Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2005) σελ.325-331 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ SHEWHART ΜΕ ΚΑΝΟΝΕΣ ΕΥΑΙΣΘΗΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΟΥ ΒΑΣΙΖΟΝΤΑΙ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΡΟΩΝ Α. Ρακιτζής 1 και Δ. Λ. Αντζουλάκος Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης, Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τα διαγράμματα ελέγχου τύπου Shewhart για την παρακολούθηση του μέσου μιας παραγωγικής διεργασίας δίνουν σήμα εκτός ελέγχου διεργασίας όταν ένα σημείο βρεθεί εκτός της περιοχής που ορίζεται από το κάτω (LCL) και το άνω (UCL) όριο ελέγχου του διαγράμματος. Είναι γνωστό ότι τα διαγράμματα τύπου Shewhart δεν είναι ευαίσθητα στην ανίχνευση μικρών μετατοπίσεων του μέσου της διεργασίας. Η ευαισθητοποίησή τους για την ανίχνευση μικρών μετατοπίσεων συνήθως επιτυγχάνεται με τη χρήση προειδοποιητικών ορίων (εσωτερικά των LCL και UCL) και την υιοθέτηση κανόνων διακοπής που σχετίζονται με την εμφάνιση ειδικών σχηματισμών (patterns) των αναπαριστούμενων στο διάγραμμα σημείων. Η εμφάνιση ενός ειδικού σχηματισμού σημείων δίνει σήμα εκτός ελέγχου διεργασίας. Τέτοιοι κανόνες εισήχθησαν και εφαρμόστηκαν για πρώτη φορά από την Western Electric Company (1956). Στο παρόν άρθρο εισάγουμε και μελετάμε νέους κανόνες ευαισθητοποίησης για το Shewhart X-bar διάγραμμα ελέγχου που βασίζονται στη θεωρία ροών. Τα αποτελέσματα μας συγκρίνονται με αντίστοιχα αποτελέσματα που εμφανίστηκαν στα άρθρα των Kle (2000) και Khoo (2004). 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η πιo διαδεδομένη μέθοδος για την παρακολούθηση μια παραγωγικής διεργασίας στον στατιστικό έλεγχο ποιότητας είναι τα διαγράμματα ελέγχου. Το X διάγραμμα ελέγχου Shewhart είναι το πιό γνωστό διάγραμμα ελέγχου για την παρακολούθηση της μέσης τιμής της κατανομής (συνήθως κανονική κατανομή) ενός χαρακτηριστικού των προϊόντων που παράγονται από μια παραγωγική διεργασία. Ένα τυπικό διάγραμμα ελέγχου Shewhart χρησιμοποιεί «3 σίγμα» όρια ελέγχου (τα οποία αντιστοιχούν σε ποσοστό 0.27% λανθασμένων συναγερμών) και μας δίνει ένδειξη εκτός ελέγχου διεργασίας (μετατόπιση του μέσου διεργασίας) εάν ένα σημείο βρεθεί εκτός των ορίων ελέγχου. Στο διάγραμμα αναπαρίστανται τιμές μιας στατιστικής συνάρτησης W, η οποία εκτιμά (συνήθως αμερόληπτη εκτιμήτρια) την ποσότητα t 1 Η έρευνα υποστηρίχθηκε από το Ίδρυμα Κρατικών Υποτροφιών - 325 -
που μας ενδιαφέρει (π.χ. μέση τιμή). Εναλλακτικά των διαγραμμάτων ελέγχου Shewhart είναι τα διαγράμματα ελέγχου τύπου CUSUM και EWMA (Montgomery (2001)). Tα προαναφερθέντα διαγράμματα δεν είναι ευρέως χρησιμοποιούμενα εξαιτίας της δυσχρηστίας τους έναντι των διαγραμμάτων Shewhart, τα οποία είναι πιό εύκολα να τα κατασκευάσουμε αλλά και να τα ερμηνεύσουμε. Είναι γνωστό ότι τα διαγράμματα ελέγχου Shewhart είναι ευαίσθητα στην ανίχνευση μεσαίων και μεγάλων μετατοπίσεων στο μέσο της παραγωγικής διεργασίας, αλλά δεν είναι ευαίσθητα στην ανίχνευση μικρών μετατοπίσεων. Για να βελτιώθεί η ευαισθησία τους χρησιμοποιούνται πρόσθετοι κανόνες ανακύρηξης μιας διεργασίας εκτός ελέγχου οι οποίοι βασίζονται στη θεωρία ροών. Τέτοιοι κανόνες έχουν προταθεί