M = {x 1,x 2,...} M = {x P (x)}.

ÝËÅÌÅÍÒÛ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ êîíñïåêò ëåêöèè (àñòü 1) À.Ñ. Äæóìàäèëüäàåâ 27 ôåâàëß 2005 ã.

Îãëàâëåíèå 1 Ìíîæåñòâà 4 1.1 Ìíîæåñòâà, ïîäìíîæåñòâà è ëåìåíòû.................. 4 1.2 Ïààäîêñ Ðàññåëà.............................. 6 1.3 Áóëåàí. Äèàãàììû Âåííà......................... 6 1.4 Òîæäåñòâà àëãåáû ìíîæåñòâ....................... 7 1.5 Çàäàè..................................... 9 2 Îòíîåíèß è ôóíêöèè 12 2.1 Äåêàòîâî ïîèçâåäåíèå è îòíîåíèß................... 12 2.2 Îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè........................ 13 2.3 Îòíîåíèå ïîßäêà............................. 16 2.4 Îïåàöèè íàä îòíîåíèßìè........................ 16 2.5 Ôóíêöèè................................... 18 2.6 Çàäàè..................................... 20 3 Êîìáèíàòîèêà è òåîèß èñåë 24 3.1 Ïèíöèïû ñåòà............................... 24 3.2 Ïèíöèï Äèèõëå.............................. 25 3.2.1 Çàäàè................................. 26 3.3 Ôîìóëà âêëåíèß - èñêëåíèß.................... 27 3.3.1 Çàäàè................................. 30 3.4 Áèíîìèàëüíûå êîôôèöèåíòû....................... 32 3.4.1 Çàäàè................................. 33 3.5 Ôóíêöèè íà êîíåíûõ ìíîæåñòâàõ.................... 34 3.6 Ìàòåìàòèåñêàß èíäóêöèß......................... 37 3.6.1 Çàäàè................................. 38 3.7 èñëà Ôèááîíàè............................. 40 3.7.1 Çàäàè................................. 40 3.8 Ðåêêóåíòíûå ñîîòíîåíèß......................... 42 3.8.1 Çàäàè................................. 44 3.9 Ïîèçâîäßùèå ôóíêöèè.......................... 45 3.9.1 Çàäàè................................. 50 3.10 Öåëûå èñëà è äåëèìîñòü.......................... 51 3.10.1 Çàäàè................................. 53 3.11 Ñàâíåíèß.................................. 55 3.12 Öåïíûå äîáè................................ 57 1

3.12.1 Çàäàè................................. 61 3.13 Ìóëüòèïëèêàòèâíûå ôóíêöèè....................... 62 3.13.1 Çàäàè................................. 64 3.14 Ðååíèå óàâíåíèè âöåëûõèñëàõ.................... 66 3.14.1 Çàäàè................................. 67 3.15 Êîìïüòåû, ïîñòûå èñëà è êèïòîñèñòåìû............. 69 3.15.1 Êîìïüòåíûå òåñòû íà ïîñòîòó èñåë............. 69 3.15.2 Ïîñòûå èñëà, ñîñòîßùèå èç îäíèõ åäèíèö........... 73 3.15.3 Áèíàíûé ìåòîä âîçâåäåíèå â ñòåïåíü............... 73 3.15.4 Êèïòîñèñòåìà ñ îòêûòûì êëîì............... 75 3.15.5 Ýëåêòîííàß ïîäïèñü........................ 79 4 Àëãåáàèåñêèå ñòóêòóû 80 4.1 Ðàññòàíîâêè ñêîáîê............................. 80 4.1.1 Êîììóòàòèâíûå àññòàíîâêè ñêîáîê............... 82 4.1.2 Àññîöèàòèâíûå àññòàíîâêè ñêîáîê................ 82 4.1.3 Çàäàè................................. 82 4.2 Ãóïïà.................................... 82 4.2.1 Çàäàè................................. 90 4.3 Êîëüöà è ïîëß................................ 92 4.3.1 Çàäàè................................. 93 4.4 Ëîãèêà âûñêàçûâàíèè............................ 94 4.5 Áóëåâû ôóíêöèè............................... 95 4.5.1 Çàäàè................................. 99 4.6 Áóëåâà àëãåáà................................ 102 4.7 Ðååòêè.................................... 103 4.8 Ïååêëàòåëüíûå ñõåìû.......................... 103 4.8.1 Çàäàè................................. 105 5 Ãàôû 106 5.1 Îñíîâíûå îïåäåëåíèß........................... 106 5.1.1 Äååâüß................................ 108 5.2 Ýëåêòèåñêèå öåïè è ãàôû....................... 109 5.3 Ýéëåîâû ãàôû............................... 112 5.4 Ãàìèëüòîíîâû ãàôû............................ 114 5.5 Ïëàíàíûå ãàôû.............................. 114 5.5.1 Êîäèîâêà äååâüåâ......................... 118 5.5.2 Àëãîèòì Äåéêñòû......................... 120 5.5.3 Çàäàè................................. 124 5.6 Ãàôû èóãëåâîäîîäû........................... 130 6 Òåìû äëß ñàìîñòîßòåëüíûõ àáîò 132 6.1 Çàäàè..................................... 132 6.2 Ëèòåàòóà.................................. 149 2

Êíèæêà ñîäåæèò êîíñïåêò ëåêöèè, ïîèòàííûå â Êàçàõñêî-Òóåöêîì è â Êàçàõñêî-Áèòàíñêîì óíèâåñèòåòàõ ïî êóñó "Äèñêåòíàß ìàòåìàòèêà" çà ïåâûå 7 íåäåëü. Â ëåêöèßõ çàòàãèâàòñß ëåìåíòû òåîèè ìíîæåñòâ, êîìáèíàòîèêè è òåîèè èñåë. Â àñòè 2 áóäóò ïèâåäåíû ëåêöèè çà 8 15 íåäåëü. Â íåé áóäóò îáñóæäåíû ñëåäóùèå òåìû: Àëãåáàèåñêèå ñòóêòóû Ëîãèêà âûñêàçûâàíèè è áóëåâû ôóíêöèè Ýëåìåíòû òåîèè ãàôîâ Àâòî áóäåò ïèçíàòåëåí âñåì çà çàìåàíèß è êîììåíòàèè îá îïåàòêàõ è îèáêàõ, êàê â ìàòåìàòèåñêîì òàê è â ãàììàòèåñêîì ñìûñëàõ. 3

Ãëàâà 1 Ìíîæåñòâà 1.1 Ìíîæåñòâà, ïîäìíîæåñòâà è ëåìåíòû Ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç ëåìåíòîâ. Ýëåìåíòû äîëæíû áûòü àçëèèìû. Ýòî îçíààåò, òî äëß ëáûõ äâóõ ïåäìåòîâ, âõîäßùèõ â äàííîå ìíîæåñòâî, ìû äîëæíû èìåòü âîçìîæíîñòü ñêàçàòü àçëèíû îíè èëè îäèíàêîâû. Ýëåìåíòû äîëæíû áûòü îïåäåëåííû. Óñëîâèå îïåäåëåííîñòè îçíààåò, òî åñëè äàíî êàêîå-òî ìíîæåñòâî è íåêîòîûé ïåäìåò, òî ìîæíî ñêàçàòü ßâëßåòñß ëè äàííûé ïåäìåò ëåìåíòîì àññìàòèâàåìîãî ìíîæåñòâà èëè íåò. Çàïèñü x M îçíààåò, òî ëåìåíò x ïèíàäëåæèò ìíîæåñòâó M, x M x íå ïèíàäëåæèò M. Ìíîæåñòâî ìîæíî çàäàòü äâóìß ñïîñîáàìè: ïååèñëåíèåì èëè îïèñàíèåì. Åñëè M ñîñòîèò èç ëåìåíòîâ x 1,x 2,..., òî ïèóò M = {x 1,x 2,...} Åñëè M ñîñòîèò èç ëåìåíòîâ x òàêèõ, òî âûïîëíåíî íåêîòîîå ñâîéñòâî P (x), òî ïèóò M = {x P (x)}. Êîëèåñòâî ëåìåíòîâ ìíîæåñòâà íàçûâàåòñß ïîßäêîì. Ïîßäîê ìíîæåñòâà A îáîçíààåòñß òàê: A. Ïîßäîê ìîæåò áûòü êîíåíûì èëè áåñêîíåíûì. Íàïèìå, A êîíååí, áîëåå òîíî A =42, åñëè A ìíîæåñòâî áóêâ êàçàõñêîãî àëôàâèòà. Ïèìå áåñêîíåíîãî ìíîæåñòâà N. Ïèìå. N ìíîæåñòâî íàòóàëüíûõ èñåë {1, 2, 3,...} Z ìíîæåñòâî öåëûõ èñåë {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Z + ìíîæåñòâî öåëûõ íåîòèöàòåëüíûõ èñåë {0, 1, 2,...} Q ìíîæåñòâî àöèîíàëüíûõ èñåë {p/q : p, q Z,q 0} R ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ èñåë 4

C ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ èñåë, ò.å., ìíîæåñòâî èñåë âèäà a + bi, ãäå a, b R. Ïèìå. Ìíîæåñòâî "íåäåëß" ìîæíî çàäàòü îïèñàíèåì: "íåäåëß" ñîñòîèò èç äíåé íåäåëè. Âñå çíàò òî òàêîå äíè íåäåëè è òî åñòü êîåêòíîå îïåäåëåíèå ìíîæåñòâà "íåäåëß". Ýòî æå ìíîæåñòâî ìîæíî çàäàòü ïååèñëåíèåì âñåõ åãî ëåìåíòîì: "íåäåëß"= ïîíåäåëüíèê, âòîíèê, ñåäà åòâåã, ïßòíèöà, ñóááîòà, âîñêåñåíüå}. Ïèìå. Ìíîæåñòâî "Ãàæäàíå Êàçàõñòàíà" ïîùå çàäàòü îïèñàíèåì. Åñòü ïîñòîé ñïîñîá îïåäåëèòü ãàæäàíñòâî: åëîâåê ïåäúßâëßåò óäîñòîâååíèå ëèíîñòè èëè ïàñïîò. Çàäàòü ìíîæåñòâî "Ãàæäàíå Êàçàõñòàíà" ïååèñëåíèåì çàòóäíèòåëüíî èñòî â òåõíèåñêîì ïëàíå. Íå ñëåäóåò èñêàòü ãëóáîêèé ñìûñë â àçëèèßõ ñïîñîáîâ çàäàíèß ìíîæåñòâ. Ýòè àçëèèß äîñòàòîíî óñëîâíû. Ãëàâíîå äîëæíà áûòü ôôåêòèâíàß ïîöåäóà, êîòîàß ïîçâîëßëà áû âàì îïåäåëèòü ëåæèò ëè àññìàòèâàåìûé ëåìåíò â âàåì ìíîæåñòâå èëè íåò. Ïèìå. Ìíîæåñòâî óìíûõ ëäåé. SSâëßåòñß ëè òî ìíîæåñòâîì â ìàòåìàòè- åñêîì ñìûñëå? Íåò, ïîñêîëüêó íåò ôîìàëüíîé ïîöåäóû, êîòîàß ïîçâîëèëà áû âàì îïåäåëèòü ßâëßåòñß ëè èíòååñóùèé âàñ åëîâåê óìíûì èëè íåò. Ïèìå. Åäèíèíûé êâàäàò ìîæíî çàäàòü èñóíêîì íà êîîäèíàòíîé ïëîñêîñòè y èëè â âèäå ìíîæåñòâà ååíèè íåàâåíñòâ x 1 {(x, y) R 2 0 x 1, 0 y 1}, èëè, åùå ïîùå, â âèäå ååíèè íåàâåíñòâ x 1/2 1/2, y 1/2 1/2. Ïèìå. Ïîâåíóòûé íà π/4 êâàäàò ñî ñòîîíîé 2 ìîæíî çàäàòü â âèäå êàòèíêè y x 1 â âèäå ìíîæåñòâà ååíèè íåàâåíñòâ x + y 1, åñëè 0 x 1, 0 y 1 x y 1, åñëè 1 x 0, 0 y 1 x + y 1, åñëè 1 x 0, 1 y 1 x y 1, åñëè 0 x 1, 1 y 0, 5,

èëè ïîùå, íåàâåíñòâà x + y 1. B ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà A, åñëè x B x A. Ðàçëèèå ìåæäó è. Ïåâûé îòíîñèòñß ê ëåìåíòàì, âòîîé ê ïîäìíîæåñòâàì. Íàïèìå, 1 N,íî{1} N. Èòàê, åñëè åñòü ëåìåíò x, òî èç íåãî ìîæíî ïîñòîèòü îäíîëåìåíòíîå ìíîæåñòâî {x}, âçßâ åãî â ôèãóíó ñêîáêó. 1.2 Ïààäîêñ Ðàññåëà Ïèìå. Â ïîëêó îäèí èç ñîëäàò, êîòîûé óìååò áèòü íàçíààåí ïàèêìàõå- îì. Ãåíåàë èçäàë ïèêàç: ïàèêìàõå äîëæåí áèòü òåõ è òîëüêî òåõ, êîòîûå íå áåòñß ñàìè. Ñìîæåò ëè ïàèêìàõå áèòü ñàìîãî ñåáß? Ïóñòü A ìíîæåñòâî ñîëäàò, êîòîûå íå áåòñß ñàìè. Òîãäà Ā ìíîæåñòâî ñîëäàò, êîòîûå áåòñß ñàìè. Äîïóñòèì, òî ïàèêìàõåà çîâóò Áèëë. Âîïîñ ñîñòîèò â òîì, òî Áèëë A èëè Áèëë Ā. Ïîêàæåì, òî íà òîò âîïîñ íåò íåïîòèâîåèâîãî îòâåòà. Â òîì è ñîñòîèò ïààäîêñ. Ýòî îçíààåò, òî A íåëüçß àññìàòèâàòü êàê ìíîæåñòâî. Ïóñòü Áèëë A. Òîãäà Áèëë ñàì ñåáß íå áååò. Çíàèò, ñîãëàñíî ïèêàçó ãåíåàëà åãî äîëæåí áèòü ïàèêìàõå (îí æå Áèëë). Èíûìè ñëîâàìè, ïàèêìàõå áååò ñàìîãî ñåáß. Ïîòèâîåèå: Áèëë Ā. Ðàññìîòèì òåïåü ñëóàé Áèëë Ā. Òîãäà Áèëë ñàì ñåáß áååò. Çíàèò, ñîãëàñíî ïèêàçó ãåíåàëà Áèëëà ïàèêìàõå áèòü íå äîëæåí. Ïîñêîëüêó Áèëë è ïàèêìàõå îíîèòîæå ëèöî, òî îçíààåò, òî Áèëë íå áååò ñàìîãî ñåáß. Ïîòèâîåèå: Áèëë A. Èìååòñß ñèñòåìà àêñèîì òåîèè ìíîæåñòâ, êîòîàß íîñèò èìåíà Öåìåëî- Ôåíêåëß. Îíà çàïåùàåò âîçíèêíîâåíèå òàêîãî îäà ïààäîêñîâ. Ìû íå ìîæåì óãëóáëßòüñß âàêñèîìàòèåñêèå äåáè òåîèè ìíîæåñòâ. Ê ñàñòü, ìíîæåñòâà àññìàò- èâàåìûå íà íàåì êóñå (êîíåíûå ìíîæåñòâà, èñëîâûå ìíîæåñòâà, è ò.ä.) ëè- åíû òàêîãî îäà òóäíîñòåé. 1.3 Áóëåàí. Äèàãàììû Âåííà Ïóñòîå ìíîæåñòâî îáîçíààåòñß òàê:.ýòî ìíîæåñòâî, â êîòîîì íåò íèêàêèõ ëåìåíòîâ. Ïóñòîå ìíîæåñòâî ßâëßåòñß ïîäìíîæåñòâîì ëáîãî ìíîæåñòâà. Óíèâåñàëüíîå ìíîæåñòâî îïåäåëßåòñß èç êîíòåêñòà. Ýòî ìíîæåñòâî, êîòîîå ñîäåæèò âñå àññìàòèâàåìûå ìíîæåñòâà. Ñòàíäàòíîå îáîçíàåíèå óíèâåñàëüíîãî ìíîæåñòâà, ïèìåíßåìîãî â òîé àáîòå U. Áóëåàí ìíîæåñòâà ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Äèàãàììà Âåííà ïåäñòàâëåíèå ìíîæåñòâà â âèäå ãåîìåòèåñêèõ ôèãó (îáûíî â âèäå êóæêà). Ðàâåíñòâî ìíîæåñòâ. Ìíîæåñòâà A è B àâíû, îáîçíàåíèå: A = B, åñëè A B è B A. 6

Ïèìå. Ïóñòü A = {a, b, c} è B = {c, b, a, c}. Òîãäà ïîñêîëüêó Îáàòíî, ïîñêîëüêó Ñëåäîâàòåëüíî, A B, a A a B, b A b B, c A c B. B A, c B c A, b B b A, a B a A, c B c A. A = B. Ýòîò ïèìå ïîêàçûâàåò òî, ïîßäîê ïååèñëåíèß èëè ïîâòîåíèå ëåìåíòîâ â ìíîæåñòâàõ íå èìåò çíàåíèß. Îáûíî ñòààòñß ïååèñëßòü ëåìåíòû â ïî- ßäêå âîçàñòàíèß èëè óáûâàíèß îòíîñèòåëüíî êàêîãî-òî ïîßäêà è ñòààòñß ïî âîçìîæíîñòè íå ïîâòîßòü îäíè è òå æå ëåìåíòû íåñêîëüêî àç. 1.4 Òîæäåñòâà àëãåáû ìíîæåñòâ Îïåàöèè íà ìíîæåñòâàõ óäîâëåòâîßò ñëåäóùèì òîæäåñòâàì A A = A, A B = B A, (A B) C = A (B C), A A = A (èäåìïîòåíòíîñòü) (A B) C =(A C) (B C), (A B) C =(A C) (B C) (äèñòèáóòèâíîñòü) A B = B A (êîììóòàòèâíîñòü) A = A, A U = A, A U = U, A = (íåéòàëüíîñòü) Ā = A(èíâîëòèâíîñòü) A Ā = U, Ū =, (A B) =Ā B, A Ā = = U (äîïîëíåíèå) (A B) C = A (B C) (àññîöèàòèâíîñòü) (A B) =Ā B (Äå Ìîãàí) 7

Åñòü äâà ñïîñîáà äîêàçàòåëüñòâ òàêîãî îäà òîæäåñòâ. Ïåâîå ñ ïîìîùü äèàãàìì Âåííà. Âòîîå äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà ôîìàëüíîì îïåäåëåíèè àâåíñòâà. òîáû óñòàíîâèòü X = Y íàäî ïîâåèòü, òî è x X x Y y Y y X. Ïîèëëñòèóåì îáà ñïîñîáà äîêàçàòåëüñòâ íà ïèìåå òîæäåñòâ àëãåá ìíîæåñòâ. Äîêàæåì òîæäåñòâî àññîöèàòèâíîñòè ïî îáúåäèíåíè ñ ïîìîùü äèàãàìì Âåííà. Èìååì A B = (A B) C = Ñ äóãîé ñòîîíû, B C = Ïîòîìó A (B C) = (A B) C = = A (B C) Äîêàæåì âòîûì ñïîñîáîì òîæäåñòâî Äå Ìîãàíà Ñ îäíîé ñòîîíû, (A B) =Ā B. x (A B) x U, x (A B) x U, x A, x B x Ā, x B. Ñëåäîâàòåëüíî Ñ äóãîé ñòîîíû, (A B) Ā B x Ā B x Ā, x B x U, x A, x B x U, x A B x (A B). 8

Ñëåäîâàòåëüíî Ā B (A B). Òîæäåñòâî Äå Ìîãàíà äîêàçàíî ïîëíîñòü. 1.5 Çàäàè 1.Ìîæíî ëè îïåäåëèòü ìíîæåñòâî êàïåëü â ñòàêàíå âîäû? 2. Ìîæíî ëè îïåäåëèòü ìíîæåñòâî ìíîæåñòâ íå ñîäåæàùèõ ñåáß â êàåñòâå ëåìåíòà? 3. SSâëßåòñß ëè ìíîæåñòâî êóãëûõ êâàäàòîâ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà N? 4. Êàêèå èç ñëåäóùèõ óòâåæäåíèè âåíî? Â ñëóàå îòèöàòåëüíîãî îòâåòà ïèâåñòè êîíòïèìå. {5, 6} {{1, 2, 3, 5, 6}, {1, 3}, 3, 5, 6} 7 {{5, 6, 7, 8}}, {1} N 1 N {a} {{a}} {a} {{a}} 5. Êàêèå èç ñëåäóùèõ óòâåæäåíèè âåíî? Â ñëóàå îòèöàòåëüíîãî îòâåòà ïèâåñòè êîíòïèìå. Åñëè A B,B C, òî A C. Åñëè A B,B C òî A C Åñëè x A, òî {x} A. Åñëè {x} A, òî x A. 6. Êàêèå èç ñëåäóùèõ ìíîæåñòâ àâíû {a, b, c}, {c, b, a, c}, {b, c, b, a}, {c, a, c, b}? 7.Ðàâíû ëè ìíîæåñòâà a){{1, 2}} è {1, 2} b){{1, 2}, {2, 3}} {1, 2, 3} 9

8. Çàäàíû ìíîæåñòâà,a = {1},B = {1, 3},C = {1, 5, 9},D = {1, 2, 3, 4, 5},E = {1, 3, 5, 7, 9}, U = {1, 2,...,9}. Êàêó èç çíàêîâ èëè íåîáõîäèìî ñòàâèòü ìåæäó ñëåäóùèìè ïààìè:, A; A, B; B, C; B, E; C, D; C, E; D, E; D, U. 9. Äîêàæèòå, òî èç óñëîâèß A B = A C íå ñëåäóåò, òî B = C. 10.Ïóñòü U = N,A= {1, 2, 3, 4},B = {3, 4, 5, 6, 7},C = {6, 7, 8, 9} E ìíîæåñòâî åòíûõ íàòóàëüíûõ èñåë. Íàéòè Ā, B, C A \ B,B \ C, C \ E, A B,B C, A B, A B,A C, B C. 11. Çàäàéòå ñëåäóùèå ìíîæåñòâà ñ ïîìîùü îïèñàíèß ëåìåíòîâ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {2, 4, 6, 8, 10} {1, 4, 9, 16, 25,...} {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...} { 1, 1} 12. Çàäàòü ñëåäóùåå ìíîæåñòâî ñ ïîìîùü íåàâåíñòâ y 1 2 x 13. Çàäàéòå ñëåäóùèå ìíîæåñòâà ñ ïîìîùü ïååèñëåíèß ëåìåíòîâ {x Z:2x 2 3x +1=0} {x R:2x 2 3x +1=0} {x R:(x 1)(x 3 +1)=0} {x C:(x 1)(x 3 +1)=0} 10

14. Ïóñòü nz = {na : a Z} ìíîæåñòâî èñåë êàòíûõ íà n. Ðàññìîòèì ìíîæåñòâà 2Z, 3Z, 5Z, 6Z, ìíîæåñòâî öåëûõ èñåë îêîíèâàùèõñß íà 0 è ìíîæåñòâî ñòåïåíåé 2. Êàêèå èç òèõ ìíîæåñòâ ßâëßòñß ïîäìíîæåñòâàìè äóãèõ? òî ßâëßåòñß èõ îáùèì íàäìíîæåñòâîì? 15. Íàéòè îáúåäèíåíèß è ïååñååíèß ìíîæåñòâ 3Z 12Z è 3Z 2Z, 3Z 12Z, 12Z 15Z. 16. Íàéäèòå áóëåàí ìíîæåñòâà {1, 2, 3, 4}. 17. Äîêàæèòå òîæäåñòâà àëãåáû ìíîæåñòâ äâóìß ìåòîäàìè (ñ ïîìîùü äèàãàìì Âåííà è ñ ïîìîùü èññëåäîâàíèß ëåìåíòîâ â ëåâûõ è ïàâûõ àñòßõ àâåíñòâ). Îáàòèòå âíèìàíèå íà äóàëüíîñòü òîæäåñòâ. 18. Ñ ïîìîùü òîæäåñòâ àëãåáû ìíîæåñòâ äîêàçàòü, òî (A B) (A B) =A (A B) \ (A B) =(A \ B) (B \ A). Ýòîò åçóëüòàò ïîêàçûâàåò, òî ñèììåòèåñêó àçíîñòü A B ìîæíî îïåäåëèòü äâóìß ñïîñîáàìè. 19. Ïóñòü A = {a, b, c, d}. Íàéòè êëàññ ïîäìíîæåñòâ, êîòîûå ñîäåæàò ïî òè ëåìåíòà. Íàéòè êëàññ ïîäìíîæåñòâ, êîòîûå ñîäåæàò a è äâà äóãèõ ëåìåíòà. Ñêîëüêî ëåìåíòîâ èìåò òè êëàññû ìíîæåñòâ è êîòîûé èç íèõ ßâëßåòñß ïîäêëàññîì äóãîãî? 20. Ïóñòü A = {1, 2,...,9}. Êàêèå èç ñëåäóùèõ ñîâîêóïíîñòåé ïîäìíîæåñòâ çàäàò àçáèåíèå ìíîæåñòâà A? [{1, 3, 5}, {2, 6}, {4, 8, 9}] [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {5, 7, 9}] [{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7, 9}] 11

