάξεως προσέγγισ Παρατρούμε ότι προσέγγισ Rayleigh u ± του πεδίου υπερπίεσς πρέπει να επιλύει το παρακάτω στάσιμο πρόβλμα (.48 (.49 (.5 Δ u r = με r V Δ u r = με r V u r = με = (.5 = u r u r με = (.5 u ( r u ( r = β με = 6

(.53 ˆ u r u r = k r ds( r O( / r r 4 π Επειδή υπολογίσαμε τν μδενικής τάξεως προσέγγισ και γνωρίζουμε τν επιφάνεια ολοκλήρωσς, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι γνωστή σταθερά παρακάτω ποσόττα (.54 και ο όρος ˆk r ac = u r 4 π ds r στις καρτεσιανές συντεταγμένες έχει τν μορφή ˆk r = κ x κ x x κ3 3 όπου κ, κ, κ είναι τα συνμίτονα κατεύθυνσς ( u ˆ r = k r C O / r, r (.55 α Εκφράζουμε τις ορθοκανονικές συντεταγμένες σε δισφαιρικές αρμονικές και. ασυμπτωτική συμπεριφορά του προβλήματος εμφανίζεται ως εξής x siθ cosφ = a cosh cosθ d =a coshcosθ cosφ d θ cosh cosθ ( / d = a cosh cosθ cosφ e P ( cosθ dθ = (.56 = ( / = a coshcosθ e Ρ cosθ cosφ Ομοίως (.57 ( / x = a cosh cosθ e Ρ cosθ siφ = 7

x 3 sih = a cosh cosθ d =a coshcosθ d cosh cosθ d ( / = a coshcosθ e Ρ ( cosθ d = (.58 όπου ( / = a cosh cosθ ( sg e Ρ ( cosθ = sg = = - (.59 3 = u = a cosh cosθ κ sg C e Ρ cosθ Ge = = ( cosθ e ( cosθ( κ cosφ κ siφ Ρ Ρ De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = (.6 u = a cosh cosθ Ee Ge Ρ( cosθ = Ce De Ρ ( cosθ ( κcosφ κsiφ = Από τν συντελεστών συνοριακή συνθήκ (.5 Του Dirichlet θα έχουμε τις σχέσεις των 8

(.6 E C =G e =D e ( ( Από τ συνοριακή συνθήκ διαπερατόττας (.5 και με αντικατάστασ των (.6 στν(.6 βρίσκουμε τους συντελεστές E, C, G και D συναρτήσει των συντελεστών G, D (.6 ( e E = κ ( ( 3 C G e e e ( C ( e = D ( ( e e e ( (.63 G κ C G e 3 = e ( ( e ( D De ( = e ( ( e Για να εφαρμοστεί δεύτερ συνοριακή συνθήκ διαπερατόττας (.5 πρέπει να βρούμε τις παραγώγους τς κάθετς συνιστώσας ς τάξεως του εσωτερικού- εξωτερικού πεδίου (.64 u (, θ, φ = = sih coshcosθ H e Ρ ( cosθ Le Ρ ( cosθ( κ cosφ κ siφ = = cosh cos H Ρ cos L = = όπου 3 ( θ e ( θ e ( Ρ cosθ κcosφ κsiφ 9

H = κ C G e 3 ( L = De ( H = κ C G e 3 ( (.65 L = De ( e Ζ = e ( ( e ( ( e Το πεδίο στο έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος θα είναι ( ( e e u = a cosh cosθ He cosθ Ρ = e e ( ( e e Le ( cos ( cos si θ κ φ κ φ Ρ = e e Επομένως (.66 u (, θ, φ = = sih cosh cosθ He Ρ ( cosθ Le Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = = cosh cos H Ζ Ρ cos L Ζ Ρ co = = 3 ( θ e ( θ e ( sθ ( κcosφ κsiφ Αντικαθιστώντας στν συνοριακή συνθήκ (.5 τις παραγώγους (.64 και (.66 έχουμε τν παρακάτω ισόττα

(.67 = ( β sih H a cosh e Ρ ( cosθ = ( β sih L b cosh e ( cosθ( κ cosφ κ siφ Ρ = όπου e e ( = = = a Ρ cosθ cosθ b Ρ cosθ cosθ κ cosφ κ siφ a (.68 = ( ( H β HΖ ( ( β b = L L Ζ Χρσιμοποιώντας τις ιδιόττες των πολυωνύμων Legedre (A3 έως (Α6, και αν αντικαταστήσουμε στις δύο εξισώσεις που θα προκύψουν από τν (.67 τις ποσόττες (.68 και (.65, θα προέλθουν δύο αναδρομικές εξισώσεις με δύο αντίστοιχες σειρές συντελεστών G, για =,,,3,... και D, για =,,3,4,... (.69 ( ( - - βζ e G γ cosh e G βζ e G = ( β ( β = e Ζ δ γ cosh δ e Ζ δ - - και (.7 ( όπου ( - - βζ e D γ cosh e D βζ D e = ( - e ( β γ ( cosh ( e ( β = Ζ Ζ - (.7 ( γ = β sih βζ cosh δ = κ C 3 Για τν απλούστερ αναπαράστασ των αναγωγικών εξισώσεων (.69 και (.7 σε γραμμικά συστήματα ( ( θέτουμε

( ω = γ cosh ( ω = γ cosh ζ = βζ ζ = βζ ( ( ( - ζ e G ω e G ζ e G = = e ζ δ ω δ e ζ δ - Από τν (.69 θα προέλθει το παρακάτω γραμμικό σύστμα, για =,,,3,4, (.7 ω e ζe.. G 3 4 ζe ωe ζe.. G 4 5 6 ζe ωe 3ζ3e.. G 6 7 8 3ζe ω3e 4 ζ4e.. G3 8 9 4 ζ3e ω4e.. G 4............ ζe ω e ζe G (.. ζ e ωe G ωδ ζe δ ωδ ζe δ ζe δ ωδ ζe δ 3ζ3e δ 3 ω3δ 33ζe δ 4ζ4e δ4 = ω4δ 44ζ3e δ 35ζ5e δ 5... ( e ζδ- ω δ e ζδ e ζ δ- ωδ ( e ζ δ και

( ( - ( ( - ζ e D ω e D ζ e D = = e ζ ω e ζ Από τν (.7 θα προέλθει το παρακάτω γραμμικό σύστμα, για =,,3,4,5, (.73 D 3 4 ωe 3ζe... 4 5 6 ζe ωe 4ζ3e... D 6 7 8 ζ e ω3e 5ζ4e... D3 8 9 3ζ 3e ω4e 6 ζ5e... D4 4ζ... 4e ω5e D 5............. ( ( ( - ζ e ωe ( ζ e D... ( ( 3 ζ e ω e D ω3 ζ e ω ζ e 4 ζ3 e ω3 ζ e 5 ζ4 e ω4 3ζ3 e 6 ζ 5 e = ω5 4 ζ4 e 7 ζ6 e... ( - e ζ ω ( e ζ e ζ ω ( 3 e ζ Το μακρινό πεδίο (Πλάτος σκέδασς-ενεργειακή διατομή σκέδασς Το πλάτος τς διαπερατής σκέδασς δίδεται από τν παρακάτω έκφρασ, στν οποία πρέπει να υπολογιστούν τα ολοκλρώματα. (.74 ( = u r ik = ik g( rˆ ds( r u r ds r 4π 4π! ( ik m ( ( rˆ r m um r r r r um r ds r 4 π =! m= m m m ( ( ˆ ˆ ( ˆ ( ( για rˆ 3

Για τον υπολογισμό του πλάτους τς σκέδασς χρσιμοποιούμε τν μδενικής τάξεως και πρώτς τάξεως προσέγγισ του ολικού πεδίου και έχουμε (.75 ( ˆ ( r ik u r k u r g rˆ, k = ds( r ds( r 4π 4π k u 3 ( rˆ r ( rˆ ˆ u ( r ds( r ( k 4π Ο = Προκειμένου να λφθεί μια αναλυτική έκφρασ για τ προσέγγισ χαμλής συχνόττας του πλάτους τς σκέδασς, πρέπει να υπολογίσουμε τα τρία ολοκλρώματα στν σχέσ (.75. Αντικαθιστώντας τν (B και (.34 στο πρώτο ολοκλήρωμα τς (.75 και κάνοντας χρήσ τς ορθογωνιόττας των πολυωνύμων Legedre και τς βασικής ταυτόττας θα έχουμε = u ( r ds ( r = ( / ( / 3 = = sihπa e Β e Ρ x dx ( cosh x (.76 ( / ( / ( Β = π a / e e Ρ x dx ( cosh x όπου x=cosθ Αντικαθιστώντας τα ολοκλρώματα (B3 ad (B4 στν (.76 προκύπτει (.77 u ( r ds ( r 4 π a = Β Ομοίως, κάνοντας χρήσ των (.75, (B3 και (B4 καταλήγουμε στν = 4

(.78 u ( r ds ( r 6π a G = = = Τα τελευταία δύο ολοκλρώματα στν (.75 πρέπει να υπολογιστούν μαζί αφού χρσιμοποιήσουμε τις ίδιες τεχνικές με προγουμένως στν (.77 και (.78. Ομοίως υπολογίζουμε (.79 = u ( r ( r r ˆ ds( r = π ao34 ( = e Β cosh ( / sih 3sih = Ομοίως υπολογίζουμε 4π 3 ( / = ( ao e Β (.8 ( rˆ ˆ u ( r ds( r = π = Β 8 Oa 3 ( cosh 3 e ( / sih 3sih = 8πOa cosh = 3 3 3sih ( e 3 Β e cosh sih ( e cosh si ( h Αφού συνδυάσουμε τις (.79 και (.8, καταλήγουμε στο αποτέλεσμα (.8 ( r u ( rˆ r ( rˆ ˆ u ( r ds( r = 8π a O3 ( / Β = ( O O O όπου rˆ =,, 3 είναι το μοναδιαίο διάνυμα θέσς. Τότε το πλάτος τς Σκέδασς δίδεται 5

( r ik u r k u r g( rˆ = ds( r ds( r 4π 4π k u 3 ( rˆ r ( rˆ ˆ u ( r ds( r ( k 4π Ο = (.8 3 3 = ik a Β 4k a G k a O / Β Ο k = ik = = = a ka G O / k = = = 3 Β 3 ( Β Ο (.83 3 3 όπου g rˆ = ika A ka G O A Ο k, ka (.84 A = Β = G = = = G ( / A = Β Η σχετική έκφρασ για τν ενεργειακή διατομή τς σκέδασς δίδεται από τν σχέσ (.85 σ s = g r k ( ˆ ds( rˆ Σμειώστε ότι ο σταθερός όρος του πλάτους τς σκέδασς είναι ανάλογος προς τν πρώτ δύναμ του κυματικού αριθμού και είναι ισοτροπική δεδομένου ότι εκφράζεται από ένα μονοπολικό όρο. Η επόμεν προσέγγισ του πλάτους τς σκέδασς είναι ανάλογος προς τν δεύτερ δύναμ του κυματικού αριθμού και είναι εκπεφρασμέν από ένα μονόπολο και ένα δίπολο όρο. Σε συμφωνία με τ θεωρία τς πολλαπλής σκέδασς, όλα τα αποτελέσματα που λάβαμε για τα μακρινά πεδία εκφράζονται σε μια σειρά από τν οποία επιβεβαιώνεται πολλαπλή αλλλεπίδρασ μεταξύ των δύο έκκεντρων σφαιρών 6

τς εσωτερικής και εξωτερικής. Εντούτοις, λόγω τς εκθετικής συμπεριφοράς των όρων που ορίζουν τ σειρά, σύγκλισ είναι ταχεία που τα αποτελέσματα είναι ικανοποιτικά για οποιοδήποτε πρακτική χρήσ. Το δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων παρέχει το κατάλλλο περιβάλλον για τν επίλυσ των προβλμάτων πολλαπλής σκέδασς από δύο σφαίρες. Αυτό ισχύει βέβαια μόνο στις χαμλές συχνόττες δεδομένου ότι εξίσωσ Laplace δέχεται διαμορφωμένο χωρισμό στις δισφαιρικές συντεταγμένες ενώ εξίσωσ Helmholtz όχι. Παρατρούμε τν αποτελεσματικόττα αυτού του συστήματος προβάλλοντας αναλυτικά αποτελέσματα στα προβλήματα πολλαπλής σκέδασς και έτσι να επιτύχουμε πιο αναλυτικά αποτελέσματα που μπορούν να χρσιμοποιθούν ως εργαλεία αναφοράς για τους αριθμτικούς υπολογισμούς. Στν παραπάνω έκφρασ του σ, πρέπει να υπολογιστή το ολοκλήρωμα σ ( ˆ ( ˆ s = g r ds r = k π 4 = π ( ka A ( ka ( G 4cos θa 4cos θga Ο( k 3 siθd k θ = 3 = 4π a A ka G 4 ka x A 4 ka xga dx Ο k = 4 = 8 π a A ka G A Ο ka 3 4 (.86 4 4 σ ( ˆ ( ˆ s = g r ds r = 8 πa A ( ka G A ( ka k Ο 3 Η πρώτ προσέγγισ τς ενεργειακής διατομής σκέδασς δλώνει, ότι μικρή εξωτερική διαπερατή σφαίρα σκεδάζει συνολικά ενέργεια με ρυθμό ανάλογο τς επιφανείας τς. Εύρεσ του C Από τν σχέσ (.77 θα έχουμε (.87 = u ( r ds r π a ( = 4 Β = 7