και μελετηθεί από τους Page (1955), Western Electric Company (1956), Roberts (1958), Bissell (1978), Wheeler (1983), Nelson (1984), Champ and Woodall (1987), Palm (1990), Hurwitz and Mathur (1992), Derman and Ross (1997) και Shmueli and Cohen (2003). Η απόδοση ενός διαγράμματος ελέγχου προσδιορίζεται από το μέσο μήκος ροής (Average Run Length ARL). Για δεδομένο διάγραμμα ελέγχου και για δοσμένη μετατόπιση στο μέσο της διεργασίας το μέσο μήκος ροής ορίζεται ως ο μέσος αριθμός σημείων που πρέπει να απεικονισθούν στο διάγραμμα μέχρι να πάρουμε ένδειξη εκτός ελέγχου διεργασίας. Επισης, η κατανομή του χρόνου αναμονής μέχρι την εμφάνιση ένδειξης εκτός ελέγχου διεργασίας καλείται run length distribution. Η τιμή του ARL για μια εντός ελέγχου διεργασία καλείται εντός ελέγχου μέσο μήκος ροής ( ARL ). Για το τυπικό X διάγραμμα ελέγχου Shewhart, το εντός ελέγχου μέσο μήκος ροής είναι ίσο με 370.4 ( ARL = 1/ 0. 0027 ). Ένα μειονέκτημα της χρήσης κανόνων ροών στο τυπικό X διάγραμμα ελέγχου Shewhart είναι ότι μειώνεται η τιμή του εντός ελέγχου μέσου μήκους ροής (αυξάνει ο αριθμός των λανθασμένων συναγερμών). Η ταυτόχρονη χρησιμοποίηση των γνωστών Western Electric Rules σε ένα X διάγραμμα ελέγχου Shewhart έχει ως αποτέλεσμα το εντός ελέγχου μέσο μήκος ροής να είναι 94.75 (Palm (1990)) το οποίο είναι σημαντικά μικρότερο από την τιμή 370.4 που αντιστοιχεί στο τυπικό X διάγραμμα ελέγχου Shewhart. Προκειμένου να συγκρίνουμε (μέσω ARL) την απόδοση διαφόρων διαγραμμάτων ελέγχου, θα πρέπει αυτά να έχουν το ίδιο ARL. Για τους κανόνες που προτάθηκαν από την Western Electric Company (1956) και οι οποίοι μελετήθηκαν από τους Champ and Woodall (1987), τα διάφορα διαγράμματα δεν έχουν το ίδιο ARL και άρα δεν μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους. Πρόσφατα, ο Kle (2000) πρότεινε δύο εναλλακτικά του X διαγράμματος ελέγχου Shewhart, το 2/2 και το 2/3, που δίνουν ένδειξη εκτός ελέγχου διεργασίας όταν 2 συνεχόμενα σημεία και 2 από 3 συνεχόμενα σημεία αντίστοιχα, βρεθούν εκτός των ορίων ελέγχου. Επιπλέον, ο Khoo (2004) μελέτησε τα 2/2 και 2/3 διαγράμματα του Kle (2000) καθώς και τα 2/4, 3/3 και 3/4, χρησιμοποιώντας μεθόδους προσομοίωσης.. Τα παραπάνω διαγράμματα έχουν καλύτερη απόδοση από το τυπικό X διάγραμμα ελέγχου Shewhart για μετατοπίσεις μέχρι 2.6σ (μονάδες τυπικής απόκλισης). - 326 -
Στο παρόν άρθρο, προτείνουμε έναν τροποποιημένο r / m κανόνα ευαισθητοποίησης ( r < m ). To νέο διάγραμμα ελέγχου θα καλείται τροποιημένο r / m διάγραμμα ελέγχου (Modified r / m control chart) και θα το συμβολίζουμε ως M r / m. Αποδεικνύεται ότι το νέο διάγραμμα έχει καλύτερη απόδοση από τα αντίστοιχα r / m διαγράμματα που μελετήθηκαν από τους Kle (2000) και Khoo (2004). Στο μέρος 2 δίνεται η περιγραφή των διαγραμμάτων M r / m και η μεθοδολογία ανάπτυξής τους. Στο μέρος 3 δίνονται πίνακες με τιμές για το ARL με το ARL =500, m = 1(1) 5 και r = 1(1) 5 ( r m ) καθώς επίσης και διαγράμματα απόδοσης προκειμένου να δούμε τη βελτίωση που μας παρέχει η χρησιμοποίηση των νέων αυτών διαγραμμάτων. Στο μέρος 4 δίνονται συμπεράσματα. 2. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΤΎΠΟΥ M r / m Τα διαγράμματα ελέγχου τύπου M r / m είναι X διαγράμματα ελέγχου Shewhart για την παρακολούθηση της μέσης τιμής ενός χαρακτηριστικού, στα οποία ο κανόνας που περιγράφει την ένδειξη εκτός ελέγχου διεργασίας είναι ο εξής: Κανόνας M r / m : Είτε r σημεία βρίσκονται πάνω από το άνω όριο ελέγχου που διαχωρίζονται από το πολύ με m r σημεία τα οποία βρίσκονται μεταξύ κεντρικής γραμμής και του άνω ορίου ελέγχου είτε r σημεία βρίσκονται κάτω από το κάτω όριο ελέγχου που διαχωρίζονται από το πολύ με m r σημεία τα οποία βρίσκονται μεταξύ κεντρικής γραμμής και του κάτω ορίου ελέγχου, οποιοδήποτε από τα δύο εμφανιστεί πρώτο. Στην ειδική περίπτωση r = m, λαμβάνουμε σήμα εκτός ελέγχου διεργασίας όταν εμφανιστούν r συνεχόμενα σημεία πάνω από το άνω όριο ελέγχου ή r συνεχόμενα σημεία κάτω από το κάτω όριο ελέγχου, οποιοδήποτε από τα δύο εμφανιστεί νωρίτερα. Ο υπολογισμός του άνω και του κάτω ορίου ελέγχου του M r / m διαγράμματος ελέγχου περιγράφεται με λεπτομέρειες από τους Antzoulakos and Rakitzis (2005) όπου δίνεται και ο τρόπος υπολογισμού (ακριβής) του ARL. 3. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Παρακάτω, δίνονται πίνακες με τιμές του ARL για ARL = 500 και για μετατοπίσεις στη μέση τιμή του χαρακτηριστικού δ = 0(0.2) 3 (σε μονάδες τυπικής απόκλισης). Για καθέναν από τους κανόνες που μελετήθηκαν, δίνονται τα όρια ελέγχου για κάθε διάγραμμα προκειμένου να εφαρμόσουμε τον αντίστοιχο κανόνα. Με έντονα γράμματα είναι σημειωμένες οι τιμές του ARL οι οποίες είναι οι μικρότερες σε σχέση με τα υπόλοιπα διαγράμματα και άρα το αντίστοιχο διάγραμμα είναι το πλέον ευαίσθητο στην ανίχνευση της συγκεκριμένης μετατόπισης. Εκτός από τα M r / m, δίνουμε και τις τιμές για τα διαγράμματα των Kle (2000) και Khoo - 327 -
(2004), προκειμένου να τα συγκρίνουμε με τα νέα διαγράμματα που προτείνουμε.οι τιμές του ARL που δίνονται κάτω από τη στήλη 1/1 αντιστοιχούν φυσικά στο τυπικό X διάγραμμα ελέγχου Shewhart. Πίνακας 1. Τιμές για το ARL των r / r διαγραμμάτων με ARL = 1/1 2/2 3/3 4/4 5/5 Control Limits Shift ± 3.09 ± 1.850 ± 1.261 ± 0.888 ± 0.568.0.2 412.32 366.76 341.36 325.40 314.49.4 262.37 193.21 164.16 148.75 139.45.6 153.96 98.70 79.97 71.24 66.51.8 90.46 53.20 42.53 38.14 36.08 1.0 54.58 30.68 24.83 22.78 22.08 1.2 34.05 18.94 15.81 15.00 14.99 1.4 21.98 12.46 10.88 10.75 11.10 1.6 14.69 8.71 8.03 8.27 8.83 1.8 10.15 6.43 6.28 6.75 7.44 2.0 7.26 4.98 5.17 5.79 6.56 2.2 5.36 4.04 4.45 5.16 5.99 2.4 4.08 3.40 3.96 4.75 5.62 2.6 3.21 2.97 3.64 4.48 5.38 2.8 2.59 2.66 3.41 4.30 5.23 3.0 2.15 2.45 3.26 4.18 5.13 Πίνακας 2. Τιμές για το ARL των M r / m διαγραμμάτων, ARL = 1/1 M-2/3 2/3 M-2/4 2/4 M-3/4 3/4 M-2/5 M-3/5 M-4/5 Control Limits Shif ± 3.0 ± 1.93 ± 1.99 ± 1.96 ± 2.07 ± 1.37 ± 1.45 ± 1.97 ± 1.41 ± 1.00.0.2 500.0 412.3 350.27 357.59 340.53 353.10 318.80 326.57 334.32 305.33 301.15.4 262.3 172.77 181.62 161.62 176.37 140.92 148.59 154.74 128.59 126.22.6 153.9 84.40 90.49 77.01 87.07 65.28 70.01 72.54 58.09 57.64.8 90.46 44.31 48.06 39.93 46.11 33.88 36.62 37.33 29.91 30.25 1.0 54.58 25.27 27.54 22.73 26.47 19.67 21.29 21.25 17.46 18.08 1.2 34.05 15.61 17.00 14.12 16.43 12.64 13.62 13.28 11.37 12.07 1.4 21.98 10.37 11.25 9.49 10.95 8.86 9.48 9.01 8.12 8.85 1.6 14.69 7.36 7.93 