Θεώρηση Στενής Ζώνης

5/3/16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Διαλείψεις & Χαρακτηρισμός Ασύρματου Διαύλου 3 Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Θεώρηση Στενής Ζώνης Μέχρι στιγμής θεωρούμε ότι η διακριτικότητα σε επίπεδο διαύλου είναι εξαιρετικά μεγάλη, δηλαδή πολυδιαδρομικές συνιστώσες (MPCs) που καταφθάνουν με διαφορά καθυστέρησης Δτ, μπορούν να διαχωριστούν όσο μικρή και αν είναι η Δτ, επειδή ο δίαυλος έχει άπειρο εύρος ζώνης. Η διακριτικότητα ενός δέκτη στο πεδίο της καθυστέρησης εξαρτάται από το εύρος ζώνης του συστήματος. Για να διακρίνουμε συνεπώς MPCs με απόσταση Δτ, πρέπει το εύρος ζώνης να είναι Β>1/Δτ. 1

5/3/16 Θεώρηση Στενής Ζώνης 3 Αν το σύστημα έχει πολύ περιορισμένο εύρος ζώνης, τότε η συνάρτηση μεταφοράς είναι ανεξάρτητη της συχνότητας και ο δέκτης δεν μπορεί να διαχωρίσει τα MPCs στο πεδίο της καθυστέρησης. Οι συναρτήσεις εκφυλίζονται h x t h x t H x f t H x t ;,, και,,,,, 1 x j x j jvt h x t H x t Re e e c Θεώρηση Στενής Ζώνης 4 Αν αμελήσουμε την εξάρτηση από την μετατόπιση ; και, h t h t H f t H t 1 h t H t Re e j jvt Το λαμβανόμενο σήμα (μιγαδική περιβάλλουσα) για ένα αδιαμόρφωτο φέρον μπορεί να γραφεί y t y t Re e 1 1 j jvt

5/3/16 Θεώρηση Στενής Ζώνης 5 Όμως για το αδιαμόρφωτο φέρον rut j rcos j RF 1 y t H t H r Re e y r y r 1 Θεώρηση Στενής Ζώνης 6 Παρατηρήστε ότι κάθε μία συνιστώσα γράφεται j jk r yr Re e k ˆ ˆ ˆ kxxkyykzz sn cos ˆ sn sn ˆ s ˆ x yco z r r xˆr yˆr zˆ x y z Υποθέτω επίπεδη πρόσπτωση y r Re e Re e 90 j cos rx sn r j y jk r j 3

5/3/16 Θεώρηση Στενής Ζώνης 7 Θεωρώ ότι καταφθάνουν οκτώ (8) συνιστώσες στο δέκτη, με τυχαία στοιχεία που φαίνονται στον Πίνακα. Απεικονίζω το άθροισμα των 8 συνιστωσών για μια περιοχή διάστασης 5λx5λ. c R ψ φ c 1 1.0 311 ο 169 ο c 0.8 3 ο 13 ο c 3 1.1 161 ο 87 ο c 4 1.3 356 ο 56 ο c 5 0.9 191 ο 17 ο c 6 0.5 56 ο 16 ο c 7 0.7 68 ο 343 ο c 8 0.9 131 ο 97 ο Διαλείψεις Μικρής Κλίμακας 8 4

5/3/16 Θεώρηση Στενής Ζώνης 9 Αν επανέλθουμε στο ζωνοπερατό λαμβανόμενο σήμα (band pass sgnal) jct j jvt jct y t Rey t e Re Re e e 1 1 1 R cos tvt c R cos ct cos vt sn ct sn vt cos sn I t t Q t t c c Θεώρηση Στενής Ζώνης 10 Όπου βέβαια οι ορθογώνιες συνιστώσες βασικής ζώνης u I t Rcos cost 1 1 1 Η μέγιστη συχνότητα Doppler R cos vt u Q t Rsn cost 1 c R sn vt c v max D u c 5

