1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

Transcript

1 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το και μοναδιαίο διάνυσμα το OI = και τον συμβολίζουμε με Η ημιευθεία O λέγεται θετικός ημιάξονας O ενώ η O λέγεται αρνητικός ημιάξονας O i Ι Μ() OM OM Αν τώρα πάνω στον άξονα πάρουμε ένα σημείο Μ επειδή // i θα υπάρχει μόνο ένας πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε ι = Τον αριθμό τον ονομάζουμε τετμημένη του Μ Αλλά και αντιστρόφως από την ισότητα OM = ι προκύπτει ότι σε κάθε πραγματικό αριθμό αντιστοιχεί μοναδικό σημείο Μ του άξονα με τετμημένη Το σημείο αυτό συμβολίζεται με Μ () Αναφερθείτε στο καρτεσιανό επίπεδο ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες και με κοινή αρχή και μοναδιαία διανύσματα τα i και Λέμε τότε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή απλούστερα ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή ακόμα ένα καρτεσιανό επίπεδο και το συμβολίζουμε με O Το σύστημα O λέγεται ορθοκανονικό γιατί είναι ορθογώνιο και κανονικό ρθοοι γώνιο είναι γιατί άξονες και είναι κάθετοι και κανονικό γιατί τα διανύσματα i και είναι ισομήκη 73

2 Τι ονομάζουμε συντεταγμένες ενός σημείου; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο O παίρνουμε ένα σημείο Μ Από το Μ φέρνουμε την παράλληλη στον που τέμνει τον στο M 1 και την παράλληλη στον που τέμνει τον στο M Αν είναι η τετμημένη του M 1 ως προς τον άξονα και η τετμημένη του M ως προς τον άξονα τότε ο λέγεται τετμημένη του Μ και ο τεταγμένη του Μ Η τετμημένη και η τεταγμένη λέγονται συντεταγμένες του Μ Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγμένων Αλλά και αντιστρόφως σε κάθε ζεύγος ( ) πραγματικών αριθμών αντιστοιχεί μοναδικό σημείο του επιπέδου το οποίο βρίσκεται ως εξής: Πάνω στον άξονα παίρνουμε το σημείο M 1( ) και στον το σημείο M ( ) Από τα M 1 και M φέρνουμε παράλληλες στους άξονες και αντιστοίχως που τέμνονται στο Μ Το σημείο Μ είναι το ζητούμενο Ένα σημείο Μ με τετμημένη και τεταγμένη συμβολίζεται και με M( ) ή απλά με ( ) Μ i Μ() Μ 1 ΘΕΩΡΗΜΑ3: Κάθε διάνυσμα α του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή α= i + ΑΠΔΕΙΞΗ Ύπαρξη : Έστω O ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και α ένα διάνυσμα του επιπέδου Με αρχή το σχεδιάζουμε το διάνυσμα OA = α Αν και A είναι οι προβολές του Α στους άξονες και A1 αντιστοίχως έχουμε: OA = OA 1 + OA (1) Αν είναι οι συντεταγμένες του A τότε ισχύει OA = Επομένως η ισότητα (1) γράφεται α = i + OA 1 = ι και i) α // ' η τεταγμένη του α ισούται με 0 ii) α // ' η τετμημένη του α ισούται με 0 Αποδείξαμε ότι το α είναι γραμμικός συνδυασμός των i και 74