Ãëàâà 2 Îòíîåíèß è ôóíêöèè 2.1 Äåêàòîâî ïîèçâåäåíèå è îòíîåíèß Äåêàòîâî (èëè ïßìîå) ïîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ A 1,A 2,...,A n îïåäåëßåòñß êàê ìíîæåñòâî óïîßäîåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {(a 1,a 2,...,a n ) a 1 A 2,a 2 A 2,...,a n A n }. Îáîçíàåíèå: A 1 A 2 A n èëè n i=1 A i èëè, êàòêî, i A i. Ïèìå. Ïóñòü A 1 = {x, y},a 2 = {p, q, r},a 3 = {1, 2}. Òîãäà A 1 A 2 A 3 = {(x, p, 1), (x, p, 2), (x, q, 1), (x, q, 2), (x, r, 1), (x, r, 2), (y, p, 1), (y, p, 2), (y,q, 1), (y, q, 2), (y, r, 1), (y, r, 2)}. Îòíîåíèå. Äëß ìíîæåñòâ A è B îòíîåíèå îïåäåëßåòñß êàê ïîäìíîæåñòâî R A B. Åñëè (a, b) R òî áóäåì ïèñàòü arb. Åñëè (a, b) R òî áóäåì ïèñàòü a Rb. Óíèâåñàëüíîå îòíîåíèå. R = A A Ïóñòîå îòíîåíèå. R = A A Ïèìå. Ïóñòü A = {ßéöî, ìîëîêî, êóêóóçà} è B = {êîîâà, êîçà, êóèöà}. Îïåäåëèì îòíîåíèå R èç A â B ïî ïàâèëó arb, åñëè b ïîèçâîäèò a. Òîãäà ßéöî R êîîâà R = {(ßéöî,êóèöà),(ìîëîêî, êîîâà),(ìîëîêî,êîçà)}. Ïèìå. Îïåäåëèì îòíîåíèå íà ìíîæåñòâå R ïî ïàâèëó xry, åñëè x 2 + y 2 = 25. Òîãäà R ìîæíî ïåäñòàâèòü â âèäå îêóæíîñòè àäèóñà 5 íà ïëîñêîñòè: y 5 x Ïóñòü R áèíàíîå îòíîåíèå èç A â B. 12

Îáëàñòü îïåäåëåíèß, Îáëàñòü çíàåíèè, Dom(R) ={a (a, b) R, äëß íåêîòîîãî b B}. Im(R) ={b (a, b) R, äëß íåêîòîîãî a A}. Îòíîåíèå íà (êîíåíûõ) ìíîæåñòâàõ ìîæíî çàäàòü ïååèñëåíèåì, íàïèìå, R = {(a, b), (a, c), (b, d)} ìàòèöåé (λ i,j ), λ i,j = { 1, a ira j 0, â ïîòèâîïîëîæíîì ñëóàå îïèñàíèåì, íàïèìå, â ìíîæåñòâå ëäåé arb, åñëè b îòåö a. â âèäå ãàôèêà ôóíêöèè, íàïèìå, xry, åñëè y = x/2. Òèïû îòíîåíèè R A A: R åôëåêñèâíî, åñëè ara, äëß ëáîãî a A. Ïèìå, "æèòü â îäíîì ãîîäå". R àíòèåôëåêñèâíî, åñëè a Ra äëß âñåõ a A. Ïèìå, "áûòü ñûíîì". R cèììåòèåñêî, åñëè arb bra. Ïèìå, "àáîòàòü íà îäíîé ôèìå". R àíòèñèììåòèíî, åñëè arb, bra a = b. Ïèìå, "áûòü íààëüíèêîì". R òàíçèòèâíî, åñëè arb, brc arc. Ïèìå, "áûòü ìîëîæå". 2.2 Îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè Ýêâèâàëåíòíîñòü. R îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè, åñëè îíî åôëåêñèâíî, ñèììåòèíî è òàíçèòèâíî. Ïèìå. Óíèâåñàëüíîå îòíîåíèå ßâëßåòñß îòíîåíèåì êâèâàëåíòíîñòè. Ïèìå. Ïóñòü A è a A. Ïîñêîëüêó (a, a), ïóñòîå îòíîåíèå íå ßâëßåòñß îòíîåíèåì åôëåêñèâíîñòè. Ïîòîìó ïóñòîå îòíîåíèå íå ßâëßåòñß îòíîåíèåì êâèâàëåíîñòè. Êëàññ êâèâàëåíòíîñòè ëåìåíòà a A îòíîñèòåëüíî îòíîåíèß êâèâàëåíòíîñòè R îïåäåëßåòñß êàê ïîäìíîæåñòâî ëåìåíòîâ b A íàõîäßùèõñß â îòíîåíèè R ñ a: R(a) ={b (a, b) R}. 13

Òîãäà R(a) R(b) R(a) =R(b), A = a A R(a). (Äîêàæèòå!) Ïîëíàß ñèñòåìà êëàññîâ êâèâàëåíòíîñòè. Íàçîâåì ñèñòåìó êëàññîâ êâèâàëåíòíîñòè R(a 1 ),R(a 2 ),..., ïîëíîé ñèñòåìîé, åñëè R(a 1 ),R(a 2 ),..., àçëèíûå êëàññû êâèâàëåíòíîñòè, A = i 1 R(a i ). Ýëåìåíò b A íàçûâàåòñß ïåäñòàâèòåëåì êëàññà R(a), åñëè b R(a), ò.å., (a, b) R. Ôàêòî-ìíîæåñòâî. Äëß îòíîåíèß êâèâàëåíòíîñòè R ìíîæåñòâî ρ(a) = {R(a 1 ),R(a 2 ),...}, ëåìåíòàìè êîòîûõ ßâëßòñß ïîëíûå ñèñòåìû êëàññîâ êâèâàëåíòíîñòè, íàçûâàåòñß ôàêòî-ìíîæåñòâîì. Âìåñòî ρ(a) àñòî èñïîëüçóåòñß îáîçíàåíèå: A/R. Ïèìå. Ïóñòü A = Z. Îïåäåëèì îòíîåíèå (a, b) R, åñëè a b äåëèòñß íà n. Îáûíî â òàêèõ ñëóàßõ ïèóò a b(mod n). Èìååòñß n àçëèíûõ êëàññîâ êâèâàëåíòíîñòè R(0) = {nk k Z}, R(1) = {1+nk k Z},. R(n 1) = {n 1+nk k Z}. Òàêèì îáàçîì, ôàêòî-ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç n ëåìåíòîâ. Îáûíî ôàêòî-ìíîæåñòâî îáîçíààåòñß òàê: Z/nZ. Ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà A ïåäñòàâëåíèå ìíîæåñòâà A â âèäå îáúåäèíåíèß íåïå- åñåêàùèõñß íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ A i,i I, ãäå I íåêîòîîå ìíîæåñòâî èíäåêñîâ. Äóãèìè ñëîâàìè, A = i I A i A i A j = åñëè i j. A i äëß âñåõ i I. Òåîåìà. Ðàçáèåíèå {A i,i I} ìíîæåñòâà A çàäàåò îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè R = {(a, b) i I òàêîé, òî a, b A i }. Îáàòíî, ïóñòü R A A îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè. Òîãäà ïîëíàß ñèñòåìà êëàññîâ êâèâàëåíòíîñòè {R(a 1 ),R(a 2 ),...} çàäàåò àçáèåíèå ìíîæåñòâà A. Ïèìå. Ïóñòü A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Òîãäà A = A 1 A 2 A 3 àçáèåíèå, ãäå A 1 = {1, 3},A 2 = {2, 4, 6},A 3 = {5}. Ýòîìó àçáèåíè ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóùåå îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè R = {(1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 2), (4, 6), (6, 4), 14

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} Ïèìå. Ïóñòü A = {a, b, c, d, e, f}. Òîãäà R = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (f,f), (a, b), (b, a), (c, e), (e, c), (a, f), (f,a), (b, f), (f,b)} ßâëßåòñß îòíîåíèåì êâèâàëåíòíîñòè. Åìó ñîîòâåòñòâóåò àçáèåíèå A = A 1 A 2 A 3, ãäå A 1 = {a, b, f},a 2 = {c, e},a 3 = {d} Ïèìå. Èìååòñß âñåãî 5 àçëèíûõ îòíîåíèè êâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå èç òåõ ëåìåíòîâ A = {a, b, c}: R 1 = A A, R 2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}, R 3 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, c), (c, a)}, R 4 = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)}, R 5 = {(a, a), (b, b), (c, c)}. Ýòèì îòíîåíèßì ñîîòâåòñòâóò àçáèåíèß A = A 1, A 1 = {a, b, c}, A = A 1 A 2, A = A 1 A 2, A = A 1 A 2, A = A 1 A 2 A 3, A 1 = {a, b},a 2 = {c}, A 1 = {a, c},a 2 = {b}, A 1 = {b, c},a 2 = {a}, A 1 = {a},a 2 = {b},a 3 = {c}. Îòíîåíèå òîëåàíòíîñòè åôëåêñèâíîå è ñèììåòèåñêîå îòíîåíèå. Âñßêîå îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè ßâëßåòñß îòíîåíèåì òîëåàíòíîñòè. Ïèâåäåì ïèìåû îòíîåíèè òîëåàíòíîñòè. Ïèìå. Ïóñòü A = N è arb, åñëè èñëà a è b èìåò õîòß áû îäíó îáùó öèôó. Ïèìå. Ïóñòü A ìíîæåñòâî ïßìûõ äâóìåíîé ïëîñêîñòè R 2 è arb, åñëè ïßìûå a è b èìåò òîêè ïååñååíèß. Ïèìå. Ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç åòûåõáóêâåííûõ óññêèõ ñëîâ íàèöàòåëüíûõ ñóùåñòâèòåëüíûõ â èìåíèòåëüíîì ïàäåæå. Îïåäåëèì îòíîåíèå arb íà ìíîæåñòâå A ïî ïàâèëó: arb, åñëè ñëîâà a è b îòëèàòñß íå áîëåå åì íà îäíó áóêâó. Êàê "ïåâàòèòü ìóõó â ñëîíà" â òåìèíàõ òîãî îòíîåíèß òîëåàíòíîñòè? Íàïèìå, òàê: Ìóõà ìóà òóà òàà êàà êàå êàôå êàô êà êàê êê êîê ñîê ñòîê ñòîí ñëîí. 15

2.3 Îòíîåíèå ïîßäêà Îòíîåíèå R çàäàåò îòíîåíèå ïîßäêà, åñëè îíî åôëåêñèâíî, àíòèñèììåò- èíî è òàíçèòèâíî. Ïèìå. Îòíîåíèå a b îïåäåëåííîå ïî ïàâèëó a b çàäàåò ïîßäîê íà ìíîæåñòâå N. àñòèíî óïîßäîåííîå ìíîæåñòâî Ìíîæåñòâî ñ îòíîåíèåì ïîßäêà. Ïèìå. Áóëåàí îòíîñèòåëüíî âêëåíèß (P (A), ) - àñòèíî óïîßäîåíî. Ïóñòü (A, ) àñòèíî óïîßäîåííîå ìíîæåñòâî. Ãîâîßò, òîx A ïîêûâàåò y A, åñëè x y è íå ñóùåñòâóåò òàêîãî ëåìåíòà z A, òî x<y<z.äèàãàììà Õàññå ìíîæåñòâà (A, ) : òîêè ñîîòâåòñòâóò ëåìåíòàì ìíîæåñòâà A è äâå âåèíû x è y ñîåäèíåíû, åñëè y ïîêûâàåò x, ïèåì x àñïîëîæåí íèæå åì y. Ïèìå. Áóëåàí P ({a, b, c}) è åãî äèàãàììà Õàññå {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} a} b} c} Ïèìå. Ìíîæåñòâî (N, ), ãäå a b a b àñòèíî óïîßäîåíî. Êâàçèïîßäîê (èëè ïåäïîßäîê) åôëåêñèâíîå è òàíçèòèâíîå îòíîåíèå. Ïèìå. Ìíîæåñòâî (Z, ) îòíîñèòåëüíî ïîßäêà a b a b êâàçèóïîßäî- åíî. Ýòî ìíîæåñòâî íå ßâëßåòñß àñòèíî óïîßäîåííûì. Íàïèìå, 3 3, 3 3, íî 3 3. Ëèíåéíûé ïîßäîê. Ïîßäîê R íà ìíîæåñòâå A ëèíååí, åñëè äëß ëáûõ a, b A èìååò ìåñòî arb èëè bra. Ëèíåéíî óïîßäîåííîå ìíîæåñòâî Ìíîæåñòâî ñ îòíîåíèåì ëèíåéíîãî ïî- ßäêà. Ïèìå. (N,<) ëèíåéíî óïîßäîåíî îòíîñèòåëüíî îáûíîãî ïîßäêà <. 2.4 Îïåàöèè íàä îòíîåíèßìè Ïîñêîëüêó îòíîåíèß ßâëßòñßïîäìíîæåñòâàìè, âñå îïåàöèè íàä ìíîæåñòâàìè äîïóñòèìû íàä îòíîåíèßìè. Äëß R 1,R 2 A B åñòåñòâåííûìè ïóòßìè îïåäåëßòñß íîâûå îòíîåíèß (îáúåäèíåíåèå, ïååñååíèå, àçíîñòü, ñèììåòèåñêàß àçíîñòü îòíîåíèè) R 1 R 2,R 1 R 2,R 1 \ R 2,R 1 R 2 A B. Îáàòíîå îòíîåíèå. Äëß R A B îáàòíîå îòíîåíèå îïåäåëßåòñß òàê: R 1 = {(b, a) (a, b) R}. 16

