Διακριτά Μαθηματικά Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii -- Άλγεβρες Boole -- Το παράδοξο του Russell -- Το Πρόβλημα του Τερματισμού EPP, Κεφάλαιο 5 ROSEN, Κεφάλαια 2 &12 5 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Ανασκευές Προτεινόμενων Σχέσεων Συνόλων Γνωρίζουμε πώς να ΑΠΟ ΕΙΚΝΥΟΥΜΕ κάποια ιδιότητα (σχέση) συνόλων, π.χ. ότι (Α Β) C (Α C) (Β C). ΠΩΣ αποδεικνύουμε το ΨΕΥ ΟΣ μιας υποτιθέμενης ιδιότητας συνόλων??? ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Για οποιαδήποτε συνολα A,B,C, αληθεύει ότι (Α Β) (Β C) Α C? ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΟΧΙ!!! Γιατί? Aντιπαράδειγμα: Για Α = {a,b,c}, B = {b}, C={c}, ισχύει ότι: (Α Β) (Β C) = {a, c} { b } = {a, b, c} Α C = {a, b} Α (Β C) B (A C) Με διαγράμματα Venn: Έστω αυθαίρετα σύνολα Α, Β, C. 2 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Α (Β C)

4 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Αλγεβρικές Αποδείξεις Ταυτοτήτων Συνόλων (Ι) Ω: Ένα αυθαίρετο σύνολο (συλλογή αντικειμένων). Ρ(Ω): Το δυναμοσύνολο του Ω. Οποιαδήποτε ταυτότητα ως προς τα στοιχεία του Ρ(Ω) που περιλαμβάνει μόνο ενώσεις, τομές και συμπληρώματα, μπορεί να αποδειχθεί από τις ακόλουθες 5 βασικές ταυτότητες συνόλων: 1. (α) Α Β Β Α (β) Α Β Β Α 2. (α) (Α Β) Γ Α (Β Γ) (β) (Α Β) Γ Α (Β Γ) 3. (α)(α Β) Γ Γ (Α Γ) (Β Γ) (Β (β) (Α Β) Γ Γ (Α Γ) (Β Γ) (Β 4. (α) Α Α (β) Ω Α Α 5. (α) Α Α c Ω (β) Α Α c Μαζί με την ταυτότητα για τις διαφορές συνόλων: 12. Α Β Α Β c μπορούμε να δείξουμε κάθε ταυτότητα (που ισχύει και) περιλαμβάνει ενώσεις, τομές, συμπληρώματα και διαφορές. 3 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Αλγεβρικές Αποδείξεις Ταυτοτήτων Συνόλων (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: Νδο (α) (Α Β) Γ (Α Γ) (Β Γ), και (β) Α Β Α (Α Β ). ΑΠΑΝΤΗΣΗ ( Α Β ) Γ ( Α Β ) Γ c Ταυτότητα ιαφοράς Συνόλων Γ c ( Α Β ) Αντιμεταθετικότητα Τομής (Γ c Α ) (Γ c Β ) (Α Γ c ) (Β Γ c ) ( Α Γ ) (Β Γ ) Επιμεριστικότητα Τομής ως προς Ένωση Αντιμεταθετικότητα Τομής Ταυτότητα ιαφοράς Συνόλων Α ( Α Β ) Α (Α Β) c Ταυτότητα ιαφοράς Συνόλων Α (Α c Β c ) De Morgan, αποδεικνύεται με τις ταυτότητες... (Α Α c ) (Α Β c ) (Α Β c ) (Α Β c ) Α Β c Α Β Επιμεριστικότητα Τομής ως προς Ένωση Κανόνας Συμπληρώματος Αντιμεταθετικότητα Ένωσης Ουδ. στοιχείο Ένωσης & ιαφορά Συνόλων

Άλγεβρες Boole ΟΡΙΣΜΟΣ B+R.1: Άλγεβρα Boole Έστω σύνολο Β και με δυο διμελείς πράξεις +, στο Β,, τέτοιες ώστε να ισχύει γι αυτές η κλειστότητα ως προς το Β: α,β Β, α β Β ΚΑΙ α + β Β Το ( Β, +, ) ονομάζεται άλγεβρα Boole ΑΝΝ ισχύουν τα εξής: 1. ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΟΤΗΤΕΣ: α,β Β, α β β α ΚΑΙ α + β β + α 2. ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ: α,β,γ Β, (α β) γ α (β γ) ΚΑΙ (α + β) + γ α + (β + γ) 3. ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ: α,β,γ Β, α (β+γ) (α β) + (α γ) ΚΑΙ α + (β γ) (α+β) (α+γ) 4. ΟΥ ΕΤΕΡΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ: (διακεκρ. στοιχεία) 0,1 Β τ.ώ. β Β, 0 + β β ΚΑΙ 1 β β 5. ΚΑΝΟΝΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΟΣ: β Β, ~β Β τ.ώ. β + ~β 1 ΚΑΙ β ~β 0 5 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα (?) αλγέβρων Boole (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ B+R.1: Νδο για το σύνολο τύπων Τ(Γ) μιας γλώσσας Γτης Προτασιακής Λογικής με πεπερασμένο πλήθος μεταβλητών, το ( Τ,, ) είναι άλγεβρα Boole. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Για κάθε ζεύγος τύπων φ, χ, ψ Τ, ισχύουν οι αντιμεταθετικότητες, οι προσεταιριστικότητες, και οι επιμεριστικότητες μεταξύ των τελεστών,. Ουδέτερα στοιχεία: Έστω τ, α Τ μια ταυτολογία και αντίφαση. φ Τ, φ α φ ΚΑΙ φ τ φ Συμπλήρωμα: φ Τ, ~φ φ = φ Τ τ.ώ. φ φ τ ΚΑΙ φ φ α 6 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

