ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Transcript

1 ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο οι άγνωστες μεταβλητές προσεγγίζονται με έναν γραμμικό συνδυασμό αλγεβρικών πολυωνύμων και αγνώστων παραμέτρων. Με βάση τις διέπουσες εξισώσεις εξάγονται αλγεβρικές εξισώσεις μεταξύ των αγνώστων παραμέτρων για κάθε στοιχείο, συνήθως σε σταθμισμένη ολοκληρωτική μορφή (wgtd tgrl form). 3. Οι αλγεβρικές εξισώσεις από όλα τα στοιχεία συνδυάζονται και προκύπτει το τελικό σύστημα εξισώσεων που πρέπει να επιλυθεί. Βασικά πλεονεκτήματα μεθόδου: Μπορεί να χειριστεί εύκολα πολύπλοκα γεωμετρικά πεδία επίλυσης, μεγάλο εύρος οριακών συνθηκών κ.α.

2 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Έστω η Δ.Ε. : d du cu f d d () Με και (),(),() c c f f γνωστές ποσότητες, u u() η άγνωστη μεταβλητή 0 L Το φυσικό πεδίο επίλυσης χωρίζεται σε Ν διαστήματα τα οποία ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία Τα διακριτά σημεία που προκύπτουν ονομάζονται κόμβοι του πλέγματος Έστω ένα στοιχείο () του πεδίου επίλυσης: Αναζητούμε σε κάθε στοιχείο μια προσεγγιστική λύση της εξίσωσης () της μορφής : () ()()()()...()() u u c c c c () () συναρτήσεις που πρέπει να επιλεγούν c () Σταθερές που υπολογίζονται ώστε να ισχύει η Δ.Ε. () και οι οριακές συνθήκες στα άκρα του στοιχείου

3 Αντικαθιστώντας την εξίσωση () στην Δ.Ε. () προκύπτει: d du cu f R (, c, c,...) c 0 (3) d d Πρέπει να προσδιοριστούν τα κάθε στοιχείο. c,... ώστε το υπόλοιπο της (3) να τείνει στο μηδέν σε Ένας τρόπος για να το πετύχουμε αυτό είναι να απαιτήσουμε τον μηδενισμό του σταθμισμένου ολοκληρώματος (wgtd tgrl): w ()( R,, c,...) c c0d (4) w () συναρτήσεις βάρους που πρέπει να επιλεγούν Η εξίσωση (4) ισχύει σε κάθε στοιχείο και παρέχει ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων με αγνώστους τις παραμέτρους c,... Υπάρχουν διάφορες επιλογές για τις συναρτήσεις τους με τις συναρτήσεις. w w. Η πιο συνηθισμένη είναι η ταύτιση Glrk Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων

4 Εξαγωγή ασθενούς μορφής Για να μειώσουμε την τάξη της παραγώγισης που απαιτείται για την μεταβλητή σε ένα στοιχείο θα πρέπει να μεταφέρουμε την παραγώγιση από την u στην w () Ο ΒΗΜΑ Γράφουμε την Δ.Ε. στην ολοκληρωτική μορφή της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων: d du cu f d 0 d d Ο ΒΗΜΑ Ολοκληρώνουμε κατά μέρη για να μειώσουμε την παράγωγο της άγνωστης μεταβλητής: u dw du du cw u w f d w 0 d d d 3 Ο ΒΗΜΑ Υπολογίζουμε τον συνοριακό όρο στα άκρα του στοιχείου: du du du w w ()()()() w w Q w Q d d d B A οι όροι αυτοί τελικά επιβιώνουν μόνο στα άκρα του πεδίου

5 Η ποσότητα du d ονομάζεται δευτερεύουσα μεταβλητή. Όταν γνωρίζουμε την παράγωγο σε κάποιο άκρο τότε έχουμε turl (ή Nwm) οριακές συνθήκες. Όταν γνωρίζουμε την τιμή της μεταβλητής σε σε κάποιο άκρο τότε έχουμε sstl (ή Drclt) οριακές συνθήκες. Τελικά η διακριτοποιημένη εξίσωση σε κάθε στοιχείο έχει τη μορφή: dw du cw u w f d w ()() QB 0w QA d d Η τελευταία εξίσωση μπορεί να γραφεί με την παρακάτω μορφή: B w,() u l w (5) Ασθενής μορφή Όπου το περιέχει τους διγραμμικούς όρους (τις συναρτήσεις και τις μεταβλητές) : dw du Bw, u cw u d Τοπικός πίνακας εξισώσεων d d πεπερασμένων στοιχείων Και το τους γραμμικούς όρους (μόνο τις συναρτήσεις ): l()()() w w f d w Q w Q B A Τοπικό διάνυσμα του δεξιού μέλους των εξισώσεων πεπερασμένων στοιχείων

