απδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr αν δύ χρδές ενός κύκλυ είναι ίσες τότε και τα απστήµατά τυς και αντιστρόφως αν τα απστήµατα δύ χρδών ενός κύκλυ τότε και ι χρδές είναι ίσες ΟΑ ΟΓ (ακτίνες τυ κύκλυ) Κˆ Λˆ (τα απστήµατα είναι κάθετα στις χρδές) τα τρίγωνα ΟΚΑ και ΟΛΓ ΑΚ ΑΒ/ Γ / ΓΛ (τα απστήµατα διχτµύν τις χρδές τυς άρα: ΟΚ ΟΛ ι πίες εδώ είναι ίσες) ΟΑ ΟΓ (ακτίνες τυ κύκλυ) Κˆ Λˆ κριτήρι ισότητας ρθγωνίων τριγώνων κριτήρι ισότητας ρθγωνίων τριγώνων (τα απστήµατα είναι κάθετα στις χρδές) τα τρίγωνα ΟΚΑ και ΟΛΓ ΟΚ ΟΛ (υπόθεση) άρα: ΑΚ ΓΛ συνεπώς: ΑΒ Γ (αφύ τα απστήµατα διχτµύν τις χρδές) αν ένα σηµεί ανήκει στη διχτόµ µίας γωνίας τότε ισαπέχει από τις πλευρές της και αντιστρόφως αν ένα σηµεί µίας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της τότε ανήκει στη διχτόµ της Αˆ Βˆ (αφύ ι ΜΑ, ΜΒ είναι απστάσεις) κριτήρι ισότητας ρθγωνίων τριγώνων Ô Ô τα τρίγωνα ΟΑΜ και ΟΒΜ (υπόθεση) ΟΜ ΟΜ άρα: ΜΑ ΜΒ Αˆ Βˆ (αφύ ι ΜΑ, ΜΒ είναι απστάσεις) κριτήρι ισότητας ρθγωνίων τριγώνων ΜΑ ΜΒ τα τρίγωνα ΟΑΜ και ΟΒΜ (υπόθεση) ΟΜ ΟΜ άρα: Ô Ô δηλ. τ Μ είναι σηµεί της διχτόµυ της x Ôy
δηµήτρη πιµενίδη αν σε ένα τετράπλευρ ισχύει µία από τις ακόλυθες πρτάσεις: i. ι απέναντι πλευρές τυ είναι ίσες ii. δύ απέναντι πλευρές τυ είναι ίσες και παράλληλες iii. ι απέναντι γωνίες τυ είναι ίσες iv. ι διαγώνιί τυ διχτµύνται τότε τ τετράπλευρ αυτό είναι παραλληλόγραµµ i. ΑΒ Γ (υπόθεση) Π-Π-Π ΒΓ Α (υπόθεση) τα τρίγωνα ΑΒ και ΒΓ Β Β άρα: Βˆ ˆ και Βˆ ˆ συνεπώς: ΑΒ // Γ (τεµνόµενες απ τη Β σχηµατίζυν εντός εναλλάξ γωνίες ίσες) και (µίως): ΒΓ // Α άρα τ ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµ (αφύ έχει απέναντι πλευρές παράλληλες) ii. ΑΒ Γ (υπόθεση) Βˆ (εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ, Γ πυ τέµννται από τη Β ) ˆ Β Β τα τρίγωνα ΑΒ και ΒΓ άρα: Βˆ ˆ συνεπώς: ΒΓ // Α (τεµνόµενες απ τη Β σχηµατίζυν εντός εναλλάξ γωνίες ίσες) άρα τ ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµ(αφύ έχει απέναντι πλευρές παράλληλες) Π-Γ-Π iii. αφύ Â + Bˆ + Γˆ + ˆ 60 είναι Â + Bˆ 60 και δηλ. Â + Bˆ 80 και Â + ˆ 60 Â + ˆ 80 συνεπώς: Α // ΒΓ(τεµνόµενες απ την ΑΒ σχηµατίζυν εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωµατικές) και (µίως): ΑΒ // Γ, άρα τ ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµ(αφύ έχει απέναντι πλευρές παράλληλες) iv. ΑΟ ΟΓ (υπόθεση) Π-Γ-Π Ô Ô (ως κατακρυφήν) τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟ ΒΟ Ο (υπόθεση) άρα: Βˆ ˆ συνεπώς: ΑΒ // Γ (τεµνόµενες απ τη Β σχηµατίζυν εντός εναλλάξ γωνίες ίσες) και (µίως): ΒΓ // Α άρα τ ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµ (αφύ έχει