Αν έχουμε το διάνυσμα α O και τον πραγματικό αριθμό * λ R τότε γινόμενο του λ με το διάνυσμα α! λέγεται το διάνυσμα λ α! το οποίο: i) είναι ομόρροπο του α! όταν λ>0 και είναι αντίρροπο του α! όταν λ<0 ii) α.. Πολλαπλασιιασμός αριιθμού με διιάνυσμα Έχει μέτρο το γινόμενο του λ με το α!, δηλαδή: λα = λ α β.. ΙΙδιιότητες πολλαπλασιιασμού αριιθμού με διιάνυσμα Για τον πολλαπλασιασμό πραγματικού αριθμού με διάνυσμα ισχύουν: i) λ(α β) = λα λβ v) λα = Ο λ = Ο ή α = Ο!! ii) (λ μ)α = λα μα vi) ( λ) α = λ( α) = (λα) iii) λ(μα) = (λμ) α vii) Aν λ α = λ β και λ Ο, τότε α = β iv) 1 α = α viii) Αν λ α = μα και α Ο, τότε λ=μ γ.. Γραμμιικός συνδυασμός διιανυσμάτων α) Αν λ R τότε το διάνυσμα β = λα λέγεται γραμμικός συνδυασμός του α!. Π.χ β = α, β = α 3! β) Αν λ, μ R τότε κάθε διάνυσμα της μορφής: γ = λα μβ λέγεται γραμμικός συνδυασμός των α! και β!. Π.χ! γ = 5α 3β γ) Γενικά αν λ1, λ, λκ R τότε κάθε διάνυσμα της μορφής : ν = λ ν λ ν... λ λέγεται γραμμικός συνδυασμός 1 1 κ νκ Φροντιστήρια 16
! των διανυσμάτων ν1, ν,... νκ. Π.χ Το διάνυσμα! ν = 4α 3β γ 5δ είναι γραμμικός συνδυασμός των 3 διανυσμάτων α,β, γ, δ. δ.. Συνθήκη παραλληλίίας διιανυσμάτων Αν έχουμε τα διανύσματα α και β,β 0 τότε είναι παράλληλα αν και μόνο αν υπάρχει λ R έτσι ώστε α = λβ. ηλαδή : α // β α = λβ,β 0 και λ R. ε.. ιιανυσματιική ακτίίνα μέσου τμήματος Αν Μ μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και Ο τυχαίο σημείο αναφοράς τότε ισχύει: OA OB OM = Α M Β Ο Aπό τη προηγούμενη ισότητα έχουμε για κάθε διάμεσο τριγώνου ότι: AB ΑΓ Α = ΒΑ ΒΓ ΒΕ = ΓΑ ΓΒ ΓΖ = Α Ζ Ε Β Γ Φροντιστήρια 17
1. Αν Κ, Λ, Μ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ, αντιστοίχως, τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει: OA OB OΓ = OK ΟΛ ΟΜ Παρατηρούμε ότι τα διανύσματα του δεύτερου μέλους είναι διάμεσοι τριγώνου, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ισότητα της διαμέσου τριγώνου. Έτσι έχουμε: Μ Α Β Κ Λ Ο Γ OM διάμεσος του ΟΚ διάμεσος του ΟΛ διάμεσος του OA OB OAB οπότε: OM = (1) ΟΒ ΟΓ ΟΒΓ οπότε: ΟΚ = () ΟΑΓ οπότε: ΟΑ ΟΓ ΟΛ = (3) Aπό (1), (), (3) έχουμε: ΟΑ ΟΒ ΟΒ ΟΓ ΟΑ ΟΓ ΟΜ ΟΚ ΟΛ = OA OB ΟΓ (ΟΑ ΟΒ ΟΓ) = = ΟΑ ΟΒ ΟΓ Φροντιστήρια 18
. Να βρείτε το διάνυσμα x! από τις παρακάτω ισότητες : α) 1! (α x) (β x! 3 1 = ) β) 3x (α 3β x) = ( x β) 3 3 3 Λύνουμε τις εξισώσεις με άγνωστο το διάνυσμα x!.έτσι έχουμε: 1 1! 1!!! 1!!! 1! α ) (α x) = (β x) α x = β x x x = β α 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1!! 1 x = β α x = β α 3 3 3 3 1 1 β) 3x (α 3β x) = ( x β) 3x α 6β x = x 3β 3 1! 1! 1! 