7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

Transcript

1 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό, ή απλά μετασχηματισμό (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό (ΜΜ), να περιγράψει τις βασικές τους ιδιότητες και να υπολογίσει τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς στοιχειωδών σημάτων, που αντιμετωπίζουμε στη μελέτη γραμμικών συστημάτων διακριτού χρόνου. Επίσης, στο Κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστεί η δυνατότητα που έχει ο μονόπλευρος μετασχηματισμός να επιλύει εξισώσεις διαφορών, οι οποίες έχουν μη μηδενικές αρχικές συνθήκες και στη συνέχεια θα εκμεταλλευτούμε τη δυνατότητα αυτή για τη μελέτη ΓΧΑ συστημάτων. Τέλος, σκοπός του Κεφαλαίου είναι να αναδείξει τη σχέση που υπάρχει μεταξύ της αιτιότητας, της ευστάθειας ενός ΓΧΑ συστήματος, του πεδίου σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του και της θέσης των πόλων αυτής στο μιγαδικό επίπεδο. Εισαγωγή Η είσοδος και η έξοδος ενός διακριτού ΓΧΑ συστήματος συνδέονται με μια εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές. Έτσι για να προσδιορίσουμε την έξοδο ενός συστήματος αν γνωρίζουμε την είσοδό του θα πρέπει να επιλύουμε την αντίστοιχη εξίσωση διαφορών. Στο Κεφάλαιο παρατηρήσαμε ότι μπορούμε να υπολογίσουμε την έξοδο ενός συστήματος αν γνωρίζουμε την είσοδό του, με τη βοήθεια του αθροίσματος της συνέλιξης. Στο Κεφάλαιο 4 ορίσαμε τον διακριτό ΜF, ο οποίος παρέχει τη δυνατότητα μετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Η ιδιότητα της συνέλιξης του ΜF μετατρέπει το άθροισμα της συνέλιξης σε ένα απλό γινόμενο των αντιστοίχων μετασχηματισμών, με την βοήθεια του οποίου υπολογίζεται ο ΜF της εξόδου και στη συνέχεια με αντίστροφο ΜF προσδιορίζεται η έξοδος του συστήματος στο πεδίο του χρόνου. Ο ΜF λοιπόν, έδωσε μια εύκολη λύση στο πρόβλημα εύρεσης της εξόδου ενός συστήματος, αν γνωρίζουμε την είσοδό του και την κρουστική του απόκριση. Δυστυχώς, όμως, υπάρχουν πολλά σήματα διακριτού χρόνου, τα οποία συχνά συναντάμε στη πράξη, για τα οποία δεν υπάρχει ο ΜF.

2 84 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο 7 Στο Κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουμε τον Mετασχηματισμό, ο οποίος μετατρέπει ένα σήμα διακριτού χρόνου σε μια αναλυτική συνάρτηση μιγαδικής μεταβλητής. Όπως θα δούμε, πολλά από τα σήματα διακριτού χρόνου με πρακτική σπουδαιότητα, για τα οποία δεν υπάρχει ο ΜF, υπάρχει ο Μ και έτσι διευρύνεται το σύνολο των σημάτων για τα οποία μπορεί να επιτευχθεί μετάβαση από το πεδίο τoυ χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Στο Κεφάλαιο 5, με τη βοήθεια του ΜF υπολογίσαμε την έξοδο ενός διακριτού ΓΧΑ συστήματος το οποίο βρίσκεται αρχικά σε κατάσταση ηρεμίας. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι αν το σύστημα δε βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας, ο μονόπλευρος μετασχηματισμός μας επιτρέπει να συμπεριλάβουμε τις αρχικές συνθήκες στη εξίσωση διαφορών και να προσδιορίσουμε την έξοδο του συστήματος. Τέλος, στο Κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι η χρήση του μιγαδικού πεδίου και η θέση των πόλων σ αυτό μας επιτρέπει να εξάγουμε βασικές ιδιότητες των διακριτών συστημάτων, όπως η αιτιότητα και η ευστάθεια. Για όλους τους παραπάνω λόγους, ο μετασχηματισμός αποτελεί ένα ακόμα βασικό μαθηματικό εργαλείο για τη μελέτη ΓΧΑ συστημάτων. 7. Ο Μετασχηματισμός Γνωρίζουμε ότι ένα γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο σύστημα διακριτού χρόνου, που έχει κρουστική απόκριση h ( ) έχει έξοδο y ( ) για είσοδο όπου y ( ) = H () (7.) H () = h ( ) (7.) = Για = e jω όπου Ω πραγματικός αριθμός δηλαδή = το άθροισμα αποτελεί το μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου του h ( ). Αν το άθροισμα αποτελεί το μετασχηματισμό του h ( ). Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί στην ακολουθία x ( ) τη συνάρτηση X() x ( ) (7.) = Η X () είναι μιγαδική συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής και ονομάζεται αμφίπλευρος μετασχηματισμός του x( ) ή απλά μετασχηματισμός. Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός ορίζεται από τη σχέση X( ) x () = Για ευκολία ο μετασχηματισμός του x (7.4) ( ) μερικές φορές συμβολίζεται ως { x} σχέση μεταξύ του x ( ) και του μετασχηματισμού του υποδεικνύεται ως ( ) και η x ( ) X(). (7.5) Επειδή ο μετασχηματισμός (Μ) είναι μια δυναμοσειρά απείρων όρων, μπορεί να μη συγκλίνει για όλες τις τιμές της μιγαδικής μεταβλητής. Θα πρέπει, λοιπόν να καθορίζεται το

3 Ενότητα 7. Ο Μετασχηματισμός 85 πεδίο ορισμού του X( ), δηλαδή το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου στο οποίο το άθροισμα να συγκλίνει δηλαδή X ( ) = x ( ) x ( ) < = (7.6) = Η περιοχή τιμών του, για τις οποίες ο μετασχηματισμός έχει πεπερασμένη τιμή καλείται περιοχή σύγκλισης (ΠΣ) (regio of covergece ROC). H (7.6) μας δείχνει ότι η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού αποτελείται από εκείνες τις τιμές του για τις οποίες η ακολουθία x ( ) είναι αριθμήσιμη κατά απόλυτη τιμή (absolutely summable). Είναι φανερό ότι η σύγκλιση εξαρτάται μόνο από το μέτρο r= και όχι από το Ω, αυτό σημαίνει ότι η περιοχή σύγκλισης θα καθορίζεται από ομόκεντρους κύκλους με κέντρο την αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου. Αν η συνάρτηση X( ) συγκλίνει για όλα τα σημεία έξω από τον κύκλο με κέντρο το μηδέν και ακτίνα R x, και αποκλίνει για όλα τα στο εσωτερικό του ίδιου κύκλου, τότε το εξωτερικό του κύκλου { C > R x } : είναι η περιοχή σύγκλισης του X( ) και η R x ακτίνα σύγκλισης. Στη γενική περίπτωση η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματιμού, θα έχει τη μορφή R < < R. 7.. Σχέσεις μεταξύ των μετασχηματισμών και Fourier Έστω = r e jω τότε από τη σχέση ορισμού του μετασχηματισμού έχουμε j j ( ) ( ) { } X () x () Xre = x () re = x () r e = Παρατηρούμε ότι Xre ( jω ) Ω Ω jω = j ( Ω ) = { } = Xre F x ( ) r (7.7) είναι ο μετασχηματισμός Fourier της ακολουθίας x ( ) πολλαπλασιασμένης με την πραγματική εκθετική ποσότητα r. Το εκθετικό βάρος r μπορεί να αυξάνεται ή να ελαττούται αν αυξάνει το ανάλογα αν r < ή r. Αν r = ή =, ο μετασχηματισμός καταλήγει στο μετασχηματισμό Fourier δηλαδή ( ) F{ x} X = e j Ω = ( ) (7.8) Στο S επίπεδο ο μετασχηματισμός Laplace μετατρέπεται σε μετασχηματισμό Fourier στο φανταστικό άξονα (δηλαδή s = jω ). Ο μετασχηματισμός μετατρέπεται στο μετασχηματισμό Fourier αν το μέτρο της ποσότητας μετασχηματισμού είναι μονάδα ( e j ) = Ω, δηλαδή αν βρίσκεται στο μοναδιαίο κύκλο του μιγαδικού -επιπέδου Σχήμα 7.. Με άλλα λόγια ο μοναδιαίος κύκλος του μιγαδικού -επιπέδου έχει τον ίδιο ρόλο με το μιγαδικό άξονα στο s-επίπεδο του μετασχηματισμού Laplace. Μετά την παρατήρηση αυτή είναι σκόπιμο να κάνουμε μια απλή αλλαγή του συμβολισμού του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου την οποία συναντάμε πολλές φορές στα ενχειρίδια jω ( ) Ω = { } = ( ) X = e j F x ( ) Xe αντί του X ( Ω ) (7.9) ή