6.84 7.78 6.70 7.10 6.56 6.26 7.00 1.8 10.15 5.54 5.92 5.22 5.86 5.38 5.66 5.07 5.13 5.89 2.0 7.26 4.39 4.64 4.20 4.63 4.56 4.74 4.12 4.42 5.19 2.2 5.36 3.63 3.81 3.52 3.82 4.02 4.15 3.49 3.95 4.75 2.4 4.08 3.12 3.25 3.06 3.28 3.67 3.76 3.05 3.64 4.47 2.6 3.21 2.77 2.86 2.74 2.90 3.44 3.50 2.74 3.43 4.29 2.8 2.59 2.53 2.59 2.52 2.63 3.28 3.33 2.52 3.29 4.18 3.0 2.15 2.36 2.40 2.36 2.44 3.18 3.21 2.36 3.19 4.11 Από τους παραπάνω πίνακες συμπεραίνουμε ότι (α) για την ανίχνευση μετατόπισεων μέχρι 0.5σ το πλέον ευαίσθητο διάγραμμα είναι το M 4 / 5, (β) για - 328 -
την ανίχνευση μετατοπίσεων 0.5σ 1.5σ το καλύτερο είναι το M 3 / 5 και (γ) το M 2 / 5 συστήνεται για μετατοπίσεις από 1.5σ 2/5σ. Το τυπικό X διάγραμμα Shewhart είναι το καλύτερο για μετατοπίσεις μεγαλύτερες του 2.5σ. Γενικά, θα λέγαμε ότι τα διαγράμματα τύπου M r / 5 για r = 2, 3, 4, 5 είναι τα πλέον ευαισθητα σε σχέση με τα υπόλοιπα διαγράμματα. Στη συνέχεια, δίνουμε μια γραφική σύγκριση διαφόρων διαγραμμάτων ελέγχου μεταξύ τους μέσω διαγραμμάτων απόδοσης. Τα διαγράμματα απόδοσης είναι η γραφική παράσταση της ποσότητας ARLst ( δ ) ARLmo ( δ ) I( δ ) = ARLst ( δ ) όπου με ARL st (δ ) συμβολίζουμε την τιμή του ARL για δεδομένη μετατόπιση δ του τυπικού X διαγράμματος ελέγχου ενώ με ARL (δ ) συμβολίζουμε την τιμή του ARL του νέου τροποποιημένου διαγράμματος ελέγχου. Στη συνέχεια δίνουμε το διάγραμμα απόδοσης, για τη σύγκριση του τυπικού X διαγράμματος ελέγχου Shewhart με καθένα από τα διαγράμματα ελέγχου M r / 5 για r = 2, 3, 4, 5. mo 0,7 0,6 0,5 5 0,4 4 2 0,3 3 0,2 0,1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3-0,1 Σχήμα 1: Καμπύλες ποσοστιαίας βελτίωσης Ι(δ) των M r/5, r=2, 3, 4, 5 Παρατηρούμε ότι το ποσοστό βελτίωσης μπορεί να φτάσει μέχρι και το 70% για μετατοπίσεις κοντά στο 1σ ενώ για μετατοπίσεις μεγαλύτερες του 2.5σ το τυπικό X διάγραμμα τύπου Shewhart είναι πιό ευαίσθητο. Επιπλέον, η απόδοση των διαγραμμάτων M r / 5 για r = 2, 3, 4, 5 δεν είναι ομοιόμορφη, αλλά εξαρτάται από την τιμή του r καθώς και από τη μετατόπιση δ. Θα συγκρίνουμε επίσης τα διαγράμματα M r / 5 για r = 2, 3, 4 με το διάγραμμα C, που είναι το διάγραμμα το οποίο συνδυάζει τους τέσσερις - 329 -
δημοφιλείς Western Electric Rules. (Στον τύπο για το I (δ ), τη θέση του ARL st (δ ) παίρνει τώρα το ARL ( ) ). C δ 0,1 0,075 0,05 0,025 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3-0,025-0,05-0,075-0,1-0,125 4 3 2-0,15-0,175-0,2-0,225-0,25 Σχήμα 2: Καμπύλες ποσοστιαίας βελτίωσης Ι(δ) των M r/5, r=2, 3, 4 ως προς το C Παρατηρούμε ότι τα διαγράμματα που αναπτύξαμε δεν είναι πολύ χειρότερα από το C, και επιπλέον το M 2 / 5 είναι καλύτερο σε ποσοστό 5% για μετατοπίσεις από 1σ 2σ. Αυτό είναι πολύ σημαντικό αφού μπορούμε αντί να συνδυάσουμε τέσσερις κανόνες σε ένα διάγραμμα, να χρησιμοποιήσουμε μόλις 1, προκειμένου το διάγραμμα που θα προκύψει να είναι σχεδόν στον ίδιο βαθμό ευαίσθητο με το C. 