Èìååòñß åùå îäíà îïåàöèß, êîòîó íåëüçß ïîëóèòü èç îïåàöèè àëãåáû ìíîæåñòâ. Ýòà îïåàöèß êîìïîçèöèß îòíîåíèè R 1 R 2. Êîìïîçèöèß îòíîåíèè. Ïóñòü R 1 A B,R 2 B C, Òîãäà îòíîåíèå R 1 R 2 A C îïåäåëßåòñß ïî ïàâèëó R 1 R 2 = {(a, b) b B,(a, b) R 1, (b, c) R 2 }. Òåîåìà. Êîìïîçèöèß îòíîåíèè àññîöèàòèâíà. Îïåäåëèì ñòåïåíè îòíîåíèè R A A ïî ïàâèëó R 1 = R, R n = R R n 1, åñëè n>1. Ïèìå. Ïóñòü A ìíîæåñòâî ëäåé è îòíîåíèå R A A îïåäåëßåòñß òàê: (a, b) R, åñëè a îòåö b. Òîãäà ar 2 b îçíààåò, òî a äåä a. Çàìûêàíèß îòíîåíèè. Ïóñòü R A A. Îïåäåëèì R ref = R {(a, a) a A} åôëåêñèâíîå çàìûêàíèå, ñèììåòèåñêîå çàìûêàíèå, R = i=1r i (òàíçèòèâíîå çàìûêàíèå). R sym = R R 1 Ïèìå. Åñëè A = R, R= {(a, b) a <b}, òî R ref = {(a, b) a b}. Ïèìå. Åñëè A = R, R= {(a, b) a <b}, òî R sym = {(a, b) a b} Çàìåòèì òî R = {(a, b) k N, (a, c 1 ), (c 1,c 2 ),...,(c k,b) R}. Òåîåìà. Åñëè A = n, òî R = n i=1r i. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, òî ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ëåìåíòîâ x 0,x 1,...,x m A òàêîé, òî (x 0,x 1 ), (x 1,x 2 ),...,(x m 1,x m ) R, è x 0 = a, x m = b. Äîêàæåì, òî äëß ëáûõ a, b A äëèíó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè m ìîæíî ïîäîáàòü òàêèì, òî m n, åñëè a = b è m<m, åñëè a b. Ðàññìîòèì ñëóàé a = b. Äîïóñòèì, òî m n +1. Òîãäà ïî ïèíöèïó Äè- èõëå ñåäè m ëåìåíòîâ x 1,x 2,...,x m {a 1,...,a n } ñóùåñòâóò ïî êàéíåé ìåå 2 îäèíàêîâûõ. Ïóñòü íàïèìå, x i = x j, 0 < i < j m. Òîãäà èìååòñß ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x 0 = a, x 1,x 2,...,x i,x j+1,...,x m = a A äëèíû <mòàêîé, òî (a, x 1 ),...,(x i 1,x i ), (x j,x j+1 ),...,(x m 1,a) R. Ïîâòîßß ìíîãîêàòíî òó ïîöåäóó ìíîãîêàòíî ìîæíî ïîñòîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíû m n òåáóåìûìè ñâîéñòâàìè. Ñëóàé a b îñòàâëßåòñß â êàåñòâå óïàæíåíèß. Ïèìå. Åñëè A = {x, y, z} è R = {(x, y), (y, z), (z, z)}, òî R (2) = {(x, z), (y, z), (z, z)}, Ïîòîìó R (3) = {(x, z), (y, z), (z, z)} = R (2). R = R R (2) R (3) = {(x, y), (y, z), (z, z), (x, z)}. 17

2.5 Ôóíêöèè Îòíîåíèå f A B íàçûâàåòñß ôóíêöèåé, åñëè Dom f = A Imf B (a, b 1 ) f,(a, b 2 ) f b 1 = b 2. Òàêèì îáàçîì, ôóíêöèè àñòíûé ñëóàé îòíîåíèè. òîáû çàäàòü ôóíêöè íóæíî çàäàòü òè âåùè: ïàâèëî f, îáëàñòü îïåäåëåíèß A è îáëàñòü çíàåíèè B, ïè òîì îäíîìó çíàåíè x A ñîîòâåòñòâóåò îâíî îäíî çíàåíèå y B. Îáûíî ïèóò y = f(x). Äóãèå îáîçíàåíèß äëß ôóíêöèè: f : A B, A f B,f : x f(x). Èíúåêòèâíîñòü. Ôóíêöèß f : A B íàçûâàåòñß èíúåêòèâíîé, åñëè f(a) = f(a 1 ) a = a 1. Èíîãäà âìåñòî òåìèíà "èíúåêòèâíûé" èñïîëüçóòñß äóãèå ñëîâà: ìîíîìîôèçì, âëîæåíèå èëè îòîáàæåíèå "â". Ñúåêòèâíîñòü. Ôóíêöèß f : A B íàçûâàåòñß ñúåêòèâíîé, åñëè äëß ëáîãî b B ñóùåñòâóåò a A òàêîå, òî b = f(a). Èíîãäà âìåñòî òåìèíà "ñúåêòèâíûé" èñïîëüçóòñß äóãèå ñëîâà: ïèìîôèçì, íàëîæåíèå èëè îòîáàæåíèå "íà". Áèåêöèß. Ôóíêöèß f : A B áèåêòèâíà (âçàèìíî îäíîçíàíà), åñëè f èíúåêòèâíà è ñúåêòèâíà. Ïèìå. f : R R, x x 2, íåèíúåêòèâíà è íå ñúåêòèâíà. Ïèìå. f : R R +, x x 2, ñúåêòèâíà, íî íå èíúåêòèâíà. Ïèìå. f : Z Z, x 2x, èíúåêòèâíà, íî íå ñúåêòèâíà. Ïèìå. f : R R, x 2x áèåêöèß. Êîìïîçèöèß ôóíêöèè f : A B,g : B C îïåäåëßåòñß êàê ôóíêöèß g f : A C, (g f)(a) =g(f(a)). Ïèìå. Ïóñòü f : R R, x 2x +1è g : R R, x x 2 +2. Òîãäà g f : R R, x 4x 2 +4x +3, f g : R R, x 2x 2 +5. Ýòîò ïèìå ïîêàçûâàåò òî îïåàöèß êîìïîçèöèè íà ìíîæåñòâå ôóíêöèè íå ßâëßåòñß êîììóòàòèâíîé: f g g f. Òåîåìà. Êîìïîçèöèß ôóíêöèè àññîöèàòèâíà. Äëß ëáûõ òåõ ôóíêöèè A f B,B g C, C h D âûïîëíåíî àâåíñòâî Äîêàçàòåëüñòâî. h (g f) =(h g) f. (h (g f))(a) =h(g f)(a)) = h(g(f(a))) = (h g)(f(a)) = ((h g) f)(a). Îáîçíàåíèå äëß ìíîæåñòâà ôóíêöèè èç A â B: F(A, B) èëè B A. 18

Îïåàöèè. Ïóñòü A n = } A A {{} n. Ôóíêöèß f : A n A íàçûâàåòñß n-ìåñòíîé îïåàöèåé íà. Ïè ìàëûõ n èìåòñß ñïåöèàëüíûå íàçâàíèß: 1-ìåñòíàß îïåàöèß óíàíà, 2- ìåñòíàß îïåàöèß áèíàíà. Áèíàíó îïåàöè àñòî íàçûâàò óìíîæåíèåì. Óìíîæåíèå ëåìåíòîâ f(a, b) èíîãäà îáîçíààåòñß òàê: a b, a + b, a b, a b èëè a bèò.ä. Ïèìå. Âñßêó ôóíêöè f : A A ìîæíî àññìàòèâàòü êàê óíàíó îïåàöè. Ïèìå. Ïóñòü A = F(X, X). Êîìïîçèöè ôóíêöèè èç X â X ìîæíî àññìàò- èâàòü êàê îïåàöè óìíîæåíèß â ìíîæåñòâå ôóíêöèè F(X, X). Ïèìå. Ïóñòü A = Mat n ìíîæåñòâî êâàäàòíûõ ìàòèö. Óìíîæåíèå ìàòèö çàäàåò áèíàíó îïåàöè íà ìíîæåñòâå Mat n. Îïåàöèè êîìïîçèöèß ôóíêöèè è óìíîæåíèå ìàòèö àññîöèàòèâíû, íî íå êîììóòàòèâíû: h (g f) =(h g) f, äëß ëáûõ ôóíêöèè èëè ìàòèö f,g,h íî f g g f äëß íåêîòîûõ ôóíêöèè (ìàòèö) f,g. Ïèìå. Îïåàöèß âûèòàíèß Z íåàññîöèàòèâíà: (a b) c a (b c), íàïèìå, 5 (3 2) = 4 0=(5 3) 2. Ïèìå. Îïåàöèè îáúåäèíåíèß è ïååñååíèß ìíîæåñòâ àññîöèàòèâíû. Ïèìå. Îïåàöèß àçíîñòè ìíîæåñòâ íåàññîöèàòèâíà: A \ (B \ C) (A \ B) \ C. Íàïèìå äëß A = {a, b, c},b = {b, c},c = {c}, èìååì A \ B = {a},b\ C = {b} (A \ B) \ C = {a} A \ (B \ C) ={a, c}. Ïèìå. Ïóñòü A = R[x] ìíîæåñòâî ïîëèíîìîâ è : R[x] R[x], f(x) f(x) äèôôååíöèîâàíèå. Íàïèìå, (x 2 3x) =5x 3. Äëß a, b A îïåäåëèì x a b ïî ïàâèëó a b = a (b). Òîãäà a (b c) (a b) c, äëß íåêîòîûõ a, b, c A. Íàïèìå, è 1 (1 x 2 )=2, (1 1) x 2 =0, 1 (1 x 2 ) (1 1) x 2. Íà ñàìîì äåëå èìååò ìåñòî òîæäåñòâî: äëß âñåõ a, b, c A. (Äîêàæèòå!) a (b c) (a b) c = b (a c) (b a) c, 19

2.6 Çàäàè 1.Ïóñòü A = {1, 2},B = {a, b}. Íàéòè A B; B A; B B. 2.Ïóñòü A = {1, 2},B = {a, b, c},c = {5, 6}. Íàéòè A B C. 3.Ïóñòü A = {0, 1},B = {x, y, z}, C= {x, w}. Íàéòè (A B) (A C) è B C. 4. Äîêàçàòü, òî (A B) (A C) =A (B C). 5.Ñêîëüêî îòíîåíèè ñóùåñòâóò èç A = {x, y, z} ê B = {0, 1}? Îòâåò: Ñóùåñòâóåò 6 ëåìåíòîâ A B. Ñëåäîâàòåëüíî 2 6 =64ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà A B. Çíàèò ñóùåñòâóò 64 ñîîòíîåíèè èç A ê B. 6. Ñêîëüêî àçëèíûõ îòíîåíèè êâèâàëåíòíîñòè ñóùåñòâóò íà ìíîæåñòâå èç n ëåìåíòîâ, ãäå a)n =1,b)n =2,c)n =3,d)n =4.? 7.Ñêîëüêî àçëèíûõ îòíîåíèè ñóùåñòâóò íà ìíîæåñòâå èç n ëåìåíòîâ? 8.Ñêîëüêî ñóùåñòâóò èíúåêòèâíûõ îòîáàæåíèè èç ìíîæåñòâà n ëåìåíòîâ â ìíîæåñòâî èç m ëåìåíòîâ, åñëè (n, m) =(4, 3), (3, 3), (3, 4)? 9.Ñêîëüêî ñóùåñòâóò ñúåêòèâíûõ îòîáàæåíèè èç ìíîæåñòâà n ëåìåíòîâ íà ìíîæåñòâî èç m ëåìåíòîâ, åñëè (n, m) =(4, 3), (3, 3), (3, 4)?? 10.Ñêîëüêî ñóùåñòâóò åôëåêñèâíûõ îòíîåíèè íà ìíîæåñòâå èç n ëåìåíòîâ 11.Ñêîëüêî ñóùåñòâóò òàíçèòèâíûõ îòíîåíèè íà ìíîæåñòâå èç n ëåìåíòîâ äëß a)n =1; b)n =2; c)n =3? 12. Ïóñòü R, S åôëåêñèâíûå îòíîåíèß. Äîêàçàòü èëè îïîâåãíóòü ñëåäóùèå óòâåæäåíèß. R S åôëåêñèâíîå R S åôëåêñèâíîå R S íå åôëåêñèâíîå R \ S íå åôåëåêñèâíîå R S åôëåêñèâíîå 13. Ïóñòü R åôëåêñèâíîå è òàíçèòèâíîå îòíîåíèå. Äîêàçàòü, òî R n = R äëß ëáîãî n N. 14. Ïóñòü R åôëåêñèâíîå îòíîåíèå. Äîêàçàòü, òî R n åôëåêñèâíî äëß ëáîãî n N. 20