4 86 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο 7 Μοναδιαίος κύκλος Im{ } = e jω Ω Re{ } Σχήμα 7. Το μιγαδικό -επίπεδο. Ο μετασχηματισμός μετατρέπεται σε μετασχηματισμό Fourier για τις τιμές του που βρίσκονται στο μοναδιαίο κύκλο. Από τις σχέσεις και Xre ( jω ) = F{ x r } X () = x () = ( ) (7.) παρατηρούμε ότι για να συγκλίνει ο μετασχηματισμός πρέπει ο μετασχηματισμός Fourier r του σήματος x ( ) να συγκλίνει. Αυτό μπορεί να συμβαίνει για μερικές τιμές του r και να μη συμβαίνει για άλλες. Αν η περιοχή σύγκλισης περιέχει το μοναδιαίο κύκλο τότε υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier. 7.. Μετασχηματισμοί στοιχειωδών σημάτων Παράδειγμα 7. (Σήμα πεπερασμένης έκτασης) Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός του τετραγωνικού παραθύρου πλάτους N + Ο μετασχηματισμός είναι, N x ( ) = (7.), αλλιώς N N N = = = X () = x () = = και με τη βοήθεια του τύπου με τον οποίο υπολογίζουμε το άθροισμα των όρων γεωμετρικής σειράς έχουμε N+ N+ N = X( ) N,, = ( ) N +, = Η περιοχή σύγκλισης καλύπτει όλο το μιγαδικό επίπεδο εκτός από το μηδέν. Παράδειγμα 7. (Το εκθετικό αιτιατό σήμα) Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός για το σήμα Ο μετασχηματισμός είναι (7.) x ( ) = a u ( ) (7.)

5 Ενότητα 7. Ο Μετασχηματισμός 87 ( ) X () = au () = a = Για να συγκλίνει ο X() πρέπει το άθροισμα των απείρων όρων της γεωμετρικής σειράς, με λόγο a, να συγκλίνει, δηλαδή = τιμών του για την οποία a < ή > a, οπότε = a <. Έτσι η περιοχή σύγκλισης είναι η περιοχή X () = ( a ) = =, a a = αν > a (7.4) Ο μετασχηματισμός ορίζεται στο εξωτερικό κύκλου ακτίνας R x = a βλέπε Σχήμα 7.. Im{ } Μοναδιαίος κύκλος a Re{ } Σχήμα 7. Το πεδίο σύγκλισης, ο πόλος και το μηδενικό του Μετασχηματισμού για το σήμα στο Παράδειγμα 7.. Παρατηρήσεις Ο μετασχηματισμός της ακολουθίας x ( ) συγκλίνει για κάθε πεπερασμένη τιμή του α, ενώ ο μετασχηματισμός Fourier του x ( ) συγκλίνει αν a <. Αν a > η περιοχή συγκλισης δεν περιέχει το μοναδιαίο κύκλο και για τις τιμές αυτές δεν υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier της ακολουθίας a u ( ). Ο μετασχηματισμός έχει κλασματική μορφή δηλαδή έχει μηδενικά και πόλους. Στο Παράδειγμα 7. ο μετασχηματισμός έχει ένα μηδενικό για = και ένα πόλος για = a (βλέπε Σχήμα 7.). Παραγωγίζοντας την εξίσωση a = ως προς α έχουμε = a a = = Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ( a) x ( ) = a u ( ) Νέα παραγώγιση ως προς α δίνει για > a ( a) για > a (7.5)

6 88 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο 7 από την οποία έχουμε ( ) a = ( a) για > a = ( ) x ( ) = a u ( ) a ( ) για > a (7.6) Αν επαναλάβουμε την παραγώγιση θα οδηγηθούμε σε αντίστοιχα αποτελέσματα. Για a = τότε το σήμα x ( ) είναι η ακολουθία μοναδιαίου βήματος, η οποία έχει μετασχηματισμό U ( ) = =, με > (7.7) με περιοχή σύγκλισης το εξωτερικό του μοναδιαίου κύκλου. Παράδειγμα 7. Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός του μοναδιαίου δείγματος. Ο μετασχηματισμός του μοναδιαίου δείγματος x ( ) = δ ( ) είναι { δ ( ) } =, με (7.8) και του ολισθημένου κατά k βήματα μοναδιαίου δείγματος, δ( k), είναι, k < { δ( k) } = k, k η περιοχή σύγκλισης καλύπτει όλο το μιγαδικό επίπεδο εκτός από την αρχή, C {}. (7.9) Ορισμός Μια ακολουθία x, ( ) η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη x= ( ) για < N, ονομάζεται δεξιόπλευρη ακολουθία. Γενικά μια δεξιόπλευρη ακολουθία έχει μετασχηματισμό = N X ( ) = x ( ) και η περιοχή σύγκλισης είναι της ( ) X ο οποίος απέχει περισσότερο από την αρχή των αξόνων. > R, όπου R είναι εκείνος ο πόλος Παράδειγμα 7.4 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός του σήματος x ( ) = u ( ) + u ( ) (7.) Ο μετασχηματισμός είναι