5/3/16 Μοντέλα Σκέδασης 11 Πάντα απαιτείται θεώρηση pdf για τις τυχαίες μεταβλητές που είναι οι γωνίες άφιξης. Το πιο γενικό μοντέλο σκέδασης είναι 3 D και προτάθηκε από τον T. Auln. Υπάρχει και το D μοντέλο (sotropc scatterng) που προτάθηκε από τον Clarke. r u v cos cos c v cos k r cos max D c Μοντέλα Σκέδασης 1 Οι τυχαίες μεταβλητές R, φ, θ, ψ, θεωρούνται στατιστικά ανεξάρτητες.,,, p R p R p p p Αν ο αριθμός των αφικνούμενων συνιστωσών είναι >6, τότε από το Κ.Ο.Θ. οι ορθογώνιες συνιστώσες I(t), Q(t) είναι Gaussan. Θεωρούμε ότι οι φάσεις ψ είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες στο [0,π), δηλαδή 1 p 6

5/3/16 Μοντέλα Σκέδασης 13 Η μέση τιμή των ορθογώνιων συνιστωσών είναι,,, E I t p R R 1 R cos v cos cos t drd d d max D Η οποία μηδενίζεται λόγω της ολοκλήρωσης του cos μιας μεταβλητής σε ολόκληρη της περίοδό της. Όμοια E Qt E I t 0 c c E y t E I t cos t E Q t sn t 0 Μοντέλα Σκέδασης 14 Η διασπορά υπολογίζεται αντίστοιχα var 1 P ER I t E I t E I t E I t 1 Όπου P είναι η ολική μέση λαμβανόμενη ισχύς της μιγαδικής περιβάλλουσας c(t). I t var Q t var P E y t P var I t var Q t E I t E Q t 7

5/3/16 Μοντέλα Σκέδασης 15 Να σημειωθεί ότι η μέση λαμβανόμενη ισχύς του ζωνοπερατού σήματος y(t) συνδέεται με την ισχύ της μιγαδικής περιβάλλουσας με τη σχέση E y t E y t Όπου η μέση τιμή αφορά τις υλοποιήσεις της στοχαστικής διαδικασίας (ensemble average), ή είναι χρονική μέση τιμή αν το σήμα είναι ντετερμινιστικό ή μια εργοδική διαδικασία. Κατανομή Raylegh 16 Η λαμβανόμενη μιγαδική περιβάλλουσα είναι άθροιση πολλών τυχαίων μιγαδικών φασιθετών, με παρόμοιο πλάτος. Το πλάτος ακολουθεί κατανομή Raylegh. Η φάση είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο [0,π). r z db y y 1 0 40dB y 3 y / y z m y 1 y 3 y 8

5/3/16 Κατανομή Raylegh 17 Ο λόγος που το πλάτος της μιγαδικής περιβάλλουσας ακολουθεί Raylegh κατανομή, είναι ότι το πραγματικό και το φανταστικό μέρος, σύμφωνα με το Κ.Ο.Θ., είναι ανεξάρτητες Gaussan τυχαίες μεταβλητές, με μηδενική μέση τιμή και ίδια διασπορά (σ ). j t y t I t jq t r t e r t I t Q t Q t t arctan I t Κατανομή Raylegh 18 Στην περίπτωση αυτή η y t που είναι μιγαδική τυχαία μεταβλητή, καλείται crcularly symmetrc Gaussan, επειδή η e jφ y t έχει την ίδια κατανομή με την y t για οποιαδήποτε τιμή της φ. Gaussan pdf x y 1 1 pi x e pqy e Gaussan cdf 1 xo xo FxoPr x xo 1 erf Q 9

5/3/16 Κατανομή Gauss 19 Κατανομή Raylegh 0 Η pdf της Raylegh γράφεται r r pr r exp 0 r Η cdf της Raylegh γράφεται R Fr RPr r R1exp 10

5/3/16 Κατανομές για 8 MPCs (smulaton) 1 Κατανομή Raylegh Είναι προφανές ότι η κατανομή Raylegh εφαρμόζεται σε θετικές συνεχείς μεταβλητές. Μέση Τιμή E r rprdr 1.533 0 Μεσαία Τιμή r ln 1.1774 medan Μέση Τετραγωνική E r r p r dr RMS Τιμή 1.414 Διασπορά E r Τυπική Απόκλιση 0.655 0 r E r 0.49 11

