Διαφορικζσ Εξιςώςεισ Ενότητα : Γραμμικζσ διαφορικζσ εξιςώςεισ θσ τάξθσ Μιχαιλ Μαρκάκθσ Πολυτεχνικι Σχολι Τμιμα HMTY
Η παξνύζα ζειίδα έρεη αθεζεί εθνπζίωο θελή. Σειίδα
α. Σθνπνί ελόηεηαο... 5 β. Πεξηερόκελα ελόηεηαο... 5. Σπλαξηεζηαθνί ζπληειεζηέο... 6.. Οκνγελείο... 6.. Με νκνγελείο-μέζνδνο κεηαβνιήο ηωλ παξακέηξωλ... 8..3 Γελίθεπζε ηεο κεζόδνπ κεηαβνιήο ηωλ παξακέηξωλ ζε κε νκνγελείο γξακκηθέο εμηζώζεηο n ηάμεο (n>)... 0. Σηαζεξνί ζπληειεζηέο..... Οκνγελήο..... Με Οκνγελήο... 4 Σεκεηώκαηα... 8 Σειίδα 3
α. Σκοποί ενότητασ Σκοποί τθσ παροφςασ ενότθτασ είναι θ ειςαγωγι ςτισ βαςικζσ ζννοιεσ και ςτισ μεκόδουσ επίλυςθσ των ςυνικων διαφορικών εξιςώςεων (ΣΔΕ) δεφτερθσ τάξθσ. β. Περιεχόμενα ενότητασ Στθν ενότθτα διατυπώνονται θ μορφι και βαςικζσ ζννοιεσοριςμοί που ςχετίηονται με τισ ομογενείσ και μθ ομογενείσ ΣΔΕ δεφτερθσ τάξθσ, παρουςιάηεται θ μζκοδοσ μεταβολισ των παραμζτρων για τισ μθ ομογενείσ εξιςώςεισ και παραδείγματα για κάκε περίπτωςθ.
. Συναρτηςιακοί ςυντελεςτζσ Αθνινπζεί ν νξηζκόο ηωλ νκνγελώλ θαη κε νκνγελώλ ζπλαξηεζηαθώλ ζπληειεζηώλ καδί κε ηνπο αληίζηνηρεο ελδεηθηηθέο κεζόδνπο επηιύζεωο θαη ζπλαθή παξαδείγκαηα... Ομογενείσ Ζςτω 0, y p y q y y y () y μία λφςθ τθσ (). Υποκζτοντασ y y s ωσ δεφτερθ λφςθ κι αντικακιςτώντασ ςτθν (), με δφο διαδοχικζσ ολοκλθρώςεισ λαμβάνουμε: και άρα p d s e d, y y p d y y e d Κακώσ θ ορίηουςα ronski προκφπτει y y pd y, y det e 0 y y, Σειίδα 6
ςυνεπώσ οι, τθσ () κι άρα: y y αποτελοφν κεμελιώδεισ λφςεισ y c y c y, c, c είναι θ γενικι λφςθ τθσ (). Παράδειγμα y y y 0, p, q d y, y e d ι e e y e d d d e e e d d e Άρα γενικι λφςθ: y c c e Σειίδα 7
.. Μη ομογενείσ-μζθοδοσ μεταβολήσ των παραμζτρων y r, y p y q y y () - Επιλφουμε τθν ομογενι: y, με 0 y c y c y y τισ αντίςτοιχεσ κεμελιώδεισ λφςεισ: - Υποκζτουμε μερικι λφςθ τθσ () τθσ μορφισ μ y f y f y - Αντικακιςτοφμε ςτθ () και καταςκευάηουμε τελικά το ςφςτθμα: y y f 0 y y f r (3) Κακώσ θ ορίηουςα του πίνακα (ronski) είναι διάφορθ του μθδενόσ, το ςφςτθμα (3) ζχει μοναδικι λφςθ (μζκοδοσ Cramer): f d d y r y r f d d Σειίδα 8
Συνεπώσ, θ γενικι λφςθ τθσ () είναι: 0 μ y y y c y c y f y f y yr yr c y c y y d y d, c, c (4) Παράδειγμα y y y, (5) p, q, r Από το προθγοφμενο παράδειγμα ζχουμε τισ κεμελιώδεισ λφςεισ τθσ ομογενοφσ εξίςωςθσ:, με y y e Άρα, θ μερικι λφςθ τθσ (5) είναι: μ y f y f y y, y e Μζςω τθσ γνωςτισ διαδικαςίασ καταςκευάηουμε το ςφςτθμα (3), τθ μοναδικι λφςθ του οποίου λαμβάνουμε με τθ μζκοδο Cramer: f d d ln e e f d d e d d Σειίδα 9