7 Ενότητα 7. Παρατηρήσεις για τον Αμφίπλευρο Μετασχηματισμό 89 Τελικά X ()= + = = = X ()= + = ( 56) ( )( ) 56 ( )( ) (7.) Για να έχουμε σύγκλιση του X() πρέπει > και >. Άρα >. Μπορούμε να οδηγηθούμε στα ίδια απoτελέσματα αν βασιστούμε στα δύο προηγούμενα παραδείγματα και χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού την οποία θα δούμε στη συνέχεια. Παράδειγμα 7.5 (Αυστηρά μη αιτιατό εκθετικό σήμα) Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός του σήματος x ( ) =a u( ) (7.) Ο μετασχηματισμός είναι ( ) X() = a u( ) = a = a = a = = = = αν a < ή ισοδύναμα < a το άθροισμα συγκλίνει και έχουμε a X()= = = = (7.) a a a a με περιοχή σύγκλισης το εσωτερικό κύκλου ακτίνας Rx = a. Παρατηρούμε ότι ο μετασχηματισμός έχει την ίδια αλγεβρική παράσταση με το Παράδειγμα 7., αλλά άλλη περιοχή σύγκλισης. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή σύγκλισης, όπως και στο μετασχηματισμό Laplace, αποτελεί αναπόσπαστο τμήμα του μετασχηματσισμού και πρέπει πάντοτε να καθορίζεται. Αν μας δοθεί μόνο ο μετασχηματισμός χωρίς την αντίστοιχη περιοχή σύγκλισή του θα υπάρχει αβεβαιότητα στον προσδιορισμό της ακολουθίας που οδήγησε σ αυτόν, αφού θα υπάρχουν περισσότερες από μια απαντήσεις. Ορισμός Μια ακολουθία x, ( ) η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη x= ( ) για > N, ονομάζεται αριστερόπλευρη ακολουθία. Γενικά μια αριστερόπλευρη ακολουθία έχει μετασχηματισμό N X ( ) = x ( ) = και η περιοχή σύγκλισης είναι < R, όπου R είναι εκείνος ο πόλος της X ( ) ο οποίος απέχει λιγότερο από την αρχή των αξόνων. 7. Παρατηρήσεις για τον Αμφίπλευρο Μετασχηματισμό Ο αμφίπλευρος μετασχηματισμός γράφεται

8 9 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο 7 = = = X( ) = x ( ) = x ( ) + x ( ) = X ( ) + X ( ) Για να υπάρχει ο αμφίπλευρος μετασχηματισμός πρέπει να συγκλίνουν οι μονόπλευρες σειρές X x () = () και X x ( ) = ( ) = Αν το σήμα x ( ) είναι αιτιατό ο αμφίπλευρος μετασχηματισμός συμπίπτει με το μονόπλευρο. Αν το σήμα είναι μη αιτιατό, μπορούμε να υπολογίσουμε τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό με τη βοήθεια του μονόπλευρου μετασχηματισμού ώς εξής, θεωρούμε το θετικό και το αρνητικό τμήμα του x ( ) για τα οποία ισχύει + = x ( ) = xu ( ) ( ) (7.4) x ( ) = x( u ) ( ) (7.5) + x ( ) = x ( ) + x ( ) Ο αμφίπλευρος μετασχηματισμός του σήματος είναι = = = X( ) = x ( ) = x ( ) + x ( ) + X( ) = x( ) + x ( ) = = + X( ) = x ( ) + x ( ) = = X () = X ( ) + X () = X ( ) + X () (7.6) (7.7) Για να υπάρχει ο αμφίπλευρος μετασχηματισμός θα πρέπει να υπάρχουν οι μονόπλευροι μετασχηματισμοί X () και X + () οι οποίοι υπάρχουν για + + < R δηλαδή R < < R με την προϋπόθεση ότι R < R. > R + και > R ή Παρατήρηση Για μια πεπερασμένου μήκους ακολουθία x= ( ) αν < N και > N ο μετασχηματισμός είναι N X ( ) = x ( ) = N (7.8) είναι φενερό ότι η συνάρτηση αυτή συγκλίνει για κάθε τιμή του, δηλαδή η περιοχή σύγκλισης είναι όλο το μιγαδικό επίπεδο με δύο πιθανές εξαιρέσεις αν N < τότε οι τιμές του με άπειρο μέτρο αποκλείονται από την περιοχή σύγκλισης. αν N > τότε η αρχή των αξόνων αποκλείεται από την περιοχή σύγκλισης.

9 Ενότητα 7. Παρατηρήσεις για τον Αμφίπλευρο Μετασχηματισμό 9 Παράδειγμα 7.6 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός του σήματος x ( ) = a, < <, a < (7.9) Το θετικό και το αρνητικό τμήμα του x ( ) είναι + των οποίων οι μετασχηματισμοί είναι x ( ) = a u ( ), x ( ) = a u ( ) X + + () = X () =, > a (7.) a X = X = = a ( ) ( ), < a a a (7.) Επειδή a <, είναι και a < a. Έτσι ο μετασχηματισμός του x ( ) είναι X ( )= a a +, a < < (7.) a a Παρατήρηση Γενικά η περιοχή σύγκλισης μιας αμφίπλευρης ακολουθίας αποτελείται από τις τιμές του μιγαδικού επιπέδου για τις οποίες ισχύει R < < R, όπου R είναι ο πόλος της X + ( ), ο οποίος απέχει περισσότερο από την αρχή των αξόνων του επιπέδου, ενώ R είναι ο πόλος της X ( ), ο οποίος απέχει λιγότερο από την αρχή των αξόνων του επιπέδου. Αν R R τότε οι δύο περιοχές σύγκλισης δεν αλληλοεπικαλύπτονται και η περιοχή σύγκλισης του X ( ) είναι το κενό σύνολο. Παράδειγμα 7.7 Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός του σήματος x ( ) = a, < < (7.) Ο μετασχηματισμός του θετικού τμήματος του x ( ) είναι και του αρνητικού τμήματος και X ( ) =, > R = a (7.4) a + + { } a X ( ) = { x( u )( ) } = ( a ) δ ( ) = = (7.5) a a

10 9 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο 7 X a ( ) = X ( ) =, < a a a = R (7.6) Παρατηρούμε ότι και οι μετασχηματισμοί του θετικού και του αρνητικού τμήματος υπάρχουν. Επειδή όμως είναι R μετασχηματισμό Υπαρξη του Μετασχηματισμού = R το εκθετικό σήμα x ( )= a δεν έχει αμφίπλευρο Αποδεικνύεται ότι ένα σήμα x ( ) έχει μετασχηματισμό αν και μόνο αν υπάρχουν θετικοί αριθμοί M και r τέτοιοι ώστε να ισχύουν x ( ) Mr, < (7.7) δηλαδή άν το x ( ) δεν αυξάνεται ταχύτερα από εκθετικό σήμα. 7.4 Ο Αντίστροφος Μετασχηματισμός Γνωρίζουμε και αν j ( Ω ) = { } Xre F x ( ) r (7.8) = r και βρίσκεται στην περιοχή σύγκλισης έχουμε { ( )} η ( ) j Ω j Ω jω Ω x () r = F Xre & x () = r Xre e d π Με εισαγωγή της r στο εσωτερικό του ολοκληρώματος έχουμε π j j ( )( ) Ω Ω x ( )= Xre re dω (7.9) π π Αλλαγή μεταβλητής = re jω j και επειδή r σταθερή ποσότητα είναι d= jre Ω dω = jdω ή dω= ( j) d. Το ολοκλήρωμα είναι πάνω σε διάστημα π του Ω. Για τη νέα μεταβλητή το διάστημα αυτό αντιστοιχεί σε καμπύλη γύρω από το κύκλο x () = X () πj C d = r. Έτσι έχουμε (7.4) όπου C είναι μια αριστερόστροφη κλειστή καμπύλη ολοκλήρωσης γύρω από την αρχή των αξόνων η οποία βρίσκεται στο εσωτερικό της περιοχής σύγκλισης του μετασχηματισμού, η δε ολοκλήρωση γίνεται αντίστροφα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού. 7.5 Υπολογισμός του Αντίστροφου Μ για Ρητές Συναρτήσεις Ο απευθείας υπολογισμός του αντιστρόφου μετασχηματισμού μέσω του ολοκληρώματος της (7.4) είναι επίπονη διαδικασία και γι αυτό συνήθως ακολουθούνται έμμεσοι τρόποι εύρεσης του αντιστρόφου μετασχηματισμού. Αν η μορφή της συνάρτησης X() είναι απλή και μπορεί εύκολα να εκφραστεί ως άθροισμα επιμέρους στοιχειωδών όρων, τότε με τη