8 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Παραδείγματα (?) αλγέβρων Boole (ΙΙ) ΑΣΚΗΣΗ B+R.1: Νδο για οποιοδήποτε μη κενό σύνολο Ω, το ( Ρ(Ω),, ) είναι άλγεβρα Boole. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ B+R.2: Να εξηγήσετε για ποιο λόγο οι ακόλουθες περιπτώσεις δεν είναι άλγεβρες Boole. 1. ( N, +, ), όπου N είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών, +, οι συνήθεις διμελείς πράξεις πρόσθεσης και πολ/σμού φυσικών. 2. ( Β,, ), όπου Β ={{α} {α}, {β}, {α,β} }. 7 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Ιδιότητες Άλγεβρας Boole ΠΡΟΤΑΣΗ B+R.1: Έστω (Β, +, ) μια άλγεβρα Boole. Ισχύουν τα εξής: 1. ΜΟΝΑ ΙΚΟΤΗΤΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΟΣ: α,β Β, ΑΝ α+β = 1 ΚΑΙ α β = 0 ΤΟΤΕ α = ~β. 2. ΜΟΝΑ ΙΚΟΤΗΤΑ ΟΥ ΕΤΕΡΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: β Β, ΑΝ α Β, Β α + β = α ΤΟΤΕ β = 0 ΑΝ α Β, α β = α ΤΟΤΕ β = 1 3. ΙΠΛΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ: β Β, ~(~β) = β 4. ΑΥΤΟ ΥΝΑΜΙΑ: β Β, β + β = β ΚΑΙ β β = β 5. ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΦΡΑΓΜΑ: β Β, 1 + β = 1 ΚΑΙ 0 β = 0 6. DE MORGAN: α,β Β, ~(α+β) = ~α ~β ΚΑΙ ~(α β) = ~α + ~β 7. ΑΠΟΡΡΟΦΗΤΙΚΟΤΗΤΑ: α,β Β, (α + β) α = α ΚΑΙ (α β) + α = α 8. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΟΥ. ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: ~0 0 = 1 ΚΑΙ ~1 1 = 0

10 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Απόδειξη ιδιοτήτων άλγεβρας Boole (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ B+R.3: Να δείξετε για μια άλγεβρα Boole (Β, +, ) τη μοναδικότητα του συμπληρώματος. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Έστω τυχόντα α,β Β τ.ώ. α+β = 1 ΚΑΙ α β = 0. Θδο: β = ~α: β = β 1 // ουδέτερο στοιχείο ως προς = β (α + ~α) // ορισμός συμπλήρωματος = (β α) + (β ~α) // επιμεριστικότητα ως προς + = (α β) + (β ~α) // αντιμεταθετικότητα = 0 + (β ~α) // υπόθεση = (α ~α) + (β ~α) // ορισμός συμπληρώματος = (α + β) ~α // επιμεριστικότητα ως προς + = 1 ~α // υπόθεση 9 = ~α // ουδέτερο στοιχείο ως προς Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) υϊκότητα ταυτοτήτων αλγεβρών Boole ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Τις περισσότερες φορές οι ιδιότητες μιας άλγεβρας Boole εμφανίζονται κατά ζεύγη, εναλλάσσοντας τους ρόλους του + με το και του 0 με το 1. Τέτοιου είδους εναλλαγές γςδημιουργούν υϊκές Ταυτότητες. Μπορεί να αποδειχθεί ότι: Για μια οποιαδήποτε άλγεβρα Boole, ΑΝ γνωρίζουμε την ισχύ μιας ταυτότητας ΤΟΤΕ αληθεύει επίσης και η δυϊκή της ταυτότητα. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Σε μια Άλγεβρα Boole, αρκεί νδο ισχύει η επιμεριστικότητα της «πρόσθεσης» ως προς τον «πολ/σμό». Η επιμεριστικότητα του «πολ/σμού» ως προς την «πρόσθεση» προκύπτει τότε λόγω της δυϊκής τους σχέσης των δυο ταυτοτήτων. Το ίδιο ισχύει και για τους κανόνες της αυτοδυναμίας, του καθολικού φράγματος, De Morgan και απορρόφησης.