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από την παραπάνω μελέτη των κανόνων ευαισθητοποίησης που προτάθηκαν, συμπεραίνουμε ότι οι κανόνες M r / m είναι ομοιόμορφα καλύτεροι από τους αντίστοιχους κανόνες που μελετήθηκαν από τους Kle (2000) και Khoo (2004). Η απόδοση των κανόνων μας εξαρτάται και από την τιμή του ARL αφού αυτή αυξάνει καθώς αυξάνει η τιμή του εντός ελέγχου μέσου μήκους ροής ενώ σε σύγκριση με το πλέον ευαίσθητο διάγραμμα C οι κανόνες μας παρέχουν συγκρίσιμη απόδοση διατηρώντας παράλληλα το βασικό χαρακτηριστικό των διαγραμμάτων Shewhart που είναι η ευκολία τους στο να ερμηνευτούν. ABSTRACT The Shewhart type control charts for monitorg the mean of a manufacturg process gives signal of an out-of-control process (shift of the mean) when a plotted pot falls outside the area specified by the lower (LCL) and upper (UCL) control limit of chart. It is well known that Shewhart type control charts are not sensitive detectg small shifts of the process mean. The sensitization of the chart to detect small shifts of the process mean is usually achieved by the use of warng limits (ternal of LCL and UCL) and the adoption of stoppg rules related with the appearance of special patterns of plotted pots the chart. The - 330 -
appearance of a special pattern of pots gives signal of an out-of-control process. Such rules were troduced and applied for the first time by the Western Electric Company (1956). In the present paper, we troduce and study new sensitizg runs rules for the Shewhart X control chart that are based on the theory of runs. Our results are compared with the ones that have been appeared the papers of Kle (2000) and Khoo (2004). ΑΝΑΦΟΡΕΣ Antzoulakos D. L. and Rakitzis A. (2005). The modified r/m control chart for detectg small process average shifts, Submitted. Bissel A. F. (1978). An attempt to unify the theory of quality control procedures. Bullet Applied Statistics, 5, 113-128. Champ C. W. and Woodall W. H. (1987). Exact results for Shewhart control charts with supplementary runs rules. Technometrics 29, 393-399. Derman C. and Ross S. M. (1997). Statistical Aspects of Quality Control. Academic Press: San Diego. Hurwitz, A. M. and Mathur, M. (1992). A very simple set of process control rules. Quality Engeerg, 5, 21-29. Khoo M. B. C. (2004). Design of runs rules schemes. Quality Engeerg 16, 27-43. Kle M. (2000). Two Alternatives to the Shewhart X control chart. Journal of Quality Technology 32, 427-431. Montgomery D. C. (2001). Introduction to Statistical Quality Control (4th edn). Wiley: New York. Nelson L. S. (1984). The Shewhart control chart Tests for special causes. Journal of Quality Technology, 16, 237-239. Page E. S. (1955). Control charts with warng les. Biometrics; 42, 243-257. Western Electric Company. (1956). Statistical Quality Control Handbook. Indianapolis IN. Palm A. C. (1990). Tables of run length percentiles for determg the sensitivity of Shewhart control charts for averages with supplementary runs rules. Journal of Quality Technology 22, 289-298. Roberts S. W. (1958). Properties of control chart zone tests. The Bell System Technical Journal 37, 83-114. Shmueli G and Cohen A. (2003). Run-length distribution for control charts with runs and scans rules. Communications Statistics-Theory and Methods 32, 475-495. Wheeler D. J. (1983). Detectg a shift process average: Tables of the power function for X charts. Journal of Quality Technology 15, 155-170. - 331 -