5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός

Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative Commons. για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΕΝΙΚΑ Όταν πολλά, αλληλοσυγκρουόμενα και μη, κριτήρια που έχουν κοινή μονάδα μέτρησης χρειάζεται να ληφθούν κατά τη διατύπωση ενός προβλήματος πρόκειται για ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης με πολλά κριτήρια. Κριτήριο είναι η κάθε ποσότητα που έχει την τάση να βελτιώνεται ή να χειροτερεύει με την αλλαγή κάποιων χαρακτηριστικών. Περιορισμοί είναι οι ποσότητες που ικανοποιούν κάποιες επιβαλλόμενες απαιτήσεις. Σ ένα πολυκριτηριακό πρόβλημα διαχειριζόμαστε ως κριτήρια μόνο τις ποσότητες εκείνες που ανταγωνίζονται/διαμάχονται η μία την άλλη. 155

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Βελτιστοποίηση κατασκευών Κριτήριο: Βάρος (Όγκος) Βέλτιστος σχεδιασμός Τάσεις Μετατοπίσεις κλπ Πιο ρεαλιστική περιγραφή πολλές φορές ασαφείς Κριτήρια: Βάρος + Τάσεις +... Αύξηση της δυσκολίας 156

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΕΝΙΚΑ Ανάλογα με το είδος του ανταγωνισμού/διαμάχης/αντιπαλότητας υπάρχει διαχωρισμός σε τοπική και καθολική αντιπαλότητα. ΟΡΙΣΜΟΙ Δύο συναρτήσεις f i και f j καλούνται συγγραμμικές χωρίς το σημείο s να αποτελεί σημείο διαμάχης, όταν υπάρχει c > 0 για το οποίο να ισχύει f i (s)= c f i (s). Διαφορετικά οι συναρτήσεις καλούνται τοπικά αντιπαλεύουσες στο s. Δύο συναρτήσεις f i και f j καλούνται καθολικά αντιπαλεύουσες στο εφικτό πεδίο τιμών των παραμέτρων σχεδιασμού F όταν τα μονοκριτηριακά προβλήματα βελτιστοποίησης min sϵf f i (s) και min sϵf f j (s) έχουν διαφορετικές λύσεις στο ίδιο πεδίο τιμών. 157

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μαθηματική διατύπωση minimize F x subject to: h i 0, i 1,..., g j 0, 1,..., l x x x x x διανυσματική αλληλοσυγκρουόμενα u j p r F(x) = {F 1 (x), F 2 (x),,f n (x)} = μή μοναδική λύση 158

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ Σημαντικότερο στάδιο : η επιλογή των παραμέτρων σχεδιασμού, των κριτηρίων και των περιορισμών. Το μαθηματικό μοντέλο βελτιστοποίησης με m το πλήθος κριτήρια διατυπώνεται ως εξής : min f(s)= [f 1 (s), f 2 (s),, f m (s)] T s.t. h i (s)=0, i=1,,p g i (s) 0, j=1,,r s l s s u ή min sϵf f(s)=[f 1 (s), f 2 (s),, f m (s)] T 159

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ Όπου Διάνυσμα s=[s 1,s 2,,s n ] T : σύνολο των μεταβλητών του προβλήματος h i (s) i συνάρτηση ισοτικών περιορισμών από σύνολο p ισοτικών περιορισμών g i (s) j συνάρτηση ανισοτικών περιορισμών από ένα σύνολο r ανισοτικών περιορισμών s l, s u άνω και κάτω όρια τιμών του διανύσματος σχεδιασμού f(s)= [f 1 (s), f 2 (s),, f m (s)] T το σύνολο των αντικειμενικών συναρτήσεων. Περιέχει τα m αντιπαλευόμενα και πιθανόν μη μετρούμενα με κοινή μονάδα μέτρησης κριτήρια. 160

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ Το εφικτό πεδίο τιμών ορίζεται από τους περιορισμούς ισότητας h(s) και ανισότητας g(s) ως εξής F= {s ϵ R n g(s) 0, h(s)=0} Το σύνολο τιμών των κριτηρίων που αντιστοιχούν στους περιορισμούς σχεδιασμού του εφικτού πεδίου τιμών F ονομάζεται επιτευχθέν πεδίο και εκφράζεται ως εξής : Λ={z ϵ R m z=f(s), s ϵf} 161

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Στόχος Η εύρεση του Pareto-συνόλου λύσεων Υπερισχύων διάνυσμα i 1,..., n : F a F b j i 1,..., n : F a F b j i j a b Pareto-σύνολο σχεδιασμών: b S : b a Εφικτός χώρος 162