απέναντι πλευρές παράλληλες) τ ευθύγραµµ τµήµα πυ ενώνει τα µέσα δύ πλευρών τριγώνυ είναι παράλληλ πρς την τρίτη πλευρά και ίσ µε τ µισό της πρεκτείνυµε τ Ε κατά ΕΖ Ε πότε: τ ΑΖΓ είναι παραλληλόγραµµ (αφύ ι διαγώνιί τυ διχτµύνται) άρα: ΓΖ // Α συνεπώς είναι και ΓΖ // Β πυ σηµαίνει ότι τ ΒΓΖ είναι παραλληλόγραµµ (αφύ έχει δύ απέναντι πλευρές παράλληλες και ίσες) άρα: Ζ // ΒΓ δηλ. Ε // ΒΓ και Ε ΒΓ δηλ. Ε // ΒΓ και Ε ΒΓ/
απδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr ι διάµεσι ενός τριγώνυ διέρχνται από τ ίδι σηµεί (βαρύκεντρ) τυ πίυ η απόσταση από κάθε κρυφή είναι τα / τυ µήκυς της αντίστιχης διαµέσυ ΘΚ ΑΘ ΑΘ Α - Θ Α - Α - άρα ΚΓ ΒΘ ΒΘ ΒΕ ΘΕ ΒΕ - ΒΕ - άρα ωˆ + φˆ < Βˆ + Γˆ < συνεπώς ι διάµεσι ΒΕ, ΓΖ τέµννται σε ένα σηµεί Θ στ εσωτερικό τυ τριγώνυ έστω η τµή της ΑΘ µε τη ΒΓ και στην πρέκταση της ΑΘ τµήµα ΘΚ ΑΘ στ τρίγων ΚΑΒ τ ΘΖ ενώνει µέσα πλευρών άρα ΘΖ // ΚΒ/ στ τρίγων ΚΑΓ τ ΘΕ ενώνει µέσα πλευρών άρα ΘΕ // ΚΓ/ αφύ ΘΓ // ΒΚ και ΘΒ // ΓΚ τ ΒΘΓΚ είναι παραλληλόγραµµ, συνεπώς ΚΒ ΓΘ και ΚΓ ΒΘ και βέβαια ι διαγώνιί τυ διχτµύνται συνεπώς τ είναι µέσ τυ ΒΓ άρα και η διάµεσς Α τυ τριγώνυ διέρχεται από τ Θ ΑΘ Α δηλ. ΑΘ Α ΒΘ ΒΕ δηλ. ΒΘ ΒΕ και µίως: ΓΘ ΓΖ η διάµεσς ρθγωνίυ τριγώνυ από την κρυφή της ρθής γωνίας είναι ίση µε τ µισό της υπτείνυσας και αντιστρόφως αν µία διάµεσς ενός τριγώνυ ισύται µε τ µισό της πλευράς στην πία αντιστιχεί τότε τ τρίγων είναι ρθγώνι µε υπτείνυσα την πλευρά αυτή φέρνυµε τη διάµεσ Μ τυ ΑΜΓ η πία ενώνει µέσα πλευρών τυ ΑΒΓ πότε είναι Μ // ΑΒ κι επειδή ΑΒ ΑΓ είναι και Μ ΑΓ αφύ η διάµεσός τυ Μ είναι και ύψς τ τρίγων ΑΜΓ είναι ισσκελές συνεπώς ΑΜ ΜΓ ΒΓ/ αλλιώς: πρεκτείνυµε τη διάµεσ ΑΜ κατά ΜΕ ΑΜ ι διαγώνιες τυ ΑΒΕΓ διχτµύνται συνεπώς αυτό είναι παραλληλόγραµµ και µάλιστα ρθγώνι αφύ Αˆ άρα ΑΜ ΑΕ ΒΓ τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ είναι ισσκελή πότε: Αˆ Γˆ Αˆ Βˆ + Γˆ Αˆ 80 - Αˆ Αˆ 80 Αˆ 90 και Αˆ Βˆ αλλιώς: πρεκτείνυµε τη διάµεσ ΑΜ κατά ΜΕ ΑΜ ι διαγώνιες τυ ΑΒΕΓ διχτµύνται και είναι ίσες συνεπώς αυτό είναι ρθγώνι άρα Αˆ
4 δηµήτρη πιµενίδη η διάµεσς τυ τραπεζίυ είναι παράλληλη πρς τις βάσεις τυ και ίση µε τ ηµιάθρισµά τυς από τ µέσ Ε της Α φέρνυµε παράλληλη στη Γ(// ΑΒ) πότε: στ τρίγων Α Β αφύ ΕΚ // ΑΒ και Ε είναι µέσ της Α ΑΒ τ Κ είναι µέσ της Β και ΕΚ στ τρίγων Β Γ αφύ ΚΖ // Γ και Κ είναι µέσ της Β Γ τ Ζ είναι µέσ της ΒΓ και ΚΖ άρα η διάµεσς ΕΖ είναι παράλληλη πρς τις βάσεις ΑΒ, Γ και EZ AB + Γ EK + ΚΖ αν ένα τραπέζι είναι ισσκελές τότε ι πρσκείµενες σε κάθε βάση γωνίες τυ είναι ίσες φέρνυµε τα ύψη ΑΕ, ΒΖ πότε: Εˆ Ζˆ (ΑΕ, ΒΖ είναι ύψη) κριτήρι ισότητας ρθγωνίων τριγώνων Α ΒΓ (υπόθεση) τα τρίγωνα ΑΕ και ΒΖΓ ΑΕ ΒΖ (απστάσεις των παραλλήλων ΑΒ, Γ) άρα: ˆ Γˆ ι Αˆ, ˆ και Βˆ, Γˆ είναι εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΒ, Γ πυ τέµννται από τις Α και ΒΓ αντιστίχως, συνεπώς: Â + ˆ Bˆ + Γˆ (80 ) κι επειδή ˆ Γˆ είναι και Â Bˆ
απδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr 5 κάθε γωνία εγγεγραµµένη σε κύκλ ισύται µε τ µισό της επίκεντρης πυ βαίνει στ ίδι τόξ αν τ κέντρ Ο τυ κύκλυ είναι εσωτερικό σηµεί της εγγεγραµµένης: φέρνυµε τη διάµετρ ΓΓ ι Ô, Ô είναι εξωτερικές των ισσκελών τριγώνων ΑΟΓ και ΒΟΓ αντιστίχως συνεπώς είναι: Οˆ Γˆ και Οˆ Γˆ Α ΟˆΒ Οˆ + Οˆ (Γˆ + Γˆ ) ΑΓˆΒ δηλ. Α ΓˆΒ ΑΟˆΒ αν τ κέντρ Ο τυ κύκλυ είναι σηµεί µίας πλευράς της εγγεγραµµένης: η Ô είναι εξωτερική τυ ισσκελύς τριγώνυ ΒΟΓ συνεπώς είναι: Α ΟˆΒ ΑΓˆ Β δηλ. Α ΓˆΒ ΑΟˆΒ αν τ κέντρ Ο τυ κύκλυ είναι εξωτερικό σηµεί της εγγεγραµµένης: φέρνυµε τη διάµετρ ΓΓ ι Ô, Ô είναι εξωτερικές των ισσκελών τριγώνων ΑΟΓ και ΒΟΓ αντιστίχως συνεπώς είναι: Οˆ Γˆ και Οˆ Γˆ Α ΟˆΒ Οˆ - Οˆ (Γˆ - Γˆ ) ΑΓˆΒ δηλ. Α ΓˆΒ ΑΟˆΒ
6 δηµήτρη πιµενίδη ι γωνίες πυ σχηµατίζνται από µία χρδή ενός κύκλυ και την εφαπτµένη τυ κύκλυ σε ένα άκρ της ισύνται µε τα µισά των επικέντρων πυ βαίνυν στα τόξα της χρδής φέρνυµε τ ύψς (πυ είναι βέβαια και διχτόµς) τυ ισσκελύς τριγώνυ ΑΟΒ Οˆ πότε: ΑΟˆ Μ (ξείες µε πλευρές κάθετες) Αˆ Οˆ 60 - Οˆ Οˆ Αˆ 80-80 - Αˆ ΑΟˆΒ αν η ΑΒ είναι διάµετρς τυ κύκλυ, τότε και πάλι: Αˆ αφύ η γωνία Αˆ είναι ρθή ενώ η γωνία ΑΟˆ Β είναι ευθεία
απδείξεις µερικών θεωρηµάτων της γεωµετρίας α λυκείυ www.sonom.gr 7 η διχτόµς µίας γωνίας τριγώνυ διαιρεί εσωτερικά την απέναντι πλευρά σε λόγ ίσ µε τ λόγ των πρσκείµενων πλευρών από τ Β φέρνυµε παράλληλη πρς τη διχτόµ Α η πία τέµνει την πρέκταση της ΓΑ στ Ε στ τρίγων ΒΓΕ είναι Α // ΕΒ, συνεπώς: Β Γ ΑΕ ΑΓ () (θ. Θαλή) Αˆ (εντός εναλλάξ των παραλλήλων Α, ΕΒ πυ τέµννται από την ΑΒ) Βˆ Εˆ (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων Α, ΕΒ πυ τέµννται από την ΕΓ) Εˆ Βˆ Αˆ Αˆ (υπόθεση) Αˆ συνεπώς τ τρίγων ΑΕΒ είναι ισσκελές πότε ΑΕ ΑΒ και η () γίνεται: Β Γ ΑΒ ΑΓ η διχτόµς µίας εξωτερικής γωνίας τριγώνυ διαιρεί εξωτερικά την απέναντι πλευρά σε λόγ ίσ µε τ λόγ των πρσκείµενων πλευρών από τ Β φέρνυµε παράλληλη πρς τη διχτόµ Α η πία τέµνει τη ΓΑ στ Ε στ τρίγων ΓΑ είναι ΒΕ // Α, συνεπώς: Β Γ ΑΕ ΑΓ () (θ. Θαλή) Αˆ (εντός εναλλάξ των παραλλήλων Α, ΕΒ πυ τέµννται από την ΑΒ) Βˆ Εˆ (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων Α, ΕΒ πυ τέµννται από την ΑΓ) Εˆ Βˆ Αˆ Αˆ (υπόθεση) Αˆ Β ΑΒ συνεπώς τ τρίγων ΑΕΒ είναι ισσκελές πότε ΑΕ ΑΒ και η () γίνεται: Γ ΑΓ
8 δηµήτρη πιµενίδη εκτός ύλης... Albrecht Dürer (47-58) Melencholia I (54)