e e e d e a d E i a (eponential integral, βλζπε G.R. []) e e e e Άρα: d d E και ςυνεπώσ f e Ei e 3 Επομζνωσ, θ γενικι λφςθ τθσ (4) είναι: y c y c y f y f y c c e e E ln 3 i..3 Γενίκευςη τησ μεθόδου μεταβολήσ των παραμζτρων ςε μη ομογενείσ γραμμικζσ εξιςώςεισ n τάξησ (n>) n n.., y p y p y p y r y y (6) n 0 Ζςτω y, i,.., n κεμελιώδεισ λφςεισ τθσ ομογενοφσ i εξίςωςθσ. Υποκζτουμε μερικι λφςθ τθσ (5) τθσ μορφισ: y f y f y μ.. n n i Σειίδα 0
αντικακιςτώντασ ςτθν (6) ςε n- διαδοχικά βιματα καταςκευάηουμε το ςφςτθμα: y y yn f 0 y 0 y y n f r n n n y y yn fn y,.., y 0 n (7) με μοναδικι λφςθ (μζκοδοσ Cramer) i fi d, i,.., n Ζτςι, θ γενικι λφςθ τθσ (5) γράφεται y c y.. c y f y.. f y. Σταθεροί ςυντελεςτζσ Κφκλωμα RLC n n n n Εικόνα - Κφκλωμα RLC Σειίδα
οσ Νόμοσ του Kirchhoff: dq di i dt L Ri q E t dt C d q dq E R a bq, a, b dt dt L L LC (8).. Ομογενήσ E 0 q t ce Θεωροφμε λφςθ τθσ μορφισ λt χαρακτθριςτικι εξίςωςθ: 4L λ αλ b 0, Δ α 4b R L C I. 4L R R 4L C C L Δ 0 R : λ, 0 4L 4L R R R R C t C t L L q t c e c e Ζχουμε: ΙΙ. lim qt t 0 (απόσβεση) 4L R C L Δ 0 R : λ λ 0 q t c c t e R t L Σειίδα
Επίςθσ, ζχουμε lim qt 0 (απόςβεςθ) t ΙΙΙ. 4L R i R 4L λ C, C L Δ 0 R : R t R R L cos sin q t e c t c t LC 4L LC 4L ι R t R L qt e c cosωt c sin ωt, ω LC 4L αποςβεννφμενεσ ταλαντώςεισ (το πλάτοσ τουσ τείνει ςτο 0 για t ) με ιδιοςυχνότθτα ω και ςτακερά απόςβεςθσ R L. ΙΙΙα. Δ 0 με R 0, δθλαδι ο ςυντελεςτισ τθσ πρώτθσ παραγώγου ςτθν εξίςωςθ (8) είναι μθδζν, άρα οι ρίηεσ τθσ χαρακτθριςτικισ εξίςωςθσ είναι φανταςτικζσ, λ, iω: q t c cos ω t c sin ω t, ω 0 0 0 LC αρμονικζσ ταλαντώςεισ (ςτακερό πλάτοσ) με ιδιοςυχνότθτα ω 0 Σειίδα 3
Οι ταλαντώςεισ των περιπτώςεων ΙΙΙ και ΙΙΙα καλοφνται ελεφκερεσ... Μη ομογενήσ E 0 cos Ω και 4L 0 Δ 0 R C Ζςτω E E t Αναηθτοφμε μερικι λφςθ q μ τθσ (8) με τθ μζκοδο μεταβολισ των παραμζτρων (Βλζπε.β). Ζτςι, κακώσ οι κεμελιώδεισ λφςεισ τθσ ομογενοφσ είναι με μ y e μt cos ωt, y e μt sin ωt, μ R, ω R L LC 4L ωe μt, υποκζτουμε μερικι λφςθ q t f t y f t y γράφουμε το ςφςτθμα (3) και, υπολογίηουμε τα ολοκλθρώματα: yr E0 μt f t dt dt e sin ωt cos Ωtdt ωl yr E0 μt f t dt dt e cosωt cos Ωtdt ωl Χριςει των G.R..664. [] παίρνουμε E0 μt μsin ωt ω cosωt μsinωt ω cosωt f t e ωl μ ω μ ω Σειίδα 4
E0 μt μcosω t ω sin ωt μcosωt ω sinωt f t e ωl μ ω μ ω ω ω Ω, ω ω Ω Ζτςι, για τθ γενικι λφςθ (4) μετά από πράξεισ προκφπτει: μt q t c e cosωt c e sin ωt μt μ ω t μ t E Ω cos Ω Ωsin Ω 0, L μ ω Ω μ ω Ω Οι ταλαντώςεισ εδώ καλοφνται εξαναγκαςμζνεσ. Αν αναηθτιςουμε μερικι λφςθ με τθ μζκοδο των προςδιοριςτζων ςυντελεςτών, υποκζτουμε λφςθ τθσ μορφισ ( i Ω δεν είναι ρίηα τθσ χαρακτθριςτικισ) qt AcosΩt BsinΩ t, αντικακιςτώντασ ςτθν (8) και εξιςώνοντασ τουσ αντίςτοιχουσ ςυντελεςτζσ των cosωt και sinωt, βρίςκουμε A Ε L b Ω Ε αω,. ω Ω α Ω ω Ω α Ω 0 0 B L 0 0 Σειίδα 5
