ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Περιγραφή θεματικής ενότητας Μαγνήτιση, Διαμαγνητικά, Παραμαγνητικά, Σιδηρομαγνητικά υλικά. Συνοριακές συνθήκες. Γραμμικά διαμαγνητικά υλικά. Βαθμωτό μαγνητικό Δυναμικό. Εκπαιδευτικοί Στόχοι Επίλυση προβλημάτων μαγνητοστατικής στην ύλη.
Ενότητα 6 ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ 1 Μαγνήτιση Τα άτομα διαθέτουν διπολική ροπή εξαιτίας της περιστροφικής κίνησης των ηλεκτρονίων και του σπιν. Όταν ένα άτομο τοποθετηθεί σε εξωτερικό μαγνητικό πεδίο η διπολική του ροπή τείνει να ευθυγραμμιστεί με το μαγνητικό πεδίο, δημιουργώντας έτσι ένα δευτερογενές μαγνητικό πεδίο (μαγνήτιση) το οποίο προστίθεται στο εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Το δευτερογενές αυτό πεδίο είναι παράλληλο με το εξωτερικό για τα παραμαγνητικά υλικά και αντίθετο για τα διαμαγνητικά υλικά. Ορισμένα υλικά όπως τα σιδηρομαγνητικά διατηρούν τη μαγνήτισή τους και μετά την απομάκρυνσή τους από το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Σε αναλογία με την πόλωση στην ηλεκτροστατική ορίζουμε τη μαγνήτιση Μ Μ= μαγνητικη διπολικη ροπη μοναδα ογκου = dm d 3 r 2 1
Ρεύματα μαγνήτισης Για να περιγράψουμε τη μαγνήτιση των υλικών εισάγουμε τα δέσμια ρεύματα μαγνήτισης και θεωρούμε ότι πυκνότητα ρεύματος αναλύεται ως όπου J f τα ελεύθερα ρεύματα. Η δεύτερη εξίσωση της μαγνητοστατικής τότε γράφεται όπου 3 Γραμμικά μαγνητικά μέσα Σε μια κατηγορία υλικών η μαγνήτιση είναι ανάλογη του Η (γραμμικά μέσα) όπου η σταθερά αναλογίας χ Μ ονομάζεται μαγνητική επιδεκτικότητα του μέσου. όπου μ = μ 0 1 + χ Μ ονομάζεται μαγνητική διαπερατότητα του υλικού. Τα παραπάνω ισχύουν υπό ορισμένες συνθήκες για τα παραμαγνητικά και διαμαγνητικά υλικά. παραμαγνητικά διαμαγνητικά Στα σιδηρομαγνητικά υλικά η σχέση των πεδίων Β και Η δεν είναι γραμμική και όπως βλέπουμε στο διπλανό σχήμα δεν είναι καν μονότιμη συνάρτηση. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται υστέρηση. Στα υλικά αυτά δεν έχουν εφαρμογή τα παραπάνω. 4 2
5 Νόμος του Ampère για μαγνητικά υλικά Ολοκληρώνοντας την εξίσωση του στροβιλισμού του Η σε μια επιφάνεια S με όριο την κλειστή καμπύλη C S και χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Περιστροφής (Stokes) παίρνουμε το νόμο του Ampere για το πεδίο όπου στο δεξί μέλος συμμετέχουν μόνο τα ελεύθερα ρεύματα. Παράδειγμα 2 (σελ 339), 3 (σελ 344) Ασκήσεις: Προβλήματα 6.8,6.9,6.12,6.15,6.16 6 3
Συνοριακές συνθήκες σε μαγνητικά υλικά Επαναλαμβάνοντας τα βήματα που έχουμε εξηγήσει σε προηγούμενες ενότητες, δηλαδή ολοκληρώνοντας κατάλληλα στη διαχωριστική επιφάνεια δύο υλικών βρίσκουμε ότι οι συνθήκες (α) συνέχειας των μαγνητικών πεδίων Η και Β σε μαγνητικά υλικά είναι ή Για γραμμικά μαγνητικά υλικά η πρώτη συνθήκη γράφεται και ως 2 1 7 Επίλυση προβλημάτων με μαγνητικά υλικά Υπάρχουν οι παρακάτω μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων με γραμμικά μαγνητικά υλικά: (i) Χρήση του νόμου του Ampère για το πεδίο Η αν το πρόβλημα έχει την συμμετρία. (ii) Χρήση του νόμου Biot-Savart (iii) Επίλυση της εξίσωσης Poisson για το διανυσματικό δυναμικό (iv) Ειδικά στην περίπτωση κατά την οποία δεν έχουμε ελεύθερα ρεύματα j f = 0 μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και το ονομαζόμενο μαγνητικό δυναμικό όπου ρ Μ η «μαγνητική πυκνότητα» το οποίο ικανοποιεί την εξίσωση Poisson 8 4
x z M Παράδειγμα: Μαγνητικό πεδίο μαγνητισμένης σφαίρας y Σφαίρα ακτίνας R φέρει μόνιμη μαγνήτιση Μ. Να υπολογιστεί το μαγνητικό πεδίο που παράγει. Η απουσία ελευθέρων ρευμάτων μας επιτρέπει να εισάγουμε το μαγνητικό δυναμικό Η = V M το οποίο για r > R ικανοποιεί την εξίσωση Laplace 2 V M =0. Η γενική λύση για σύστημα με αξονική συμμετρία, όπως δείξαμε στην περίπτωση του ηλεκτρικού δυναμικού, είναι με συνοριακές συνθήκες για r = Στο εσωτερικό της σφαίρας έχουμε σταθερή μαγνήτιση άρα και σταθερά πεδία Η, Β 9 Μαγνητικό πεδίο μαγνητισμένης σφαίρας συνέχεια για r = R έχουμε για την κάθετη συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου και επομένως 10 5
Μαγνητικό πεδίο μαγνητισμένης σφαίρας συνέχεια για r = R έχουμε για την παράλληλη συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου έχουμε και για r > R και 11 6
Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1049.
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος. «Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι. ΜΑΓΝΗΤΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ΣΤΗΝ ΥΛΗ». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1049. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.