Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο δυναµική στο επίπεδο πρέπει: Να γνωρίζει τον ο Νόµο του Νεύτωνα και τις εφαρµογές του. Να γνωρίζει τον 3ο Νόµο του Νεύτωνα και τις εφαρµογές του. Να γνωρίζει τα είδη δυνάµεων επαφής και απόστασης. Να µπορεί να υπολογίσει την συνισταµένη δύο ή περισσότερων οµοεπίπεδων δυνάµεων. Να µπορεί να αναλύσει οµοεπίπεδες δυνάµεις. Να γνωρίζει την Αρχή της Ανεξαρτησίας των κινήσεων. Να γνωρίζει τις έννοιες και τις εξισώσεις της οριζόντιας βολής. Να γνωρίζει ποια κίνηση λέγεται οµαλή κυκλική κίνηση και τις εξισώσεις της. Να γνωρίζει τι λέγεται περίοδος και τι συχνότητα. Να ξεχωρίζει την έννοια της γραµµικής από την γωνιακή ταχύτητα στην οµαλή κυκλική κίνηση και να γνωρίζει τη µεταξύ τους σχέση.
5. υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες Τυπολόγιο 3ου Κεφαλαίου υναµική στο επίπεδο Σύνθεση δύο οµοεπιπέδων δυνάµεων. F ηµφ Μέτρου: F = F1 + F + FFσυνφ Κατεύθυνσης: εφθ =, 1 F1+ Fσυνφ θ = F,F ( 1 ) Σύνθεση δύο καθέτων οµοεπιπέδων δυνάµεων. F Μέτρου: F= F1 + F Κατεύθυνσης: εφθ =, θ= ( F,F 1 ) F Σύνθεση πολλών οµοεπιπέδων δυνάµεων. ΣF Μέτρου: ΣF = ΣF + ΣF Κατεύθυνσης: εφθ ΣF Ισορροπία οµοεπιπέδων δυνάµεων: ΣF = 0 ΣF = 0 1 =, ( θ= ΣF ),ΣF Τριβή ολίσθησης: T = µ Ν Οριζόντια βολή α = 0 α = g υ υ υ = 0 = υt 0 = gt 1 = gt υ = υ + υ Μέτρο: υ= υ + g t 0 Κατεύθυνση: ε εφθ υ =, θ= ( υ 0,υ) υ0 ος Ν. Νεύτωνα σε διανυσµατική και αλγεβρική µορφή ΣF = m α ΣF = m α ΣF = m α Οµαλή κυκλική κίνηση 1 N f = = T t S πr υ = πrf t = T = θ π υ ω= = = πf = t Τ R υ 4π ακ = = ω R = R = 4π f R R Τ mυ 4π Fκ = mακ = = mω R = m R = m 4π f R R T
Τύποι - Βασικές έννοιες υναµική στο επίπεδο 53. υναµική στο επίπεδο: Τύποι - Βασικές έννοιες ιατυπώστε το νόµο δράσης - αντίδρασης του Νεύτωνα: Όταν δύο σώµατα Α και Β αλληλεπιδρούν και το σώµα Α ασκεί µία δύναµη στο σώµα Β, τότε και το σώµα Β ασκεί στο σώµα Α δύναµη ίσου µέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης. Σχηµατικά ισχύει: α. Η µία από τις δύο δυνάµεις ονοµάζεται δράση και η άλλη αντίδραση β. Σε κάθε δράση αναπτύσσεται πάντα µία αντίδραση. ράση και αντίδραση συνυπάρχουν. Έτσι οι δυνάµεις στη φύση εµφανίζονται πάντα ανά ζεύγη. γ. ράση και αντίδραση ασκούνται σε διαφορετικά σώµατα. ώστε παραδείγµατα δράσης αντίδρασης: 1. Βάρος σώµατος: Β : Η δύναµη που ασκεί η Γη στο σώµα B : Η δύναµη που ασκεί το σώµα στη Γη. Ισχύει: B= B Τα σώµατα κινούνται προς τη Γη και όχι η Γη προς τα σώ- µατα λόγω της µικρής τους µάζας συγκριτικά µε τη µάζα της Γης.. ύναµη από το δάπεδο (κάθετη αντίδραση): N : ύναµη από το δάπεδο στο σώµα N : ύναµη από το σώµα στο δάπεδο Ισχύει: N = N 3. Τάση νήµατος: ' F 1 : Η δύναµη που ασκεί ο άνθρωπος στο σχοινί F 1 : Η δύναµη που ασκεί το σχοινί στον άνθρωπο - αντίδραση της F 1 F : Η δύναµη που ασκεί ο κάβος στο σχοινί F : Η δύναµη που ασκεί το σχοινί στον κάβο - αντίδραση της F Ισχύει: F1 = F 1 και F = F Επίσης για σχοινί χωρίς µάζα (αµελητέα) ισχύει για τα µέτρα τους: F 1 = F. Έτσι F1 = F 1 = F = F. Η βάρκα και ο άνθρωπος κινούνται προς την προκυµαία λόγω της F 1.
54. υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες Τι γνωρίζουµε για τις δυνάµεις επαφής; υνάµεις επαφής είναι µεταξύ άλλων και οι παρακάτω: α. Τριβή, β. Τάση νήµατος, γ. ύναµη ελατηρίου, δ. Άνωση, ε. Αντίσταση αέρα, στ. Κάθετη δύναµη στήριξης Τι γνωρίζουµε για τις δυνάµεις από απόσταση; Οι δυνάµεις από απόσταση αναπτύσσονται: α. Ανάµεσα σε µαγνήτες β. Ανάµεσα σε ηλεκτρικά φορτία και γ. Μεταξύ µαζών. Πως συνθέτουµε δύο οµοεπίπεδες δυνάµεις µε κάθετες διευθύνσεις; Ισχύει: F= F1 + F Μέτρο της F: F= F1 + F F Κατεύθυνση της F: εφφ = όπου φ η γωνία που σχηµατίζει η συνισταµένη F µε την F F1 1 F 1 ή εφθ =. F Η επιλογή της φ ή της θ είναι αυθαίρετη. Πως συνθέτουµε δύο οµοεπίπεδες δυνάµεις, που οι διευθύνσεις τους σχη- µατίζουν γωνία φ µεταξύ τους; Ισχύει: F= F1 + F Για το µέτρο της F:F= F + F + FFσυνφ 1 1 όπου θ η γω- F ηµφ Για την κατεύθυνση της F: εφθ = F1+ Fσυνφ νία που σχηµατίζει η F µε την F 1. Πως αναλύουµε δυνάµεις σε δύο συνιστώσες; Συνήθως η ανάλυση γίνεται σε δύο κάθετες συνιστώσες: F συνθ = F = Fσυνθ F F ηµθ = F = Fηµθ F Η γωνία θ θεωρείται γνωστή.