5/3/16 Κατανομή Raylegh 3 Κατανομή Raylegh 4 1

5/3/16 Κατανομή Raylegh 5 Η μέση τετραγωνική τιμή αντιστοιχεί στη μέση ισχύ, και για μια τ.μ. που ακολουθεί Raylegh, η μέση ισχύς είναι (σ ). Λόγω διαλείψεων μικρής κλίμακας, Raylegh, προκειμένου να εξασφαλίσω ότι η λαμβανόμενη ισχύς είναι μεγαλύτερη από μια τιμή κατωφλίου (την ελάχιστη απαιτούμενη ισχύ) με πιθανότητα x%, αρκεί να υπολογίσω το αντίστοιχο περιθώριο λόγω διαλείψεων. Αντίστροφα, αν γνωρίζω περιθώριο, μπορώ να υπολογίσω την πιθανότητα να λάβω ισχύ μικρότερη από την τιμή κατωφλίου χρησιμοποιώντας τη c.d.f. Κατανομή Raylegh 6 Ένα περιθώριο διάλειψης 0dB υπονοεί ότι έχουμε προϋπολογίσει 100 φορές μεγαλύτερη μέση ισχύ από την ελάχιστη απαιτούμενη. Άρα η πιθανότητα να λάβω ισχύ μικρότερη από την ελάχιστη απαιτούμενη είναι Rmn 1 Κατώφλι 100Rmn 100 R Pr mn 1 exp 1 exp 0.01 0.00995 0.995% mn r R 13

5/3/16 7 Κατανομή Φάσης Μιγαδικής Περιβάλλουσας Η κατανομή της φάσης είναι ομοιόμορφη στο [0,π). Η pdf είναι p 1 0 Μέση Τιμή: E p d Μέση Τετραγωνική Τιμή: E p d Διασπορά: E E 3 0 4 3 Κατανομή Rce 8 Σε περίπτωση ύπαρξης και μιας σταθερής συνιστώσας με ισχυρό πλάτος (συνήθως LOS ή μια ισχυρή ανάκλαση), οι κατανομές πλάτους και φάσης της μιγαδικής περιβάλλουσας είναι διαφορετικές. o 1 y t y y t 14

5/3/16 Κατανομή Rce 9 Το πραγματικό και φανταστικό μέρος της y t είναι πάλι Gaussan με την ίδια διασπορά αλλά δεν έχουν μηδενική μέση τιμή. Το πλάτος της μιγαδικής περιβάλλουσας ακολουθεί κατανομή Rce, της οποίας η pdf είναι. r y o r yo exp o r prr I 1 x cos Io x e d όπου η τροποποιημένη συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και μηδενικής τάξης Κατανομή Rce 30 Ο λόγος της ισχύος της απευθείας συνιστώσας προς την ισχύ των πολυδιαδρομικών συνιστωσών καλείται Rcean Factor και συμβολίζεται συνήθως Κ K y o y o ή K db10log Είναι προφανές ότι όταν δεν υπάρχει ισχυρή συνιστώσα τότε K=0, δηλαδή K(dB)- και η κατανομή εκφυλίζεται στη Raylegh. Για μεγάλες τιμές του K, η κατανομή πλησιάζει την Gauss με μέση τιμή την y o 15

5/3/16 Κατανομή Rce 31 Κατανομή Rce 3 Η αντίστοιχη cdf της Rce είναι yo R Fr R Prr R 1 Q, Όπου Q m (a,b) η Marcum Q functon. 1 m Qma, b x e I m 1 m1 axdx a x a n a b / a Q a, b xe Io ax dx e Inab n0 b b x a b 16

5/3/16 Περιθώριο Διαλείψεων για Κατανομή Rce 33 Η μέση ισχύς της Rce είναι o 1 E r y K Άρα το περιθώριο διαλείψεων είναι 1 K E r r mn mn Και η πιθανότητα η λαμβανόμενη ισχύς να είναι μικρότερη από το κατώφλι (κανονικοποιημένο ως προς τη μέση ισχύ) δίνεται από τη cdf r Περιθώριο Διαλείψεων για Κατανομή Rce 34 17