4 π a Β = ac = ds r = = a (.88 u ( r 4π 4π Β = (.89 C = Β = Σχήμα 7 Γραφική παράστασ τς ενεργειακής διατομής σκέδασς σε σχέσ με τον κυματικό αριθμό, για διάφορες τιμές του d. Για τν περίπτωσ δύο έκκεντρων σφαιρών R =,8, R =,5 με τν προϋπόθεσ ότι απόστασ μεταξύ των κέντρων τους d, παίρνει τις διάφορες τιμές.5,.4,.,.5. dσ dk Blue=.5, Red=4, Gree=.3, Orage=., Yellow=., Black=.5,κ 3 =.5 8 6 4.5..5..5.3 Σχήμα 8 Γραφική παράστασ τς παραγώγου τς ενεργειακής διατομής σκέδασς σε σχέσ με τον κυματικό αριθμό, για διάφορες τιμές του d. Για τν περίπτωσ k 8

δύο έκκεντρων σφαιρών R =,8, R =,5 και με τν προϋπόθεσ ότι απόστασ μεταξύ των κέντρων τους d, παίρνει τις διάφορες τιμές.5,.4,.,.5, θα έχουμε και τις αντίστοιχες τιμές των, που οι Από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις παρατρούμε ότι το ποσόν τ ροής ισχύος που σκεδάζεται από το έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος με μαλακό πυρήνα, σε σχέσ με τν ροή ισχύος του προσπίπτοντος στν διεύθυνσ διάδοσς, έχει ρυθμό μεταβολής σε σχέσ με τον κυματικό αριθμό πολύ μεγαλύτερο όταν το d μικραίνει δλ. όταν το. Σχήμα 9 Δίδεται συγκριτικός πίνακας των C και d 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΚΕΔΑΣΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΦΑΙΡΑ ΩΣ ΜΑΛΑΚΟΥ ΣΚΕΔΑΣΤΟΥ ΕΚΚΕΝΤΡΑ ΤΟΠΟΘΕΤΗΜΕΝΗ (Dirichlet 3

Η επίλυσ το παρόντος προβλήματος θα γίνει σε χώρο όπου έχει οριστεί δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων όπως έχει περιγραφεί στο ΙΙ Μέρος του παρόντος διδακτορικού. Πρέπει να αποδείξουμε ότι κάθε σφαίρα που βρίσκεται στον αρντικό μιχώρο ακτίνας R κέντρου ικανοποιούν τις σχέσεις. (,, K3 ορίζεται από ένα ζεύγος αριθμών και a που πρέπει να (. cosh x x x a sih a sih [ 3 ] = cosh (. K3 = α, K3 sih α (.3 R = sih Το μ γραμμικό σύστμα (.,(.3 θα έχει λύσ σύμφωνα με το Παράρτμα (C.- C.7 (.4 K = l α = K 3 3 -R 3 R K -R (.5 K3 R όπου R Δεδομένου ότι τα και a είναι θετικοί αριθμοί, είναι μοναδικοί. Επομένως, υπάρχει ακριβώς ένα μόνο δισφαιρικό σύστμα που αντιστοιχίζεται στον σφαιρικό σκεδαστή όπως φαίνεται στο Σχήμα. Το εξωτερικό τς σφαίρας είναι εξωτερική περιοχή V όπου διαδίδεται το σκεδαζόμενο ακουστικό κύμα, και εκφράζεται, με τ χρήσ δισφαιρικού συστήματος συντεταγμένων, από το παρακάτω σύνολο. 3

{ } (.6 V = (, θφ, (,, θ [, π], φ [, π Το πρόβλμα τς σκέδασς ακουστικού κύματος χαμλής συχνόττας από μία μαλακή σφαίρα που το κέντρο τς βρίσκεται στον αρντικό μιάξονα καταστρώνεται ως εξής. Θα βρούμε το ολικό εξωτερικό πεδίο u r = u r u r r V i s (.7, Το οποίο επαλθεύει τν παρακάτω εξίσωσ του Helmholtz Δ k u r =, r V (.8 Το δε σκεδαζόμενο πεδίο u s ικανοποιεί τν συνθήκ ακτινοβολίας του ommerfeld (.9 s u s lim r iku = x r με ομοιόμορφ σύγκλισ επάνω στν μοναδιαία σφαίρα Ευκλείδειου χώρου. του τρισδιάστατου Επειδή έχουμε μαλακό σκεδαστή επιφάνεια τς σφαίρας δεν προβάλει καμία αντίστασ στις εξωτερικές πιέσεις επομένως ισχύει συνοριακή συνθήκ του Dirichlet. (., u r = r Σκέδασ χαμλών συχνοτήτων Αν το μήκος κύματος του προσπίπτοντος πεδίου είναι πολύ μεγαλύτερο από τν ακτίνα τς εξωτερικής σφαίρας, για τν σφαίρα kr <<, τότε εφαρμόζουμε τ θεωρία των χαμλών συχνοτήτων. 3

Θεωρούμε το ανάπτυγμα (. = ( ik u r = u r, r V! Και οι προσεγγίσεις χαμλών συχνοτήτων ικανοποιούν τα διαδοχικά προβλήματα στν δυναμική θεωρία. Η μδενικής τάξεως προσέγγισ δίδεται από το ακόλουθο πρόβλμα συνοριακών τιμών (. (.3 Μδενική Προσέγγισ (Dirichlet Δ u r = με r V u r = με = u r = O / r r (.4 (.5 = ( / ( / u, θ = cosh cosθ e Β e Ρ cosθ [ με, από τν συνοριακή συνθήκ (.3 θα έχουμε (.6 ( / ( / cosh cosθ e Βe Ρ( cos θ = = Εφαρμόζοντας τις ιδιόττες ορθογωνιόττας των πολυωνύμων Legedre υπολογίζουμε τους συντελεστές (.7 ( Β = e 33

Επομένως το πεδίο για τν μδενική προσέγγισ δίδεται αν αντικαταστήσουμε τν (.7 στν (.5 και θα προκύψει παρακάτω έκφρασ (.8 ( θ ( θ [ ( / ( / ( u = e e Ρ ( θ, cosh cos cos = με, Σχήμα. Μία αναπαράστασ τς προσέγγισς μδενικής τάξεως του πεδίου υπερπίεσς συναρτήσει του κυματικού αριθμού και τς διεύθυνσς του επιπέδου κύματος, για μαλακή σφαίρα ακτίνας R =.4 και α= (.9 (. (. Πρώτς τάξεως Προσέγγισ (Dirichlet Δ u r = με r V u r = με = u ( r k ˆ r u r = ( / 4π ds r O r r (. u ( θφ,, = kˆ r αc = κx κx κ3x3 αc O r 34

(.3 u ( r C = ds( r 4π α (.4 u ( θφ,, = a coshcosθ ( ( 3 κ sg C cos ( cos e P θ G e P θ = = ( ( e De P ( cosθ( κcosφ κsiφ = Από συνοριακή συνθήκ (. και λόγω ορθογωνιόττος των πολυωνύμων Legedre θα υπολογίσουμε τους συντελεστές (.5 = 3 για =,,,3, 4,... ( G κ C e = για =,,3, 4,5,... ( D e Αντικαθιστώντας τις τιμές των συντελεστών (.5 στν (.4 θα έχουμε το πεδίο κατά τν προσέγγισ u ( θφ,, = a coshcosθ κ3 C e P θ = ( ( sg ( cos ( ( κ3 C e P ( cosθ = (.6 ( ( ( e e P ( cosθ ( κcosφ κsiφ = 35

Εύρεσ του C, πλάτους και ενεργειακής διατομής τς σκέδασς (Dirichlet Το μακρινό πεδίο (Πλάτος σκέδασς-ενεργειακή διατομή σκέδασς g rˆ, σ Το πλάτος σκέδασς στο πρόβλμα Dirichlet δίδεται από τν παρακάτω έκφρασ και κάνοντας χρήσ τς μδενικής και πρώτς προσέγγισής του ολικού πεδίου έχουμε: (.7 ( ˆ ( r ik u r k u r g rˆ, k = ds( r ds( r 4π 4π k u ( rˆ r ds r k 4π Ο 3 θα for rˆ Για να λφθεί μια αναλυτική έκφρασ χαμλών συχνοτήτων για το πλάτος σκέδασς θα πρέπει να υπολογιστούν τα τρία ολοκλρώματα στν (.7. Για να βρούμε το C πρέπει να υπολογίσουμε το επιφανειακό ολοκλήρωμα που βρίσκεται στν παρακάτω ισόττα (.8 u ( r ac = ds( r 4π Δεδομένου ότι είναι γνωστό το πεδίο τς μδενικής προσέγγισς και επιφάνεια (.9 u (, θ cosh cosθ u (, θ = a 36

3 (.3 u ( θ, ( cosh cosθ ( / = ( e Ρ cos a = = ( θ Το επιφανειακό στοιχείο ds δίδεται από τν παρακάτω σχέσ (.3 ds = a siθ ( cosh cosθ dθdφ Έτσι μπορούμε να υπολογίσουμε το επιφανειακό ολοκλήρωμα ως εξής ( x 3 u ( r cosh a ( / ds( r = π e Ρ x dx = a = cosh x = Ρ x = πa ( e dx = 8πa e cosh x ( / ( = = Επομένως το C θα είναι u ( r ac = ds( r a e 4π = ( = τέλος θα έχουμε (.3 C e = e Aναλυτικός υπολογισμός δίδεται στο Παράρτμα G και ευρίσκουμε το πρώτο και δεύτερο ολοκλήρωμα στν (.7 ως εξής (.33 u ( r ds ( r 4 π a = Β (.34 u (, θ = = =6π a G = 37

το δε τρίτο ολοκλήρωμα στν (.7 επίσς υπολογίζεται στο παράρτμα G και είναι (.35 u ( r ( r r ˆ ds( r = = ( ( = 4πaO3 e Β coth ( / ( / e } = 3 Β Όπου rˆ = ( O, O, O3 το μοναδιαίο διάνυσμα θέσς Αντικαθιστώντας τα ολοκλρώματα (.33, (.34 και (.35 στν (.7 βρίσκουμε το πλάτος τς σκέδασς (.36 3 3 όπου (.37 A = Β = G = g rˆ = ika A ka G O A Ο k, ka = G ( A = e Β coth ( / ( / e = 3 ( } Β από δε τις (.7, (.5 και (.3 υπολογίζονται οι παραπάνω σειρές ως εξής (.38 A = G = A = e e e e e e ( ( e e ( e κ 3 κατά συνέπεια μπορούμε να υπολογίσουμε το πλάτος τς σκέδασς (.39 ( ˆ = 3 ( k Ο, ( κ3 3 e 4 e g r ika ka e ka e e O ( e 38

Η σχετική έκφρασ για τν ενεργειακή διατομή τς σκέδασς δίδεται από τν σχέσ (.4 σ s = g r k ( ˆ ds( rˆ Έχει υπολογιστεί δε στο κεφάλαιο του ΙΙΙ μέρους ενεργειακή διατομή τς σκέδασς. (.4 σ s 4 = g r ds r a A ka G A ka k = Ο 3 ( ˆ ( ˆ 8 π 4 Αντικαθιστώντας τις ποσόττες (.38 θα έχουμε (.4 ( e ( ka e e ( e κ3 9( e σs πae 4 3 ( e = 4 Ο 4 (( ka Σχήμα.3 Μία γραφική παράστασ τς ενεργειακής διατομής τς σκέδασς συναρτήσει του κυματικού αριθμού και τς διεύθυνσς τς επιπέδου κύματος για μια μαλακή σφαίρα ακτίνας R =.4 και α= 39

Σχήμα.4 Μία γραφική παράστασ τς ενεργειακής διατομής τς σκέδασς συναρτήσει του κυματικού αριθμού και για διάφορες τιμές του κ 3 =.5(πράσινο,.4(κόκκινο,.3(μπλέ,.(κίτρινο,.(μαύρο,.(ματζέντα, για μαλακή σφαίρα ακτίνας R =.4 και α= 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.3 ΣΚΕΔΑΣΗ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΜΙΑ ΔΙΑΠΕΡΑΤΗ ΣΦΑΙΡΑ (Σε δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων 4