11 Ενότητα 7.5 Υπολογισμός του Αντίστροφου Μ για Ρητές Συναρτήσεις 9 χρήση γνωστών μετασχηματισμών και των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού μπορούμε απ ευθείας να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό. Αν η συνάρτηση X() είναι ρητή συνάρτηση τότε την αναπτύσσουμε σε απλά κλάσματα και τότε εύκολα υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό, με τη χρήση γνωστών μετασχηματισμών Υπολογισμός με ανάπτυξη σε απλά κλάσματα Την ανάπτυξη μιας συνάρτησης σε απλά κλάσματα την έχουμε διαπραγματευθεί στο Παράρτημα Β. Εξειδικεύοντας την τεχνική στην περίπτωση του μετασχηματισμού, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις α) Αν ο βαθμός m, του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μικρότερος του βαθμού, του πολυωνύμου του παρονομαστή η ρητή συνάρτηση αναπτύσσεται σε απλά κλάσματα σύμφωνα με την εξίσωση X ( ) C C C C C C r ( r) = + + K+ r K + (7.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) όπου,, K, l είναι οι l πόλοι της X ( ) με πολλαπλότητες r,, K, αντίστοιχα, και είναι ο βαθμός του πολυωνύμου του παρονομαστή. Οι συντελεστές C j προσδιορίζονται από τις σχέσεις C j = ( r j) ( ) ( ) rj r d X rj! d = r j =,, K, r (7.4) Για τους απλούς πόλους οι συντελεστές C i προσδιορίζονται από τις σχέσεις ( ) ( ) C = X = i =,, K, r (7.4) i i i Έχοντας αναλύσσει τη συνάρτηση X ( ) σε απλά κλάσματα μπορούμε στη συνέχεια σχετικά εύκολα να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό. Πράγματι υπολογίζουμε πρώτα τους επιμέρους μετασχηματισμούς των απλών κλασμάτων και ύστερα αθροίζουμε τις προκύπτουσες εκφράσεις. Ορισμένα από τα πιο συνηθισμένα ζεύγη μετασχηματισμών παρατίθενται στον Πίνακα 7. Τα ζεύγη αυτά μας βοηθούν στον υπολογισμό του αντιστρόφου μετασχηματισμού, εκφράζοντας την συνάρτηση X ( ) ως γραμμικό συνδυασμό απλουστέρων συναρτήσεων. β) Αν ο βαθμός m, του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος του βαθμού, του πολυωνύμου του παρονομαστή τότε διαιρούμε πρώτα τα πολυώνυμα και καταλήγουμε σε μια έκφραση που έχει τη μορφή m m X ( ) = Bm + Bm + K B + X( ) (7.44) όπου η συνάρτηση X ( ) έχει βαθμό αριθμητή μικρότερο του βαθμού του παρονομαστή, και την οποία αναπτύσσουμε σε απλά κλάσματα σύμφωνα με τα προηγούμενα. Ένα συνηθισμένο τέχνασμα για να αποφύγουμε τη διαίρεση πολυωνύμων, αν m=, είναι να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση X ( ) X ( ) =, αυξάνοντας έτσι το βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή κατά ένα, και να αναπτύξουμε στη συνέχεια σε απλά κλάσματα τη συνάρτηση X ( ) βλέπε Παράδειγμα 7..

12 94 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο 7 Πίνακας 7. Μετασχηματισμοί μερικών βασικών συναρτήσεων Σήμα Μετασχηματισμός Περιοχή σύγκλισης δ( ) για κάθε u ( ) > δ( m), m > 4 au ( ) a 5 a u ( ) ( a ) 6 [ cos( Ω ) ] u ( ) [ cosω] [ cosω] 7 [ si( Ω ) ] u ( ) [ siω] [ cosω ] 8 [ r cos( Ω ) ] u ( ) [ rcosω] [ cosω] + 9 [ r si( Ω ) ] u ( ) [ rsiω] [ cosω ] + a + > > a a > + > r r r r > r > r Παράδειγμα 7.8 Να υπολογιστεί το σήμα x ( ) το οποίο έχει μετασχηματισμό τη συνάρτηση X ()= 56 > (7.45) ( 4 )( ) Αναλύουμε σε μερικά κλάσματα C C X ()= + 4 Και υπολογίζουμε τις σταθερές C και C. (7.46) C = X () &η C 4 = και C = X () &η = 4 = Έτσι ο μετασχηματισμός αποκτά τη μορφή X () = + X () X () = + 4 C =

13 Ενότητα 7.5 Υπολογισμός του Αντίστροφου Μ για Ρητές Συναρτήσεις 95 Με τη βοήθεια του Παραδείγματος 7. έχουμε x(), > x() = u () x () x u, > () = () Τελικά x () = u () u ( ) X () + = ( )( ) > Παράδειγμα 7.9 Να υπολογιστεί το σήμα x ( ) το οποίο έχει μετασχηματισμό τη συνάρτηση X ()= 56 < < (7.47) 4 ( 4 )( ) Από το προηγούμενο παράδειγμα έχουμε X () = + X () X () = + 4 λόγω του πεδίου σύγκλισης και με τη βοήθεια των Παραδειγμάτων 7. και 7.4 έχουμε x(), > x() = u () Έτσι x(), < x() = u( ) x ( ) = u ( ) u( ) (7.48) 4 Παράδειγμα 7. Να υπολογιστεί το σήμα x ( ) το οποίο έχει μετασχηματισμό τη συνάρτηση X( )= + (7.49) Αναλύουμε σε απλά κλάσματα τη συνάρτηση ( ) X, και έχουμε

14 96 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο 7 όπου έτσι έχουμε C X( ) C C = = + ( + )( ) + = = = και C X( )= + + = = + = Τα δυνατά πεδία σύγκλισης είναι α) { C:< < }, β) { C < < } { C: < < } α) Στο πεδίο { C < < } συνεπώς, το σήμα είναι : υποχρεωτικά έχουμε u + = ( ) ( ) και β) Στο πεδίο { C < < } u = ( ) : και γ) x () = ( ) u( ) u( ), < (7.5α) : υποχρεωτικά έχουμε u + = ( ) ( ) και u = ( ) συνεπώς, το σήμα είναι x () = ( ) u( ) + u (), < < (7.5β) γ) Στο πεδίο { C < <} : υποχρεωτικά έχουμε συνεπώς, το σήμα είναι u + = ( ) ( ) και u = ( ) x ( ) = ( ) u ( ) + u ( ), < < (7.5γ) 7.5. Υπολογισμός με ανάπτυξη σε δυναμοσειρά Σύμφωνα με τη μεθοδολογία αυτή αναπτύσσουμε τη συνάρτηση ( ) X σε δυναμοσειρά και στη συνέχεια η ακολουθία ( ) x υπολογίζεται με αντιστοίχηση στους συντελεστές της δυναμοσειράς. Η ανάπτυξη μιας ρητής συνάρτησης σε δυναμοσειρά επιτυγχάνεται συνήθως

