Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Transcript

1 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής

2 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

3 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην αρχή αυτού του κεφαλαίου είδαμε ότι ο ML μιας αιτιατής συνάρτησης x(t) ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης x(t)e -σt όπου σ = Re(s). Δηλαδή είναι: ή t jωt { σ } ( σ ) σ x t e = L X ( + jω ) = X + jω e dω π σt jωt x t = e X σ + jω e dω π όπου ισχύει Re(s) = σ > σ. Υποθέτοντας ότι το σ είναι σταθερά και στη συνέχεια αλλάζοντας τη μεταβλητή ολοκλήρωσης και τροποποιώντας ανάλογα τα όρια ολοκλήρωσης, έχουμε τελικά: x t σ + j = e ds, σ > σ π j σ j st (3.6) Η σχέση αυτή δίνει τον αντίστροφο ML, τον οποίον στο εξής θα συμβολίζουμε ως: x t = L { }.

4 Υπολογισμός του Αντιστρόφου Μετασχηματισμού Laplace x t σ + j = e ds, σ > σ π j σ j st (3.6) Είναι προφανές ότι ένας τρόπος υπολογισμού της συνάρτησης x(t), εάν γνωρίζουμε το ML αυτής, είναι μέσω του υπολογισμού του ολοκληρώματος της σχέσης (3.6). Αυτός ο απευθείας υπολογισμός του αντίστροφου ML απαιτεί εφαρμογή τεχνικών επικαμπύλιας ολοκλήρωσης μιγαδικών συναρτήσεων όπως, π.χ., της γνωστής μεθόδου των ολοκληρωτικών υπολοίπων (residues).

5 Υπολογισμός του Αντιστρόφου Μετασχηματισμού Laplace x t σ + j = e ds, σ > σ π j σ j st (3.6) Η απευθείας ολοκλήρωση της X(s) μπορεί ν αποδειχθεί επίπονη διαδικασία και για το λόγο αυτόν συνήθως ακολουθούνται έμμεσοι τρόποι εύρεσης του αντίστροφου ML. Έτσι, εάν η μορφή της συνάρτησης X(s) είναι απλή και μπορεί εύκολα να εκφραστεί ως άθροισμα επιμέρους στοιχειωδών όρων, τότε, με χρήση του Πίνακα 3. και των ιδιοτήτων του ML, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τον L x t { } =. Παρακάτω θα συστηματοποιήσουμε τη διαδικασία ανάλυσης του ML σε αθροίσματα απλούστερων συναρτήσεων.

6 Υπολογισμός του Αντιστρόφου Μετασχηματισμού Laplace Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσματα Υποθέτουμε κατ αρχήν ότι ο ML έχει τη μορφή ρητής συνάρτησης, δηλαδή μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο πολυωνύμων του s: m b s bms + b s bs+ b = = n a s s + a s + + as+ a m m n n... (3.7) όπου a i, b j είναι πραγματικοί αριθμοί. Σε μορφή σαν την παραπάνω καταλήγουμε στη συντριπτική πλειοψηφία των προβλημάτων που αντιμετωπίζουμε στη θεωρία γραμμικών συστημάτων. Για παράδειγμα, μπορεί ν αποδειχτεί ότι κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (ΓΧΑ) σύστημα που είναι πρακτικά υλοποιήσιμο έχει κρουστική απόκριση με ML μια ρητή συνάρτηση.

7 Υπολογισμός του Αντιστρόφου Μετασχηματισμού Laplace Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσματα m b s bms + b s bs+ b = = n a s s + a s + + as+ a m m n n... (3.7) όπου a i, b j είναι πραγματικοί αριθμοί. Επειδή μας ενδιαφέρουν στην πράξη περισσότερο τα ΓΧΑ συστήματα με πραγματική κρουστική απόκριση, γι αυτό και περιορίσαμε παραπάνω τους συντελεστές ai, bj στο σύνολο των πραγματικών. Επίσης για πραγματοποιήσιμα συστήματα ισχύει ότι m n. Με άλλα λόγια, ο ML δεν περιέχει όρους της μορφής s, s, κλπ. Σύμφωνα με τον Πίνακα 3., αυτό σημαίνει ότι η κρουστική απόκριση του συστήματος δεν περιέχει κρουστικές συναρτήσεις.