Το εξωτερικό τς σφαίρας είναι περιοχή V όπου διαδίδεται το σκεδαζόμενο ακουστικό κύμα, και εκφράζεται, με τ χρήσ δισφαιρικών συντεταγμένων, από το παρακάτω σύνολο. { } (3. V = (, θφ, (,, θ [, π], φ [, π Αν στο σφαιρικό κέλυφος που ορίζεται μεταξύ των σφαιρικών επιφανειών και - ακτίνα τς εσωτερικής σφαίρας μδενίζεται τότε εκφυλίζεται σε σμείο και το εσωτερικό του σκεδαστή είναι το εσωτερικό τς σφαίρας που συμβολίζεται V - και περιγράφεται σε δισφαιρικές συντεταγμένες από το σύνολο { } (3. V = (, θφ, (,, θ [, π], φ [, π Το πρόβλμα τς σκέδασς ακουστικού κύματος χαμλής συχνόττας από μία διαπερατή σφαίρα που το κέντρο τς βρίσκεται στον αρντικό μιάξονα. καταστρώνεται ως εξής Θα βρούμε το ολικό εξωτερικό και εσωτερικό πεδίο υπερπίεσς. Η σφαιρική ακτινική απόστασ δίνεται από τον τύπο (3.3 cosh cosθ r = a cosh cosθ / Το σκεδαζόμενο πεδίο μακριά από τον σκεδαστή αντιστοιχεί σε μια μικρή περιοχή του (, θ = (, στο δισφαιρικό πεδίο. Απαλείφοντας τν αρμονική χρονική εξάρτσ exp{-iωt}, όπου ω είναι κυκλική συχνόττα, θα θεωρήσουμε το προσπίπτων επίπεδο κυματικό πεδίο ως εξής. i (3.4 i ˆ = u r e kk r Όπου k είναι ο κυματικός αριθμός στο χώρο V και τς διάδοσς. Tο ολικό εξωτερικό πεδίο είναι ˆk είναι το μοναδιαίο διάνυσμα 4

u r = u r u r r V (3.5 i s, Το οποίο επαλθεύει τν παρακάτω εξίσωσ του Helmholtz (3.6 Δ k u r =, r V και μεταβολή του εσωτερικού πεδίου υπερπίεσς u - στον χώρο V -, επαλθεύει τν εξίσωσ Δ k u r =, r V (3.7 και k - είναι ο κυματικός αριθμός στο V -. Το k - σχετίζεται με το k ως εξής (3.8 k = k Όπου είναι ο δείκτς διάθλασς των δύο χώρων Το σκεδαζόμενο πεδίο u s ικανοποιεί τν συνθήκ ακτινοβολίας του ommerfeld (3.9 s u s lim r iku = x r Με ομοιόμορφ σύγκλισ επάνω στν μοναδιαία σφαίρα του τρισδιάστατου Ευκλείδειου χώρου. Στο μεταβατικό πρόβλμα, καθώς διανύουμε το διαπερατό σύνορο και με τν προϋπόθεσ ότι το εσωτερικό του σκεδαστή δεν απορροφά ενέργεια, θα ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες διαπερατόττας που εξασφαλίζουν τν συνέχεια του πεδίου υπερπίεσς u r = u r r (3., u r u = r r (3. β, 43

Σκέδασ χαμλών συχνοτήτων Αν το μήκος κύματος του προσπίπτοντος πεδίου είναι πολύ μεγαλύτερο από τν ακτίνα τς εξωτερικής σφαίρας, για τν σφαίρα kr <<, τότε θεωρία των χαμλών συχνοτήτων μπορεί να εφαρμοστεί. Θεωρούμε τα αναπτύγματα (3. (3.3 = ( ik u r = u r, r V! = ( ik u r = u r, r V! Αντικαθιστώντας τα αναπτύγματα (3. και (3.3 στις (3.6 και (3.7 αντίστοιχα οδγούμεθα για κάθε =,,,. στις παρακάτω σχέσεις u r = u r, r V (3.4 (3.5 u r = u r, r V και για κάθε =,,,. οι συνοριακές συνθήκες (3., (3. επιβεβαιώνονται ως εξής u r = u r r (3.6, u r u r = r (3.7 β, για =,,, 3, οι προσεγγίσεις χαμλών συχνοτήτων ικανοποιούν τα διαδοχικά προβλήματα στν δυναμική θεωρία. και οι συνοριακές συνθήκες γίνονται Η μδενικής τάξεως προσέγγισ δίδεται από το ακόλουθο πρόβλμα συνοριακών τιμών. 44

Μδενικής τάξεως προσέγγισ (3.8 (3.9 Δ u r = με r V Δ u r = με r V u r = u r με = u r u r = β με = (3. (3. (3. (3.3 u r = O / r r = [ ( / ( / u, θ = cosh cosθ e Β e Ρ cosθ για, (3.4 u ( / (, θ = coshcosθ Αe Ρ cos θ με, = [ ] Από τν συνοριακή συνθήκ (3. θα έχουμε τν ισόττα και από τις ιδιόττες ορθογωνιόττας των πολυωνύμων Legedre θα έχουμε (3.5 ( Β = Α e Για να εφαρμόσουμε τν (3. συνοριακή συνθήκ, πρέπει να βρούμε τις παραγώγους τς κάθετς συνιστώσας των πεδίων στν =- θα έχουμε 45

coshcosθ sih e a cosh cosθ = ( / ( Α Ρ ( cosθ ( / cosh cosθ ( / e ( Α Ρ ( cosθ = = (3.6 cosh cosθ sih ( / = β Αe Ρ a cosh cosθ = ( cosh cosθ / = ( / ( cosθ Αe Ρ ( cosθ Ή απλούστερα (3.7 ( coshω Ωsih Ρ( cosθ = = = ( Ω Ρ ( θ cos cosθ όπου (3.8 ( / ( ( Ω = βα e Α (3.9 ( / ( ( Ω = βα e Α Ολοκλρώνοντας τν (3.7 και εφαρμόζοντας τις ιδιόττες των πολυωνύμων Legedre (A3 και (A7 θα προκύψει (3.3 ( m cosh sih m ( m Ω Ω = Ω Ω m m m m Αντικαθιστώντας στν (3.3 τις (3.8και (3.9 καταλήγουμε στν αναδρομική εξίσωσ με σειρά συντελεστών A m για =,,,3... (3.3 Α Α ( Α = ( sih cosh ψ ζψ ψ 46

Όπου (3.3 ( / ψ = β e (3.33 = ( ζ sih cosh Από τν αναδρομική εξίσωσ (3.3 προκύπτει το παρακάτω γραμμικό σύστμα για =,,,3,4, από το οποίο βρίσκουμε τους συντελεστές Α ζψ ψ.. ψ ζψ ψ.. Α ψ ζψ 3ψ3.. Α 3ψ ζ3ψ3 4 ψ4.. Α3 4 ψ3 ζ4ψ4.. Α 4.................. ψ ζ ψ ψ Α.. Α ψ ζψ = = sih cosh sih 3cosh sih 5cosh sih 7cosh sih 9cosh.. sih cosh sih cosh ( ( ( ( Β = Α e Πρώτς τάξεως προσέγγισ Η πρώτς τάξεως προσέγγισ δίδεται από το ακόλουθο πρόβλμα συνοριακών τιμών. (3.34 (3.35 (3.36 Δ u r = με r V Δ u r = με r V u r = με = u r = u r με = (3.37 47

(3.38 u ( r u ( r (3.39 = β με = ˆ u r u r = k r ds( r O( / r r 4 π (3.4 και ο ac u r = 4π ds r ˆk r στις καρτεσιανές συντεταγμένες έχει τν μορφή κ, κ, κ είναι τα συνμίτονα κατεύθυνσς 3 3 όπου 3 ˆk r = κ x κ x κ x u θφ,, = a coshcosθ κ Ce Ρ θ G e Ρ ( sg ( cos ( cosθ 3 = = (3.4 e De Ρ = ( cosθ( κ cosφ κ si φ με [, (3.4 u θφ,, = a cosh cosθ Ee Ρ Ρ = = ( cosθ Ce ( cosθ( κ cosφ κ siφ ( ], με, Από τν πρώτ συνοριακή συνθήκ (3.37 θα έχουμε (3.43 E = κ3 C Ge C = De 48

Για να γίνει χρήσ τς (3.38 συνοριακής συνθήκς θα πρέπει να υπολογίσουμε τς παραγώγους, τς κάθετς συνιστώσας επάνω στν επιφάνεια τς σφαίρας, των πεδίων. u ( θφ,, = = u ( θφ u ( θφ,,,,,, ( 3 C Ge e = = sih cosh cosθ κ Ρ cosθ De e Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = (3.44 3 ( ( cosh cosθ κ3 C Ge e Ρ = De e Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = ( cosθ (3.45 u ( θφ,, = = sih cosh cosθ E e = = Ρ Ρ ( θ cosh cos ( cosθ C e ( cosθ( κ cosφ κ siφ 3 Ee ( cosθ Ce ( Ρ = = θ κ φ κ φ Ρ cos cos si όπου 49

(3.46 = κ3, = E C G e C D e = κ3, = E C G e C D e Από τν συνοριακή συνθήκ (3.38 τις παραγώγους (3.44, (3.45 και με εφαρμογή των ιδιοτήτων ορθογωνιόττας των πολυωνύμων Legedre καταλήγουμε στν ισόττα = ( E ( ( E E e Ρ sih β cosh β cosθ C ( ( C C e ( β sih cosh β Ρ cosθ κcosφ κsiφ = = ( = βe E e Ρ cosθ cosθ ( ( β C C e = ( cosθ cosθ( κ cosφ κ siφ Ρ Κάνοντας χρήσ των ιδιοτήτων (Α4 (Α7 καταλήγουμε σε δύο αναγωγικές εξισώσεις β E βe sih (3.47 ( cosh ( E ( β ( β = E E e E E e (3.48 sih( β C cosh( ( βcm Cm ( -( β ( β = C C e C C e Αντικαθιστώντας τις (3.46 στις (3.47, (3.48 ισόττες, θα προκύψουν δύο αναγωγικές εξισώσεις με σειρές συντελεστών 5

G για =,,,3... και D για =,,3,4... (3.49 ( ( e G ψ e G e G = β = cosh ( sih κ3 β και β για =,,,3,4... και όπου ψ = sih ( cosh β ψ e e e................ e e e.. e e.. G 3 4 ψ.. G 4 5 6 e ψ e 3e.. G 6 7 8 3e ψ 3e 4 e.. G 8 9 3 4 e ψ 4e.. G4 ψ ( e ψ e =.. G G cosh sih cosh 3sih cosh 5sih β cosh 7sih = κ 3 β cosh 9sih.. cosh( sih (3.5 cosh ( sih και δεύτερ αναγωγική εξίσωσ οδγεί σε αντίστοιχο γραμμικό σύστμα υπό μορφή πινάκων (3.5 ( ( ψ β β - = sih e D e D e D β για =,,3,4,5... όπου και ψ = sih( cosh β 5

(3.5 3 4 ψ e 3e.. 4 5 6 e ψ e 4e.. 6 7 8 e ψ 3e 5e.. 8 9 3e ψ 4e 6 e.. 4 e ψ 5e.................. ( e ψ e ( e.. e β = sih β.. ( ( ( ( 3 ψ e D D D 3 D4 D = 5.. D D Επιλύοντας τα δύο γραμμικά συστήματα (3.5, (3.5 θα βρούμε τις δύο σειρές συντελεστών Και συνέχεια G για =,,,3, 4,... και D για =,, 3, 4, 5,... (3.53 ( ( E = κ3 C Ge, C = De u ( θφ u ( θφ,,,,,, Έχει οριστεί αc ως εξής Εύρεσ του C (3.54 ac = u r 4 π ds r Με παρόμοιο τρόπο όπως σε προγούμενα κεφάλαια καταλήγουμε στο γνωστό αποτέλεσμα (3.55 C = Β = 5

Το μακρινό πεδίο (Πλάτος σκέδασς-ενεργειακή διατομή σκέδασς Το πλάτος τς διαπερατής σκέδασς δίδεται από τν παρακάτω έκφρασ στν οποία πρέπει να υπολογιστούν τα ολοκλρώματα. (3.56 ( = u r ik = ik g( rˆ ds( r u r ds r 4π 4π! ( ik m ( rˆ r m um r r r r um r ds r 4 π =! m= m m m ( ( ˆ ˆ ( ˆ ( ( για rˆ Για τον υπολογισμό του πλάτους τς σκέδασς χρσιμοποιούμε τν μδενικής τάξεως και πρώτς τάξεως προσέγγισ του ολικού πεδίου και θα έχουμε (3.57 ( ˆ ( r ik u r k u r g rˆ, k = ds( r ds( r 4π 4π k u ( rˆ r rˆ ˆ u r ds r k 4π Ο 3 Προκειμένου να λφθεί μια αναλυτική έκφρασ για τ προσέγγισ χαμλής συχνόττας του πλάτους τς σκέδασς, θα πρέπει να υπολογίσουμε τα τρία ολοκλρώματα στν σχέσ (3.57. To πρώτο ολοκλήρωμα τς (3.57 έχει υπολογιστεί και είναι = (3.58 u ( r ds ( r 4 π a = Β = ομοίως, κάνοντας χρήσ των (.7, (B3 και (B4 καταλήγουμε στν 53

