ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις συνθήκες παραλληλίας διανυσµάτων. (Μονάδες 8) Γ. Να σηµειώσετε µε σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις: α) Η εξίσωση A + B + Γ, µε Α,Β,Γ εκφράζει πάντα µια ευθεία. β) Η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι πάντα µικρότερη του. γ) Το εµβαδόν τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τη σχέση: ( ΑΒΓ) det ( ΑΒ, ΑΓ) δ) Αν α και β είναι ακέραιοι µε β, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ, υ ώστε να ισχύει: α κ β+ υ µε υ< β (Μονάδες 8) Θέµα ο Α. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και τα σηµεία Κ,Λ ώστε ΑΚ 3 Α και ΑΛ ΑΒ. Αν ισχύει ΑΝ ΑΚ + ΑΛ και η ΑΓ τέµνει το τµήµα ΛΝ στο σηµείο Μ τότε: α) Να γραφεί το διάνυσµα ΑΜ ως γραµµικός συνδυασµός των Α α και ΑΒ β. β) Να υπολογιστεί ο λόγος ΛΜ (Μονάδες 6) ΛΝ Β. Αν κ, λ είναι ακέραιοι µε κ /λ και κ /3λ + 5 να βρεθούν οι θετικές τιµές του κ. (Μονάδες 9) Θέµα 3 ο ίνεται η εξίσωση (. 6

2 Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Α. Να δειχτεί ότι τα σηµεία που επαληθεύουν την εξίσωση ( ανήκουν σε δύο ε (Μονάδες 3) παράλληλες ευθείες ( ε και ( ) Β. Να δειχτεί ότι η µεσοπαράλληλος ευθεία των ( ε διέρχεται από την αρχή των αξόνων. (Μονάδες Θέµα 4 ο ίνονται οι κύκλοι: c : και Α. είξτε ότι οι κύκλοι ( c και ( ) ε, c : c είναι ίσοι και ότι τέµνονται σε δύο σηµεία Α,Β. (Μονάδες 8) Β. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ΑΒ), κοινής χορδής των δύο κύκλων. (Μονάδες 8) Γ. Να βρεθεί σηµείο Μ της ευθείας (ΑΒ) ώστε η γωνία KΛ ˆ, µε Κ,Λ τα κέντρα των δύο κύκλων, να είναι ορθή. (Μονάδες 9) Θέµα ο Α. Έστω Ε,Ε δύο σηµεία του επιπέδου. Ονοµάζουµε υπερβολή το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιµή της διαφοράς των αποστάσεών τους από τα Ε και Ε είναι σταθερή και µικρότερη του µήκους ( ΕΕ ). Έστω ( c ): η εξίσωση της υπερβολής. α β β β Έχουµε ασύµπτωτες: ( ε : και ( ε ): α α Β. Συνθήκες παραλληλίας διανυσµάτων: α) Αν α λ β, λ, β τότε α //β (Αν β τότε για οποιοδήποτε α ισχύει α //β ) β) Αν λ και λ είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των α και β, ισχύει: λ λ α//β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 7

3 ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο γ) Αν α(, δ) Αν ( α,β) ή και β(, ) ( α,β) π τότε είναι: τότε α //β α // β Γ. α) ΛΑΘΟΣ. Θα πρέπει να ισχύει Α ή Β β) ΣΩΣΤΟ. γ) ΛΑΘΟΣ. Ισχύει ( ΑΒΓ) det ( ΑΒ, ΑΓ) δ) ΛΑΘΟΣ. Θα πρέπει υ β Θέµα ο Κ Α. Α β Β Λ α) Είναι α ΑΜ // ΑΓ ΑΜ λ ΑΓ ( Γ ΛΜ // ΛΝ ΛΜ µ ΛΝ () ( ΑΜ λ ( Α + ΑΒ) Μ λ ( α+ β ) (3) Ισχύει: Ν ( ) υπ ΑΜ ΑΛ + ΛΜ ΑΜ ΑΛ + µ ΛΝ β + µ AK β + µ3α (4) (Επειδή ΑΝ ΑΚ + ΑΛ έχουµε ΑΚΝΛ παραλληλόγραµµο). Άρα λ α+ β β + 3µα λα + λβ β + 3µα λ 3µ α λ β (3),(4) Επειδή α // β λ 3µ µ θα ισχύει: 3 λ λ Άρα (3) ΑΜ ( α+ β ) α + β µ 3 ΛΜ β) Είναι (σχέση ()) ΛΜ µ ΛΝ ΛΜ ΛΝ ΛΜ ΛΝ 3 3 ΛΝ 3 8