8 Υπολογισμός του Αντιστρόφου Μετασχηματισμού Laplace Αρχικά, λοιπόν, θα υποθέσουμε ότι ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος του βαθμού του παρονομαστή, δηλαδή m < n. Αργότερα θα εξετάσουμε και την περίπτωση m n. a s = s λi Έστω ότι λ, λ,,λ n είναι οι ρίζες του α(s), δηλαδή ισχύει i= ανάλογα με τη φύση των ριζών αυτών, διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Τότε, α) Ρίζες διακριτές και πραγματικές Ισχύει, δηλαδή, λ i Є R και λ i λ j για i j. Τότε η X(s) μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα μερικών (ή απλών) κλασμάτων: c cn = sλ sλ Οι σταθερές c i, i=,,n, υπολογίζονται από τον τύπο: c = lim s λ, i =,..., n i s λ i i Στη συνέχεια, ο αντίστροφος ML υπολογίζεται με χρήση του Πίνακα 3. και των ιδιοτήτων του ML και εύκολα καταλήγουμε στο ότι: { } ( λ ) t λ n x t = L = ce ce t n u t n n.

9 Υπολογισμός του Αντιστρόφου Μετασχηματισμού Laplace β) Ύπαρξη πολλαπλών πραγματικών ριζών Έστω ότι στο πολυώνυμο α(s) μια ρίζα, ας πούμε η λ, εμφανίζεται με πολλαπλότητα r ενώ οι υπόλοιπες ρίζες είναι απλές. Τότε: = n r λ i= r+ a s s s λ και η συνάρτηση X(s) αναλύεται στις ακόλουθες απλές ρητές συναρτήσεις: i c c c c cn = sλ sλ sλ r r+ r sλ sλ r+ n Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης με (s - λ ) r, είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι οι συντελεστές c i, i =,,r, που αντιστοιχούν στην πολλαπλή ρίζα, υπολογίζονται από τον τύπο: ri d lim r c i = s λ, i =,..., r s λ ri r i! ds Οι υπόλοιποι συντελεστές c i, i = r+,,n υπολογίζονται όπως στην περίπτωση (α).

10 Υπολογισμός του Αντιστρόφου Μετασχηματισμού Laplace Έχοντας υπολογίσει όλα τα c i, i =,,,n, μπορούμε, στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του ML και τον Πίνακα 3. να καταλήξουμε στην παρακάτω έκφραση για τον αντίστροφο ML. { } x t = L [... λt λt λt = c e + c te + c e ] λ r t nt c e + λ ce u t r+ n r r t r! Έτσι, πόλοι με πολλαπλότητα μεγαλύτερη του αντιστοιχούν σε εκθετικές αποκρίσεις πολλαπλασιασμένες με δυνάμεις του t. Ανάλογα με τα παραπάνω ισχύουν αν περισσότερες της μιας ρίζας του α(s) είναι πολλαπλές.

11 Παραδείγματα Παράδειγμα : Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης s X ( s) = 3 s+ s+ Λύση: Το πολυώνυμο του παρονομαστή έχει μια τριπλή πραγματική ρίζα, τη λ = -, καθώς και μια απλή πραγματική ρίζα, τη λ = -. Ακολουθώντας τη μεθοδολογία του προηγουμένου εδαφίου, αναλύουμε τη X(s) σε μερικά κλάσματα, δηλαδή: c c c3 c4 = s+ s+ ( s+ ) ( s+ ) Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις σταθερές c, c, c 3, c 4 : d 3 d s s s c = lim s+ = lim = 3! ds ds s + s d 3 c = lim ( s+ ) X ( s) = s 3! ds ( ) 3 c3 = lim s+ = s c4 = lim ( s+ ) X ( s) =

