ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι 86
ΑΣΚΗΣΗ. Ένα κύκλωµα RC αποτελείται από µια αντίσταση R 5Ω και έναν πυκνωτή χωρητικότητας C σε σειρά. Αν το ρεύµα προηγείται της τάσης κατά 6 ο και η κυκλική συχνότητα της πηγής είναι ω rad/s να βρεθεί η τιµή C. R 5Ω C -Xc Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος είναι φ. Από την παραπάνω σχέση είναι φανερό ότι η φάση της σύνθετης αντίστασης ισούται µε τη διαφορά των φάσεων των διανυσµάτων τάσης και ρεύµατος. Υπολογίζουµε στη συνέχεια τη φάση της σύνθετης αντίστασης. R ωc tanφ ωc R R ωc ωrc tan ( 6 ), 7 Το πρόσηµο (-) σηµαίνει ότι το ρεύµα προηγείται της τάσης. Λύνοντας ως προς τη χωρητικότητα έχουµε C 8,5 F.,7xω R µ 87
ΑΣΚΗΣΗ. Να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση εισόδου του κυκλώµατος τόσο σε πολική όσο και σε ορθογώνια µορφή. L H R Ω C,5F Η σύνθετη αντίσταση εισόδου µπορεί να γραφεί µε απλή επισκόπηση του κυκλώµατος. in R ωl ωc R ωl //( R ωl). ω C ( R ωl ω LC) ω RC ωc Αντικαθιστώντας τις τιµές των στοιχείων in ( 5 )(,5,5) (,5) (,5) 5,5,69Ω.,5,5 Η παραπάνω µορφή είναι η ορθογώνια µορφή. Η πολική µορφή βρίσκεται υπολογίζοντας το µέτρο και τη φάση. in φ tan (,5) (,69),69 8,5,9Ω Εποµένως η πολική µορφή της αντίστασης είναι in,9 8 Ω. 88
ΑΣΚΗΣΗ. Να επιλυθεί το παρακάτω κύκλωµα µε τη µέθοδο των απλών βρόχων. Οι πηγές τάσης έχουν την έκφραση: και. R Ω C - Ι Ι L 5 R Ω R 5Ω R Ω C - Ι R5 Ω Ορίζουµε ρεύµατα σε κάθε απλό βρόχο µε δεξιόστροφη φορά. Οι εξισώσεις βρόχων γράφονται. ( ) 5( ) 5( ) 5( ) ( )( ) 5( ) ( )( ) Κάνοντας αναγωγή όµοιων όρων ( 8 ) 5 5 5 ( ) ( ) 5 ( ) ( 8 ) Οι εξισώσεις βρόχων γράφονται στη συνέχεια µε τη µορφή πινάκων. 8 5 5 5 5 8 Ο πίνακας είναι φυσικά συµµετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο. Για να υπολογίσουµε τα διανύσµατα των ρευµάτων χρειάζεται να υπολογίσουµε 89
πρώτα τις ορίζουσες ο,,, και. Στην περίπτωση αυτή οι πηγές και είναι προτιµότερο να αντικατασταθούν µε την ορθογώνια έκφραση τους. 8,7 5 8 8 5 5 5 8 5 5 8,7 5 5 5 5 8,7 5 8 8 865 5 5 8,7 5 5 8 7 86 5 6 865 95 78 79 987 8 6 5 Τα ρεύµατα των βρόχων δίνονται από τις σχέσεις 87 865 987 8 865 5 865,,7 7,6 A. A. A. Τέλος οι εκφράσεις των ρευµάτων στο πεδίο του χρόνου είναι i i i { },88cs( ωt ) { },5cs( ωt 7 ) { },6 cs( ωt ) ( t) Re, ( ωt e ) ( t) Re,7 ( ωt 7 e ) ( t) Re,6 ( ωt e ) όπου πολλαπλασιάσαµε µε πλάτος. για να πάµε από την ενεργό τιµή στο 9
ΑΣΚΗΣΗ. Για το παρακάτω κύκλωµα να γραφούν οι εξισώσεις κόµβων. Στη συνέχεια να επιλυθούν ως προς τα δυναµικά των κόµβων και να υπολογιστεί το ρεύµα στο πηνίο. Ι C / R Ω Ι Ι R Ω Ι Ι 5 Ι 6 R Ω L R Ω deg s Αριθµούµε τους κόµβους του κυκλώµατος και ορίζουµε ένα κόµβο αναφοράς (κόµβος ). Γράφουµε τις εξισώσεις όλων των κόµβων εκτός του κόµβου αναφοράς. Ας σηµειωθεί ότι η αρίθµηση των ρευµάτων κλάδων και η φορά τους εκλέγεται αυθαίρετα. Αντικαθιστούµε κάθε ρεύµα ως συνάρτηση των δυναµικών των κόµβων. / / Κάνουµε αναγωγή όµοιων όρων 5 6 9