15 Ενότητα 7.5 Υπολογισμός του Αντίστροφου Μ για Ρητές Συναρτήσεις 97 με συνεχή διαίρεση. Η μεθοδος αυτή δεν καταλήγει σε μια αναλυτική έκφραση για την x. ( ) Είναι μια αριθμητική μέθοδος με την οποία μπορούμε να υπολογίζουμε ένα στοιχείο της x ( ) κάθε φορά. Παράδειγμα 7. Να υπολογιστεί το σήμα x ( ) το οποίο έχει μετασχηματισμό τη συνάρτηση X() =, > a (7.5) a Η έκφραση αυτή μπορεί να αναπτυχθεί σε δυναμοσειρά με συνεχείς διαιρέσεις + a + a a + a + a a + a + a a + a + a + L Παρατηρούμε ότι το άθροισμα + a + a + a + L συγκλίνει αν a < δηλαδή αν a <. Έτσι έχουμε το ανάπτυγμα για το μετασχηματισμό X()= = + a + a + a + L (7.5) a Συγκρίνοντας την παραπάνω έκφραση με την σχέση ορισμού του μετασχηματισμού έχουμε X() = x ( ) (7.5) = K, x( ) =, x( ) =, x() = a, x( ) = a, x() = a, K δηλαδή x ( ) = a u ( ) (7.54) Αποτέλεσμα το οποίο το αναμέναμε λόγω του Παραδείγματος 7.. Αν a > δηλαδή αν a > τότε η ανάπτυξη σε σειρά του μετασχηματισμού γίνεται με την παρακάτω διαίρεση.

16 98 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο 7 + a + a a + a + a a + a + a a + L a a a Με παρόμοιο τρόπο σκέψης όπως και στην προηγούμενη περίπτωση καταλήγουμε x ( )= και x( ) =a, x( ) =a, x( ) =a, K δηλαδή x ( ) =a u( ) (7.55) Παράδειγμα 7. Να υπολογιστεί το σήμα x ( ) το οποίο έχει μετασχηματισμό τη συνάρτηση X() = log + ( a ) (7.56) Γνωρίζουμε log( + w) = = + ( ) w με εφαρμογή της παραπάνω σχέσης έχουμε Τελικά w <, (Ανάπτυγμα σε σειρά Taylor) + ( ) a a X () = x () = ( ), + =, 7.6 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ( a) x ( ) = u ( ) (7.57) Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιαστούν βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού. Οι ιδιότητες αυτές θα μας βοηθήσουν στον υπολογισμό του μετασχηματισμού μιας δεδομένης συνάρτησης χωρίς κατ ανάγκη να επιλύεται το σχετικό ολοκλήρωμα.. Γραμμικότητα ( ) ( ) Αν x ( ) X ( ) με ακτίνα σύγκλισης R ή περιοχή σύγκλισης P και x X με ακτίνα σύγκλισης R ή περιοχή σύγκλισης P τότε

17 Ενότητα 7.6 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού 99 a x ( ) + b x ( ) a X ( ) + b X ( ) (7.58) Η περιοχή σύγκλισης του a { x + b x } ( ) ( ) είναι τουλάχιστον η P I P. Η λέξη τουλάχιστον χρησιμοποιήθηκε για την περίπτωση κατά την οποία ο γραμμικός συνδυασμός είναι τέτοιος ώστε κάποιοι μηδενισμοί να εξουδετερώνουν ορισμένους πόλους. Σε μια τέτοια περίπτωση η περιοχή σύγκλισης είναι μεγαλύτερη από την τομή των δύο περιοχών.. Ιδιότητα της χρονικής ολίσθησης + Έστω σήμα x ( ) με αμφίπλευρο μετασχηματισμό X( ), R < < R, τότε για κάθε ακέραιο, θετικό ή αρνητικό, ισχύει Για = έχουμε x { } Πράγματι, έχουμε x ( + ) X( ), R < < R (7.59) + ( + ) = X (). Η απόδειξη απορρέει άμεσα από τους ορισμούς. + i i { ( + ) } = ( + ) = () = () = ( ) x x xi xi X = i= i=. Ιδιότητα της συνέλιξης ή συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου ( ) ( ) Αν x ( ) X ( ) με ακτίνα σύγκλισης R ή περιοχή σύγκλισης P και x X με ακτίνα σύγκλισης R ή περιοχή σύγκλισης P τότε x ( ) x ( ) X ( ) X ( ) (7.6) Η ακτίνα σύγκλισης του X( ) X( ) είναι τουλάχιστον η PI P. Σε μερικές περιπτώσεις μπορεί το γινόμενο να υπάρχει και σε μεγαλύτερη περιοχή, για τους ίδιους λόγους όπως και στην γραμμικότητα. 4. Ιδιότητα της διαμόρφωσης ή ολίσθησης συχνότητας - κλιμάκωση στο πεδίο του Έστω σήμα x ( ) X( ) με ακτίνα σύγκλισης R X και c μιγαδικός αριθμός. Τότε ο μετασχηματισμός του σήματος y ( ) = c x ( ) είναι Πράγματι, c x ( ) Y () = X c με > cr X (7.6) Y () = y () = c x () = x () X c = c = = = 5. Ιδιότητα της παραγώγισης στο πεδίο του Έστω σήμα x ( ) X( ) με ακτίνα σύγκλισης R X

18 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο 7 τότε x dx ( ( ) ) με την ίδια ακτίνα σύγκλισης. (7.6) d Πράγματι, dx() ( + ) X () = x () = x () = x () = x () d = = = Από το Παράδειγμα 7. έχουμε ( ) την ιδιότητα της παραγώγισης στο χώρο του έχουμε au () a, > a ( a ) { } αν εφαρμόσουμε a u d a ( ), a d = > a (7.6) 6. Ιδιότητα της συζυγίας (Συζυγής ακολουθία) Έστω μιγαδικό σήμα x ( ) με μετασχηματισμό X( ), τότε x ( ) X ( ) { ( )} [ ( ) + ( )] Rex X X { ( )} [ X( ) X ( )] Imx j (7.64) 7. Θεώρημα της αρχικής τιμής Έστω σήμα x ( ) για το οποίο x () =, <, με μετασχηματισμό X( ), τότε lim X( ) = x( ) (7.65) Παράδειγμα 7. Να υπολογιστεί το αιτιατό σήμα x ( ) το οποίο έχει μετασχηματισμό X ()= + (7.66) Όπως και στο Παράδειγμα 7. έχουμε X ( ) ( ) = X + = + Το αιτιατό σήμα το οποίο έχει τον παραπάνω μετασχηματισμό είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x = u + u x = u (7.67) δηλαδή η ακολουθία x( ) =, x( ) =, x( ) =, x( ) = 7, x( 4) = 5,... Ένας άλλος τρόπος υπολογισμού είναι ο ακόλουθος. Αν αναλύσσουμε την συνάρτηση