Απόδειξη ιδιοτήτων άλγεβρας Boole (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ B+R.4: Να δείξετε για μια άλγεβρα Boole (Β,+, ) τη μοναδικότητα των ουδέτερων στοιχείων 0,1. ΑΠΑΝΤΗΣΗ ίνουμε την απόδειξη για 0. Έστω αυθαίρετο β Β τ.ώ. α Β, α + β = α. Θδο: β = 0. Για τυχόν α Β, ισχύει ότι α + β =α ΚΑΙ ~α + β = ~α. Τότε: 0 = α ~α // ορισμός συμπληρώματος = (α + β) (~α + β) // υπόθεση = (α ~α) + β // επιμεριστικότητα + ως προς = 0 + β // ορισμός συμπληρώματος = β // ουδέτερο στοιχείο ως προς + 11 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Απόδειξη ιδιοτήτων άλγεβρας Boole (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ B+R.5: Να δείξετε για μια άλγεβρα Boole (Β, +, ) την ιδιότητα του διπλού συμπληρώματος. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εφαρμόζουμε μοναδικότητα του συμπληρώματος για το στοιχείο σοχεο~β : α Β,, ΑΝ α + ~β = 1 ΚΑΙ α ~β = 0 ΤΟΤΕ α = ~(~β). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ B+R.6: Να δείξετε μια άλγεβρα Boole (Β, +, ) την ιδιότητα της αυτοδυναμίας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Θδο β Β, β + β = β. Ανάλογη η απόδειξη και για την άλλη πράξη (χρήση δυϊκότητας). β = β + 0 // ουδέτερο στοιχείο ως προς + = β +(β ~β) // ορισμός συμπληρώματος = (β + β) ( β + ~β) // επιμεριστικότητα + ως προς = (β + β) 1 // ορισμός συμπληρώματος = β + β // ουδέτερο στοιχείο ως προς 12 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

Ορισμός Συνόλων Georg Cantor: «Σύνολο είναι μια συλλογή συγκεκριμένων και διαφορετικών αντικειμένων της διαίσθησης ή της σκέψης μας που συγκροτούν μια ολότητα.» Τα περισσότερα σύνολα δεν έχουν ως στοιχείο τους τον ίδιο τον εαυτό τους. Αν και φαίνεται παράξενο, θα μπορούσε ένα σύνολο να οριστεί με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι στοιχείο του εαυτού του!!! Π.χ., για το σύνολο των αφηρημένων εννοιών, προφανώς και το ίδιο το σύνολο είναι μια αφηρημένη έννοια. 13 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Το παράδοξο του Russell Έστω το σύμπαν με ΟΛΑ τα σύνολα που περιγράφονται ως συλλογές αντικειμένων που πληρούν ΚΑΠΟΙΑ ιδιότητα: Α = { Χ : Ρ(Χ) ( ) = true } Έστω S = { Α : Α Α }. Άρα, για κάθε σύνολο Αισχύει: Α S Α A KAI Α S Α A ΕΡΩΤΗΣΗ: S S? ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Ούτε ΝΑΙ ούτε ΟΧΙ!!!..\img\BertrandRussell.jpg ΕΣΤΩ S S ΤΟΤΕ S S S S Από ορισμό του S TOTE S S Από ΜΡ (ΑΤΟΠΟ) ΕΣΤΩ S S ΤΟΤΕ S S S S Από ορισμό του S TOTE S S Από ΜΡ (ΑΤΟΠΟ) 14 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