3 Μοναδικότητα: Στην παραπάνω κατασκευή οι αριθμοί και είναι μοναδικοί Θα αποδείξουμε τώρα ότι και η έκφραση του α ως γραμμικού συνδυασμού των i και είναι μοναδική Πράγματι έστω ότι ισχύει και α = i + Τότε θα έχουμε i + = i + ή ( ) i = ( ) Αν υποθέσουμε ότι δηλαδή ότι 0 τότε θα ισχύει i = Η σχέση αυτή όμως δηλώνει ότι i // που είναι άτοπο αφού τα i και δεν είναι συγγραμμικά Επομένως = που συνεπάγεται ότι και = Ώστε: Κάθε διάνυσμα α του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή α= i + Τα διανύσματα i και λέγονται συνιστώσες του διανύσματος α κατά τη διεύθυνση των i και αντιστοίχως ενώ οι αριθμοί λέγονται συντεταγμένες του α στο σύστημα O Πιο συγκεκριμένα ο λέγεται τετμημένη του α και ο λέγεται τεταγμένη του α Το α θα το συμβολίζουμε με το διατεταγμένο ζεύγος ( ) Α a a i A 1 A Αναφερθείτε στις συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες δύο διανυσμάτων α και β του καρτεσιανού επιπέδου τότε μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες του αθροίσματος α β + του γινομένου λ α λ R και γενικά κάθε γραμμικού συνδυασμού των α και β Πράγματι αν α = ( 1 1) και β = ( ) τότε έχουμε: α + β = ( i 1 + 1) + ( i + ) = ( 1 + ) i+ ( 1 + ) λ α = λ( 1i + 1 ) = ( λ1 ) i + ( λ1) Επομένως α + β = ( ) και λα = ( λ 1 λ 1) Για παράδειγμα αν α = ( 1 1) και β = (1 ) τότε: α + β = (1 1) + (1 ) = = (1) α = (1 1) = ( ) α β = (1 1) (1 ) = = (1 1) + ( 1 ) = (0 3) 75

4 ή ισοδύναμα ( 1 1) + ( ) = ( ) λ ( 1 1) = ( λ1 λ1) Γενικότερα για το γραμμικό συνδυασμό λα + μβ έχουμε: λ α + μβ = λ λ ) + ( μ μ ) = ( λ + μ λ + μ ) ( Υπολογίστε τις συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματος ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α ( 1 1) και Β ( ) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι ( ) είναι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ 1 Επειδή OM = ( OA+ OB ) και OM = ( ) ( 1) 1 ( ) έχουμε: ( ) = [( 1 1) + ( )] = Επομένως ισχύει 1 + = και 1 + = B( ) Μ() A( 1 1 ) Υπολογίστε τις συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α ( 1 1) και Β ( ) του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι ( ) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος AB = OA Επειδή: AB OB AB= ( ) OB = ( ) και OA = ( 1 1) έχουμε: ) = ( ) ( ) = ( ) Επομένως: ( A( 1 1 ) B( ) ι συντεταγμένες ( ) του διανύσματος με άκρα τα σημεία A 1 ) και Β ) δίνονται από τις σχέσεις ( 1 ( = 1 και = 1 76

5 Δηλαδή: τετμημένη του AB= τετμημένη του Β - τετμημένη του Α τεταγμένη του AB= τεταγμένη του Β - τεταγμένη του Α Για παράδειγμα το διάνυσμα AB με αρχή το Α (1 ) και πέρας το Β (37) έχει συντεταγμένες = 3 1= και = 7 = 5 δηλαδή είναι ίσο με το α = (5) Υπολογίστε το μέτρο ενός διανύσματος αν γνωρίζετε τις συντεταγμένες του ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω α = ( ) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και Α το σημείο με διανυσματική ακτίνα OA = α Αν Α 1 και Α είναι οι προβολές του Α στους άξονες και αντιστοίχως επειδή το σημείο Α έχει τετμημένη και τεταγμένη θα ισχύει ( Α 1) = και ( Α ) = Έτσι θα έχουμε: α = ( Α) = ( Α ) + ( Α Α) = ( Α ) + ( Α ) = + = + Επομένως: Α A 1 A() a Αν α = ( ) τότε α = + Για παράδειγμα αν α = (51) τότε α = = 13 Υπολογίστε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων αν γνωρίζετε τις συντεταγμένες τους ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ας θεωρήσουμε τώρα δύο σημεία Α( 1 1 ) και Β ( ) του καρτεσιανού επιπέδου Επειδή η απόσταση (ΑΒ) των σημείων Α και B( ) Β είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος AB= ( 1 1) σύμφωνα με τον τύπο α = + θα ισχύει: A( 1 1 ) Επομένως: 1) + ( 1) ( ΑΒ ) = ( 77