19 Ενότητα 7.7 Ο Μονόπλευρος Μετασχηματισμός ( ) X σε απλά κλάσματα έχουμε X ( ) = + = ( ) ( ) = + Γνωρίζουμε ( ) = ( ) ( ) ( ) (7.68) x a u X = a = a > a. Λόγω της ιδιότητας της ολίσθησης x ( ) = X ( ) έχουμε x { ( ) } = a { u ( ) } = X ( ) = = (7.69) a a Εφαρμόζοντας τώρα αντίστροφο μετασχηματισμό στην (7.68) προσδιορίζουμε το σήμα ( ) x x () =u ( ) + u ( ) = u ( ) u ( ) ( ) ( ) ( ) x η οποία δίνει την ίδια ακολουθία με την (7.67) 7.7 Ο Μονόπλευρος Μετασχηματισμός = u (7.7) Στην παράγραφο αυτή θα εστιάσουμε στα βασικά σημεία του μονόπλευρου μετασχηματισμού και κυρίως σε αυτά που τον διαφοροποιούν από το μετασχηματισμό. Η διαφορά μεταξύ των δύο μετασχηματισμών εντοπίζεται στα όρια του αθροίσματος ορισμού. X() x ( ) X( ) x () = = (7.7) Προφανώς αν δύο διακριτά σήματα είναι διαφορετικά για < και ίσα για τότε έχουν τον ίδιο MM και διαφορετικό M. Για αιτιατά σήματα, x()= για <, ο Μ και ο ΜΜ συμπίπτουν. Σχεδόν όλες οι ιδιότητες του μετασχηματισμού ισχύουν και για το μονόπλευρο. Επειδή το κάτω όριο του αθροίσματος ορισμού του μονόπλευρου μετασχηματισμού είναι το μηδέν ο μονόπλευρος μετασχηματισμός έχει την ιδιότητα της δεξιάς και της αριστερής ολίσθισης οι οποίες αποτελούν τη δύναμη του μονόπλευρου μετασχηματισμού. Οι ιδιότητες αυτές και η ιδιότητα της συνέλιξης παρέχει στο μονόπλευρο μετασχηματισμό τη δυνατότητα επίλυσης εξισώσεων διαφορών, οι οποίες έχουν μη μηδενικές αρχικές συνθήκες. Ιδιότητα της δεξιάς ολίσθησης - Καθυστέρηση Αν x () X () με ακτίνα σύγκλισης R X τότε Για i x ( ) X () + x( i) για κάθε (7.7) = έχουμε { } x ( ) = X() + x( ). Η απόδειξη απορρέει άμεσα από τους ορισμούς. Πράγματι, έχουμε i i { x ( ) } = x ( ) = xi () = xi () + xi () = i= i= i= i= i

20 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο 7 { ( )} i x = X() + x( i) Παρατηρούμε ότι κατά τη δεξιά ολίσθηση νέα δείγματα εισέρχονται στο διάστημα [, ] θα πρέπει να λάβουν και αυτά μέρος στους υπολογισμούς. Τα νέα δείγματα είναι τα x ( ), x( ), K, x( ). i=. Ιδιότητα της αριστερής ολίσθησης - Προήγηση Έστω σήμα x () X () με ακτίνα σύγκλισης R X τότε Για { } i x ( + ) = X() xi () για κάθε (7.7) = έχουμε { } i= x ( + ) = X() x(). Παρατηρούμε ότι κατά την αριστερή ολίσθηση κάποια από τα υπάρχοντα δείγματα βρίσκονται εκτός διαστήματος [, + ] και συνεπώς πρέπει να αφαιρεθούν από το συνολικό άθροισμα. Τα δείγματα αυτά είναι τα x ( ), x( ), K, x ( ). Παράδειγμα 7.4 Να υπολογιστεί ο μονόπλευρος και ο αμφίπλευρος μετασχηματισμός του σήματος x ( ) = a u ( ) (7.74) Επειδή ( ) x =, <, ο μονόπλευρος και ο αμφίπλευρος μετασχηματισμός είναι ίσοι. X( ) =, a = αν > a (7.75) a Παράδειγμα 7.5 Να υπολογιστεί ο μονόπλευρος και ο αμφίπλευρος μετασχηματισμός του σήματος + y ( ) = a u ( + ) (7.76) Στην περίπτωση αυτή ο μονόπλευρος και ο αμφίπλευρος μετασχηματισμός δεν είναι ίσοι. Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός είναι + a Y( ) = y ( ) = a = a = =, > a (7.77) Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός μπορεί να υπόλογιστεί και ως εξής. Γνωρίζουμε ( ) x () = a u () X() = a αριστερής ολίσθησης έχουμε με > a. Με τη βοήθεια της ιδιότητας της

21 Ενότητα 7.7 Ο Μονόπλευρος Μετασχηματισμός a a { x ( + ) } = X () x() = = { y } = a a () a Για τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό έχουμε. Γνωρίζουμε x () = a u () X () = ( a ) με > a. Με τη βοήθεια της ιδιότητας της ολίσθησης έχουμε { x ( + ) } = X() = a { y ()} = a, > a (7.78). Μετασχηματισμός περιοδικών σημάτων Έστω το περιοδικό σήμα x ( ) με περίοδο N δηλαδή x ( + N ) = x( ), τότε ο μονόπλευρος μετασχηματισμός, X(, ) του x ( ) υπάρχει και δίνεται από τη σχέση Πράγματι, N X( ) = N x () = N N ( k+ ) N = = = N = kn με > (7.79) X( ) = x () = x () + x () + L+ x () + L Η αντικατάσταση l = kn δίνει Άρα, ( k+ ) N N N ( l+ kn) kn = kn l= l= x () = xl ( + kn) = xl () N N N N X( ) [ ] x () ( ) k N N = L = x () = N x () = k= = l = Παράδειγμα 7.6 Να υπολογιστεί ο μονόπλευρος μετασχηματισμός του περιοδικού τετραγωνικού κύματος με περίοδο N, kn < kn + N k =,,, K x ( ) =, kn + N < ( k+ ) N N < N (7.8) Ο μετασχηματισμός δίνεται από την εξίσωση X( ) N N = N = N = (7.8)

22 4 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο Εφαρμογές του ΜετασχηματισμοΥ Στην ενότητα αυτή θα αναπτύξουμε τις εφαρμογές των μετασχηματισμών. Ειδικότερα θα συστηματοποιήσουμε τη δυνατότητα που παρέχει ο μονόπλευρος μετασχηματισμός για την επίλυση εξισώσεων διαφορών οι οποίες έχουν μη μηδενικές αρχικές συνθήκες και θα εφαρμόσουμε τη διαδικασία αυτή στη μελέτη ΓΧΑ συστημάτων διακριτού χρόνου. Τελειώνοντας, θα εξετάσουμε τη σχέση που υπάρχει μεταξύ της θέσης των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς στο μιγαδικό επίπεδο με τις ιδιότητες της αιτιότητας και της ευστάθειας ενός ΓΧΑ συστήματος διακριτού χρόνου. Μια από τις πιο σημαντικές ιδιότητες του μετασχηματισμού είνα αυτή της συνέλιξης. Στο παράδειγμα που ακολουθεί προσδιορίζεται, χωρίς να καταφύγουμε στο άθροισμα της συνέλιξης, η ακολουθία εξόδου ενός ΓΧΑ συστήματος διακριτού χρόνου, αν η κρουστική απόκριση και η είσοδός του είναι ακολουθίες πεπερασμένης έκτασης. Παράδειγμα 7.7 Να προσδιοριστεί η ακολουθία εξόδου ενός ΓΧΑ διακριτού συστήματος, το οποίο έχει κρουστική απόκριση h= ( ) { },, αν διεγείρεται από την ακολουθία x= ( ) { 45 },,,. Οι μετασχηματισμοί της κρουστικής απόκρισης και της εισόδου είναι H( ) = + + και X ( ) = (7.8) Η έξοδος του συστήματος προσδιορίζεται από το άθροισμα της συνέλιξης y ( ) = h ( ) x ( ) και λόγω της ιδιότητας της συνέλιξης έχουμε Y( ) = H( ) X ( ), έτσι έχουμε Y( ) = Με αντίστροφο μετασχηματισμό βρίσκουμε την ακολουθία εξόδου. (7.8) y= ( ) {,,, 4, 9, 6 } (7.84) 7.8. Συστήματα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραμμικές εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές Για τα συστήματα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραμμικές εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές, ο μετασχηματισμός αποτελεί ισχυρό εργαλείο για τον προσδιορισμό της συνάρτησης μεταφοράς συστήματος ή της απόκρισης συχνότητας ή της κρουστικής απόκρισης συστήματος. Γενικά όπως γνωρίζουμε οι πράξεις οι οποίες πρέπει να γίνουν, στο πεδίο του χρόνου, από ένα ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου στα δεδομένα εισόδου, ώστε να προκύψει η ακολουθία εξόδου, περιγράφονται από μια γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές. Με άλλα λόγια, γνωρίζουμε ότι η είσοδος και η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήματος διακριτού ικανοποιούν μια γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές της μορφής

