ΗΜΙΤΟΝΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Η.Μ.Κ.)

Transcript

1 ΗΜΙΤΟΝΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Η.Μ.Κ.) Ένα κύκλωµα βρίσκεται στην Ηµιτνική Μόνιµη Κατάσταση (Η.Μ.Κ.) όταν : α) Όλες ι πηγές τυ κυκλώµατς είναι ηµιτνειδείς συναρτήσεις τυ χρόνυ Α sin (ωt+φ) ή Α cs (ωt+φ) β) Η εξέταση τυ κυκλώµατς να γίνεται «αρκετό» χρόν µετά την χρνική στιγµή έναρξης λειτυργίας τυ κυκλώµατς, ώστε τ κλείσιµ των διακπτών να µην επιδρά στην κατάσταση τυ κυκλώµατς. Πρακτικά αυτό φαίνεται από τη µη αναφρά σε διακόπτες ή στη χρνική στιγµή έναρξης λειτυργίας τυ κυκλώµατς. Συνψίζντας λιπόν, ένα πρόβληµα θα αναφέρεται σε Η.Μ.Κ. όταν ισχύυν (γενικά) ι ακόλυθες δυ πρϋπθέσεις : - Κύκλωµα µε πηγές τάσης ή έντασης της µρφής Α sin (ωt+φ) ή Α cs (ωt+φ) - µη αναφρά σε διακόπτες. Τ ζητύµεν συνήθως είναι η ένταση ρεύµατς ή η τάση σε κάπι στιχεί τυ κυκλώµατς. Μεθδλγία α) Από τη δεδµένη τάση ή ένταση πρσδιρίζυµε την κυκλική συχνότητα ω λειτυργίας τυ κυκλώµατς. (Τ ω είναι συντελεστής τυ t στη φάση ωt+φ). β) Αντικαθιστύµε κάθε πηγή της µρφής Α cs (ωt+φ) µε µια πηγή συνεχύς πυ έχει τιµή Αe. Αν η πηγή είναι Α sin (ωt+φ) = Α cs (ωt +φ-π/) αντικαθιστύµε µε Αe j(φ-π/) γιατί ισχύει sinx = cs (x-π/). γ) Αντικαθιστύµε κάθε πηνί L µε αντίσταση jωl. Αντικαθιστύµε κάθε πυκνωτή C µε αντίσταση Είναι : jωc = j ωc Σύνθετη αντίσταση L: Ζ L =jωl Σύνθετη αντίσταση C : Z C = j ω C Αντίδραση L : Χ L = ωl Αντίδραση C: X C = - ωc Οι ωµικές αντιστάσεις µένυν ως έχυν. δ) Συµβλίζυµε µε άγνωστυς µιγαδικύς αριθµύς τα ρεύµατα ή τις τάσεις τυ κυκλώµατς π.χ. Ι ή Ι ~ ή ~ Ι και O ή ~ ή µεγέθη «συνεχή» δηλαδή ~ ανεξάρτητα τυ t. Στ κύκλωµα πυ πρέκυψε ισχύυν όλα τα γνωστά θεωρήµατα και µέθδι. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ inf@arns.gr