3x x x = 6β 3β α x x = 3β α x = 3β α x = 6β 4α 3. α) Αν α! και β! μη συγγραμικά διανύσματα και! λα μβ = Ομε λ, μ R τότε είναι λ=μ=ο. β) Αν α! και β! μη συγγραμικά διανύσματα, να! αποδείξετε ότι και τα διανύσματα u = α β και! ν = α 3β είναι μη συγγραμικά. α) Αν υποθέσουμε ότι λ 0 τότε: μ! λα μβ = Ο λα = μβ α = β α //β άτοπο, άρα λ=0. λ Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι μ=0. β) Έστω ότι τα u! και ν! είναι συγγραμικά τότε υπάρχει λ R u = λν α β = λ(α 3β) α β = λα 3λβ έτσι ώστε : α λα = 3λβ β (1 λ)α = (3λ )β (1 λ)α (3λ )β = 0 (1 λ)α ( 3λ )β = 0 Aπό (α) ερώτημα έχουμε 1-λ=0 και 3λ-=0 λ= 1 και λ= άτοπο 3 Άρα τα διανύσματα u! και ν! δεν είναι συγγραμικά. Φροντιστήρια 19
"""! """! """"! """! 4. Αν ΑΚ 3 ΑΒ = 5 ΑΜ 3 ΛΒ (1), να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. Για να είναι τα Κ, Λ, Μ συνευθειακά αρκεί να αποδείξουμε ότι δύο από τα διανύσματα που σχηματίζονται από τα σημεία """! """"! αυτά π.χ ΚΛ// ΚΜ είναι συγγραμικά. Επιλέγουμε ένα σημείο π.χ το Κ σαν σημείο αναφοράς και """! """! """! """"! """"! """! """! """! """! εκφράζουμε τα ΑΒ = ΚΒ ΚΑ, ΑΜ = ΚΜ ΚΑ, ΛΒ = ΚΒ ΚΛ τότε η σχέση μας γίνεται """! """! """! """"! """! """! """! AK 3(KB KA) = 5(KM KA) 3(KB 3ΚΛ) """! """! """! """"! """! """! """! AK 3KB 3KA = 5KM 5KA 3KB 9ΚΛ """! """! """"! """! AK KA = 5KM 9ΚΛ """! """! """"! """! ΑΚ ΑΚ = 5ΚΜ 9ΚΛ """! 5 """"! ΚΛ = ΚΜ 9 """! """"! ΚΛ//ΚΜ Oπότε τα σημεία Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά. 5. ίνονται τα σημεία Α, Β, Γ. Να αποδείξετε ότι για """"! """"! """! οποιοδήποτε σημείο Μ, το διάνυσμα 5 ΜΑ 8 ΜΒ 3 ΜΓ είναι σταθερό. """"! """"! """"! Για να είναι σταθερό το διάνυσμα 5ΜΑ 8ΜΒ 3ΜΓ αρκεί να αποδείξουμε ότι ισούται με ένα αλγεβρικό άθροισμα διανυσμάτων με άκρα τα σημεία Α, Β και Γ. ηλαδή να απαλείψουμε το Μ. Επιλέγουμε ως κέντρο αναφοράς ένα από τα σημεία Α, Β, Γ π.χ το Α και έχουμε : """"! """"! """"! """"! """! """"! """! """"! 5ΜΑ 8ΜΒ 3ΜΓ = 5ΜΑ 8( ΑΒ ΑΜ ) 3( ΑΓ ΑΜ) """"! """! """"! """! """"! = 5ΑΜ 8ΑΒ 8ΑΜ 3ΑΓ 3ΑΜ """! """! = 3ΑΓ 8 ΑΒ, που είναι σταθερό, γιατί τα σημεία Α, Β, Γ είναι δεδομένα. Φροντιστήρια 0
1. Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓ. Αν Κ είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του, να αποδείξετε ότι για κάθε σημείο Ο του χώρου ισχύει: ΟΑ OB ΟΓ Ο = 4ΟΚ _. Έστω τετράπλευρο ΟΑΒΓ και Ε, Μ τα μέσα των ΟΑ και ΒΓ αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι ΕΜ = ΟΒ ΟΓ ΟΑ _ Φροντιστήρια 1
! 3. Αν ισχύει 8PA 5PB 3PΓ = Ο τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. _ 4. Αν για τα διανύσματα ΟΑ,ΟΒ και ΟΓ ισχύει OA = 5α β,οβ = 3α 6β και ΟΓ = 4α β τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Φροντιστήρια