12 Παραδείγματα Άρα: = + + = + + s+ s+ s+ s+ ( s+ ) ( s+ ) ( s+ ) ( s+ ) Ο L e { X ( s) } at ισούται με το άθροισμα των αντίστροφων μετασχηματισμών Laplace των μερικών κλασμάτων, οι οποίοι βρίσκονται εύκολα με χρήση του Πίνακα 3. και των ιδιοτήτων του ML. ut () s + a at n Τελικά ο ζητούμενος αντίστροφος ML είναι: e n! tut () ( s + a) n+ = = + + { } t t t t x t L e te t e e u t

13 Υπολογισμός του Αντιστρόφου Μετασχηματισμού Laplace γ) Ύπαρξη μιγαδικών ριζών Έστω ότι το πολυώνυμο α(s) έχει ένα ζεύγος συζυγών μιγαδικών ριζών, τις λ = σ + jω και λ = λ * = σ jω. Η συνάρτηση X(s) γράφεται ως: c c cn = sλ sλ sλ * Όλοι οι συντελεστές c i, i =,,,n, δηλαδή τόσο αυτοί που αντιστοιχούν στις μιγαδικές ρίζες όσο και αυτοί που αντιστοιχούν στις πραγματικές ρίζες, υπολογίζονται από τον τύπο: c = lim ( s λ ) X ( s) i s λ i Οι συντελεστές c και c θα είναι μιγαδικοί και θα ισχύει c = c *. Ο αντίστροφος ML θα δίνεται από την έκφραση: i n * x t = L = ce + ce + ce u t i= 3 n { } * λ t λ t λ it i Σε περίπτωση που το ζεύγος των συζυγών ριζών εμφανίζεται με πολλαπλότητα r, εφαρμόζεται ο τύπος της περίπτωσης (β). Όπως θα δούμε σε ένα παράδειγμα παρακάτω, η εμφάνιση συζυγών μιγαδικών ριζών στο ML μιας συνάρτησης αντιστοιχεί σε ύπαρξη ημιτονοειδών όρων στη συνάρτηση αυτή.

14 Παραδείγματα Παράδειγμα : Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης = s + 5 ( + 8s+ 5) s s Λύση: στην περίπτωση αυτή, στον παρονομαστή εμφανίζεται ένα απλό ζεύγος μιγαδικών ριζών. Η συνάρτηση X(s) αναλύεται ως εξής: c c c s s+ 4+ j3 s+ 4 j3 3 = + + όπου οι σταθερές c, c, c 3 είναι: c s s 4 j3 s 4+ j3 = lim s = 5 c = lim s+ 4 + j3 = c3 = lim s+ 4 j3 = j3 8 + j4 + j3 8 j4 Παρατηρούμε ότι, όπως άλλωστε ήταν αναμενόμενο, ισχύει c 3 = c *.

15 Παραδείγματα Αντικαθιστώντας στο ανάπτυγμα της X(s) σε μερικά κλάσματα τις παραπάνω τιμές των σταθερών c i παίρνουμε: j3 + j3 X ( s) = + + 5s 8 + j4 s+ 4 + j3 8 j4 s+ 4 j3 Ο αντίστροφος ML της X(s) είναι: j3 ( 4+ j3) t + j3 ( 4j3) t x( t) = L { X ( s) } = + e + e u t j4 8 j4 Κάνοντας τις πράξεις στην παραπάνω παράσταση και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις του Euler : jϕ jϕ jϕ jϕ e e e + e sin ϕ =, cos ϕ =, j καταλήγουμε στην έκφραση: x t e t t u t t = + cos3 + sin 3