9 ( ) ( ) ( ) / Γράφουµε τις εξισώσεις κόµβων µε τη µορφή πινάκων.,5 Υπολογίζουµε τις ορίζουσες ο,,, και. 55 88 55 8 5 8,7 8, 8,5,5 5 8,7 6 8 7 7,5 5 8,7 58,5,5 Μπορούµε τώρα να υπολογίσουµε τα δυναµικά κόµβων. lt lt lt 55,, 6, Το ρεύµα στο πηνίο είναι.,5 9, 5 A
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9
ΑΣΚΗΣΗ 5. Για το παρακάτω κύκλωµα να υπολογιστούν η µιγαδική, η φαινόµενη, η ενεργός και άεργος ισχύς, καθώς και ο συντελεστής ισχύος. R Ω deg s Ι L 5Ω Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώµατος ισούται µε 5 5 5,Ω, φ tan 6,6 Μετατρέπουµε την αντίσταση στην πολική µορφή Ζ, 6,6 ο. Το ρεύµα Ι θα είναι., 6,6,896,6 A. Η µιγαδική ισχύς µπορεί να υπολογιστεί ως S,89 6,6 8,9 6,6 A. Η φαινόµενη ισχύς είναι το µέτρο της µιγαδικής ισχύος, δηλαδή είναι S 8,9A. Μετατρέπω τη µιγαδική ισχύ σε ορθογώνια µορφή. S 7,96,99 P Q. Είναι φανερό ότι η ενεργός ισχύς ισούται µε P 7,96W, ενώ η άεργος ισχύς µε Q,99AR. Τέλος ο συντελεστής ισχύς θα είναι P 7,96 cs φ,89. S 8,96 Ο συντελεστής ισχύος είναι επαγωγικός. 9
ΑΣΚΗΣΗ 5. Η ενεργός ισχύς στο φορτίο είναι 5kW και ο συντελεστής ισχύος,77 επαγωγικός. Προσδιορίστε την τιµή της χωρητικότητας C ώστε ο συντελεστής ισχύος να είναι α),866 επαγωγικός, β) ίσος µε, γ),866 χωρητικός (ω fad/s). C deg s L α) Είναι csφ,77 φ cs α csφ,866 φ cs τ α τ (,77) 5 tanϕα. (,866) tanϕ,577. Με απευθείας αντικατάσταση στη σχέση διόρθωσης του csφ έχουµε P tan 5x C α τ µ ω x ( φ tanϕ ) (,577) 678. F τ β) Είναι Εποµένως csφ φ cs τ τ ( ) tanϕ τ P tan 5x C α τ µ ω x ( φ tanϕ ) ( ) 7968. F γ) Στην περίπτωση που ο συντελεστής ισχύος είναι χωρητικός το πρόσηµο (-) στη σχέση διόρθωσης πρέπει να γίνει από (), δηλαδή P tan 5x C τ ω x ( φ α tanϕ ) (,577),6. F 95
ΑΣΚΗΣΗ 5. Κάθε µονοφασικό φορτίο του σχήµατος είναι Ω. Να υπολογιστούν τα φασικά ρεύµατα και τα ρεύµατα γραµµής. A Α C C Β B Η πολική έκφραση του φορτίου είναι Ζ 5,66 5 ο Ω. Τα φασικά ρεύµατα είναι AB BC CA 5,66 5 5,66 5 5,66 5 8,87 5 A 8,87 65 8,87 85 A A Τα ρεύµατα γραµµής είναι A B C 8,875 67,95 67,5 A A. 67,75 A 96
ΑΣΚΗΣΗ 5. Ένα τριφασικό φορτίο σε τρίγωνο έχει σε κάθε φάση του αντίσταση Ω και χωρητικότητα µf. Οι τάση γραµµής είναι L rms και η συχνότητα f 5Hz. Να υπολογιστούν τα ρεύµατα γραµµής, η ενεργός άεργος και φαινόµενη ισχύς. Η αντίδραση του πυκνωτή είναι X C ω C 6Ω. 6 π fc 6,8x5xx Εποµένως η σύνθετη αντίσταση κάθε φάσης θα είναι ίση µε R X C 6 5, Ω. Το ρεύµα φάσης θα έχει µέτρο L p A. οπότε το µέτρο του ρεύµατος γραµµής προκύπτει ως L p 9A. Με βάση τα παραπάνω βρίσκουµε Ενεργός ισχύς: P L L csφ xx9x cs( 5, ) 65W. Άεργος ισχύς: Q sinφ xx9x sin( 5, ) 588AR. L L L L xx9 76A Φαινόµενη ισχύς: S. 97