23 Ενότητα 7.8 Εφαρμογές του ΜετασχηματισμοΥ 5 N M k k= k= a y ( k) = bx ( k) k με a = (7.85) Εφαρμόζουμε μετασχηματισμό και στα δύο μέλη της εξίσωσης. Λόγω της ιδιότητας της γραμμικότητας και λόγω της ιδιότητας της χρονικής μετατόπισης που έχει ο μετασχηματισμός έχουμε την εξίσωση, θεωρώντας τις αρχικές συνθήκες μηδενικές N M k= k k= k k k a Y () = b X() (7.86) από την οποία βρίσκουμε την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος Y () H () = H () = X () M k= N k= b k a k k k (7.87) Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός ΓΧΑ συστήματος είναι ρητή συνάρτηση και η ευστάθεια και η αιτιατότητα προσδιορίζουν την περιοχή σύγκλισης. Παράδειγμα 7.8 Έστω το σύστημα του οποίου η είσοδος και η έξοδος ικανοποιούν τη γραμμική εξίσωση διαφορών y ( ) y ( ) = x ( ) + x ( ) (7.88) Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος. Εφαρμόζουμε μετασχηματισμό και στα δύο μέλη της εξίσωσης και λόγω της ιδιότητας της γραμμικότητας και της ιδιότητας μετατόπισης που έχει ο μετασχηματισμός διακριτού χρόνου, έχουμε την εξίσωση και επειδή Y () Y () = X() + X() Y () X() = + Y () H () = έχουμε H ()= + X() (7.89) Υπολογίσαμε την αλγεβρική έκφραση της H () και έχουμε δύο πιθανές περιοχές σύγκλισης, η μια είναι η > και η άλλη η <. Η ευστάθεια και η αιτιατότητα του συστήματος όπως θα δούμε στην επόμενη ενοτητα, προσδιορίζουν την ακριβή περιοχή σύγκλισης Μελέτη γραμμικού χρονικά αναλλοίωτου συστήματος με τη βοήθεια μετασχηματισμού Γνωρίζουμε Y () = H( ) X ( ) (7.9)

24 6 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο 7 όπου H () είναι ο μετασχηματισμός της κρουστικής απόκρισης και καλείται συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος. Αναπτύσσοντας τη συνάρτηση μεταφοράς σε απλά κλάσματα και υποθέτοντας ότι έχουμε απλούς πόλους λ, λ, L, λ Ν αποκτά τη μορφή H ( ) C C CN = + + L + (7.9) λ λ λ Από την οποία βρίσκουμε την κρουστική απόκριση του συστήματος ( ) = [ λ + λ + + NλN] h C C L C u ( ) (7.9) Αν έχουμε πραγματικό πόλο λ, τότε η κρουστική απόκριση έχει τις ακόλουθες ιδιότητες α) < λ lim( ) λ = β) λ= λ = για όλες τις τιμές του γ) < λ lim( λ ) δ) < λ < lim( λ ) = N = και το λ εναλλάσει πρόσημο ε) λ= αν, = k λ =, αν = k+ στ) λ< lim λ = και το λ εναλλάσει πρόσημο Αν το πολυώνυμο του παρονομαστή έχει δύο μιγαδικές συζυγείς ρίζες λ και λ κρουστική απόκριση του συστήματος είναι ( ) = λ + ( λ ) h C C η υποθέτοντας C = Ce jθ φ και λ = λ e j έχουμε ( ) j ( φ+ θ) j ( φ+ θ = λ + λ ) ( ) = λ cos ( φ+ θ) h C e C e h C Ο όρος cos( φ θ) + είναι φραγμένος από το ±. Η σύγκλιση ή μη της κρουστικής απόκρισης του συστήματος θα προσδιορίζεται από τον όρο λ. Αν λ < η κρουστική απόκριση αποτελεί φθίνουσα σειρά και το σύστημα είναι ευσταθές. Αντίθετα αν λ > η κρουστική απόκριση αποτελεί αύξουσα σειρά και το σύστημα είναι ασταθές. Παρατηρούμε ότι ο μοναδιαίος κύκλος στο επίπεδο προσδιορίζει την ευστάθεια του συστήματος βλέπε Σχήμα 7.. Από την περιοχή σύγκλισης και τη θέση των πόλων και των μηδενικών μπορούμε να εξάγουμε συμπεράσματα για την ευστάθεια και την αιτιατότητα του συστήματος, πράγματι Ένα ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου είναι αιτιατό αν h= ( ) για <. Στην περίπτωση αυτή η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού της κρουστικής απόκρισης, H( ) είναι το εξωτερικό ενός κύκλου με ακτίνα τον πλέον απομακρυσμένο πόλο αυτής. Άρα για να είναι ένα διακριτό σύστημα αιτιατό πρέπει η περιοχή σύγκλισης του ( ) H να βρίσκεται

25 Ενότητα 7.8 Εφαρμογές του ΜετασχηματισμοΥ 7 έξω από τον πλέον απομακρυσμένο πόλο. Im{ } Re{ } Σχήμα 7. Η συμπεριφορά διακριτού συστήματος από τη θέση των πόλων του στο μιγαδικό επίπεδο. Ένα ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου είναι ευσταθές αν για φραγμένη είσοδο, x ( ) < M, και η έξοδος είναι φραγμένη. Πράγματι y( ) = hk ( ) x ( k) M hk ( ) < hk ( ) < k= k= k= Παρατηρούμε ότι αν το σύστημα είναι ευσταθές η κρουστική απόκριση είναι απολύτως φραγμένη και έτσι υπάρχει ο μετασχηματισμός Fourier της. Άρα για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει η περιοχή σύγκλισης του H () να περιέχει το μοναδιαίο κύκλο, ούτως ώστε να συγκλίνει ο μετασχηματισμός Fourier του h ( ). Για να είναι ευσταθές και αιτιατό πρέπει να ισχύουν και οι δύο συνθήκες ή όλοι οι πόλοι πρέπει να βρίσκονται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου. Παράδειγμα 7.9 Θεωρούμε το σύστημα διακριτού χρόνου, με είσοδο x ( ) και έξοδο ( ) περιγράφεται από την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) y, το οποίο y 7y + y = x (7.9) Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήματος για να είναι το σύστημα α) αιτιατό και β) ευσταθές. Μπορεί να είναι το σύστημα συχρόνως αιτιατό και ευσταθές;

26 8 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο 7 Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό και στα δύο μέλη της εξίσωσης έχουμε 7 { ( ) ( ) ( )} ( ) y y + y = x Y 7 + X = και η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι ( ) H { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Y = = = X + + = 7 7 Αναπτύσσοντας την H ( ) σε απλά κλάσματα έχουμε ( ) H C C 5 5 = + = + (α) Για να είναι το σύστημα αιτιατό πρέπει η περιοχή σύγκλισης να είναι >. Γνωρίζουμε x ( ) = a u ( ) X ( ) ιδιότητας της ολίσθησης έχουμε (7.94) = = αν > a και λόγω της a a x ( ) = a u ( ) X ( ) = a Έτσι η κρουστική απόκριση του αιτιατού συστήματος είναι h ( ) = u ( ) + ( ) u ( ) 5 5 (7.95) (β) Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει η περιοχή σύγκλισης να περιέχει το μοναδιαίο κύκλο δηλαδή να είναι < <. Γνωρίζουμε x ( ) =a u( ) X( ) = a αν < a και λόγω της ιδιότητας της ολίσθησης έχουμε x ( ) =a u( ) X ( ) = a Έτσι η κρουστική απόκριση του ευσταθούς συστήματος είναι h ( ) = u ( ) ( ) u( ) 5 5 (7.96) Παρατηρήσεις Η παραπάνω εξίσωση διαφορών δεν μπορεί να περιγράφει σύστημα που να είναι συγχρόνως ευσταθές και αιτιατό. Για την περίπτωση αιτιατού συστήματος lim h ( ) = +. Οι ιδιότητες της δεξιάς και της αριστερής ολίσθησης σε συνδυασμό με την ιδιότητα της συνέλιξης δίνουν αξία στο μονόπλευρο μετασχηματισμό γιατί, μας επιτρέπουν να λύνουμε διαφορικές εξισώσεις με αρχικές συνθήκες, και να υπολογίζουμε την έξοδο ΓΧΑ συστημάτων, τα οποία δεν βρίσκονται αρχικά σε ηρεμία, αν γνωρίζουμε την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος H( ) και το μετασχηματισμό του σήματος εισόδου X ( ).

27 Ενότητα 7.8 Εφαρμογές του ΜετασχηματισμοΥ 9 Εφαρμόζουμε τα παραπάνω στο παράδειγμα που ακολουθεί. Παράδειγμα 7. Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου του οποίου η είσοδος και η έξοδος συνδέονται από την εξίσωση διαφορών y ( ) + y ( ) = x ( ) (7.97) Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος αν το σήμα εισόδου είναι x () = u ( ) με αρχική συνθήκη y ( ) =. Εφαρμόζουμε μονόπλευρο μετασχηματισμό και στα δύο μέρη της (7.97) και έχουμε Λύνοντας την (7.98) ως προς Y () έχουμε Αναλύωντας σε απλά κλάσματα έχουμε Y( ) + + Y( ) = (7.98) Y ( ) = (7.99) ( ) Y ( )( ) 94 4 = + + (7.) Η έξοδος του συστήματος υπολογίζεται από την (7.) με αντίστροφο μονόπλευρο μετασχηματισμό 9 y ( ) = ( ) u ( ) (7.) 4 4 Σύνοψη Κεφαλαίου Στο Κεφάλαιο αυτό ορίσαμε το μετασχηματισμό και το μονόπλευρο μετασχηματισμό, παρουσιάστηκαν οι ιδιότητές τους και υπολογίσαμε τους μετασχηματισμούς ορισμένων βασικών σημάτων διακριτού χρόνου, τα οποία συναντάμε στη μελέτη γραμμικών συστημάτων. Στη συνέχεια προσδιορίσαμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό. Είδαμε ότι αν η μορφή του μετασχηματισμού είναι απλή τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό με τη βοήθεια του Πίνακα 7.. Αν ο μετασχηματισμός δεν έχει απλή μορφή αλλά είναι ρητή συνάρτηση, τότε αναλύουμε τη συνάρτηση σε απλά κλάσματα και με τη βοήθεια των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού και του Πινάκα 7. υπολογίζουμε εύκολα το σήμα χωρίς να καταφύγουμε στην εξίσωση αντιστροφής. Επίσης στο Κεφάλαιο αυτό αναπτύξαμε τις εφαρμογές του μετασχηματισμού. Ειδικότερα εξετάσαμε τη δυνατότητα που έχει ο μονόπλευρος μετασχηματισμός να επιλύει γραμμικές εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές οι οποίες δεν έχουν μηδενικές αρχικές συνθήκες. Η δυνατότητα αυτή οφείλεται στις ιδιότητες του μονόπλευρου μετασχηματισμού που αναφέρονται στη δεξιά και αριστερή ολίσθηση. Στη συνέχεια παρουσιάστηκαν οι εφαρμογές των μετασχηματισμών σε ότι αφορά τη μελέτη ΓΧΑ

28 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο 7 συστημάτων διακριτού χρόνου. Προσδιορίσαμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος από την εξίσωση διαφορών που σχετίζει την έξοδο και την είσοδο του συστήματος, υποθέτοντας ότι οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές. Επίσης με τη βοήθεια της εξίσωσης διαφορών, προσδιορίσαμε το μονόπλευρο μετασχηματισμό της εξόδου του συστήματος, το οποίο μπορεί να μη βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας και αντιστρέφοντας τον το μονόπλευρο μετασχηματισμό προσδιορίσαμε την έξοδο του συστήματος. Τέλος παρουσιάστηκαν τα συμπεράσματα που εξάγουμε από την περιοχή σύγκλισης και τη θέση των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο και τα οποία αφορούν την ευστάθεια και την αιτιότητα του συστήματος διακριτού συστήματος καθώς και τη συμπεριφορά της κρουστικής απόκρισης του συστήματος.

29 Ενότητα 7.9 Ασκήσεις 7.9 Ασκήσεις 7. Να ανάπτυχθεί σε δυναμοσειρά ο μετασχηματισμός X ( ) = ( ) (, ) (7.) και στη συνέχεια να προσδιοριστεί η ακολουθία ( ) x, η οποία έχει μετασχηματισμό τη ( ) X. 7. Δίνεται το ΓΧΑ σύστημα το οποίο χαρακτηρίζεται από την εξίσωση διαφορών y ( ) = x ( ) + x ( ) (7.) Να προσδιοριστεί ο συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος H ( ). Με τη βοήθεια της H ( ) να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας του συστήματος H ( Ω ). Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις του μέτρου ( ) H Ω και της φάσης ( ) arg H Ω σε συνάρτηση με την Ω. 7. Δίνεται το ευσταθές και αιτιατό σύστημα, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών y ( ) + y ( ) = x ( ) (7.4) α) Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας του συστήματος β) Να υπολογιστεί η απόκριση του συστήματος αν το σήμα εισόδου είναι xt ( ) = δ( ) δ( ) (7.5) 7.4 Αιτιατό διακριτό σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς H ( ) = + 9, + 8, (7.6) α) Να σχεδιαστεί το πεδίο σύγκλισης οι πόλοι και τα μηδενικά του συστήματος. β) Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας του συστήματος. γ) Να προσδιοριστεί η εξίσωση διαφορών, με σταθερούς συντελεστές, η οποία χαρακτηρίζει το σύστημα. 7.5 Δίνεται διακριτό σύστημα το οποίο έχει συνάρτηση μεταφοράς H ( ) = 8, > 9, (7.7) α) Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήματος. β) Να προσδιοριστεί η έξοδος του συστήματος αν η είσοδός του είναι η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος.

30 Μετασχηματισμός Κεφάλαιο Δίνεται ΓΧΑ σύστημα το οποίο έχει κρουστική απόκριση h ( ) = u ( ) Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος αν η είσοδός του είναι το σήμα x ( ) = u ( ) (7.8) (7.9)

31 Ενότητα 7.9 Ασκήσεις