4 Β. Ισχύει κ λ κ 3λ ( κ 6λ 3 ( και κ 3λ + 5 κ 3λ ( + 5) κ 6λ + () Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Από τις σχέσεις ( και () θα ισχύει: κ ( 6λ + ) ( 6λ 3) κ 6λ + 6λ + 3 κ /3. Άρα οι θετικές τιµές του κ είναι: κ ή κ 3 Θέµα 3 ο Α. Η εξίσωση ( γράφεται: Εξίσωση ου βαθµού ως προς. Είναι: O ε ε + 4 Άρα: και Άρα 4 + 9( 4) ( ε : ( ε ): 3+ 6 Είναι ( ε // ( ε ) αφού λε λ ε 3, σηµείο της µεσοπαράλληλης (µ) των ( ε,( ε ). Θα ισχύει: d(,ε d(,ε) 3 Β. Έστω + ( ) + ( 3) ±

5 ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΑΤΟΠΟ Άρα η εξίσωση της µεσοπαράλληλης (µ) των ε, ε είναι:( µ ) : 3. Το σηµείο O(, ), αρχή των αξόνων επαληθεύει την ευθεία (µ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Γ. Η πλευρά α του τετραγώνου που έχει πλευρές πάνω στις ( ε και ( ) η απόσταση των ( ε,( ε ). Έτσι είναι: α d ( ε,ε ) d,ε, αφού Ο ( µ ) d,ε Άρα α 3 3 Εποµένως το εµβαδόν του τετραγώνου θα είναι: 44 Ε α 3 3 Θέµα 4 ο ε θα είναι Α. Είναι ( C : ( C :( 3) + ( + 5 και ( C ) : ( C ) :( + + ( 5 Άρα ο κύκλος ( C έχει κέντρο K( 3, και ακτίνα R 5 ενώ ο κύκλος ( C ) έχει κέντρο Λ(, και ακτίνα ρ 5. Επειδή R ρ 5 οι κύκλοι είναι ίσοι. Επίσης ισχύει: ΚΛ ( 3) + ( + 5. Είναι: R ρ < ΚΛ < R + ρ 5 5 < 5 < 5+ 5 < 5 < Άρα οι κύκλοι τέµνονται σε δύο σηµεία Α, Β. που ισχύει.

6 Β. Έστω Α (, ) σηµείο κοινό των δύο κύκλων θα ισχύει: A ( C ) ( A ( C ) ( ) ή Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επειδή το σηµείο A(, ) επαληθεύει την εξίσωση της ευθείας θα είναι σηµείο αυτής της ευθείας. Όµοια και το σηµείο Β επαληθεύει αυτή την εξίσωση εποµένως έχουµε ( AB ): Παρατήρηση: Στο ερώτηµα Β η ευθεία (ΑΒ) είναι µεσοκάθετος του τµήµατος ΚΛ (διάκεντρος), αφού οι κύκλοι είναι ίσοι. Θα µπορούσε έτσι να προσδιοριστεί η εξίσωση της ευθείας (ΑΒ) από ένα σηµείο, µέσο του ΚΛ και γνωστό συντελεστή διεύθυνσης. Προτιµήθηκε όµως γενικότερη λύση., σηµείο της (ΑΒ). Θα ισχύει τότε Γ. Έστω. Άρα (, ). Είναι K K 3 και Επίσης K K + Λ Λ και Λ Λ 3 Άρα ΚΜ ( 3, και ΛΜ ( +, 3) ο Επειδή ΚΛΜ ˆ 9 έχουµε ΚΜ ΛΜ ΚΜ ΛΜ ( 3)( + + ( ( 3). Άρα ή Για είναι Για είναι Λ Μ B. Άρα (, ). Άρα (, ) Κ Α Επιµέλεια: Μακρίδης Ηλίας