2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : 1 + i, 1 i, 3 + 4i, 3 4i, 5i, 4, 1 i, 1 i.

Transcript

1 .3 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 00-0 A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : +,, 3 +, 3, 5,, ( ) ( + ), ( ) ( + ), και +, ( ) ( ) (οι +, είναι συζυγείς, άρα έχουν ίδιο µέτρο) ( ) (+ ) ( ) (+ ) ( ) (+ ) 8 ( ) (+ )

2 . Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : ( + ), + ( ), ( ) (+ ) (+ ) +, + λ+µ λ µ, όπου λ, µ R µε λ + µ 0 + ( ) ( ) + λ+µ λ µ + + λ+µ λ µ + + λ+µ λ µ λ +µ λ +µ

3 3 3. Να βρείτε τους µιγαδικούς + y, για τους οποίους ισχύει : α) α) β) γ) ( ) 0 0 ή 0 0 ή R β) Επειδή 0, ο είναι µη αρνητικός πραγµατικός αριθµός,, έστω. Η δοσµένη εξίσωση ισοδυναµεί ( ) + γ) Επειδή 0 +, ο είναι µη αρνητικός πραγµατικός αριθµός, άρα και ο. Έστω, 0 Η δοσµένη εξίσωση ισοδυναµεί αφού 0

4 . Να βρείτε που ανήκουν οι µιγαδικοί για τους οποίους ισχύει : α) β) γ) δ) < < ε) α) (0+ 0) ο ανήκει στον κύκλο που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και ακτίνα. β) (0+ ) ο ανήκει στον κύκλο που έχει κέντρο το σηµείο Κ(0, ) και ακτίνα. γ) ( ) 3 δ) < < < (0+ 0) < ο ανήκει στον κύκλο που έχει κέντρο το σηµείο Κ(, ) και ακτίνα 3 ο ανήκει στο εσωτερικό του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και ακτίνα και στο εξωτερικό του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και ακτίνα. ε) (0+ 0) ο ανήκει στο εξωτερικό του κύκλου, ή πάνω στον κύκλο που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και ακτίνα

5 5 5. Να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των µιγαδικών για τους οποίους ισχύει : α). + β) > + α) + ( + 0) (0+ ) Οι εικόνες των µιγαδικών ανήκουν στη µεσοκάθετο του τµήµατος ΑΒ, όπου Α(, 0) και Β(0, ) β) > + (0+ ) > ( + 0) Οι εικόνες των µιγαδικών ανήκουν στο ηµιεπίπεδο που ορίζεται από τη µεσοκάθετο του τµήµατος Γ και το σηµείο, όπου Γ(0, ) και (, 0). 6. Αν R, να αποδείξετε ότι η εικόνα του µιγαδικού + + µε κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Αρκεί να αποδείξουµε ότι ανήκει στον κύκλο + + που ισχύει.

6 6 7. Από τους µιγαδικούς, για τους οποίους ισχύει, ποιος έχει το ελάχιστο και ποιος το µέγιστο δυνατό µέτρο; (0+ ) y οι εικόνες του είναι τα σηµεία A 6 του κύκλου µε κέντρο Κ(0, ) και ακτίνα. B K M Έστω Μ η εικόνα του τυχαίου και Α, Β τα σηµεία τοµής του κύκλου µε την ΟΚ. Τότε Α(0, 6) και Β(0, ) Από το τρίγωνο MOK έχουµε O 5 (OK) (KM) (ΟΜ) (ΟΚ) + (ΚΜ) (OK) (KB) (ΟΜ) (ΟΚ) + (ΚA) (OB) (ΟΜ) (OA) () Έστω ο µιγαδικός που έχει εικόνα το σηµείο Α, οπότε 6 και ο µιγαδικός που έχει εικόνα το σηµείο Β, οπότε Η (). Εποµένως, ο µιγαδικός που έχει το ελάχιστο µέτρο είναι ο και ο µιγαδικός που έχει το µέγιστο µέτρο είναι ο Αν για τους µιγαδικούς ισχύει µιγαδικών w µε w +. w + w (w ) () () (w ) w w w (+ 0), να βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των Άρα, οι εικόνες των µιγαδικών w ανήκουν στον κύκλο που έχει κέντρο το σηµείο Κ(, 0) και ακτίνα.