Τύποι - Βασικές έννοιες υναµική στο επίπεδο 55. Πως συνθέτουµε περισσότερες από δύο δυνάµεις; Για να βρούµε τη συνισταµένη περισσοτέρων των δύο δυνάµεων ακολουθούµε τα παρακάτω βήµατα. α. Επιλέγουµε ένα ορθογώνιο σύστηµα αξόνων µε αρχή το σηµείο εφαρµογής των δυνάµεων. Η επιλογή του συστή- µατος είναι αυθαίρετη έτσι ώστε να χρειάζονται όσο το δυνατόν λιγότερες αναλύσεις. β. Αναλύουµε όσες δυνάµεις δεν είναι πάνω στους άξονες σε συνιστώσες: F1 = Fσυνθ 1, F1 = F1ηµθ, F = Fσυνφ, F = F ηµφ γ. Υπολογίζουµε τη συνισταµένη ( ΣF κ ' ΣF ) σε κάθε άξονα προσθέτοντας αλγεβρικά τις συνιστώσες (ή τις δυνάµεις) που βρίσκονται πάνω σε κάθε άξονα ξεχωριστά: ΣF = F1 F, ΣF = F1 + F F3 δ. Οι δυνάµεις ΣF και ΣF είναι κάθετες µεταξύ τους. Έτσι για τη συνισταµένη ισχύει: Για το µέτρο ΣF = ΣF + ΣF ΣF Για την κατεύθυνση εφω = ΣF Πότε ένα υλικό σηµείο ισορροπεί; Ένα σώµα που το θεωρούµε υλικό σηµείο ισορροπεί όταν η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται σ αυτό είναι µηδέν. Αν ΣF = 0 ή F 1 + F +...F ν = 0 τότε: υ= 0 ή υ = σταθερό και αντιστρόφως. Πότε ισορροπούν δύο δυνάµεις; ΣF = 0 F1 + F = 0 F1 = F Για τα µέτρα των δυνάµεων ισχύει ΣF = 0 F1 F = 0 F1 = F Πότε ισορροπούν τρεις οµοεπιπέδες δυνάµεις; Όταν υλικό σηµείο ισορροπεί υπό την επίδραση τριών οµοεπιπέδων δυνάµεων η συνισταµένη των δύο από αυτές θα πρέπει να είναι αντίθετη της τρίτης. ΣF= 0 F + F + F = 0 F + F = F F = F 1 3 1 3 1 3
56. υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες Ποια είναι η αναλυτική µέθοδος για ισορροπία τριών ή περισσοτέρων οµοεπιπέδων δυνάµεων; α. Επιλέγουµε αυθαίρετα κατάλληλο ορθογώνιο σύστηµα ΧΟΥ αξόνων. Η επιλογή γίνεται έτσι ώστε να χρειάζονται όσο το δυνατόν λιγότερες αναλύσεις δυνάµεων. β. Αναλύουµε όσες δυνάµεις δεν είναι πάνω στους άξονες. γ. Εφαρµόζουµε συνθήκη ισορροπίας σε κάθε άξονα. ΣF = 0 F1 + F +... = 0 (1) ΣF = 0 F1 + F +... = 0 () δ. Οι σχέσεις (1), () είναι ικανές και αναγκαίες ώστε ένα σώµα να ισορροπεί. ηλαδή: ΣF = 0 υ = 0 ή υ = σταθ. ΣF = 0 και όταν υ = 0 η υ = σταθερό τότε: ΣF = 0 ΣF = 0 ώστε τον ορισµό της στατικής τριβής. Από τι εξαρτάται; Είναι η δύναµη που αναπτύσσεται από ένα σώµα Α σε ένα σώµα Β όταν λόγω της επίδρασης εξωτερικής δύναµης F στο Β αυτό τείνει να κινηθεί ως προς το Α χωρίς να το καταφέρνει. Στο σώµα Α ασκείται φυσικά από το Β η αντίδραση της παραπάνω δύναµης. Για το µέτρο της µέγιστης στατικής τριβής ισχύει: T σma = µν σ όπου µ σ ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής που εξαρτάται από τη φύση των επιφανειών που έρχονται σε επαφή και Ν η κάθετη αντίδραση. Γενικά για τη στατική τριβή ισχύει: 0 Τσ T σma = µ σν Συνοπτικά για τη στατική τριβή ισχύει ότι: α. Είναι ανεξάρτητη από το εµβαδόν της επιφάνειας συνεπαφής. β. Έχει µεταβλητό µέτρο. Ελάχιστη τιµή µηδέν και µέγιστη T σma = µν σ. γ. Εξαρτάται από τα υλικά που έρχονται σε επαφή. δ. Η µέγιστη τιµή της που λέγεται και οριακή στατική τριβή εξαρτάται από τη δύναµη Ν που δρα κάθετα από τη µια επιφάνεια στην άλλη και τον συντελεστή οριακής στατικής τριβής.
Τύποι - Βασικές έννοιες υναµική στο επίπεδο 57. ώστε τον ορισµό της τριβής ολίσθησης. Από τί εξαρτάται; Τι γνωρίζετε για τον συντελεστή τριβής ολίσθησης; Είναι µια δύναµη που αναπτύσσεται ανάµεσα σε δύο σώµατα που βρίσκονται σε επαφή και το ένα ολισθαίνει ως προς το άλλο. Έχει πάντοτε φορά αντίθετη από την ταχύτητα του σώ- µατος (ως προς το σώµα που ασκεί την τριβή). Το µέτρο της είναι σταθερό και ίσο µε Τ = µ N όπου µ ο συντελεστής τριβής ολίσθησης που είναι καθαρός αριθµός. Η διεύθυνσή της είναι παράλληλη µε την διαχωριστική επιφάνεια των δύο σωµάτων. Συνοπτικά για την τριβή ολίσθησης. α. Το µέτρο της είναι σταθερό και ανεξάρτητο της ταχύτητας µε την οποία κινείται το ένα σώµα ως προς το άλλο (για µικρές ταχύτητες). β. Το µέτρο της ανεξάρτητο από το εµβαδό συνεπαφής (για µικρές ταχύτητες). γ. Το µέτρο της εξαρτάται από τα υλικά που έρχονται σε επαφή. δ. Το µέτρο της εξαρτάται από το µέτρο της κάθετης δύναµης στήριξης (κάθετη αντίδραση). Ποιες είναι οι δυνατές περιπτώσεις εφαρµογής του ου Νόµου του Νεύτωνα; Σχέση υνάµεων Είδος Κίνησης στον Είδος Κίνησης στον άξονα άξονα ΣF = 0 και ΣF = 0 α = 0 Ισορροπεί α = 0 Ισορροπεί ΣF 0 και ΣF = 0 ΣF α m Επιταχύνεται = ΣF = 0 και ΣF 0 α = 0 Ισορροπεί ΣF 0 και ΣF 0 α = 0 Ισορροπεί ΣF α = m Επιταχύνεται ΣF ΣF α = α = m m Επιταχύνεται Επιταχύνεται Με τον όρο ισορροπεί εννοούµε ότι υ 0 = (ηρεµεί) η υ = σταθ (ευθ. οµαλή)
58. υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες Τι γνωρίζετε για τον ο Νόµο του Νεύτωνα σε ιανυσµατική και σε Αλγεβρική µορφή; Από το ο Νόµο του Νεύτωνα γνωρίζουµε ότι για ένα σώµα στο οποίο ασκούνται πολλές οµοεπίπεδες δυνάµεις ισχύει ότι: ΣF = mα ΣF = mα ΣF = mα Γνωρίζουµε επίσης ότι εάν είναι γνωστές οι συνιστώσες για τα µέτρα τους ισχύει: ΣF = ΣF + ΣF και α= α + α Τι γνωρίζουµε για την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων; Η αρχή διατυπώνεται ως εξής: Όταν ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες κινήσεις, κάθε µία από αυτές εκτελείται εντελώς ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες και η θέση στην οποία φτάνει το κινητό µετά από χρόνο t, είναι η ίδια είτε οι κινήσεις εκτελούνται ταυτόχρονα, είτε εκτελούνται διαδοχικά, σε χρόνο t η κάθε µία. Για τον υπολογισµό της ταχύτητας και της µετατόπισης σε κάποιο χρόνο t, γράφουµε το διανυσµατικο άθροισµα των ταχυτήτων και µετατοπίσεων αντίστοιχα, που θα είχε το κινητό αν εκτελούσε κάθε µία κίνηση ανεξάρτητα και επί χρόνο t. υ= υ1 + υ και = 1 + Όταν ρίχνουµε ένα σώµα από ύψος h οριζόντια µε ταχύτητα υ 0 και αγνοούµε την αντίσταση του αέρα, τότε η κίνηση που µελετάµε ονοµάζεται οριζόντια βολή. Είναι µια σύνθετη κίνηση και αποτελείται από δύο απλές κινήσεις µια κατακόρυφη, που είναι ελεύθερη πτώση (λόγω βαρύτητας), και µια οριζόντια, που είναι ευθύγραµµη οµαλή (επειδή δεν ασκείται δύναµη στην οριζόντια διεύθυνση). Ποιες είναι οι εξισώσεις κίνησης στην οριζόντια βολή; οριζόντιος άξονας : α = 0, υ = υ0, = υ0 t 1 κατακόρυφος άξονας : α = g, υ = g t, = g t Ποιες είναι οι εξισώσεις τροχιάς - χρόνου - βελινεκούς - ταχύτητας, στην οριζόντια βολή; g Η εξίσωση της τροχιάς: = υ 0
Τύποι - Βασικές έννοιες υναµική στο επίπεδο 59. Επειδή είναι εξίσωση της µορφής = κ, η οποία είναι εξίσωση παραβολής, γι αυτό και η τροχιά του σώµατος στην οριζόντια βολή είναι παραβολή. h Η εξίσωση του χρόνου: t = g h Η εξίσωση του βελινεκούς: ma = υ0 g Η εξίσωση της ταχύτητας: Εξίσωση της ταχύτητας για οποιαδήποτε χρονική στιγµή: υ= υ + υ Ταχύτητα που θα έχει το σώµα, όταν θα φτάσει στο έδαφος: υ= υ + g t υ Η κατεύθυνση ορίζεται: εφω = υ 0 Ποιος είναι ο ορισµός της οµαλής κυκλικής κίνησης; Την κίνηση ενός σώµατος κατά την οποία η τροχιά του είναι περιφέρεια κύκλου και το µέτρο της ταχύτητάς του είναι σταθερό την ονοµάζουµε οµαλή κυκλική. Τι γνωρίζουµε για την επιτάχυνση στην οµαλή κυκλική κίνηση; Η κυκλική κίνηση είναι µια καµπυλόγραµµη κίνηση και η επιτάχυνση α έχει δύο συνιστώσεις: Μια εφαπτόµενη στην τροχιά, την επιτρόχια α ε (που δηµιουργεί την µεταβολή στο µέτρο της ταχύτητας). Μια κάθετη στην ταχύτητα, στη διεύθυνση της ακτίνας µε φορά προς το κέντρο της κίνησης, την κεντροµόλο α κ (που δηµιουργεί την µεταβολή στην διεύθυνση της ταχύτητας). Στην οµαλή κυκλική κίνηση: Η επιτρόχια επιτάχυνση είναι: αε = 0 διότι το µέτρο της ταχύτητα µένει σταθερό. υ Η κεντροµόλος επιτάχυνσης είναι: ακ =, (1m/s ) R όπου R: ακτίνα τροχιάς κάθετη στην ταχύτητα υ ίδια διεύθυνση µε την ακτίνα της τροχιάς φορά προς το κέντρο της τροχιάς Τι ονοµάζουµε περίοδο στην οµαλή κυκλική κίνηση; Περίοδος Τ ονοµάζεται ο χρόνος που χρειάζεται ένα κινητό να εκτελέσει µια περιστροφή. Μονάδες S.I. 1s
60. υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες ώστε τον ορισµό της συχνότητας στην οµαλή κυκλική κίνηση: Συχνότητα f ονοµάζεται το πηλίκο του αριθµού των περιστροφών Ν που εκτελεί N σε κάποιο χρόνο το κινητό, προς το χρόνο αυτό: f =, Μονάδες S.I. 1Ηz = 1s 1. t Tι γνωρίζουµε για την κεντροµόλο δύναµη; Η δύναµη αυτή είναι κάθετη στη διεύθυνση της ταχύτητας του σώµατος έχει κατεύθυνση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και γι αυτό λέγεται κεντροµόλος δύναµη. εν είναι µία ακόµα δύναµη που ενεργεί στο σώµα, είναι η συνισταµένη όλων των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα κατά τη διεύθυνση της ακτίνας της κυκλικής τροχιάς, µε φορά προς το κέντρο του κύκλου. Η βασική προϋπόθεση για να µπορέσει ένα σώµα να εκτελέσει κυκλική κίνηση είναι να υπάρχει κεντροµόλος δύναµη F κ. Τα χαρακτηριστικά της F κ είναι: mυ mυ Μέτρο: Fκ = m ακ ή Fκ = ή ΣFR = Μονάδα S.I. 1N R R ιεύθυνση: ίδια µε της ακτίνας του κύκλου (κάθετη στη ταχύτητα υ) Φορά: προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς Ορισµός της γραµµικής ταχύτητας (υ) στην οµαλή κυκλική κίνηση: Στην οµαλή κυκλική κίνηση η ταχύτητα περιστροφής ή γραµ- µική ταχύτητα ενός κινητού είναι το φυσικό µέγεθος που έχει µέτρο ίσο µε το πηλίκο του µήκους τόξου S που διανύει το κινητό σε κάποιο χρόνο t, προς τον χρόνο αυτό. S Άρα: υ = Μονάδα S.I. 1m/s t Η διεύθυνση είναι κάθετη στην ακτίνα της τροχιάς, ενώ η κατεύθυνση της µεταβάλλεται συνεχώς, επειδή είναι εφαπτόµενη της τροχιάς. Ορισµός της γωνιακής ταχύτητας (ω): Το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω εκφράζει τη µεταβολή της επίκεντρης γωνίας θ που διαγράφει η επιβατική ακτίνα επάνω στην περιφέρεια του κύκλου, προς τον θ απαιτούµενο χρόνο t: ω = t π ω = = πf, Mονάδα S.I. 1rad/s Τ Η διεύθυνση είναι κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς. Η φορά καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.