16 Υπολογισμός του Αντιστρόφου Μετασχηματισμού Laplace Γενίκευση για deg [b(s)] deg [α(s)], δηλαδή m n Εάν ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή της ρητής συνάρτησης X(s) (βλ.3.7) είναι μεγαλύτερος από ή ίσος με το βαθμό του παρονομαστή, δηλαδή εάν m n, τότε ακολουθούμε την εξής διαδικασία για την εύρεση του αντιστρόφου ML. Εκτελούμε πρώτα τη διαίρεση b( s) κι έχουμε: a( s) b( s) g( s) X ( s) = =Π ( s) + a s a s όπου το Π(s) είναι βαθμού m-n και το g(s) βαθμού n- το πολύ. Συγκεκριμένα, το Π(s) είναι της μορφής: ( mn mn π ) mn... π π Π s = s + s + + s+ b Ο L { X ( s) } g s θα δίνεται από τη σχέση: L { X ( s) } L { ( s) } L = Π + a s g( s) Όσον αφορά στον όρο L, επειδή ο βαθμός του g(s) είναι μικρότερος από το βαθμό του a( s) α(s), θ ακολουθήσουμε τη διαδικασία που προηγουμένως περιγράψαμε στις περιπτώσεις (α), (β) και (γ). Ο όρος L { Π ( s) } θ αποτελείται από άθροισμα κρουστικών συναρτήσεων. Αυτό γίνεται { } αντιληπτό αν θυμηθούμε ότι n n L s = δ t (Πίνακας 3.). m

17 Συνέλιξη στον χρόνο και Μετασχηματισμός Laplace Συνέλιξη στο χρόνο Έστω X (s) και X (s) οι ML των συναρτήσεων x (t) και x (t), αντίστοιχα, όπου x (t) = και x (t) = για t <. Υποθέτουμε επίσης ότι οι X (s) και X (s) υπάρχουν για Re(s) > σ και Re(s) > σ, αντίστοιχα. Τότε ισχύει ότι ο ML της συνέλιξης στο χρόνο, t, ισούται με το γινόμενο των αντίστοιχων συναρτήσεων στη μιγαδική συχνότητα, s. Δηλαδή: { } =, Re > max {, } L x t x t s σ σ

18 Συνέλιξη στην Μιγαδική Συχνότητα Συνέλιξη στη μιγαδική συχνότητα Σχετικό με το προηγούμενο θεώρημα είναι και το ακόλουθο. Ο μετασχηματισμός Laplace του γινομένου δύο συναρτήσεων x (t) και x (t) μπορεί να εκφραστεί ως ολοκλήρωμα στο μιγαδικό επίπεδο και συγκεκριμένα ως η συνέλιξη των αντιστοίχων ML X (s) και X (s) των χρονικών συναρτήσεων. Δηλαδή, αν X { } τότε: s = L x t, Re s > σ i, i =,, L x t x t X s π j { } = c+ j = X z z dz όπου cj Re s > σ + σ, σ < c< Re s σ με

19 Παράδειγμα Παράδειγμα 3.6 : Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης = ( + ) s s a Λύση: Από τον Πίνακα 3. έχουμε ότι: L s = tu t = s+ a και at L e u( t) Άρα t = ( ) ( a ) = τ ( ), > s s+ a aτ L e u τ t τ u t τ dτ e t τ dτ t Υπολογίζουμε το τελευταίο ολοκλήρωμα και καταλήγουμε στην: at e t L u t = + s s+ a a a a