(3.59 u ( r ds ( r 6π a G = = = Τα τελευταία δύο ολοκλρώματα στν (3.57 πρέπει να υπολογιστούν μαζί αφού χρσιμοποιήσουμε τις ίδιες τεχνικές όπως και στο Κεφάλαιο και έτσι θα έχουμε (3.6 ( r u ( rˆ r ( rˆ ˆ u ( r ds( r = 8π a O3 ( / Β = ( O O O όπου rˆ =,, 3 είναι το μοναδιαίο διάνυμα θέσς. το δε πλάτος σκέδασς ευρίσκεται όπως και στο κεφάλαιο και είναι ως εξής (3.6 3 3 όπου g rˆ = ika A ka G O A Ο k, ka (3.6 A = Β = G = = = G ( / A = Β Η σχετική έκφρασ για τν ενεργειακή διατομή τς σκέδασς δίδεται από τν σχέσ (3.63 ( ˆ ds( rˆ σ s = g r k Στν παραπάνω έκφρασ του σ, πρέπει να υπολογιστή το ολοκλήρωμα (3.64 4 σs = g r ds r a A ka G A ka k = Ο 3 ( ˆ ( ˆ 8 π 4 54

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.4 ΣΚΕΔΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΧΑΜΗΛΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟ ΔΙΑΠΕΡΑΤΟ ΕΚΚΕΝΤΡΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΚΕΛΥΦΟΣ ΜΕ ΣΚΛΗΡΟ ΠΥΡΗΝΑ 55

Το έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος V - και ο εξωτερικός χώρος του V περιγράφονται ευκολότερα κάνοντας χρήσ του δισφαιρικού συστήματος συντεταγμένων, με το παρακάτω σύνολο ορίζουμε το V { } (4. V = (, θφ, (,, θ [, π], φ [, π Το σφαιρικό κέλυφος μεταξύ των σφαιρών και - συμβολίζεται V - και εκφράζεται με το παρακάτω σύνολο { } (4. V = (, θφ, (,, θ [, π], φ [, π Η σφαιρική ακτινική απόστασ δίνεται από τον τύπο (4.3 cosh cosθ r = a cosh cosθ / Το σκεδαζόμενο πεδίο μακριά από τον σκεδαστή αντιστοιχεί σε μια μικρή περιοχή του (, θ = (, στο δισφαιρικό πεδίο. Απαλείφοντας τν αρμονική χρονική εξάρτσ exp{-iωt}, όπου ω είναι κυκλική συχνόττα, θα θεωρήσουμε το προσπίπτων επίπεδο κυματικό πεδίο ως εξής. i (4.4 i ˆ = u r e kk r Όπου k είναι ο κυματικός αριθμός στο χώρο V και τς διάδοσς. ˆk είναι το μοναδιαίο διάνυσμα Το πρόβλμα τς σκέδασς που θα ασχολθούμε είναι το ακόλουθο. Θα βρούμε το ολικό εξωτερικό πεδίο u r = u r u r r V (4.5 i s, το οποίο επαλθεύει τν παρακάτω εξίσωσ του Helmholtz 56

Δ k u r =, r V (4.6 και μεταβολή του εσωτερικού πεδίου υπερπίεσς u - στον χώρο V -, επαλθεύει τν εξίσωσ Δ k u r =, r V (4.7 και k - είναι ο κυματικός αριθμός στο V -. Το k - σχετίζεται με το k ως εξής (4.8 k = k Όπου είναι ο δείκτς διάθλασς των δύο χώρων Το σκεδαζόμενο πεδίο u s ικανοποιεί τν συνθήκ ακτινοβολίας του ommerfeld s (4.9 u s lim r iku = x r Με ομοιόμορφ σύγκλισ επάνω στν μοναδιαία σφαίρα Ευκλείδειου χώρου. του τρισδιάστατου Επάνω στν σφαίρα - απαιτούμε να ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες διαπερατόττας u r = u r r (4., και u r u = r r (4. β, Οι παραπάνω σχέσεις περιγράφουν τν συνέχεια του πεδίου υπερπίεσς, καθώς και τς κάθετς συνιστώσας του πεδίου ταχύττας, καθώς διανύουμε το διαπερατό σύνορο. Στν επιφάνεια τς σφαίρας - του πυρήνα θεωρούμε ότι ισχύει συνοριακή συνθήκ του Neuma. 57

(4. u ( r =, r. Σκέδασ χαμλών συχνοτήτων Αν το μήκος κύματος του προσπίπτοντος πεδίου είναι πολύ μεγαλύτερο από τν ακτίνα τς εξωτερικής σφαίρας, για τν σφαίρα kr <<, τότε μπορεί να εφαρμοστεί θεωρία των χαμλών συχνοτήτων. Θεωρούμε τα αναπτύγματα (4.3 ( ik = u r = u r, r V! (4.4 = ( ik u r = u r, r V! Αντικαθιστώντας τα αναπτύγματα (4.3 και (4.4 στις (4.6 και (4.7 οδγούμεθα για κάθε =,,,. στις παρακάτω σχέσεις u r = u r, r V (4.5 (4.6 u r = u r, r V για κάθε =,,,. οι συνοριακές συνθήκες (4., (4. και (4. u r = u r r (4.7, u r u r = r (4.8 β, (4.9 u ( r = r 58

και οι προσεγγίσεις χαμλών συχνοτήτων ικανοποιούν τα διαδοχικά προβλήματα στν δυναμική θεωρία. Η μδενικής τάξεως προσέγγισ δίδεται από το ακόλουθο πρόβλμα συνοριακών τιμών (4. (4. Μδενικής Τάξεως προσέγγισ Δ u r = με r V Δ u r = με r V (4. = u r u r με = (4.3 u ( r u ( r (4.4 u ( r = β με = = με = (4.5 u r = O / r r. Προσέγγισ Rayleigh. Στο δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων το πρόβλμα συνοριακών τιμών οδγεί στν αξονική συμμετρική προσέγγισ χαμλών συχνοτήτων u (, θ και αξιώνει τν ειδική εξίσωσ Laplace για λύσεις ανεξάρττες από τν αζιμουθιακή γωνία (4.6 (, f θ f ( θ, = cosh cosθ siθ θ cosh cosθ θ Η διαφορική εξίσωσ (4.6 επιδέχεται χωρισμό μεταβλτών και ανάπτυγμα ιδιοσυναρτήσεων, επομένως οι λύσεις έχουν τν μορφή (4.7 = ( / ( / ( θ f, θ = coshcosθ Α e Βe Ρ cos Όπου P είναι πολυώνυμα Legedre 59

(4.8 ( / = e Ρ ( cosθ cosh cos = θ Χρσιμοποιώντας τν μορφή τς λύσς τς εξίσωσς Laplace που περιγράψαμε προγουμένως και τ βασική ταυτόττα (4.8 οι παρακάτω εκφράσεις παριστάνουν τα ολικά πεδία υπερπίεσς εξωτερικά και εσωτερικά από τον σκεδαστή, μδενικής προσέγγισς u (, θ και u (, θ (4.9 ( θ θ = ( / ( / ( θ u, = cosh cos e Β e Ρ cos [,, (4.3 ( / ( / θ = θ Α Β Ρ = [ ] ( θ u, cosh cos e e cos,, Από τν (4. πρώτ συνοριακή συνθήκ διαπερατόττας θα έχουμε ( / ( / cosh cos e Βe Ρ cos = θ θ = ( / ( / cosh cos e e cos = = θ Α Β Ρ θ Λόγω ορθογωνιόττας των πολυωνύμων Legedere θα προκύψει παρακάτω εξίσωσ (4.3 ( Β = Α e Β Για =,,, 3 Η δε παράγωγος τς κάθετς συνιστώσας στις δισφαιρικές συντεταγμένες δίδεται από τον τύπο (4.3 cosh cosθ = ˆ = a 6

Από τν (4.4 συνοριακή συνθήκ του Neuma και με τν χρήσ των ιδιοτήτων (A3 και (A7 των πολυωνύμων Legedre θα έχουμε τν ακόλουθ αναδρομική εξίσωσ με δύο σειρές αγνώστων συντελεστών Α, Β, =,,,3... m m m (4.33 ( m/ ( m / ( m 3/ me Α m sih ( m cosh e Α m ( m e Α m ( m/ ( m / m 3/ m m m me Β sih m cosh e Β m e Β = Από τν (4.3 δεύτερ συνοριακή συνθήκ διαπερατόττας και κάνοντας χρήσει των ιδιοτήτων των πολυωνύμων Legedre αποκτούμε μια δεύτερ αναγωγική εξίσωσ με δύο άγνωστες σειρές Α, Β, =,,,3... m m m (4.34 β β me Α sih ( m cosh e Α ( m e β ( m/ ( m / ( m 3/ m m Αm ( m/ { m / m 3/ me m m e m m e m } β Β sih cosh Β Β ( m 3/ ( e = e και με (4.35 ( m i Φ = sih cosh m i i ( m i Φ = sih cosh m i i β β ( m Xm = sih cosh i=, θα έχουμε απλούστερ αναπαράστασ των δύο αναγωγικών εξισώσεων (4.33 και (4.34 ως εξής me e m e m/ m / m 3/ Α m Φm Α m Αm m/ m / m 3/ m m m m me Β Φ e Β m e Β = και 6

( β ( β ( m/ ( m / ( m 3/ { me m me m ( m e Αm } ( m/ { m / m 3/ me m me m m e m } Α X Α Β Φ Β Β ( m 3/ ( e = e και για m=,,,3, οι αναγωγικές εξισώσεις αναπτύσσονται σε εξισώσεις πινάκων όπως παρακάτω / 3/ e Φ e... Α / 3/ 5/ e e Φ e... Α 3/ 5/ 7/ e e Φ 3e... Α 5/ 7/ 9/ 3e e Φ3 4 e... Α3 7/ 9/ 4 e e Φ4... Α4............. ( m3/ ( m/ ( m / ( m e e m me Φ Αm ( m/ ( m /... me e Φ Α m m / 3/ e Φ e... Β / 3/ 5/ e e Φ e... Β 3/ 5/ 7/ e e Φ 3e... Β 5/ 7/ 9/ 3e e Φ3 4 e... 7/ 9/ Β3 4 e e Φ4... Β 4............. ( m3/ m/ m / m e e Φm me Βm ( m/ ( m /... me e Φ m Βm =... και 6

( β / 3/ e X e... Α / 3/ 5/ e e X e... Α 3/ 5/ 7/ e e X 3e... Α 5/ 7/ 9/ 3e e X3 4 e... Α3 7/ 9/ 4e e X 4... Α4............. ( m3/ ( m/ ( m / ( m e e Xm me Αm ( m/ ( m /... me e X Α m m ( β / 3/ e Φ e... / 3/ 5/ e e Φ e... 3/ 5/ 7/ e e Φ 3e... 5/ 7/ 9/ 3e e Φ3 4 e... 7/ 9/ 4 e e Φ4............. ( m3/ m/ m / m e e Φm me ( m ( m... me e Φ / / m Β Β Β Β3 Β 4... Βm Βm ( e = 3/ e 5/ e 7/ e 9/ e / e... ( m / e ( m 3/ e Παρατρούμε ότι λύσ του προβλήματος ανάγεται στ λύσ ενός γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο άγνωστες στήλες Α και Β (m τάξεως με συντελεστές των αγνώστων τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες (m (m τάξεως όπου m=,,,3, τς μορφής, i=. j=, Λ ij (4.36 Λ ΑΛ Β= Λ ΑΛ Β=Γ ς τάξεως προσέγγισ (4.37 (4.38 u (4.39 ( r Δ u r = με r V Δ u r = με r V = με = 63