Τύποι - Βασικές έννοιες υναµική στο επίπεδο 61. Μεθοδολογία ασκήσεων 3ου Κεφαλαίου 1. Σε σύστηµα σωµάτων εφαρµόζουµε το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα ξεχωριστά για κάθε σώµα του συστήµατος λαµβάνοντας υπόψη µόνο τις δυνάµεις που ασκούνται σ αυτό (σώµα). Παράδειγµα: Ισχύει T= T Σώµα Α: Β1 Τ = m1α (1) Σώµα Γ: T = mα T = mα () Με πρόσθεση των (1) κ () κατά µέλη: mg 1 Β 1 = (m1+ m )α α= m + m 1 Το σχοινί και η τροχαλία θεωρούνται αβαρή και δεν υπάρχουν τριβές µεταξύ των σωµάτων. Ένδειξη ζυγαριάς. Η ζυγαριά µετράει τη δύναµη που ασκεί σ αυτήν το σώµα που είναι τοποθετηµένο πάνω της. Η δύναµη αυτή δεν ισούται πάντα µε το βάρος του σώµατος. B: Η δύναµη που ασκεί η γη στο σώµα Ν: Η δύναµη που ασκεί η ζυγαριά στο σώµα. Ν : Η δύναµη που ασκεί το σώµα στη ζυγαριά Ισχύει: Ν = Ν : Η ζυγαριά µετράει τη δύναµη Ν 3. Για τη σύνθεση δυνάµεων που σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία φ απαραίτητες είναι οι γνώσεις των τιµών των παρακάτω τριγωνοµετρικών αριθµών: θ ηµθ συνθ εφθ ο 0 0 1 0 o 30 1/ 3 / 3 / 3 o 45 / / 1 o 60 3 / 1/ 3 o 90 1 0 Επίσης για γωνίες µεγαλύτερη των 90 ο χρησιµοποιούµε τους τύπους: ηµ ( 180 θ) = ηµθ και ( ) συν 180 θ = συνθ
6. υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες Μεθοδολογία ασκήσεων στην ισορροπία υλικού σηµείου α. Για την περίπτωση ισορροπίας υλικού σηµείου µε την επίδραση τριών οµοεπιπέδων δυνάµεων Εφαρµογή Το σώµα του σχήµατος ισορροπεί µε την επίδραση οριζόντιας δύναµης F. Το σώµα είναι δεµένο στο άκρο σχοινιού το άλλο άκρο του οποίου είναι στερωµένο σε οροφή. Να βρεθεί η τάση του σχοινιού και το βάρος του σώµατος. ίνονται µάζα σώµατος m και γωνία φ. 1ος τρόπος Επιλέγουµε κατάλληλους ορθογώνιους αξονες και και αναλύουµε την τάση του σχοινιού σ αυτούς. Τ Τ = T ηµφ = Τ συνφ Επειδή το σώµα ισορροπεί θα ισχύουν οι σχέσεις: F = = = = (1) ΣF 0 F T 0 F Tηµφ T ηµφ ΣF = 0 T B= 0 B= Tσυνφ () F F Η () λόγω της (1): B = συνφ B = ηµφ εφφ ος τρόπος Επειδή το σώµα ισορροπεί η συνισταµένη F και B θα είναι αντίθετη της τάσης T. ΣF = 0 F + B + T = 0 F + B = T Σ = T Αλγεβρικά ΣF = 0 Σ Τ = 0 Σ = Τ (3) F F Από το σχήµα: εφφ = B = B εφφ () 3 F F F ηµφ = Σ = T = Σ ηµφ ηµφ Παρατήρηση: Ο δεύτερος τρόπος συνήθως οδηγεί σε πιο γρήγορη λύση. Επειδή όµως χρησιµοποιείται µόνο για ισορροπία τριών δυνάµεων η ανάλυση σε άξονες είναι προτιµότερη.
Τύποι - Βασικές έννοιες υναµική στο επίπεδο 63. β. Ισορροπία σώµατος σε κεκλιµένο επίπεδο (λείο) Εφαρµογή Το σώµα του σχήµατος έχει βάρος Β = 100Ν και ι- σορροπεί σε λείο κεκλιµένο επίπεδο µε την επίδραση δύναµης F παράλληλης στο κεκλιµένο επίπεδο. Αν ο φ= 30 να υπολογιστεί η F και η δύναµη Ν από το δάπεδο στο σώµα. Αναλύουµε το βάρος του σώµατος σε ορθογώνιους άξονες τον παράλληλο στο κεκλιµένο επίπεδο και τον κάθετο σ αυτό. Έτσι Β = Βσυνφ Β = Βηµφ Από τις συνθήκες ισορροπίας του σώµατος παίρνουµε: ΣF = 0 F B = 0 F = Bηµφ = 50Ν ΣF = 0 Ν Β = 0 N = Bσυνφ = 50 3N γ. Όταν σε ένα υλικό σηµείο ασκείται ένας αριθµός δυνάµεων και το σώµα δεν ισορροπεί τότε για να ισορροπήσει πρέπει να ασκήσουµε δύναµη F που υπολογίζεται ως εξής: i. Αναλύουµε τις ήδη υπάρχουσες δυνάµεις σε κατάλληλο ορθωγόνιο σύστηµα αξόνων ΧΟΥ ii. Σχεδιάζουµε την άγνωστη δύναµη F µε κατεύθυνση τέτοια ώστε οι δύο συνιστώσες της στους άξονες να έχουν θετική αλγεβρική τιµή. (εκτός αν η κατεύθυνσή της είναι προφανής). iii. Εφαρµόζουµε τις συνθήκες ισορροπίας για το σώµα ΣF = 0 ΣF = 0 από τις οποίες υπολογίζουµε τις συνιστώσες F iv. Για το µέτρο της F θα έχουµε: εφθ = F / F (θ η γωνία µε τον άξονα ). και και F της δύναµης F. F= F + F και για την κατεύθυνση της
64. υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες Μεθοδολογία ασκήσεων στον ο Νόµο Νεύτωνα στο επίπεδο 1. Όταν σώµα κινείται υπό την επίδραση δύο δυνάµεων που δεν είναι αντίθετες τότε υπολογίζουµε την συνισταµένη των δυνάµεων. Μέτρο: ΣF = F + F + F F συνφ 1 1 F1 ηµφ Κατεύθυνση: εφθ = F + Fσυνφ 1 ΣF και ΣF = mα α = m. Μεθοδολογία κίνησης σε µη λείο οριζόντιο επίπεδο µε την επίδραση ή όχι δύναµης F α. Χωρίς την επίδραση δύναµης F. Στον άξονα το σώµα ισορροπεί: ΣF = 0 N = B N = mg (1) Στον άξονα το σώµα θα εκτελέσει κίνηση ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη λόγω της τριβής. Για το µέτρο της επιβράδυνσης ισχύει: ΣF = mα T = mα µn = mα και λόγω της (1) µmg = mα α = µg. β. Με την επίδραση οριζόντιας δύναµης F. Άξονας : ΣF = 0 N = B N = mg (1) Άξονας : () ΣF = mα F Τ = mα F µν = mα 1 F µmg = mα από όπου υπολογίζουµε την επιτάχυνση α της κίνησης. Αν F > Τ η κίνηση οµαλά επιταχυνόµενη Αν F= T η κίνηση ευθύγραµµη οµαλή Αν F< T η κίνηση οµαλά επιβραδυνόµενη. (Αν το επίπεδο είναι λείο η T = 0)