7 7 9. Για δύο µιγαδικούς και να αποδείξετε ότι ( + )( + ) + ( )( ) Β Οµάδας. Να δείξετε ότι για κάθε µιγαδικό ισχύει : Re() + Im() Έστω + y Re() + Im() + y + y ( + y ) y + + y + + y + y y + y y 0 ( y ) 0 που ισχύει.. Έστω ο µιγαδικός, για τον οποίο ισχύει. Να αποδείξετε ότι : Αν, τότε ο w είναι φανταστικός αριθµός και αντιστρόφως. + w φανταστικός w w

8 8 3. Έστω ο µιγαδικός µε 0. Να αποδείξετε ότι : Ο w + είναι πραγµατικός, αν και µόνο αν ο είναι πραγµατικός ή. w πραγµατικός w w ( ) ( ) 0 ( )( 0 ή ) 0 ή 0 R ή.. Έστω ο µιγαδικός µε α, όπου α R. Να αποδείξετε ότι : Ο w +α είναι φανταστικός, αν και µόνο αν ο είναι φανταστικός. +α w φανταστικός w w +α +α +α +α +α +α α +α ( + α)( + α) ( + α)(α ) + α + α + α α α α + και αφού α R φανταστικός α α

9 9 5. Αν η εικόνα του µιγαδικού ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας ρ, να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του µιγαδικού w + Για τον, δίνεται ότι. Για τον w, αρκεί να δείξουµε ότι w. w w w w ( )( + ) ( + )( + ) που ισχύει 6. Αν για το µιγαδικό ισχύει, να δείξετε ότι η εικόνα του ανήκει στον κύκλο µε κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ. ( )( ) ( )( ) η εικόνα του ανήκει στον κύκλο µε κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ.

10 0 7. Αν για το µιγαδικό ισχύει, να βρείτε την τιµή της παράστασης Π + +. Να ερµηνεύσετε γεωµετρικά το συµπέρασµα. Π + + ( + )( + ) + ( )( ) Γεωµετρική ερµηνεία. - y M B(-, 0) O A(, 0) Άρα + + Οι εικόνες M των µιγαδικών, δίνεται ότι είναι τα σηµεία του κύκλου µε κέντρο Ο και ακτίνα, που τέµνει τον άξονα στα σηµεία Α(, 0) και Β(, 0) ΑΒ διάµετρος τρίγωνο ΜΑΒ ορθογώνιο στο Μ (ΜΑ ) + (ΜΒ ) (ΒΑ ) Αλλά (ΜΑ) + + (ΜΒ) + και (ΑΒ)

11 8. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων Μ των µιγαδικών, για τους οποίους ισχύει + +. Ποιο από τα σηµεία Μ απέχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή Ο(0, 0); Έστω + y y+ + y+ O K λ ε 8 M (+ ) + y ( + ) + ε : - 8y y (y+ ) + (y + ) y + y + 8y + 6 8y 5 0. () Αυτή η ευθεία (ε) είναι ο γεωµετρικός τόπος του σηµείου Μ. λ ΟΚ Φέρνουµε ΟΚ ε και έστω Μ η εικόνα του τυχαίου. Τότε (ΟΚ) (ΟΜ), δηλαδή το σηµείο της (ε), που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το Ο είναι το Κ. Εξίσωση της ευθείας ΟΚ : y 0 ( 0) y () Σύστηµα των (), () για να βρούµε τις συντεταγµένες του Κ : () () 8( ) () y Άρα Κ ( 5, )

12 9. Αν Μ και Μ είναι οι εικόνες των µιγαδικών και αντιστοίχως και +, να αποδείξετε ότι : Όταν το Μ κινείται σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας, τότε το Μ κινείται σε µια έλλειψη. Έστω + y και + y. ίνεται y + + y + ( y ) + y + y + ( y ) + y + y y + y + y 6 () y + y + y y y και y y και 3y y και y y 5 3 () ( ) ( y 3 ) y 3 y 6 εξίσωση έλλειψης α) Αν, να δείξετε ότι β) Αν για τους µιγαδικούς,,..., κ ισχύει... κ να αποδείξετε ότι : κ α) κ β) ( ) κ α κ κ κ