20 Μετασχηματισμός Laplace Στοιχειωδών Συναρτήσεων

21 Πίνακας Ιδιοτήτων και Μετασχηματισμοί Laplace ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙ e at ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙ -t ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ ΚΑΤΑ C ΑΛΛΑΓΗ ΚΛΙΜΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ως ΠΡΟΣ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΡΟΣ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΗΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΙΜΑ ΤΕΛΙΚΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΧΕΣΗ L{ ax( t) } = ax ( s) { + } = + L x t y t Y s at { } = ( ) L e x t a { } = ' L t x t cs { ( )} = L x t c e { } L x at s = X a a L x t = s x ( ) { t } τ τ L x d = { } = Lxt yt Y s t { } L x t lim x t lim t + s ( s) XT = e st = lim s X ( s) s + = lim s X ( s) x t s e e e ΣΗΜΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE u( t) ( t) s δ u t at s+ a v tu t v cos at u t bt bt sin at u t cos( at) u ( t) sin ( at) u ( t) cos v! v =,,... s + s s + a s a + a s+ b s+ b + a a s+ b + a t at u t ( s + a ) t sin ( at) u ( t) sin cos te te bt bt ( at) u ( t) ( at) u ( t) cos( at) u ( t) sin ( at) u ( t) s a as ( s + a ) s + a ( + 4a ) s s a ( + 4a ) s s s+ b a s+ b + a a s ( + b) s+ b + a

22 Άσκηση Ζητείται ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace της F(s)=5/(s +3s+) Λύση: Fs () 5 c c = = + 3 s + s+ s+ s+ 5 c = ( s+ ) Fs s== = 5 s + s= 5 c = ( s+ ) Fs s== =5 s + F s 5 5 = + s+ s+ s= L F s = 5e 5e u t Άρα: ( t t)

23 Λύση: Άσκηση Ζητείται ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace της F(s)=(s+3)/(s 3 +s +s) s+ 3 s+ 3 b c c Fs () = = = + + ss ( + s+ ) s ( s+ ) s s+ ( s+ ) b s + 3 = sf( s) = = 3 ( s + ) s= s= d d s+ 3 s= c= [( s+ ) Fs ] = [ ] = ( )! ds ds s s() (s+ 3)() = = 3 s s= d s + 3 c = [( s+ ) Fs ] s== ( s+ ) Fs s== = ( )! ds s s= 3 3 F( s) = + + f () t = 33e te u t s s+ ( s+ ) ri d r ci = lim ( s λ ) X ( s), i =,..., r s λ ri r i! ds ( ) ( t t) s=

24 Άσκηση 3 Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης 5s 5s+ 7 ( s+ )( s) 3 ( s) =, Re > Λύση: Αναπτύσσουμε τη X(s) σε μερικά κλάσματα: C C = = s 5s+ 7 A ( s+ )( s) s+ s ( s) ( s) Στη συνέχεια, ακολουθώντας τη γνωστή διαδικασία, θα υπολογίσουμε τις σταθερές A, C, C και C 3. ( ) s A= lim s+ = 3 d 3 C = lim 3 ( s ) X ( s) = s 3! ds ( ) 3 d 3 C = lim 3 ( s ) X ( s) = s 3! ds ( ) 3 C3 = lim ( s ) X ( s) = s 3 3! ( ) ri d r ci = lim ( s λ ) X ( s), i =,..., r s λ ri r i! ds C

25 Άσκηση 3 (συνέχεια) Άρα = + + s+ s s s 3 και τελικά t x t = e + e + te e u t t t t t

26 Άσκηση 4 Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης =, Re( s) > s s ( + ) Λύση: Η X(s) μπορεί να εκφραστεί ως γινόμενο των X (s) και X (s) όπου X ( s) = και X ( s) = s. s + Οι αντίστροφοι ML των X (s) και X (s) είναι L = u( t) και αντίστοιχα. s L = sin ( t) u( t), Χρησιμοποιώντας τώρα το θεώρημα της συνέλιξης, δηλαδή s + έχουμε ότι: = { } { } { } L L L, L { } = L L s s + sin ( t) u( t) = u t t sin = u τ tτ u tτ dτ ( t τ) = sin dτ Ολοκληρώνοντας παίρνουμε τελικά: L = s( s + ) ( cost) u( t)

27 Μετασχηματισμός Laplace Ημιπεριοδικών Συναρτήσεων Μια ημιπεριοδική συνάρτηση ορίζεται ως: x t x( t+ T), t =, t < και είναι στην ουσία μια κοινή περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ η οποία όμως επεκτείνεται περιοδικά μόνο κατά το θετικό ημιάξονα. Έστω x ( t) x t, t T =, t <, t > T για κάθε { } το τμήμα της x(t) στη βασική της περίοδο και L x για t = X s Re ( s) > σ. Προφανώς σ διότι η x (t) είναι πεπερασμένης διάρκειας άρα ο ML της συγκλίνει = Re ( s ) >.