6 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΒΑΣΗΣ Οι συναρτήσεις βάσης που θα επιλεγούν θα πρέπει να επιτρέπουν την παραγώγιση της μεταβλητής που απαιτείται από την ασθενή μορφή των FEM και θα πρέπει να ικανοποιούν τις συνθήκες για την άγνωστη μεταβλητή στα άκρα του στοιχείου: d du c u f d ()() QB 0 QA d d () ()()() u c Η παραπάνω εξίσωση περιέχει η παράγωγο για την άγνωστη μεταβλητή. Επομένως, για την προσέγγιση της μπορεί να επιλεγεί οποιαδήποτε συνάρτηση που είναι τουλάχιστον φορά παραγωγίσιμη. Η πιο απλή περίπτωση τέτοιας συνάρτησης είναι ένα γραμμικό μοντέλο: u ()() c c () Θα πρέπει να ικανοποιούνται οι οριακές τιμές της u στα άκρα του στοιχείου: u () u u c c () u () u u c c () c () u/() u c () u/() u

7 Με αντικατάσταση στην εξίσωση () προκύπτει: u u u u u () () () Γραμμικές συναρτήσεις Lgrg Αναπαράσταση των γραμμικών συναρτήσεων σε ένα στοιχείο Προσέγγιση της λύσης σε ένα στοιχείο

8 Θεωρούμε ότι: Τετραγωνικές συναρτήσεις βάσης LAGRANGE u ()() c c c () 3 Για τον υπολογισμό των c, c, c3 απαιτείται μια ακόμα εξίσωση εκτός των δυο που έχουμε στα άκρα του στοιχείου. Επιλέγουμε έναν κόμβο στο μέσο του στοιχείου.,, 3 Ισχύει: u c c c 3 u c c c 3 u c c c Τετραγωνικές συναρτήσεις Lgrg

9 Συναρτήσεις βάσης LAGRANGE ανώτερης τάξης Με την ίδια διαδικασία προκύπτουν και τα πολυώνυμα ανώτερης τάξης. Για ης τάξης πολυώνυμα σημεία ανά στοιχείο Για ης τάξης πολυώνυμα 3 σημεία ανά στοιχείο Για 3 ης τάξης πολυώνυμα 4 σημεία ανά στοιχείο. Για (-) τάξης πολυώνυμα σημεία ανά στοιχείο Δηλαδή για πολυώνυμο (-) τάξης έχουμε: () ()()()()...() (), u u u u u u Και οι συναρτήσεις βάσης δίνονται από την σχέση: Παράδειγμα Για =4: , ,

10 IΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ LAGRANGE. Οι συναρτήσεις αυτές ορίζονται μόνο μέσα σε κάθε στοιχείο : 0,. Ισχύει: () 0,, 3. Το άθροισμα τους για συγκεκριμένο σημείο ισούται με τη μονάδα: () ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Η προσεγγιστική λύση των πεπερασμένων στοιχείων πρέπει να ικανοποιεί κάποια κριτήρια ώστε να συγκλίνει στην ακριβή λύση καθώς γίνεται πύκνωση του πλέγματος ή καθώς αυξάνει ο βαθμός της συνάρτησης βάσης.. Πρέπει να είναι συνεχής και παραγωγίσιμη όσο απαιτεί η ασθενής μορφή της εξίσωσης.. Πρέπει να είναι ένα πλήρες πολυώνυμο ώστε να μπορούν να αποτυπωθούν όλες οι δυνατές καταστάσεις της λύσης. 3. Πρέπει να ικανοποιείται η συνέχεια της λύσης στα άκρα κάθε στοιχείου.

11 ΤΟΠΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ Συνήθως, όταν επιλύουμε ένα πρόβλημα με Πεπερασμένα Στοιχεία δεν χρησιμοποιούμε το glol σύστημα συντεταγμένων του φυσικού πεδίου επίλυσης αλλά ένα τοπικό σύστημα συντεταγμένων για κάθε στοιχείο. Το τοπικό Σ.Σ. έχει την αρχή στο κέντρο του στοιχείου, την τιμή - στο αριστερό άκρο και την τιμή στο δεξί άκρο. Μετασχηματισμός: () () Για να βρούμε την μορφή των συναρτήσεων βάσης στο νέο τοπικό σύστημα συντεταγμένων αρκεί να αντικαταστήσουμε την τελευταία εξίσωση στην μορφή των συναρτήσεων που έχουν εξαχθεί με βάση το glol Σ.Σ. Γραμμικές συναρτήσεις βάσης: (),()

12 Γενικά, αν ένα στοιχείο έχει κόμβους τότε οι συναρτήσεις θα είναι (-) βαθμού. Για κάθε συνάρτηση γράφουμε το γινόμενο (-) γραμμικών συναρτήσεων όπου,,...,,... c ()()...()()...() Από τις ιδιότητες των συγκεκριμένων συναρτήσεων γνωρίζουμε ότι: () 0,, Επομένως ισχύει: ()()...()()...() c () ()()...()()...() ()()...()()...()

13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Γραμμικές συναρτήσεις βάσης: (=) () ()() () () ()() () ( ) () () Τετραγωνικές συναρτήσεις βάσης: (=3) ()() ( 0)( ) ()() ()() ( ) 3 3 ()() ( )( ) ()() ()() ( ) 3 3 ()() ( )( 0) ()() 3 3 ()()( 3 )( 3 0) () () () 3