6 Η απόσταση των σημείων Α( 1 1 ) και Β ) είναι ίση με ( 1) + ( 1) ( ΑΒ ) = ( Γωνία διανύσματος α με τον άξονα ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω α = ( ) ένα μη μηδενικό διάνυσμα και A το σημείο του επιπέδου για το οποίο ισχύει OA = a Τη γωνία φ που διαγράφει ο ημιάξονας O αν στραφεί γύρω από το κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία Α την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α με τον άξονα Είναι φανερό ότι: 0 φ< π Τι είναι ο συντελεστής διεύθυνσης; A() φ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Θεωρούμε διάνυσμα α αν το α δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα και γωνία φ η γωνία του α με τον άξονα ισχύει εφ φ= Το πηλίκο της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος α = ( ) με 0 το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του α και τον συμβολίζουμε με λ α ή απλώς με λ Επομένως: λ= = εφφ Είναι φανερό ότι Αν = 0 δηλαδή αν α // τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος α είναι ο λ = 0 Αν = 0 δηλαδή αν α // τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος α 78

7 Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων με χρήση συντεταγμένων ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω α = ( 1 1) και β = ( ) δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου 1 1 Ισχύει ότι α // β 0 = Την ορίζουσα 1 1 που έχει ως 1η τη γραμμή τις συντεταγμένες του διανύσματος α και ως η γραμμή τις συντεταγμένες του διανύσματος β τη λέμε ορίζουσα των διανυσμάτων α και β (με τη σειρά που δίνονται) και θα τη συμβολίζουμε με det( α β ) Έτσι η παραπάνω ισοδυναμία διατυπώνεται ως εξής: α // β det( a β) = 0 Ας θεωρήσουμε τώρα δύο διανύσματα α = ( 1 1 ) και β = ( ) με συντελεστές διεύθυνσης λ 1 και λ αντιστοίχως Τότε έχουμε τις ισοδυναμίες: α // β = 0 = = λ = λ Επομένως η συνθήκη παραλληλίας για δύο διανύσματα α και β με συντελεστές διεύθυνσης λ1 και λ διατυπώνεται ως εξής: α // β λ1 = λ Ας θεωρήσουμε τώρα δύο διανύσματα α = ( 1 1 ) και β = ( ) με συντελεστές διεύθυνσης λ 1 και λ αντιστοίχως Τότε έχουμε τις ισοδυναμίες: α // β = 0 = = λ = λ Τα διανύσματα α = ( 3 1) και β = ( 3 3 ) είναι παράλληλα αφού 3 1 det( αβ ) = = 3 3 = 3+ 3= 0 ενώ Τα διανύσματα α = ( 3 ) β = ( 1 ) δεν είναι παράλληλα αφού 3 det( αβ ) = = = 7 0 Επομένως η συνθήκη παραλληλίας για δύο διανύσματα α και β με συντελεστές διεύθυνσης και λ διατυπώνεται ως εξής: λ1 α // β λ = λ 1 79

8 ΘΕΩΡΗΜΑ4: Να αποδειχθεί η σχέση α β = 1 1 // 0 ΑΠΔΕΙΞΗ Έστω α = ( 1 1) και β = ( ) δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Αν τα διανύσματα είναι παράλληλα και υποθέσουμε ότι β 0 τότε θα υπάρχει λ R τέτοιος ώστε α = λβ Επομένως θα έχουμε ( 1 1) = λ( ) ή ισοδύναμα: 1 = λ και 1 = λ οπότε θα ισχύει 1 1 = λ λ = 0 ή ισοδύναμα 1 1 = 0 Αν β = 0 τότε θα ισχύει = = Δείξαμε δηλαδή ότι αν τα διανύσματα α και β είναι παράλληλα 1 1 τότε: = 0 Για μια ορίζουσα Χ ισχύει: 1 1 = 1 1 det( a β ) = Αντιστρόφως αν = 0 τότε τα διανύσματα α και β θα 1 1 είναι παράλληλα Πράγματι επειδή = 0 έχουμε 1 = 1 Επομένως 1 1 Αν 0 τότε 1 = οπότε αν θέσουμε = λ θα έχουμε: 1 = λ και 1 = λ Άρα α = λβ και συνεπώς α // β Αν = 0 τότε 1 = 0 οπότε αν 1 = 0 τα διανύσματα α και β θα είναι παράλληλα προς τον άξονα των τεταγμένων άρα και μεταξύ τους παράλληλα ενώ αν = 0 τότε το β θα είναι το μηδενικό διάνυσμα και άρα παράλληλο προς το α 80