(4.4 = u r u r με = u (4.4 ( r u ( r = β με = (4.4 ˆ u r u r = k r ds( r O( / r r 4π Δεδομένου ότι υπολογίσαμε τν προσέγγισ μδενικής τάξεως και είναι γνωστή επιφάνεια ολοκλήρωσς μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι γνωστή και σταθερά ποσόττα (4.43 ac = u r 4π ds r και ο όρος kˆ r στις καρτεσιανές συντεταγμένες έχει τν μορφή kˆ r = κx κx κ 3x3όπου ( κ, κ, κ3 είναι τα συνμίτονα κατεύθυνσς u ˆ r = k r C O / r, r (4.44 α Εκφράζουμε τις ορθοκανονικές συντεταγμένες σε δισφαιρικές αρμονικές και δε ασυμπτωτική συμπεριφορά του προβλήματος εμφανίζεται ως εξής (4.45 ( / x = a cosh cosθ e Ρ cosθ cosφ = (4.46 ( / x = a cosh cosθ e Ρ cosθ siφ = (4.47 ( / x3 = a cosh cosθ ( sg e Ρ ( cosθ = όπου 64

sg = = - Οι προσεγγίσεις ς τάξεως θα είναι u (, θ = a cosh cosθ κ3( sg C e ( cos (4.48 Ρ = θ Ge = = ( cosθ e ( cosθ( κ cosφ κ siφ Ρ Ρ De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = (4.49 u = a cosh cosθ Ee Ge Ρ( cosθ = Ce De Ρ ( cosθ ( κcosφ κsiφ = Η παράγωγος του πεδίου υπερπίεσς κατά τν κάθετ συνιστώσα στν επιφάνεια του σκλρού σφαιρικού πυρήνα θα είναι u cosh cosθ u = = a = = cosh cosθ = sih Ee Ge Ρ cosh cosθ = ( cosθ (4.5 Ce De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = 3 ( cosh cosθ ( Ee Ge Ρ( cosθ = ( Ce De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = 65

Από τν (4.39 συνοριακή συνθήκ θα έχουμε τν παρακάτω εξίσωσ Φ Φ Ρ ( cosθ e E e G = Φ e C Φe D Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = = (4.5 = = ( Ee Ge cosθ Ρ ( cosθ Ce De cosθ Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = όπου ( Φ = sih cosh ( Φ = sih cosh Χρσιμοποιώντας τις ιδιόττες ορθογωνιόττας των πολυωνύμων Legedre (Α4, (Α3 και (Α8 αποκτούμε δύο αναγωγικές εξισώσεις των τεσσάρων αγνώστων σειρών E, G, m =,,,3... και C, D, m =,,3,4... m m m m αντίστοιχα 3 m m m m m m (4.5 Φ ( me E e E m e E 3 m m m m m = me G Φ e G m e G και 3 m m m m m m (4.53 ( Φ ( m C e e C m C e 3 m m m m m m m m D e Φ e D m D e = 66

που οδγούν, μεν πρώτ (4.5 στν αντίστοιχ εξίσωσ με δύο άγνωστες στήλες Ε, G και συντελεστές των αγνώστων δύο τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες Ν, Ν / 3/ e Φ e... E / 3/ 5/ e e Φ e... E 3/ 5/ 7/ e e Φ 3e... E 5/ 7/ 9/ 3e e Φ3 4 e... E3 7/ 9/ 4 e e Φ4... E 4............. ( m3/ ( m/ ( m / ( m e e m me E Φ m ( m/ ( m /... me e E Φ m m / 3/ e Φ e... / 3/ 5/ e e Φ e... 3/ 5/ 7/ e e Φ 3e... 5/ 7/ 9/ 3e e Φ3 4 e... 7/ 9/ 4 e e Φ4................ ( m3/ ( m/ ( m / m e e me Φ m ( m/ ( m / me e Φm G G G G 3 G 4... G m G m =... δε δεύτερ (4.53 στν αντίστοιχ εξίσωσ με δύο άγνωστες στήλες C, D και συντελεστές των αγνώστων δύο τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες M, M 67

3/ 5/ e Φ 3e... C 3/ 5/ 7/ e e Φ 4e... C 3/ 5/ 9/ e e Φ 5e... C 5/ 7/ 3 / 3e e Φ3 6 e... C4 7/ 9/ 4 e e Φ4... C 5............. ( m/ ( m/ ( m 3/ ( m e e m ( m e C Φ m ( m / ( m 3/... me e C Φm m / 3/ e Φ e... / 3/ 5/ e e Φ e... 3/ 5/ 7/ e e Φ 3e... 5/ 7/ 9/ 3e e Φ3 4 e... 7/ 9/ 4 e e Φ4................ ( m/ ( m / ( m 3/ m e e m e Φ m ( m / ( m 3/ me e Φm D D D 3 D4 D 5... D m D m =... Από τ (4.4 συνοριακή συνθήκ θα έχουμε a coshcosθ κ3e Ce Ge Ρ cos = e De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = = ( θ = a cosh cosθ E e Ge Ρ = (4.54 ( cosθ Ce De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = βρίσκουμε τους συντελεστές G, D συναρτήσει των E, G και C, D αντίστοιχα 68

(4.55 = κ3 e G e E G e C e = e D e C e D e Αφού υπολογισθούν οι παράγωγοι των προσεγγίσεων ς τάξς κατά τν κάθετ συνιστώσα στν εξωτερική διαπερατή σφαιρική επιφάνεια. (4.56 (, θ, φ u = = sih coshcosθ e E e G Ρ( cosθ = e C e D Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = 3 ( cosh cosθ κ3e Ce e E e G Ρ( cosθ = e e C e D Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = u (, θ, φ = και cosh cosθ = sih Ee Ge Ρ cosh cosθ = ( cosθ (4.57 Ce De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = 3 ( cosh cosθ ( E e Ge Ρ = ( cosθ ( Ce De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = 69

Από τν (4.4 συνοριακή συνθήκ και τις (4.56, (4.57 θα προκύψουν δύο εξισώσεις (4.58 β β β Χ e E Φe G Ρ( cosθ Ρm( cosθ d( cosθ = cosh ( κ3e Ce Ρ( cosθ Ρ m( cosθ d( cosθ = = = ( κ3e ( Ce e E β β e G Ρ( cosθ Ρm( cosθ cosθd ( cosθ = και (4.59 β β ( β Φ e C ϒe D ( coshe Ρ( cosθ Ρm( cosθ d( cosθ = = Ρ Ρ = ( e ( β e C ( β e D cosθ ( cosθ m( cosθ d ( cosθ Χρσιμοποιώντας τις ιδιόττες των πολυωνύμων Legedre (A έως (Α8 και θα προκύψουν δύο αναγωγικές εξισώσεις με τέσσαρες άγνωστες σειρές συντελεστών G,E, για =,,,3,...m και C, D, για =,,3,4,...m (4.6 me E e E m e E 3 m m m m m m ( β Χ ( 3 m m m ( β me Gm e Gm ( m e Φ Gm = m = e C 3κ3 6κ3m sihκ3cosh που για m=,,,3 λαμβάνουμε τν αντίστοιχ εξίσωσ με δύο άγνωστες στήλες Ε, G και συντελεστές των αγνώστων είναι δύο τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες Ν, Ν 7

( β / 3/ Χme e... Ε / 3/ 5/ e Χe e... Ε 3/ 5/ 7/ e Χe 3e... Ε 5/ 7/ 9/ 3e Χ3e 4 e... Ε 7/ 3 9/ 4 e Χ4e... Ε4............. ( m3/ ( m/ ( m / ( m e Χm e me Εm ( m/ ( m /... me me Χ Εm ( β e Φ e... G... G 3... G 3 4... G3 4... G = 4............. ( m3/ m/ m / m e e Φm me G m ( m/ ( m /... me e Φ m G m / 3/ / 3/ 5/ e e Φ e 3/ 5/ 7/ e e Φ e 5/ 7/ 9/ e e Φ3 e 7/ 9/ e e Φ4 ( C ( C ( C ( C ( C / 3κ3 sih κ3cosh e 3/ 3κ3 6κ3 sih κ3cosh e 5/ 3κ3 κ3 sih κ3cosh e 7/ 3κ3 8κ3 sih κ3cosh e = 9/ 3κ3 4κ3 sih κ3cosh e... ( m/ ( C 3κ3 6κ3m sih κ3cosh e ( m / ( C 3κ3 6κ3m sih κ3cosh e και (4.6 3 m m m m m m ( β Φ ( m e C e C m e C ( β ( m e D ϒ e D ( m e D 3 m m m m m m m = e 3sih β m cosh για m=,,3,4 λαμβάνουμε τν αντίστοιχ εξίσωσ με δύο άγνωστες στήλες C, D και συντελεστές των αγνώστων είναι δύο τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες M, M m=,,3,4 7

3/ 5/ e Φ 3e... 3/ 5/ 7/ C e e Φ 4e... 5/ 7/ 9/ C e e Φ3 5e... C 7/ 9/ / 3 3e e Φ4 6 e... C 9/ / 4 4 e e Φ5... C 5............. ( m/ ( m / ( m 3/ ( m e e m ( m e Φ C m 3 m ( m / C m... me e Φm ( β ( β 3/ 5/ e ϒ 3e... 3/ 5/ 7/ D e e ϒ 4e... 5/ 7/ 9/ e e ϒ3 5e... D 7/ 9/ / D 3e e ϒ4 6 e... 3 9/ / 4 e e ϒ5... D4 D.......... 5... m m/ m 3/ m e e ϒ m m e D m 3 m ( m / D m... me e ϒ m [ 3sih 3βcosh] [ 3sih 5βcosh] [ 3sih 7βcosh] [ 3sih 9βcosh] [ 3sih βcosh ] 3/ e 5/ e 7/ e 9/ e = / e... ( m / 3sih β( m cosh e ( m 3/ 3sih β( m 3 cosh e Παρατρούμε ότι προκύπτουν δύο γραμμικά συστήματα δύο εξισώσεων με τέσσαρες άγνωστες στήλες G, E και C, D (m τάξεως με συντελεστές των αγνώστων τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες αντίστοιχα για m=,,3,4 Ν ij, M ij i=. j=, (m (m τάξεως (4.6 Ν ΕΝ G =Γ Ν ΕΝ G =Γ (4.63 Μ CΜ D = Δ Μ CΜ D = Δ 7

Το μακρινό πεδίο (Πλάτος σκέδασς-ενεργειακή διατομή σκέδασς Το πλάτος τς διαπερατής σκέδασς δίδεται από τν παρακάτω έκφρασ στν οποία πρέπει να υπολογιστούν τα ολοκλρώματα. (4.64 ik u ( r ( ik g( rˆ = ds( r u ( r ds( r 4π 4π! ( ik m = ( rˆ r m um r r r r um r ds r 4 π =! m= m m m ( ( ˆ ˆ ( ˆ ( ( για rˆ Για τον υπολογισμό του πλάτους τς σκέδασς χρσιμοποιούμε τν μδενικής τάξεως και πρώτς τάξεως προσέγγισ του ολικού πεδίου και θα έχουμε (4.65 ( ˆ ( r ik u r k u r g rˆ, k = ds( r ds( r 4π 4π k u ( rˆ r rˆ ˆ u r ds r k 4π Ο 3 Προκειμένου να λφθεί μια αναλυτική έκφρασ για τ προσέγγισ χαμλής συχνόττας του πλάτους τς σκέδασς, θα πρέπει να υπολογίσουμε τα τρία ολοκλρώματα στν σχέσ (4.65. Έτσι καταλήγουμε (4.66 u ( θ, sih cosh cosθ ( / ( / e e = = Β Ρ a = c 3 ( / ( / e e = ( osθ ( cosh cosθ ( / Β Ρ( cosθ a Αντικαθιστώντας τν (B και (4.66 στο πρώτο ολοκλήρωμα τς (4.65 και κάνοντας χρήσ τς ορθογωνιόττας των πολυωνύμων Legedre καθώς και τς βασικής ταυτόττας θα έχουμε 73

(4.67 u ( r ds ( r 4 π a = Β = ομοίως, κάνοντας χρήσ των (4.66, (B3 και (B4 καταλήγουμε στν (4.68 u ( r ds ( r 6π a G = = = Τα τελευταία δύο ολοκλρώματα στν (4.65 πρέπει να υπολογιστούν μαζί αφού χρσιμοποιήσουμε τις ίδιες τεχνικές με πριν στν (4.67 και (4.68. (4.69 ( r u ( rˆ r ( rˆ ˆ u ( r ds( r = 8π a O3 ( / Β = ( O O O όπου rˆ =,, 3 είναι το μοναδιαίο διάνυμα θέσς. (4.7 3 3 όπου g rˆ = ika A ka G O A Ο k, ka (4.7 A = Β = G = = = G ( / A = Β Η σχετική έκφρασ για τν ενεργειακή διατομή τς σκέδασς δίδεται από τν σχέσ (4.7 ( ˆ ds( rˆ σ s = g r k Στν παραπάνω έκφρασ του σ, πρέπει να υπολογιστή το ολοκλήρωμα (4.73 4 σs = g r ds r a A ka G A ka k = 3 ( ˆ ( ˆ 8 π Ο 4 74

Εύρεσ του C Από τν σχέσ (4.43 και τν (4.67 θα έχουμε (4.74 C = Β = Παρατρήσεις Παρατρούμε ότι έχει προκύψει ένα γραμμικό σύστμα δύο εξισώσεων με δύο άγνωστες στήλες Α και Β (m τάξεως με συντελεστές των αγνώστων τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες Λ ij, i=. j=, (m (m τάξεως όπου m=,,,3, (4.75 Λ ΑΛ Β= Λ ΑΛ Β=Γ Αφού ελέγξουμε τν αντιστροφή των πινάκων Λ, Λ Λ Λ Λ επιλύουμε το γραμμικό σύστμα με τν μέθοδο αντικατάστασς ως εξής (4.76 ( Α= Λ Λ Β Λ Λ Λ ΒΛ Β=Γ όπου ( κ m ( κ ή Α= Α κ =,,... Β= Β κ =,,... m 75

Equatio ectio 5ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.5 ΣΚΕΔΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΧΑΜΗΛΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟ ΔΙΑΠΕΡΑΤΟ ΕΚΚΕΝΤΡΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΚΕΛΥΦΟΣ ΜΕ ΔΙΑΠΕΡΑΤΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΠΥΡΗΝΑ 76

x 3 x u i V - R V = V - R Σχήμα 5 Το έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος V -, ο εξωτερικός χώρος του V και το εσωτερικό τς διαπερατού σφαιρικού πυρήνα V = περιγράφονται κάνοντας χρήσ του δισφαιρικού συστήματος συντεταγμένων, με τα παρακάτω σύνολα ορίζουμε το V { } (5. V = (, θφ, (,, θ [, π], φ [, π Το σφαιρικό κέλυφος μεταξύ των σφαιρών και - συμβολίζεται V - και εκφράζεται με το παρακάτω σύνολο { } (5. V = (, θφ, (,, θ [, π], φ [, π και το εσωτερικό του διαπερατού σφαιρικού πυρήνα V = περιγράφεται από το παρακάτω σύνολο { } (5.3 V = = (, θφ, (,, θ [, π], φ [, π Η σφαιρική ακτινική απόστασ δίνεται από τον τύπο 77

(5.4 cosh cosθ r = a cosh cosθ / Το σκεδαζόμενο πεδίο μακριά από τον σκεδαστή αντιστοιχεί σε μια μικρή περιοχή του (, θ = (, στο δισφαιρικό πεδίο. Απαλείφοντας τν αρμονική χρονική εξάρτσ exp{-iωt}, όπου ω είναι κυκλική συχνόττα, θα θεωρήσουμε το προσπίπτων επίπεδο κυματικό πεδίο ως εξής. (5.5 i i ˆ = u r e kk r Όπου k είναι ο κυματικός αριθμός στο χώρο V και τς διάδοσς. ˆk είναι το μοναδιαίο διάνυσμα Το πρόβλμα τς σκέδασς που θα ασχολθούμε είναι το ακόλουθο. Θα βρούμε το ολικό εξωτερικό πεδίο u r = u r u r r V (5.6 i s, το οποίο επαλθεύει τν παρακάτω εξίσωσ του Helmholtz (5.7 Δ k u r =, r V και μεταβολή του εσωτερικού πεδίου υπερπίεσς u - στον χώρο V -, επαλθεύει τν εξίσωσ (5.8 Δ k u r =, r V και k - είναι ο κυματικός αριθμός στο V - σχετίζεται με το k ως εξής. (5.9 k = k Όπου είναι ο δείκτς διάθλασς των δύο χώρων (5. C = C 78

και μεταβολή του εσωτερικού πεδίου υπερπίεσς u = στον χώρο V =, επαλθεύει τν εξίσωσ = = (5. Δ k u r =, r V και k = είναι ο κυματικός αριθμός στο V = σχετίζεται με το k ως εξής. (5. = και ο δείκτς διάθλασς k = k = (5.3 C = C = Το σκεδαζόμενο πεδίο u s ικανοποιεί τν συνθήκ ακτινοβολίας του ommerfeld (5.4 s u s lim r iku = x r με ομοιόμορφ σύγκλισ επάνω στν μοναδιαία σφαίρα Ευκλείδειου χώρου. του τρισδιάστατου Επάνω στν σφαίρα πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω συνοριακές συνθήκες διαπερατόττας (5.5, και u r = u r r u r u = r r (5.6 β, Οι παραπάνω σχέσεις περιγράφουν τν συνέχεια του πεδίου υπερπίεσς, καθώς και τς κάθετς συνιστώσας του πεδίου ταχύττας, καθώς διανύουμε το διαπερατό σύνορο. Στν επιφάνεια τς σφαίρας - του διαπερατού σφαιρικού πυρήνα θεωρούμε ότι ισχύουν οι συνοριακές συνθήκες διαπερατόττος. u r = u r r = (5.7, 79

(5.8 u ( r u = ( r = β, r όπου ρ (5.9 β = = ρ. Σκέδασ χαμλών συχνοτήτων Αν το μήκος κύματος του προσπίπτοντος πεδίου είναι πολύ μεγαλύτερο από τν ακτίνα τς εξωτερικής σφαίρας, για τν σφαίρα kr <<, τότε μπορεί να εφαρμοστεί θεωρία των χαμλών συχνοτήτων. Θεωρούμε τα αναπτύγματα (5. (5. = ( ik u r = u r, r V! = ( ik u r = u r, r V! (5. = ( ik = = u r = u r, r V! = Αντικαθιστώντας τα αναπτύγματα (5.-(5. στις (5.7,(5.8 και (5. οδγούμεθα για κάθε =,,,. στις παρακάτω σχέσεις (5.3 u r = u r, r V (5.4 u r = u r, r V (5.5 = = u r = u r, r V = 8

για κάθε =,,,. οι συνοριακές συνθήκες (5.5-(5.8 επιβεβαιώνονται u r = u r r (5.6, u r u r = r (5.7 β, u r = u r r = (5.8, = u (5.9 ( r u ( r = β, r και οι προσεγγίσεις χαμλών συχνοτήτων ικανοποιούν τα διαδοχικά προβλήματα στν δυναμική θεωρία. Η μδενικής τάξεως προσέγγισ δίδεται από το ακόλουθο πρόβλμα συνοριακών τιμών Μδενικής Τάξεως προσέγγισ (5.3 (5.3 (5.3 Δ u r = με r V Δ u r = με r V Δ u r = με r V = = (5.33 = u r u r με = (5.34 u ( r u ( r = β με = (5.35 = = u r u r με = = (5.36 u ( r u ( r = β με = (5.37 u r = O / r r 8

. Προσέγγισ Rayleigh. Στο δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων το πρόβλμα συνοριακών τιμών οδγεί στν αξονική συμμετρική προσέγγισ χαμλών συχνοτήτων u (, θ αξιώνει τν ειδική εξίσωσ Laplace για λύσεις ανεξάρττες από τν αζιμουθιακή γωνία και έχει τν μορφή (5.38 (, f θ f ( θ, = cosh cosθ siθ θ cosh cosθ θ Η διαφορική εξίσωσ (5.38 επιδέχεται χωρισμό μεταβλτών και ανάπτυγμα ιδιοσυναρτήσεων, επομένως οι λύσεις έχουν τν μορφή (5.39 = ( / ( / ( θ f, θ = coshcosθ Α e Βe Ρ cos Όπου P είναι πολυώνυμα Legedre (5.4 ( / = e Ρ ( cosθ cosh cosθ = Χρσιμοποιώντας τν μορφή τς λύσς τς εξίσωσς Laplace που περιγράψαμε προγουμένως και τ βασική ταυτόττα (5.4 οι παρακάτω εκφράσεις παριστάνουν τα ολικά πεδία υπερπίεσς εξωτερικά και εσωτερικά από τον σκεδαστή, μδενικής προσέγγισς (, θ, (, θ και (, θ u u u = (5.4 = [ ( / ( / u, θ = cosh cosθ e Β e Ρ cosθ,, (5.4 ( / ( / θ = θ Α Β Ρ = [ ] ( θ u, cosh cos e e cos,, 8

(5.43 u = = θ θ = ( ] ( / ( θ, = cosh cos Α e Ρ cos,, Από τν συνοριακή συνθήκ (5.33 θα έχουμε και λόγω ορθογωνιόττας των πολυωνύμων Legedere θα προκύψει παρακάτω σχέσ (5.44 ( Για =,,, 3 Β = Α e Β ( / ( ( / ( ( / ( θ = θ ( ( Α Β Ρ = [ ( θ u, cosh cos e e e e e cos,, Η δε παράγωγος τς κάθετς συνιστώσας στις δισφαιρικές συντεταγμένες δίδεται από τον τύπο (5.45 cosh cosθ = ˆ = a Από τν συνοριακή συνθήκ (5.34 θα έχουμε coshcosθ sih ( / ( / Α Β Ρ a cosh cosθ = e e ( cosθ ( / ( / ( / cosh cosθ ( / e Αe Βe Ρ( cosθ = cosh cosθ sih ( / e Ρ ( / = β Α e Β a cosh cosθ = ( cosθ ( / ( / cosh cosθ ( / Αe Βe Ρ( cosθ = και κάνοντας χρήσει των ιδιοτήτων των πολυωνύμων Legedre αποκτούμε μια αναγωγική εξίσωσ δύο αγνώστων σειρών Α, Β, =,,,3... m m m 83

me Α sih m cosh e Α ( m e β (5.46( β β m/ ( m / ( m 3/ m m Αm ( m/ { m / m 3/ me m m e m m e m } β Β sih cosh Β Β και για (5.47 ( m 3/ ( e = e ( m i Φ = sih cosh m i i ( m i Φ = sih cosh m i i β Χ m = sih ( m cosh β i=, θα έχουμε απλούστερ αναπαράστασ τς αναγωγικής εξίσωσς (5.46 ως εξής ( β ( β ( m/ ( m / ( m 3/ { me m me m ( m e Αm } ( m/ { m / m 3/ me m me m m e m } Α Χ Α Β Φ Β Β ( m 3/ ( e = e και για m=,,,3, αναγωγική εξίσωσ αναπτύσσεται σε εξίσωσ πινάκων όπως παρακάτω 84

( β / 3/ e Χ e... Α / 3/ 5/ e e Χ e... Α 3/ 5/ 7/ e e Χ 3e... Α 5/ 7/ 9/ 3e e Χ3 4 e... Α3 7/ 9/ 4 e e Χ4... Α4............. ( m3/ ( m/ ( m / ( m e e m me Χ Αm ( m/ ( m /... me e Χ Α m m ( β / 3/ e Φ e... / 3/ 5/ e e Φ e... 3/ 5/ 7/ e e Φ 3e... 5/ 7/ 9/ 3e e Φ3 4 e... 7/ 9/ 4 e e Φ4................ ( m3/ ( m/ ( m / m e e me Φ m ( m/ ( m / me e Φm Β Β Β Β3 Β 4... Βm Βm = ( e e e e e e... e e 3/ 5/ 7/ 9/ / ( m / ( m 3/ Από τν (5.35 συνοριακή συνθήκ διαπερατόττας του σφαιρικού πυρήνα έχουμε θα = = ( / = = cosh cosθ Α e Ρ cosθ ( / ( / (5.48 cosh cosθ Α e Βe Ρ cosθ = (5.49 ή = e Α = Α Β Αφού υπολογιστούν οι παράγωγοι ως προς τν κάθετ συνιστώσα τς εσωτερικής σφαιρικής επιφάνειας και από δε τν (5.36 συνοριακή συνθήκ επίσς θα έχουμε 85

cosh cosθ sih ( / ( / Α Β Ρ a cosh cosθ = e e ( cosθ ( / ( / cosh cosθ ( / Αe Βe Ρ ( cosθ = = cosh cosθ sih = β Α e Βe a = cosh cosθ ( / ( / ( / ( / cosh cosθ ( / Α e Βe Ρ( cosθ = Ρ ( cosθ θα προκύψει μια δεύτερ αναγωγική εξίσωσ των δύο αγνώστων σειρών Α, Β, =,,,3... για m m m β sih cosh β (5.5 Χ = ( m (5.5 ( β ( β m ( m/ ( m / ( m 3/ { me m me m ( m e m } Α Φ Α Α ( m/ { m / m 3/ me m me m m e m } Β Χ Β Β = και για m=,,,3, αναγωγική εξίσωσ αναπτύσσεται σε εξίσωσ πινάκων όπως παρακάτω ( β / 3/ e Φ e... Α / 3/ 5/ e e Φ e... Α 3/ 5/ 7/ e e Φ 3e... Α 5/ 7/ 9/ 3e e Φ3 4 e... Α3 7/ 9/ 4 e e Φ4... Α4............. ( m3/ ( m/ ( m / ( m e e m me Φ Αm ( m/ ( m /... me e Φ Α m m ( β / 3/ e Χ e... Β / 3/ 5/ e e Χ e... Β 3 / 5/ 7/ e e Χ 3e... Β 5/ 7/ 9/ 3e e Χ3 4 e... 7/ 9/ Β3 4 e e Χ4... Β4............. ( m3/ m/ m / m e e Χm me Β m ( m/ ( m /... me e Χ m Βm =... 86

Παρατρούμε ότι το πρόβλμα τς μδενικής προσέγγισς ανάγεται στν επίλυσ ενός γραμμικού συστήματος πινάκων, δύο εξισώσεων με δύο άγνωστες στήλες Α και Β (m τάξεως με συντελεστές των αγνώστων, τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες, i=. j=, Λ ij (m (m τάξεως. (5.5 Λ ΑΛ Β= Λ ΑΛ Β=Γ Επιλύοντας το γραμμικό σύστμα (5.5 ευρίσκουμε τους συντελεστές Α, Β, =,,,3... και με τν χρήσει των (5.44, (5.49 ολοκλρώνεται ο προσδιορισμός των υπολοίπων συντελεστών μδενική προσέγγισ = Α, Β, =,,,3... για τν { } Α= Λ Λ Λ Λ Λ Λ Γ { ( } Β= Λ Λ Λ Λ Γ Σχήμα 87

Γραφική παράστασ τς u συναρτήσει τς δισφαιρικής συνιστώσας για θ= και για διάφορες τιμές τς d=.,.,.3,.4,.5 (εκκεντρόττας Σχήμα 3 Γραφική παράστασ τς u συναρτήσει τς α στα σμεία του άξονα (,,α για διάφορες τιμές τς d=.,.,.3,.4,.5 Σχήμα 4 Γραφική παράστασ τς u συναρτήσει τς d στα σμεία του άξονα (,,α για διάφορες τιμές τς d=.,.,.3,.4,.5 Ειδικότερα, αν θέσουμε β =, ταυτίζονται οι πυκνόττες στο σφαιρικό κέλυφος V - και στον πυρήνα V =, οπότε εξίσωσ πινάκων (5.5 θα μετατραπεί σε ομογενές γραμμικό σύστμα 88

/ 3/ e cosh e... Β / 3/ 5/ e 3e cosh e... 3/ 5/ 7/ Β e 5e cosh 3e... Β 5/ 7/ 9/ 3e 7e cosh 4 e... Β3 7/ 9/ 4e 9e cosh... Β 4............. ( m3/ m e m/ m / m e cosh me Βm ( m/ m /... me m e cosh Β m =... και επειδή ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων είναι διάφορ του μδενός θα έχουμε = Β =, m =,,... και από τν (5.49 συνεπάγεται Α = Α =,,.... m Επομένως το πεδίο αναπαριστάνεται από τν ίδια συνάρτσ σε όλο τον χώρο (-, - ] δλ οι δύο εκφράσεις ad u m m m u = θα ταυτίζονται. Ομοίως αν θέσουμε β=, ταυτίζονται οι μαζικές πυκνόττες στον εξωτερικό χώρο V και στο κέλυφος V -, Συνεπώς, αν θέσουμε β = ή β= αποκτούμε λύσεις για το πρόβλμα μίας διαπερατής σφαίρας. Διαφορά ανάμεσα από τις δύο περιπτώσεις, β = ή β= δεν υπάρχει παρά μόνο στο ότι αναφερόμαστε σε διαπερατό σφαιρικό σκεδαστή διαφορετικής ακτίνας. Αν όμως β =β=, τότε και οι τρεις εκφράσεις,, ad u u u = θα ταυτίζονται, που σμαίνει ότι στο εν λόγω επίπεδο προσέγγισς το προσπίπτων πεδίο αντιλαμβάνεται ότι πυκνόττα είναι αμετάβλτ και έτσι δεν θα έχουμε φαινόμενο σκέδασς. Αν θέσουμε β =, τότε πυκνόττα του σφαιρικού κελύφους V - θα είναι πολύ μικρότερ από τν πυκνόττα του πυρήνα V =, έτσι το πρόβλμα ανάγεται στο πρόβλμα: Σκέδασς από ένα διαπερατό έκκεντρο σφαιρικό κέλυφος με σκλρό σφαιρικό πυρήνα δλ. ( Neuma problem ς τάξεως προσέγγισ (5.53 (5.54 Δ u r = με r V Δ u r = με r V 89

(5.55 Δ u r = με r V = = (5.56 = u r u r με = (5.57 u ( r u ( r = β με = = (5.58 = u r u r με = = (5.59 u ( r u ( r β = με = (5.6 u ( r k ˆ r u r = ( / 4π ds r O r r Δεδομένου ότι υπολογίσαμε τν προσέγγισ μδενικής τάξεως και είναι γνωστή επιφάνεια ολοκλήρωσς μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι γνωστή και σταθερή ποσόττα (5.6 και ο όρος ˆk r όπου (,, 3 ac = u r 4 π ds r στις καρτεσιανές συντεταγμένες έχει τν μορφή ˆk r = κ x κ x κ x 3 3 κ κ κ είναι τα συνμίτονα κατεύθυνσς. u ˆ r = k r C O / r, r (5.6 α Εκφράζουμε τις ορθοκανονικές συντεταγμένες σε δισφαιρικές αρμονικές και δε ασυμπτωτική συμπεριφορά του προβλήματος εμφανίζεται ως εξής (5.63 ( / x = a cosh cosθ e Ρ cosθ cosφ = (5.64 ( / x = a cosh cosθ e Ρ cosθ siφ = 9

(5.65 όπου ( / x3 = a cosh cosθ ( sg e Ρ cos = sg = = - ( θ Τα πεδία υπερπίεσς ς τάξεως θα είναι = (5.66 u = a cosh cosθ κ3( sg C e Ρ ( cosθ Ge = = ( cosθ e ( cosθ( κ cosφ κ siφ Ρ Ρ De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = (5.67 u = a cosh cosθ Ee Ge Ρ( cosθ = Ce De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = (5.68 = = u = a coshcosθ E e Ρ ( cosθ Από τ (5.56 συνοριακή συνθήκ θα έχουμε = = Ce Ρ ( θ ( κ φ κ φ = cos cos si 9

a coshcosθ κ3e Ce Ge Ρ cos = e De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = = ( θ = a cosh cosθ E e Ge Ρ = (5.69 ( cosθ Ce De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = εκφράζουμε τους συντελεστές G, D συναρτήσει των E, G και C, D αντίστοιχα (5.7 = κ3 e G e E G e C e = e D e C e D e Αφού υπολογισθούν οι παράγωγοι των πεδίων υπερπίεσς κατά τν κάθετ συνιστώσα στν εξωτερική διαπερατή σφαιρική επιφάνεια. (, θ, φ u = sih coshcosθ e E e G Ρ( cosθ = e C e D Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = 3 ( cosh cosθ κ3e Ce e E e G Ρ( cosθ = e e C e D Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = και 9

u, θ, φ cosh cosθ = sih Ee Ge Ρ cosh cosθ = Ce De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = 3 ( cosh cosθ ( E e Ge Ρ = ( cosθ ( cosθ ( Ce De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = και από τν εφαρμογή τς (5.57 συνοριακής συνθήκς (, θφ, u (, θφ, u = β θα προκύψουν δύο εξισώσεις β β β Χ e E Φe G Ρ( cosθ Ρm( cosθ d( cosθ = cosh ( κ3e Ce Ρ( cosθ Ρ m( cosθ d( cosθ = = = ( κ3e ( Ce e E β β e G Ρ( cosθ Ρm( cosθ cosθd ( cosθ = (5.7 και β β ( β Φ e C ϒe D ( coshe Ρ( cosθ Ρm( cosθ d( cosθ = = Ρ Ρ = ( e ( β e C ( β e D cosθ ( cosθ m( cosθ d ( cosθ όπου με τν χρήσ των ιδιοτήτων των πολυωνύμων Legedre (Α3, (Α4, (Α7 και (Α8 αποκτούμε δύο αναγωγικές εξισώσεις των τεσσάρων αγνώστων σειρών E, G, m =,,,3... και C, D, m =,,3,4... m m m m αντίστοιχα 93

(5.7 me E e E m e E 3 m m m m m m ( β Χ ( 3 m m m ( β me Gm e Gm ( m e Φ Gm = m = e ( C 3κ3 6κ3m sihκ3cosh για μεν τ πρώτ, που m=,,,3 λαμβάνουμε τν αντίστοιχ εξίσωσ πινάκων με δύο άγνωστες στήλες Ε, G και συντελεστές των αγνώστων είναι δύο τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες Ν, Ν Ν ΕΝ G =Γ / 3/ Χe e... Ε / 3/ 5/ e Χe e... Ε 3/ 5/ 7/ e Χe 3e... Ε 5/ 7/ 9/ 3e Χ3e 4 e... ( β Ε 7/ 3 9/ 4 e Χ4e... Ε4............. ( m3/ ( m/ ( m / ( m e Χm e me Εm ( m/ ( m /... me me Χ Εm / 3/ e Φ e... G / 3/ 5/ e e Φ e... G 3 / 5/ 7/ e e Φ 3e... G 5/ 7/ 9/ 3e e Φ3 4 e... G3 ( β 7/ 9/ 4 e e 4... Φ G = 4............. ( m3/ m/ m / m e e Φm me G m ( m/ ( m /... me e Φ m G m και δεύτερ θα είναι / ( C 3κ3 sih κ3cosh e ( C 3κ3 6κ3 sih κ3cosh e ( C 3κ3 κ3 sih κ3cosh e ( C 3κ3 8κ3 sih κ3cosh e = ( C 3κ3 4κ3 sih κ3cosh e... ( C 3κ3 6κ3m sih κ3cosh e ( C 3κ3 6κ3m sih κ3cosh e 3/ 5/ 7/ 9/ ( m/ ( m / m e C e C m e C 3 m m m m m m (5.73 ( β Φ ( ( β ( m e D ϒ e D ( m e D 3 m m m m m m m = e 3sih β( m cosh 94

όπου β sih cosh β (5.74 Χ = ( m β ϒ = sih ( cosh β για δε τ δεύτερ m=,,3,4 λαμβάνουμε τν αντίστοιχ εξίσωσ με άγνωστες στήλες C, D και συντελεστές των αγνώστων είναι οι τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες M, M Μ CΜ D = Δ 3/ 5/ e Φ 3e... 3/ 5/ 7/ C e e Φ 4e... 5/ 7/ 9/ C e e Φ3 5e... C 7/ 9/ / 3 3e e Φ4 6 e... C 9/ / 4 4 e e Φ5... C 5............. ( m/ ( m / ( m 3/ ( m e e m ( m e Φ C m 3 m ( m / C m... me e Φm ( β ( β 3/ 5/ e ϒ 3e... 3/ 5/ 7/ D e e ϒ 4e... 5/ 7/ 9/ e e ϒ3 5e... D 7/ 9/ / D 3e e ϒ4 6 e... 3 9/ / 4 e e ϒ5... D4 D.......... 5... m m/ m 3/ m e e ϒ m m e D m 3 m ( m / D m... me e ϒ m [ 3sih 3βcosh] [ 3sih 5βcosh] [ 3sih 7βcosh] [ 3sih 9βcosh] [ 3sih βcosh ] 3/ e 5/ e 7/ e 9/ e = / e... ( m / 3sih β( m cosh e ( m 3/ 3sih β( m 3 cosh e από τν (5.58 συνοριακή συνθήκ θα έχουμε 95

a cosh cosθ Ee Ge Ρ( cosθ = Ce De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = = (5.75 = = a cosh cosθ Ee Ρ ( cosθ = = Ce cos cos si = ( θ( κ φ κ φ Ρ (5.76 = Ee Ge = Ee = = Ce De Ce Οι παράγωγοι των προσεγγίσεων ς τάξεως (εσωτερικά και εξωτερικά κατά τν κάθετ συνιστώσα στν επιφάνεια του διαπερατού σφαιρικού πυρήνα θα είναι u cosh cosθ u = = a = = = sih cosh cosθ Ee Ge Ρ( cosθ = (5.77 Ce De Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = ( θ cosh cos 3 ( Ee Ge Ρ( cosθ = ( Ce De Ρ ( cosθ ( κcosφ κsiφ = 96

u sih = cosh cosθ Ρ = = Ee = = Ρ ( θ( κ φ κ φ = Ce cos cos si = ( cosθ (5.78 3 = ( cosh cosθ Ee Ρ ( cosθ = = C e Ρ ( cosθ( κcosφ κsiφ = (5.59 συνοριακή συνθήκ οδγεί σε δύο αναγωγικές εξισώσεις. Η μεν πρώτ θα έχει τν παρακάτω μορφή 3 m m m mem e m Eme m Em e ( β sih ( cosh ( 3 m β m m mgm e m Gme m Gm e β ( β sih ( cosh ( και απλούστερα 3 m m m mem e meme m Em e (5.79 β Φ ( 3 m m m mgm e mgme m Gm e ( β Χ ( = = για μεν τ πρώτ, που m=,,,3 λαμβάνουμε τν αντίστοιχ εξίσωσ πινάκων με δύο άγνωστες στήλες Ε, G και συντελεστές των αγνώστων δύο τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες Ν, Ν 97

( β / 3/ Φe e... Ε / 3/ 5/ e Φ e e... Ε 3/ 5/ 7/ e Φe 3e... Ε 5/ 7/ 9/ 3e Φ3e 4 e... Ε3 7/ 9/ 4 e Φ4e... Ε 4............. ( m3/ ( m/ ( m / ( m e Φm e me Εm ( m/ ( m /... me me Ε Φ m e ( β Χ e... G... G 3... G 3 4... G3 4... = G 4............. ( m3/ m/ m / m e e Χm me G m ( m/ ( m /... me e Χ G m m / 3/ / 3/ 5/ e e Χ e 3/ 5/ 7/ e e Χ e 5/ 7/ 9/ e e Χ3 e 7/ 9/ e e Χ4 =... είναι τς μορφής Ν ΕΝ G =Γ και για δε τ δεύτερ αναγωγική εξίσωσ 3 m m m m Cm e m Cme m Cm e ( β sih ( cosh 3 m β m m m Dm e m Dme m Dm e β ( β sih ( cosh και απλούστερα 3 m m m m Cm e mcme m Cm e (5.8 ( β ( Φ ( 3 m m m ( β ( m Dm e mdme ( m Dm e Χ = οποία αναπτύσσεται υπό μορφή πινάκων ως εξής = 98

3/ 5/ e Φ 3e... 3/ 5/ 7/ C e e Φ 4e... C 5/ 7/ 9/ e e Φ3 5e... 7/ 9/ / C3 3e e Φ4 6 e... 9/ / C4 4 e e Φ5... C 5............. ( m/ ( m / ( m 3/ ( m e e m ( m e Φ C m 3 m ( m / C m... me e Φm ( β ( β 3/ 5/ e Χ 3e... 3/ 5/ 7/ D e e Χ 4e... 5/ 7/ 9/ e e Χ3 5e... D 7/ 9/ / D 3e e Χ4 6 e... 3 9/ / 4 e e Χ5... D 4 D.......... 5 m... m/ m 3/ m e e Χ m m e D m 3 m ( m / D m... me e Χ m =... όπου για m=,,3,4 λαμβάνουμε τν αντίστοιχ εξίσωσ πινάκων με δύο άγνωστες στήλες C, D και συντελεστές των αγνώστων δύο τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες M, M όπου m β m Μ CΜ D = Δ β Χ = sih ( m cosh ( m Φ = sih cosh Παρατρούμε ότι το πρόβλμα τς προσέγγισς ς τάξεως οδγεί στν επίλυσ δύο γραμμικών συστμάτων με τέσσαρες άγνωστες στήλες G, E και C, D (m τάξεως και με συντελεστές των αγνώστων τριδιαγωνικοί τετραγωνικοί πίνακες Ν ij, M ij i=. j=, (m (m τάξεως αντίστοιχα. 99

(5.8 (5.8 Ν ΕΝ G =Γ Ν ΕΝ G =Γ Μ CΜ D = Δ Μ CΜ D = Δ Επιλύοντας τα δύο γραμμικά (5.8, (5.8 συστήματα πινάκων με άγνωστες στήλες G, E και C, D, ευρίσκουμε τις σειρές συντελεστών E, G, =,,,3... και C, D, =,,3,4... και με τν βοήθεια των (5.7,(5.76 ολοκλρώνουμε τν επίλυσ του προβλήματος προσέγγισς ς τάξεως ευρίσκοντας τις υπόλοιπες σειρές συντελεστών = = E, G, =,,,3... και, D, C =,,3,4... Όπως και πριν, οι ειδικές περιπτώσεις για β = ή β=, ανάγονται στο πρόβλμα μιας διαπερατής σφαίρας και αν β=, ανάγεται στν επίλυσ του προβλήματος του έκκεντρου σφαιρικού φλοιού με σκλρό πυρήνα. (Neuma problem Το μακρινό πεδίο (Πλάτος σκέδασς-ενεργειακή διατομή σκέδασς Το πλάτος τς διαπερατής σκέδασς δίδεται από τν παρακάτω έκφρασ στν οποία πρέπει να υπολογιστούν τα ολοκλρώματα. (5.83 ik u ( r ( ik g( rˆ = ds( r u ( r ds( r 4π 4π! ( ik m = ( rˆ r m um r r r r um r ds r 4 π =! m= m m m ( ( ˆ ˆ ( ˆ ( ( για rˆ Για τον υπολογισμό του πλάτους τς σκέδασς χρσιμοποιούμε τν μδενικής τάξεως και πρώτς τάξεως προσέγγισ του ολικού πεδίου και θα έχουμε

(5.84 ( ˆ ( r ik u r k u r g rˆ, k = ds( r ds( r 4π 4π k u 3 ( rˆ r ( rˆ ˆ u ( r ds( r ( k 4π Ο Προκειμένου να λφθεί μια αναλυτική έκφρασ για τ προσέγγισ χαμλής συχνόττας του πλάτους τς σκέδασς, θα πρέπει να υπολογίσουμε τα τρία ολοκλρώματα στν σχέσ (5.84. Έτσι καταλήγουμε (5.85 u ( θ, sih cosh cosθ ( / ( / e e = = Β Ρ a = 3 ( / ( / e e = c ( osθ ( cosh cosθ ( / Β Ρ( cosθ a Αντικαθιστώντας τν (B και (5.85 στο πρώτο ολοκλήρωμα τς (5.84 και κάνοντας χρήσ τς ορθογωνιόττας των πολυωνύμων Legedre καθώς και τς βασικής ταυτόττας θα έχουμε (5.86 u ( r ds ( r 4 π a = Β = ομοίως, κάνοντας χρήσ των (4.66, (B3 και (B4 καταλήγουμε στν (5.87 u ( r ds ( r 6π a G = = = Τα τελευταία δύο ολοκλρώματα στν (5.84 πρέπει να υπολογιστούν μαζί αφού χρσιμοποιήσουμε τις ίδιες τεχνικές με πριν στν (5.86 και (5.87. (5.88 ( r u ( rˆ r ( rˆ ˆ u ( r ds( r = 8π a O3 ( / Β = ( O O O όπου rˆ =,, 3 είναι το μοναδιαίο διάνυμα θέσς. (5.89 3 3 g rˆ = ika A ka G O A Ο k, ka

όπου (5.9 A = Β = G = = = G ( / A = Β Η σχετική έκφρασ για τν ενεργειακή διατομή τς σκέδασς δίδεται από τν σχέσ (5.9 ( ˆ ds( rˆ σ s = g r k Στν παραπάνω έκφρασ του σ, πρέπει να υπολογιστή το ολοκλήρωμα (5.9 4 σs = g r ds r a A ka G A ka k = 3 ( ˆ ( ˆ 8 π Ο 4 Εύρεσ του C Από τν σχέσ (5.6 και τν (5.86 θα έχουμε (5.93 C = Β =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.6 ΣΚΕΔΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΧΑΜΗΛΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΑΠΟ ΜΙΑ ΜΑΛΑΚΗ ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΕΝΑ ΔΙΑΠΕΡΑΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Διάθλασ ακουστικού επιπέδου κύματος από διαπερατό επίπεδο Σχήμα Σχματική αναπαράστασ τς διάθλασς επιπέδου ακουστικού κύματος από διαπερατό επίπεδο 3

Έστω το διαπερατό επίπεδο (x 3 = και οι χώροι V, V - με διαφορετικές πυκνόττες (6. 3 V = { r R : x 3 } (6. 3 V = { r R : x 3 } Το προσπίπτων επίπεδο ακουστικό πεδίο στο V είναι i (6.3 ( ik r ikx kx kx u r = e = e 3 3 Όπου ˆk είναι διεύθυνσ πρόπτωσς με k3 και k ˆ x3 ˆ = cosθ i το ανακλώμενο κύμα στον χώρο V θα είναι r (6.4 ( r i k x k x k x u r =Αe 3 3 όπου kˆr διεύθυνσ του ανακλώμενου, kˆ ˆ r x3 = cosθr έχουμε τν σχέσ cosθ = cosθ r i στον χώρο V το ολικό πεδίο επαλθεύει τν εξίσωσ του Helmholtz Δ k u = (6.5 και επειδή θi θr = π θα Όπου ik r r u e A e = ik r r Στον χώρο V - το ολικό πεδίο u - επαλθεύει τν εξίσωσ του Helmholtz (6.6 ( μ k Δ u = και μ είναι ο δείκτς διάθλασς που συσχετίζει του δύο χώρους μ = k k όπου t u A e A e μ = ik r = i k r t t 4

Τα παρακάτω διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο με k = kr = k = k (,,, (,,, μ μ(,, kr = k k k k = k k k k = k = k k k Οι προβολές τους στο επίπεδο τότε θα έχουμε τις εξισώσεις 3 3 t 3 xox θα είναι (, = (, = (, k k l k k lk l k και ksiθ i = k k (6.7 (6.8 ksiθ t = l k k Που οδγούν στν παρακάτω σχέσ (6.9 siθi siθ = l t Και σαν συνέπεια του νόμου του ell προκύπτει (6. l = μ και (,, ( l, l, (,, kt = μk = μ k k k = μ k k k = k k μk 3 3 3 Το διαθλώμενο κυματικό πεδίο θα είναι t t u r =Αe kˆ ˆ t x3 = cosϑt ( μ ikx kx kx 3 3 Α r,α t τα πλάτ του ανακλώμενου και διαθλώμενου κυματικού πεδίου r i u = u r u r r V, 5

Οι συνοριακές συνθήκες για το διαπερατό επίπεδο x 3 = είναι (6. u ( r = u ( r (6. Ή αναλυτικότερα u x u = β x 3 3 (6.3 u i ( r u r ( r = u t ( r i r t (6.4 u ( r u ( r u ( r = β Η συνοριακή συνθήκ (6.3 στο επίπεδο (x 3 = γίνεται r ikx ( kx t ikx ( kx ( Α e =Α e (6.5 r t Α = Α Επίσς συνοριακή συνθήκ (6.4 στο επίπεδο (x 3 = γίνεται ( r ( ikx kx kx ikx kx kx Α Α = β x 3 3 3 3 e e t e 3 3 ( μ ikx kx kx 3 3 x t ( ik e i k e i k e ikx kx r ikx kx ikx kx 3 3 Α = βμ 3Α Και τέλος θα έχουμε k Α = μ β Α k (6.6 r 3 3 t 6

Επιλύοντας το σύστμα (6.5 ad (6.6 βρίσκουμε (6.7 t k3 r k3 β μ k 3 A = και A = k β μ k k β μ k 3 3 3 Από τν αρχή διατήρσς τς ενέργειας θα έχουμε ότι πυκνόττα ενέργειας του προσπίπτοντος θα είναι ίσ με το άθροισμα των πυκνοτήτων του ανακλώμενου και του διαθλώμενου κυματικού πεδίου 3 (6.8 i r w = w w t (6.9 ρ i i { } i w = u ku = ρk (6. w r =Α r ρk (6. w t =Α t ρ k Αντικαθιστώντας (6.9-(6. στν(6.8 θα έχουμε ρ ρk = ρk Α μ k Α β r t (6. r μ = Α Α β t Αντικαθιστώντας τν (6.7 στν (6. θα έχουμε 3 β μ 3 μ 3 k k k = k β μ k β k β μ k 3 3 3 3 k3 ( μ β k k k 3 3 3 = 7

(6.3 μ k = k β 3 3 από (6.7 και (6.3 υπολογίζονται τα πλάτ του ανακλώμενου και διαθλώμενου κυματικού πεδίου r β μ Α = β μ t Α = β β μ Τέλος τα ακουστικά πεδία θα είναι i (6.4 r (6.5 ( ik r i k x k x k x u r = e = e β μ u r = e β μ 3 3 ( i k x k x k x 3 3 t (6.6 u r = e β μ μ i kx kx k 3x3 β β μ kt = k, k, k 3 β (6.7 ˆ =,, = (,, k t κ κ μ κ 3 κ κ κ 3 μ μ β. Σκέδασ ακουστικού επιπέδου κύματος από μία μαλακή σφαίρα στον αρντικό μιχώρο 8

Σχήμα Σχματική αναπαράστασ τς σκέδασς επιπέδου ακουστικού κύματος από μαλακό σφαιρικό σκεδαστή ευρισκόμενο κάτω από διαπερατό επίπεδο Αν μία μαλακή σφαίρα ακτίνας R και κέντρου βρίσκεται κάτω από το επίπεδο. Προσαρμόζουμε τότε ένα δισφαιρικό σύστμα συντεταγμένων (, θ, φ στν γεωμετρία του προβλήματός μας ως εξής (,, K3 Αναζτούμε ένα ζευγάρι τιμών =-, α ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες. (6.8 cosh x x x a sih a sih [ 3 ] = (6.9 K3 cosh = α και K3 sih (6.3 R = α sih Το μ γραμμικό σύστμα(6.9, (6.3 οδγεί στν λύσ παράρτμα C (6.3 K = l α = K 3 3 -R 3 R K -R 9