15.Ïóñòü R ñèììåòèåñêîå îòíîåíèå. Äîêàçàòü, òî îòíîåíèå R n ñèììåò- èíî äëß ëáîãî n N. 16. Äîêàçàòü, òî R åôëåêñèâíî òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà R 1 åôëåêñèâíî. 17. Äîêàçàòü, òî îòíîåíèå R ñèììåòèíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà R = R 1. 18.Ïóñòü R íå åôëåêñèâíî. Âñåãäà ëè îòíîåíèå R 2 íå åôëåêñèâíî? 19. Ïóñòü A ìíîæåñòâî ñòóäåíòîâ è B ìíîæåñòâî êíèã â áèáëèîòåêå. Ðàññìîòèì îòíîåíèß R 1 è R 2 èç A â B, îïåäåëåííûå ñëåäóùèì îáàçîì: ar 1 b, åñëè ñòóäåíòó a íåîáõîäèìî ïîèòàòü êíèãó b è ar 2 b, åñëè ñòóäåíò a èòàë êíèãó b. Îïèèòå óïîßäîåííûå ïàû ñëåäóùèõ îòíîåíèè: a)r 1 R 2 b) R 1 R 2 c)r 1 R 2 d) R 1 \ R 2 e) R 2 \ R 1. 20. Îïåäåëèì íà ìíîæåñòâå ëäåé îòíîåíèß R è S ïî ïàâèëó arb, åñëè a îäèòåëü b è asb, åñëè a è b áëèçíåöû. Íàéòè R S è S R. 21.Ïóñòü R 1 R 2 îòíîåíèß íà ìíîæåñòâå A çàäàííûå ìàòèöàìè M R1 = 0 1 0 1 1 1 1 0 0 M R2 = 0 1 0 0 1 1 1 1 1 Íàéòè ìàòèöû ñîîòâåòñòâóùèå îòíîåíèßì a)r 1 R 2 b) R 1 R 2 c)r 1 R 2 d) R 1 R 1 e) R 2 R 1 ) 22.Ïóñòü M R =. Âûèñëèòü M R S,M R S,M R, M R S, M R S. Z. 23.Ïóñòü M R = ( 1 1 0 0 1 1 ( 1 1 0 0 1 1 ) ( 0 1 0,M S = 1 0 1 ),M S = 0 1 1 0 1 1. Âûèñëèòü M R S. 24. Íàéòè ñèììåòèåñêîå çàìûêàíèå îòíîåíèß R = {(a, b) a > b} íà Z. 25. Íàéòè åôëåêñèâíîå çàìûêàíèå îòíîåíèß R = {(a, b) a b} íà ìíîæåñòâå 26. Ïóñòü M R ìàòèöà îòíîåíèß R íà ìíîæåñòâå èç n ëåìåíòîâ. Òîãäà ìàò- èöà òàíçèòèâíîãî çàìûêàíèß R M R = M R M [2] R M [3] [n] R M R. 27. Ïóñòü A = {1, 2, 3, 4}, B= {x, y, z} è R îòíîåíèå èç A ê B çàäàííîå ïî ïàâèëó R = {(1,y), (1,z), (3,y), (4,x), (4,z)}. Äëß îòíîåíèß R 21

íàéòè ìàòèöó îòíîåíèß íàèñîâàòü äèàãàììó ñòåëîê íàéòè îáàòíîå îòíîåíèå íàéòè îáëàñòü îïåäåëåíèß è îáàç 28.Ïóñòü A = {1, 2, 3, 4, 6}. Îïåäåëèì íà A îòíîåíèå R êàê x äåëèò y: (x, y) R x y. Ïåäñòàâèòü R êàê ìíîæåñòâî óïîßäîåííûõ ïà Íàèñîâàòü ãàô îòíîåíèß R. Íàéòè R 1. Êàê îïèñàòü R 1 ñëîâàìè? 29. Íà ìíîæåñòâå A = {1, 2, 3} àññìîòèì ñëåäóùèå îòíîåíèß R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 3)},S= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}, T = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)}, = ïóñòîå îòíîåíèå, A A = óíèâåñàëüíîå îòíîåíèå. Êàêèå èç òèõ îòíîåíèè ßâëßòñß åôëåêñèâíûìè, ñèììåòèåñêèìè, òàíçèòèâíûìè è àíòèñèììåòèåñêèìè? 30. Íà ìíîæåñòâå A = {a, b, c} çàäàíî îòíîåíèå R = {(a, a), (a, b), (b, c), (c, c)}. Íàéäèòå åôëåêñèâíûå, ñèììåòèåñêèå è òàíçèòèâíûå çàìûêàíèß R. 31. Îòíîåíèå ïîäîáèß íà ìíîæåñòâå òåóãîëüíèêîâ åñòü îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè. Äîêàçàòü. 32. Ïîâåüòå, òî îòíîåíèå ïèíàäëåæíîñòè îäíîìó êóñó åñòü îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè. Íàéòè ôàêòî-ìíîæåñòâî äëß ìíîæåñòâà ñòóäåíòîâ ÊÁÒÓ îòíîñèòåëüíî òîãî îòíîåíèß. 33. Íà ìíîæåñòâå öåëûõ èñåë Z ââåäåì îòíîåíèå x y(mod n) åñëè n x y. Äîêàçàòü, òî òî îòíîåíèå ßâëßåòñß îòíîåíèåì êâèâàëåíòíîñòè è íàéòè ñîîòâåòñòâóùåå àçáèåíèå ìíîæåñòâà Z. Êàê óñòîåíî ôàêòî-ìíîæåñòâî Z/? 34. Ââåäåì íà ìíîæåñòâå A = {(a, b) a, b Z,b 0} îòíîåíèå R ïî ïàâèëó (a, b)r(c, d), åñëè ad = bc. Äîêàçàòü, òî R îòíîåíèå êâèâàëåíòíîñòè. Îïèñàòü êëàññû êâèâàëåíòíîñòè. Óñòàíîâèòü áèåêöè ôàêòî-ìíîæåñòâà A/R âìíîæåñòâî àöèîíàëüíûõ èñåë Q. 22

35. Îïåäåëèì íà ìíîæåñòâå A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} îòíîåíèå R = {(1, 1), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 6), (3, 2), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 1), (5, 5), (6, 2), (6, 3), (6, 6)}. Äîêàçàòü, òî ßâëßåòñß îòíîåíèåì êâèâàëåíòíîñòè. Íàéòè àçáèåíèå A/R. 36. Äëß îòíîåíèé P = {(x, y) R 2 x = y 2 } è Q = {(x, y) R 2 x y>0} íàéòè P Q, Q P, P P è P 1. 37. Äîêàçàòü ñëåäóùèå òîæäåñòâà ãäå R 1,R 2,R 3 A A. R 1 (R 2 R 3 )=(R 1 R 2 ) R 3, R 1 (R 2 R 3 )=(R 1 R 2 ) (R 1 R 3 ), R 1 (R 2 R 3 )=(R 1 R 2 ) (R 1 R 3 ), (R 1 R 2 ) R 3 =(R 1 R 3 ) (R 2 R 3 ), (R 1 R 2 ) R 3 =(R 1 R 3 ) (R 2 R 3 ), 38. Ïóñòü A = R[x] ïîñòàíñòâî ìíîãîëåíîâ. Îïåäåëèì óìíîæåíèå íà A ïî ïàâèëó f(x) g(x) =f(x) g(x) x. Íàïèìå, x x 4 =4x 4 Äîêàçàòü, òî âûïîëíåíû òîæäåñòâà (a b) c a (b c) =(b a) c b (c a), äëß ëáûõ a, b, c A, (a b) c =(a c) b, 39. Ïóñòü A = R[x] ïîñòàíñòâî ìíîãîëåíîâ. Îïåäåëèì óìíîæåíèå íà A ïî ïàâèëó x f(x) g(x) =f(x) g(x) dx. 0 Íàïèìå, x x 4 = x 6 /5. Äîêàçàòü, òî âûïîëíåíî òîæäåñòâî äëß ëáûõ a, b, c A, (a b) c = a (b c + c b), 23

Ãëàâà 3 Êîìáèíàòîèêà è òåîèß èñåë 3.1 Ïèíöèïû ñåòà Èìååòñß äâà îñíîâíûõ ïàâèëà äëß ñåòà. Ïàâèëî ñóììû. Äîïóñòèì, òî íåîáõîäèìî âûïîëíèòü çàäàíèß T 1 è T 2. Ïåäïîëîæèì, òî ñóùåñòâóåò n 1 è n 2 âîçìîæíîñòåé äëß âûïîëíåíèß çàäàíèè T 1 è T 2, ïèåì çàäàíèß T 1 è T 2 îäíîâåìåííî íåâûïîëíèìû. Òîãäà ñóùåñòâóåò n 1 + n 2 âîçìîæíîñòåé äëß âûïîëíåíèß îäíîãî èç çàäàíèè T 1 è T 2. Îáîáùåííîå ïàâèëà ñóììû. Äîïóñòèì, òî äëß âîçíèêíîâåíèß çàäàíèè T 1,T 2,...,T k 1 è T k ñóùåñòâóò n 1,n 2,...,n k 1 è n k âîçìîæíîñòåé ñîîòâåòñòâåííî, ïèåì íèêàêèå äâà àçíûõ çàäàíèß îäíîâåìåííî íåâûïîëíèìû. Òîãäà ñóùåñòâóåò n 1 + + n k âîçìîæíîñòåé äëß âûïîëíåíèß îäíîãî èç òèõ çàäàíèè. Â òåìèíàõ òåîèè ìíîæåñòâ îáîáùåííîå ïàâèëî ñóììû âûãëßäèò òàê. Ïóñòü çàäàíû k ìíîæåñòâ A 1,A 2,...,A k òàêèå, òî A i A j = äëß ëáûõ i j. Òîãäà A 1 A k = A 1 + + A k. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü çàäàíèå T i ñîñòîèò â âûáîå ëåìåíòîâ èç ìíîæåñòâà A i, ãäå i =1,...,k. Òîãäà ñóùåñòâóåò n i âîçìîæíîñòåé äëß âûïîëíåíèß çàäàíèß T i. Òîãäà ïî ïàâèëó ñóììû ñóùåñòâóåò n 1 + + n k âîçìîæíîñòåé äëß âûïîëíåíèß îäíîãî èç òèõ çàäàíèè. Èíûìè ñëîâàìè, A 1 A k = A 1 + + A k. Ïèìå. Ñòóäåíò äîëæåí âûáàòü îäíó òåìó äëß êóñîâîé àáîòû. Ñóùåñòâóåò 3 òåìû ïî ôèçèêå è 5 òåì ïî õèìèè. Ñêîëüêîâîçìîæíîñòåé ñóùåñòâóåò äëß âûáîà òåì? Îòâåò: 3+5=8 âîçìîæíîñòåé. Ïàâèëî ïîèçâåäåíèß. Äîïóñòèì, òî çàäàíèå T ìîæíî àçäåëèòü íà äâà ïîäçàäàíèß T 1,T 2 òàê, òî òè çàäàíèß ìîæíî âûïîëíèòü ïîñëåäîâàòåëüíî, ñíààëà çàäàíèå T 1 è çàòåì çàäàíèå T 2. Çàäàíèå T 1 âûïîëíèìî n 1 ñïîñîáàìè è çàäàíèå T 2 âûïîëíèìî n 2 ñïîñîáàìè. Òîãäà çàäàíèå T âûïîëíèìî n 1 n 2 ñïîñîáàìè. Îáîáùåííîå ïàâèëî ïîèçâåäåíèß. Äîïóñòèì, òî çàäàíèå T ìîæíî àçäåëèòü íà k ïîäçàäàíèß T 1,T 2,...,T k òàê, òî òè çàäàíèß ìîæíî âûïîëíèòü ïîñëåäîâàòåëüíî, ñíààëà çàäàíèå T 1, çàòåì çàäàíèå T 2 è ò.ä. Çàäàíèå T 1 âûïîëíèìî n 1 ñïî- 24