Γραφικζσ παραςτάςεισ ςτην περίπτωςη τησ ομογενοφσ ΣΔΕ Στήμα -Γραθική παράζηαζη θορηίοσ ζσναρηήζει ηοσ τρόνοσ για Δ 0, R 8 Ω, L H, C F 8 Στήμα - Γραθική παράζηαζη θορηίοσ ζσναρηήζει ηοσ τρόνοσ για Δ 0, R 6Ω, L H, C F 9 Σειίδα 6
Στήμα 3- Γραθική παράζηαζη θορηίοσ ζσναρηήζει ηοσ τρόνοσ για Δ 0, R 4Ω, L H, C F 8 Βιβλιογραφία [] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Tables of integrals, series and products, Academic Press, New York and London 965 Σειίδα 7
Σημειώμαηα Σημείωμα Ιζηορικού ΕκδόζεωνΈργοσ Τν παξόλ έξγν απνηειεί ηελ έθδνζε. Σημείωμα Αναθοράς Copyright Παλεπηζηήκην Παηξώλ, Μηραήι Μαξθάθεο, Δπίθνπξνο Καζεγεηήο, 05.. «Γηαθνξηθέο Δμηζώζεηο. Γξακκηθέο δηαθνξηθέο εμηζώζεηο εο ηάμεο». Έθδνζε:.0. Πάηξαη 05. Γηαζέζηκν από ηε δηθηπαθή δηεύζπλζε: https://eclass.upatras.gr/courses/ee90 Σημείωμα Αδειοδόηηζης Τν παξόλ πιηθό δηαηίζεηαη κε ηνπο όξνπο ηεο άδεηαο ρξήζεο Creative Commons Αλαθνξά, Με Δκπνξηθή Χξήζε Παξόκνηα Γηαλνκή 4.0 [] ή κεηαγελέζηεξε, Γηεζλήο Έθδνζε. Δμαηξνύληαη ηα απηνηειή έξγα ηξίηωλ π.ρ. θωηνγξαθίεο, δηαγξάκκαηα θ.ι.π., ηα νπνία εκπεξηέρνληαη ζε απηό θαη ηα νπνία αλαθέξνληαη καδί κε ηνπο όξνπο ρξήζεο ηνπο ζην «Σεκείωκα Χξήζεο Έξγωλ Τξίηωλ». [] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ωο Μη Εμπορική νξίδεηαη ε ρξήζε: που δεν περιλαμβάνει άμεςο ή έμμεςο οικονομικό όφελοσ από την χρήςη του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική ςυναλλαγή ωσ προώπόθεςη για τη χρήςη ή πρόςβαςη ςτο έργο που δεν προςπορίζει ςτο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεςο οικονομικό όφελοσ (π.χ. διαφημίςεισ) από την προβολή του έργου ςε διαδικτυακό τόπο Ο δηθαηνύρνο κπνξεί λα παξέρεη ζηνλ αδεηνδόρν μερωξηζηή άδεηα λα ρξεζηκνπνηεί ην έξγν γηα εκπνξηθή ρξήζε, εθόζνλ απηό ηνπ δεηεζεί. Διαηήρηζη Σημειωμάηων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διαςκευή του υλικού θα πρέπει να ςυμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράσ το Σημείωμα Αδειοδότηςησ τη δήλωςη Διατήρηςησ Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήςησ Έργων Τρίτων (εφόςον υπάρχει) καδί κε ηνπο ζπλνδεπόκελνπο ππεξζπλδέζκνπο.
Χρημαηοδόηηζη Τν παξόλ εθπαηδεπηηθό πιηθό έρεη αλαπηπρζεί ζηo πιαίζηo ηνπ εθπαηδεπηηθνύ έξγνπ ηνπ δηδάζθνληα. Τν έξγν «Ανοικηά Ακαδημαϊκά Μαθήμαηα ζηο Πανεπιζηήμιο Παηρών» έρεη ρξεκαηνδνηήζεη κόλν ηε αλαδηακόξθωζε ηνπ εθπαηδεπηηθνύ πιηθνύ. Τν έξγν πινπνηείηαη ζην πιαίζην ηνπ Δπηρεηξεζηαθνύ Πξνγξάκκαηνο «Δθπαίδεπζε θαη Γηα Βίνπ Μάζεζε» θαη ζπγρξεκαηνδνηείηαη από ηελ Δπξωπαϊθή Έλωζε (Δπξωπαϊθό Κνηλωληθό Τακείν) θαη από εζληθνύο πόξνπο. Σειίδα 9