Τύποι - Βασικές έννοιες υναµική στο επίπεδο 65. γ. Με την επίδραση δύναµης F που σχηµατίζει γωνία φ µε το οριζόντιο επίπεδο προς τα πάνω. Για τον άξονα ισχύει: ΣF = 0 F + N= B N= mg Fηµφ (1) (πάντοτε από την σχέση ισορροπίας του άξονα υπολογίζουµε την κάθετη αντίδραση Ν ). Για τον άξονα : ΣF mα F T mα Fσυνφ µn mα = = = και λόγω της (1) Fσυνφ µ(mg Fηµφ) = mα από όπου υπολογίζουµε την επιτάχυνση της κίνησης (ή την επιβράδυνση). (Αν το επίπεδο είναι λείο η T = 0) 3. Κίνηση σε µη λείο κεκλιµένο επίπεδο µε την επίδραση της δύναµης F παράλληλης µε το κεκλιµένο επίπεδο. α. Κίνηση προς τα πάνω Άξονας : ΣF = 0 N B = 0 N= B N= mgσυνφ (1) Άξονας : ΣF mα F T B mα F µmgσυνφ mgηµφ = mα () 1 = = Η αλγεβρική τιµή της α εξαρτάται από το µέτρο των δυνάµεων F, Β, T. Αν F= 0 τότε mα = µmgσυνφ + mgηµφ α = µgσυνφ + gηµφ (µέτρο της επιβράδυνσης). (Αν το επίπεδο είναι λείο η T = 0) β. Κίνηση προς τα κάτω ( F υ) Άξονας : ΣF 0 N B N mgσυν = = = (1) Άξονας : F F + B T= mα () 1 F + mgηµφ µmgσυν = mα () Η δύναµη F µπορεί να είναι αντίρροπη της ταχύτητας. (Αν το επίπεδο είναι λείο η T = 0)
66. υναµική στο επίπεδο Τύποι - Βασικές έννοιες ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΝ ΕΙΞΗΣ ΖΥΓΑΡΙΑΣ ΓΙΑ ΣΩΜΑ ΠΟΥ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΜΕΣΑ ΣΕ ΑΣΑΝΣΕΡ α. Ασανσέρ ακίνητο ή ασανσέρ που κινείται µε σταθερή ταχύτητα. Ισχύει ΣF = 0 N B = 0 N = B. Η ζυγαριά θα δείχνει το βάρος του σώµατος. β. Ασανσέρ που ανεβαίνει µε επιτάχυνση α (ή κατεβαίνει µε επιβράδυνση α ). Ισχύει: ΣF = mα Ν Β= mα N mg= mα Ν= mg+ mα Η ένδειξη της ζυγαριάς είναι µεγαλύτερη από το βάρος του σώµατος. γ. Ασανσέρ που κατεβαίνει µε επιτάχυνση α (ή ανεβαίνει µε επιβράδυνση α ). Ισχύει: ΣF = mα B N = mα N= mg mα= m(g α) Η ένδειξη της ζυγαριάς µικρότερη από το βάρος του σώµατος. Αν α = g τότε N = 0. Το σώµα θα εκτελεί ελεύθερη πτώση, µε την επίδραση µόνο του βάρους του
Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 67. ÂÞìá 1 Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Απόδειξη 1 Ποια είναι η εξίσωση τροχιάς σώµατος που κάνει οριζόντια βολή; Η εξίσωση της τροχιάς σε µια βολή είναι µια σχέση µεταξύ των συντεταγµένων θέσης και, η οποία δεν περιλαµβάνει το χρόνο, και µας δίνει το είδος της τροχιάς του σώµατος. Έτσι έχουµε: = υ0 t t = υ g 0 1 ή = = g t 1 υ0 = g υ 0 Με τι ισούται ο χρόνος που χρειάζεται το σώµα να φτάσει στο έδαφος, στην οριζόντια βολή; 1 g t 1 h h = gt h = gt t = g = ή Με τί ισούται το βεληνεκές στην οριζόντια βολή (µέγιστη οριζόντια µετατόπιση); h ma = υ0 t ma = υ 0 g Να υπολογιστεί η ταχύτητα µε την οποία θα φτάσει το σώµα στο έδαφος, στην οριζόντια βολή: t = h g υ υ 0 = υ = g t η συνισταµένη των δύο ταχυτήτων είναι η ταχύτητα υ που έχει το σώµα στο έδαφος, δηλαδή έχει µέτρο: υ= υ + υ υ= υ0 + g t υ κατεύθυνση: εφω = υ
68. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1 ο Απόδειξη Από τι εξαρτάται η γωνία κλίσης του δρόµου, για την ασφαλή διέλευση οχή- µατος σε στροφή (σχέση γωνίας οδοστρώµατος µε τη γραµµική ταχύτητα); Όταν ένα αυτοκίνητο κινείται πάνω σε κεκλιµένο ως προς το οριζόντιο επίπεδο δρόµο, η απαραίτητη κεντροµόλος δύναµη για την ασφαλή διέλευση του οχήµατος εξαρτάται από την κλίση του δρόµου. Αν θεωρήσουµε αµελητέα την τριβή, στο όχηµα ασκούνται δύο δυνάµεις: το βάρος του B και η κάθετη δύναµη Α από το οδόστρωµα. Tο ρόλο της κεντροµόλου δύναµης ασκεί η συνιστώσα A mυ mυ A = A ηµφ = υ R R εφφ = R g Α = B Aσυνφ= mg Φαίνεται ότι για ορισµένη κλίση του οδοστρώµατος η διέλευση είναι ασφαλής µόνο για ορισµένη τιµή της ταχύτητας. Απόδειξη 3 Να αποδείξετε ότι το µέτρο της γραµµικής ταχύτητας στην οµαλή κυκλική κίνηση ισούται µε: πr υ= T Εάν ο χρόνος t είναι ο χρόνος µιας περιόδου Τ, τότε το µήκος του τόξου που διανύει το κινητό είναι ίσο µε την περίµετρο του κύκλου S = πr. S πr Oπότε, o τύπος υ = γίνεται: υ = t T Να αποδείξετε ότι το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας στην οµαλή κυκλική κίνηση ισούται µε: π ω= ή ω = πf Τ Σε χρόνο µιας περιόδου Τ η επιβατική ακτίνα θα έχει διαγράψει γωνία π rad, έτσι: π ω = µονάδα µέτρησης: rad / s Τ 1 Επειδή f = ισχύει και ω= πf T
Βήµα 1 ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις 69. Να αποδειχθεί η σχέση µεταξύ συχνότητας f και περιόδου Τ: N Αν t = T τότε Ν = 1 κύκλο, άρα ο τύπος f = παίρνει τη µορφή f t 1 = T Να αποδειχθεί η σχέση γραµµικής ταχύτητας υ και γωνιακής ταχύτητας ω του κινητού: πr υ = T υ = ω R π ω = Τ Όλα τα σηµεία ενός περιστρεφόµενου δίσκου ενώ έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω, έχουν γραµµικές ταχύτητες η τιµή των οποίων είναι ανάλογη µε την απόσταση τους από τον άξονα (κέντρο) περιστροφής. Να αποδειχθεί η σχέση γραµµικής ταχύτητας υ και συχνότητας περιστροφής f του κινητού: πr 1 Από τη σχέση: υ = πr T = Τ υ = πrf Να αποδειχθεί η σχέση που συνδέει το κέντρο της κεντροµόλου επιτάχυνσης α και της γωνιακής ταχύτητας. κ υ ( ωr) ω R Από τη σχέση: ακ = = = ακ = ω R R R R Να αποδειχθεί η σχέση που συνδέει την κεντροµόλο δύναµη και τη συχνότητα περιστροφής f: mυ m m 4π R f Από τη σχέση: Fκ = = ( πrf ) = Fκ = 4mπ Rf R R R Απόδειξη 4 Να αποδειχθεί για τη γωνία τριβής φ ισχύει εφφ = µ σ Είναι η ελάχιστη γωνία κεκλιµένου επιπέδου για την οποία ένα σώµα είναι έτοιµο να ολισθήσει µε την επίδραση του βάρους του. Τη στιγµή που για την γωνία φ το σώµα είναι έτοιµο να ολισθήσει η στατική τριβή έχει πάρει τη µέγιστη τιµή της T σ = Τ σma = µ σ Ν. Θα ισχύει: ΣF = 0 (οριακά) Β = Τσma mgηµφ = µ σν mgηµφ = µ σmgσυνφ εφφ = µ σ. Η γωνία φ λέγεται γωνία τριβής.
70. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις κλειδιά Βήµα ο ÂÞìá ÂÞìá 1 Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις κλειδιά Α. Από το σχολικό βιβλίο ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 003. σ.σ. 151-156: Ερωτήσεις 16, 17, 6, 8, 3, 33, 35, 41, 4, 44, 5, 53 σ.σ. 157-159: Ασκήσεις 3, 6, 7, 8, 1, 0,, 4 Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ σ. 96: Ερωτήσεις 3, 4, 5, 6 σ. 98: Ασκήσεις 4, 5, 7, 8, 15, 18, 1 σ. 11: Ερωτήσεις 5, 6, 7, 8, 9 σ.σ. 113-115 : Ασκήσεις 4, 5, 10, 11 σ. 19: Ερωτήσεις 4, 5, 6, 7, 8, 10 σ.σ. 130-133: Ασκήσεις 4, 7, 10, 1, 14
Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 71. ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá 1 Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 1. Σε κιβώτιο µάζας m= 10kg που αρχικά ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο, α- σκείται οριζόντια δύναµη µέτρου F = 100N για t 1 = 5s και µετά η δύναµη καταργείται. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σώµατος και ε- πιπέδου είναι µ = 0,1, να βρεθούν: α. η ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή που καταργείται η δύναµη β. ο ολικός κίνησης του σώµατος γ. το ολικό διάστηµα που διανύει. ίνεται: g= 10m/s. Λύση: α. ιαδροµή ΑΓ Οι οριζόντιες δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα είναι η F και η T. Από τον ο νόµο του Νεύτωνα έχουµε: F µmg ΣF = mα F T = mα F µ Ν = mα F µmg = mα α = m α = 9m/s και υ = α t υ = 9m/s 5s= 45m/s 1 1 1 1 1 β. Στη διαδροµή Γ η µόνη οριζόντια δύναµη είναι η T. Από τον ο νόµο του Νεύτωνα υπολογίζουµε την επιτάχυνση (επιβράδυνση) α ΣF = mα T = m( α ) µmg = mα α = 1m / s Επειδή το σώµα σταµατά στο έχουµε: υ1 υ = υ1 αt Γ 0= υ1 αt Γ tγ = tγ = 45s α1 Οπότε tολ = t1 + tγ = 5s+ 45s= 50s γ. Για το ολικό διάστηµα που διανύει το σώµα έχουµε: 1 1 S1 = αt 1 1 S1 = 9m/s 5s S1 = 11,5m υ1 SΓ = SΓ = 101,5m οπότε Sολ = S1 + SΓ = 115m α
7. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο. Σώµα µάζας m= 10 3kg κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου υ= 0m/s σε οριζόντιο δρό- µο µε την επίδραση δύναµης µέτρου F = 100N ο που σχηµατίζει θ= 60 µε το οριζόντιο επίπεδο προς τα πάνω. Μετά από t 1 = 10s η F καταργείται. Να βρεθούν: α. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σώµατος και επιπέδου β. Ο χρόνος που θα σταµατήσει το σώµα µετά την κατάργηση της δύναµης. ίνεται: g= 10m/s Λύση: α. ιαδροµή ΑΓ: Αναλύουµε την F σε δύο συνιστώσες F και F µε µέτρα 1 3 F = F συνθ = 100Ν = 50Ν και F = F ηµθ = 100Ν = 50 3Ν Επειδή το σώµα κινείται µε υ= σταθ. Ισχύει: ΣF = 0 F T = 0 F = T T = 50N Από την συνθήκη ισορροπίας στον κατακόρυφο άξονα έχουµε: ΣF = 0 F + N B = 0 N= B F Ν= mg F ηµθ Ν= 50 3N Τ 50Ν 3 T = µν µ = = µ = Ν 50 3Ν 3 β. Μετά την κατάργηση της F η µόνη οριζόντια δύναµη είναι η τριβή, η οποία επιβραδύνει και τελικά σταµατά το σώµα Τ' 10 3 ΣF = mα T ' = m( α) α = α = m / s m 3 υ0 όπου T' = µ Ν' Τ' = µ mg Τ = 100N και t = t = 3s α 3. Σώµα ρίχνεται από τη βάση κεκλιµένου επιπέδου ο κλίσης θ= 30 µε υ= 0m/s. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σώµατος και κεκλιµένου επιπέδου είναι µ = να βρεθούν: 3 5 α. Η απόσταση που διανύει στο κεκλιµένο επίπεδο µέχρι να σταµατήσει στιγµιαία.
Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 73. β. Να εξεταστεί αν θα επιστρέψει στη βάση του κεκλιµένου και αν ναι, σε πόσο χρόνο και µε ποια ταχύτητα. ( ίνεται ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής σώµατος και κεκλιµένου επιπέδου µ' = και g= 10m/s ) 3 4 Λύση: α. Η απόσταση που διανύει το σώµα µπορεί να βρεθεί ή µε εφαρµογή του νόµου Νεύτωνα ή µε το θεώρηµα έργου ενέργειας. Γνωρίζουµε επίσης ότι: B = mgσυνθ, Β = mgηµθ Οι δυνάµεις ασκούνται στη διεύθυνση κίνησης του σώµατος είναι η B και T που επιβραδύνουν το σώµα, οπότε για το διάστηµα που διανύει µέχρι να σταµατήσει ισχύει: 0 υ s= () 1. Iσχύει στον : ΣF = 0 N = B = mgσυνθ α Τ = µν T = µmgσυνθ Ισχύει: ΣF = mα Β T = m( α) mgηµθ + µ mgσυνθ = mα α = 8 m / s Από την (1) έχουµε: υ 0 s= S= 5m. α β. Για να εξετάσουµε αν θα επιστραφεί στη βάση, σχεδιάζουµε τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα για να κινηθεί προς τα κάτω θα πρέπει: 1 3 3 1 3 Β > Tστ mgηµθ > µ στmgσυνθ ηµθ > µ στσυνθ > > που 4 8 ισχύει άρα το σώµα επιστρέφει. Β T Έχουµε: ΣF = mα Β T = mα α = α' = m/s m 1 S 5m S = αt t = = t = 5s και υ επ = α t υεπ = 10m/s α m /s 4. Σώµα αφήνεται στο σηµείο Α κεκλιµένου επιπέδου σε ύψος h= 1,5m και συνεχίζει την κίνησή του στο οριζόντιο επίπεδο σε απόσταση 10m (σηµείο Γ) από τη βάση του κεκλιµένου. Να βρεθεί ο χρόνος κίνησης t AΓ (τα ο επίπεδα θεωρούνται λεία, φ= 30 ). Λύση: ΣF = mα mgηµφ = mα α = gηµφ α = 5m / s
74. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο h h ΤΡΙΓ. ΑΕΖ: ηµφ = AZ SAZ AZ AZ = ηµφ = 1 h 1 SΑΖ = αt = g ηµφ t t1 = 1s ηµφ υz = α t1 υz = 5m/s ΖΓ: ευθύγραµµη οµαλή SZΓ = υt t = s και t ολ = t 1 + t = s 5. Σε σώµα m= kg αρχικά ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο ασκείται οριζόντια δύναµη F της οποίας η αλγεβρική τιµή δείχνεται στο διάγραµµα: α. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος τη χρονική στιγµή t = 8s β. Να γίνει το διάγραµµα (υ, t) Λύση: α. 0 4s: Ασκείται στο σώµα σταθερή δύναµη µέτρου F= 50N οπότε κάνει ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση. F F = mα1 α1 = α1 = 5m/s και υ1 = α1t υ1 = 100m / s m 4 6s: F= 0 και α = 0 άρα το σώµα κάνει ευθύγραµµη οµαλή µε υ = υ1 = 100m/s 6 8s: Ασκείται σταθερή δύναµη µέτρου F= 0N αντίρροπη στην κίνησή του, οπότε το σώµα κάνει ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση µε αρχική ταχύτητα υ0 = υ = 100m/s. F Άρα F = mα3 α3 = α3 = 10m/s m και υ3 = υ0 α3t υ3 = 80m/s είναι η ταχύτητά του στο τέλος των 8s β. ιάγραµµα (υ, t)
Βήµα 3 ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις 75. 6. Όταν το σύστηµα του σχήµατος αφεθεί ελεύθερο να βρεθούν: α. Το διάστηµα που διανύει η m 1 σε s β. Η ταχύτητα του m σε s γ. Η τάση του νήµατος ίνονται: m1 = m = 5kg, g= 10m/s και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του m 1 µε το δάπεδο µ = 0,5. (Η τροχαλία θεωρείται αβαρής) Λύση: Εφαρµόζουµε το ο Νόµο του Νεύτωνα για κάθε σώµα χωριστά µε τις δυνάµεις που φαίνονται στο σχήµα: για το m 1: ΣF= mα Τ Τ = mα Τ µmg= mα () 1 για το 1 ρ 1 1 1 m : ΣF= mα Β Τ= mα mg Τ= mα( ) () 1 + ( ) m g µm g = m α + m α α = 3,75m / s 1 1 α. Για το διάστηµα που διανύει το m 1 σε t = s έχουµε: β. υ = α t υ = 7,5m/s 1 S1 = αt S1 = 7,5m γ. () 1 T= m1α + µm1g Τ= 31,5N (Επειδή τα δύο σώµατα συνδέονται µε τεντωµένο νήµα κάθε στιγµή έχουν την ίδια ταχύτητα οπότε και οι µεταβολές των ταχυτήτων τους στη µονάδα του χρόνου είναι ίσες, άρα έχουν και ίσες επιταχύνσεις α 1 = α = α) 00 7. Σ έναν κυκλικό στίβο ακτίνας R= m ξεκινούν από το ίδιο σηµείο δύο π δροµείς Α και Β µε ταχύτητες µέτρων υ Α = 3m/s και υ B = m/s αντίστοιχα. Μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν για τρίτη φορά όταν: α. κινούνται µε την ίδια φορά β. κινούνται µε αντίθετες φορές Λύση: α. Οι δυο δροµείς όταν θα συναντηθούν για πρώτη φορά θα έχουν διατρέξει διαστήµατα: SA = υα t = 3t, SB = υb t = t αλλά ο πρώτος που έχει µεγαλύτερη ταχύτητα θα έχει διαγράψει ένα κύκλο (πr) περισσότερο. Έτσι µετά από την τρίτη φορά θα έχει διαγράψει τρεις κύκλους περισσότερους, δηλ. 00 SA = SB + 3( πr) 3t = t + 6π s t = 100s π β. Όταν κινούνται µε αντίθετες φορές έχουν διαγράψει έναν κύκλο για κάθε φορά 00 που συναντιώνται. SA + SB = 3( πr) 3t + t = 6π s t = 40s π
76. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3 ο 8. Ο οριζόντιος δίσκος του σχήµατος περιστρέφεται µε συχνότητα f = 0,1Hz. Για να ισορροπεί ένα σώµα πάνω στο δίσκο, πρέπει να υπάρχει τριβή µεταξύ τους. Αν µ σ = 0, να βρείτε τις τιµές που µπορεί να πάρει η απόσταση d, ώστε το σώµα να ισορροπεί πάνω στο δίσκο. ίνονται g= 10m/s και π = 10. Λύση: Για να ισορροπεί το σώµα πρέπει να υπάρχει στατική τριβή η οποία να παίζει το ρόλο της απαραίτητης κεντροµόλου δύναµης. mυ Ισορροπεί όταν: Τσma F κ µ σ mg d µg σ d ή d 5m 4π f µ σ mg 4π f dm 9. Ένα βοµβαρδιστικό αεροπλάνο ενώ πετάει οριζόντια µε ταχύτητα 75 m/s ως προς το έδαφος σε ύψος 3000m πάνω από µια επίπεδη επιφάνεια, ρίχνει µια βόµβα. α. Σε ποια οριζόντια απόσταση από τη θέση από την οποία αφέθηκε, η βόµβα θα προσκρούσει στο έδαφος. β. Αν το αεροπλάνο διατηρεί την αρχική του ταχύτητα και πορεία, που θα βρίσκεται κατά τη στιγµή που η βόµβα θα προσκρούσει στο έδαφος; ίνεται: g= 10m/s Λύση: h 3000m α. Ο χρόνος πτώσης της βόµβας είναι: t = = t = 4,5s g 10m/s η οριζόντια µετατόπιση της βόµβας είναι: = υt 0 = 75m/s 4,5s = 6737,5m β. Η κίνηση του αεροπλάνου είναι ευθύγραµµη οµαλή, οπότε σε χρόνο t= 4,5s θα έχει διανύσει απόσταση αερ = υ0t αερ = 75m / s 4,5s αερ = 6737,5m ίση µε το βεληνεκές της βόµβας. Βρίσκεται κατακόρυφα πάνω απ το σηµείο στο οποίο προσέκρουσε η βόµβα.