Ðèñ. 3.1: Êàê áû íè ñàæàëè òåõ çàéöåâ â äâå êëåòêè âñåãäà íàéäåòñß êëåòêà, â êîòîîé ñîäåæèòñß ïî êàéíåé ìåå äâà çàéöà. ñîáàìè, çàäàíèå T 2 âûïîëíèìî n 2 ñïîñîáàìè, è òàê äàëåå çàäàíèå T k âûïîëíèìî n k ñïîñîáàìè. Òîãäà çàäàíèå T âûïîëíèìî n 1 n 2 n k ñïîñîáàìè. Îáîáùåííîå ïàâèëî ïîèçâåäåíèß â òåìèíàõ òåîèè ìíîæåñòâ: A 1 A 2 A k = A 1 A 2 A k Ïèìå. Ïî âêóñó ìîîæåíîå áûâàò âàíèëüíûå è îêîëàäíûå. Ïî àçìåàì îíè áûâàò áîëüèå, ñåäíèå è ìàëåíüêèå. Ñêîëüêî òèïîâ ìîîæåíûõ ñóùåñòâóò? Îòâåò: 2 3=6òèïîâ. Ïèìå. Ïóñòü F(A, B) ={f : A B} ìíîæåñòâî ôóíêöèè èç ìíîæåñòâà ïîßäêà n â ìíîæåñòâî ïîßäêà m. Íàéòè ïîßäîê ìíîæåñòâà F(A, B). Îòâåò: m n. 3.2 Ïèíöèï Äèèõëå Ïèíöèï Äèèõëå. Çàäàíû n ïåäìåòîâ è m ßùèêîâ. Òåáóåòñß àçìåñòèòü ïåäìåòû ïî ßùèêàì. Åñëè n>m, òî âñåãäà íàéäåòñß ßùèê, â êîòîîì íàõîäßòñß ïî êàéíåé ìåå äâà ïåäìåòà. Ïèíöèï Äèèõëå ëåãå âñåãî ôîìóëèîâàòü â òåìèíàõ çàéöåâ è êëåòîê. Îñíîâíîå òåáîâàíèå: çàéöåâ äîëæíî áûòü áîëüå åì êëåòîê. Òîãäà êàê áû âû íå ïûòàëèñü óëóèòü æèëèùíûå óñëîâèß çàéöåâ, âàì òî íå óäàñòñß. Âñåãäà íàéäóòñß ïî êàéíåé ìåå äâà çàéöà, êîòîûå áóäóò íåäîâîëüíû òåì, òî æèâóò â îäíîé êëåòêå (èñ.1). òîáû ïèìåíèòü ïèíöèï Äèèõëå íåîáõîäèìî îïåäåëèòüñß òî ïîíèìàòü ïîä çàéöàìè è òî ïîä êëåòêàìè. Íàïèìå, â ñëåäóùåé çàäàå ïîä çàéöàìè ñëåäóåò ïîíèìàòü êîëüíèêîâ, à ïîä êëåòêàìè -äíè ãîäà. Ïèìå. Ñåäè ëáûõ n+1 öåëûõ èñåë íå ïåâîñõîäßùèõ 2n íàéäåòñß èñëî, êîòîîå äåëèòñß íà äóãîå. 25

Ðååíèå. Ïåäñòàâèì èñëà a 1,...,a n+1 < 2n â âèäå a i =2 k i q i, 1 i n + 1, ãäå q i íååòíû. Ðàññìîòèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íååòíûõ èñåë q 1,...,q n+1. Ïîñêîëüêó âñå îíè íå ïåâîñõîäßò 2n è êîëèåñòâî òàêèõ íååòíûõ èñåë íå áîëüå åì n, ñåäè íèõ ïî ïèíöèïó Äèèõëå èìåòñß ïî êàéíåé ìåå äâà àâíûõ. Ïóñòü, q i = q j = q. Òîãäà a i =2 k i q, a j =2 k j q. Åñëè k i <k j, òî a j äåëèòñß íà a i. Åñëè k i >k j, òî a i äåëèòñß íà a j. Ïèìå. (P. ErdΞos, G. Szekeres) Äëß êàæäîãî n Z + ëáàß ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àçëèíûõ äåéñòâèòåëüíûõ èñåë äëèíû n 2 +1ñîäåæèò óáûâàùó èëè âîçàñòàùó ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíû n +1. Äîêàçàòü. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a 1,...,a k 2 +1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü n 2 +1àçëèíûõ äåéñòâèòåëüíûõ èñåë. Ïóñòü i k ìàêñèìàëüíàß äëèíà âîçàñòàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íàèíàùèéñß ña k è d k ìàêñèìàëüíàß äëèíà óáûâàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íàèíàùèéñß ñ a k. Äîïóñòèì, òî i k n, d k n, äëß ëáûõ 1 k n 2 +1. Òîãäà ïî ïàâèëó ïîèçâåäåíèß ñóùåñòâóò n 2 âîçìîæíîñòåé äëß (i k,d k ). Çíàèò ïî ïèíöèïó Äèèõëå (i s,d s )=(i t,d t ), äëß íåêîòîûõ s<t.ïîêàæåì, òî òî íåâîçìîæíî. Åñëè a s <a t, òî ïîäñòàâèâ â íààëî âîçàñòàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàèíàùåéñß ña t èñëî a s ìû ïîëóàåì âîçàñòàùó ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíû i t +1íàèíàùèéñß ñ a s. Ïîñêîëüêó i s = i t, ïîëóàåì ïîòèâîåèå ñ ìàêñèìàëüíîñòü äëèíû âîçàñòàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàèíàùåéñß ñ a s. Åñëè a s >a t, òî ïîäñòàâèâ â íààëî óáûâàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàèíà- ùåéñßña t èñëî a s, ìû ïîëóàåì óáûâàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíû i s +1 íàèíàùèéñß ñ a s. Ïîñêîëüêó i s = i t, ïîëóàåì ïîòèâîåèå ñ ìàêñèìàëüíîñòü äëèíû óáûâàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàèíàùåéñß ñ a s. Ïèìå. Äîïóñòèì, òî â ãóïïå èç åñòè åëîâåê ëáûå äâà ßâëßòñß ëèáî äóçüßìè, ëèáî âàãàìè. Äîêàçàòü, òî â ãóïïå èìåòñß 3 åëîâåê, ëáûå äâà èç êîòîûõ ßâëßòñß äóçüßìè, ëèáî âàãàìè. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A îäèí èç åñòè. Ïî ïèíöèïó Äèèõëå ñóùåñòâóåò ïî êàéíåé ìåå 3 > 5/2 åëîâåê äóçåé A èëè âàãîâ A. Äîïóñòèì, òî B,C,D äóçüß A. Åñëè ïî êàéíåé ìåå äâà åëîâåêà ñåäè B,C,D ßâëßòñß äóçüßìè, òî îíè ñ A îáàçóåò ãóïïó èç òåõ äóçåé. Åñëè âñå B,C,D îáàçóåò ìíîæåñòâî âçàèìíûõ âàãîâ, òî ïîëóàåì ìíîæåñòâî èç òåõ åëîâåê âàãîâ. Ïèìå. Äîêàæèòå, òî ñåäè ëáûõ 11 äåéñòâèòåëüíûõ ïîëîæèòåëüíûõ èñåë, íå ïåâîñõîäßùèõ 100 íàéäóòñß ïî êàéíåé ìåå äâà (îáîçíàèì èõ x, y)òàêèå, òî 0 < x y < 1. Ðååíèå. Ïóñòü a 1,...,a 11 ïîèçâîëüíàß ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèòåëüíûõ èñåë ìåæäó 0 è 100. Ðàññìîòèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 11 èñåë a 1,..., a 11. Îíè ëåæàò íà îòåçêå 1 è 10. Ïîòîìó ïî ïèíöèïó Äèèõëå íàéäóòñß äâà, îáîçíàèì èõ ååç x, y, êîòîûå ëåæàò íà îäíîì îòåçêå äëèíû 1. Òîãäà 0 < x y < 1. 3.2.1 Çàäàè 1. Â êîëå óàòñß 367 êîëüíèêîâ. Äîêàæèòå, òî íàéäóòñß äâà êîëüíèêà, ó êîòîûõ îäèíàêîâû äíè îæäåíèß. 26

Óêàçàíèå. Ñêîëüêî äíåé â ãîäó? 2.Íàêàôåäå âûñåé ìàòåìàòèêè àáîòàò 13 ïåïîäàâàòåëåé. Äîêàæèòå, òî íàéäóòñß äâà ïåïîäàâàòåëß, êîòîûå îäèëèñü â îäèí è òîò æå ìåñßö. Óêàçàíèå. Çàéöû ïåïîäàâàòåëè. Êëåòêè 12 ìåñßöåâ. 3. Ëáîå ìíîæåñòâî ñîñòîßùåå èç 41 êàçàõñêèõ ñëîâ ñîäåæèò ïî êàéíåé ìåå äâà ñëîâà íàèíàùèå èç îäèíàêîâûõ áóêâ. Äîêàçàòü. Óêàçàíèå. Êàçàõñêèé àëôàâèò ñîäåæèò 42 áóêâ. Ñëîâî íå ìîæåò íàèíàòüñß ñ áóêâ "ú" è "ü". 4.Ïóñòü S Z +, ãäå S =25. Òîãäà S ñîäåæèò ïî êàéíåé ìåå äâà ëåìåíòà êîòîûå èìåò îäèíàêîâûé îñòàòîê îò äåëåíèß íà 24. 5. Âñßêîå ïîäìíîæåñòâî ïîßäêà 6 ìíîæåñòâà S = {1, 2,...,9} èìååò äâà ëåìåíòà ñ ñóììîé 10. 6. Ñåäè ïßòè òîåê âûáàííûõ âíóòè àâíîñòîîííåãî òåóãîëüíèêå ñî ñòî- îíîé 1 èìååòñß äâå, àññòîßíèå ìåæäó êîòîûìè ìåíüå åì 1/2. Äîêàçàòü. 7. Íàéòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åòûåõ àçëèíûõ äåéñòâèòåëüíûõ èñåë, êîòî- ûå íå ñîäåæàò óáûâàùó èëè âîçàñòàùó ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíû 3. 8. Íàéòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåâßòè àçëèíûõ äåéñòâèòåëüíûõ èñåë, êîòîûå íå ñîäåæàò óáûâàùó èëè âîçàñòàùó ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü äëèíû 4. 9. Äîêàçàòü, òî â çàäàå P. ErdΞos, G.Szekeres çàìåíèòü n 2 +1íà n 2 íåëüçß. Ïîñòîéòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àçëèíûõ äåéñòâèòåëüíûõ èñåë äëèíû n 2 íå ñîäåæàùåé óáûâàùåé è âîçàñòàùåé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëèíû n +1. 3.3 Ôîìóëà âêëåíèß - èñêëåíèß Òåîåìà. n i=1 A i = n s=1 ( 1)s+1 1 i 1 < <i s n A i 1 A is. Äîêàçàòåëüñòâî áóäåì ïîâîäèòü èíäóêöèåé ïî n. Ïè n =1óòâåæäåíèå îåâèäíî. Äîêàæåì óòâåæäåíèå äëß n =2. Èìååì Çàìåòèì, òî Ïîòîìó A 1 A 2 =(A 1 \ A 2 ) A 2. A 1 \ A 2 = A 1 A 1 A 2, (A 1 \ A 2 ) A 2 =. A 1 A 2 = A 1 + A 2 A 1 A 2. Äîïóñòèì, òî óòâåæäåíèå âåíî äëß n 2. Ïóñòü A = n i=1a i. 27

Ñîãëàñíî òîæäåñòâó äèñòèáóòèâíîñòè Çàìåòèì, òî A A n+1 =(A 1 A n+1 ) (A 2 A n+1 ) (A n A n+1 ). (A i1 A n+1 ) (A is A n+1 )=A i1 A is A n+1. Ïîòîìó, ïî ïåäïîëîæåíè èíäóêöèè A A n+1 = n ( 1) s+1 s=1 0<i 1 < <i s n A i1 A is A n+1. Êàê áûëî çàìååíî âûå íàå óòâåæäåíèå âåíî äëß n =2. Ïîòîìó ïî ïåäïîëîæåíè èíäóêöèè ( 1) s+1 s=1 0<i 1 < <i s n A A n+1 = A + A n+1 A A n+1 = A i1 A is + A n+1 n+1 ( 1) s+1 s=1 0<i 1 < <i s n+1 n ( 1) s+1 A i1 A is A n+1 = s=1 A i1 A is. Èíäóêöèîííûé ïååõîä óñòàíîâëåí. Òåîåìà äîêàçàíà ïîëíîñòü. Ïèìå. àõòåû àçäîáûëè 100 áèêåòîâ óäû, ñîäåæàùèå æåëåçî, ñâèíåö è îëîâî. Îêàçàëîñü, òî áèêåòû ñîäåæàùåå æåëåçî îáßçàòåëüíî ñîäåæèò è ñâèíåö, 60 áèêåòîâ ñîäåæàò îëîâî è 50 áèêåòîâ ñîäåæàò æåëåçî è îëîâî. Ñêîëüêî áèêåòîâ ñîäåæèò æåëåçî? Ðååíèå. Ïóñòü A 1,A 2 è A 3 ìíîæåñòâî áèêåò ñîäåæàùåå, ñîîòâåòñòâåííî, æåëåçî, ñâèíåö è îëîâî. Ïî óñëîâè çàäàè A 1 A 2, ïîòîìó Êîìå òîãî, è Ïîòîìó A 1 A 2 = A 2, A 1 A 2 A 3 = A 2 A 3. A 3 =60, A 1 A 3 =50, A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 3 A 1 A 3. A 1 = 100 60 + 50 = 90. Ïèìå. Ôóíêöèß Ýéëåà. Ïóñòü n N. Íàéòè ïîßäîê ìíîæåñòâà èñåë ìåæäó 1 è n, âçàèìíî ïîñòûõ ñ n. Ýòî èñëî îáîçíààåòñß φ(n). Ôóíêöèß φ : N N íàçûâàåòñß ôóíêöèåé Ýéëåà. 28