5/3/16 Κατανομή akagam m 35 Μια πολύ χρήσιμη κατανομή είναι η akagam m, η οποία έχει συμπεριφορά παρόμοια με της Rcean. Αν το Κ.Ο.Θ. δεν ικανοποιείται, τότε η akagam m είναι μια προσεγγιστική κατανομή για το πλάτος. Από πολλές μετρήσεις έχει αποδειχθεί ότι το πλάτος ακολουθεί πράγματι τη akagam m. Ενώ μοιάζει με τη Rcean, έχει διαφορετική κλίση για τιμές του πλάτους κοντά στο 0. Κατανομή akagam m 36 Η p.d.f. της akagam m είναι m m1 m pr r r exp r m r 0 1 m Er m r Και Γ(m) είναι η συνάρτηση γάμμα του Euler. m 18

5/3/16 Κατανομή akagam m 37 Όταν το πλάτος ακολουθεί akagam m, η ισχύς ακολουθεί την κατανομή Gamma p P P m1 m mp mp exp m Τέλος η σχέση που συνδέει την παράμετρο m με τον παράγοντα Rce, Κ, για m>1 είναι m K 1 m m K K 1 m m m Στατιστικά Μεγέθη ης Τάξης 38 Η κατανομή Raylegh περιγράφει τα 1ης τάξης στατιστικά μεγέθη της περιβάλλουσας, για μικρές αποστάσεις στις οποίες η μέση τιμή θεωρείται σταθερή. Υπάρχουν δύο πολύ χρήσιμα μεγέθη ης τάξης της περιβάλλουσας, τα οποία αξίζει να αναφερθούν Level Crossng Rate (πόσο συχνά η περιβάλλουσα τέμνει ένα προκαθορισμένο κατώφλι) Average Fade Duraton (πόσο χρονικό διάστημα παραμένει η περιβάλλουσα κάτω από ένα προκαθορισμένο κατώφλι) 19

5/3/16 Στατιστικά Μεγέθη ης Τάξης 39 Σε τι χρησιμεύουν τα μεγέθη αυτά Επιλογή bt rate Επιλογή Μήκους λέξεων Επιλογή Σχήματος Κωδικοποίησης Level Crossng Rate 40 Για τον υπολογισμό του LCR απαιτείται, ο καθορισμός του επιπέδου R, η γνώση της κλίσης της περιβάλλουσας dr r dt και η από κοινού p.d.f. p Rr, Η μέση τιμή των τμήσεων του επιπέδου R ανά sec R 0 Υπολογίζεται (Rce) ότι για ισοτροπική σκέδαση και διαλείψεις Raylegh R R Rv max De rp R, r dr 0

5/3/16 Level Crossng Rate 41 Όμως Rrms Θέτω Άρα R R rms v e R max D Πολλές φορές για ανεξαρτησία από την ταχύτητα διαιρούμε με v maxd και προκύπτει ο LCR ως μέση τιμή τμήσεων ανά μήκος κύματος. Level Crossng Rate 4 Για διαλείψεις Rce προκύπτει η πιο γενική σχέση Όπου I o (x) είναι η τροποποιημένη συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και μηδενικής τάξης K v e I K K K K1 R 1 max D o 1 1

5/3/16 Level Crossng Rate 43 Average Fade Duraton 44 Θεωρούμε ένα μεγάλο διάστημα παρατήρησης T. Η μέση διάρκεια των διαλείψεων για προκαθορισμένο επίπεδο R 1 Prr R T Αν θεωρήσουμε διαλείψεις Rce Αν θεωρήσουμε διαλείψεις Raylegh R Pr r R 1 Q K, K 1 Pr r R 1e R

5/3/16 Average Fade Duraton 45 Άρα για Rce 1Q K, K 1 K K1 K 1 vmax D e Io K K 1 Ενώ για Raylegh e 1 vmax D Average Fade Duraton 46 3

5/3/16 47 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Τηλ: +30 10 414759 e mal: kanatas@unp.gr 4