Βήµα 4 ο Λύνουµε µόνοι µας 77. ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá 1 Λύνουµε µόνοι µας 1. Σώµα m= kg ξεκινά να ανέρχεται από τη βάση κεκλιµένου επιπέδου κλίσης θ µε ηµθ = 0,6 και συνθ = 0,8 µε επίδραση οριζόντιας δύναµης F = 100N. Aν µ = 0,1 να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος όταν αυτό έχει διανύσει 10m στο κεκλιµένο.. Σώµα µάζας m= 1kg είναι αρχικά ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης µ = 0,1. Τη χρονική στιγ- µή t = 0 στο σώµα ασκούνται δύο οριζόντιες δυνάµεις κάθετες µεταξύ τους µε µέτρα F 1 = 8N και F = 6N. Nα βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος στο οριζόντιο επίπεδο µετά από 4 sec καθώς και το διάστηµα που έχει διανύσει στη διάρκεια του 4ου sec της κίνησής του. 3. Από τη βάση κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσης τα πάνω ένα σώµα µε αρχική ταχύτητα µέτρου υ 0 ο φ= 30, εκτοξεύεται προς = 3m/s.Ο συντελεστής τριβής µεταξύ του σώµατος και του επιπέδου είναι µ = 3/5 α. Να υπολογιστεί το διάστηµα που θα διανύσει το σώµα µέχρι να σταµατήσει στιγµιαία. β. Θα επιστρέψει το σώµα στη βάση; γ. Αν ναι µε τι ταχύτητα; 4. Σώµα µάζας m περνάει από σηµείο Α λείου οριζόντιου επιπέδου µε ταχύτητα υ 0 και διανύει 4 m στο οριζόντιο επίπεδο σε t = 1s. Στη συνέχεια ο συναντά λείο κεκλιµένο επίπεδο κλίσης θ= 30 στο οποίο αρχίζει να ανεβαίνει. Να βρεθεί ο συνολικός χρόνος για να περάσει το σώµα για δεύτερη φορά από το σηµείο Α του οριζόντιου επιπέδου (µε αντίθετη ταχύτητα).
78. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4 ο 5. Σε σώµα m= 5kg που αρχικά ηρεµεί σε οριζόντιο δάπεδο ασκείται δύνα- µη µέτρου F = 30N που σχηµατίζει ο θ= 45 προς τα πάνω µε το οριζόντιο επίπεδο. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι µ = 0, και η F ασκείται για t = 3s και µετά καταργείται να βρεθούν: α. Η ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή που καταργείται η δύναµη. β. Ο συνολικός χρόνος κίνησης του σώµατος µέχρι να σταµατήσει. γ. Να γίνουν τα διαγράµµατα υ(t) και α(t). 6. Αεροπλάνο κινείται οριζόντια σε ύψος h = 30m από το έδαφος µε ταχύτητα υ0 = 100m / s. Στο έδαφος κινείται οµόρροπα στην ίδια διεύθυνση άρµα µε ταχύτητα υ1 = 10m/s. Να βρείτε από ποια οριζόντια απόσταση s από το άρµα πρέπει ο πιλότος να αφήσει µια βόµβα ώστε αυτή να χτυπήσει το άρµα. ίνεται g= 10m/s. 7. Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m κρέµεται από µη εκτατό νήµα µήκους L. Το σφαιρίδιο περιστρέφεται οµαλά κυκλικά σε οριζόντιο επίπεδο κατά τρόπο που το νήµα να διαγράφει περιφέρεια κώνου. Η γωνία που σχηµατίζει το νήµα µε την κατακόρυφο είναι θ. Να βρεθούν: α. το µέτρο της γραµµικής ταχύτητας του σφαιριδίου β. η περίοδος περιστροφής του σφαιριδίου. 8. Σε ένα ρολόι ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης δείχνει τη 1η ώρα ακριβώς. Μετά από πόσο χρόνο οι δείκτες θα σχηµατίσουν για πρώτη φορά γωνίες π, π και π.
Βήµα 5 ο Ελέγχουµε τις γνώσεις µας 79. ÂÞìá 5 ÂÞìá 4 ÂÞìá 3 ÂÞìá ÂÞìá 1 Ελέγχουµε τις γνώσεις µας Θέµα 1 ο 1. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές: α. Η στατική τριβή, µεταξύ δύο επιφανειών, είναι σταθερή β. Η τριβή ολίσθησης είναι ανάλογη του βάρους γ. Η τριβή ολίσθησης έχει πάντα αντίθετη κατεύθυνση από την κατεύθυνση της κίνησης του σώµατος πάνω στο οποίο δρά.. Σώµα εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση α. Το διάνυσµα της κεντροµόλου δύναµης είναι σταθερό β. Η συνισταµένη των δυνάµεων που σκούνται σ αυτό ισούται µε την κεντροµόλο δύναµη. γ. Το διάνυσµα της επιτάχυνσης είναι σταθερό δ. Το διάνυσµα της ταχύτητας είναι σταθερό. 3. Ένα µικρό σώµα αφήνεται από αερόστατο που πετά οριζόντια σε ύψος h. Τη στιγµή που αφήνεται το σώµα έχει ταχύτητα ίδιου µέτρου µε την ταχύτητά του... Η κίνηση του είναι σύνθεση δύο κινήσεων. Μιας η οποία εξελίσσεται σε οριζόντια διεύθυνση και είναι... και µιας που εξελίσσεται σε κατακόρυφη διεύθυνση και είναι... 4. Χαρακτηρίστε µε (Σ) τις σωστές προτάσεις και µε (Λ) τις λανθασµένες: α. Το µέτρο της ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση είναι σταθερό, ενώ στην οµαλή κυκλική µεταβάλλεται. β. Το διάνυσµα της ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση είναι σταθερό, ενώ στην οµαλή κυκλική µεταβάλλεται. γ. Το µέτρο της επιτάχυνσης στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση είναι σταθερό ενώ στην οµαλή κυκλική µεταβάλλεται. δ. Το διάνυσµα της επιτάχυνσης στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση είναι σταθερό ενώ στην οµαλή κυκλική µεταβάλλεται.
80. Ελέγχουµε τις γνώσεις µας Βήµα 5 ο 5. Αντιστοιχίστε τα στοιχεία της αριστερής µε αυτά της δεξιάς στήλης. α. ω i. 1m / s β. υ ii. 1 Hz γ. ακ iii. m/s δ. f iv. s ε. T v. 1 rad / s Θέµα ο α. Αποδείξτε τη σχέση της γραµµικής µε την γωνιακή ταχύτητα β. Μεταβάλλοντας την κλίση του µη λείου κεκλιµένου επιπέδου, για κάποια γωνία φ, το σώµα αρχίζει να κατέρχεται ισοταχώς. Πως µπορούµε να υπολογίσουµε το συντελεστή τριβής ολίσθησης µ, αν είναι γνωστή η εφφ. γ. Για τις δυνάµεις του σχήµατος F 1 F3 = 16N, F4 = 0N, F = 1N, = 10N, το µέτρο της συνισταµένης τους είναι: i. 14N, ii. N, iii. 10N, iv. 58N Θέµα 3 ο α. Να υπολογισθούν η περίοδος και η συχνότητα του δευτερολεπτοδείκτη, του λεπτοδείκτη και του ωροδείκτη. β. Κάποια στιγµή το ρολόι δείχνει 1 το µεσηµέρι. Μετά από πόση ώρα ο δευτερολεπτοδείκτης και ο λεπτοδείκτης σχηµατίζουν γωνία π rad για πρώτη φορά; Θέµα 4 ο Σώµα µάζας m= 1kg ηρεµεί σε οριζόντιο δάπεδο µε το οποίο έχει συντελεστή τριβής ολίσθησης µ = 0,5. Στο σώµα ασκείται δύναµη F= 10N για χρονικό διάστηµα t1 = s, που σχηµατίζει γωνία φ µε τον ορίζοντα, προς τα πάνω, ώστε ηµφ = 0,6 και συνφ = 0,8. Η δύναµη µετά καταργείται. Να υπολογίσετε: α. τον ολικό χρόνο κίνησης µέχρι το σώµα να σταµατήσει. β. την ολική µετατόπιση του σώµατος µέχρι να σταµατήσει. ίνεται g= 10m/s.