Äîêàæåì, òî ãäå n = p α 1 1 pα k k êàíîíèåñêîå àçëîæåíèå â ïîèçâåäåíèå ïîñòûõ ñîìíîæèòåëåé èñëà n. Ïóñòü Òîãäà φ(n) =n k (1 1 ), p i i=1 A i = {p i m m N, 0 <p i m<n}. A i = n/p i. Áîëåå òîãî, äëß ëáûõ 0 <i 1 <... < i s k ìíîæåñòâî A i1 A is ñîñòîèò èç èñåë, êîòîûå íå äåëßòñß íà p i1 p is, è A i1 A is = n/p i1 p is. Ïîòîìó ïî ôîìóëå âêëåíèß-èñêëåíèß A 1 A k = ( 1) s+1 n/p i1 p is = s 1 n(1 k (1 1/p s )). s=1 Çäåñü èñïîëüçóåòñß ñëåäóùàß ëåììà, êîòîó ëåãêî äîêàçàòü èíäóêöèåé ïî k. Ëåììà. Äëß ëáûõ k èñåë x 1,...,x k, ñïàâåäëèâî àâåíñòâî 1+ k ( 1) s s=1 1 i 1 < <i s k x i1 x is = k (1 x s ). Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî A 1 A k ñîñòîèò èç èñåë, êîòîûå èìåò õîòß áû îäèí äåëèòåëü âèäà p i äëß íåêîòîîãî 1 i k, ìíîæåñòâî s=1 {m 0 <m<n,íîä(m, n) =1} ñîâïàäàåò ñ äîïîëíåíèåì A 1 A k, ãäå â êàåñòâå óíèâåñàëüíîãî ìíîæåñòâà âçßòî ìíîæåñòâî {1, 2,..., n}. Òàêèì îáàçîì, φ(n) =n k (1 1/p s ). s=1 Ïèìå. Áåñïîßäêè. Ïååñòàíîâêà f Sym n íàçûâàåòñß áåñïîßäêîì, åñëè f(i) i, äëß ëáîãî i {1, 2,...,n}. Íàéòè êîëèåñòâî áåñïîßäêîâ. Äîêàæåì, òî êîëèåñòâî áåñïîßäêîâ àâíà D(n) =n!(1 1 1! + 1 2! 1 3! + +( 1)n 1 n! ). 29

Ïóñòü A i = {f Sym n f(i) =i}, Òîãäà äëß ëáîãî 0 <i 1 < <i s n, A i1 A is =(n s)! i =1, 2,...,n. Âìíîæåñòâå èç n ëåìåíòîâ ïîäìíîæåñòâî ïîßäêà s âûáèàåòñß ( n s) ñïîñîáàìè. Äóãèìè ñëîâàìè, êîëèåñòâî âûáîîê (i 1,...,i s ), òàêèõ, òî 0 <i 1 < <i s n àâíî ( n s). Òàêèì îáàçîì, ôîìóëà âêëåíèß-èñêëåíèß ïèîáåòàåò âèä Ïîòîìó n ( 1) s+1 s=1 s=1 A 1 A n = 0<i 1 < <i s n A i1 A is = n ( ) n ( 1) s+1 (n s)! = s n ( 1) s=1 s+1 n! s!. D n = A 1 A n = Sym n A 1 A n = n!( s 0( 1) s 1 s! ). Ïèìå. Êîëèåñòâî ñúåêòèâíûõ ôóíêöèè. Ïóñòü F on (A, B) ={f : A B} ìíîæåñòâî ñúåêòèâíûõ ôóíêöèè èç ìíîæåñòâà èç n ëåìåíòîâ â ìíîæåñòâî èç m ëåìåíòîâ. Òîãäà F on (A, B) = m ( m ( 1) s s s=0 ) (m s) n. Íàïèìå, ïè n = 3,m = 2 ñóùåñòâóò 6 = 8 2 ñúåêòèâíûõ ôóíêöèè. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî ôàêòà áóäåò ïèâåäåíî â ñëåäóùåì ïóíêòå. 3.3.1 Çàäàè 1. Â êóæêå ïî ïîäãîòîâêå ê îëèìïèàäàì êîëüíèêè èçóàò ìàòåìàòèêó è èíôîîìàòèêó. Èç íèõ 25 êîëüíèêîâ èçóàò èíôîìàòèêó, 13 óàò ìàòåìàòèêó è 8 èçóàò ìàòåìàòèêó è èíôîìàòèêó. Ñêîëüêî êîëüíèêîâ ïîñåùàò êóæîê? 2. Â êîëëåäæå óàòñß 1807 ñòóäåíòîâ. Èç íèõ 453 èçóàò àíãëèéñêèé, 567 èçóàò íåìåöêèé, è 299 èçóàò àíãëèéñêèé è íåìåöêèé. Ñêîëüêî ñòóäåíòîâ íå èçóàò íè àíãëèéñêîãî, íè íåìåöêîãî? 3. Ñêîëüêî ëåìåíòîâ ñîäåæàò ìíîæåñòâî A 1 A 2, åñëè A 1 ñîäåæèò 12 ëåìåíòîâ, A 2 èìååò 18 ëåìåíòîâ è 30

A 1 A 2 = A 1 A 2 =1 A 1 A 2 =6 A 1 A 2 4. Íàéòè êîëèåñòâî öåëîèñëåííûõ íåîòèöàòåëüíûõ ååíèè óàâíåíèß x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =8ñ óñëîâèßìè x i 7, äëß âñåõ i =1, 2, 3, 4. 5.Ñêîëüêî íåîòèöàòåëüíûõ öåëîèñëåííûõ ååíèè èìååò óàâíåíèå x 1 +x 2 + x 3 =11îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ x 1,x 2,x 3 òàêèõ, òî x 1 3, x 2 4 è x 3 6.? 6. Ñêîëüêî ñóùåñòâóò ôóíêöèè "íà" èç ìíîæåñòâà ïîßäêà åñòü íà ìíîæåñòâî ïîßäêà òè? 7. Ñêîëüêî èñåë îñòàíóòñß â ìíîæåñòâå {1, 2,...,1000} ïîñëå âûåêèâàíèß èñåë êàòíûõ 2, 3, 5, 7? 8. Ñêîëüêî èñåë â ìíîæåñòâå {1, 2,...,100} íå äåëßòñß â êâàäàò êàêîãî ëèáî öåëîãî èñëà áîëüåé åì 1? 9. Áåñïîßäêîì ìíîæåñòâà {1, 2,...,n} íàçûâàåòñß ïååñòàíîâêà σ Sym n òàêàß, òî σ(i) i, äëß âñåõ i =1, 2,...,n. Ïååèñëèòü âñå áåñïîßäêè ìíîæåñòâà {1, 2, 3, 4}. 10. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïååñòàâèòü öèôû {0, 1, 2,...,9} òàê, òîáû íè îäíî åòíîå èñëî íå ñòîßëî íà ñâîåì ìåñòå? 11. Ñêîëüêî ïååñòàíîâîê èç 42 áóêâ êàçàõñêîãî àëôàâèòà íå ñîäåæàò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ê æå, òàû, ò? 12. (Íåàâåíñòâà Áîíôåîíè) Äîêàçàòü íåàâåíñòâà: åñëè q åòíî, åñëè q íååòíî. q ( 1) k 1 k=1 q ( 1) k 1 k=1 I ( {1,2,...,n} k ) I ( {1,2,...,n} k ) i I A i i I A i n A i, i=1 n A i, i=1 31

3.4 Áèíîìèàëüíûå êîôôèöèåíòû Ôàêòîèàë n! =1 2 3 n. Áèåêòèâíàß ôóíêöèß f : n n,ãäå n = {1, 2,...,n}, íàçûâàåòñß ïååñòàíîâêîé. Ïóñòü Sym n ìíîæåñòâî ïååñòàíîâîê. Òîãäà Sym n = n!. Áèíîìèàëüíûé êîôôèöèåíò ( ) n n(n 1) (n i +1) =, i i! n Z, i Z +. Äóãèå îáîçíàåíèß: Cn, i C(n, i). Ïî îïåäåëåíè ( n i) =0, åñëè i>n.îáàòèì âíèìàíèå íà òî, òî áèíîìèàëüíûé êîôôèöèåíò ìîæíî îïåäåëèòü è äëß îòèöàòåëüíûõ n. Åñëè n Z +, òî ( ) n = i ( ) n i n! i!(n i)!, =( 1) i ( n + i 1 i Ïèìå. Äàíî ìíîæåñòâî ïîßäêà n. Íàéòè êîëèåñòâî ïîäìíîæåñòâ ïîßäêà k. Ðååíèå. Ïóñòü A = {a 1,...,a n } ìíîæåñòâî ïîßäêà n è P k (A) ={B A B = k} ìíîæåñòâî ïîäìíîæåñòâ ïîßäêà k. Ïóñòü Cn k = P k(a). Ïóñòü B A ïîäìíîæåñòâî ïîßäêà k. Âîçìîæíî äâà âçàèìíî èñêëàùèõ ñëóàß. Ïåâûé ñëóàé: a n B.Òîãäà B\{a n } A\{a n } è B\{a n } = k 1. Êîëèåñòâî òàêèõ ïîäìíîæåñòâ Cn 1 k 1. Âòîîé ñëóàé: a n B. Òîãäà B A \{a n } è A \{a n } = n 1. Êîëèåñòâî òàêèõ ïîäìíîæåñòâ Cn 1 k. Òàêèì îáàçîì, Îåâèäíî, òî C k n = C k 1 n 1 + C k n 1. C 0 1 =1, C 1 1 =1. ). Êàê áóäåò óñòàíîâëåíî âíèçó èç òèõ óñëîâèè ñëåäóåò, òî C k n = n! k!(n k)!. Îòâåò: ( n k). Ñîåòàíèå àçìåùåíèå i íåàçëèèìûõ ïåäìåòîâ ïî n ßùèêàì, íå áîëåå åì ïî îäíîìó â ßùèê. Êîëèåñòâî ñîåòàíèè ( n i). Ñîåòàíèå ñ ïîâòîåíèßìè àçìåùåíèå i íåàçëèèìûõ ïåäìåòîâ ïî n ßùèêàì. èñëî ñîåòàíèè ñ ïîâòîåíèßìè ( ) n+i 1 i. Ïèìå. SSùèê ñîäåæèò àû k öâåòîâ. àîâ êàæäîãî öâåòà íå ìåíüå åì n. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáàòü n àîâ? 32

Ðååíèå. Äîïóñòèì, òî âûáîêà èç n àîâ ñîäåæèò i 1 àîâ öâåòà 1, i 2 àîâ öâåòà 2,èò.ä. Ðàñïîëîæèì èõ ïî ïîßäêó ïî öâåòàì è ìåæäó íèìè ïîñòàâèì ïååãîîäêè. i 1 àîâ öâåòà 1 i 2 àîâ öâåòà 2 i k àîâ öâåòà k Ïóñòü A ìíîæåñòâî àîâ (èõ n òóê) âûáîîê è ïååãîîäîê (èõ k 1 òóê). Òîãäà A = n + k 1 è íàà çàäàà àâíîñèëüíà âûáîó ïîäìíîæåñòâà ïîßäêà k 1 (ïååãîîäêè) ìíîæåñòâà ïîßäêà n + k 1 (àû è ïååãîîäêè). Îòâåò: ( n+k 1 k 1 ). Ïèìå. Ñêîëüêî íåîòèöàòåëüíûõ öåëîèñëåííûõ ååíèè èìååò óàâíåíèå x 1 + + x k = n Ýòà âîïîñ êâèâàëåíòåí ïåäûäóùåìó âîïîñó. Ïåäñòàâüòå, òî x i êîëèåñòâî àîâ i-îãî öâåòà, ãäå i =1, 2...,k. Îòâåò: ( n+k 1 k 1 ). Òåóãîëüíèê Ïàñêàëß 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Ýëåìåíòû êàæäîé ñëåäóùåé ñòîêè îïåäåëßòñß êàê ñóììû äâóõ èñåë ñòîßùèõ ïî áîêàì ñâåõó. Îáîçíàèì ååç Cn i i-ûé ëåìåíò n-îé ñòîêè. Ïîëîæèì Ci n =0åñëè i<0 èëè i>n.òîãäà ñâîéñòâî, ïîîæäàùåå òåóãîëüíèê Ïàñêàëß çàäàåòñß òàê 3.4.1 Çàäàè C i n = Ci n 1 + Ci 1 n 1. 1. Äîêàçàòü, òî C i n = ( ) n. i 2. ( ) ( n i + n i 1 ) ( = n+1 ). i 3. (Áèíîì Íüòîíà) (x + y) n = n i=1 ( n i) x i y n i. 4. n i=0 ( n i) =2 n. 33