28 Μετασχηματισμός Laplace Ημιπεριοδικών Συναρτήσεων Η x(t) γράφεται τώρα ως: x t x t kt x t x t T x t T Παίρνοντας το ML και των δύο πλευρών έχουμε: = = k =... = ( + st + st +...) e e Άρα: X s =, Re( st ) > st e Βέβαια, επειδή Τ >, η συνθήκη Re(sT) > είναι ισοδύναμη με τη Re(s) >. Παρατηρούμε ότι η περιοδικότητα στο χρόνο δεν εισάγει κρουστικές συναρτήσεις στο ML, όπως συνέβαινε στην περίπτωση του MF. Αυτό οφείλεται και πάλι στην παρουσία του όρου e -σt o οποίος διευκολύνει τη σύγκλιση του ML ενός περιοδικού σήματος.

29 Θεώρημα της Αρχικής Τιμής Έστω η συνάρτηση x(t), η οποία δεν περιέχει κρουστικές συναρτήσεις στο t =, και έστω { } = X ( s) L x t ο ML της με Re(s) > σ. Τότε ισχύει: lim s s ( + x ) = (3.4) Παράδειγμα 3.: Έστω x(t) = u(t) cos(ω t). Να υπολογιστεί η τιμή της x(t) για t = +. Λύση: Από τον Πίνακα 3. έχουμε ότι: s =, Re > s +Ω { } ( s) L x t Η συνάρτηση x(t) δεν περιέχει κρουστικές συναρτήσεις στο t =. Εφαρμόζοντας επομένως το θεώρημα αρχικής τιμής παίρνουμε: x s = lim = s s +Ω ( + ) Πίνακας 3. cos ( t) u( t) Ω s +Ω s Re( s ) >

30 Θεώρημα της Τελικής Τιμής. Το θεώρημα τελικής τιμής Έστω ότι ο ML της x(t) είναι X(s) για Re(s)>σ και έστω ότι η sx(s) είναι αναλυτική συνάρτηση στον φανταστικό άξονα και στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Τότε ισχύει: lim t x t = lim s (3.5) s Απόδειξη: dx( t) dx( t) st L = e dt s x = dt dt ( ) st s, e. s, Όταν τότε Συνεπώς, παίρνοντας το όριο για στην παραπάνω σχέση, οδηγούμαστε στην και τελικά: dx t dt lim t dt = lim s x x t s = lim s ( ) s

31 Θεώρημα της Τελικής Τιμής Το θεώρημα της τελικής τιμής δεν ισχύει εάν η sx(s) έχει πόλους στο δεξιό ημιεπίπεδο ή στον φανταστικό άξονα. Εάν υπάρχουν πόλοι στο δεξιό ημιεπίπεδο, αυτοί αντιστοιχούν σε συναρτήσεις της μορφής e αt, α >, των οποίων το όριο για t δεν υπάρχει. Στην περίπτωση που υπάρχουν πόλοι στον φανταστικό άξονα, τότε τα όρια για t μπορούν να οριστούν μόνο με χρήση της θεωρίας γενικευμένων συναρτήσεων. Το θεώρημα τελικής τιμής χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό τιμών ισορροπίας (και μόνιμης κατάστασης) στη μελέτη συστημάτων. x t e u t. = x( t) ( t ) Παράδειγμα 3.3: Έστω Να υπολογιστεί το lim. t Λύση: L e u t = =, Re s > {( t ) } s s+ s( s+ ) Εφαρμογή του θεωρήματος τελικής τιμής δίνει: lim x( t) = lim sx ( s) = lim = t s s s +