2 ε) Λύνυµε τ πρόβληµα και υπλγίζυµε τ µιγαδικό Ο Χ. Τ Ο Χ µπρεί να είναι κάπι ρεύµα ή τάση στ κύκλωµα «συνεχύς» αντίστιχ τυ µεγέθυς x(t) πυ ζητάµε. στ) Τ µέγεθς x(t) είναι : x(t) = Re Χ Ο e Ο µιγαδικός Ο Χ νµάζεται παραστατικός µιγάδας ή phasr (φάσρας) τυ µεγέθυς x(t). Για τη εύρεση τυ x(t), αρκεί πρφανώς η εύρεση τυ phasr Ο Χ jωt ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. Ισχύει e = cs φ + j sin φ. Απαγρεύεται η πρόσθεση παραστατικών µιγαδικών πυ δεν είναι στην ίδια συχνότητα ω. 3. Η παράγωγς D αντιστιχεί στ jω. Συνεπώς Z L = LD, Z C = /CD. Ισχύς στην Η.Μ.Κ. Έστω στιχεί κυκλώµατς πυ έχει τάση υ(t) στα άκρα τυ και διαρρεεται από ρεύµα i(t), στην Η.Μ.Κ. σε καθρισµένη συχνότητα f. υ(t) = m cs (ωt + φ v ), i(t) = I m cs (ωt + φ Ι ) µε ω=πf Οι αντίστιχι phasrs είναι : = me v, Ι =Ιme I Ι + - ΟΡΙΣΜΟΣ Μιγαδική ισχύς στιχείυ : όπυ S = I * Ι * : συζυγής τυ Ι (βάζυµε όπυ j τ j στην έκφραση τυ Ι ) φ είναι Ι * - j =Ι Ι me Έχυµε : S= v - j( me me Ι φ Ι = mιme v φ Ι ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ inf@arns.gr

3 3 Έστω φ=φ v φ Ι πότε S = Ι m me Επειδή e = cs φ +j sin φ είναι : S= Ι csφ+ j m m mι msinφ Πραγµατική (ή ενεργός) ισχύς : = Re( S ) = Ι csφ (σε Watt) m m Φανταστική ή (άεργς) ισχύς : Q= Im (S) = mι msinφ (σε AR) Φαινόµενη ισχύς : S= S = mιm (σε A) (γιατί e =) Είναι =S csφ Q=S sin φ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΙΣΧΥΟΣ Αν σ ένα στιχεί έχυµε τάση και ρεύµα Ι µε τότε η µιγαδική ισχύς είναι : j v m e = φ, Ι =Ι Ι m e όπυ φ=φ v φ Ι. S= cs j mιm φ+ mι msinφ= + Τ συνηµίτν της γωνίας φ νµάζεται συντελεστής ισχύς (Σ.Ι.) δηλαδή : (Σ.Ι.) = cs φ (-90 φ 90 ) Όταν csφ= η συνλική αντίσταση είναι καθαρά ωµική. Σε δεδµένη τιµή τυ συνηµίτνυ αντιστιχύν δυ γωνίες αντίθετες : φ, φ =-φ Όταν πρόκειται για τη θετική τιµή Σ.Ι. θα νµάζεται επαγωγικός, ενώ όταν πρόκειται για την αρνητική τιµή θα χαρακτηρίζεται χωρητικός. ηλαδή : α) φ>0 φ v >φ Ι, Σ.Ι. επαγωγικός πρηγείται Ι sin φ >0 Q>0 β) φ<0 φ v <φ Ι, Σ.Ι. χωρητικός Ι πρηγείται sin <0 Q<0 Μερικές φρές συντελεστής ισχύς νµάζεται και παράγων ισχύς. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ inf@arns.gr

4 4 Ένα εναλλασσόµεν µέγεθς Αmcs (ωt + φ) έχει µέγιστη τιµή Α m. Η ενεργός τιµή (ή ενδεικνυόµενη τιµή ) τυ µεγέθυς Α εν = Α rms Α m είναι : Α εν = Αm = Αεν = Αrms Έτσι αν έχυµε : i(t) = I m cs ωt i(t)= Ι εν cs ωt υ(t) = m cs ωt υ(t)= εν cs ωt η ενεργός τιµή της έντασης είναι : Ι Ι m εν = και της τάσης m εν = Αν δίνεται κάπια τάση ή κάπι ρεύµα σε κάπι στιχεί κυκλώµατς, χωρίς να αναφέρεται αν είναι µέγιστη τιµή ή ενεργός θα εννείται σαν ενεργός τιµή. Πρόβληµα (πυ τίθεται) Μέγιστη µεταβίβαση ισχύς Υπθέτυµε ότι έχυµε ένα ηλεκτρικό κύκλωµα στην Η.Μ.Κ. µε ρισµένη κυκλική συχνότητα ω. Μια σύνθετη αντίσταση Ζ = R+ jx έχει µεταβλητά R, X. Η µέση πραγµατική ισχύς στην αντίσταση αυτή είναι µια συνάρτηση των R, X : =(R,X). Ζητύνται ι τιµές των R, X ώστε η (R,X) να γίνει µέγιστη. (τ πρόβληµα αυτό είναι πρόβληµα εύρεσης ακρότατυ συνάρτησης δυ µεταβλητών). Λύση (πυ δίνεται) Τ υπόλιπ κύκλωµα µπρεί ν αντικατασταθεί µε τ ισδύναµ Thevenin. Μετά την µαθηµατική επεξεργασία καταλήγυµε στ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΙΒΑΣΗΣ ΙΣΧΥΟΣ : Η µέση πραγµατική ισχύς στ φρτί Ζ γίνεται µέγιστη όταν = Ζ δηλαδή όταν η Ζ παίρνει την τιµή Ζ = R T + jx T. * Z T + υ Τ - Ζ Τ = R T + jx T Ζ = R+ jx ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ inf@arns.gr