5. n i=0 ( 1)i( n i) =0. 6. Äîêàçàòü, òî ( n i) äåëèòñß íà p, åñëèn = p, 0 <i<p,è p ïîñòîå. 7. Íàéòè êîëèåñòâî ïîäìíîæåñòâ ïîßäêà 2 ìíîæåñòâà ïîßäêà 6. Îòâåò. 15. 8. Âßùèêå ñîäåæàòñß àû òåõ öâåòîâ. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáàòü 4 àà? (àîâ êàæäîãî öâåòà íå ìåíüå 4) Îòâåò: 15. 9.Ñêîëüêî íåîòèöàòåëüíûõ öåëîèñëåííûõ ååíèè èìååò óàâíåíèå x 1 +x 2 + x 3 =4? 10.Ïóñòü u (k) = k u x k-àß ïîèçâîäíàß ôóíêöèè u = u(x). Äîêàçàòü, òî (u + v) (n) = n i=0 ( ) n u (i) v (n i). i 3.5 Ôóíêöèè íà êîíåíûõ ìíîæåñòâàõ Îáîçíàåíèß: F(A, B) ={f : A B} ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèè èç A â B. F in (A, B) ìíîæåñòâî èíúåêòèâíûõ ôóíêöèè èç A â B, F on (A, B) ìíîæåñòâî ñúåêòèâíûõ ôóíêöèè èç A â B. Ïóñòü A n m = m (m 1) (m n +1) èñëî ïååñòàíîâîê n ëåìåíòîâ èç m àçëèíûõ ëåìåíòîâ áåç ïîâòîåíèé. Ïî îïåäåëåíè, A n m =0, åñëè m<n. Òåîåìà. Ïóñòü A,B ìíîæåñòâà ïîßäêà n è m ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà F(A, B) = m n, F in (A, B) = A n m, m ( ) m F on (A, B) = ( 1) s (m s) n. s s=0 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A = {a 1,...,a n } è B = {b 1,...,b m }. Âñßêàß ôóíêöèß f F(A, B) îäíîçíàíî îïåäåëßåòñß ñâîèìè çíàåíèßìè f(a i ) B, ãäå i = 1,...,n. Ýëåìåíò f(a i ) ìîæåò ïèíèìàòü îäíî èç m çíàåíèè b 1,...,b m. Òàêèì îáàçîì, ïî ïàâèëó ïîèçâåäåíèß äëß (f(a 1 ),...,f(a n )) B B }{{} n èìååòñß m n âîçìîæíîñòåé. Èíûìè ñëîâàìè, F(A, B) = m n. 34

Ïóñòü f F in (A, B). Òîãäà ìíîæåñòâî ëåìåíòîâ Imf = {f(a 1 ),...,f(a n )} îïåäåëßò n ëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà B. Òàêèì îáàçîì, âûáî ìíîæåñòâà Imf àâíîñèëüíî âûáîó n ëåìåíòíîãî ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà B. Êàêìû çíàåì òî ìîæíî ñäåëàòü ( m n) ñïîñîáàìè. Ïóñòü A = {b 1,...,b n } ëáîå n ëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà B. Ñóùåñòâóò n! ôóíêöèè ñ ìíîæåñòâîì ëåìåíòîâ îáàçîâ A. Èìåííî, ôóíêöèè f σ, ãäå σ Sym n, çàäàííûìè ïî ïàâèëàì f σ (a i )=b σ(i), îáëàäàò òàêèì ñâîéñòâîì. Èòàê, ïî ïàâèëó ïîèçâåäåíèß, F in (A, B) = ( ) m n! =m(m 1) (m n +1). n Ïóñòü f F on (A, B). Ïóñòü F i = {f F(A, B) f(a) b i, a A} ïîäìíîæåñòâî ôóíêöèè, íå ïèíèìàùèå çíàåíèß b i. Òîãäà f ìîæíî àññìàòèâàòü êàê ôóíêöè èç A ñî çíàåíèßìè â m 1 ëåìåíòíîì ìíîæåñòâå B \{b i } : Òàêèì îáàçîì, f F i f F(A, B \ b i ), B \{b i } = m 1. F i =(m 1) n, i =1,...,n. Ïî àíàëîãèíûìè ïèèíàìè, ëáó ôóíêöè f F i1 F is ìîæíî àññìàò- èâàòü êàê ôóíêöè f F(A, B \{b i1,...,b is } è ( m s F i1 F is =(m s) n. ) Ìû çíàåì, òî ñòîêè (i 1,...,i s ) òàêèå, òî 1 i 1 < <i s m ìîæíî âûáàòü ñïîñîáàìè. Èòàê, ïî ïàâèëó âêëåíèß-èñêëåíèß F 1 F m = m ( 1) s+1 s=1 1 i 1 < <i s m F i1 F is = m ( m ( 1) s+1 s s=1 ) (m s) n. Îåâèäíî, òî ìíîæåñòâî ñúåêòèâíûõ ôóíêöèè ñîâïàäàåò ñ äîïîëíåíèåì F 1 F m, ãäå â êàåñòâå óíèâåñàëüíîãî ìíîæåñòâà âûñòóïàåò ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèè F(A, B). Òàêèì îáàçîì, m. m n F on (A, B) = F 1 F m = F(A, B) F 1 F m = m ( ) ( ) m m m ( ) m ( 1) s+1 (m s) n = (m 0) n + ( 1) s (m s) n = s 0 s s=1 m ( ) m ( 1) s (m s) n. s s=1 Ñëåäñòâèå. s=0 m ( m ( 1) s s s=0 ) (m s) m =0, åñëè m<n. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ïèíöèïó Äèèõëå, ñúåêòèâíûõ ôóíêöèè íåò, åñëè n> Òåîåìà. Ïóñòü A = B = n è f F(A, B). Ñëåäóùèå óñëîâèß êâèâàëåíòíû: 35

f èíúåêòèâåí f ñúåêòèâåí f áèåêòèâåí. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f F in (A, B), íî f F on (A, B). Èíûìè ñëîâàìè, êîëèåñòâî ëåìåíòîâ ïîäìíîæåñòâà îáàçîâ ImA B ìåíüå åì n. Òîãäà ïî ïèíöèïó Äèèõëå ñóùåñòâóò ïî êàéíåé ìåå äâà ëåìåíòà a, a A òàêèå, òî f(a) =f(a ). Ýòî ïîòèâîåèò òîìó, òî f èíúåêòèâåí. Îáàòíî, ïóñòü f F on (A, B), íî f F in (A, B). Òîãäà íàéäóòñß ïî êàéíåé ìåå äâà ëåìåíòà a, a A òàêèå, òî f(a) =f(a ). Òàêèì îáàçîì, ImA <n.ýòî ïîòèâîåèò òîìó, òî f ñúåêòèâåí. Èòàê, ìû äîêàçàëè, òî èíúåêòèâíîñòü è ñúåêòèâíîñòü ïè A = B ïîíßòèß êâèâàëåíòíûå. Äóãèìè ñëîâàìè, âñå òè ïîíßòèß èíúåêòèâíîñòü, ñúåêòèâíîñòü è áèåêòèâíîñòü ïè A = B êâèâàëåíòíû. Ñëåäñòâèå. Sym n = n!. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèì m = n â ôîìóëå Ñëåäñòâèå. F in (A, B) = A n m = m(m 1) (m n +1). m ( m ( 1) s s s=0 ) (m s) m = m!. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàâèì n = m â ôîìóëå F on (A, B) = Ïîëóàåì, òî ïè A = B = m, F on (A, B) = m ( m ( 1) s+1 s s=0 m ( m ( 1) s+1 s s=0 Ìû äîêàçàëè âûå, òî åñëè A = B, òî F on (A, B) = F in (A, B). Îñòàëîñü ïèìåíèòü ïåäûäóùåå ñëåäñòâèå F in (A, B) = Sym m = m! ) (m s) n. ) (m s) m. òîáû çàâåèòü äîêàçàòåëüñòâî. Ïèìå. Òåì ëåíòßßì ïåäëîæèëè çàíßòüñß îäíèì èç ñëåäóùèõ äåë: êîïàòü êàòîêó, ïàñòè ñêîò èëè óáèàòü ìóñî. Êàæäûé èç íèõ ìîãóò íèåì íå çàíèìàòüñß è åñëè çàíèìàòüñß, òî íå áîëåå åì îäíèì äåëîì. Ñêîëüêî ñïîñîáîâ èõ ïîâåäåíèß ñóùåñòâóò? 36

Ðååíèå. Ïóñòü A ìíîæåñòâî ëåíòßåâ: A = {ëåíòßé 1, ëåíòßé 2, ëåíòßé 3 }. Ïóñòü B ìíîæåñòâî èç åòûåõ ëåìåíòîâ B = {êîïàòü êàòîêó, ïàñòè ñêîò, óáèàòü ìóñî, íèåì íå çàíèìàòüñß}. Ïîòîìó îòîáàæåíèå A B, a b, ñîñòîßùàß â òîì, òî a âûáèàåò çàíßòèå b ßâëßåòñß ôóíêöèåé. Òàêèì îáàçîì, ñóùåñòâóåò 4 3 = 256 ñïîñîáîâ ïîâåäåíèß ëåíòßåâ. Îòâåò: 256. Ïèìå. Êàæäûé èç åòûåõ äóãîâ åèëè êóïèòü ïî ãàëñòóêó, ïèåì íèêòî íå õîåò âûáèàòü ãàëñòóê òàêîé æå, êàê ó äóãîãî. Èìåòñß ãàëñòóêè åñòè âèäîâ. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè äóçüß ìîãóò îñóùåñòâèòü ñâîè âûáî? Ðååíèå. Ïóñòü A ìíîæåñòâî äóçåé è B ìíîæåñòâî ãàëñòóêîâ. Òîãäà îòîá- àæåíèå A B, a b, ñîñòîßùàß â òîì, òî a âûáèàåò ãàëñòóê b ßâëßåòñß ôóíêöèåé (êàæäûé âûáèàåò ïî ãàëñòóêó), ïèåì èíüåêòèâíîé (âñå âûáàííûå ãàëñòóêè àçëèíû). Òàêèì îáàçîì, êîëèåñòâî ñïîñîáîâ âûáîà ãàëñòóêîâ àâíî F in (A, B) =6 5 4 3 = 360. Îòâåò: 360. Ïèìå. åòûå êîíñòóêòîà îáßçàíû âûïîëíèòü ïîåêò,êîòîûé ñîñòîèò èç òåõ àñòåé. Êàæäûé èç êîíñòóêòîîâ âûáèàåò îäíó èç àñòåé ïîåêòà, ïèåì òó àñòü ìîæåò âûáàòü è äóãîé êîíñòóêòî. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè êîíñòóêòî- û ìîãóò îãàíèçîâàòü àáîòó íàä ïîåêòîì? Ðååíèå. Ïóñòü A ìíîæåñòâî êîíñòóêòîîâ è B ìíîæåñòâî àñòåé ïîåêòà. Òîãäà îòîáàæåíèå A, a b, ñîñòîßùàß â òîì, òî êîíñòóêòî a âûáèàåò àñòü b ïîåêòà ßâëßåòñß ôóíêöèåé, ïèåì ñúåêòèâíîé (ïîåêò äîëæåí áûòü âûïîëíåí). Ïîòîìó êîëèåñòâî ñïîñîáîâ àáîòû íàä ïîåêòîì àâíî ( ) ( ) ( ) 3 3 3 F on (A, B) =( 1) 0 (3 0) 4 +( 1) 1 (3 1) 4 +( 1) 2 (3 2) 4 +0=36. 0 1 2 Îòâåò: 36. 3.6 Ìàòåìàòèåñêàß èíäóêöèß Ìàòåìàòèåñêàß èíäóêöèß.ïóñòü P (n) íåêîòîîå óòâåæäåíèå çàâèñßùåå îò n =1, 2,... Äîïóñòèì, òî óäàñòñß äîêàçàòü ñëåäóùèå âåùè. Îñíîâàíèå èíäóêöèè: P (1) âåíî. Èíäóêöèîííûé ïååõîä: åñëè P (n) âåíî, òî P (n +1) âåíî. Âûâîä: òîãäà P (n) âåíî äëß ëáîãî n. Â òîì ñîñòîèò ìåòîä ìàòåìàòèåñêîé èíäóêöèè. Ïèìå. Äîêàæåì, òî ñóììà íååòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ èñåë ßâëßåòñß ïîëíûì êâàäàòîì. Èìåííî, ïóñòü óòâåæäåíèå P (n) ñîñòîèò â òîì, òî 1+3+5+ +(2n +1)=(n +1) 2. (3.1) 37