ΤΟ ΑΙΝΙΓΜΑ: Το παράδοξο του Κουρέα Σε ένα μικρό χωριό, ένας (άνδρας) κουρέας ξυρίζει ΟΛΟΥΣ τους άνδρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. ΕΡΩΤΗΣΗ: Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του ή τον ξυρίζει άλλος? ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΟΥΤΕ ΝΑΙ ΟΥΤΕ ΟΧΙ!!! ΑΝ ξυρίζεται μόνος του ΤΟΤΕ δε μπορεί να ξυρίζει τον εαυτό του (αφού πρόκειται για άνδρα που ξυρίζεται μόνος του) ΑΝ ΤΟΤΕ δεν ξυρίζεται μόνος του θα έπρεπε να ξυρίζει ο ίδιος τον εαυτό του. ΤΟ ΠΑΡΑ ΟΞΟ: Πώς είναι δυνατόν η απάντηση να είναι «ΟΥΤΕ ΝΑΙ ΟΥΤΕ ΟΧΙ»??? 15 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) ΤΟ ΑΙΝΙΓΜΑ: Το παράδοξο της πινακίδας Σε ένα χωριό υπάρχουν δυο τεχνίτες που κατασκευάζουν ΟΛΕΣ τις επιγραφές. Ο ΕΙΛΙΚΡΙΝΗΣ (που γράφει πάντοτε αληθινές προτάσεις στις επιγραφές) κι ο ΨΕΥΤΗΣ (που γράφει πάντοτε ψευδείς προτάσεις στις επιγραφές. ΕΡΩΤΗΣΗ: Ποιος έχει γράψει την ακόλουθη επιγραφή? Ο ΨΕΥΤΗΣ έφτιαξε τη συγκεκριμένη επιγραφή ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ΕΣΤΩ ο ΕΙΛΙΚΡΙΝΗΣ έφτιαξε την επιγραφή ΑΝ ο ΕΙΛΙΚΡΙΝΗΣ την έφτιαξε ΤΟΤΕ ο ΨΕΥΤΗΣ την έφτιαξε ΑΡΑ ο ΨΕΥΤΗΣ την έφτιαξε (ΑΤΟΠΟ) ΕΣΤΩ ΑΝ ο ΨΕΥΤΗΣ έφτιαξε την επιγραφή ο ΨΕΥΤΗΣ την έφτιαξε ΤΟΤΕ ο ΨΕΥΤΗΣ δεν την έφτιαξε ΑΡΑ ο ΨΕΥΤΗΣ δεν την έφτιαξε (ΑΤΟΠΟ) 16 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: εν είναι πάντα δυνατόν να καθορίσουμε τα στοιχεία ενός συνόλου δίνοντας κάποια ιδιότητα που θα πρέπει να ικανοποιούν. 17 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Το πρόβλημα του Τερματισμού (Ι) Θα ήταν χρήσιμο να μπορούσαμε να εξετάσουμε αν η εκτέλεση ενός προγράμματος με συγκεκριμένα δεδομένα εισόδου τερματίζει ή οδηγείται σε ατέρμονα βρόχο. Είναι δυνατόν να υπάρξει τέτοιος αλγόριθμος, που να δέχεται ως είσοδο αλγόριθμους μαζί με τα δεδομένα δδ τους, και να απαντά «ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ» (σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων) ή «ΑΤΕΡΜΟΝΑΣ ΒΡΟΧΟΣ»??? ΠΡΟΤΑΣΗ: εν υπάρχει αλγόριθμος ηλεκτρονικού υπολογιστή που να δέχεται ως είσοδο οποιονδήποτε αλγόριθμο Χ και οποιαδήποτε δεδομένα και να επιστρέφει σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων απάντηση 1. ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ, αν ο Χ με τα δεδομένα τερματίζει σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων,, ή 2. ΑΤΕΡΜΟΝΑΣ ΒΡΟΧΟΣ, διαφορετικά. 18 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)

20 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Το πρόβλημα του Τερματισμού (ΙΙ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για χάρη της απαγωγής σε άτοπο, έστω CH(X, ) ένας ΟΡΘΟΣ αλγόριθμος δέχεται ως είσοδό του τον κώδικα Χ ενός αλγορίθμου και κάποια δεδομένα, και λειτουργεί (σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων) ως εξής: procedure CH(X, ) IF Χ( ) τερματίζει σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων THEN return(«τερματισμοσ») ELSE return(«ατερμων ΒΡΟΧΟΣ») Θεωρούμε τον εξής αλγόριθμο: procedure Τ(Χ) IF CH(X,X) == «ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ» THEN WHILE ( true ) DO { continue } ELSE stop ΕΡΩΤΗΣΗ: Τι θα επιστρέψει το CH(T,T)? 19 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Το πρόβλημα του Τερματισμού (ΙΙΙ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ (συνέχεια): ΕΣΤΩ Τ(Τ) τερματίζει σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων ΤΟΤΕ CH(T,T) == «ΑΤΕΡΜΩΝ ΒΡΟΧΟΣ» ΤΟΤΕ Τ(Τ) δεν τερματίζει σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων (ΑΤΟΠΟ) Ο Ο) ΕΣΤΩ Τ(Τ) καταλήγει σε ΑΤΕΡΜΟΝΑ ΒΡΟΧΟ ΤΟΤΕ CH(T,T) T) == «ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟΣ» ΤΟΤΕ Τ(Τ) τερματίζει σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων (ΑΤΟΠΟ) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: εν είναι δυνατόν να υπάρχει ΟΡΘΟΣ αλγόριθμος CH(X, ) που να εξετάζει τον τερματισμό προγραμμάτων για οποιαδήποτε δδ δεδομένα σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων.

Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής. «Διακριτά Μαθηματικά Ι. Θεωρία συνόλων». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.