5 5 Τρίγων ισχύς Θεωρύµε µια σύνθετη αντίσταση Ζ όπυ η µιγαδική ισχύς S είναι : S = + Τ είναι πραγµατικός αριθµός και θετικός για αντίσταση Ζ. Τ είναι καθαρά φανταστικός αριθµός. Τ «φανταστικό µέρς» Q µπρεί να είναι θετικό ή αρνητικό. Οι µιγαδικί αριθµί ισδυναµύν µε διανύσµατα στ επίπεδ. Η µιγαδική ισχύς S είναι ίση µε τ διανυσµατικό άθρισµα των,. Άρα πρέπει να σχεδιάσυµε διαδχικά τα,. Η αρχή τυ διανύσµατς τπθετείτε στ πέρας τυ. y Έτσι τ διάνυσµα S έχει αρχή την αρχή τυ πρώτυ () και τέλς (ή πέρας) τ τέλς (ή πέρας) τυ δεύτερυ. 0 x Πρκύπτει έτσι ένα ρθγώνι τρίγων πυ νµάζεται τρίγων ισχύς. φ S Q<0 φ Q>0 S Πρφανώς ισχύει πάντα : = S Se = Q tanφ = Q/ S + csφ = + Q όπυ φ είναι η γωνία της S, δηλαδή φ=φ v φ Ι. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ inf@arns.gr

6 6 Βαττόµετρ Είναι τ όργαν µέτρησης της ενεργύ ισχύς και συµβλίζεται όπως στ σχήµα. Φέρει δυ πηνία : τ πηνί της τάσης και τ πηνί έντασης. Αν η τάση στα άκρα τυ πηνίυ τάσης και Ι η ένταση πυ διαρρέει τ πηνί έντασης, η ένδειξη τυ βαττόµετρυ είναι : Ε= Re{ * I } Αν δηλαδή τ πηνί τάσης συνδεθεί παράλληλα µε ένα στιχεί και τ πηνί έντασης σε σειρά µε τ στιχεί αυτό, η ένδειξη τυ βαττόµετρυ συµπίπτει µε την ενεργό ισχύ στ στιχεί. Η παρυσία τυ βαττόµετρυ δεν επηρεάζει τις τιµές των ρευµάτων και τάσεων στ κύκλωµα (γιατί Π ηνίυ έντασης =0, Π ηνίυ τάσης = ) Κατά την λύση πρβληµάτων : α) αφαιρύµε τελείως τ όργαν από τ κύκλωµα, βραχυκυκλώνντας τα σηµεία πυ ήταν συνδεδεµέν τ πηνί έντασης και ανυχτκυκλώνντας εκείνα πυ ήταν συνδεδεµέν τ πηνί τάσης. β) υπλγίζυµε τ Ι ɺ πυ διαρρέει τ βραχυκύκλωµα και τ στ ανιχτκύκλωµα. γ) η ένδειξη τυ ργάνυ είναι : Ε= Re{ * I }. Συγγραφέας : Βυδύκης Νικόλας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ inf@arns.gr