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Σε προβλήματα πολλαπλών αντικειμενικών συναρτήσεων δεν υπάρχει βέλτιστος σχεδιασμός που να τις ικανοποιεί όλες ταυτόχρονα. Δεν υπάρχει επομένως η έννοια της βέλτιστης λύσης αλλά της επικρατούσας λύσης. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω a ϵ F ένας εφικτός σχεδιασμός. Ο σχεδιασμός a ονομάζεται επικρατών αν και μόνο αν δεν υπάρχει εφικτός σχεδιασμός b ϵ F τέτοιος ώστε b<a. To διάνυσμα a ονομάζεται βέλτιστο κατά Pareto στον χώρο F αν και μόνο αν δεν υπάρχει άλλος εφικτός σχεδιασμός ο οποίος να επικρατεί του a. 163

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μέθοδοι επίλυσης Μαθηματικές μέθοδοι Γραμμική μέθοδος των βαρών Ελαχιστοποίηση απόστασης από σημείο Μέθοδος περιορισμών Μέθοδος προγραμματισμού στόχων Μειονεκτήματα Απαιτούν πολλές δοκιμές Απαιτούν επιλογές παραμέτρων Μετατροπή σε πρόβλημα με ένα κριτήριο 164

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Γραμμική μέθοδος των βαρών Μετατροπή του προβλήματος πολλών αντικειμενικών συναρτήσεων σε πρόβλημα μίας αντικειμενικής συνάρτησης. Πραγματοποιείται με το συνδυασμό όλων των κριτηρίων με χρήση σταθμικών συντελεστών σε μία αντικειμενική συνάρτηση min m m F( s) = min F( s) = ( s) s F ( s) s F wi fi i i= 1 i= 1 Όπου w i : οι σταθμικοί συντελεστές f i (s): η i αντικειμενική συνάρτηση του αρχικού προβλήματος s: το διάνυσμα των μεταβλητών σχεδιασμού F: ο χώρος των εφικτών λύσεων F(s): η συνδυασμένη αντικειμενική συνάρτηση. 165

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Ελαχιστοποίηση της απόστασης από σημείο Το πρόβλημα πολλών κριτηρίων μετατρέπεται σε πρόβλημα μιας αντικειμενικής συνάρτησης που ονομάζεται συνάρτηση απόστασης. Σκοπός είναι η ελαχιστοποίηση της απόστασης των λύσεων από ένα προεπιλεγμένο σημείο στο πεδίο κριτηρίων. Το πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής min sϵf d p (s) και η συνάρτηση απόστασης ορίζεται από τη σχέση min s F F( s) = m i= 1 ( + ) p, p 1 d i Όπου p: ακέραιος αριθμός m: το πλήθος των αντικειμενικών συναρτήσεων του αρχικού προβλήματος w i : οι συντελεστές των βαρών f i : η i αντικειμενική συνάρτηση z i : το i στοιχείο ενός διανύσματος αναφοράς ẑ ϵ R m. d i 1/ p 166

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Μέθοδος των περιορισμών Το αρχικό πρόβλημα πολλαπλών κριτηρίων μετατρέπεται σε πρόβλημα βελτιστοποίησης με ένα κριτήριο. Μια από τις αντικειμενικές συναρτήσεις επιλέγεται ως η μοναδική και οι υπόλοιπες αντιμετωπίζονται ως περιορισμοί. Με τη χρησιμοποίηση των παραμέτρων ε i ορίζονται οι πρόσθετοι περιορισμοί και δημιουργείται νέα εφικτή περιοχή F k (ε i )={s ϵ R n f i (s) ε i, i=1,2,,m και i k} Βασικό μειονέκτημα η ιεράρχηση των κριτηρίων σε κύρια και δευτερεύοντα και η επιλογή κατάλληλων τιμών για τις παραμέτρους ε i 167

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Μέθοδος προγραμματισμού στόχων Προϋπόθεση η ταξινόμηση των κριτηρίων ως προς το βαθμό σπουδαιότητας του κάθε κριτηρίου. Ορισμός ενός στόχου για κάθε αντικειμενική συνάρτηση. Επιθυμητή λύση επιλέγεται εκείνη που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των απόλυτων τιμών των αποκλίσεων από το σύνολο των «στόχων». Γενική διατύπωση είναι η ακόλουθη min s F F( s) = m i= 1 1/ p ( + ) p, p 1 d i d i Όπου f i (s)- d i+ + d - i = T, i=1,2,,m d + i 0, i=1,2,,m d - i 0, i=1,2,,m T i αποτελεί τον στόχο για το κριτήριο i και επιλέγεται από το μηχανικό οι μεταβλητές d + i και d - i είναι η άνω και κάτω προσέγγιση του στόχου. 168

ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μέθοδοι επίλυσης Εξελικτικοί αλγόριθμοι Εύρεση του Pareto-συνόλου Διατήρηση της ποικιλομορφίας Τελεστής επιλογής Πλεονεκτήματα Ευρεση του Pareto-συνόλου με μια διαδικασία εξέλιξης 169

Ο αλγόριθμος (μ+λ)-α-es/nsga-ii NSGA-II 170

Ο αλγόριθμος (μ+λ)-α-es/spea-2 SPEA-2 171

Ο αλγόριθμος MO-E-CMA-ES Συνδυασμός E-CMA-ES & NSGA-II g g g g g g x,,, p, C a p k k succk, k ck, k 1 η (1+λ)-Ε-CMA-ES λ ΜΟ 2 η (1+λ)-Ε-CMA-ES NSGA-II n th (1+λ)-Ε-CMA-ES λ = 1 172

Ο αλγόριθμος MO-E-CMA-ES 173

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΜΕΘΟΔΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΟΧΩΝ max g 1 = 3x 1 +5x 2 max g 2 = x 1 2x 1 +x 2 230 x 1 +2x 2 250 x 2 120 (1) (2) (3) Έστω t 1 =700, t 2 =150, p 1 =2, p 2 =1 Επιλύεται το γ.π. 3x 1 +5x 2 + d 1 - - d 1 + =700 x 1 + d 2 - - d 2 + =150 x 1, x 2, d 1-, d 1+, d 2-, d 2 + >0 f o =160 x 10 =70, x 20 =90 Γραφική g 1 =660, λύση g 2 =70 174

f x, x x min f x, x x subject to: 1 1 2 1 2 1 2 2 Πρόβλημα TNK x g x, x x x 1 0.1cos 16 arctan 0 2 2 1 1 1 2 1 2 x2 x x x x 2 1 2 1 2 x, x 0, 1 2 2 2 g, 0.5 0.5 0.5 0 2 μεταβλητές σχεδιασμού + 2 συναρτήσεις περιορισμών 175

Πρόβλημα TNK 176

Πρόβλημα TNK 177

Πρόβλημα TNK 178

Πρόβλημα TNK 179

6-όροφος φορέας 19.16 kn/m 2 κατανεμημένο σε ολους τους ορόφους 107 kν οριζόντιο φορτίο στην εμπρός πλευρά του φορέα Πρώτο κριτήριο: Βάρος Δεύτερο κριτήριο: drift[%] Διακριτές μεταβλητές generations: 500 Population (100+100) 180

6-όροφος φορέας Pareto front after 10 Generations NSGA-II SPEA-2 cmo-cmaes 4.5 4 3.5 3 drift [%] 2.5 2 1.5 1 0.5 0 100 200 300 400 500 600 700 weight [kn] 181

6-όροφος φορέας Pareto front after 50 Generations NSGA-II SPEA-2 cmo-cmaes 4.5 4 3.5 3 drift [%] 2.5 2 1.5 1 0.5 0 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 weight [kn] 182

6-όροφος φορέας Pareto front after 500 Generations NSGA-II SPEA-2 cmo-cmaes 4.5 4 3.5 3 drift [%] 2.5 2 1.5 1 0.5 0 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 weight [kn] 183

Δικτυωτός φορέας Κριτήρια: Βάρος+μετατόπιση (max) των κόμβων της κορυφής 500 γενιές 200 μέλη (100+100) 184

Δικτυωτός φορέας Pareto front after 10 generations A-ES/NSGA-II A-ES/SPEA-2 cmo-cmaes 0.14 0.12 0.1 Displacement [m] 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 50 100 150 200 250 300 Weight [KN] 185

Δικτυωτός φορέας Pareto front after 50 generations A-ES/NSGA-II A-ES/SPEA-2 cmo-cmaes 0.14 0.12 0.1 Displacement [m] 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Weight [KN] 186

Δικτυωτός φορέας Pareto front after 500 generations A-ES/NSGA-II A-ES/SPEA-2 cmo-cmaes 0.14 0.12 0.1 Displacement [m] 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Weight [KN] 187

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα Πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση.